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第三章 线性平稳时间序列分析

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第三章 线性平稳时间序列分析

在时间序列的统计分析中,平稳序列是一类重要的随机序列。在这方面已经有了比较成熟的理论知识,最常用的是ARMA (Autoregressive Moving Average )序列。用ARMA 模型去近似地描述动态数据在实际应用中有许多优点,例如它是线性模型,只要给出少量参数就可完全确定模型形式;另外,便于分析数据的结构和内在性质,也便于在最小方差意义下进行最佳预测和控制。本章将讨论ARMA 模型的基本性质和特征,这是时间序列统计分析中的重要理论基础。

§3.1 线性过程

通常假设随机序列是由平稳序列{}t X 与相互独立的冲击或振动{}t ε叠加生成,其中t

ε是服从某一固定分布的随机变量,实际中由于t ε的独立性及分布情况难以确定,常用白噪声序列来定义。在正式讨论之前,我们首先给出相应的准备工具,介绍延迟算子和求解线性差分方程,这些工具会使得时间序列模型表达和分析更为简洁和方便,下面是延迟算子的概念。

定义 设B 为一步延迟算子,如果当前序列乘以一个延迟算子,就表示把当前序列值的时间向过去拨一个时刻,即1-=t t X BX 。

进一步地,对于任意的n ,延迟算子B 满足:

22

t t n t t n

B X X B X X --=

=

一般地,延迟算子B 有如下性质: (1) 0

1B =;

(2) 若c 为任意常数,则()()1t t t B c X c B X c X -?=?=?;

(3) 对于任意的两个序列{}t X 和{}t Y ,有()()()11t t t t t t B X Y B X B Y X Y --±=±=±; (4)

()()()01!1!!

n

n

n

i i n B B i n i =--=-∑

接下来我们讨论求解线性差分方程。

定义 定义如下形式方程为序列{:0,1,2,

}t z t =±±的线性差分方程:

()11t t p t p z z z h t αα--++

+=,

其中1p ≥,1,,p αα为实数,()h t 为t 的已知函数。

特别地,当函数()0h t =时,差分方程:

110t t p t p z z z αα--+++=

称为齐次线性差分方程。否则,线性差分方程称为非齐次线性差分方程。

在时间序列模型中,求解差分方程起着重要的作用,t X 关于白噪声序列t ε的有限参数模型都是用线性差分模型表示的。下面我们讨论线性差分方程解的问题,首先讨论齐次线性差分方程解的情况。为此,需要先定义齐次线性差分方程的特征方程和特征根。下列方程:

110p p p λαλα-++

+=

称为齐次线性差分方程的特征方程。这是一个一元p 次线性方程,它至少存在p 个非零根,

称这p 个非零根为特征根,记为12,,

,p λλλ。

根据特征根12,,,p λλλ的情况,齐次线性差分方程解的解有如下情形:

1. 特征根12,,

,p λλλ为互不相同的实根

这时齐次线性差分方程的解为

11t t

t p p

z c c λλ=+

+ 其中,1,

,p c c 为任意实数。

2. 特征根12,,,p λλλ中有相同实根

此时不妨设1d λλ==为d 个相同实根,1,,d p λλ+为互不相同的实根,齐次线性差

分方程的解为:

()2112111d t t

t

t d d d p p

z c c t c t c c λλλ-++=++

+++

+ 其中,1,

,p c c 为任意实数。

3. 特征根12,,,p λλλ中有复根

此时由于1,

,p c c 为任意实数,所以若方程有复根,则必有共轭复根,不妨假定

12,i i a ib re a ib re ωωλλ-=+==-=

为一对共轭复根,其中arccos a

r r

ω==,3,

,p λλ为互不相同的实根,这

时齐次线性差分方程的解为:

()111233

t t

t p p t

it it t t p p

z c c r c e

c e

c c ω

ω

λλλ

λ-=++=+++

+

其中,1,,p c c 为任意实数。

对于非齐次线性差分方程解的问题,通常分下下列两个步骤进行:首先求出对应齐次线

性差分方程的通解t z ',然后再求出该非齐次线性差分方程的一个特解t z '',即t z ''满足:

()11t t p t p z z z h t αα--''''''++

+=

则非齐次线性差分方程()11t t p t p z z z h t αα--++

+=的解为对应齐次线性差分方程的解

t z '和该非齐次线性差分方程的一个特解t z ''之和,即

t t t z z z '''=+

由此可见,非齐次线性差分方程的特解依赖于函数()h t 的形式,齐次线性差分方程的通解依赖于对应特征方程的根,并且带有任意常数。时间序列模型的最终特性通常是被齐次差分方程所支配。

3.1.1线性过程的定义

定义3.1 },{Z t X t ∈称为线性过程,若 t j t

j j X G ε

-=-∞

=

∑ (3.1)

其中,{}t ε是白噪声序列,系数序列}{j G 满足 ∑∞<∞

-∞=j j

G 2

(3.2)

若其中系数序列满足0,0j G j =<,则系统表为

t j t j j X G ε∞

-==∑

(3.3)

称系统为因果性的。

下面不加证明地给出线性过程的相关结果。

定理3.1 定义(3.1)中的线性过程是平稳序列,且无穷滑动和是均方收敛的。 证明:由于{}t ε为白噪声序列,因此{}t ε为正交序列,又:

∑∞<∞

-∞

=j j

G 2

故有

2

22

0,N N j t j j j M j M E G G M εσ-==??=→→∞ ???

∑∑

从而无穷滑动和均方收敛,且

0t j

t j

j EX G E ε

-=-∞

=

=∑

k t t k X EX -=γ

j t j l t k l j l E G G εε∞∞---=-∞=-∞??

=? ???

∑∑

2

j

j k

j G G

σ

-=-∞

=∑

故}{t X 为平稳序列。

3.1.2 线性过程的因果性和可逆性

上节提到,在应用时间序列分析去解决实际问题时,所使用的线性过程是因果性的,即: 0

t j t j

j X G ε

-==

∑,10=G (3.4)

∑∞<∞

=0

2

j j

G (3.5)

设B 为一步延迟算子,则j t t j X X B -=,0≥j ,(3.4)可表为:

0()j t j t t j X G B G B εε∞=??

== ???

∑ (3.6)

其中,∑=∞

=0)(j j

j B G B G ,今后将把)(B G 看作对t ε进行运算的算子,又可作为B 的函数来

讨论。

函数)(B G 中系数序列}{j G 可以是有限项,也可以是无限项。在无限项时要求(3.4)满足一定的收敛性。要使}{t X 平稳,则要求}{j G 满足(3.5)。函数)(B G 在1≤B 时收敛可作为∑∞

=0j j G 收敛的充分条件。通常更便于使用的条件是:

∞<∑∞

=0

j j G (3.7)

在理论研究和实际问题的处理时,通常还需要用t 时刻及t 时刻以前的),1,0( =-j X j t 来表示白噪声t ε,即

1

1

()t t t j t j j G B X X I X ε∞

--===-∑

(3.8)

其中

∑-==∞

=-1

1

1)()(j j

j B I B I B G (3.9)

称将t X 变换为t ε的线性算子:

1,)(00

-=∑-=∞

=I B I B I j j j

为逆函数,称(3.8)为t X 的逆转形式,也称为无穷阶自回归。

与因果性完全类似,为使(3.8)中级数有意义,易证,若∞<∑∞

=02

j j

I ,则(3.8)级数为均

方收敛。

定理3.2 若(3.4)、(3.5)中的系数序列}{j G 满足(3.7),且

1,0)(0

≤≠∑=∞

=B B G B G j j j

则)(1

B G -可表为(3.9),且有

∞<∑∞

=0j j I

1,0)(0

≤≠∑-=∞

=B B I B I j j j

由上述定理可见:)(B G 的零点都在单位圆外与)(B I 的零点都在单位圆外是等价的。

§3.2 自回归模型AR(p)

上节中所讨论的线性过程及其逆转形式都是无穷和的形式,当用有限和去逼近时即产生有限参数线性模型,而且许多平稳序列本身就是由有限参数线性模型刻画的。有限参数线性模型是时间序列分析中理论最基础、应用最广泛的部分。如下将讨论AR 、MA 和ARMA 三种有限参数线性模型。

3.2.1一阶自回归模型AR(1)

通常地,由于经济系统惯性的作用,经济时间序列往往存在着前后依存关系。最简单的一种情形就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关,用数学模型来描述这种关系就是下面介绍的一阶自回归模型。

定义3.2 }{t X 为零均值平稳序列,满足如下差分方程:

1t t t X c X φε-=++ (3.10)

其中,φ为t X 对1-t X 的依赖程度,{}t ε为白噪声序列,满足()2

0,t t E Var εεσ==,则称

}{t X 满足一阶自回归模型(Autoregressive Model),常记作AR(1)。图3.1为一个零均值的

AR(1)模型200个模拟数据。

-4

-2

2

4

20

40

60

140160AR(1)

图3.1 零均值的AR(1)过程

在一阶自回归AR(1)模型中,保持其平稳性的条件是对应的特征方程

0λφ-=

的根的绝对值必须小于1,即满足1φ<。对此,我们可以通过如下推导过程加以理解。利用延迟算子,对于一阶自回归模型AR(1):1t t t X c X φε-=++可写为

()1t t B X c φε-=+

()

()

()1

1

111t t t X B c c B φεφεφ

--=-+=+-- 在

1φ<条件下,有

()1111j j t t

j t t t j c

X B B c φφεφ

εφεφεφ

--=

+++++-=+++++-

(3.11)

若保证AR(1)具有平稳性,

j j j B φ∞

=∑必须收敛,即自回归参数φ必须满足1φ<,或者满足0

1

1j

j φφ

==

<∞-∑。这是容易理解的。 反之,如果1φ>,根据(3.11)中t ε对X 的影响不会随着时间的递增而消失,系统不是

有限方差的协方差平稳过程,0

j

j j B φ

=∑发散。于是,}{t X 变成一个非平稳随机过程,这个

过程一般称为爆炸性过程。

因为{}t ε是一个白噪声过程,根据(3.11)式,对于平稳的AR(1)模型,经过简单的计算易得

()1t c E X μφ

==

- (3.12)

()()

120

22

11j t t t t j

j t j j c

Var X Var Var εφεφεφ

φεσφ--∞

-=??=+++

++ ?-??

==

-∑

(3.13)

(3.13)式也说明,若要保证}{t X 平稳,则必须保证1φ<。

例3.1 设一阶自回归AR(1)模型10.6t t t X X ε-=+,则

()10.6t t B X ε-=

()1

110.60.60.6t t

j

t t t j X B εεεε---=-=++

++

上式变换为一个无限阶的移动平均过程。

3.2.2 二阶自回归模型AR(2)

当变量当前的取值主要与其前两时期的取值状况有关,用数学模型来描述这种关系就是如下的二阶自回归模型AR(2):

1122t t t t X c X X φφε--=+++ (3.14)

引入延迟算子B 的表达形式为:

2

12(1)t t B B X c φφε--=+ (3.15)

首先讨论AR(2)模型的平稳性问题,此时,差分方程的平稳条件是特征方程

2120λφλφ--=

的根12,λλ都落在单位圆内,即

| λ1| < 1, | λ2| < 1

容易计算两个特征根分别是

12,λλ=

下面利用特征方程的根与模型参数12,φφ的关系,给出AR(2) 模型平稳的12,φφ的取值条件(或值域)。由初等数学知识易得

121λλφ+= 122λλφ=-

从而,有

()()21121212111φφλλλλλλ+=-++=--- ()()21121212111φφλλλλλλ-=--+=-++

则由| λ1| < 1, | λ2| < 1,无论λ1, λ2为实数或共轭复数,都有

12(1)(1)0λλ±±>

从而,得

211φφ±< (3.16)

进一步地,有

21φ< (3.17)

(3.16)和(3.17)式是保证AR(2)模型平稳,回归参数12,φφ所应具有的条件。反之,若(3.16)和

(3.17)式成立,则特征方程特征方程2

120λφλφ--=的根必落在单位圆内。满足条件(3.16)

和(3.17)式给出的区域(){}

12212,1,1φφφφφ±<<称为平稳域。对于AR(2)模型平稳域是一个三角形区域,见下图阴影部分。

图3.2 平稳AR(2) 模型参数12,φφ取值区域(阴影部分)

回归参数12,φφ的取值变化分以下三种情形讨论:

(1) 当2

1240φφ+=时,有12λλ=为相等实数根。12,φφ取值在图中的抛物线上,称为

临界阻尼状态;

(2) 当2

1240φφ+>时,12,λλ 为不等实数根。12,φφ的值位于过阻尼区(自相关函数呈

指数衰减);

(3) 当2

1240φφ+<时,12,λλ为共轭复根。12,φφ的值位于欠阻尼区(自相关函数呈正

弦震荡衰减)。

由此,对于二阶自回归模型AR(2)模型:1122t t t t X c X X φφε--=+++来说,可以使用两种方法判断其平稳性,它们分别是:

(1) 利用模型对应的特征根12,λλ的约束条件,即满足| λ1| < 1, | λ2| < 1; (2) 利用模型参数12,φφ的约束条件,满足(){}

12212,1,1φφφφφ±<<。 例3.2 设AR(2)模型:120.70.1t t t t X X X ε--=-+,试判别t X 的平稳性。 解:根据上述关于平稳条件的讨论,可以通过两种径进行讨论: 方法1:(利用12,φφ的约束条件)

120.6φφ+=,120.8φφ-+=-,20.1φ=-,

满足条件(3.16)和(3.17),所以t X 是平稳的。 方法2:(利用特征根都落在单位圆内的条件) 模型120.70.1t t t t X X X ε--=-+对应的特征方程为

20.70.10λλ-+=

特征方程的两个根是120.7,2

λλ±=,即| λ1| < 1, | λ2| < 1。因为两个根都在单位

圆内,所以t X 是平稳的。

例3.3 设AR(2)模型120.70.6t t t t X X X ε--=++,试判别t X 的平稳性。 解:

方法1:(利用12,φφ的约束条件)

由于

12 1.3φφ+=,120.1φφ-+=-,20.6φ=,

不满足条件(3.16),所以t X 是非平稳的。 方法2:(利用特征根都落在单位圆内的条件)

AR(2)模型120.70.6t t t t X X X ε--=++对应的特征方程为

20.70.60λλ--=

特征方程的两个根是121.2,0.5λλ==-,因为一个根1.2在单位圆外,所以t X 是一个非平稳的序列。

关于二阶自回归AR(2)模型因果性问题,考虑特征方程

2120λφλφ--=

其特征根1λ和2λ为

1211

,(2

λλφ=

所以t X 可用部分分式来展开(设21λλ≠)

()212121212121211120

121

11

(1)(1)

11 (1)(1)1

t t

t

t

j j t j j X B B B B B B εφφελλλλελλλλλλλλελλ∞

++-==--=

--??=?+? ?----??

=--∑ (3.18)

下面我们讨论序列的统计特性,关于平稳的二阶自回归模型AR(2)模型:

1122t t t t X c X X φφε--=+++,

可以直接求出其均值μ。我们对式(3.14)两边取期望,得到

112212()()()t t t E X c E X E X c μφφφμφμ--==++=++

12

()1t c E X μφφ==

-- (3.19)

关于序列的方差,将在后面章节讨论。

3.2.3 p 阶自回归模型AR(p)模型

如果t X 与过去时期直到p t -期的自身取值相关,则需要使用包含1,,t t p X X --在内

的p 阶自回归AR(p)模型的一般形式为:

()()112

,~0,,

, 0

t t p t p t t s t X X X WN s t E X φφεεσε--=+++????

?

这里(), 0s t s t E X ε?

当0c =时,自回归模型称为中心化的AR(p)模型。一般的AR(p)序列也可以通过下述的变换转化为中心化的AR(p)序列

12,1t t p

c

Y X μμφφφ=

=----

-

则{}t Y 为}{t X 的中心化序列。由于这种变换对于序列之间的相关关系没有任何影响,所以在以后的篇幅中,如果涉及讨论AR(p)模型的相关关系时,简单起见,我们仅对中心化的AR(p)模型进行讨论就可以了。

下面我们利用差分方程求解的方法讨论AR(p)模型的平稳问题。考虑一个中心化的AR(p)模型:

()t t B X εΦ=

(3.21)

其中,2

12()(1)p p B B B B φφφΦ=----为算子多项式。根据非齐次差分方程解的情况,

模型(3.21)有通解为:

t t t X X X '''=+

其中,t X '为对应齐次差分方程()0t B X Φ=的通解,t X ''是非齐次差分方程()t t B X εΦ=的一个特解,接下来我们给出t X '和t X ''的具体形式。

(1) 首先求对应齐次差分方程()0t B X Φ=的通解t X '。 假定其对应特征方程1

10p

p p λφλ

φ---

-=的p 个特征根为12,,,p λλλ,根据前面

的讨论,一般地,这p 个特征根可能有如下情形:

1d λλ=

=为d 个相同实根;

12,

,d p m λλ+-为2p d m --互不相同的实根;

21,

,p m p λλ-+为2m 个复根,它们两两共轭。

则齐次差分方程()0t B X Φ=的通解为:

()21

121

1

21

cos sin p m

p

d j t t t t j j

j

j

j j j j j j j d j p m X c t c r c t c t λλ

ωω--==+=-+'=+

+

+∑∑∑

这里()1212,

,,,1,

,p m j j c c c c j m -=为任意实数。

(2) 再求非齐次差分方程()t t B X εΦ=的一个特解t X ''。 由于12,,

,p λλλ为所对应的特征根,因此

110,

1,,p p j j p j p λφλφ---

-==

进而

1

1

1

10,1,,p

p

j

j j p φφλλ--

-==,

这说明1

,1,

,j j

u j p λ=

=是方程212()10p p u u u u φφφΦ=----=的根,即AR(p)

模型的自回归系数多项式方程()0u Φ=的根与对应齐次差分方程()0t B X Φ=的特征根互为倒数。由此,自回归系数多项式可以写为

()1

()1p

j j B B λ=Φ=-∏

因此,我们可以得到非齐次差分方程()t t B X εΦ=的一个特解

()

1

1

1

()

1t t t p

j

j X B B εελ=''=

=Φ-∏

部分分式展开得到

()

11

1

11p

j

t t t p

j j j

j k X B

B εελλ==''=

=--∑

其中1,,p k k 为任意实数。

由上述讨论,我们获得非齐次差分方程()t t B X εΦ=的通解的具体表达式为:

()21

121

1

21

1cos sin 1p m

p

p

d j

j t t t t j j

j

j

j

j j j j t j j d j p m j j k X c t c r c t c t B

λλ

ωωελ--==+=-+==+

+

++-∑∑∑

由此,要使得中心化的AR(p)模型()t t B X εΦ=平稳,对任意实数

()1212,,,,1,,p m

j j c c c c j m -

=,

1,,p k k ,平稳的充要条件为:

1,1,,21,21,,j j j p m

r j p m p

λ?<=-??

<=-+?? 这等价于AR(p)模型()t t B X εΦ=的特征根在单位圆内或者自回归系数多项式方程

()0u Φ=的根在单位圆外。

§3.3 移动平均过程MA (q )

3.3.1一阶移动平均过程MA(1)

有些情况下,序列{}t X 的记忆是关于过去外部干扰的记忆。在这种情况下,{}t X 可以表示成过去干扰值和现在干扰值的线性组合,此类模型常称为序列{}t X 的移动平均模型。最简单的情形是如下的一阶移动平均模型:

1t t t X μεθε-=+-

(3.22)

其中,μ为常数,θ为移动平均系数,{}t ε是白噪声过程,满足()2

0,t t E Var εεσ==,则称模型(3.22)为一阶移动平均模型(Moving Average ),记为MA(1)。图3.2为一个零均值的MA(1)序列200个模拟数据。

-4

-3-2-1012320

40

60

80

100120140160180200

MA(1)

图3.2 零均值的MA(1)过程

容易计算,MA(1)的期望为

1()()()t t t E X E E μεθεμ-=+-= (3.23)

方差为

2222222111()()(2)(1)t t t t t t t E X E E μεθεεθεεθεθσ----=-=-+=+ (3.24)

由于MA(1)序列是白噪声序列t ε与其延迟项1t ε-的加权和构造形成的,所以,MA(1)序列

{}t X 是显然平稳的。类似于自回归模型的平稳性讨论,与移动平均过程相联系的一个重要

概念是可逆性。对于零均值的MA(1)序列

1t t t X εθε-=-

模型可写为

()1t t B X θε-=

()1

1t t

B X εθ-=-

1θ<条件下,有

()11j j t t

j

t t t j B B X

X X X εθθθθ--=++

++

=++++

这是一个无限阶的以几何衰减特征为权数的自回归过程,此时MA(1)模型可以展成无穷阶的自回归模型,称MA(1)模型是可逆的。

3.3.2 q 阶移动平均过程

如果一个随机过程成分的可用下式表达

11t t t q t q X μεθεθε--=+--

-

(3.25)

其中,θ 1, θ 2, …, θ q 是回归参数,{}t ε是白噪声过程,满足()20,t t E Var εεσ==,则上式称为q 阶移动平均模型,记为MA(q ) 。

同样,容易计算其均值和方差分别为

()

()()()1111()t t t q t q t t q t q E X E E E E μεθεθεμεθεθεμ

----=+--

-=+--

-= (3.26)

()2

2112222

12()()(1)t t t t q t q q Var X E X E μεθεθεθθθσ--=-=---=+++

+ (3.27) 显然,对于q 阶移动平均模型MA(q )均满足平稳性。因此,移动平均模型MA(q )的平稳性对于参数没有任何要求。

§3.4 自回归移动平均过程ARMA(p, q)

3.4.1自回归移动平均过程ARMA(p, q)

如果序列}{t X 的当前值不仅与自身的过去值有关,而且还与其以前进入系统的外部干扰存在一定依存关系,则在用模型刻画这种动态特征时,模型中既包括自身的滞后项,也包括过去的外部干扰,这种模型叫做自回归滑动平均模型(Autoregressive-Moving Average Model ),即ARMA(p , q )模型。

定义3.3 ARMA(p , q )模型的一般表达式为:

()()11112

,

~0,, , 0t t p t p t t q t q t s t X c X X WN s t E X φφεθεθεεσε----=++++--

-????

(3.28)

其中,1,

,p φφ为自回归系数,1,,q θθ为移动平均系数。写成带有延迟算子的形式为:

2121(1)(1)p q p t p t B B B X c B B φφφθθε----=+-- (3.29)

对于(3.29),两侧同时除以1(1)p p B B φφ--

-,可以得到

()t t X G B με=+ (3.30)

其中

()

()

111()1q q p

p B B B G B B B B θθφφ---Θ=

=

--

+Φ (3.31)

12(1)

p c

μφφφ=

---

- (3.32)

模型的平稳性和可逆性是讨论AR 、MA 、ARMA 模型的前提条件,从数据出发建立模型,需要检验所得模型是否满足平稳性和可逆性。检验的方法是根据代数方程的根与系数的关系,对模型参数的约束条件进行讨论,为此,引入模型参数的平稳域与可逆域的概念。

定义3.4 (平稳域)设ARMA 模型的自回归系数和滑动平均系数的向量表示为:

1(,,)T p φφ=φ,1(,,)T p θθ=θ

对AR(p)或ARMA(p,q)模型,使()0B Φ=的根全在单位圆外的参数向量φ的全体构成一个p 维向量空间p R 上的子集,记为(){:()0}p B φΦ=Φ=的根全在单位圆外,称)(p Φ为AR(p)或ARMA(p,q)模型的平稳域。

定义3.5 (可逆域)对MA(q)或ARMA(p,q)模型,使()0B Θ=的根全在单位圆外的参数向量θ的全体构成一个q 维向量空间q

R 上的子集,记为

(){:()0}q B θΘ=Θ=的根全在单位圆外,称()

q Θ

为MA(q)或ARMA(p,q)模型的可逆域。

定义3.6 (平稳可逆域)对ARMA(p,q)模型,如下向量称为平稳可逆域:

()()()():,p p q q φφθθ??Φ??

??=∈Φ∈Θ ??? ? ?Θ??

????

例3.4 求ARMA(1,1)的平稳域和可逆域。 解: (1) 平稳域

1111t t t t X X φεθε---=-

t X 平稳11φ?<

以上平稳域与AR(1)的平稳域相同,也即ARMA(1, 1)序列的平稳性仅与自回归系数有关,而与滑动平均系数无关,并且平稳条件与AR(1)的平稳条件相同。

(2) 可逆域

对于ARMA(1,1),假定可逆形式为

t k k t t X B B B X B a )1()(221 -----==ππππ

代入ARMA(1,1)的滞后算子表示形式,比较同次幂系数可得

11111112111()()()k t t t t t k X X X X εφθθφθθφθ----=--------

根据可逆性定义,应有11<θ。因此,ARMA (1,1)的可逆域是:

{}1:1)1(<=θθθ,

它仅与滑动系数有关,而与自回归系数无关,而且可逆域与MA (1)的可逆域相同。

例3.5 求MA(2)的可逆域。 解:由

2211----=t t t t Y εθεθε,

其特征方程为:

01)(221=--=B B B θθθ

该方程的两个根为:

2

2

211124θθθθλ+--=

2

2

211224θθθθλ++-=

由二次方程根与系数的关系,有

2

1

212

21,1

θθλλθλλ-

=+-

= 当MA (2)平稳时,根的模

21λλ与都必须大于1,因此必有:

11

2

12<=

λλθ

由根与系数的关系,可以推出如下式子:

)1

1)(1

1(12

1

12λλθθ-

-

-=+

)1

1)(1

1(12

1

12λλθθ+

+

-=-

由于21θθ、是实数,21λλ与必同为实数或共轭复数。又因为1>i λ,因此

01

1>i

λ

=±12θθ1)1

1)(1

1(12

1

<-λλ

反之,如果12<θ,且112<±θθ。那么从11

2

12<=

λλθ可以推出至少有一个1>i λ,

例如,假设

11>λ,则根据1)1

1)(1

1(12

1

<-λλ

可推出0)1

1)(1

1(2

1

>λλ

,由

01

11

可以推出01

12

,从而12>λ。因此,01)(221=--=B B B θθθ的根在单

位圆之外。

从而可知,ARMA(p , q )过程的平稳性完全取决于回归参数1(,,)p φφ而与移动平均参

数无关,即平稳性的充要条件为对应AR(p )部分的特征方程:

110p p p λφλφ---

-=

的根在单位圆内。

3.4.2 模型的传递形式和格林(Green )函数

当()0B Φ=的根在单位圆外时,ARMA(p,q )模型()()t t B X B εΦ=Θ可表示为:

1()()t t X B B ε-=ΦΘ:()t G B ε= (3.33)

由部分分式展开,)(B G 可表为

1

()()()j j j G B B B G B ∞

-==ΦΘ=∑

比较两边B 的同次幂系数,得到:

1

1

(1)()(1)p q

j

j

j j j j j j j B G B B φθ∞===-=-∑∑∑

0111211211,,,

G G G G φθφφθ==-=+-

写成通式为:

**0

,1,2,

l

j l j

l j G

l φθ-===∑ (3.34)

其中

*

*0

,11,0,j j

j p j p

φφφ≤≤?=-=?>?,???>≤≤=q j q

j j j

,01,*θθ (3.35) 可以得到}{j G 的递推公式:

*

1*1

,1,l

l j l j j l l

j l j j G l q

G G j q θφφ-=-=?-≤≤??

=??->??∑∑ 定义3.7 当}{t X 表示为

j

t j t j t j j j X G B G εε∞

-====∑∑ (3.36)

即称为ARMA(p,q)模型的传递形式,或}{t X 的Wold 分解,称}{j G 为格林函数,或Wold 系数。

从格林函数的展开式可以看出,j G 是j 个单位时间以前加入系统的冲击或扰动t ε对现在影响的权重。另一方面,格林函数表示了系统对冲击t j ε-有多大的记忆,也即如果有单个

t ε加入系统,格林函数决定了系统将用多久能够恢复到它的平衡位置。

例3.6 求AR(1)模型的格林函数。 解:由于

1(1)t t B X φε-=

2211100

(1) t t

j t j

j j t j

j X B B G φφεφεε∞

-=∞-==+++==∑∑

所以,

,2,1,0,1==j G j j ?

例3.7 求ARMA(2,1)模型的格林函数。

解:将ARMA(2,1)模型的自回归部分因式分解为:

21212(1)(1)(1)B B B B φφλλ--=--

即,

121λλφ+=,122λλφ=-

其中,1λ和2λ为二阶线性差分方程的特征根,由特征方程:

2120λφλφ--=

给出。

故,

1211,(2

λλφ=

所以,t X 可用部分分式来展开(设21λλ≠)

12

12112112112121211211201221(1)

1(1)

(1)(1)

11 (1)(1) t t

t

t

j j t j

j B X B B B B B B B θεφφθελλλθλθελλλλλλλθλθλλελλλλ∞

-=-=---=

--??--=?+? ?----????????--=+?? ? ?--??????

于是,格林函数为

j

j j j j g g G 22112121212111λλλλλθλλλλθλ+=?

??

? ??--+???? ??--= 其中,1

21

2221111,λλθλλλθλ--=--=

g g 。

对于MA(q)模型,因为()1B Φ=,故()()G B B =Θ,模型本身就是一种传递形式,格林函数为:

,10,

j

j j q

G j q θ-≤≤?=?>? (3.37)

时间序列分析与建模简介

第五章时间序列分析与建模简介 时间序列建模( Modelling via time series )。时间序列分析与建模是数理统计的重要分支,其主要学术贡献人是Box 和 Jenkins。本章扼要介绍吴宪民和 Pandit的工作,仅要求一般了解当前时间序列分析与建模的一些主要结果。参考书:“时间序列及系统分析与应用(美)吴宪民,机械工业出版社(1988)TP13/66。 引言 根据对系统观测得出的按照时间顺序排列的数据,通过曲线拟合和参数估计或者谱分析,建立数学模型的理论与方法,理论基础是数理统计。有时域和频域两类建模方法,这里概括介绍时域方法,即基于曲线拟合与参数估计(如最小二乘法)的方法。常用于经济系统建模(如市场预测、经济规划)、气象与水文预报、环境与地震信号处理和天文等学科的信号处理等等。 §5—1 ARMA模型分析 一、模型类 把具有相关性的观测数据组成的时间序列{ x k }视为以正态同分布白噪声序列{ a k }为 输入的动态系统的输出。用差分模型ARMA (n,m) 为(z-1) x k = (z-1) a k 式(5-1-1) 其中: (z-1) = 1- 1 z-1-…- n z-n (z-1) = 1- 1 z-1-…- m z-m

离散传函 式(5-1-2) 为与参考书符号一致,以下用B表示时间后移算子 即: B x k = x k-1 B即z-1,B2即z-2… (B)=0的根为系统的极点,若全部落在单位园内则系统稳定;(B)=0的根为系统的零点,若全部在单位园内则系统逆稳定。 二、关于格林函数和时间序列的稳定性 1.格林函数G i 格林函数G i 用以把x t 表示成a t 及a t 既往值的线性组合。 式(5-1-3) G I 可以由下式用长除法求得: 例1.AR(1): x t - 1 x t-1 = a t 即: G j = 1 j(显示) 例2.ARMA (1,1): x t - 1 x t-1 = a t - 1 a t G 0= 1 ; G j =( 1 - 1 ) 1 j-1 ,j 1 (显示) ∑∞=- = j j t j t a G x

平稳时间序列的模型

目录 摘要 (1) 第一章绪论 (2) 1.1 时间序列模型的发展及其作用 (2) 1.2 什么是时间序列模型 (2) 1.3 本文研究的主要方法和手段 (2) 1.4 本文主要研究思路及内容安排 (2) 第二章 ARMA模型 (4) 2.1 ARMA模型的基本原理 (4) 2.2 样本自协方差函数、自相关函数和偏相关函数 (4) 2.3 ARMA模型识别方法 (5) 2.4 模型参数估计 (6) 第三章实例分析 (7) 3.1 题目 (7) 3.2 问题分析 (7) 3.3 问题求解 (8) 3.3.1数据的观测 (8) 3.3.2数据处理 (8) 3.3.3求解自相关和偏相关函数 (8) 3.4 模型的识别及求解 (9) 3.5 结论 (11) 参考文献 (12) 附录 (12) 评阅书 (15)

《随机过程》课程设计任务书

摘要 ARMA模型是研究时间序列的重要方法,由自回归模型(简称AR模型)与滑动平均模型(简称MA模型)为基础“混合”构成。ARMA模型广泛应用在经济、工程等各个领域得益于其在具体预测方面的优势。在许多方面用该模型所作出的预测比其他传统经济计量方法更加精确。平稳时间序列模型主要有自回归模型(AR)、滑动平均模型(MA)和自回归滑动平均模型(ARMA)等,这些线性模型考虑因素较简单。自回归滑动平均模型(ARMA)计算简单,易于实时更新数据。 本文描述了ARMA模型的原理、自相关函数和偏相关函数的计算过程、模型的识别方法以及ARMA模型的计算过程。并给出一组平稳时间序列的数据,对数据进行分析和处理,求出自相关系数和偏相关,并利用MATLAB软件画出自相关系数和偏相关图形,有图可知它们都是拖尾的,因此可以确定是) ARMA模 p , (q 型。接下来就是确定) ARMA的阶数,本文采用了AIC准则确定模型的阶数, p , (q 在实际问题中,为使线性模型简单起见,通常p与q的数值被取得较小,却需都不为零。确定阶数后,就用我们学过的求解方法解出未知的参数,这样我们就得到了混合模型的表达式。 关键字:) ARMA模型,自相关函数,偏相关函数 p , (q

时间序列分析——最经典的

【时间简“识”】 说明:本文摘自于经管之家(原人大经济论坛) 作者:胖胖小龟宝。原版请到经管之家(原人大经济论坛) 查看。 1.带你看看时间序列的简史 现在前面的话—— 时间序列作为一门统计学,经济学相结合的学科,在我们论坛,特别是五区计量经济学中是热门讨论话题。本月楼主推出新的系列专题——时间简“识”,旨在对时间序列方面进行知识扫盲(扫盲,仅仅扫盲而已……),同时也想借此吸引一些专业人士能够协助讨论和帮助大家解疑答惑。 在统计学的必修课里,时间序列估计是遭吐槽的重点科目了,其理论性强,虽然应用领域十分广泛,但往往在实际操作中会遇到很多“令人发指”的问题。所以本帖就从基础开始,为大家絮叨絮叨那些关于“时间”的故事! Long long ago,有多long估计大概7000年前吧,古埃及人把尼罗河涨落的情况逐天记录下来,这一记录也就被我们称作所谓的时间序列。记录这个河流涨落有什么意义当时的人们并不是随手一记,而是对这个时间序列进行了长期的观察。结果,他们发现尼罗河的涨落非常有规律。掌握了尼罗河泛滥的规律,这帮助了古埃及对农耕和居所有了规划,使农业迅速发展,从而创建了埃及灿烂的史前文明。

好~~从上面那个故事我们看到了 1、时间序列的定义——按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。 2、时间序列分析的定义——对时间序列进行观察、研究,找寻它变化发展的规律,预测它将来的走势就是时间序列分析。 既然有了序列,那怎么拿来分析呢 时间序列分析方法分为描述性时序分析和统计时序分析。 1、描述性时序分析——通过直观的数据比较或绘图观测,寻找序列中蕴含的发展规律,这种分析方法就称为描述性时序分析 描述性时序分析方法具有操作简单、直观有效的特点,它通常是人们进行统计时序分析的第一步。 2、统计时序分析 (1)频域分析方法 原理:假设任何一种无趋势的时间序列都可以分解成若干不同频率的周期波动 发展过程: 1)早期的频域分析方法借助富里埃分析从频率的角度揭示时间序列的规律 2)后来借助了傅里叶变换,用正弦、余弦项之和来逼近某个函数 3)20世纪60年代,引入最大熵谱估计理论,进入现代谱分析阶段 特点:非常有用的动态数据分析方法,但是由于分析方法复杂,结果抽象,有一定的使用局限性 (2)时域分析方法

平稳时间序列模型及其特征

第一章平稳时间序列模型及其特征 第一节模型类型及其表示 一、自回归模型(AR) 由于经济系统惯性的作用,经济时间序列往往存在着前后依存关系。最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回归模型: X t=φX t-1+εt(2.1.1)常记作AR(1)。其中{X t}为零均值(即已中心化处理)平稳序列,φ为X t对X t-1的依赖程度,εt为随机扰动项序列(外部冲击)。 如果X t 与过去时期直到X t-p的取值相关,则需要使用包含X t- X t-p在内的p阶自回归模型来加以刻画。P阶自回归模型的一1 ,…… 般形式为: X t=φ1 X t-1+φ2 X t-2+…+φp X t-p+εt(2.1.2)为了简便运算和行文方便,我们引入滞后算子来简记模型。设B 为滞后算子,即BX t=X t-1, 则B(B k-1X t)=B k X t=X t-k B(C)=C(C为常数)。利用这些记号,(2.1.2)式可化为: X t=φ1BX t+φ2B2X t+φ3B3X t+……+φp B p X t+εt 从而有: (1-φ1B-φ2B2-……-φp B p)X t=εt 记算子多项式φ(B)=(1-φ1B-φ2B2-……-φp B P),则模型可以表

示成 φ(B)X t=εt (2.1.3) 例如,二阶自回归模型X t=0.7X t-1+0.3X t-2+0.3X t-3+εt可写成(1-0.7B-0.3B2)X t=εt 二、滑动平均模型(MA) 有时,序列X t的记忆是关于过去外部冲击值的记忆,在这种情况下,X t可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合,即 X t=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q (2.1.4) 此模型常称为序列X t的滑动平均模型,记为MA(q),其中q为滑动平均的阶数,θ1,θ2…θq为参滑动平均的权数。相应的序列X t称为滑动平均序列。 使用滞后算子记号,(2.1.4)可写成 X t=(1-θ1B-θ2B2-……- θq B q)q t=θ(B)εt (2.1.5) 三、自回归滑动平均模型 如果序列{X t}的当前值不仅与自身的过去值有关,而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系,则在用模型刻画这种动态特征时,模型中既包括自身的滞后项,也包括过去的外部冲击,这种模型叫做自回归滑动平均模型,其一般结构为: X t=φ1X t-1+φ2X t-2+……+φp X t-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q (2.1.6) 简记为ARMA(p, q)。利用滞后算子,此模型可写为 φ(B)X t=θ(B)εt(2.1.7)

时间序列分析第三章平稳时间序列分析

应用时间序列分析实验报告 实验名称第三章平稳时间序列分析 一、上机练习 data example3_1; input x; time=_n_; cards; 0.30 -0.45 0.036 0.00 0.17 0.45 2.15 4.42 3.48 2.99 1.74 2.40 0.11 0.96 0.21 -0.10 -1.27 -1.45 -1.19 -1.47 -1.34 -1.02 -0.27 0.14 -0.07 0.10 -0.15 -0.36 -0.50 -1.93 -1.49 -2.35 -2.28 -0.39 -0.52 -2.24 -3.46 -3.97 -4.60 -3.09 -2.19 -1.21 0.78 0.88 2.07 1.44 1.50 0.29 -0.36 -0.97 -0.30 -0.28 0.80 0.91 1.95 1.77 1.80 0.56 -0.11 0.10 -0.56 -1.34 - 2.47 0.07 -0.69 -1.96 0.04 1.59 0.20 0.39 1.06 -0.39 -0.16 2.07 1.35 1.46 1.50 0.94 -0.08 -0.66 -0.21 -0.77 -0.52 0.05 ; procgplot data=example3_1; plot x*time=1; symbolc=red i=join v=star; run; 建立该数据集,绘制该序列时序图得: 根据所得图像,对序列进行平稳性检验。时序图就是一个平面二维坐标图,通常横轴表示时间,纵

轴表示序列取值。时序图可以直观地帮助我们掌握时间序列的一些基本分布特征。 根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质,平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动,而且波动的X围有界的特点。如果观察序列的时序图,显示出该序列有明显的趋势性或周期性,那它通常不是平稳序列。从图上可以看出,数值围绕在0附近随机波动,没有明显或周期,其本可以视为平稳序列,时序图显示该序列波动平稳。 procarima data=example3_1; identifyvar=x nlag=8; run; 图一 图二样本自相关图 图三样本逆自相关图

平稳时间序列预测法

7 平稳时间序列预测法 7.1 概述 7.2 时间序列的自相关分析 7.3 单位根检验和协整检验 7.4 ARMA模型的建模 回总目录 7.1 概述 时间序列取自某一个随机过程,则称: 一、平稳时间序列 过程是平稳的――随机过程的随机特征不随时间变化而变化过程是非平稳的――随机过程的随机特征随时间变化而变化回总目录 回本章目录 宽平稳时间序列的定义: 设时间序列 ,对于任意的t,k和m,满足: 则称宽平稳。 回总目录

回本章目录 Box-Jenkins方法是一种理论较为完善的统计预测方法。 他们的工作为实际工作者提供了对时间序列进行分析、预测,以及对ARMA模型识别、估计和诊断的系统方 法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正规、结构 化的建模方法,并且具有统计上的完善性和牢固的理 论基础。 ARMA模型是描述平稳随机序列的最常用的一种模型; 回总目录 回本章目录 ARMA模型三种基本形式: 自回归模型(AR:Auto-regressive); 移动平均模型(MA:Moving-Average); 混合模型(ARMA:Auto-regressive Moving-Average)。回总目录 回本章目录 如果时间序列满足 其中是独立同分布的随机变量序列,且满足:

则称时间序列服从p阶自回归模型。 二、自回归模型 回总目录 回本章目录 自回归模型的平稳条件: 滞后算子多项式 的根均在单位圆外,即 的根大于1。 回总目录 回本章目录 如果时间序列满足 则称时间序列服从q阶移动平均模型。或者记为。 平稳条件:任何条件下都平稳。

三、移动平均模型MA(q) 回总目录 回本章目录 四、ARMA(p,q)模型 如果时间序列 满足: 则称时间序列服从(p,q)阶自回归移动平均模型。 或者记为: 回总目录 回本章目录 q=0,模型即为AR(p); p=0,模型即为MA(q)。 ARMA(p,q)模型特殊情况: 回总目录 回本章目录 例题分析 设 ,其中A与B 为两个独立的零均值随机变量,方差为1;

时间序列分析简介与模型

第二篇 预测方法与模型 预测是研究客观事物未来发展方向与趋势的一门科学。统计预测是以统计调查资料为依据,以经济、社会、科学技术理论为基础,以数学模型为主要手段,对客观事物未来发展所作的定量推断和估计。根据社会、经济、科技的预测结论,人们可以调整发展战略,制定管理措施,平衡市场供求,进行各种各样的决策。预测也是制定政策,编制规划、计划,具体组织生产经营活动的科学基础。20世纪三四十年代以来,随着人类社会生产力水平的不断提高和科学技术的迅猛发展,特别是近年来以计算机为主的信息技术的飞速发展,更进一步推动了预测技术在国民经济、社会发展和科学技术各个领域的应用。 预测包含定性预测法、因果关系预测法和时间序列预测法三类。本篇对定性预测法不加以介绍,对后两类方法选择以下几种介绍方法的原理、模型的建立和实际应用,分别为:时间序列分析、微分方程模型、灰色预测模型、人工神经网络。 第五章 时间序列分析 在预测实践中,预测者们发现和总结了许多行之有效的预测理论和方法,但以概率统计理论为基础的预测方法目前仍然是最基本和最常用的方法。本章介绍其中的时间序列分析预测法。此方法是根据预测对象过去的统计数据找到其随时间变化的规律,建立时间序列模型,以推断未来数值的预测方法。时间序列分析在微观经济计量模型、宏观经济计量模型以及经济控制论中有广泛的应用。 第一节 时间序列简介 所谓时间序列是指将同一现象在不同时间的观测值,按时间先后顺序排列所形成的数列。时间序列一般用 ,,,,21n y y y 来表示,可以简记为}{t y 。它的时间单位可以是分钟、时、日、周、旬、月、季、年等。

一、时间序列预测法 时间序列预测法就是通过编制和分析时间序列,根据时间序列所反应出来的发展过程、方向和趋势,进行类推或延伸,借以预测下一段时间或以后若干年可能达到的水平。其容包括:收集与整理某种社会现象的历史资料;将这些资料进行检查鉴别,排成数列;分析时间序列,从中寻找该社会现象随时间变化而变化的规律,得出一定的模型,以此模型去预测该社会现象将来的情况。 二、时间序列数据的特点 通常,时间序列经过合理的函数变换后都可以看作是由三个部分叠加而成,这三个部分是趋势项部分、周期项部分和随机项部分。 1. 趋势性 许多序列的一个最主要的特征就是存在趋势。这种趋势可能是向下的也可能是向上的,也许比较陡,也许比较平缓,或者是指数增长,或者近似线性。总之,时间序列的趋势性是依据时间序列进行预测的本质所在。 2. 季节性/周期性 当数据按照月或季观测时,通常的情况是这样的:时间序列会呈现出明显的季节性。对季节性也不存在一个非常精确的定义。通常,当某个季节的观测值具有与其它季节的观测值明显不同的特征时,就称之为季节性。 3. 异常观测值 异常观测值指那些严重偏离趋势围的特殊点。异常观测值的出现往往是由于某些不可抗 1958 年自然灾害和1966年左右“文化大革命”对我国经拒的外部条件的影响。如1960 济的影响,造成经济指标陡然下降现象;1992年,我国银行紧缩政策造成的房地产业泡沫破灭,而使得房地产业的经济数据发生突然变化的例子等等。 4. 条件异方差性 所谓条件异方差性,表现出来就是异常数据观测值成群地出现,故也称为“波动积聚性”。由于方差是风险的测度,因此波动存在的积聚性的预测对于评估投资决策是很有用的,对于期权和其它金融衍生产品的买卖决策也是有益的。 5. 非线性 对非线性的最好定义就是“线性以外的一切”。非线性常常表现为“机制转换”(regime witches)或者“状态依赖”(State pendence)。其中状态依赖意味着时间序列的特征依赖于其现时的状态;不同的时刻,其特征不一样。当时间序列的特征在所有的离散状态都不一样时,就成为机制转换特性。 三、时间序列的分类 1. 按研究的对象的多少可分为单变量时间序列和多变量时间序列。 如果所研究的对象是一个变量,如某个国家的国生产总值,即为单变量时间序列。果所研究的对象是多个变量,如按年、月顺序排列的气温、气压、雨量数据,为多变量时间序列。多变量时间序列不仅描述了各个变量的变化规律,而且还表示了各变量间相互依存关系的动态规律性。 2. 按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列。 如果某一序列中的每一个序列值所对应的时间参数为间断点,则该序列就是一个离散时间序列。如果某一序列中的每个序列值所对应的时间参数为连续函数,则该序列就是一个连续时间序列。 3. 按序列的统计特性可分为平稳时间序列和非平稳时间序列两类。

平稳时间序列的ARMA模型

第五讲(续) 平稳时间序列的ARMA模型 1

2 1 平稳性 有一类描述时间序列的重要随机模型受到了人们的广泛关注,这就是所谓的平稳模型。这类模型假设随机过程在一个不变的均值附近保持平衡。其统计规律不会随着时间的推移发生变化。平稳的定义分为严平稳和宽平稳。 定义1(严平稳) 设{},t x t T ∈是一个随机过程,t x 是在不同的时刻t 的随机变量,在不同的时刻t 是不同的随机变量,任取n 个值1,,n t t 和任

3 意的实数h ,则1,,n x x 分布函数满足关系式 1111(,,;,)(,,;,) n n n n n n F x x t t F x x t h t h =++ 则称{},t x t T ∈为严平稳过程。 在实际中,这几乎是不可能的。由此考虑到是否可以把条件放宽,仅仅要求其数字特征(数学期望和协方差)相等。 定义2(宽平稳) 若随机变量{},t x t T ∈的均值(一阶矩)和协方差(二阶矩)存在,且满足:

4 (1)任取t T ∈,有()t E x c =; (2)任取t T ∈,t T τ+∈,有 [(())(())]()E X t a X t a R ττ-+-= 协方差是时间间隔的函数。则称{},t x t T ∈ 为宽平稳过程,其中()R τ为协方差函数。 2 各种随机时间序列的表现形式

白噪声过程(white noise,如图1)。属于平稳过程。y t = u t, u t~ IID(0, σ2) 3 white noise 2 1 -1 -2 -3 140160240260 图1 白噪声序列(σ2=1) 5

第五章时间序列的模型识别汇总

第五章时间序列的模型识别 前面四章我们讨论了时间序列的平稳性问题、可逆性问题,关于线性平稳时间序列模型,引入了自相关系数和偏自相关系数,由此得到ARMA(p, q)统计特性。从本章开始,我们将运用数据开始进行时间序列的建模工作,其工作流程如下: 图5.1 建立时间序列模型流程图 在ARMA(p,q)的建模过程中,对于阶数(p,q)的确定,是建模中比较重要的步骤,也是比较困难的。需要说明的是,模型的识别和估计过程必然会交叉,所以,我们可以先估计一个比我们希望找到的阶数更高的模型,然后决定哪些方面可能被简化。在这里我们使用估计过程去完成一部分模型识别,但是这样得到的模型识别必然是不精确的,而且在模型识别阶段对于有关问题没有精确的公式可以利用,初步识别可以我们提供有关模型类型的试探性的考虑。 对于线性平稳时间序列模型来说,模型的识别问题就是确定ARMA(p,q)过程的阶数,从而判定模型的具体类别,为我们下一步进行模型的参数估计做准备。所采用的基本方法主要是依据样本的自相关系数(ACF)和偏自相关系数(PACF)初步判定其阶数,如果利用这种方法无法明确判定模型的类别,就需要借助诸如AIC、BIC 等信息准则。我们分别给出几种定阶方法,它们分别是(1)利用时间序列的相关特性,这是识别模型的基本理论依据。如果样本的自相关系数(ACF)在滞后q+1阶时突然截断,即在q处截尾,那么我们可以判定该序列为MA(q)序列。同样的道理,如果样本的偏自相关系数(PACF)在p处截尾,那么我们可以判定该序列为AR(p)序列。如果ACF和PACF 都不截尾,只是按指数衰减为零,则应判定该序列为ARMA(p,q)序列,此时阶次尚需作进一步的判断;(2)利用数理统计方法检验高阶模型新增加的参数是否近似为零,根据模型参数的置信区间是否含零来确定模型阶次,检验模型残差的相关特性等;(3)利用信息准则,确定一个与模型阶数有关

第三章平稳时间序列分析

t P p t t t t t x B x x B x Bx x ===---M 221第3章 平稳时间序列分析 一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列,那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。 3.1 方法性工具 3.1.1 差分运算 一、p 阶差分 记 t x ?为t x 的1阶差分:1--=?t t t x x x 记t x 2 ?为t x 的2阶差分:21122---+-=?-?=?t t t t t t x x x x x x 以此类推:记 t p x ?为t x 的p 阶差分:111---?-?=?t p t p t p x x x 二、k 步差分 记t k x ?为t x 的k 步差分:k t t t k x x x --=? 3.1.2 延迟算子 一、定义 延迟算子相当与一个时间指针,当前序列值乘以一个延迟算子,就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。记B 为延迟算子,有 延迟算子的性质: 1. 10 =B 2.若c 为任一常数,有1 )()(-?=?=?t t t x c x B c x c B 3.对任意俩个序列{t x }和{t y },有11)(--±=±t t t t y x y x B 4. n t t n x x B -= 5.)!(!!,)1()1(0 i n i n C B C B i n i i n n i i n -= -=-∑=其中 二、用延迟算子表示差分运算 1、p 阶差分 t p t p x B x )1(-=? 2、k 步差分 t k k t t t k x B x x x )1(-=-=?- 3.2 ARMA 模型的性质 3.2.1 AR 模型 定义 具有如下结构的模型称为p 阶自回归模型,简记为AR(p): t s Ex t s E Var E x x x x t s t s t t p t p t p t t t πΛ?=≠===≠+++++=---,0,0)(,)(,0)(,0222110εεεσεεφεφφφφε (3.4) AR(p)模型有三个限制条件: 条件一: ≠p φ。这个限制条件保证了模型的最高阶数为p 。 条件二: t s E Var E t s t t ≠===,0)(,)(,0)(2εεσεεε。这个限制条件实际上是要求随机干扰序列 }{t ε为 零均值白噪声序列。 条件三:t s Ex t s π?=,0ε。这个限制条件说明当期的随机干扰与过去的序列值无关。 通常把AR(p)模型简记为: t p t p t t t x x x x εφφφφ+++++=---Λ22110 (3.5)

平稳时间序列的ARMA模型

第五讲(续) 平稳时间序列的 ARMA模型1 平稳性

有一类描述时间序列的重要随机模型受到了人们的广泛关注,这就是所谓的平稳模型。这类模型假设随机过程在一个不变的均值附近保持平衡。其统计规律不会随着时间的推移发生变化。平稳的定义分为严平稳和宽平稳。 定义1(严平稳) 设{},t x t T ∈是一个随机过程,t x 是在不同的时刻t 的随机变量,在不同的时刻t 是不同的随机变量,任取n 个值1,,n t t K 和任意的实数h ,则1,,n x x K 分布函数满足关系式 1111(,,;,)(,,;,)n n n n n n F x x t t F x x t h t h =++L L L L

则称{},t x t T ∈为严平稳过程。 在实际中,这几乎是不可能的。由此考虑到是否可以把条件放宽,仅仅要求其数字特征(数学期望和协方差)相等。 定义2(宽平稳) 若随机变量{},t x t T ∈的均值(一阶矩)和协方差(二阶矩)存在,且满足: (1)任取t T ∈,有()t E x c =; (2)任取t T ∈,t T τ+∈,有 [(())(())]()E X t a X t a R ττ-+-=

协方差是时间间隔的函数。则称{},t x t T ∈ 为宽平稳过程,其中()R τ为协方差函数。 2 各种随机时间序列的表现形式 白噪声过程(white noise ,如图 1 )。属于平稳过程。y t = u t , u t IID(0, 2 )

图1 白噪声序列(2=1) 随机游走过程(random walk,如图11)。属于非平稳过程。y t = y t-1 + u t, u t IID(0, 2) 图2 随机游走序列(2=1) 图3 日元兑美元差分序列

时间序列分析

时间序列分析 时间序列分析(Time series analysis)是一种动态数据处理的统计方法。该方法基于随机过程理论和数理统计学方法,研究随机数据序列所遵从的统计规律,以用于解决实际问题。 时间序列分析简介 它包括一般统计分析(如自相关分析,谱分析等),统计模型的建立与推断,以及关于时间序列的最优预测、控制与滤波等内容。经典的统计分析都假定数据序列具有独立性,而时间序列分析则侧重研究数据序列的互相依赖关系。后者实际上是对离散指标的随机过程的统计分析,所以又可看作是随机过程统计的一个组成部分。例如,记录了某地区第一个月,第二个月,……,第N个月的降雨量,利用时间序列分析方法,可以对未来各月的雨量进行预报。 随着计算机的相关软件的开发,数学知识不再是空谈理论,时间序列分析主要是建立在数理统计等知识之上,应用相关数理知识在相关方面的应用等。 时间序列分析参考 编辑 参考自:科学技术方法大辞典 时间序列是按时间顺序的一组数字序列。时间序列分析就是利用这组数列,应用数理统计方法加以处理,以预测未来事物的发展。时间序列分析是定量预测方法之一,它的基本原理:一是承认事物发展的延续性。应用过去数据,就能推测事物的发展趋势。二是考虑到事物发展的随机性。任何事物发展都可能受偶然因素影响,为此要利用统计分析中加权平均法对历史数据进行处理。该方法简单易行,便于掌握,但准确性差,一般只适用于短期预测。时间序列预测一般反映三种实际变化规律:趋势变化、周期性变化、随机性变化。 时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据,通过曲线拟合和参数估计来建立数学模型的理论和方法。它一般采用曲线拟合和参数估计方法(如非线性最小二乘法)进行。时间序列分析常用在国民经济宏观控制、区域综合发展规划、企业经营管理、市场潜量预测、气象预报、水文预报、地震前兆预报、农作物病虫灾害预报、环境污染控制、生态平衡、天文学和海洋学等方面。 时间序列分析组成要素 一个时间序列通常由4种要素组成:趋势、季节变动、循环波动和不规则波动。 趋势:是时间序列在长时期内呈现出来的持续向上或持续向下的变动。 季节变动:是时间序列在一年内重复出现的周期性波动。它是诸如气候条件、生产条件、节假日或人们的风俗习惯等各种因素影响的结果。 循环波动:是时间序列呈现出得非固定长度的周期性变动。循环波动的周期可能会持续一段时间,但与趋势不同,它不是朝着单一方向的持续变动,而是涨落相同的交替波动。 不规则波动:是时间序列中除去趋势、季节变动和周期波动之后的随机波动。不规则波动通常总是夹杂在时间序列中,致使时间序列产生一种波浪形或震荡式的变动。只含有随机波动的序列也称为平稳序列。 时间序列分析基本步骤 时间序列建模基本步骤是: ①用观测、调查、统计、抽样等方法取得被观测系统时间序列动态数据。

平稳时间序列模型及其特征

平稳时间序列模型及其特征 第一章平稳时间序列模型及其特征 第一节模型类型及其表示一、自回归模型(AR 由于经济系统惯性的作用,经济时间序列往往存在着前后依存关系。最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回归模型: X t=? X-1 + £ t (2.1.1 )常记作AR(1)。其中{X t}为零均值(即已中心化处理)平稳序列,?为X t对X -1的依赖程度,£ t为随机扰动项序列(外部冲击)。 如果X t与过去时期直到X t-p的取值相关,则需要使用包含X t i ,……X-p 在内的p阶自回归模型来加以刻画。P阶自回归模型的一般形式为:X=? i X t-1+? 2 X t-2+ -------- ? p X t-p+ £ t (2.1.2 )为了简便运算和行文方便,我们引入滞后算子来简记模型。设 B 为滞后算子,即BX=X-1,则B(B k-1X)二B k X二X-k B(C)=C(C 为常数)。利

用这些记号,(2.1.2 )式可化为: X t= ? 1BX+ ? 2BX+ ? 3B‘X +.... +? P BX+£ t 从而有: (1- ? 1B- ? 启- ... -? P B) X t = £ t 记算子多项式?( B) = ( 1- ? 1B- ? 2B- ........... - ? p B),则模型可以表示成 ?( B) X=£ t (2.1.3) 例如,二阶自回归模型X=0.7X t「+0.3X t-2 +0.3X t-3 + £ t可写成 (1-0.7B-0.3B 2) X= £ t 二、滑动平均模型(MA 有时,序列X的记忆是关于过去外部冲击值的记忆,在这种情况下,X可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合,即 X = £t- 0 1 £t-1 - 0 2 £t-2 - .............................. - 0 q £t-q (2.1.4) 此模型常称为序列X的滑动平均模型,记为MA(q),其中q为滑动平均的阶数,0 1, 0 2…0 q为参滑动平均的权数。相应的序列X t称为滑动平均序列。 使用滞后算子记号,(2.1.4 )可写成 X t= (1- 0 1B- 0 2W-……-0 q£) q t=0 (B) £t (2.1.5) 三、自回归滑动平均模型 如果序列{X}的当前值不仅与自身的过去值有关,而且还与其以

平稳时间序列分析

t P p t t t t t x B x x B x Bx x ===---M 221第3章 平稳时间序列分析 一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列,那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。 方法性工具 差分运算 一、p 阶差分 记t x ?为t x 的1阶差分:1--=?t t t x x x 记t x 2 ? 为t x 的2阶差分:21122---+-=?-?=?t t t t t t x x x x x x 以此类推:记t p x ?为t x 的p 阶差分:111---?-?=?t p t p t p x x x 二、k 步差分 记t k x ?为t x 的k 步差分:k t t t k x x x --=? 延迟算子 一、定义 延迟算子相当与一个时间指针,当前序列值乘以一个延迟算子,就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。记B 为延迟算子,有 延迟算子的性质: 1.10 =B 2.若c 为任一常数,有1)()(-?=?=?t t t x c x B c x c B 3.对任意俩个序列{t x }和{t y },有11)(--±=±t t t t y x y x B 4.n t t n x x B -= 5.)! (!! ,)1()1(0 i n i n C B C B i n i i n n i i n -= -=-∑=其中 二、用延迟算子表示差分运算 1、p 阶差分 2、k 步差分 ARMA 模型的性质 AR 模型 定义 具有如下结构的模型称为p 阶自回归模型,简记为AR(p): t s Ex t s E Var E x x x x t s t s t t p t p t p t t t πΛ?=≠===≠+++++=---,0,0)(,)(,0)(,0222110εεεσεεφεφφφφε AR(p)模型有三个限制条件: 条件一:0≠p φ。这个限制条件保证了模型的最高阶数为p 。

时间序列分析实验平稳性

时间序列数据平稳性检验实验指导 一、实验目的: 理解经济时间序列存在的不平稳性,掌握对时间序列平稳性检验的步骤和各种方法,认识利用不平稳的序列进行建模所造成的影响。 二、基本概念: 如果一个随机过程的均值和方差在时间过程上都是常数,并且在任何两时期的协方差值仅依赖于该两个时期间的间隔,而不依赖于计算这个协方差的实际时间,就称它是宽平稳的。 时序图 ADF检验 PP检验 三、实验内容及要求: 1、实验内容: 用Eviews5.1来分析1964年到1999年中国纱产量的时间序列,主要内容: (1)、通过时序图看时间序列的平稳性,这个方法很直观,但比较粗糙; (2)、通过计算序列的自相关和偏自相关系数,根据平稳时间序列的性质观察其平稳性;(3)、进行纯随机性检验; (4)、平稳性的ADF检验; (5)、平稳性的pp检验。 2、实验要求: (1)理解不平稳的含义和影响; (2)熟悉对序列平稳化处理的各种方法; (2)对相应过程会熟练软件操作,对软件分析结果进行分析。 四、实验指导 (1)、绘制时间序列图 时序图可以大致看出序列的平稳性,平稳序列的时序图应该显示出序列始终围绕一个常数值波动,且波动的范围不大。如果观察序列的时序图显示出该序列有明显的趋势或周期,那它通常不是平稳序列,现以1964-1999年中国纱年产量序列(单位:万吨)来说明。 在EVIEWS中建立工作文件,在“Workfile structure type”栏中选择“Dated-regular frequency”,在右边的“Date specification”中输入起始年1964,终止年1999,点击ok则建立了工作文件。找到中国纱年产量序列的excel文件并导入命名该序列为sha,见图1-2。 图1-1 建立工作文件

时间序列平稳性分析(课件)

时间序列平稳性分析(课件) 时间序列平稳性分析 文章结构 ?时间序列的概念 ?平稳性检验 ?纯随机性检验 ?spss的具体操作 1.1时间序列分析的概念?时间序列是一个按时间的次序排列起来的随机数据集合。而时间序列分析是概率论与数理统计学科的一个重要分支,它以概率统计学为理论基础来分析随机数据序列(或称为动态数据序列)并对其建立相应的数学模型,即对模型定阶,进行参数估计,进一步将用于预测。 在对时间序列进行分析的时候我们的前提任务是如何进行的呢? 2.1平稳性检验 ? ? ? ? ?特征统计量平稳时间序列的定义平稳时间序列的统计性质平稳时间序列的意义平稳性检验 概率分布 ?概率分布的意义 随机变量族的统计性质完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定 ?时间序列概率分布族的定义 { }Ft1,t2,...,tm(x1,x2,...,xm) m(1,2,...,m),t1,2,...,T ?实际应用局限性

概率分布 ?概率分布的意义 随机变量族的统计性质完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定?时间序列概率分布族的定义 { }Ft1,t2,...,tm(x1,x2,...,xm) m(1,2,...,m),t1,2,...,T ?实际应用局限性 特征统计量 ?均值 t EXt ?方差 Var(Xt)E(Xt t) xdFt(x) 2 (x t)dFt(x) ?协方差?自相关系数 (t,s)E(Xt t)(XS) S (t,s)

(t,s) DXt DXs 平稳时间序列的定义 ?严平稳 严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义,它认为只有当序列所有的统计性质都不会随时间的推移而发生变化时,该序列才能被认为平稳?宽平稳 宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性。它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定,所以只要保证序列低阶矩平稳(二阶),就能保证序列的主要性质近似稳定。 ?满足如下条件的序列称为严平稳序列 正整数m,t1,t1,...,tm T,正整数t,有 Ft1,t2,...,tm(x1,x2,...,xm)Ft1t,t2t,..., ?满足如下条件的序列称为宽平稳序列 1)EXt,t T 2)EXt,为常数,t T 2 tm t (x1,x2,...,x 3)(t,s)(k,k s t),t,s,k且k s t T ?常数性质 ?自协方差函数和自相关函数只依赖于时间的平移长度而与时间的起止点无关1)延迟k自协方差函数 (k)(t,t k),k为整数 2)延迟k自相关系数 k

(优质)(时间管理)第三章平稳时间序列分析

(时间管理)第三章平稳时 间序列分析

t P p t t t t t x B x x B x Bx x ===--- 221第3章 平稳时间序列分析 一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列,那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。 3.1方法性工具 3.1.1差分运算 一、p 阶差分 记为的1阶差分: 记为的2阶差分: 以此类推:记为的p 阶差分: 二、k 步差分 记为的k 步差分: 3.1.2延迟算子 一、定义 延迟算子相当与一个时间指针,当前序列值乘以一个延迟算子,就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。记B 为延迟算子,有 延迟算子的性质: 1. 2.若c 为任一常数,有 3.对任意俩个序列 {}和{},有 4. 5. 二、用延迟算子表示差分运算

1、p阶差分 2、k步差分 3.2ARMA模型的性质 3.2.1AR模型 定义具有如下结构的模型称为p阶自回归模型,简记为AR(p): (3.4) AR(p)模型有三个限制条件: 条件一:。这个限制条件保证了模型的最高阶数为p。 条件二:。这个限制条件实际上是要求随机干扰序列为零均值白噪声序列。 条件三:。这个限制条件说明当期的随机干扰与过去的序列值无关。 通常把AR(p)模型简记为: (3.5) 当时,自回归模型式(3.4)又称为中心化AR(p)模型。非中心化AR(p)序列可以通过下面变化中心化AR(p)系列。 令 则{}为{}的中心化序列。 AR(p)模型又可以记为: ,其中称为p阶自回归系数多项式 二、AR模型平稳性判断 P45【例3.1】考察如下四个AR模型的平稳性: 拟合这四个序列的序列值,并会绘制时序图,发现(1)(3)模型平稳,(2)(4)模型非平稳 1、特征根判别

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