概率论与数理统计复习题 一.填空题
1.设, , A B C 为三个事件,用, , A B C 的运算关系式表示下列事件:
, , A B C 都发生_____________;, , A B C 中不多于一个发生______________.
解:ABC ; AB BC AC ABC ABC ABC ABC ??=???
2.一副扑克牌共52张,无大小王,从中随机地抽取2张牌,这2张牌花色不相同的概率为
解:2114131325213
17C C C p C ==或者124132
5213117
C C p C =-= 3.同时掷甲、已两枚骰子,则甲的点数大于乙的点数的概率为 解:155
{(,)|,1,,6},{},()3612
S i j i j A i j P A ===>=
=L 4.设随机事件A 与B 相互独立,()0.5,()0.6P A P B ==,则()P A B -= ,()P A B ?= 。 解:()()()()0.2P A B P AB P A P B -===, ()()()()()0.8P A B P A P B P A P B ?=+-=
5.已知6
1
)(,31)|(,41)(===
B P A B P A P ,则()P A B ?=______________. 解:111()()(|)4312P AB P A P B A ==?=,1
()()()()3
P A B P A P B P AB ?=+-=
6.已知()0.6,()0.3P A P AB ==,且,A B 独立,则()P A B ?= . 解:()()()0.3()0.5()0.5P AB P A P B P B P B ==?=?=
()()()()()()()()0.8P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=
7.已知 P(A)=,P(B)=,且A,B 互不相容,则()_____,()_____P AB P AB ==. 解:()()()0.3,()()()0.3P AB P B P AB P AB P A P AB =-==-= 或()()1()()0.3P AB P A B P A P B =?=--=
8.在三次独立的实验中,事件B 至少出现一次的概率为19/27,若每次实验中B 出现的
概率均为p, 则p=_______________
解:设X 表示3次试验中事件B 出现的次数,则(3,)X B p :,
3191{1}1{0}1(1),273
P X P X p p ≥=-==--=
∴= 9.设(),0X P λλ>:,则X 的分布律为
解:{},0,1,2,!
k e P X k k k λ
λ-==
=L
10.设随机变量X 服从泊松分布,且已知{1}{2}P X P X ===,那么{4}P X == 。
解:由{1}{2}P X P X ===即
221!
2!e e λ
λ
λλλ--=
?=,422
22{4}4!3
e P X e --=== 11.设随机变量(0,5)X U :,则方程2
2210Xx Xx ++=(x 为未知数)有实根的概率为 . 解:2
3
{0}{(2)420}{2}{0}5
P P X X P X P X ?≥=-?≥=≥+≤=
12.设(1,3),(2,4)X N Y N ::,X 与Y 相互独立,则23Z X Y =-:
解:()2()3()4,()4()9()48E Z E X E Y Var Z Var X Var Y =-=-=+=,23(4,48)Z X Y N =--: 13.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,则其中至少有一件是不合格品的概率为 .
解:2
621012
1133
C p C =-=-=
14. 设随机变量),(Y X 的概率分布如 右表,则()E X = ,()Var X = 解:2212552
{1},{2},(),()3,()3()33339
P X P X E X E X Var X ==
==∴===-=Q 15.已知随机变量X 服从[1,3]上的均匀分布,则()E X = ,()Var X = 。
解:13
()22
E X +==,2
(31)1()123Var X -== 16.二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(,)f x y ,则(,)f x y dxdy +∞+∞
-∞
-∞
=??
1 。
17.设随机变量,X Y 独立且,X Y 的概率密度分别为
201,() 0,X x x f x <=??其它, 4,
02,()
0,
Y y y f y <=??其它, 则(,)X Y 的联合概率密度为 。
解:X,Y 独立,801,02(,)()()
0,
X Y xy
x y f x y f x f y <<<==?
?其它, 18.设随机变量序列12,,,n X X X L L 相互独立,且服从同一分布,
()k E X μ=存在,则0ε?>,有1
1lim {||}n
k n k P X n με→+∞=-≥=∑ 0 。
19.设{}n X 是独立同分布的随机变量序列,(0,10),1,2,3,n X U n =:L ,那么当n →+∞时
11n i i X X n ==∑依概率收敛于 010
52
+=
20.设X 、Y 相互独立且2()X m χ:,2()Y n χ:,则X Y +:2
()m n χ+。
21.设22
1212(,)(,,,,)X Y N μμσσρ:,则(,)Cov X Y = 12ρσσ
22.设12,,n X X X L 是来自总体2
(10)χ的样本,则统计量1
n
i
i Y X
==
∑:2(10)n χ。
23.设总体X 具有概率密度函数10()0
x
e
x f x else
θθ-??
≥=???,0θ>为已知,
样本为12,,n X X X L ,则()E X = ,()Var X = 。
解:()()E X E X θ==,2
()()Var X Var X n n
θ==。 24.在总体2
(52,6.3)N 中随机抽一容量为36的样本,则样本均值X 落在到之间的概率为 。
解:()52E X =,26.3()36Var X =,2
26.3(52,
)(52,1.05)36X N N =:, 53.85250.852
{50.853.8}(
)()
1.05 1.05
(1.71)( 1.14)0.9564(10.8729)0.8293P X --<<=Φ-Φ≈Φ-Φ-=--= 25.设12,,n X X X L 是来自总体X 的样本且2
(),()E X Var X μσ==,2
,μσ未知, 则μ的矩估计量为 ,2
σ的矩估计量为
解:11222222
221
()()()[()]E X E X Var X E X μμμμμσμσμμ===??∴??==+==+=-??μ?22211,n i i X X X n μσ=∴==-∑ 26. 随机抽查某校的7名学生,测得他们的裸眼视力分别为:,,,,,
,,则总体均值μ及方差2σ的矩估计值分别为=μ
? ,=2
?σ .
解:由上μ?22211
111.2143,0.1755n n i i i i x x x x n n μσ==∴====-=∑∑
27.设1210,,X X X L 是来自总体2
(0,0.3)N 的样本,则10
2
1
{
1.44}i
i P X
=>=∑
解:1022
221
1(0,1),()(1),(10)0.30.30.09i i i i X X N X χχ=∴∴∑Q ::: 10
10102
222
0.901
1111{ 1.44}{16}1{16}0.90,((10)15.987)0.090.09i
i i i i i P X P X P X χ===>=>=-≤==∑∑∑Q 28.设1210,,X X X L 是来自总体2()X n χ:的样本,()E X = ,()Var X = ,2
()E S = . 解:()()E X E X n ==,()2()10105
Var X n n
Var X =
==,2()()2E S Var X n == 29.设在总体2
(,)N μσ中抽取一容量为16的样本,这里2
,μσ为未知参数,2
S 为样本方差。
则2
2
{
2.041}S P σ≤= ,2()Var S =
解:2
22
(1)(1),16n S n n χσ
--=Q
:
2
22
215{
2.041}{30.615}S S P P σσ
∴≤=≤2
0.99
0.99,((15)30.57830.615)χ==≈Q 222244
2
222215152()()()()21515151515
S S Var S Var Var σσσσσσ=?==??=
30.铅的密度测量值服从正态分布2(,)N μσ,测量16次,算得 2.705x =,0.029s =, 则μ的置信水平为0.95的双侧置信区间为 。 解:10.95,0.05αα-==,2σ未知,μ的置信区间为
0.9750.9751122((1),(1))(2.705(15),2.705(15))(2.705 2.1314,2.705 2.1314)( 2.6895,2.7205)
X n X n αα----=-=+=-
二.计算题
1.设某人按如下原则决定某日的活动:如该天天下雨,则以的概率外出购物,以的概率去探访朋友;如该天天不下雨,则以的概率外出购物,以的概率去探访朋友,设某地下雨的概率是。(以下要求用字母表示随机事件,写出计算公式)
(1)试求那天此人外出购物的概率。(2)已知此人那天外出购物,试求那天下雨的概率。 解:设A:下雨,B: 购物 C:会友
则()0.3P A =,()0.7P A =,(|)0.2,(|)0.8P B A P C A ==,(|)0.9,(|)0.1P B A P C A == (1)()()(|)()(|)()0.69P B P BA B A P B A P A P B A P A =?=+= (2)()(|)()0.20.32
(|)()()0.6923
P AB P B A P A P A B P B P B ?=
===
2.设随机变量(1,4)X N :,现对X 进行三次独立观察,求至少有两次观察值大于1-的概率。 解:11
{1}1{1}1(
)2
P X P X -->-=-≤-=-Φ1(1(1))0.8413=--Φ=, 设Y 表示三次观察中观察值大于-1的次数,则(3,0.8413)Y B :,则
32{2}1{0}{1}1(10.8413)30.8413(10.8413)0.9403P Y P Y P Y ≥=-=-==---?-=。
3.某地抽查结果表明,考生的外语成绩(百分制)X 近似服从正态分布),(2σμN ,平均成绩为72,96分以上的考生占%,求:(1)标准差σ的值.(2)考生成绩在60分到84分之间的概率。 解:72μ=, 9672
2.3%{96}1(
)12P X σσ
-=≥=-Φ?=
84726072
{6084}(
)()2(1)10.68281212
P X --≤≤=Φ-Φ=Φ-= 4.设随机变量X 的概率密度为4
01()0
x cx f x else <=?
?。
求(1)常数c 。(2)X 的分布函数。(3)13{}2
4
P x ≤≤,(4)21Y X =+的概率密度函数。 解:(1)由1
401(),55
c
f x dx cx dx c +∞
-∞
=
===?
?
(2)45
000()()50111
x
x
x F x f x dx t dt x x x -∞
??=
==≤?
≥??
?
? (3)5
5
1
33131{}()()()()244242
P x F F ≤≤=-=-。 (4)当01x <<, 1213y x <=+<时
11
(){}{21}{}()22
Y X y y F y P Y y P X y P X F --=≤=+≤=≤
= 4
'''
5(1)13111()()()()()32
22200Y Y X X y y y y y f y F y F f ?-<<---?∴===?=???
5.将2个球随机地放入2个盒子中,若X 、Y 分别表示放入第1个,第2个盒子中球的个数, 求(1)(,)X Y 的联合分布律和边缘分布律.(2) 求{1|1}P X Y == (3) X 、Y 是否独立 解:(1)
Y X 0 1 2 P{Y=j}
0 0 0 14 1
4 1 0 12 0 1
2
2 14 0 0 1
4
P{X=i} 14 12 1
4
1
(2) {1,1}{1|1}1{1}P X Y P X Y P Y =====
== (3) 1
{1|1}1{1}2
P X Y P X ===≠==,X,Y 不独立。
6.设X,Y 是独立同分布的随机变量,1
{}{}3
P X i P Y i ====
,1,2,3i =,max(,)M X Y = , min(,)N X Y =,求(M,N)的联合分布律和各自的边缘分布律并求出{}P X Y =.
解: X,Y 独立且 X 1 2 3 Y 1 2 3 k p
13 13 13 k p 13 13 13
1
{,}{}{},,1,2,3P X i Y j P X i P Y i i j =======,所以
故M,N 并且3
1
1{}{,}3
i P X Y P X i Y i ===
===
∑。
7.已知随机向量(,)X Y 的概率密度函数为301
(,)0
x y x f x y ≤≤≤?=?
?其它。
试求:(1) ()Y f y (2 |(|)X Y f x y (3) (),(),(,)E X Var X Cov X Y (4) {1}P X Y +≤。
解:(1)12
33(1)01
()(,)2
0y Y xdx y y f y f x y dx else +∞
-∞
?=-<=
=???
??
(2)当()0Y f y ≠即01y <<时2
|21(,)1(|)()0
X Y Y x
y x f x y y f x y f y else
?<
-==??
?
(3)1
1
3
000
3()(,)(3)34
x
E X xf x y dxdy x xdy dx x dx +∞
+∞
-∞-∞=
=?==????? 1122240003
()(,)(3)35
x E X x f x y dxdy x xdy dx x dx +∞+∞-∞-∞==?==?????
222333
()()[()]()5480
Var X E X E X =-=-=
11300033
()(,)(3)28x E Y yf x y dxdy y xdy dx x dx +∞+∞-∞-∞==?==?????
11400033
()(,)(3)210
x E XY xyf x y dxdy xy xdy dx x dx +∞+∞-∞-∞==?==?????
3333
(,)()()()1048160
Cov X Y E XY E X E Y =-=-=
(4) 1
2
112x y x y x x ?
=?=????
?=-??=
??
, 1
12011222
00{1}(3)333(12)()|228
y y P X Y xdx dy
y dy y y -+≤==-=-=
???. 8.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(23)
60,0(,)0
x y e x y f x y else
-+>>?=?
?。
试求(1)(,)X Y 落在三角形区域:0,0,236D x y x y ≥≥+≤内的概率。 (2) ()Y f y ,|(|)X Y f x y (3)(),(),(,)E X Var Y Cov X Y 。 解(1) 62623
3
(23)
23330
{(,)}62()|
x x x y x
y
P X Y D e
dydx e
e
dx ---+--∈=
=?-??
?
3
2262636
00
2(1)(2)|17x x x e e dx e e x e -----=?-=--=-? (2)(23)30630()(,)0x y y Y e
dx e y f y f x y dx else
+∞
-+-+∞
-∞
?=>?=
=?
??
??
,即Y 服从参数为3的指数分布.
当0y >时, 2|20
(,)(|)()0x
X Y Y e x f x y f x y f y else
-?>==?
?. (3)观察得出X,Y 独立,则 220
()0
x
X e x f x else
-?>=?
?.即X 服从参数为2的指数分布. 2111
(),()(),(,)0239
E X Var Y Cov X Y ∴=
=== 9.设随机变量X 的分布如下,已知()0.9,()0.49E X Var X ==,试求 a,b,c 的值。
解:2
2
2
1,()20.9,()()(())40.90.49a b c E X b c Var X E X E X b c ++==+==-=+-=, 得0.3,0.5,0.2a b c ===
10.设总体的概率密度函数为111()01
x
e
x f x x θ
θ
-
?≥?=??
。θ为未知参数,12,,n X X X L 是一个样本。
(1)试求θ的最大似然估计量和矩估计。(2)试问μ
*
X θ=是θ的无偏估计吗,为什么
解:(1) 最大似然估计: 1
1
11
(1)
()1
1
1
()(,)n
i
i i x n
n
x n n x n n i
i i L f x e
e
e
θ
θ
θ
θθθθθ=-----==∑=
===∏∏
1
ln(())ln ()L n n nx θθθ
=-+
-
21
ln(())()0d n L n nx d θθθθ
=---= $1x θ
=-为最大似然估计值,$1X θ=-为最大似然估计量 矩估计:11
1
()()1x
E X xf x dx x e dx θμθθ
-+∞
+∞
-∞
==
==+?
?
,1θμ=-
矩估计量为 $1X θ
=- 矩估计值为 $1x θ=-。 (2)μ*()()()1E E X E X θθθ===+≠,所以μ*
θ不是θ的无偏估计
11.设总体(20,),0X B p p >:为未知参数,12,,,n X X X L 是来自X 的一个样本。 (1)试求p 的最大似然估计量μp 。(2)试问μp 是无偏估计量吗为什么
解:(1)因为总体(20,),X B p :2020(,)(1)x x x f x p C p p -=-,
设 12,,,n x x x L 为样本12,,,n X X X L 的一组观察值, 似然函数 202020
201
1
1
()(,)(1)
()(1)i i i
n n
n
x x x x
n x n n x i
i i i L p f x p C
p p C p p --====
=-=-∏∏∏
201
ln(())ln()ln (20)ln(1)i
n
x i L p C nx p n nx p ==++--∑
1ln(())(20)01d nx L p n nx dp p p
=--=- μ20x p =为最大似然估计值,μ20X p =为最大似然估计量
(2)μ
()20()()202020
X E X p
E p E p ====,所以μp 是p 的无偏估计 12.设总体X 的概率密度为2
310,(66)
()
0,x x x f x θθθ?<<-?=???
其它,其中,(0)θθ>为未知参数,12,,...,n X X X 是来自总体X 的样本.
(1)求θ的矩估计量$θ
. (2)验证矩估计量$θ是θ的无偏估计. 解: (1)2
30
1
1()()(66),22
E X xf x dx x x x dx θ
μθθθμθ+∞
-∞
==
=?
-=?=?
? θ的矩估计量为$θ
=2X , θ的矩估计值为$θ=2x (2) $()(2)2()2()E E X E X E X θθ====,$θ
是θ的无偏估计 13.设某地区在职职工的月薪2
(,)X N μσ:,2
,μσ未知,今随机地调查6人,算得月薪分别为(单位:元)2050 1650 2050 1850 2200 1900
试在显着水平0.05α=下检验假设:0:1900H μ≤, 1:1900H μ>。 解:(1)假设0:1900H μ≤, 1:1900H μ> (2)2
σ
未知,检验统计量为X t =
01900,6n μ==
(3)拒绝域为10.95(1)(5) 2.0150t t n t α->-==
(4)根据样本算得1
(205016502050185022001900)19506
x =
+++++= 22221
[(20501950)(16501950)(20501950)5
s =-+-+-
222(18501950)(22001950)(19001950)]+-+-+-185000=
则,192.3538s =
, 0.6367<2.0150t =
=,
t 没落在拒绝域内,接受0H ,即认为该地区职工的月薪不高于1900元.
14.设一批木材的小头直径2
~(,),X N μσ(单位cm),今抽出12根测得11.2x =,2
1.44s =.
(1)若已知 1.2σ=,求μ的置信水平为95%的区间估计.
(2)若σ未知,12μ≥为合格,问该批木材是否合格取显着性水平0.05α=, 即假设检验: 0:12,H μ≥ 1:12.H μ< 解: (1)
1.2σ=,0.97512
12,195%,
0.025, 1.962
n u u αα
α-=-====
μ
的置信区间为12
()(11.2 1.96)(10.5210,11.8790)X α-±
== (2) 假设0:12,H μ≤, 1:12.H μ>
2σ
未知,检验统计量为X t =
012,12n μ==
拒绝域为10.950.95(1)(1)(11) 1.7959t t n t n t α-≥-=-== 又11.2, 1.2x s ==
,0.952.3094(11) 1.7959t t =
=-<=,
t 没落在拒绝域内,接受0H ,即认为该批木材不合格.
15. 自动车床加工的某种零件的直径(单位:mm )服从正态分布2
(,)N μσ,原来的加工精度
20.09σ≤,经过一段时间后,需要检验是否保持原来的加工精度,为此,从该车床加工的
零件中抽取30个,测得数据如下:2
10.267,0.1344x s ==,问加工精度是否变差(取显着
水平0.05α=)
解:假设2
201:0.09:0.09H H σσ≤>
μ未知,检验统计量为2
2
20
(1)n S χσ-=
,2
00.09,30n σ==
拒绝域为222
10.95(1)(29)42.557n αχχχ-≥-==
又2
2
20.9520
(1)290.1344
43.3067(29)42.5570.09
n S χχσ-?=
=
=>=,
2χ落在拒绝域内,拒绝0H ,即认为加工精度变差了。
数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材:四川大学数学学院邹述超、何腊梅:《概率论与数理统计》,高等教育出版社出,2002年8月。 参考书:袁荫棠:《概率论与数理统计》(修订本),中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室:《概率论与数理统计学习指导》 总学时:60学时,其中:讲课50学时,习题课10学时。 学分:3学分。 说明: 1.生源结构:数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生(如:旅游管理,行政管理),有些专业约占1/4~1/3的理科生(国贸,财政学,经济学),有些专业全是理科生(如:国民经济管理,金融学)。 2.高中已讲的内容:高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率,即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外,其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布(包括二项分布、几何分布)和离散型随机变量的期望与方差,统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求:学生的数学基础差异大,不同专业学生对数学课重视程度的差异大,这就给讲授这门课带来一定的难度,但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解,学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时,既要照顾数学基础差的学生,多举基本例子,使他们掌握大纲要求的基本概念和方法;也要照顾数学基础好的学生,使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程(如:计量经济学),将用到较多的概率统计知识;还有一部分学生要考研,数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法,习题(A)是针对基本方法的训练而编写的,因此,这一部分内容须重点讲解,并要求学生必须掌握;每一章的最后一节是综合例题,习题(B)具有一定的综合性和难度,可以选讲部分例题,数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时): 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性,独立随机试验、
* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ; B :两次出现同一面,则= ; C :至少有一次出现正面,则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则 (1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个 签,说明两人抽“中‘的概率相同。
一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案:0.3 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故
概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020
《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2.样本空间、随机事件 1.事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生 φ=?B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件A 与事件B 互为对立事件 2.运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??)( 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3.频率与概率 定义 在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件: (1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P
概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件,且P (A)=,P (B)=,P (B A)=,则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量,若)? ()?(21θθD D <,则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件,且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=,则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布,Y =2X +1,则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是: ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ,且{}784 .0=≥αX P ,则α= 。 6. 已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ,则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ~N (1,4),Y ~N (2,9),且X 与Y 相互独立。设Z =X -Y +3,则Z ~ N (2, 13) 。 * 8. 设A ,B 为随机事件,且P (A)=,P (A -B)=,则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4),已知Φ=,Φ=,则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ,则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ,则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ,B 为随机事件,且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ,其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ,则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在,令DX EX X Y /)(-=,则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立,且D (X )=4,D (Y )=2,则D (3X -2Y )= 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击,已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51,则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ~N (2,2σ),且P {2 < X <4}=,则P {X < 0}= 。 ! 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ,则X 的期望
概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020
一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设事件B A ,仅发生一个的概率为,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案: 解: 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2.设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则 ==)3(X P ______. 答案: 解答: 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ,故 3.设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案: 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调,反函数为()h y =所以 4.设随机变量Y X ,相互独立,且均服从参数为λ的指数分布,2)1(-=>e X P ,则=λ_________,}1),{min(≤Y X P =_________. 答案:2λ=,-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答: 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==,故 2λ= 41e -=-. 5.设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本,则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案: 解答: 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为
第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:对立不是独立。两个集合互补。第2题 您的答案:D 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:A发生,必然导致和事件发生。第3题
您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:密度函数在【-1,1】区间积分。第5题
您的答案:A 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:A答案,包括了BC两种情况。 第6题 您的答案:A 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题
您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中,且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第8题 您的答案:D 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数,加绝对值。第9题
您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用概率密度的性质,概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用分布函数的性质,包括分布函数的值域[0,1]当自变量趋向无穷时,分布函数取值应该是1.排除答案。 第11题
您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用上分位点的定义。 第12题 您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P(AB)小于等于P(C)。第13题
概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 (一)课程名称:概率论与数理统计 所属专业:物理学 课程性质:必修 学分:3 (二)课程简介、目标与任务; 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科;它有着深刻的实际背景,在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习,使学生掌握概率与数理统计的基本概念,并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 (三)先修课程要求,与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接; 先修课程:高等数学。后续相关课程:统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础,起了重要作用。 (四)教材与主要参考书。 教材: 同济大学数学系编,工程数学–概率统计简明教程(第二版),高等教 育出版社,2012. 主要参考书: 1.浙江大学盛骤,谢式千,潘承毅编,概率论与数理统计(第四版), 高等教育出版社,2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计(第5版)影印版,高等教育出版社,2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件; 1.2 事件关系和运算。
第二章事件的概率 2.1概率的概念;2.2 古典概型;2.3几何概型;2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率; 3.2 全概率公式; 3.3贝叶斯公式;3.4 事件的独立性; 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数;4.2离散型随机变量;4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数;5.2 二维离散型随机变量;5.3 二维连续随机变量;5.4 边缘分布; 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布;6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数; 7.2 方差和标准差; 7.3协方差和相关系数; *7.4大数律; 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学;8.2统计量;8.3抽样分布。 第九章点估计
概率论与数理统计必考大题解题索引 编制:王健 审核: 题型一:古典概型:全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式: ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为,为的事件,B ,B ,……,B 为的划分,且>0,则有: P ?…其中有:。特别地:当n 2时,有: 贝叶斯公式: ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ,B ,……,B 为S 的一个划分,且P ,……则有:特别地: 当n 2时,有: 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品,各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%,其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件,求: (1)恰好取到不合格品的概率; (2)若已知取到的是不合格品,它是第二家工厂生产的概率。 解:设事件 表示:“取到的产品是不合格品”;事件i A 表示:“取到的产品是第i 家工 厂生产的”(i =123,,)。 则Ω== 3 1i i A ,且P A i ()>0,321A A A 、、两两互不相容,由全概率公式得 (1)∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?=
第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1)同时掷两颗骰子,记录两颗骰子的点数之和; (2)在单位圆内任意一点,记录它的坐标; (3)10件产品中有三件是次品,每次从其中取一件,取后不放回,直到三件次品都取出为止,记录抽取的次数; (4)测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 (1)S= {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} (2)S= {(x, y)| x2+y2<1} (3)S= {3,4,5,6,7,8,9,10} (4)S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件,用A、B、C的运算关系表示下列事件: (1)A发生,B和C不发生; (2)A与B都发生,而C不发生; (3)A、B、C都发生;
(4)A、B、C都不发生; (5)A、B、C不都发生; (6)A、B、C至少有一个发生; (7)A、B、C不多于一个发生; (8)A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3.在某小学的学生中任选一名,若事件A表示被选学生是男生,事件B表示该生是三年级学生,事件C表示该学生是运动员,则 (1)事件AB表示什么? (2)在什么条件下ABC=C成立? ?是正确的? (3)在什么条件下关系式C B (4)在什么条件下A B =成立? 解所求的事件表示如下 (1)事件AB表示该生是三年级男生,但不是运动员. (2)当全校运动员都是三年级男生时,ABC=C成立. ?是正确的. (3)当全校运动员都是三年级学生时,关系式C B
(4)当全校女生都在三年级,并且三年级学生都是女生时,A B =成立. 4.设P (A )=,P (A -B )=,试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ,已知P(A) = P(B)=P(C)=1 4 ,P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球,现从中随机地取出两只球,试求下列事件的概率: A ={两球颜色相同}, B ={两球颜色不同}. 解 由题意,基本事件总数为2a b A +,有利于A 的事件数为2 2a b A A +,有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==
《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号:450006 课程名称:概率论与数理统计 课程类别:公共基础课(必修) 学时学分:理论48学时/3学分 适用专业:计算机、自动化、经管各专业 开课学期:第一学期 先修课程:高等数学 后续课程: 执笔人: 审核人: 制(修)订时间:2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科,是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学,应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念,了解它的基本理论和方法,从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法,培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主,致力于讲清楚基本的概率统计思想,使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识,使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 (一)概率论的基本概念
1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念,掌握事件的关系与运算,掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 (1)教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念; ② 加法公式;乘法公式;全概率公式;贝叶斯公式。 (2)教学难点 ① 古典概型的有关计算;② 全概率公式的应用; ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式,以课堂讲授为主,课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学,学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 (1)理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念;熟练掌握事件的关系及运算 (2)理解频率和概率定义;熟练掌握概率的基本性质 (3)理解等可能概型的定义性质;,会计算等可能概型的概率 (4)理解条件概率的定义;熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式(5)理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 (二)随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念;理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质,会利用性质确定分布律和概率密度;理解分布函数的概念及性质,会利用此概念和性质确定分布函数,会利用概率分布计算有关事件的概率;掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布,会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 (1)教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念; ② 离散型随机变量分布律的求法;
习题五 1.一颗骰子连续掷4次,点数总和记为X .估计P {10 【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件,则i =1,2,…,n ,且 X 1,X 2,…,X n 独立同分布,p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部,每部机床开动的概率为,假定各机床开动与否互不影响,开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量,应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ,而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%, 《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 (一)课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics),由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科,是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲,它是一门基础性学科,它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 (二)先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等,这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合,以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索,也为其它学科的 进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念,熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法,并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 (一)能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系,使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 (二)知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理; 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算; 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 (三)素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神; 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力; 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求,本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配 概率论与数理统计试题 与答案 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】(完整版)概率论与数理统计课程标准
概率论与数理统计试题与答案