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高中数学基础知识与练习题

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高中数学基础知识与练习

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第一讲集合与逻辑用语

第1节集合及其运算

1.元素与集合

(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.

(2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种:属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“?”表示).

(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.

2.集合间的基本关系

表示

关系

文字语言符号语言

集合间的基本关系

相等集合A与集合B中的所有元素都相同A=B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A?B 真子集

A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少

有一个元素不是A中的元素

A B

空集空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集集合的并集集合的交集集合的补集

符号表示A∪B A∩B

若全集为U,则

合A的补集为?U A

图形表示

意义

{x|x∈A,或

x∈B}{x|x∈A,且

x∈B}

{x|x∈U,且x?A}

并集的性质:A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A. 交集的性质:A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B. 补集的性质:A∪(?U A)=U;A∩(?U A)=?;?U(?U A)=A;

?U (A ∪B )=(?U A )∩(?U B );?U (A ∩B )=(?U A )∪(?U B ).

★练习

1.已知集合A ={x |3≤x <7},B ={x |2<x <10},则(?R A )∩B =________.

2.(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A ={x |x =3n +2,n ∈N },B ={6,8,10,12,14},则集合A ∩B 中元素的个数为( )

.4

3.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A ={x |-1<x <2},B ={x |0<x <3},则A ∪B 等于( ) A.(-1,3)

B.(-1,0)

C.(0,2)

D.(2,3)

4.(2015·浙江卷)已知集合P ={x |x 2-2x ≥3},Q ={x |2<x <4},则P ∩Q 等于( ) A.[3,4) B.(2,3]

C.(-1,2)

D.(-1,3]

一、选择题

1.(2015·安徽卷)设全集U ={1,2,3,4,5,6},A ={1,2},B ={2,3,4},则A ∩(?U B )等于( ) A.{1,2,5,6} B.{1}C.{2}

D.{1,2,3,4}

2. (2015·南昌监测)已知集合A ={(x ,y )|x ,y ∈R ,且x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|x ,y ∈R ,且y =x },则A ∩B 的元素个数为( )

B.1

3.(2015·长春监测)已知集合P ={x |x ≥0},Q =??????x ???x +1x -2≥0,则P ∩Q 等于

( )

A.(-∞,2)

B.(-∞,-1]

C.[0,+∞)

D.(2,+∞)

4.(2015·江西师大附中模拟)设集合A ={x |-1<x ≤2,x ∈N },集合B ={2,3},则A ∪B 等于( ) A.{2}

B.{1,2,3}

C.{-1,0,1,2,3}

D.{0,1,2,3}

5.已知集合M ={0,1,2,3,4},N ={1,3,5},P =M ∩N ,则P 的子集共有( )

个个个个

6.(2014·宜春检测)设集合P={x|x>1},Q={x|x2-x>0},则下列结论正确的是()

?Q?=Q∪Q=R

第2节命题及其关系、充分条件与必要条件

1.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.

②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系.

2.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p?q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件p?q且q?p

p是q的必要不充分条件p?q且q?p

p是q的充要条件p?q

p是q的既不充分也不必要条件p?q且q?p

★练习

1.(2015·山东卷)设m∈R, 命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是()

A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0

B.若方程x2+x-m=0有实根,则

m≤0

C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0

D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0

2(2015·安徽卷)设p:x<3,q:-1

A.充分必要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

3.(2015·浙江卷)设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.下列命题:

①x=2是x2-4x+4=0的必要不充分条件;

②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件;

③sin α=sin β是α=β的充要条件;④ab≠0是a≠0的充分不必要条件.

其中为真命题的是__________(填序号).

基础巩固题组

一、选择题

1.(2015·重庆卷)“x=1”是“x2-2x+1=0”的()

A.充分必要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

2.命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是()

A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数

B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数

C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数

D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数

3.设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

二、填空题

4.“若a≤b,则ac2≤bc2”,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________.

5.“m<1

4”是“一元二次方程x

2+x+m=0有实数解”的________条件(填“充

分不必要、必要不充分、充要”).

6.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是________.

第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”

(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.

(2)命题p且q、p或q、綈p的真假判断

2

(1)常见的全称量词有:“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.

(2)常见的存在量词有:“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.

3.全称命题与特称命题

(1)含有全称量词的命题叫全称命题.(2)含有存在量词的命题叫特称命题.

4.命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.

(2)p或q的否定为:非p且非q;p且q的否定为:非p或非q.

★练习

1.(2015·湖北卷)命题“存在x∈(0,+∞),ln x=x-1”的否定是()

A.任意x∈(0,+∞),ln x≠x-1B.任意x?(0,+∞),ln x=x-1

C.存在x∈(0,+∞),ln x≠x-1D.存在x?(0,+∞),ln x=x-1

2..若命题“?x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数a的取值范围是

________.

基础巩固题组

一、选择题

1.(2015·抚州二检)若p是真命题,q是假命题,则()

且q是真命题或q是假命题

C.非p是真命题

D.非q是真命题

2..命题“存在实数x ,使x >1”的否定是( )

A.对任意实数x ,都有x >1

B.不存在实数x ,使x ≤1

C.对任意实数x ,都有x ≤1

D.存在实数x ,使x ≤1

3.下列四个命题

p 1:存在x ∈(0,+∞),????12x <????13x

;p 2:存在x ∈(0,1),; p 3:任意x ∈(0,+∞),????12x >;p 4:任意x ∈????0,13,???

?1

2x <.

其中真命题是( )

A .p 1,p 3

B .p 1,p 4

C .p 2,p 3

D .p 2,p 4

第二讲 函数概念与函数基本性质

第1节 函数及其表示

1.函数的基本概念(1)函数的定义

给定两个非空数集A 和B ,如果按照某个对应关系f ,对于集合A 中的任何一个数x ,在集合B 中都存在唯一的数f (x )与之对应,那么就把对应关系f 叫作定义在集合A 上的函数,记作f :A →B 或y =f (x ),x ∈A ,此时x 叫作自变量,集合A 叫做函数的定义域,集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域.

(2)函数的三要素是:定义域、值域和对应关系. (3)表示函数的常用方法有:解析法、列表法和图像法. (4)分段函数

若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫作分段函数.

分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.

2.函数定义域的求法

类型 x 满足的条件 2n

f (x ),n ∈N *

f (x )≥0 1

f (x )

与[f (x )]0 f (x )≠0 log a f (x )

f (x )>0

四则运算组成的函数

各个函数定义域的交集

实际问题 使实际问题有意义

★练习

1.下列函数中,不满足f (2x )=2f (x )的是( ) (x )=|x | (x )=x -|x |(x )=x +1 (x )=-x

2.(2015·重庆卷)函数f (x )=log 2(x 2+2x -3)的定义域是( ) A.[-3,1]

B.(-3,1)

C.(-∞,-3]∪[1,+∞)

D.(-∞,-3)∪(1,+∞)

3.(2015·陕西卷)设f (x )=???1-x ,x ≥0,2x ,x <0,则f (f (-2))等于( )

A.-1

基础巩固题组

一、选择题

1.下图中可作为函数y =f (x )的图象的是( )

2.下列函数中,与函数y =13x

的定义域相同的函数为( )

=1

sin x

=ln x x

=x e x

=sin x x

3.设函数f (x )=????

?x 2+1,x ≤1,2x ,x >1,则f (f (3))等于( )

B.3

4..某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y =[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) =????

??

x 10 =??

????x +310=????

??

x +410 =??

??

??

x +510

二、填空题

6.函数f (x )=错误!的定义域为________.

7.已知函数f (x )=???3-x 2,x ∈[-1,2],

x -3,x ∈(2,5],

则方程f (x )=1的解为________.

第2节 函数的单调性与最大(小)值

1.函数的单调性 (1)单调函数的定义

增函数

减函数

定义

在函数y =f (x )的定义域内的一个区间A 上,如果对于任意两数x 1,x 2∈A

当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2),那么就说

函数f (x )在区间A 上是增加的

当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2),那么就说函数f (x )在区间A 上是减少的

续表

图像描述

自左向右看图像是上升的

自左向右看图像是下降的

1212①f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0?f (x )在[a ,b ]上是增函数;f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0?f (x )在[a ,b ]上是减函数.

②(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0?f (x )在[a ,b ]上是增函数;(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0?f (x )在[a ,b ]上是减函数.

(3)单调区间的定义:如果y =f (x )在区间A 上是增加的或是减少的,那么称A 为单调区间. 2.函数的最值 前提 函数y =f (x )的定义域为D

条件 (1)对于任意x ∈D ,都有f (x )≤M ; (2)存在x 0∈D ,使得f (x 0)=M

(3)对于任意x ∈D ,都有f (x )≥M ; (4)存在x 0∈D ,使得f (x 0)=M

结论

M 为最大值

M 为最小值

★练习

1.(2015·宜春调研)下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递减的是( )

=1

x -x

=x 2-=ln x -x =e x -x

2.数f (x )=lg x 2的单调递减区间是______. 3f (x )=

2

x -1

,x ∈[2,6],则f (x )的最大值为________,最小值为________. 基础巩固题组

一、选择题

1.(2015·九江模拟)下列四个函数中,在区间(0,1)上是减函数的是( ) =log 2x

==-? ??

??12x

=1x

2.已知函数f (x )=2ax 2+4(a -3)x +5在区间(-∞,3)上是减函数,则a 的取值范围是( )

3.函数f (x )=log 1

2(x 2-4)的单调递增区间为( ) A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(2,+∞) D.(-∞,-2)

二、填空题

4.(2015·中山质检)y =-x 2+2|x |+3的单调增区间为________.

5.已知函数f (x )为(0,+∞)上的增函数,若f (a 2-a )>f (a +3),则实数a 的取值范围为________.

第3节 函数的奇偶性与周期性

1.奇函数、偶函数

图像关于原点对称的函数叫作奇函数.图像关于y 轴对称的函数叫作偶函数.

2.奇(偶)函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”). (2)在公共定义域内

①两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数. ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.

③一个奇函数,一个偶函数的积函数是奇函数. (3)若函数f (x )是奇函数且在x =0处有定义,则f (0)=0.

3.周期性

(1)周期函数:对于函数y =f (x ),如果存在非零常数T ,对定义域内的任意一个x 值,都有f (x +T )=f (x ),就把f (x )称为周期函数,称T 为这个函数的周期.

(2)最小正周期:如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.

★练习

1.(2015·广东卷)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) =x +sin 2x

=x 2-cos x =2x +1

2x

=x 2+sin x

2.已知f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数,那么a +b 的值是( ) A.-13

D.-12

3.(2014·四川卷)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时,f (x )=???-4x 2+2,-1≤x <0,x ,0≤x <1,

则f ? ????32=________.

4.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x (1+x ),则x <0时,f (x )=________.

基础巩固题组

一、选择题

1.(2015·吉安二检)下列函数为偶函数的是( ) =sin x

=ln(x 2+1-x )=e x

=ln x 2+1

2.(2015·石家庄模拟)设函数f (x )为偶函数,当x ∈(0,+∞)时,f (x )=log 2x , 则f (-2)=( ) A.-1

2

D.-2

3.(2014·福建卷)已知函数f (x )=???x 2+1,x >0,

cos x ,x ≤0,则下列结论正确的是( )

(x )是偶函数 (x )是增函数

(x )是周期函数

(x )的值域为[-1,+∞)

4.(2015·沈阳质量监测)已知函数f (x )=x 2+x +1x 2+1,若f (a )=2

3,则f (-a )=( )

B.-23

D.-43

二、填空题

5.函数f (x )在R 上为奇函数,且x >0时,f (x )=x +1,则当x <0时,f (x )=________.

第三讲 基本初等函数及其性质

第1节 二次函数性质的再研究与幂函数

1.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式:

①一般式:f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0).②顶点式:f (x )=a (x -m )2+n (a ≠0).③零点式:f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0). (2)二次函数的图象和性质

解析式 f (x )=ax 2+bx +c (a >0) f (x )=ax 2+bx +c (a <0)

图象

定义域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) 值域

??????4ac -b 2

4a ,+∞ ?

?

???-∞,4ac -b 2

4a

单调性

在? ?

?

??-∞,-b 2a 上单调递减; 在? ?

?

??-∞,-b 2a 上单调递增;

在????

??

-b 2a ,+∞上单调递增 在????

??

-b 2a ,+∞上单调递减 对称性 函数的图象关于x =-b

2a 对称

(1)幂函数的定义“”如果一个函数,底数是自变量x ,指数是常量α,即y =x α,这样的函数称为幂函数.

(2)常见的5种幂函数的图象

(3)常见的5种幂函数的性质

特征 函数 性质

y =x y =x 2 y =x 3 y =x 12

y =x -1 定义域 R R R [0,+∞) {x |x ∈R , 且x ≠0} 值域 R [0,+∞)

R

[0,+∞) {y |y ∈R , 且y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增

(-∞,0]减, [0,+∞)增

增 增

(-∞,0)减, (0,+∞)减 定点

(0,0),(1,1)

(1,1)

★课前练习

1.函数y =1

2x 2-5x +1的对称轴和顶点坐标分别是( ) =5,? ?

?

??5,-232

=-5,? ????-5,232=5,? ?

?

??-5,232

=-5,? ?

?

??5,-232

2.已知f (x )=x 2+px +q 满足f (1)=f (2)=0,则f (-1)的值是( )

B.-5

D.-6

3.在同一坐标系内,函数y =x a (a ≠0)和y =ax +1

a 的图象可能是( )

4.已知幂函数y =f (x )的图象过点? ????

2,22,则此函数的解析式为________;在区

间________上递减.

基础巩固题组

一、选择题

1.二次函数y =-x 2+4x +t 图象的顶点在x 轴上,则t 的值是( ) A.-4

B.4

C.-2

2.若a <0,则0.5a ,5a ,5-a 的大小关系是( )

-a

<5a <0.5a

B.5a <0.5a <5-a

C.0.5a <5-a <5a

D.5a <5-a <0.5a

3.(2015·汉中模拟)如果函数f (x )=x 2-ax -3在区间(-∞,4]上单调递减,则实数a 满足的条件是( ) ≥8

≤8

≥4

≥-4

4若二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足f (x 1)=f (x 2),则f (x 1+x 2)等于( ) A.-b

2a

B.-b a

5..已知函数f (x )=x 2+2ax +3,x ∈[-4,6]. (1)当a =-2时,求f (x )的最值;

(2)求实数a 的取值范围,使y =f (x )在区间[-4,6]上是单调函数.

第2节 指数与指数函数

1.根式:(1)概念:式子n

a 叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数. (2)性质:(n a )n =a (a 使n a 有意义);当n 为奇数时,n

a n =a ,

当n为偶数时,n

a n=|a|=

?

?

?a,a≥0,

-a,a<0.

2.分数指数幂

(1)规定:正数的正分数指数幂的意义是a m

n=

n

a m(a>0,m,n∈N*,且n>

1);正数的负分数指数幂的意义是a-m

n=

1

n

a m

(a>0,m,n∈N*,且n>1);0

的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.

(2)有理指数幂的运算性质:a r a s=a r+s;(a r)s=a rs;(ab)r=a r b r,其中a>0,b>0,r,s∈Q.

3.指数函数的图象与性质

a>10<a<1

图象

定义域R

值域 (0,+∞)

性质

过定点(0,1),即x=0时,y=1

当x>0时,y>1;

当x<0时,0<y<1

当x<0时,y>1;

当x>0时,0<y<1 在(-∞,+∞)上是增函数在(-∞,+∞)上是减函数

★课前练习

1.下列运算中,正确的是()

·a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6 2.(2015·山东卷)设a=,b=,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是() <b<c<c<b <a<c<c<a

3.已知0≤x≤2,则y=4x-1

2-3·2

x+5的最大值为______.

基础巩固题组

一、选择题

1.函数f (x )=a x -2+1(a >0,且a ≠1)的图象必经过点( ) A.(0,1)

B.(1,1)

C.(2,0)

D.(2,2)

2.函数f (x )=1-2x 的定义域是( ) A.(-∞,0]

B.[0,+∞)

C.(-∞,0)

D.(-∞,+∞)

3..函数y =xa x

|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )

4.若函数f (x )=a |2x -

4|(a >0,且a ≠1),满足f (1)=19,则f (x )的单调递减区间是( ) A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]

二、填空题

-34+log 354+log 34

5=________.

6.已知函数f (x )=a -x (a >0,且a ≠1),且f (-2)>f (-3),则a 的取值范围是________.

第三节 对数与对数函数

1.对数的概念

一般地,如果a (a >0,a ≠1)的b 次幂等于N ,即a b =N ,那么数b 叫作以a 为底N 的对数,记作log a N =b .其中a 叫作对数的底数,N 叫作真数.

2.对数的性质与运算性质

(1)对数的性质①a log a N =N ;②log a a N =N (a >0,且a ≠1);③零和负数没有对数.

(2)对数的运算性质(a>0,且a≠1,M>0,N>0)

①log a(M·N)=log a M+log a N ;②log a M

N=log a M-log a N;③log a M

n=

n log a M(n∈R). (3)对数的重要公式

①换底公式:log b N=log a N

log a b (a,b均大于零且不等于1);②log a b=

1

log b a,推广

log a b·log b c·log c d=log a d.

3.对数函数的图象与性质

a>10<a<1 图象

定义域(0,+∞)

值域R

性质

过点(1,0),即x=1时,y=0

当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<

当x>1时,y<0;当0<x<1

时,y>0

在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数

★练习

1.函数f(x)=log a(x+2)-2(a>0,且a≠1)的图象必过定点()

A.(1,0)

B.(1,-2)

C.(-1,-2)

D.(-1,-1)

2.(2015·浙江卷)计算:log2

2

2=______;2log23+log43=______.

3.函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.

4.若log a 3

4<1(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是________.

基础巩固题组

一、选择题

1.(2015·四川卷)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的()

A.充分必要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

2.若函数y=log a x( a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是()

3.已知b>0,log5b=a,lg b=c,5d=10,则下列等式一定成立的是()

=ac=cd =ad=a+c

4.若log a 3

5<1,则a的取值范围是()

∪(1,+∞)

5.(2015·萍乡调研)函数f(x)=log a(ax-3)在[1,3]上单调递增,则a的取值范围是()

A.(1,+∞)

B.(0,1)

C.(0,1

3) D.(3,+∞)

二、填空题

6.(2015·四川卷)lg +log216的值是________.

7.函数y=log 1

2(x

2-2x)的定义域是________;单调递减区间是________.

8.(2016·武汉调研)已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则满足不等式f(x)>0的x的取值范围是________.

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