学科教师辅导讲义
，有且只有一对实数其中不共线的向量12e ,e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式。2
2
2
2
+=2+b a b a b -（G 为?ABC 的重心11,),y B A （x （x 4. 向量运算与几何图形
b ，其中向量且[3x π∈-
2x 的图象按向量与c 夹角为的夹角为θ2π6，求sin
与
M M的夹角是，求证：|tan 12
x+y的最大值。
2,
a b
共线；
.B
3
）、
B、－
5
①这三个角都是锐角；②这三个角都是钝角；3,4,AB BC CA ==速直线运动，速度为2
||e ；另一动点2
2e 相同的方向作匀速
1
2
2|e +．设处，则当
(3,
=，其中
kb ka b
3
表示a b?；
的最大值，并求出此时
平面向量的基本定理及坐标运算 【考纲要求】 1、了解平面向量的基本定理及其意义. 2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【基础知识】 一、平面向量基本定理 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得2211e e λλ+=，不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 二、平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量a 可表示成a xi y j =+，由于a 与数对(,)x y 是一一对应的，因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫作a 在y 轴上的坐标. 规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无
关，只与其相对位置有关。 三、平面向量的坐标运算 1、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b +=1212(,)x x y y ++. 2、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b -=1212(,)x x y y --. 3、设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. 4、设a =()y x ,，R ∈λ，则λa =(,)x y λλ. 5、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //12210x y x y ?-=（斜乘相减等于零） 6、设a =()y x ,，则22a x y =+ 四、两个向量平行（共线）的充要条件 1、如果0a ≠，则b a //的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=（没有坐标背景） 2、如果a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //的充要条件是12210x y x y -=(坐标背景) 五、三点共线的充要条件 1、A 、B 、C 三点共线的充要条件是AB BC λ= 2、设OA 、OB 不共线，点P 、A 、B 三点共线的充要条件是 (1,,)OP OA OB R λμλμλμ=++=∈. 特别地，当12 λμ==时，P 是AB 中点。
编号：001 §2.3.1平面向量基本定理 §2.3.2平面向量正交分解及坐标表示 班级: 姓名: 【学习目标】1. 掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义； 2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 【重难点】平面向量基本定理；正交分解下的坐标表示. 【学习过程】 一、自主学习 （一）知识链接： 复习1：向量b 、() 0a a ≠是共线的两个向量，则a 、b 之间的关系可以表示为 . 复习2：给定平面内任意两个向量1e 、2e （如下图），请同学们作出向量1232e e +、122e e - . （二）自主探究：（预习教材P93—P96） 探究：平面向量基本定理 学法指导： 在物理中我们研究了力的合成与分解，力的合成与分解互为逆运算，都符合平行四边形 法则：如果用表示两个共点力F1和F2的线段为邻边作平行四边形，那么合力F 的大小和方向就可以用F1、F2所夹的角的大小来表示。（注：已知分力要求合力，叫做力的合成。已知合力要求分力叫做力的分解。） 即力的合成就是由平行四边形的两邻边求对角线的问题。力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循的平行四边形定则。力的分解就是由对角线求两邻边的问题，这是我们在物理中学过的知识。在数学中，物理中的力，本质上就是我们数学中的向量，如果已知平面内的某一向量m （其中m 为非零向量），就可以按照平行四边形法则，将其分解到两个向量1e ，2e （其中1e ，2e 为非零向量）两个方向。分解到1e 方向的向量记为a ，则a 与1e 共线，即11a e λ=，分解到2e 方向的向量记为b ，则b 与2e 共线，即22b e λ=，那么1122m a b e e λλ=+=+. 问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如1122e e λλ+的向量表示呢？ 1.平面向量的基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内两个 的向量，a 是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数1λ，2λ，使 。其中，不共线的这两个向量,1e 2e 叫做表示这一平面内所有向量的基底。 问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？ 2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量a b ，作=a ，=b ，则 叫 做向量a 与b 的夹角。如果,θ=∠AOB 则θ的取值范围是 。当 时， 表示a 与b 同向；当 时，表示a 与b 反向；当 时，表示a 与b 垂直。 记作：a b ⊥.在不共线的两个向量中，90θ=，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为 _____________，叫做把向量正交分解。 问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示. 对于 直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？ 3、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同于两个_______作为基为基底。对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x 、y ，使得____________，这样，平面内的任一向量 a 都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作=___________此式叫做向量的坐标表示，其中x 叫做 a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标。几个特殊向量的坐标表示：i =__________，j =__________，0=__________ 二、合作探究 【例1】（见课本P94例1） 【例2】已知梯形ABCD 中，//AB DC ，且2A B C D =，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD a =， AB b =。试用,a b 为基底表示DC 、BC .
《2.3.1 平面向量基本定理》教案 【教材】人教版数学必修4（A版）第105-106页【课时安排】1个课时 【教学对象】高一学生【授课教师】华南师范大学数学科学学院陈晓妹 【教材分析】 1.向量在数学中的地位 向量是近代数学中重要的概念，它不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具，因此具有很高的教育价值。 2.本节在教学中的地位 平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量运算转化为坐标运算的重要基础；该“定理”以二维向量空间为依托，可以推广到n维向量空间，是今后引出空间向量用三维坐标表示的基础。因此本节知识在本章中起承上启下的作用。 3.本节在教学思维方面的培养价值 平面向量基本定理蕴含了转化的数学思想。它是用基本要素用基本要素（基底、元）表达事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合），并把对事物的研究转化为对事物基本要素研究的典型范例，这是人们认识事物的一种重要方法。 【目标分析】 知识与技能 1.理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表 示为一组基底的线性组合； 2.了解平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等）。过程与方法 1.通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上 的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念； 2.通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定 理所蕴含的转化思想。 情感态度价值观 1.培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程； 2.与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。 【学情分析】 有利因素 1.学生在前面已经掌握了向量的基本概念和基本运算（特别是向量加法平行四边形法则和 向量共线的充要条件）都为学生学习本节内容提供了知识准备； 2.学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的分解，同时作图习惯已经养成，这 为我们学习向量分解提供了认知准备。 不利因素
平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算 教学目的： （1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问 题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程： 一、 复习引入： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |； （2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =0 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线则：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 二、讲解新课： 1．思考：（1）给定平面内两个向量1e ，2e ，请你作出向量31e +22e ，1e -22e ， （2）同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示？ 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e . 2．探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 3．讲解范例：
平面向量的基本定理 各位老师大家好，今天，我说课的内容是：人教B版必修4第二章第二节《平面向量的基本定理》第一课时，我将从教材分析、学生分析、教学方法和手段、教学过程以及教学评价五个方面进行分析 一、说教材 1.关于教材内容的分析 （1）平面向量基本是共线向量基本定理的一个推广，将来还可以推广到空间向量，得到空间向量基本定理，这三个定理可以看成是在一定范围内向量分解的唯一性定理。所以它是进一步研究向量问题的基础；是解决向量或利用向量解决问题的基本手段。 （2）平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进行向量运算的基本工具，它、也为平面向量坐标表示的学习打下基础。 （3）平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，因此，有着十分广阔的应用空间。 2.关于教学目标的确定 根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下三个方面来确定本节课的教学目标。 1、①了解平面向量基本定理及其意义,会做出由一组基地所表示的向量
②会把任意向量表示为一组基地的线性组合。掌握线段中点的向量表达式 2、通过对平面向量基本定理的归纳，抽象、概况，体验定理的产生和形成过程，提高学生抽象的能力和概括的能力 3、通过对定理的应用增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具。 3.重点和难点的分析 掌握了平面向量基本定理，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一，所以我认为对平面向量基本定理的应用是本节课的重点。另外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度，所以是本节的难点。突破难点的关键是在充分理解向量的平行四边形法则的和向量共线的充要条件下多方位多角度的设计有关训练题从而加深对定理的理解。 二、说教学方法与教学手段 结合新课标“以学生为本”的课堂教学原则和实际情况，确定新课教学模式为：质疑—合作—探究式。 此模式的流程为激发兴趣--发现问题，提出问题--自主探究，解决问题--自主练习， 采用多媒体辅助教学，增强数学的直观性，实物投影的使用激发学生的求知欲。
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.3.1 平面向量基本定理教案 新 人教版必修4 教学目标： 1．了解平面向量的基本定理及其意义； 2．通过定理用两个不共线向量来表示另一向量或将一个向量分解为两个向量； 3．能运用平面向量基本定理处理简单的几何问题． 教学重点 平面向量基本定理的应用；平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示． 教学难点： 平面向量基本定理的理解. 教学方法： 引导发现、合作探究. 教学过程： 一、创设情境，揭示课题 问题1 研究火箭升空的某一时刻的速度． 问题2 物理中的力的分解． 二、学生活动 1．火箭升空的某一时刻的速度可分解为在竖直向上和水平向前的分速度. 2．l 1→，l 2→是两个不共线的向量，a 是平面内的任一向量，如何将a 分解到l 1→，l 2→方向上去？ 三、构建数学 平面向量基本定理： 探索 （1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是惟一的？ （2）对于平面上两个不共线向量1e ，2e ，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表 示？
教师引导学生分析设1e ，2e 是不共线向量，a 是平面内任一向量． ?→?OA =1e ?→?OM =1λ1e ?→?OC =a =?→?OM +?→?ON =1λ1e +2λ2e ?→?OB =2e ?→?ON =2λ2e 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使a 1λ=1e +2λ2e ．我们把不共线向量1e 、2e 叫 做表示这一平面内所有向量的一组基底；这个定理也叫共面．． 向量定理. 注意： （1）1e ,2e 均是非零向量，必须不共线．．． ，则它是这一平面内所有向量的一组基底. （2）基底不唯一，当基底给定时，分解形式唯一；1λ，2λ是被a ，1e ，2e 唯一确定的 实数． （3）由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；同一平面内任一向．．． 量． 都可以表示为两个不共线向量的线性组合. （4）20λ=时， a 与1e 共线；10λ=时，a 与2e 共线；120λλ==时，0a = ． 基底：我们把不共线的向量1e ,2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 正交分解：一个平面向量用一组基底1e ,2e 表示成a 1λ=1e +2λ2e 的形式，我们称它为 向量a 的分解，当1e ,2e 所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a 的正交分解． 思考 平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？ 四、数学运用 1. 例题. 例 1 平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，=?→ ?AB a ,=?→?AD b ,试用向量a ,b 表示?→?MA ,?→?MB ,?→?MC ,?→?MD ．
一：学习目标：1：理解掌握平面向量基本定理；2：能用平面向量基本定理进行向量的合成与分解。 二：重点难点：平面向量基本定理 三：知识链接：1：向量的加法和减法运算： （1） 平行四边形法则的实施步骤： 先把两个向量的起点 ，然后 作平行四边形， 即为两个向量的和向量。 （2） 三角形法则的实施步骤： 先把两个向量首尾 ，由第一个向量的 指向第二个向量的 的向量即为两个向量的和向 量。 减法可转化为加法运算。 2：向量的数乘运算：设λ为实数，则 λa 表示与a 的向量。 （1）当λ＞0时，λ与方向 ， = （2）当λ＜0时，λ与方向 ， = （3）当λ=0时，λ= 3：向量共线定理：非零向量与向量共线，当且仅当有唯一一个实数λ使 四：学习过程 ： 1：如图，在平面内任取一点O ，作=1e ,=2e ，=, 如何将 a 用1e 和2e 表示出来？（提示：用平行四边形法则将a 在1e 和2e 的方向上分解） A 2：讨论探究：是否平面内任一向量都能用 1e 和 2e 表示？ 3：平面向量基本定理的内容： ； 不共线的向量1e 和2e 称为 。讨论：同一平面的基底是否唯一？ 4：设=，=，则 为和的夹角，记为θ，范围是 ；当θ=00 时， ；当θ=1800时， ；当0，记作 。 讨论探究： 作出下列向量的夹角 （1） （2） 1.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量 2.对于平面上的一个向量a ,有且只有一对实数x,y,使得a xi y j =+r r r ,我们把有序实数对),(y x 叫做 向量a r 的坐标,记作 . 比如力的分解， 6题例分析：(1):已知向量1e 和2e ，求作向量-2.51e +32e （提示：利用平行四边形法则合成） 变式练习：在平面直角坐标系中，1e 和2e 分别是x 轴和y =6, ∠AOX=600 ,试用1e 和2e 表示 提示：将向1e ，2e 的方向上分解，把两个分向量用1λ1e 和 2λ2e 表示出来，关键是求1λ和2λ (2):已知ABCDEF 是正六边形，且=，=,试用，表示 (提示:画出图形，用平行四边形法则或三角形法则进行转化) x A y O 1 e 2 e
第六教时 教材：平面向量基本定理 目的：要求生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。[§§] 过程：一、复习：1．向量的加法运算（平行四边形法则）。 2．实数与向量的积 3．向量共线定理 二、由平行四边形想到： 1．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ 2．对于平面上两个不共线向量 1 e，2e是不是平面上的所有向量都可以用它们表示？ ——提出课题：平面向量基本定理 三、新授：1．(P105-106) 1 e，2e是不共线向量，a 是平面内任一向量 OA=1e OM=λ11e OC=a =OM+ON=λ11e+ λ2 2 e = 2 e=λ22e 得平面向量基本定理：如果 1 e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ 2使a =λ 11 e+λ22e 注意几个问题：1? 1 e、2e必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底 2?这个定理也叫共面向量定理 3?λ1，λ2是被a ， 1 e，2e唯一确定的数量 2．例一( P106例三)已知向量 1 e，2e求作向量-251e+32e。 [] 作法：1?取点O，作=-25 1 e =3 2 e 2?作 OAB，即为所求+ 例二、(P106例4)如图 ABD的两条对角线交于点M，且AB=a ， =b ， 用a ，b 表示，，和 解： 在 ∵ =+=a +b[] =-=a -b ∴ =- 2 1=- 2 1( a +b )=- 2 1 a - 2 1 b 1 e 2 e a C M 1 e 2 e O N A B M C M M C a
《平面向量基本定理》教学设计 一、内容和内容解析 1．内容：探索发现并证明平面向量基本定理，应用定理解决简单的问题．2．内容解析：平面向量基本定理是在平面向量的加法、减法、数乘向量三种线性运算的基础上，对向量运算的一个总结与提升，建立了“形”与“数”的联系，为继续学习平面向量的坐标表示建立了逻辑前提，也是向量法解决几何问题的重要理论基础，是平面向量学习中承上启下的一个重要知识，在中学数学中占有重要地位．平面向量基本定理本质上提出了可以用平面内两个不共线的向量来表示平面内的任意向量，实质上体现了平面向量的“二维性”，实现了向量的表示、运算与图形的有机结合与统一．本节教学重点是探索发现并证明平面向量基本定理，培养发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力． 二、目标和目标解析 1．目标：在具体的问题情境中，通过具体操作向量的分解发现并证明平面向量基本定理，结合“形”与“数”的联系指出平面向量基本定理的意义，并解决一些简单的问题，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等素养． 2．目标解析： 本节是规则课教学，达成上述目标的标志是：第一，在具体的问题情境中能根据要求将平面向量进行分解，经历给定的向量用两个不共线的向量（基底）来表示的作图过程，形成平面向量基本定理的直观认识；第二，基于作图过程和原有共线向量表示法唯一性的认识，能正确说明任意一个平面向量在给定基底下的表示法是唯一的，并在此基础上通过推理论证得到平面向量基本定理；第三，知道平面内不共线的两个向量都可以作为基底，表示平面内任意一个向量，能应用平面向量基本定理解决简单的问题，体会平面向量基本定理的作用．
三、教学问题诊断分析 学生经历了平面向量共线定理和向量的代数运算，对向量的表示与运算有一定的认识，这是本节教学的认知基础．但由于学生往往局限于图形的直观联系，很难从向量的分解中抽象出向量“可表示”与“唯一表示”关键内容，对“向量任意性”，“表示唯一性”，“基底不共线”等概念认识也不到位，加上平面向量基本定理的内容有高度的抽象性，证明定理需要严谨的逻辑性，成为学生学习的难点．此外，由于对定理的地位与意义认识不足，在定理的应用中无法正确选择合适的向量，建立向量与基底的联系，也是学生解决问题时的难点． 综上，本节的教学难点是平面向量基本定理的抽象概括与推理证明． 四、教学支持条件分析 为了更有效实现教学目标，突破教学难点，教学时应采用从特殊到一般的策略，让学生经历探索、发现、认识、理解平面向量基本定理的过程．为便于开展活动教学，可以运用多媒体平板电脑实现课堂师生互动，运用几何画板等软件实现平面向量基本定理的动态展示，以此加强对平面向量基本定理的理解，积累学生的基本活动经验，进而形成数形结合的思维认知，提升学生直观想象的核心素养． 五、教学过程设计 1．创设情境，激发思考 问题1：今天我们来研究平面内任意一个向量如何表示的问题． 之前，我们学习了平面向量的线性运算，如果一个非零向量a 与向量b 共线，我们可以如何表示向量b ？ 【师生活动设计】教师提出问题，学生思考后回答，师生共同得出：如果一个非零向量a 与向量b 共线，存在唯一的实数λ使得λ=b a . 【设计意图】通过复习平面向量共线，使学生明白两个向量共线的位置关系可以通过向量的数乘运算来进行代数表示，而且表示的结果是唯一的，这为下面引出平面向量基本定理提供研究问题的思路和方向．
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示（1）（教学设计） 2．3．1平面向量基本定理；2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 [教学目标] 一、知识与能力： 1． 了解平面向量基本定理。 2．掌握平面向量基本定理，理解平面向量的正交分解及坐标表示； 3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 二、过程与方法： 体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． 教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算 教学难点：平面向量基本定理． 一、复习回顾： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 二、师生互动，新课讲解： 思考：给定平面内任意两个向量e 1,e 2，请作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2，平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢？. 在平面内任取一点O ，作OA =e 1，OB =e 2，OC =a ，过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N . 由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM =λ1e 1，ON =λ2e 2. 由于OC OM ON =+，所以a =λ1e 1+λ2e 2，也就是说任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式. 1． 平面向量基本定理 （1）定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得
2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 整体设计 教学分析 平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因. 在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j 作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=x i+y j. 于是,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想. 三维目标 1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理. 2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量. 重点难点 教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面 向量的坐标表示. 教学难点:平面向量基本定理的运用. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路 1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,那么a与e1、e2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便