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3-6 *关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论

二阶微分方程解法知识讲解

二阶微分方程解法

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的:使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点:二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程: 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程: 方程 y ''+py '+qy =0 称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数. 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解. 我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程 y ''+py '+qy =0 得 (r 2+pr +q )e rx =0. 由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解. 特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出. 特征方程的根与通解的关系: (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为,

函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又x r r x r x r e e e y y )(21212 1-==不是常数. 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+=. (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解. 这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r , 所以x r xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+=. (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α-i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α-i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得 y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ), y 2=e (α-i β)x =e αx (cos βx -i sin βx ), y 1+y 2=2e αx cos βx , )(2 1cos 21y y x e x +=βα, y 1-y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y i x e x -=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解. 可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解. 因此方程的通解为

二次微分方程的通解

教学目的:使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点:二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程: 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2 pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2 pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程 的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无 关的解 这是因为

函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0 )()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的 两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关 的实数形式的解 函数y 1e ( i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x ) (2 1cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x ) (21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为

二阶常微分方程的解法及其应用.

目录 1 引言 (1) 2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1) 2.1 特征方程法 (1) 2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2) 2.1.2 特征根有重根的情形 (2) 2.2 常数变异法 (4) 2.3 拉普拉斯变化法 (5) 3 常微分方程的简单应用 (6) 3.1 特征方程法 (7) 3.2 常数变异法 (9) 3.3 拉普拉斯变化法 (10) 4 总结及意义 (11) 参考文献 (12)

二阶常微分方程的解法及其应用 摘要:本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍,特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况,分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程,现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就,尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。应用常微分方程理论已经取得了很大的成就,但是,它的现有理论也还远远不能满足需要,还有待于进一步的发展,使这门学科的理论更加完善。 关键词:二阶常微分方程;特征分析法;常数变异法;拉普拉斯变换

METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Abstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect. Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 1 引言 数学发展的历史告诉我们,300年来数学分析是数学的首要分支,而微分方程

高阶线性微分方程常用解法介绍

高阶线性微分方程常用解法简介 关键词:高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中,线性微分方程是非常值得重视的一部分内容,这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚,而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础,它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程:1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= (1),其中()i a t (i=1,2,3,,n )及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数,如果 ()0f t ≡,则方程(1)变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= (2),称为n 阶齐次线性微分方程,而称一般方程(1)为n 阶非齐次线性微分方程,简称非齐次线性微分方程,并且把方程(2)叫做对应于方程(1)的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法,用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数,称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程,它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根,则应相应地方程(3)有如下n 个解:12,,,.n t t t e e e λλλ(5)我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关,从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数,则(5)是方程(3)的n 个线性无关的实值 解,而方程(3)的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根,则因方程的系数是实常数,复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根,则2i λαβ=-也是特征根,因而于这对共轭复根

二阶常微分方程解

第七节 二阶常系数线性微分方程 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构,二阶线性微分方程的求解问题,关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型,即二阶常系数线 性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐 §7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求 22dx y d +p dx dy +qy = 0 (7.1) 其中p 、q 是常数,由上节定理二知,要求方程(7.1)的通解,只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,y 2 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解, 从方程的形式上来看,它的特点是22 dx y d ,dx dy ,y 各乘 以常数因子后相加等于零,如果能找到一个函数y ,

其22dx y d ,dx dy ,y 之间只相差一个常数因子,这样的函 数有可能是方程(7.1)的特解,在初等函数中,指数函数e rx y =e rx (其中r 为待定常数) 将y =e rx ,dx dy =re rx ,22dx y d =r 2e rx 代入方程 (7.1) 得 r 2e rx +pre rx +qe rx = 0 或 e rx (r 2+pr +q )= 因为e rx ≠ 0 r 2 +pr +q = 由此可见,若 r r 2+pr +q = 0 (7.2) 的根,那么e rx 就是方程(7.1)的特解,于是方程(7.1)的求解问题,就转化为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1) 特征方程(7.2)是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r 1,r 2,称为特征根,由代数知识,特征根r 1,r 2 有三种可能的情况,下面 (1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根r 1,r 2,此时e r 1x ,e r2x 是方程(7.1)

二阶常微分方程解

二阶常微分方程解

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第七节 二阶常系数线性微分方程 的解法 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构,二阶线性微分方程的求解问题,关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型,即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。 §7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法 设给定一常系数二阶线性齐次方程为 ?? 22 dx y d +p dx dy +qy=0 (7.1) 其中p 、q 是常数,由上节定理二知,要求方程(7.1)的通解,只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,y2就可以了,下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解, 从方程的形式上来看,它的特点是22dx y d ,dx dy ,y 各乘以 常数因子后相加等于零,如果能找到一个函数y,其

22dx y d ,dx dy ,y之间只相差一个常数因子,这样的函数有可能是方程(7.1)的特解,在初等函数中,指数函数e rx ,符合上述要求,于是我们令 y=e r x (其中r 为待定常数)来试解 将y =e rx ,dx dy =re r x,22dx y d =r 2e r x 代入方程(7.1) 得 r 2e rx +pre rx +qerx =0 或 e r x(r 2+pr+q )=0 因为e rx ≠0,故得 ? r 2 +pr +q=0 由此可见,若r 是二次方程 ?? r 2+pr +q=0 (7.2) 的根,那么e r x就是方程(7.1)的特解,于是方程(7.1)的求解问题,就转化为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1)的特征方程。 特征方程(7.2)是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r 1,r 2,称为特征根,由代数知识,特征根r 1,r 2有三种可能的情况,下面我们分别进行讨论。 (1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根r 1, r 2,此时e r 1x ,e r2x 是方程(7.1)的两个特解。

二阶常系数齐次线性微分方程求解方法

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的:使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,了解二阶常系数 非齐次线性微分方程的解法 教学重点:二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程: 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为

函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111 =++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e (i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 2 2ie x sin x )(21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y e x (C 1cos x C 2sin x )

常微分方程考研讲义 一阶微分方程解的存在定理

第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路,掌握逐次逼近法,熟练 近似解的误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明,解对初值的连续性、可微性定理的 证明。 [教学方法] 讲授,实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路,解的延拓概念及延 拓条件,解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论,能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式,解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际,研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客 观规律,能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一 阶微分方程初等解法的几种类型,但是,大量的一阶方程一般是不能用初等解法 求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初 值问题的研究就显得十分重要,从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性,而讨论初值 问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位,是近代常微分方程定 性理论,稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 过点(0,0)的解就是不唯一,易知0 y=是方程过(0,0)的解,此外,容易验证,2 =或更一般地,函数 y x 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01 <<的任一数。 c ≤≤上的解,其中c是满足01 x

一阶常微分方程的解法

一阶常微分方程的解法 摘要:常微分方程是微积分学的重要组成部分,广泛用于具体问题的研究中,在整个数学中占有重要的地位。本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结,并举例加以分析了变量可分离方程,线性微分方程,积分因子,恰当微分方程,主要归纳了一阶微分方程的初等解法,并以典型例题加以说明。 关键词:变量分离;积分因子;非齐次微分方程;常数变易法 Solution of first-order differential equation Abstract: Differential equations, important parts of calculus, are widely used in the research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly summarizes the elementary solution of first order differential equations, and the typical examples to illustrate. Keywords: variable separation; integral factor; non-homogeneous differential equation; constant variation method 1. 引言 一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结,以及对变量分离,积分因子,微分方程等各类初等解法的简要分析,同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题,进行求解. 2. 一般变量分离 2.1 变量可分离方程 形如 ()()dy f x g y dx = (1.1) 或 1122()()()()M x N y dx M x N y dy = (1.2) 的方程,称为变量可分离方程。分别称(1.1)、(1.2)为显式变量可分离方程和 微分形式变量可分离方程[1] . (1) 显式变量可分离方程的解法 在方程(1.1)中, 若()0g y ≠,(1.1)变形为 ()() dy f x dx g y =

二阶常微分方程解

二阶常微分方程解 Document number:BGCG-0857-BTDO-0089-2022

第七节 二阶常系数线性微分方程 的解法 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构,二阶线性微分方程的求解问题,关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型,即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。 § 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法 设给定一常系数二阶线性齐次方程为 2 2dx y d +p dx dy +qy =0 其中p 、q 是常数,由上节定理二知,要求方程的通解,只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,y 2就可以了,下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程可能具有什么形式的特解,从方程的形式上来看,它 的特点是2 2dx y d ,dx dy ,y 各乘以常数因子后相加等于零,如果能找到一个函数y ,其2 2dx y d ,dx dy ,y 之间只相差一个常数因子,这样的函数有可能是方程的特解,在初等函数中,指数函数e rx ,符合上述要求,于是我们令 y =e rx (其中r 为待定常数)来试解

将y =e rx ,dx dy =re rx ,2 2dx y d =r 2 e rx 代入方程 得 r 2e rx +pre rx +qe rx =0 或 e rx (r 2 +pr +q )=0 因为e rx ≠0,故得 r 2+pr +q =0 由此可见,若r 是二次方程 r 2+pr +q =0 的根,那么e rx 就是方程的特解,于是方程的求解问题,就转化为求代数方程的根问题。称式为微分方程的特征方程。 特征方程是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r 1,r 2,称为特征根,由代数知识,特征根r 1,r 2有三种可能的情况,下面我们分别进行讨论。 (1)若特证方程有两个不相等的实根r 1,r 2,此时e r 1x ,e r2x 是方程的两个特解。 因为 x r x r 2 1e e =e x )r r (21-≠常数 所以e r1x ,e r2x 为线性无关函数,由解的结构定理知,方程的通解为 y =C 1e r1x +C 2e r2x (2)若特征方程有两个相等的实根r 1=r 2,此时p 2-4q =0,即 有r 1 =r 2 =2 p -,这样只能得到方程的一个特解y 1 =e r 1x ,因此,我

(整理)二阶常系数线性微分方程的解法word版.

第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1.解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)

的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,

常微分方程第三版答案2.2[1]1

习题2.2 求下列方程的解 1.dx dy =x y sin + 解: y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2.dt dx +3x=e t 2 解:原方程可化为: dt dx =-3x+e t 2 所以:x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3.dt ds =-s t cos +21t 2sin 解:s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4. dx dy n x x e y n x =- , n 为常数. 解:原方程可化为:dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5. dx dy +1212--y x x =0 解:原方程可化为:dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 21 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6. dx dy 234xy x x += 解:dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = d x d y =u dx du x + 因此:dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 (*) 将x y u =带入 (*)中 得:3433cx x y =-是原方程的解.

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明教学提纲

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明 来源:文都教育 在考研数学中,微分方程是一个重要的章节,每年必考,其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分,它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础,但很多同学对其求解公式不是十分理解,做题时也感到有些困惑,为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握,文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明,供考研的朋友们学习参考。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析 通解公式:设0y py qy '''++=,,p q 为常数,特征方程02=++q p λλ的特征根为 12,λλ,则 1)当12λλ≠且为实数时,通解为1212x x y C e C e λλ=+; 2)当12λλ=且为实数时,通解为1112x x y C e C xe λλ=+; 3)当12,i λλαβ=±时,通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+; 证:若02=++q p λλ的特征根为12,λλ,则1212(),p q λλλλ=-+ =,将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++= 212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=, 令2z y y λ'=-,则11110x dz z z z z c e dx λλλ'-=? =?=,于是121x y y c e λλ'-=,由一阶微分方程的通解公式得 221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----??=+=+?? (1)

二阶常微分方程的几种解法

二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法 一 公式解法 目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]: '''()y ay by f x ++=通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本 身的特解之和。微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。那么二阶常系数齐 次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系 数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。而由此产生的通解公式给出了该方程 通解的更一般的形式。 设二阶常系数线性非齐次方程为 '''()y ay by f x ++= (1) 这里b a 、都是常数。为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程 20k ak b ++= (2) 对特征方程的根分三种情况来讨论。 1 若特征方程有两个相异实根12k 、k 。则方程(1) 可以写成 '''1212()()y k k y k k y f x --+= 即 '''212()()()y k y k y k y f x ---= 记'2z y k y =- , 则(1) 可降为一阶方程 '1()z k z f x -=由一阶线性方程的通解公 ()()[()]p x dx p x dx y e Q x e dx c -? ?=+?[5] (3) 知其通解为 1130[()]x k x k t z e f t e dt c -=+?这里0()x h t dt ?表示积分之后的函数是以x 为自变量的。再由11230[()]x k x k t dy k y z e f t e dt c dx --==+? 解得

12212()()340012 [(())]k k x x u k x k k u e y e e f t dt du c c k k --=++-?? 应用分部积分法, 上式即为 1212212()()3400121212 1[()()]k k x k k x x x k x k t k t e e y e f t e dt f t e dt c c k k k k k k ----=-++---?? 1122121200 121[()()]x x k x k t k x k t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-?? (4) 2 若特征方程有重根k , 这时方程为 '''22()y ky k y f x -+=或'''()()()y ky k y ky f x ---= 由公式(3) 得到 '10[()]x kx kt y ky e e f t dt c --=+? 再改写为 '10()x kx kx kt e y ke y e f t dt c ----=+? 即10()()x kx kt d e y e f t dt c dx --=+? 故120()()x kx kt kx kx y e x t e f t dt c xe c e -=-++? (5) 例1 求解方程'''256x y y y xe -+= 解 这里2560k k -+= 的两个实根是2 , 3 2()x f x xe =.由公式(4) 得到方程的解是 33222232 1200x x x t t x t t x x y e e te dt e e te dt c e c e --=-++?? 32321200x x x t x x x e te dt e tdt c e c e -=-++?? 2 232132x x x x x e c e c e ??=--++???? 这里321c c =-. 例2 求解方程'''2ln x y y y e x -+=

二阶常微分方程的降阶解法

郑州航空工业管理学院 毕业论文(设计) 2015届数学与应用数学专业1111062班级 题目二阶常微分方程的降阶解法 姓名贾静静学号111106213 指导教师程春蕊职称讲师 2015年4月5号

二阶常微分方程的降阶解法 摘要 常微分方程是数学领域的一个非常重要的课题,并在实践中广泛于解决问题,分析模型。常微分方程在微分理论中占据首要位置,普遍应用在工程应用、科学研究以及物理学方面,不少应用范例都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。而正常情况下,常系数微分方程依据线性常微分方程的日常理论是可以求解的.不过对于变系数二阶线性常微分方程的求解却有一定程度的困难,迄今为止还没有一个行之有效的普遍方法。 本文主要考虑了二阶常系数线性微分方程的降阶法。关于二阶常系数线性微分方程的求解问题,首先,我们给出二阶齐次常系数线性微分方程的特征方程,并求解出特征方程的两个特征根;其次,利用积分因子乘以微分方程和导数的运算,将二阶常系数线性微分方程化为一阶微分形式;最后,将一阶微分形式两边同时积分,求解一阶线性微分方程,可求得二阶常系数线性微分方程的一个特解或通解。关于二阶变系数齐次线性微分方程的求解问题,化为恰当方程通过降阶法求解二阶齐次变系数微分方程的通解。对于非齐次线性微分方程,只需再运用常数变易法求出它的一个特解,问题也就相应地解决了。 关键词 二阶常微分方程;降阶法;特征根;常数变易法;一阶微分形式

Order reduction method of second order ordinary differential equations Jingjing Jia Chunrui Cheng 111106213 Abstract Ordinary differential equation is a very important topic in the field of mathematics, it has been widely used in solving the problem and analyzing model in practice . Ordinary differential equations in the theory of differential occupied first place, it has been widely used in engineering application and scientific research as well as physics, many application examples are attributed to second order linear ordinary differential equation solving problem. And under normal circumstances,ordinary coefficient differential equation on the basis of the linear often daily theory of differential equations is can be solved. But for the solution for variable coefficient second order linear ordinary differential equations have a certain degree of difficulty, so far we haven't a well-established general method. This paper mainly introduces the method of reduction of order two order linear differential equation with constant coefficients.On the problem of solving the linear differential equation with two order constant coefficients,first, we give homogeneous ordinary coefficient linear differential equation of the characteristic equation and solve the two characteristic roots of characteristic equation;secondly,we should use the integral factor times differential equation and derivative operation and turn two order constant

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