3.3导数在研究函数中的应用
重难点：了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次．
考纲要求：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次．
②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次．
经典例题：已知函数与的图象都过点P且在点P处
有相
同的切线.
(1) 求实数的值;
(2) 设函数, 求的单调区间, 并指出在该区间上的单调性.
当堂练习：
1. 函数是减函数的区间为( )
A. B. C. D.
2. 函数, 已知在时取得极值, 则 ( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
3. 在函数的图象上, 其切线的倾斜角小于的点中, 坐标为整数的点的个数是
( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
4. 函数的图象与直线相切, 则( )
A. B. C. D. 1
5. 已知函数(m为常数) 图象上点A处的切线与直线
的夹角为, 则点A的横坐标为 ( )
A. 0
B. 1
C. 0或
D. 1或
6. 曲线在处的切线的斜率为 ( )
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
7. 已知某物体的运动方程是, 则当时的瞬时速度是( )
A. 10m /s
B. 9m /s
C. 4m /s
D. 3m /s
8. 函数＝在区间上的最大值与最小值分别是( )
A. 5, 4
B. 13, 4
C. 68, 4
D. 68, 5
9. 已知函数y＝－x 2－2x＋3在区间上的最大值为, 则a等于( )
A. －
B.
C. －
D. －或－
10. 若函数y＝x 3－2x 2＋mx, 当x＝时, 函数取得极大值, 则m的值为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D.
11. 曲线在点处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为.
12. 曲线在点处的切线方程是.
13. 与直线＝0平行, 且与曲线y＝相切的直线方程为.
14. 曲线y＝在点M处的切线的斜率为－1, 则a＝.
15. 已知函数
(1) 求的单调递减区间;
(2) 若在区间上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值.
16. 已知函数的图象过点P, 且在点M处的切线方程为.
(1) 求函数的解析式; (2) 求函数的单调区间.
17. 已知函数当时, y的极值为3.
求: (1) a, b的值; (2) 该函数单调区间.
18. 设函数若对于任意都有成立, 求实数
的
取值范围.
参考答案：
经典例题：解：(1)
由题意得:
(2) 由(1)得
由得:或
的递增区间是; 的递减区间是.
当堂练习：
1.D;
2.B;
3.D;
4.B;
5.C;
6.A;
7.C;
8.C;
9.D; 10.C; 11. ; 12. ; 13.
;14.-3;
15. 解: (1) 令或
所以函数的单调递减区间为, .
(2) 因为
所以. 因为在上, 所以在上单调递增, 又由于
在上单调递减, 因此和分别是在区间上的最大值和
最小值, 于是有. 故
因此, 即函数在区间上的最小值为.
16. 解: (1) 由的图象经过P,知, 所以
.即
由在处的切线方程是, 知
,
故所求的解析式是
(2) 令即
解得当
当
故在内是增函数, 在内是减函数,
在内是增函数.
17. 解: (1)
当时, y的极值为3..
(2) 令
令或
y在上为单调增函数;
y在上为单调减函数.
18. 解: 令得或.
∵当或时, ∴在和上为增函数, 在上为减函数, ∴在处有极大值, 在处有极小值.
极大值为, 而, ∴在上的最大值为7.
若对于任意x都有成立, 得m的范围.