2014中考高分冲刺四 基本图形性质与功能的再认识
所有几何图形问题的解决，几乎都要回归到基本图形的性质，而能否得心应手地运用基本图形，则要靠以下两点：第一点，对基本图形性质掌握的深刻程度；第二点，基本图形的各性质都是以怎样的方式发挥着作用的。
正是为了帮助同学们学好、用好这两点，我们特将最重要的一些基本图形性质与功能加以梳理和解析，以便为各类几何图形问题的解决打下牢固的基础。 一、线段的性质和线段中点的功能 应掌握好：
1、线段的两种变换性质；
2、线段中点的三项功能。
1、线段的变换性质
从“变换”的角度说，线段既是轴对称图形（它所在的直线和它的垂直平分线都是对称轴），又是中心对称图形（中点就是对称中心）
例1 如图，ABC ?是任意三角形，请画出BC A '?和ABC ?具有全等的关系。
【观察与思考】如果把要画的BC A '?看作是由ABC ?变换而来的，那么这个变换使线段BC 变成自身，联想到线段的变换性质，就应有三种结果。
（1） （2） 解：如图（2）（其中直线1l 是BC 所在的直线，点1A 为点A 关于直线1l 的对称点；直线2l 是线段BC 的垂直平分线，点2A 为点A 关于直线2l 的对称点；点O 是线段BC 的中点，点3A 和点A 关于点O 为对称。BC A BC A BC A 321,,???都和ABC ?全等。
【证明】正是线段的变换性质成为本题解法的基础和向导的。
2、线段中点的三项功能
（1）构造三角形的中线，特别是直角三角形的中线
三角形的中线，特别是直角三角形斜边上的中线，在相关问题的解决中常有重要的作用。
例2 如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AG//DB ，交CB 延长线于点G 。 若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论。
【观察与思考】首先，由，GB//AD ，AG//DB ，知四边形AGBD 已是平行四边形，其次，
B A C
A B
C 1A 3A
O 1l
2l 2A
DE=EB=AE ，立刻知道?=∠90ADB ，即四边形AGBD 是矩形。 解：（略）
【说明】正是由对直角三角形斜边上中线性质的深刻认识，直接诱发出 从DE=EB=AE ，导出?=∠90ADB 。
（2）构造三角形的中位线
例3 如图（1），已知，AD 是ABC ?的中线，E 是AD 上一点，连结CE 并延长交AB 于点F 。
（1）若E 是AD 的中点，则
=BF
AF ； （2）若AE ：ED 则
，21==BF AF
； （3）若AE ：ED n 1=，则
=BF
AF
； （1）
【观察与思考】（1）如图（2），作DM//CF ，交AB 于点M ，EF 为ADM ?的中位线，得AF=FM ， DM 为BCF ?的中位线，得BM=MF 。可知AF 2
1
=
FB 。
（2）如图（3），作DM//CF ，交AB 于点M ，易知，AFE ?∽ADM ?,
得
21==ED AE FM AF 。又DM 为BCF ?的中位线，得DM=FM ，4
1
2==FM AF BF AF （2）
（3）类比于（1）和（2），应有
n
BF AF 21
=（其实可有与（2）类似的推演过程）
【说明】本题解决的关键就在于构造出BCF ?的中位线DM 。
（3）构造中心对称图形
线段的中点是该线段的对称中心，这一性质的延伸，就是以它为基础作“中心对称构造” （3）
（特别是中心对称型 全等三角形）来使相关问题获得解决。
例4 已知，如图D 是ABC ?的边BA 延长线上一点，有AD=BA ，E 是边AC 上一点，且DE=BC 求证：C DEA ∠=∠
A
B
D
C E
F
B
A
D C
E
F M B
A
D C
E F
M C
解法提示：如下面图（1），（2），（3）。
（2） （3） （1）
方法一：如图（1），延长CA 到F ，使FA=CA ，连结FD ，有ACB AFD ???，DF=BC=DE ，得DEA F C ∠=∠=∠
方法二：如图（2），分别作CA DN ⊥交CA 的延长线于N ，,CA BM ⊥垂足为M ，则有,BAM Rt DAN Rt ???得，DN=BN ，进而推得CBM EDN Rt ???，得C DEA ∠=∠
方法三：如图（3）延长CA 到G ，使得AG=EA ，则,B GA DE A ???得,G DEA ∠=∠再由BG=DE=BC ，得C G DEA ∠=∠=∠。
特别说明：我们借助基本图形的变换性质，能更好更快地发现图形或图形元素之间的关系，但要证明还需要按教材上的演绎形式来论述。简单说就是“借变换发现，按原格式证明”。本书均按此方式来做，以后不再重申。
例5 操作： 如图，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与线段MN 相交于点O ，利用图（1）画出一对以点O 为对称中心的全等三角形。
根据上述操作得到的经验完成下列探究活动。
（1）
（2）
探究：如图（2），在四边形ABCD 中，AB//CD ，E 为BC 边的中点，AF EAF BAE ,∠=∠与DC 的延长线相交于点F ，试探究线段AB 与AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论。
【观察与思考】对于图（1），只要在直线PQ 上点O 的两侧分别取点E ，F 使OE=OF ，就有ONF OME ?（图略）对于图（2），延长AE 到G ，使EG=EA ，连结CG ，如图（2`）。由“操作”的结论可知GCE ABE ???， 得AB=GC ，,GCB ABC ∠=∠即CG//AB ，而CF//AB ，可知点F 在GC 上，而由GAF BAG G ∠=∠=∠，得AF=GF 。A
B C E D F A
B C
E D N M A B C E
D G M
N
P Q
O
A
B
E C
D
F
解：（略）
（2`）
由以上题目的解法研究看出：
凡是涉及线段（包括多边形的边）及其中点的的问题，应注意从线段的变换性质和它的中点的三项功能考虑。
二、角平分线的功能
角平分线主要功能有：
1、以角平分线的对称性质作轴对称构造；
2、角平分线与平行线结合构造出等腰三角形。
1、角平分线所在直线为轴构造轴对称图形
角平分线最重要的性质是它所在直线为“角”这个图形的对称轴，其他的性质都可以看作是由此导出的。因此，遇有角平分线的问题时，首先应当想到它的轴对称功能。
例1 如图，在ABC ?中，?=∠60ABC ，AD ，CE 分别为ACB BAC ∠∠,的平分线，求证：AC=AE+CD 【观察与思考】根据角平分线轴对称功能，首先想到在AC 上作出AE 关于AD 的 的对称图形AF （如图（2）），进而希望有CF 和CD 也关于CE 对称，这就引导我们 获取了如下的证法。
证明：取AC 上的点F ，使AF=AE ，连结OF 。
在AOE AOF ??和中，AF=AE ，AO 公用，EAO ，FAO ∠=∠ （1） AOE 。AOF AOE ，AOF ∠=∠∴???∴
又因为
?
=?-?-?=∠-?-?=∠+∠-?=∠1206018021
180180211802
1
180）（B ）（ACB ）
BAC （AOC
（2）
?=∠=∠∴60AOF AOE
在COD COF ??和中CO 公用。COD AOE AOF AOC FOC DCO FCO ∠=∠=?=∠-∠=∠∠=∠60,
CD CF COD COF =∴???∴,。 CD AE CF AF AC +=+=∴
A B E
C G F
D A B C
D
E O A
B
C
D
E
O F
【说明】本题的关键步骤就是以“角平分线的轴对称功能”为基础去构造全等三角形。
例 2 如图，已知点A （0，1）是y 轴上一个定点，点B 是x 轴上一个动点，以AB 为边，在OAB ∠外部作
,OAB BAE ∠=∠过点B 作,AB BC ⊥交AE 于点C ，设点C 的坐标为（y x ,），当点B 在x 轴上运动时，求y 关
于x 的函数关系式。
【观察与思考】先从几何图形的角度来看y x ,，为此作x CD ⊥轴 于点D （如图（2）），当点B 在x 的正半轴上时，,,CD y OD x ==现 考虑CD 与OD 之间的函数关系式。
再由AB 为OAE ∠的平分线，沿着它是对称轴思考：若作CB 的延长线交y 轴于'C ，由,AB CB ⊥可知B C '和CB 关于AB 对称，即B 为C C '的中点，再结合x CD ⊥轴，x O C ⊥'轴，则OB C CDB ’??和关于点B 为中心对称，得y CD OC ==‘，x OD OB 2
1
21==。再由AOB BOC ??和'的相似关系即可导出欲求的函数关系式。
解：作x CD ⊥轴于点D ，延长CB ，交y 轴于点'C ，则x OD y CD ==,
OAE AB ∠是 的平分线，且''ABC ABC Rt AB ，
CC ???∴⊥，得'BC BC =。 （2）
在OB C CDB ‘??和中，）AC CD B （OC DCB BO ，C CBD ’//‘’ ∠=∠∠=∠ B C CB ’=
x OD DB OB y CD O C OB ，C CDB 2
1
21,’‘==
===∴???∴。 在BAO BO C ，AOB Rt BOC Rt ∠=∠??‘'中和（同为ABO ∠的余角）。
'BOC Rt ?∴∽Rt ,AOB ? 得x y
x
OB OA OC OB 2
11
21
,'=
=即， 24
1
x y =∴。
容易知道，这个关系在0=x 和x 取负数值时，也是成立的。
可以看出：不论在什么样的综合题中，角平分线的“轴对称功能”，都常是解法获得的有力指导，因此，应当时刻注意发挥角平分线这一功能的重要作用。
x
y
O
A
B
E
C
x
y
O
A
B E
C 'C
D
我们知道，若OP 是AOB ∠的平分线，则与OA 平行，与OB 平行，与OP 平行的直线，就会分别与另外两直线相交出等腰三角形来：即
情形一，与OA 平行的直线MN 和OB ，OP 所在的直线相交如图（1）和（2）：
（1）MN 和OB ，OP 交出等腰三角形COD ，（2）MN 和OP ，OB 的反向延长线交出等腰三角形COD ， 其中CO=CD 。（213∠=∠=∠ ） 其中CO=CD 。（4123∠=∠=∠=∠ ）
情形二，与OP 平行的直线MN 和OA ，OB 所在的直线相交如图（3）和（4）
（3）MN 和OB 的反向延长线及OA 交出等腰三角形 （4）MN 和OA 的反向延长线及OB 交出等腰三角形 DCO ，其中OC=OD ，（4213∠=∠=∠=∠ ） OCD ，其中OC=OD 。（4213∠=∠=∠=∠ ）
情形三，与OB 平行的直线MN 和OA ，OP 所在的直线相交，与情形一完全类似，也可得两种形式的等腰三角形。 由此可知：
①角平分线除了造出“等角之外”，它在许多情况下还可以造出“等边”。
②平行四边形（包括菱形，矩形，正方形）和梯形，本身就有平行线，因此，当这些图形中再有角平分线时（菱形的对角形已经是角平分线），必然就会形成等腰三角形，这对解决许多相关问题提供了依据。
角平分线这一功能有许多应用，如下边的例子；
例3 如图（1），在平行四边形ABCD 中，线段AE ，BF 分别平分ABC DAB ∠∠和，交CD 于点E ，F ，线段AE ，BF 相交于点M 。 （1）试说明：BF AE ⊥；
（2）判断线段DF 与CE 的大小关系，并予以说明。
O B P A
M
N C
D 1
2
3 1 B P A
O 2
C N
M D 3 4 O B P N M A D C 2 1 3
4 O B
P A
N M C D 1
2 2 4 C D F E
【观察与思考】注意到平行四边形对边平行和角平分线的功能，解法易得。 解：（1）?=∠+∠=∠+∠=
∠+∠90)(2
1
2121ABC DAB ABC DAB MBA MAB BF AE AMB ⊥∴?=?-?=∠∴.9090180。
（2）有结论：DF=CE ，理由如下：
在DAE ?中，DA DE DEA BAE DAE =∴∠=∠=∠,。 同理有CF=CB 。
CE EF CF EF DE DF CF CB DA DE =-=-=∴===∴.
由以上的例题可以看出：
当题目中有直接给出或隐含的角平分线条件时，除了构成等角外，还应特别注意从角平分线两个方面的功能来分析和认识图形：
Ⅰ。以角平分线为轴，构成怎样的对称图形？
Ⅱ。以角平分线和平行线结合，构成怎样的等腰三角形？思考若以这样的功能作指导，大都会导到问题的恰当的解决方法。
三、等腰三角形的变换性质 等腰三角形具有这样的变换性质 1、等腰三角形是轴对称图形；
2、等腰三角形两腰绕顶点的旋转重合性。
1、等腰三角形的轴对称图形
等腰三角形是以底边上的中线（底边上的高线，顶角的平分线）所在的直线为轴对称的。如图（1）
凡是涉及等腰三角形的问题，都首先应当沿着“轴对称”这一特征去分析，去认识，去寻找解决的方法。
（1）
（2）
例1 如图（2），ABC ?中，AB=AC ，过A 作GE//BC ，角平分线BD ，CF 相交于点H ，它们的延长线分别与GE 交于点E ，G ，试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明。
【观察与思考】找全等三角形，实际上是去找图中关于ABC ?的对称轴（尽管没有把它画出来）为对称的三角形。
解：全等的三角形有：;;;ADE AFG ACG ABE ACF ABD ?????????
DCB FBC HDC HFB ??????;
A C
B A
G E H F D
B C
在CDB BCF ??和中，BC 公用， BCD CBF ∠=∠，
CBD ，CBF BCD BCF ∠=∠=∠=
∠2
1
21 CD BF CBD 。BCF =∴???∴。 在ADE AFG ??和中，
E EBC GCB G EAD ，ACB ABC GA
F ∠=∠=∠=∠∠=∠=∠=∠， AF=AB-BF=AC-CD=AD ，
ADE AFG ???∴。
【说明】三角形全等本来只是图形“形状和大小”的问题，现在，在等腰三角形这一特殊（轴对称）背景下，可以借助于“位置的对称”来寻找和认识它们，这就为我们研究和利用它们提供了一个新的视角，新的途径，无疑是非常有帮助的。
例2 如图（1），ABC ?中，AB=AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF//AB ，连结BP 并延长，交AC 于点E ，交CF 于点F 。
求证：PF PE BP ?=2
（1） （1`）
【观察与思考】若作PB 关于AD 的对称线段PC ，则PC=PB ，而易知PCE ?∽PFC ?，可使问题获解。
证明：连结PC （如图（1`））
在ACP APB ??和中，AP 公用，AB=AC ，CAP BAP ∠=∠， ACP ABP CP ，BP ACP ，APB =∠=∴???∴且。 在F ABP PCE FPC ，CPE ，PFC PCE ∠=∠=∠∠=∠??中和
PCE ?∴∽PFC ?， PF PE PB PF ，PE PC PC
PE PF PC ?=?=∴=∴22即。
【说明】可以看出，当问题的基本背景为等腰三角形时，以该三角形的对称轴去探索问题的解决途径，常常是很有效的。
2、等腰三角形的“两腰的旋转重合性”
如图，在等腰三角形ABC 中，若顶角α=∠BAC ，则显然有：
腰AB 与腰AC 重合，反之有
A B C D F E
P A B C D F E P 绕点A 逆时针 旋转α A α
腰AC 与腰AB 重合。
等腰三角形这一特征，我们称之为等腰三角形“两腰的旋转重合性”，等腰三角形的这一特征，也是解决某结与等腰三角形相关问题的向导。
例3 如图（1），ABC ?是等边三角形，BDC ?是顶角?=∠120BDC 的等腰三角形，以D 为顶点作 60°的角，它的两边分别与AB ，AC 交于点M 和N ，连结MN 。 （1）探究：NC MN BM ,,之间的关系，并加以证明；
（2）若点M ，N 分别在射线AB ，CA 上，其他条件不变，再探究线段BM ，MN ，NC 之间的关系，在图（2）中画出相应的图形，并就结论说明理由。
（1）
（2）
【观察与思考】对于（1），这时在DMB ?中，有?=?+?=∠+∠=∠906030CBA DBC DBM 为了把BM ，MN ，NC 集中到一个三角形中去，
作： DMB ? DGC ?（如图（1`），从而有MB=GC ，而此时恰又有GND MND ??，
得BM NC CG NC NG MN +=+==。
（2`） （1`）
对于（2），此时的图形（2`），仍作（1）中的的旋转，类似地可以推得MN=CN —BM
解：（1）关系为MN=BM+NC 。
证明：延长AC 到G ，使CG=BM ，连结DG ，如图（2`）
?=+?=∠+∠=∠903060CBD ABC ABD 。同理也有?=∠90ACD 。 在DC ，DB DGC Rt DMB Rt =??中和，BM=CG 。
GDC MDB DG DM DGC Rt DMB Rt ∠=∠=∴???∴,, A B C D
A B C D N M 绕点D 顺时针
旋转?120角 C D A B M
N
C
D A
B
M N G
在GND MND ??和中，ND 公用，DM=DG ，?=∠60MDN ?=∠+∠=∠+∠=∠60CDN MDB CDN GDC GDN 。
NC BM NC GC GN MN GND ，MND +=+==∴???∴。
（2）此时，图形如图（2`），有关系式：MN=CN —BM 。理由如下： 在CN 上截取CG=BM ，连结DG ，如图（2`）。
与（1）中情况类似，可推得GDC MDB DG ，DM DGC Rt DMB Rt ，ACD ABD ∠=∠=????=∠=∠得且,90 仍与（1）中情况类似，可推得BM NC CG NC GN MN GND MND -=-==??就有,。
【说明】由本题可以看出，恰当地运用等腰三角形的“两腰的旋转重合性”，可在一定的条件下实现图形 （线段、角）的“转移”，从而使问题解决。
当题目背景为等腰三角形时，应注意充分运用其“轴对称性”和“两腰的旋转重合性”。
四、等边三角形的变换性质
等边三角形是特殊的等腰三角形，因而具有轴对称性，且有三条对称轴，但是，等边三角形具有更为特殊的变换性质，并更多地成为相关问题展开的焦点，那么，充分运用这些变换性质，便成为打开相关问题解决之门的钥匙。
等边三角形具有如下的变换性质
1、它是轴对称图形（有三条对称轴）；
2、它是绕中心的?120的旋转对称图形；
3、它的两邻边具有60°旋转重合性；
1、等边三角形的“?120的旋转对称性”
如果一个图形沿某一条直线作轴对称图形与它本身重合，就称这个图形为轴对称图形，完全类似地，如果一个图形以某一点为中心旋转α角（?<
可以知道，任意的等边三角形ABC ，以它的中心O （三条中线的交点，也即中心、内心、垂心、外心）为中心旋转?120，就与自身重合，所以，“等边三角形是?120的旋转对称图形。”如图
重合于等边三角形BCA ，等边三角形的这一变换性质，可以帮助
我们更好地发现与找到许多问题的解决方法。
例1 如图（1），扇形DOE 的圆心角为120°，等边三角形ABC 的中心恰好为扇形 DOE 的圆心O ，且点B 在
扇形DOE 内
（1）请连结OA ，OB ，并证明BOG AOF ???；
（2）求证：ABC ?与扇形DOE 重叠部分的面积等于ABC ?面积的3
1。 ABC ?
绕点O 顺（逆）时针
旋转120°角
A B C O
A O C B
D
F
（1）
【 观察与思考】注意到点O 为等边三角形ABC 的中心，而FOG ∠恰为120°，即
重合于OG 。因此， （1）有AOF ? 重合于BOG ?。
（2）由（1）的结论可推得。
【证明】（1）连结OA ，OB （如图（1`）。 点O 是等边ABC ?的中心，
?=?
=
∠?=∠=∠=1203
360,30,AOB OBG OAF OB OA 。 又知BOG BOF FOG BOF AOB AOF FOG ∠=∠-∠=∠-∠=∠∴?=∠,120。
BOG AOF ???∴。
（2）ABC OAB OAF OFB OBG OFB OFBG S S S S S S S ??????=
=+=+=3
1
四边形
【说明】由本题的结论及其推导过程可以进一步概括出：在等边三角形ABC 中，
①任意顶点在ABC ?的中心的120°的角的两边，截下的ABC ?的部分的面积，都等于ABC ?面积的
3
1。 ②任意以ABC ?的中心O 为端点的射线（如上图中的OD ），以O 为中心旋转120°以后（如上图中的OE ），与ABC
?的边交出的对应线段有着同样的旋转对称关系，当然也就相等（如上图中OF=OG ，AF=BG ，BF=CG ）。
例2 如图，已知，点D 是边长为1的等边三角形ABC 的内心，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，且满足?=∠60EDF 。求AEF ?的周长。
【观察与思考】AEF ?的三边的长不可能通过分别计算求得，因此，第一个想法 就是把它的三条边等长转化到同一条直线上，利用等边三角形120°的旋转对称性，
先把AF 转化到AB 上，为此，如图（1`），连结DA （注意到点D 就是ABC ?的中心） （1）
作变换： 重合到BDG ?。 当然就有AF=BG 。在这种情况下，又诱发我们看到DEG DEF ???，
即有EF=EG ，这时就可以看出，AEF ?的周长应当等于ABC ?的一条边长。 （1`）
解：如图（1`），连结DA ，DB ，并在BA 上截取BG=AF ，连结DG ，
在BDG ADF ???中， ?=∠=∠==30,,DBG DAF BD AD BG AF （因为D 为ABC ?的内心）
OF 绕点O 逆时针 旋转120°角
绕点O 逆时针 旋转120°角 A O C B E
D G
F A
B C D
F E
A B C D F
E G
?ADF
绕点D 逆时针 旋转120°角
.,,BDG ADF DG DF BDG ADF ∠=∠=∴???
在DEG DEF ??和中，DE 公用，DF=DG ，?=∠60EDF ，而 BDG ADE ADB EDG ∠-∠-∠=∠
()?=?-?=∠-?=∠+∠-?=6060120120120EDF ADF ADE
EG EF DEG ，DEF =∴???∴
∴AEF ?的周长1==++=++=AB BG EG AE AF EF AE
【说明】正是等边三角形的120°的旋转对称性，启发了整个的解题思路和辅助线的作法。
2、等边三角形“两邻边的60°旋转重合性。
因为等边三角形的每个角都是60°，且三边相等，所以，以其一个顶点（如图的A ）为中心，将过该顶点的一条边（如AB ）沿适当的方向旋转60°（如这里逆时针旋转60°）就能与顶点的另一条边（如AC ）重合。
等边三角形的这一性质，我们可称之为等边三角形“两邻边的60°旋转重合性”。 这一性质，在不少与等边三角形相关的题目中，也有关着很重要的作用。 例3 如图，已知AD 和BC 相交于点O ，且OCD OAB ??和均为等边三角形， 以为边作和OB OD 平行四边形ODEB ，连结AC ，AE 和CE 。
求证：ACE ?也是等边三角形 【观察与思考】借助于等边三角形“两邻边的60°旋转重合性”，容易发现：
Ⅰ、 重合于ABE ?；
Ⅱ、 重合于EDC ?。
由以上旋转重合中任选一个，都不难使本题获解。 证明方法一：在ABE AOC ??和中，
AB ，AO =ABE OBE ABO COD ABO AOC BE ，OD OC ∠=∠+∠=∠+∠=?=∠==120， EAB CAO AE ，AC ABE ，AOC ∠=∠=∴???∴。
又?=∠=∠+∠=∠+∠=∠60OAB OAE EAB OAE CAO CAE ACE ?∴是等边三角形。
方法二：通过证AOC ?和EDC ?全等，请同学们自己完成。
【说明】由上例进一步看出，熟悉并善于运用等边三角形“两邻边的60°旋转重合性”，能更快速、更准确地发现与等边三角形相关问题中的全等关系，进而解决许多有关的问题。
以等边三角形为背景的题目，绝大部分是依以上三种变换性质展开或衍生的。因此，依这三种变换性质去寻找解法，既是正路，也是捷径。 A B
C
O B
E
D
C A O AOC ?
绕A 沿逆时针方向 旋转60°
AOC ? 绕C 沿顺时针方向 旋转60°
五、等腰直角三角形的变换性质
从变换的视角来看，等腰直角三角形有如下的三种特征：
特征一：它是以斜边上的中线所在直线为轴的对称图形（这是由“等腰”决定的）； 特征二：它是以斜边上的中点为中心的90°旋转重合图形（意义见下文）； 特征三：它的两条直角边关于直角顶点具有90°的旋转重合性。
特征一的应用亦如一般的等腰三角形一样，而与等腰直角三角形相关的问题，更多的却是由其特征二和特征三所引发的，相应地，这些问题的解决也便多以特征二和特征三为思考的依据及落实的线索，以下举例来说明。
1、等腰直角三角形“以斜边中点为中心的90°旋转重合性”。
我们知道，在等腰直角三角形ABC 中，若AO 是斜边AB 的中线（或高线，或顶角的平分线）——即O 为斜边的中点，那么，将ACO Rt ?绕点O 顺时针旋转90°，则它与CBO Rt ?重合（点A 重合于点C 处，点C 重合于点B 处）。如图所示，同样地，将COB Rt ?绕点O 逆时针旋转90°，则它与AOC Rt ?重合（点C 重合于点A 处，点B 处重合于点C 处）。
等腰直角三角形以上的性质，我们称之为“等腰直角三角形以斜边中点为中 心的90°旋转重合性”（以下简称“90°旋转重合性”）。这一性质可以说是 等腰直角三角形最为本质的特征，因此有着极为广泛的应用。
例1 在ABC ?中，AC=BC ，?=∠90C ，将一块直角三角板的顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC ，CB 于D ，E 两点，图（1），（2），（3）是旋转三角板得的图形中的三种情况。
探究并证明：线段PD 和PE 之间有什么数量关系？写出结论并证明。
（1） （2） （3）
【观察与思考】根据题目的条件和要回答的问题，我们首先考虑到等腰直角三角形的“90°旋转重合性”。为此，在三种情况的图形中均连结CP ，如下面各图：
A O
B （
C ） C （A ） A B C E P
D A B C
E P D A
B C E P D
A A A P
（3`） （1`） （2`）
在图（1），图（2），图（3）中均有： 重合于EBP ?，从而EBP DCP ???，得PD=PE ，即3种情况有统一的结论
和统一的证法。
解：在3种情况中，均有结论，PD=PE 。证明如下：
在图（1），图（2），图（3）中，都连结CP ，在DCP ?和EBP ?中，CP=BP ，EBP DCP ∠=∠（在图（1）和 图（2）中，这两个角都为45°，而在图（3）这两个角都为135°）EPB DPC ∠=∠（在图（1）和图（2）中这两个角同为CPE ∠的余角，而图（3）中，这两个角同为DPB ∠的余角。 ∴EBP DCP ???，可得PD=PE 。
【说明】在本题中，等腰直角三角形的“90°旋转重合性”）引导我们找到如上的既统一又简捷的解决方法，这就是本质特征所揭示的规律的普遍化作用。
例2，如图，在ABC ?中，BC AC ACB =?=∠,90，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于点D ，
MN BE ⊥于点E 。
（1）当直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时，求证：DE=AD+BE ； （2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD —BE ；
（3）当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，试问：DE ，AD ，BE 有怎样的等量关系？请写出等量关系，并加
以证明。
（1） （2） （3）
【观察与思考】首先想到借助等腰直角三角形的“90°旋转重合性”来探究：
在图（1），图（2），图（3）中，都取斜边AB 的中点P 如下面的图（1`），图（2`），图（3`）则容易看到：
DCP ? 绕点P 逆时针 旋转90°
A B C
N
M D
E
A B C N
M D E B
C M
N E D
M D M M
（1`） （2`） （3`）
在这三个图中均有： 重合于CBE Rt ?，即CBE Rt ACD Rt ???， 由此推得：
AD=CE ，CD=BE 。据此不仅立刻得到图（1）和图（2）情况的结论，并且也使我们很快看到在图（3）的情况应当有DE=BE —AD 。
解：在图（1），图（2）和图（3）中，同时考查ACD Rt ?和,CBE Rt ?
CBE ACD CB AC ∠=∠=, （同为BCE ∠的余角）。
CE ，AD CBE Rt ACD Rt =???∴得,CD=BE 。
（1）在图（1）的情况下，DE=CE+CD=AD+BE ； （2）在图（2）的情况下，DE=CE —CD=AD —BE ；
（3）在图（3）的情况下，结论为DE=BE —AD ，理由是：此时DE=CD —CE=BE —AD
【说明】由于我们从等腰直角三角形的“90°旋转重合性”这一特征出发，就抓住了图（1），图（2）和图（3）各种情况的本质（ACD Rt ?和,CBE Rt ?关于点P 成90°旋转重合），因此，三种情况下不同的结论只是共同性质的不同反映而已，可见，最为优化的解法是由最恰当地运用最为本质的性质而得到的。
2、等腰直角三角形两直角边以直角顶点为中心的90°旋转重合性 如图，等腰直角三角形ABC 中，CA ，CB 是直角边，显然有
有 重合于CB ，当然亦有CB 绕点C 顺时针旋转90°则与CA 重合。
我们将等腰直角三角形的这一性质简称为“两直角边90°旋转重合性”。等腰直角三角形的这一特征也有着广泛的应用。
例3 如图，在ABC ?中，已知,,90CB CA ACB =?=∠D ，E 为AB 上的两点，且?=∠45DCE 。 求证：2
2
2
DE BE AD =+
ACD Rt ? 绕点P 顺时针 旋转90°
CA 以C 为中心逆时针 旋转90°
A B
C
的边斜边）。
若作 重合于'CBD ?，如图（1），连结'ED ， （1）
这时易知EB D '?中?=∠90'BE D 。
证明：在CAB ?的外侧作,'ACD BCD ∠=∠截取,'CD CD =连结E D B D ','如图（1`）。 在CAD ?和'CBD ?中，CA=CB ，','BCD ACD CD CD ∠=∠=，
BD AD CAD CBD CBD CAD =?=∠=∠∴???∴且,45','′，
（1`）
D ∠∴′CBD B
E ∠=′?=?+?=∠+904545CBA 又∴在CED ?和CED ?′中，CE 公用，CD=CD ′。
ECD ∠′BCD ECB ∠+∠=′ECD DCE ACB ACD ECB ∠=?=?-?=∠-∠=∠+∠=454590
E D DE CED CED ','=???∴得
在EB D Rt '?中，有,''222E D BE B D =+即2
2
2
.DE BE AD =+
【说明】这里就是恰当地运用了等腰直角三角形两直角边关于直角顶角的90°旋转重合性。成功地实现了对线段AD ，DE 的“转移”，将原本在一条直线的三条线段转化成了同一个直角三角形的三条边。 3、等腰直角三角形的轴对称性
等 腰直角三角形的轴对称图形（斜边上的中线所在的直线为其对称轴），有的题目的解决， 需要借此作“轴对称构造”。 例4 如图，在ABC ?中，,,90AC AB BAC =?=∠D 是ABC ?内一点，
且?=∠=∠15DCA DAC （1）
求证：BD=BA 。
【观察与思考】由?=∠15DAC ，启发我们利用等腰直角三角形的轴对称性，作?=∠15BAE ，且取AE=AD ，如图（1`），易知,ACD ABE ???而AED ?为等边三角形。从中推得,150?=∠=∠DEB AEB 进而可有
DBE ABE ???，得BA=BD 。
证明：在ABC ?内作?=∠=∠15CAD BAE ，且取AE=AD ，连结BE ，DE ，如图（1`），这时AED ?为等边三角形。 在ABE ?和ACD ? 中，AB=AC ，AE=AD ，?=∠=∠15CAD BAE ?=∠=∠∴???∴150,ADC AEB ACD ABE
在BAE ?和BDE ?中，BE 公用，AD=DE 。 （1`）
BEA ∠=?=?-?-?=150********
BD BA BDE BAE =∴???∴
【说明】 在本题，尽管没有画出对称轴，但并不妨碍我们利用“等腰直角三角形的轴对称性”去思考问题，这恰恰说明了“变换性质”做为观察和研究图形的一个“视角”，一种“思想意识”，是多么有力有效。
CAD ? 绕点C 逆时针 旋转90°
A
D
E B C
'D
A B C D D
E A
B
C
AED BEA BED ∠-∠-?=∠360
旋转重合性”、“轴对称性”，是认识等腰直角三角形和解决与之相关问题的重要基础和有力武器。
六、平行四边形的变换性质
从变换的视角来看，平行四边形的基本特征反映在如下的两个方面：
特征Ⅰ：平行四边形是“中心对称图形”，两条对角线的交点就是它的对称中心； 特征Ⅱ：平行四边形的两组对边，分别具有“平移重合”的关系。
与平行四边形有关的的问题，大都可以沿着如上的两个特征去观察、研究，并获得解决。
1、平行四边的“中心对称性”和其应用
如图，若O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，那么平行四边形ABCD 重合于平行四边形CDAB 。
在上述的180°旋转变换中，不仅有 , , , ,
还有关于点O 所有中心对称的元素都是相互重合的。
平行四边形的这一特征，有着极为广泛的应用。
例1 如图 ，四边形ABCD 为平行四边形，BD AE ⊥于点E ，BD CF ⊥
于点F ，在DB 的延长线上和BD 的延长线上分别有点G 和点H ，且BG=DH 。
（1）请写出图中所有的全等三角形。
（2）请选一个全等三角形给出证明（CDB ABD ???除外）
【观察与思考】显然，BD 的中点O 为整个图形的对称中心，即有 ， ， ， 。这样，当任取其中的三点在图中构成三角形时，则分别与它们中心对称的
三点也在图中构成三角形，并且这样的两个三角形是全等的，因此，图中的全等三角形有：
;CDB ABD ???CDF ABE ???；CDH ABG ???； CFH AEG ???；CBH ADG ???；CBF ADE ???。
这些全等三角形的每条依据也是是关于点O 为中心对称的。
解：（2）现在证明AEG ?和CFH ?全等。
CDF ABE CD AB ∠=∠=, （内错角） CDF Rt ABE Rt ???∴，得AE=CF ，BE=DF 。
CFH Rt AEG Rt FH DH FD BG EB EG CF AE ???∴=+=+==∴,,。
【说明】本题中不仅全等三角形是中心对称的，而且应按中心对称去寻找相等的对应元素。
例2 如图，在平行四边形ABCD 中，两条对角线相交 于点O ，点E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点，以图中的任意四点（即点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，O 中的任意四点）为顶点画出两种不同的平行四边形，并说明理由。
第二种：
绕点O 逆（顺）时针
旋转180° A C B D OA OC
OB OD A B C D O
A C
B D E F
G H A
G
B C
D
H
F E
【观察与思考】当然，用试着画的方法，不难解答本题，但如果按平行四边形的中心对称性来思考，则可有序地得到全部可能的答案。A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 这八个点关于点O 有如下的对称关系： ， ， ， 共四对。从这四对中任意取出两对，
（共四个点），当它们不在同一条直线时，则必构成平行四边形，这就是：
平行四边形ABCD （已知），平行四边形AFCH ，平行四边形BEDG ，平行四边形EFGH 。
【说明】这样依变换性质指导下的思考既有秩序又全面。 2、平行四边形的对边平行关系的应用
平行四边形的对边平行且相等（即可经过平移后重合），其作用常体现在以下两个方面： Ⅰ、构造相似三角形； Ⅱ、进行等积变换。
（1）平行四边形基础上的相似三角形
例3 如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC ，AD 以及CD 的延长线相交于点E ，F ，G ，若BE=5，EF=2，则FG 的长是 。
【观察与思考】在图中，由AB//CG ，可得GCE ?∽BAE ?，从中推得EA
EC
EB EG =①
而由AF//BC ，易知CEB ?∽AEF ?，从中推得
EF
EB
EA EC =②。 由①和②得
5.122
5,2
2====EF EB EG EF EB EB EG 即 而5.1025.12=-=-=EF EG FG
解：5.10=FG 。
（2）平行四边形基础上的面积问题
例4 已知如图，平行四边形ABCD 中，α=∠==ABC b AB a AD ,,，点F 为线段BC 上的一点（端点B ，C 除外），连结AF ，AC ，连结DF ，并延长DF 交AB 的延长线于点E ，连结CE 。
（1）当F 为BC 的中点时，求证EFC ?与ABF ?和面积相等；
（2）当F 为BC 上任意一点时，EFC ?与ABF ?的面积还相等吗？说明理由。
【观察与思考】由四边形ABCD 是平行四边形，不难发现 S S ，S S S S S S =+===
+得1
A C
B D E G F H A B
C
D
G
E
F
D
A
C
F B E
这样一来，（1）和（2）的解决途径同时被发现了，其实，点F 为BC 上任意一点时ABF EFC S S ??=被证明了，当然（1）的情况已包含于其中了。
解；在情况（1）和情况（2）中，均有ABF EFC S S ??=。证明如下： 设F 为BC 上任意一点，则有
ABCD FAB ABCD DCF ABF S S S S S 平行四边形平行四边形2
1
=
-=+???， ACD ECD S S ??=（这是因为AE//CD ）=ABCD S 平行四边形2
1
。
ABCD DCF EFC ECD S S S S 平行四边形2
1
=+=∴???
DCF EFC DCF ABF S S S S ????+=+∴ EFC ABF S S ??=∴
【说明】如上的解法，一是恰当地运用了“平行四边形对边平行”所带来的三角形面积的转换；二是把不易直接沟通的两个三角形的面积同时加上DCF S ?后，便与原平行四边形的面积巧妙地联系起来了。
七、正方形变换性质
从变换的角度来看，正方形的本质特征可以反映在以下三个方面；
特征Ⅰ、正方形是以其中心（即对角线的交点）为中心的“90°旋转对称”图形； 特征Ⅱ、正方形的邻边以其公共顶点为中心“90°旋转重合”；
特征Ⅲ、正方形是轴对称图形，对边中点连线和两条对角线，都是它的对称轴。
与正方形有关的许多问题，正是要以这些特征为解决的依据和思考的线索。
1、正方形的“90°旋转对称性”及其应用
如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，若以O 为中心，按顺时针（或逆时针）旋转90°，则
，B C ， C D ， D A 。即旋转后的图形与原正方形重合，这就是正方形的“90°旋转
对称性”。
这一性质是正方形本质特征的最为典型的表现，因此有着极广的应用。
例1 如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线，AC ，BD 的交点，过点O 作OF OE ⊥， OE ，OF 分别交边AB ，BC 于点E 和F ，若AE=4，CF=3。 （1）求EF 的长；
（2）求EOF ?的面积
【观察与思考】（1）根据正方形的“90°旋转对称性”，易知在本题中有： 重合于
A B O A B C D O A D
C B
F E
AEO ?
绕点O 逆时针
（2）由正方形的“90°旋转对称性”，可知：
EOF ABCD OEBF S ，S S ?=
进而可求出正方形四边形4
1
。 解：（1）在AEO ?和BFO ?中，BOF AOE OBF OAE BO AO ∠=∠?=∠=∠=,45,（同为EOB ∠的余角）
4,==???∴BF AE BFO AEO 得
347734=-=-=∴==+=+=∴AE AB EB AB ，FC BF BC
在543432222=+=+=
==?BF EB EF ，，BF ，EB EFB Rt 得中
（2）4
49
414972
2
==
===ABCD OEBF ABCD S S ，AB S 正方形四边形正方形而 4
25
4321449=??-=
-=∴??EFB OEBF EOF S S S 四边形
【说明】对于正方形的“90°旋转对称性”的认识，不仅帮我们顺利地发现了问题的解决思路，并借助“90°旋转对称性”，规则地找到了全等三角形的对应元素。另外，在求EOF ?的面积时更是借助正方形的“90°旋转对称性”巧妙而有效地沟通了该面积与正方形ABCD 的面积及EFB Rt ?面积的关系，使问题快速得解。
例2 如图（1），四边形ABCD 是正方形，直线321,,l l l ，分别经过A ，B ，C 三点，且321////l l l ，若1l 与2l 的距离为,a 32l l 与的距离为,b 则正方形ABCD 的面积等于 。
（1`）
【观察与思考】关键是要把正方形的边长和两个距离b a ,沟通起来。
若作2l AE ⊥点E ，作2l CF ⊥点F ，则,,b CF a AE ==（如图（1`）），这时容易看到：
可知，在CBF Rt ?中，由,,a AE BF b CF ===可推得2
2222b a CF BF CB S ABCD +=+==正方形
解：填2
2b a +
【说明】在本题的解法思考中，正方形的“90°旋转对称性”发挥着关键的引导作用。
2、正方形邻边的“90°旋转重合性”及其应用
如图，正方形ABCD 中，若以顶点A 为中心，将边AB 逆时针旋转90°，则与边AD 重合，这一性质可简称为正方形A B D
C 1l 2l
3l A B D C 1l 2l
3l
O
E F BAE Rt ? 绕点O 顺时针
旋转90° 重合于
CBF Rt ?
初中几何常见基本图形子母型
A C
F E D B A F E D C B A D C A 几何基本图形 1、如图，正三角形ABC 中，AE=CD ，AD 、BE 交于F ： ①△AEB ≌△ADC ②∠BFD=600 ③△AEF ∽△ABE 2、如图，正三角形ABC 中，F 是△ABC 中心，正三角形边长为a ： ①AF ：DF ：AD=2：1：3 ②内切圆半径DF= a 63 ③外接圆半径AF=a 3 3 3、如图Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=300，AC=a ，D 是AC 上的点： ①内切圆半径为 a 2 1 3- ②外接圆半径为a 4、如图Rt △ABC 中，∠C=900，AB=AC=a ，D 是AC 上的点： 为 a 2 5 ； ②当BD 是角平分线时，BD 长为a 224-。 ①当D 是AC 中点时，BD 长 5、如图，如图Rt △ABC 中，∠BAC=900，AB=AC=a ，E 、D 是BC 、AC 上的点，且∠AED=450： ①△ABE ∽ECD ②设BE=x ，则CD=a x ax 22-。 C B A 300
E D C B A 45 A B C 6、如图AB=AC ，∠A=360，则：BC= 2 1 5-AB 。 7、如图AB=AC ，D 是BC 上一点，AE=AD ，则： 2 1 ∠BAD=∠EDC 。 8、 如图，D 、E 是△ABC 边BC 上两点，AC=CD ，BE=BA ，则当：①∠BAC=1000时，∠DAE=400；②当∠BAC=x 0时，∠DAE=2 180x -0 。 9、如图，△BCA 中，D 是三角形内一点， ①当点D 是外心时，∠BDC= 21 ∠A ；②当点D 是内心时，∠BDC=2 180A ∠+ 10、如图，∠ACB=900，DE 是AB 中垂线，则①AE=BE ，若AC=3，BC=4，设AE=x ，有 ()22234x x =+-； ②△BED ∽△BAC 。 11、如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，AE 交BC 延长线于点F ，H 是FG 中点： ①△ADE ≌△CDE ； ②△EGC ∽ECF ； ③EC ⊥CH ； ④EC 是以BG 为直径的圆的切线。 12、如图，ABCD 、CGFE 是正方形：①△DCG ≌CBCE ； ②BE ⊥DG 。 13、如图，正方形ABCD 对角线交于O ，E 是OB 上一点，EF ∥BC ： ①△AOE ≌△BOF ； ②AE ⊥BF 。 14、如图，E 是正方形ABCD 对角线上一点，EF ⊥CD ，EG ⊥BC ： ①AE=FG ；②AE ⊥FG 。 15、如图，将矩形ABCD 顶点B 沿某直线翻折可与D 点重合： ①EF 是BD 中垂线； ②BE=DE ，若AB=3，AD=5，设DE=x ，则()22 253x x =-+。 16、将矩形ABCD 顶点A 沿BD 翻折，A 落在E 处，如图： ①BD 是AE 中垂线，AB=BE ；②△BEF ≌△DCF ；③BF=DF 。 A B C E A B C E D A B C D A B C D E A B C D E F G H A B C D E F G A B C D E F O A B C D E F G A B C D E F O
初中数学找规律试题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
找规律试题练习 1.一根1m长的小棒，第一次截去它的，第二次截去剩下的，如此截下去，第N次后剩下的小棒的长度是（）m。 2.如图，按一定的规律用牙签搭图形： ①②③ （1）按图示的规律填表： 图形标号①②③……⑩ 牙签根数…… （2）搭第n个图形需要________________________根牙签。 3.已知1+2+3+...+31+32+33==17×33，求1-3+2-6+3-9+4-12+ (31) 93+32-96+33-99的值。 4.如图，在的内部从引出3条射线，那么图中共有___个角；如果引出5条射线，有___个角；如果引出条射线，有__个角。 5.在数1，2，3，…，50前添“+”或“－”，并求它们的和，所得结果的最小非负数是多少请列出算式解答。 6.如果有理数a,b满足∣ab－2∣+(1－b)2=0， 求+…+的值。 7．在一单位为1cm的方格纸上，依右图所示的规律，设定点A 1 、 A 2 、A 3 、A 4 …、A n ，连结点A 1 、A 2 、A 3 组成三角形，记为，连结点 A 2 、A 3 、A 4 组成三角形，记为…，连结点A n 、A n+1 、A n+2 组成三角形，记为(n为正整数)．请你推断，当的面积为100cm2时， n=． 8.请观察下列算式：（8分） ，，， 则第10个算为=，第n个算式为=
请计算+++…+ 9、x,-3x2,5x3,-7x4,9x5…… 10、如图：数出第n个图形的点数和线数。 ∣∣∣ —·——·—·— ∣∣∣…… —·—·— ∣∣ 1个“·”，4条“—”4个“·”，12条“—”……个“·”，条“—” 11、数出第n个图中三角形的个数： 一个三角形在里面内切倒三角形再切…… （1个）（5个）（9个）……（） 12、N＝2时，S＝5；N＝3时，S＝9；N＝4时，S＝13……N与S之间什么关系 13．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA 10的长；（3）求出的值．14．如图，每一个图形都是由小三角形“△”拼成的： …… ⑴⑵⑶⑷ 观察发现，第10个图形中需要个小三角形，第n个图形需要个小三角形。 15.有趣的平方和立方： 观察下列算式：23 4 5 1= + ?，24 4 6 2= + ?，25 4 7 3= + ?…请你在察规律之后并用你得到的规律填空：＝502,第n个式子呢我们还发现1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42…我能运用这个规律算出3+5+7+…+33+35＝。 135721 ++++++= ……() n______。而＝n2
中考数学图形及其变换 复习教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第四篇图形及其变换 专题十五视图与投影 一、考点扫描 1、会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三 视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图．能根据三视图描述基本几何体或实物原型 2、了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。 3、了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）。 4、观察与现实生活有关的图片（如照片、简单的模型图、平面图、地图等），了解并欣赏一些有趣的图形（如雪花曲线、莫比乌斯带）。 5、通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎样形成的，并能根据光线的方向辨认实物的阴影（如在阳光或灯火下，观察手的阴影或人的身影）。 6、了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示。 7、通过实例了解中心投影和平行投影。 二、考点训练 1、在同一时刻，身高1．6m的小强的影长是1.2m，旗杆的影长是15m，则旗杆高为 2、一天上午小红先参加了校运动会女子100m比赛，过一段时间又参加了女子400m比赛，如图是摄影师在同一位置拍摄的两张照片，那么下列说法正确的是（） 3、小明从正面观察图1所示的两个物体，看到的是下图中的（） 4、将如图所示放置的一个直角△ABC( ∠C=90°)，绕 斜边AB旋转一周所得到的几何体的主视图是图中 四个图形中的_________（只填序号）． 5、如图4，将图中的阴影部分剪下来，围成一个几何 体的侧面，使AB、DC重合，则所围成的几何体图 形是图中的（） 6、如图，是由一些相同的小立方块搭成 的立体图形的三种视图，则搭成这个立体图形的小立方块的个数是（） A．5 B．6 C．7 D．8 7、如图6，阳光通过窗口照到仓库内，在地上留下 2．7m宽的亮区，如图6，已知亮区一边到窗下的 墙角的距离为CD=8．7m，窗口高AB=1．8m，那 么窗口底边高地面的高BC=_________ 2
第二部分攻克题型得高分 题型二规律探索题 类型二图形规律探索 针对演练 1. (2017临沂)将一些相同的“”按如图所示摆放，观察每个图形中的“”的个数，
若第n个图形中“”的个数是78，则n的值 是( ) 第1题图 A．11 B．12 C．13 D．14 2. (2014荆州)如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…，按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是( )
第2题图 A. (12)n ·75° B. (12)n －1 ·65° C. (12)n －1·75° D. (12)n ·85° 3. (2017 重庆 B 卷)下列图形都是由相同大小的 按一定规律组成的，其中第①个图形中一共
有4颗，第②个图形中一共有11颗 ，第③个图形中一共有21颗 ，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中
的颗数为( ) 第3题图 A. 116 B. 144 C. 145 D. 150 4. (2017遵义航天中学模拟)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…，组成一条平滑的曲线．点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π 2 个单位长度，则第2017秒时，点P 的坐标是( )
第4题图 A. (2014，0) B. (2015，－1) C. (2017，1) D. (2016，0) 5. (2017绵阳)如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形．第
432 1F E D C B A 432 1F E D C B A F E D C B A H G F E D C B A c b a C B A D C B A F E D C B A C B A 初中数学几何基本图形 1． 平行线的性质： ∵A B ∥CD （已知） ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等。） ∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等。） ∴∠1+∠4=180° （两直线平行，同旁内角互补。） 2． 平行线的判定： （1）∵∠1=∠2（已知） ∴A B ∥CD （同位角相等，两直线平行。） （2）∵∠1=∠3（已知） ∴A B ∥CD （内错角相等，两直线平行。） （3）∵∠1+∠4=180o （已知） ∴A B ∥CD （同旁内角互补，两直线平行。） 3． 平行线的传递性： ∵A B ∥CD ，A B ∥EF （已知） ∴C D ∥EF （如果两条直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行。） 4． 两条平行线间距离： ∵A B ∥CD ，EF ⊥CD ，GH ⊥CD （已知） ∴EF=GH （平行线间距离处处相等。） 5． 三角形的性质： （1）∠A+∠B+∠C=180o （三角形内角之和为180o 。） （2）a+b ＞c ，∣a-b ∣＜c （三角形任意两边之和大于第三边， 三角形任意两边之差小于第三边。） （3）∠ACD=∠A+∠B （三角形一个 外角等于与它不相邻的两个外角之和。） 6．三角形中重要线段： （1）∵AD 是△ABC 边BC 上的高（已知） ∴AD ⊥BC 即∠ADC=900（三角形高的意义） （2）∵BF 是△ABC 边AC 上的中线（已知） ∴AF=FC=12 AC （AC=2AF=2FC ）（三角形中线的意义） （3）∵CE 是△ABC 的∠ACB 的角平分线（已知） ∴∠ACE=∠BCE= 1 2 ∠ACB （∠ACB=2∠ACE=2∠BCE ）（三角形角平分线的意义） 6． 等腰三角形的性质和判定： （1）∵AB=AC （已知）∴∠B=∠C （等边对等角） （2）∵∠B=∠C （已知）∴AB=AC （等角对等边）
初中数学规律题拓展研究 “有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索： 一、基本方法——看增幅 （一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a1+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。 例：4、10、16、22、28……，求第n位数。 分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：4+(n-1) 6＝6n－2 （二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。 基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅； 2、求出第1位到第第n位的总增幅； 3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。 此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。 （三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8. （四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。 二、基本技巧
中考数学探索题训练—找规律 1、我们平常用的数是十进制数，如2639=2×103+6×102+3×101+9×100，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1。如二进制中101=1×22+0×21+1×20等于十进制的数5，10111=1×24+0×23＋1×22＋1×21＋1×20等于十进制中的数23，那么二进制中的1101等于十进制的数 。 2、从1开始，将连续的奇数相加，和的情况有如下规律：1=1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52；…按此规律请你猜想从1开始，将前10个奇数（即当最后一个奇数是19时），它们的和是 。 3、小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： A 、 618 B 、638 C 、65 8 D 、678 4、如下左图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要 枚棋子. 5、如下右图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了 块石子。 6、如下图是用棋子摆成的“上”字： (1) (2) (3) 第4题
第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字 如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：（1）第四、第五个“上”字分别需用和枚棋子；（2）第n个“上”字需用枚棋子。7、如图一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分， 则这串珠子被盒子遮住的部分有_______颗. 8、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律：猜想第6个图形有 个点，第n个图形中有个点。 9、下面是按照一定规律画出的一列“树型”图： 经观察可以发现：图（2）比图（1）多出2个“树枝”，图（3）比图（2）多出5个“树枝”，图（4）比图（3）多出10个“树枝”，照此规律，图（7）比图（6）多出个“树枝”。 10、观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式； （2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式_____________________。 11、用边长为1cm的小正方形搭成如下的塔状图形，则第n次所搭图形的周长是 _______________cm（用含n 的代数式表示）。 12、如图，都是由边长为1的正方体叠成的图形。例如第（1）个图形的表面积为6个平 …… …… ①1=12；②1+3=22；③1+3+5=32④；⑤； 第1次第2次第3次第4次··· ··· 第7题图
中考数学试复习专题——找规律 1、如图所示，观察小圆圈的摆放规律，第一个图中有5个小圆圈，第二个图中有8个小圆圈，第100个图中有__________ 个小圆圈． （1） （2） （3） 2、 找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形， 则第4幅图中有 个菱形,第n 幅图中有 个菱形． 3、用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子 枚（用 含n 的代数式表示）. 4、观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a 、b 、c 的值分别为______________． 5、如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面．如果铺成一个22?的正方形图案（如图②），其中完整的圆共 有5个，如果铺成一个33?的正方形图案（如图③），其 中完整的圆共有13个，如果铺成一个44?的正方形图案（如图④），其中完整的圆共 有25个．若这样铺成一个1010?的正方形图案， 则其中完整的圆共有 个． 1 2 3 n … … 第1个图 第2个图 第3个图 …
6、 如下图,用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n 个图案需要用白色棋子 枚（用含有n 的代数式表示，并写成最简形式）. ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○ ○ ● ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ 7、用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第334个图形 需 根火柴棒。 8、将正整数按如图5所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是 ． 9、如图 ２ ，用n 表示等边三角形边上的小圆圈，f(n)表示这个三角形中小圆圈的总数，那么f(n)和n 的关系是 10、观察图4的三角形数阵，则第50行的最后一个数是 （ ） 1 -2 3 -4 5 -6 7 -8 9 -10 。。。。。。 11、 下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n 个图案中白色正方形的个数为___________． 12、 观察下列各式： 3211= 332 123+= 33221236++= 33332123410+++= …… 猜想：333312310+++ += ． 第一个 第二个 第三个 …… 第n 个 第一排 第二排 第三排 第四排 6 ┅┅ 10 9 8 7 3 2 1 5 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 5 10 a 10 找规律问题 1. 阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台级数为一级、二级、三级、……逐步增加时，楼梯的上法依次为：1，2，3，5，8，13，21，……（这 就是著名的斐波拉契数列）.请你仔细观察这列数的规律后回答：上10级台阶共有 种上法. 2.把若干个棱长为a 的立方体摆成如图形状：从上向下数,摆一层有1个立方体,摆二层共有4个立方体, 摆三层共有10个立方体，那么摆五层共有 个立方体. 3.下面由“*”拼出的一列形如正方形的图案，每条边上（包括两个顶点）有n （n>1）个“*”,每个图形“*”的总数是S ： n=2,S=4 n=3,S=8 n=4,S=12 n=5,S=16 通过观察规律可以推断出：当n=8时，S= . 4.下面由火柴杆拼出的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成： …… n=1 n=2 n=3 n=4 …… 通过观察发现：第n 个图形中，火柴杆有 根. 5.已知P 为△ABC 的边BC 上一点，△ABC 的面积为a ， B 1、 C 1分别为AB 、AC 的中点，则△PB 1C 1的面积为 4a ， B 2、C 2分别为BB 1、CC 1的中点，则△PB 2C 2的面积为163a ， B 3、 C 3分别为B 1B 2、C 1C 2的中点，则△PB 3C 3的面积为64 7a ， 按此规律……可知：△PB 5C 5的面积为 . 6.如图的三角形数组是我国古代数学家辉发现的， 称为辉三角形.根据图中的数构成的规律可得： 图中a 所表示的数是 . 7.观察下列等式：13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102 ……； 根据前面各式规律可得：13+23+33+43+53+63+73+83 = . 8.如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第 1个图案需 7根火柴，第 2 个图案需 13 根火柴，…，依此规律，第 11 个图案需( )根火柴. A. 156 B. 157 C. 158 D. 159 9.如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M 与m 、n 的关系是 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
专题二：函数图像 1、（2013年潍坊市）用固定的速度向如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象是（）. 2、（2013成都市）在平面直角坐标系中，下列函数的图像经过原点的是（） =-x+3 B. =2x D. 3、（2013?天津）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境： ①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米； ②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升； ③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A 停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=S；当点P与点A重合时，△ABP y=0．其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为（） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 4、(2013年临沂)如图，正方形ABCD中，AB=8cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C 两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC,CD运动，到点C,D时停止运动，设运动时间为t(s),△OE 的面积为s()，则s()与t(s)的函数关系可用图像表示为（） S(S(1616
88t(s84Ot(s O84B）（（A） S(S(161688 t(s t(s O4884O）C（． 5、（2013四川南充，9，3分）如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B 出发，点P沿BE→ED→DC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm，已知y与t的函数关系的图形如图2（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：：①AD=BE=5cm；②当0＜t≤5时；；③直线NH的解析式为y=－t+27；④若△ABE与△QBP相似，则t=秒。其中正确的结论个数为（） D. 1 A. 4 B. 3 C. 2 C 6、(2013年黄石)如右图，已知某容器是由上下两个相同的圆锥和中间一个与圆锥同底等高的圆柱组合而成，若往此容器中注水，设注入水的体积为，高度为，则关于的函数图像大致是（） 7、（2013?自贡）如图，已知A、B是反比例函数上的两点，BC∥x轴，交y轴于C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过运动路线上任意一点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是（）
2006中考复习 空 间 与 图 形 练 习 一、 典型例题 1、下列图表中，不能围成正方体的是 （ D ） A B C D 2、一组对边平行，并且对角线互相垂相等的四边形是……………………（ ） A 、菱形或矩形 B 、正方形或等腰梯形 C 、矩形或等腰梯形 D 、菱形或直角梯形 3、如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A 点，两条直角边分别与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ．则四边形AECF 的面积是 ． A B C D E F 4、 如图3，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，若取黄金比为0.6，则α= 度。 5、在ΔABC 中，AC=BC=2, ∠C=90°,将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处。将三角板绕P 点旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、射线CB 于D 、E 两点。图（1）、（2）、（3）是旋转三角板得到的图形中的其中三种： （1）三角板绕P 点旋转，观察线段PD 和PE 之间有什么大小关系，并以图（2）为例，加以证明： （PD=PE ） （2）三角板绕P 点旋转， PBE 是否能成为等腰三角形？若能，指出所有的情况（即求出ΔPBE 为等腰三角形时的CE 的长）；若不能，请说明理由； （能成为等腰三角形，CE=1或CE=2+22） （3）若将三角形直角顶点放在斜边AB 上的M 处，且AM:MB=1:3,和前面一样操作，试问线段MD 和ME 之间又有什么关系。请直接写出结论，不必证明（图（4）供操作、实验用），结论为 （MD ：ME=1：3）
中考数学专题找规律 1、如图，一串有趣的图案按一定规律排列，请仔细观察，按此规律第2015个图案是（） A B C D 2、如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△ 3、△4…，则△2015的直角顶点的坐标为 3、(2014 广东省梅州市) 如图3，弹性小球从点P(0，3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，……第n次碰到矩形的边时的点为P n。则点P2的坐标是，点P2014的坐标是 . 4、已知， ， =8， =16，2=32，……， 观察上面规律，试猜想的末位数是 . 5、观察下列算式： ……
用你所发现的规律写出的末位数字是__________. 6、（2015?四川巴中）a是不为1的数，我们把 称为a的差倒数，如：2的差倒数为=﹣1；﹣1的差倒数是 = ；已知a1=3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数．a4是a3差倒数，…依此类推，则a2015= ． 心得体会： （二）函数表达式型 1、用同样大小的黑色棋子按图6所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子 枚（用含n的代数式表示）. 2、(2014 湖南省娄底市) 如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案由个▲组成. 3、观察下列等式： ，……则第n个等式可以表示为。 4、“”代表甲种植物，“”代表乙种植物，为美化环境，采用如图所示方案种植。按此规律，第六个图案中应种植乙种植物株。
2020中考数学真题分类汇编：规律型（图形的变化类） 一．选择题（共7小题） 1．（2020?义乌市）挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走（） A．②号棒 B．⑦号棒 C．⑧号棒 D．⑩号棒 2．（2020?宜宾）如图，以点O为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（） A．231πB．210πC．190πD．171π 3．（2020?重庆）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）
A．21 B．24 C．27 D．30 4．（2020?十堰）如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2020根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是（） A．222 B．280 C．286 D．292 5．（2020?重庆）下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依次规律，图⑩中黑色正方形的个数是 （） A．32 B．29 C．28 D．26 6．（2020?广西）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（）
1 2020中考数学专题训练---空间与图形 一．选择题（每题3分） 1．如图是由几个相同的小正方形搭成的集合体的 三种视图则搭成这个几何体的小正方形的 个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 俯视图 主视图 左视图 2．如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD=40ο，则∠DCF 等于（ ） A ．80ο B ．50ο C ．40ο D ．20ο 3．如图，B 是线段AC 的中点，过C 点的直线l 与AC 成60ο的角． 在直线 l 上取一点，使得∠APB=30 ο 则满足条件的点P 的个数是（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．不存在 F O G D E C 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图
2 4．如图，在Rt △ABC 中∠ACB=90ο ，CD ⊥AB 于点D ，已知AC=5,BC = 2那么 Sin ∠ACD= （ ） A ． 35 B ．32 C ．552 D ．2 5 5．如图， 小丽要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为10㎝那么小丽要制作的这个圆 锥模型的侧面展开图的圆心角度数是（ ） A ．150ο B ．200ο C ．180ο D ．240ο 6．在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G 、E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于F ， 连接FD.若∠BFA=90 则下列四对三角形（1）△BEA 与△ACD ；（2）△FED 与 △DEB ； （3）△CFD 与△ABG ； （4）△ADF 与△CFB ．其中相似的为（ ） A ．（1）（4） B ．（1）（2） C ．（2）（3）（4） D ．（1）（2）（3） 7．一个三角形的两边长为3和6第三边的边长为方程（x －2）（x －4）=0 的根，则这个 三角形的周长是（ ） A ． 11 B ． 11或13 C ． 13 D ． 11或13 8．将一个正方形纸片依次按图（1）图（2）方式对折然后沿着图（3）中的虚线裁剪．最 后将图（4）的纸片再展开铺平．所得到图案是（ ） 图（1）(向上对折) 图（2）（向右对折）图（3）图（4）
第五章《基本图形(一)》综合测试卷 [分值：120分] 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2的位置关系是(B) A．同位角B．内错角 C．同旁内角D．对顶角 【解析】∠1与∠2成“Z”字形，是内错角． (第1题)(第2题) 2．已知M，N，P，Q四点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是(C) A．∠NOQ＝42°B．∠NOP＝130° C．∠NOP比∠MOQ大D．∠MOQ与∠MOP互补 【解析】由图可知，∠NOQ＝138°，∠NOP＝50°，∠MOQ＝42°，∠MOP＝130°，故选C. (第3题) 3．如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A.若∠ADC＝35°，则∠1的度数为(B) A．65°B．55° C．45°D．35° 【解析】∵DA⊥AC，∴∠CAD＝90°. ∵∠ADC＝35°，∴∠ACD＝55°. ∵AB∥CD，∴∠1＝∠ACD＝55°. 4．将一副直角三角尺如图所示放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为(B) A. 140° B. 160° C. 170° D. 150° 【解析】∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝20°， ∴∠BOC＝∠AOB＋∠COD－∠AOD＝160°. (第4题)(第5题) 5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为(A) A．1B．2 C.3D．1＋ 3 【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝2BC＝2.
∵D，E分别是BC，AC的中点， ∴DE＝1 2AB＝1. 6．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是(B) A. ∠A＝∠C B. AD＝CB C. BE＝DF D. AD∥BC 【解析】∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE. A. 可根据“ASA”推出△ADF≌△CBE. B. 不能根据“SSA”推出△ADF≌△CBE. C. 可根据“SAS”推出△ADF≌△CBE. D. ∵AD∥BC，∴∠A＝∠C.可根据“ASA”推出△ADF≌△CB E. (第6题)(第7题) 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为(B) A. 30° B. 36° C. 40° D. 45° 【解析】设∠B＝x.∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x. ∵CD＝AD，∴∠CAD＝∠C＝x. ∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝∠CAD＋∠C＝2x. ∵∠BAD＋∠B＋∠BDA＝180°，∴2x＋x＋2x＝180°， 解得x＝36°，即∠B＝36°. (第8题) 8．如图，已知边长为2的正三角形ABC的顶点A的坐标为(0，6)，BC的中点D在y 轴上，且在点A的下方，E是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为(B) A. 3 B. 4－ 3 C. 4 D. 6－2 3 【解析】当点E转到y轴的正半轴上时，DE最小． ∵OE＝2，∴AE＝6－2＝4，∴DE＝AE－AD＝4－ 3. 9．如图①，分别以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1，S2，S3；如图②，分别以直角三角形的三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4，S5，S6.其中S1＝16，S2＝45，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝(A)
找规律专项训练 一：数式问题 1.（湛江）已知22223322333388 + =?+=?，， 244441515+=?，……，若2 88a a b b +=?（a 、b 为正整数）则a b += ． 2.（贵阳）有一列数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，…，a n ，其中a 1＝5×2＋1，a 2＝5×3＋2，a 3＝5×4＋3，a 4＝5×5＋4，a 5＝5×6＋5，…，当a n ＝2009时，n 的值等于（ ） A ．2010 B ．2009 C ．401 D ．334 3.（沈阳）有一组单项式：a 2 ，－ a 3 2， a 4 3，－ a 5 4 ，…．观察它们构成规律，用你发现的规律写出第10个单 项式为 ． 4.（牡丹江）有一列数1234251017 --，， ，，…，那么第7个数是 ． 5.（南充）一组按规律排列的多项式：a b +，2 3 a b -，3 5 a b +，4 7 a b -，……，其中第10个式子是( ) A ．10 19 a b + B ．1019 a b - C ．1017 a b - D ．1021 a b - 6.（安徽）观察下列等式：111122? =-，222233?=-，33 3344 ?=-，…… （1）猜想并写出第n 个等式；（2）证明你写出的等式的正确性． 7.（绵阳）将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第 行第 列． 8.（台州）将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为32，则①n = ▲ ；②第i 行第j 列的数为 ▲ （用i ，j 表示）． 第1列 第2列 第3列 … 第n 列 第1行 1 2 3 … n
O 4 8 8 16 t(s) S ( （A ） O 4 8 8 16 t(s) S (（B ） O 4 8 8 16 t(s) S ( （C ） O 4 8 8 16 t(s) S (（D ） 专题二：函数图像 1、（2013年潍坊市）用固定的速度向如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象是（ ）. 2、（2013成都市）在平面直角坐标系中，下列函数的图像经过原点的是（ ） A.y=-x+3 B.5y x = C.y=2x D.2 y 27x x =-+- 3、（2013?天津）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境： ①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x 分，离出发地的距离为y 千米； ②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x 分，桶内的水量为y 升； ③矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，动点P 从点A 出发，依次沿对角线AC 、 边CD 、边DA 运动至点A 停止，设点P 的运动路程为x ，当点P 与点A 不重合时，y=S △ABP ；当点P 与点A 重合时，y=0． 其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 4、(2013年临沂)如图，正方形ABCD 中，AB=8cm,对角线AC,BD 相交于 点O,点E,F 分别从B,C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC,CD 运动， 到点C,D 时停止运动，设运动时间为t(s),△OE 的面积为s(2 cm )，则 s(2cm )与t(s)的函数关系可用图像表示为（ ） 5、（2013四川南充，9，3分） 如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从
第25课时圆的有关概念和性质 备考演练 一、精心选一选 1. （2016 ?自贡）如图,。O中,弦AB与CD交于点M / A=45° , / AMD=5° ,则/ B的度数是（C ） A.15 ° B.25 ° C.30° D.75° 2. （2016 ?乐山）如图，C、D是以线段AB为直径的。O上两点，若CA=CD且Z ACD40° ,则/ CAB= （ B ） A.10 ° B.20 ° C.30° D.40° 第1题图第2题图 第3题图 3. （2016 ?娄底）如图,已知AB是。O的直径,Z D=40° ,则Z CAB的度数为（C ） A.20 ° B.40 ° C.50° D.70° 二、细心填一填 4. （2016 ?长沙）如图,在。O中,弦AB：6,圆心O到AB的距离OC=, 则。O的半径长为___. 第4题图第5题图 第6题图 5. （ 2016 -巴中）如图,Z A是。O的圆周角,Z OBC=5° ,则Z A= 35°__ .
6. （2016 ?永州）如图,在。O中，A B是圆上的两点,已知/ AOB40 直径CD// AB连接AC则/ BAC= 35 度. 、用心解一解 7. (2015 ?永州)如图,已知△ AB(内接于。Q且AB=AC直径AD交BC 于点E F是OE上的一点，CF// BD. (1)求证：BE=CE ⑵试判断四边形BFCD勺形状，并说明理由； ⑶若BC=8, AD=0,求CD的长. 解：(1)证明：T AD是。O的直径，二 / ABD h ACD90°, ^AB = AC ???在Rt△ ABD和Rt△ ACC中，=』D, ??? Rt △ABD^ Rt△ACD 二/ BAD M CAD T AB=AC二BE=CE (2) 四边形BFCD是菱形，理由如下： ??? AD是。O 的直径，AB=AC「. ADL BC BE=CE T CF// BD FCE M DBE (￡FCE = L DBE \BE= CE ???在△ BE□和CEF 中〔二匸：-_一二L - , ???△ BED^A CEF 二CF=BD二四边形BFCD!平行四边形, ?/ M BAD M CAD ? BD=CD°.四边形BFCD是菱形； (3) T AD是。O的直径,ADL BCBE=CE ? △CED^A CEA???CE=DE AE 设DE=x T BC=, AD=0, ? 42=x(10 -x),解得:x=2 或x=8(舍去) 在Rt △ CED中,CD= 「二― 「一 '：=2 - r'.
（2020?遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（） ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A．1B．2C．3D．4 考点：角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图． 分析：①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线； ②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度 数； ③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质 可以证明点D在AB的中垂线上； ④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形 的面积之比． 解答：解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线． 故①正确； ②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°． 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2=∠CAB=30°， ∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°． 故②正确； ③∵∠1=∠B=30°， ∴AD=BD， ∴点D在AB的中垂线上． 故③正确；
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°， ∴CD=AD， ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC?CD=AC?AD． ∴S△ABC=AC?BC=AC?AD=AC?AD， ∴S△DAC：S△ABC=AC?AD：AC?AD=1：3． 故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选D． 点评：本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质． （2020?乐山）如图9，已知线段AB. (1)用尺规作图的方法作出线段AB 的垂直平分线l （保留作图痕迹，不要求写出作法）； (2)在(1)中所作的直线l上任意取两点M、N（线段AB的上方）.连结AM、AN、BM、BN.求证：∠MAN=∠MBN. （2020鞍山）如图，已知线段a及∠O，只用直尺和圆规，求做△ABC，使BC=a，∠B=∠O，∠C=2∠B（在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法） 考点：作图—复杂作图．