2016 年竞赛与自主招生专题第十四讲概率统计、随机变量
从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.
所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
在近年自主招生试题中，排列组合、二项式定理、概率统计是自主招生必考的一个重要内容之一。
一、知识精讲
一．随机事件的概率
1.随机事件
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，随机事件一般用大写英文字母、等来表示；
A B
2.确定事件
（1）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；
（2）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；
必然事件和不可能事件合起来称为确定事件。
m总接近于3.事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率
n
某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，作P（A）.由定义可知0≤P（A）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。4.等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成。如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都
1。如果某个事件A包含的结果有m个，那相等，那么每一基本事件的概率都是
n
m。
么事件A的概率P（A）=
n
m计算时，确定m、n的数值是关键所在，其计算方?说明：使用公式P（A）=
n
法灵活多变，没有固定的模式，可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏。
二．互斥事件的概率
1.相关概念
（1）互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件；
（2）对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫对立事件。
2.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：
（1）互斥事件研究的是两个事件之间的关系；
（2）所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；
（3）两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的。
从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集。
对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作A，从集合的角度来看，事件A所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪A=U，A∩A= .对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。
2.事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的，因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+A）=P（A）+P（A）=1。
当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件A的概率则要容易些，为此有P（A）=1－P（A）。
对于n个互斥事件A1，A2，…，A n，其加法公式为P（A1+A2+…+A n）=P（A1）+P（A2）+…+P（A n）。
?说明：分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想。
三．独立事件的概率
1.相关概念
（1）相互独立事件：事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件。
（2）独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p ，那么在n 次独
立重复试验中，这个事件恰好发生k 次的概率为P n （k ）=C k n p k （1－p ）
n －k 。 2.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：
（1）相互独立也是研究两个事件的关系；
（2）所研究的两个事件是在两次试验中得到的；
（3）两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的。
?注意互斥事件与相互独立事件是有区别的：
两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生。
3.事件A 与B 的积记作A ·B ，A ·B 表示A 与B 同时发生。
当A 和B 是相互独立事件时，事件A ·B 满足乘法公式P （A ·B ）=P （A ）·P （B ），还要弄清A ·B ，B A ?的区别。A ·B 表示事件A 与B 同时发生，因此它们的对立事件A 与B 同时不发生，也等价于A 与B 至少有一个发生的对立事件即B A +，因此有A ·B ≠B A ?，但A ·B =B A +。
1.离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为12,i x x x ，ξ取每一个值i x （1,2,i = ）的概率()i i P x p ξ==，则称下表为随机变量ξ的概率分布，简称为ξ的分布列。
2.数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称1122n n E x p x p x p ξ=++++ 为ξ的数学期望（平均数，均值），简称为期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。若(,)B n p ξ （二项分布），则E np ξ=。
3.二项分布：
（1）定义：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试
验中这个事件恰好发生k 次的概率是：()k k n k n P k C p q
ξ-==（其中0,1,,1k n q p ==- ，）
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作~()B n p ξ?，其中
,n p 为参数，并记(;)k k n k n C p q B k n p -=?.
（2）二项分布的判断与应用.
①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.
4.几何分布：“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件A 发生记为k A ，事A 不发生记为k A ，那么
121()()k k P k P A A A A ξ-==?? .根据相互独立事件的概率乘法分式：
1121()()()()()(1,2,3,)
k k k P k P A P A P A P A q p k ξ--==== 于是得到随机变量ξ的
1.设随机变量X 与Y 相互独立，且 21,16~B X ，Y 服从于参数为9的泊松分布，则 )12(Y X D ______40_______。 2.设随机变量 Y X ,相互独立，且 )2,1(~),2,1(~ N Y N X ， }0){( Y X P =___1-)1( ________。 3. 3人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别是4 1 3151，，，则此密码被译出的概率是_____。3/5 4.设相互独立的随机变量Y X ,服从同一分布，且 5.05.010,5.05.010P Y P X ，则随机变量),(Y X Max Z 的分布律为_____________。 75 .025.01 P Z 5.设随机变量X 的密度函数 其他, 010,4)(3x x x f ，则当_________ a 4 1 )21(时， 有)()(a X P a X P 。 （二）选择题（每题4分，共5题，全部是单选题） 1.设A ，B 是两个随机事件，且A B ，则下列式子正确的是：（A ） （A ）)()(A P B A P （B ）)()(A P AB P （C ）)()|(B P A B P （D ） )()()(A P B P A B P 2.设n X X X ,,,21 是总体)1,0(~N X 的样本，S X ,分别为样本的均值和样本标准差，则有（ C ） （A ）)1,0(~N X n ； （B ）)1,0(~N X ； （C ） )(~21 2 n X n i i ； （D ）)1(~/ n t S X
3.已知随机变量X 服从二项分布，且4 4.1,4.2 DX EX ，则二项分布的参数p n ,的值为（ B ） （A）6.0,4 p n ； （B）4.0,6 p n ； （C）3.0,8 p n ； （D）1.0,24 p n 。 4.在假设检验中，记1H 为备择假设，则犯第一类错误的是指（ D ） （A）1H 真，接受1H ； （B）1H 假，拒绝1H ； （C）1H 真，拒绝1H ； （D）1H 假，接受1H 。 5.设F(x)和f(x)分别为某随机变量的分布函数和概率密度,则必有( C ) （A ） f(x)单调不减 （B ） ()1F x dx （C ） 0)( F （D ） ()()F x f x dx 计算题 (三)（12）从学校到火车站的路上有3个交通岗，假设各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率均为2/5，假设X 为路上遇到的红灯数。求：（1）X 的分布律；（2）X 的分布函数；（3）最多遇到1个红灯的概率？ 解：二项分布B（3，0.4） (1) k k k k k k C p p C k X P 33335 3 ()52()1()(，k=0,1,2,3 (2) 3 , 132,12511721, 12581 10125270,0)(X X X X X x F (3)125 81 )1()0()1( X P X p X p . （四）（8）某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为1 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率。（计算到可查表形式） 解：
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??
8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<??
2016年高职自主招生自测试题一 （计算机专业理论部分） 姓名分数 一、单项选择填空题（在每小题的题号前面写上正确答案的编号） 1、第三代电子计算机使用的电子元件是。 A、晶体管 B、电子管 C、中、小规模集成电路 D、大规模和超大规模集成电路 2、计算机按其性能可以分为6大类，即巨型机、大型机、小型机、（）、工作站和网络计算机。 A、微型计算机 B、超小型机 C、专用计算机 D、以上都不是 3、计算机按照处理数据的形态可以分为。 A、巨型机、大型机、小型机、微型机和工作站 B、286机、386机、486机、Pentium C、专用计算机、通用计算机 D、数字计算机、模拟计算机、混合计算机 4、计算机的特点是、计算精度高、存储容量大、可靠性高、工作全自动以及适用范围广、通用 性强。 A、造价低廉 B、便于大规模生产 C、处理速度快 D、体积小巧 5、1983年，我国第一台亿次巨型电子计算机诞生了，它的名称是。 A、东方红 B、神威 C、曙光 D、银河 6、在目前为止，微型计算机经历的几个阶段？ A、8 B、7 C、6 D、5 7、计算机辅助设计简称是。 A、CAM B、CAD C、CAT D、CAI 8、计算机内部采用进制处理信息。 A、八 B、二 C、十 D、十六 9、计算机用来表示存储空间大小的最基本单位是。 A、Baud B、bit C、Byte D、Word 10、通常一个英文符号用字节表示。 A、1个 B、2个 C、1.5个 D、半个 11、通常，存储一个汉字占用字节。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 12、中国国家标准汉字信息交换编码是。 A、GB2312-8 B、GBK C、UCS D、BIG-5 13、冯·诺依曼提出的计算机工作原理又称为工作原理。 A、信息流 B、存储器 C、CPU D、存储程序 14、用户用计算机高级语言编写的程序，通常称为。
2015、2016高考试题概率、统计专题 1.（2015北京卷16）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A组：10，11，12，13，14，15，16 B组：12，13，15，16，17，14，a 假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率； a ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (Ⅱ) 如果25 (Ⅲ) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 2.（2015福建卷16）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (I)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(II)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望. 3.（2015湖北卷20）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（Ⅰ）求Z的分布列和均值； （Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投
自主招生加分认可的13类竞赛 2017自主招生加分认可的13类竞赛 作为211和985高校选拔创新人才的特殊途径，自主招生近年来热度不断上升。自主招生又称自主选拔，是高校选拔录取工作改革的重要环节，包括国家重点大学自主招生与高职自主招生两大类。一般通过考试后招生学校会与其签订招生考试合同，签订合同后，一般可享受降低20分至60分录取的优惠政策、部分高校可降至一本线取。 对于高考考生而言，高考中的每一分都弥足珍贵，所以了解高校自主招生的选拔方式俨然已经成为了每一位优秀高中生的“必修课”。 21世纪杯全国英语演讲竞赛 1.竞赛时间：每年9月从演讲征文选拔赛开始 2.竞赛方式：分为地区预赛、征文选拔赛和决赛三个阶段 3.竞赛内容：以备演讲+现场问答为主 4.竞赛特点：重视口语，得到了国家教育部、中外英语教学权威机构和社会各界的广泛认可和支持，是目前国内规格、水平最高的英语演讲比赛，同时获奖优胜者将获得出访外国修学的机会。 新概念作文大赛 1.竞赛时间：每年4月开始启动。 2.竞赛方式：个人参赛，投稿评定，设一二三等奖； 3.竞赛内容：以征文形式征稿，不限内容、题材、体裁，字数5000字以下。
4.竞赛特点：分A/B/C三组，A组为高二、高三学生。B组为高一和初中生；C组为学生以外的30岁以下的青年人。本竞赛是文科类竞赛里含金量最高的赛事。 全国中小学创新作文大赛 1.竞赛时间：每年11月—次年3月为初赛，每年4月—5月为复赛（分省区复赛和全国网络复赛） 2.竞赛方式：个人参赛，初赛为提交作品，复赛为现场作文。 3.竞赛内容：命题作文 4.竞赛特点：赛程较长。 创新英语大赛 1.竞赛时间：每年12月为初赛第一阶段，次年2月为初赛第二阶段；次年4月为复赛；每年7月为全国决赛。 2.竞赛方式：个人参赛； 3.竞赛内容：初赛主要考察英语作文；复赛包括作文、口语和听力； 4.竞赛特点：赛程较长，是英语综合能力的比拼。 丘成桐中学数学奖 1.竞赛时间：每年9月1日前提交报告； 2.竞赛方式：同一学校3人组队参赛（由一名老师带队），在网上注册，选取数学问题进行研究，形成论文，提交评选； 3.竞赛内容：研究范围涵盖基础数学与应用数学的.所有领域，例如： 基础研究：包括代数、几何、概率、统计、分析等。 工程应用：包括计算机、互联网、通讯、信息及数码科技等。
、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）
2016年淮南一中自主招生试题 数 学 一、选择题（共4小题，每题4分，满分16分） 1.已知，且，，，00><∈b a R c b a 则下列不等式中一定成立的是( ) A.22b a < B.22bc ac > C. b a 11> D. a b a 11>- 2.抛物线2ax y =与直线， ，，，2131====y y x x 围成的长方形有公共点，则实数a 的取值范围（ ） A. 191≤≤a B.291≤≤a C.131≤≤a D. 231≤≤a 3.若1>b 且a 是正有理数，，32=+-a a b b 则a a b b --的值是（ ） A ．22 B ．3 C ．10 D ．32 4.若，?? ? ??-??? ??-??? ??-??? ? ?-=2222201611...411311211S 则S 的值为（ ） A ． 20162013 B ．20162015 C ．40322015 D ． 40322017 二、填空题（共4小题，每题4分，满分16分） 5.若关于x 的方程0342 =-+x ax 有唯一实数解，则a 的值为________. 6.已知，1223=++c b a 且bc ac ab c b a ++=++222则=--c b a 23_________. 7.已知函数，322--=x x y 则使m y =成立的x 值恰好有三个，则m 的值为________ 8.如图，AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，且CD 、AB 是一元二次方程01582=+-x x 的两根，则=∠APC sin ________.
三、解答题（共4题，满分48分） 9.（10分）已知ABC ?的两边AC AB 、的长是关于x 的一元二次方程 ()0655222=++++-k k x k x 两个实数根，第三边长为5。 （1）当k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形； （2）当k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求出此时△ABC 的周长． 10.（12分）如图，在梯形ABCD 中，DC AB //，?=∠90BCD ，且AB=2，BC=3， 3tan =∠ADC . （1）求证：DC=BC ； （2）E 是梯形内的一点，F 是梯形外的一点，且，，BF DE FBC EDC =∠=∠试判断ECF ?的形状，并证明你的结论。
自主招生普遍认可的4类16项竞赛有哪些 出国留学高考网为大家提供自主招生普遍认可的4类16项竞赛 有哪些，更多高考资讯请关注我们网站的更新! 自主招生普遍认可的4类16项竞赛有哪些 综合对比近几年高校自主招生简章不难发现，高校在自主招生初审条件中往往要求考生具有一定的竞赛奖项。以下是根据近年来高 校自主招生简章，综合整理出来的高校普遍认可的16种竞赛，包括：竞赛举办形式、报名方式、参赛方式，供2018/2019届参考! 一、五大学科竞赛类 从2017年高校自主招生简章来看，有95%以上高校对五大学科 竞赛奖项有明确要求。在五大学科竞赛中高校比较偏爱数学、物理 竞赛生，生物学、信息学竞赛生一般情况下对专业限制性比较大。 1.中国数学奥林匹克 ①竞赛时间：初赛各省时间不一;每年9月为省赛复赛;12月左 右冬令营(全国决赛)。 ②竞赛方式：个人参赛。均为笔试。 ③竞赛内容：初赛不超出现行高中数学教学大纲;复赛内容以竞 赛大纲为准;决赛参照国际数学奥林匹克要求进行。 ④竞赛特点：初赛难度维持在高考中高档实体水平;复赛和全国 决赛远高于高考难度。 ⑤适合对象：高一、高二 2.中国物理奥林匹克 ①竞赛时间：每年9月上旬预赛;9月中下旬复赛;10月底全国决赛。
②竞赛方式：个人参赛。预赛为笔试，;复赛及全国决赛为笔试+实验。 ③竞赛内容：竞赛内容包含高中物理和大学物理的部分内容，依照竞赛大纲命题。 ④竞赛特点：预赛试题大部分相当于高考稍难或难题的水平。 ⑤适合对象：高一、高二 3.中国化学奥林匹克 ①竞赛时间：预赛各省时间不一;每年8月底省级初赛;每年12 月左右为冬令营全国决赛; ②竞赛方式：个人参赛。省级联赛为笔试;全国决赛为笔试+实验。 ③竞赛内容：包括高中数学、物理、生物、地理与环境科学等学科的基本内容，具体参见竞赛大纲。决赛在初赛基本要求的基础上 作适当补充和提高。 ④竞赛特点：竞赛内容涵盖较广泛。初赛要求需40单元课外活动;决赛要求追加30单元课外活动。 ⑤适合对象：高一、高二 4.中国生物学奥林匹克 ①竞赛时间：每年4月-5月省级联赛，含初赛和复赛;每年8月 下旬全国决赛。 ②竞赛方式联赛个人参赛，笔试;决赛由省组队参加，笔试+实验。 ③竞赛内容：在现行中学教学大纲的基础上有所提高和扩展。包含高中生物和大学生物学部分内容。竞赛内容以竞赛大纲为主。 ④竞赛特点：参赛人数相对较少，联赛试题难度大于高考、易于全国竞赛试题。 ⑤适合对象：高一、高二
作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ .
青岛二中2016年自主招生考试 物理试题 欢迎同学们参加青岛二中的自主招生考试，请认真阅读下列说明： 1、请将答案书写在答题卡上指定区域，在本试卷上答题无效； 2、请按每小题的要求做答，作图题请用铅笔或中性笔画图；简答题要言简意赅；计算题解答时请写出必要的方程式和重要的演算步骤。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。 第一部分：物理与校园（本部分含9小题，共48分，请按各小题要求作答） 1．（4分）图1为青岛二中校园内照片 （1）图中有禁鸣标志，禁鸣是在哪个环节控制噪声？ （2）图中有限速标志，按此规定，汽车在学校沿环路行驶1km至少需要多少秒？ 图1 2．（4分）学校元旦晚会前，小明同学不小心松开了一只充满气但未扎口的气球，气球飞出去了。小明认为这个过程中气球除受重力外，不再受到其它物体的作用。小明想的是否正确？如不正确，气球的施力物体是什么？ 3．（4分）我校每年都要举行足球比赛，一次比赛中小明同学踢出的任意球绕过人墙，进入球门，这类球俗称香蕉球。假设足球的轨迹如图2所示。你认为足球飞行过程中左侧还是右侧相对空气的速度大？4．（4分）为保证学生的安全，校内安装的摄像头（如图3）内部光学元件的作用相当于凸透镜。如果在一块玻璃中有一形状如凸透镜的空气泡，如图4所示，完成它的光路图。 图2 图3 图4 5．（4分）无之海及钟楼是学校山海文化的表征，湖中倒映钟楼，恰似一个平面镜的影像（如图5）。上述情形可简化为下面模型，如图6中P为一不透光的箱子，点光源在S处，试用作图法画出点光源在箱子右侧所照亮地面的光路图，并在地面上用阴影线段标出范围。 图5 图6 图7 6．（6分）教学楼前的达礼路是一段粗糙斜面，如图7所示。假设斜面长为L，与水平面的夹角θ=30o，将重100N的物体沿斜面匀速推上，若斜面的机械效率为η=80%，物体所受斜面的摩擦力多大？7．（6分）教学楼每层设有电热水器（如图8），若该电热水器的铭牌如图9所示，请计算把20o C的一箱水烧开需要多长时间?（水的比热容c =4.2×103J/kg·o C,水的密度ρ=1.0×103kg/m3） 图8 图9 8．（8分）礼堂顶灯设计美轮美奂（如图10），如果某部分彩灯电路如图11所示，电源电压为3.0V，L1、L2、L3为三个相同规格的小灯泡，小灯泡的伏安特性曲线如图12所示．当开关闭合后，求： （1）L3的电流多大？ （2）L1消耗的功率多大？ 9．（8分）无之海是一个水生动植物的乐园，每年都会在湖内放养鱼苗。一员工驾小船携带两满桶鱼苗到湖内放流。如果人及船的质量为200kg，桶中鱼苗与水的混合物共重50kg（设鱼苗与水密度相同，桶重及壁厚不计，g=10N/kg，水的密度ρ=1.0×103kg/m3）。 （ 1 ）当人把鱼苗全部放流（桶内鱼及水一起倒入湖中）后，船在水中的体积减小了多少？ （2）如果此人把桶都装满水挂在船两侧的钉子上，水桶刚好全部没入水中，小船在水下的体积与（1）问比较，怎样改变？改变了多少？ （3）如果此人把桶都装满水挂在船两侧的钉子上，水桶刚好有一半体积没入水中，小船在水下的体积与（2）问比较，怎样改变？改变了多少？ 图10 图11 图12
长郡中学2008年高一实验班选拔考试试卷 注意： (1) 试卷共有三大题16小题，满分120分，考试时间80分钟. (2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效. 一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内. 1．在直角坐标系中，若一点的横坐标及纵坐标互为相反数，则该点一定不在( ) (A) 直线y = –x 上 (B) 抛物线 y =2x 上 (C) 直线y = x 上 (D) 双曲线xy = 1上 2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k 的值是 ( ) (A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 20 3．若－1＜a ＜0，则a a a a 1,,,33一定是 ( ) (A) a 1最小，3a 最大 (B) 3a 最小，a 最大 (C) a 1最小，a 最大 (D) a 1最小， 3a 最 大 4．如图，将△ADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连结EF 交AB 于H ，则下列结论错误的是（ ） (A) AE ⊥AF （B ）EF ：AF =2：1 (C) AF 2 = FH ·FE （D ）FB ：FC = HB ：EC 5．在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且CD 及BE 相交于点F ，已 第4题
知△BDF 的面积为10，△BCF 的面积为20，△CEF 的面积为16，则四边形区域ADFE 的面积等于（ ） (A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)44 6．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ） （A ）30 （B ）35 （C ）56 （D ） 448 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分） 7．若4sin 2A – 4sinAcosA + cos 2A = 0, 则tanA = ___ ___ . 8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A 、B 两艘船相会之后，A 船以每小时12海浬的速度往南航行，B 船则以每小时3海浬的速度向北漂流. 则经过 小时后，观测站及A 、B 两船恰成一个直角三角形. 9．如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A,B,C 三 点 的 拋 物 线 对 应 的 函 数 关 系 式 是 . 10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。已知大球的半径为20cm ，小球半径5cm, 则这两颗球分别及桌面相接触的两点之间的距离等于 cm. 11．物质A 及物质B 分别由点A(2,0)同时出发，沿正方形BCDE 的周界做环绕运动，物质A 按逆时针方向以l 单位/秒等速运动，物质B 按顺时 针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是 . (第9题) (第11题)
统计与概率高考题2（2015—2018年文科） 1.（2018全国卷Ⅰ）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3 m）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 (1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图： (2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 3 m的概率； (3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中 的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
2．（2018全国卷Ⅱ）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1217，，…，）建立模型 ①：?30.413.5=-+y t ；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立模型②：?9917.5=+y t ． (1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
3．（2018全国卷Ⅲ）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图： (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； (2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m的工人数填入下面的列联表：
<概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分
2018自主招生，参加这些竞赛高考降60分进清华北大 自主招生逐渐成为高校选拔考生的一个重要环节，也有越来越多的考生加入到自主招生的大军之中。但是2016年自主招生政策改革，审核的门槛提高，大多数高校明确的要求必须具有“学科特长”或“创新潜质”。这两点要求如何体现在初审当中呢？ 下面就来讲讲自主招生之最强竞赛——五大学科竞赛。五大学科竞赛为全国数学、物理、化学、生物学、信息学奥林匹克竞赛。这五大学科竞赛得含金量排名如下：数学>物理>化学>生物学>信息学。 五大学科竞赛一般可以划分为三个阶段：省赛、国赛（冬令营）、国家集训队。其实还有国际赛事阶段不过参加的同学可谓是凤毛麟角了。 省赛阶段分为初赛和复赛。所有考生都可以参加初赛，初赛一般是以市级为单位。在初赛中选出优胜的选手参加复赛，省级的复赛就是全国的统考了，复试之后就会评选出省级的一、二、三等奖。获得省级的奖项就有很多所院校可以报考了。（江苏、浙江地区省赛进行三次，最后评出国一、国二、省一、省二、省三，国一也就相当于其他省的省一）
以2016年的高校的自主招生奖项要求为例 省级一等奖可报考：北京航空航天大学、哈尔滨工业大学、南开大学、四川大学、南京大学、浙江大学等等。 省级二等奖可报考：东南大学、山东大学、中南大学、西安交通大学、兰州大学、河海大学等等。 省级三等奖可报考：北京交通大学、合肥工业大学、长安大学、西北大学、南京理工大学等等。 国赛阶段的选手是从省级一等奖中选拔而出的。数学、物理、化学的决赛也叫作冬令营。国赛评定出金牌、银牌、铜牌奖项。很多高校现场就会和国奖选手签约，承诺自主招生的降分优惠，获得国家级一等奖的同学大多数可以直接与清北签约，获得至少60分降分。 国家集训队阶段，集训队的选手是从国家级一等奖中选拔而出。进入国家集训队的同学可以得到国家认可的保送资格，直接保送清北。 值得准备自主招生竞赛的同学们注意的是五个竞赛中，数学、物理、化学三个竞赛的含金量高，但同时参与的人数多获奖难度也更大。 生物学也是作为高考中的学科，但是竞赛中认可度是低于前三类竞赛的。
概率统计试题及答案一份（仅供参考2016） 一．填空题（每空3分，共24分） 1.设,,A B C 为三个随机事件，则事件“A ，B 发生同时C 不发生”可 表示为 __ AB C 。 2.设()0.3,()0.4P A P B ==，如果事件A ，B 互不相容，则()P A B ? 0.7。 3.甲乙两人同时向同一目标射击，击中的概率分别为0.7,0.8，则该目标被击中的概率为 0.94。 4.设随机变量X 在区间（0,2）上服从均匀分布，则{1}P X = 0 。 5.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，分布密度分别为 2 2(1)()},, 82, 0,()0, X y Y x f x x e y f y y --=--∞<<∞?>=? ≤? 则2(32)Y E X e -- 2 ，(32)Var X Y - 31 。 6.从某总体中抽取容量为5的一样本，其观测值分别为2,3,2,1,2，则样本均值为 2 ；具有无偏性质的样本方差为 0.5 二．简述题（每小题8分，共16分） （1）概率的公理化定义及其概率的四种形式。 解：设F 为样本空间Ω的事件域，如果对任意A F ∈，都存在实数 ()P A 与之对应，且满足 (1)()1;(2)0()1;P P A Ω=≤≤（3）如果12,,,,n A A A 两两互不相容， 有1 1 ()()i i i i P A P A ∞∞ ===∑ ，则称()P A 为事件A 的概率。
概率四种形式：统计概率；古典概率；几何概率；主观概率；条件概率。 （2）什么叫统计量？列举四种常用的统计量。 解：设12,,,n X X X 为总体X 的一样本，如果函数12(,,,)n g X X X 不包含任何未知参数，则称12(,,,)n g X X X 为统计量。 样本均值__ 11n i i X X n ==∑，样本方差__ 22 11()1n i i S X X n ==--∑，样本原点矩1 1n k k i i A X n ==∑，样本中心矩__ 1 1()n k k i i B X X n ==-∑。 三．（12分）设离散型随机变量X 的分布律为 1{}(1) ,1,2,,01, k P X k A p p k p -==-=<< 求：①常数A ；②{}P X k >；③EX 。 解：①因为11 1 {}1(1)1(1) k k k p P X k A p p A A p ∞∞ -=====-==--∑∑，所以1A =。 4分 ②{}1 1 1 {}(1) (1)j k j k j k P X k P X j p p p ∞∞ -=+=+>===-=-∑∑。 8分 ③ 1 ' ''1 1 11 1 {}(1) [(1)][(1)]()1k k k k k k k q EX kP X k kp p p p p p p q p ∞∞ ∞∞ -=======-=-=-==-∑∑∑∑ 四．（12分）设随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均与分布，D 为由,2,1y x y x x ===所围成有限区域，求(1)联合密度函数；(2)边际密度函数；③判断,X Y 的独立性。 解：(1) 区域D 的面积为 1 1 (2)2s x x dx =-= ?。故所求联合密度函数为 2,01,2, (,)0,x x y x f x y <<<
概率统计试卷 A 一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分） 1、设P(A) =, P(B) = , P() = ，若事件A与B互不相容，则 = . 2、设在一次试验中，事件A发生的概率为，现进行n次重复试验，则事件A至少发生一次的概率为 . 3、已知P() = , P(B) = , P() = ，则P()= . 4、设随机变量的分布函数为则= . 5、设随机变量~，则P{}= . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分） 1、设P(A|B) = P(B|A)=,, 则( )一定成立. (A) A与B独立，且. (B) A与B独立，且. (C) A与B不独立，且. (D) A与B不独立，且. 2、下列函数中，（）可以作为连续型随机变量的概率密度. (A) (B) (C) (D) 3、设X为一随机变量，若D(10) =10，则D() = ( ). (A) . (B) 1. (C) 10. (D) 100. 4、设随机变量服从正态分布，是来自的样本， 为样本均值，已知，则有（）. (A) . (B) . (C) . (D) . 5、在假设检验中，显著性水平的意义是（）. (A)原假设成立，经检验不能拒绝的概率. (B)原假设不成立，经检验被拒绝的概率. (C) 原假设成立，经检验被拒绝的概率. (D)原假设不成立，经检验不能拒绝的概率. 三、10片药片中有5片是安慰剂， (1)从中任取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率. (2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率. (本题10分) 四、以表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），的分布函数是 求下述概率： （1）{至多3分钟}. （2）{3分钟至4分钟之间}. (本题10分) 五、设随机变量(,Y)的概率密度为 (1) 求边缘概率密度.