实数培优训练(提高训练可用)
例1 已知一个立方体盒子的容积为216cm 3,问做这样的一个正方体盒子（无盖）需要多少平方厘米的纸板？
例2 若某数的立方根等于这个数的算术平方根，求这个数。
例 3 下列说法中：①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的。正确的个数是（ ）A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
例4 （1） 已知22(4)20,()y x y x y z xz -+++
+-=求的平方根。
（2）设2a 2的整数部分为，小数部分为b ，求-16ab-8b 的立方根。
（3）若
,,3532320042004,4x y m x y m x y m x y x y m +--++-=+-+---适合于关系式试求的算术平方根。
（4）设a 、b 是两个不相等的有理数，试判断实数33
a b ++是有理数还是无理数，并说明理由。
例5 已知2m-3和m-12是数p 的平方根，试求p 的值。
训练题：
一、填空题
1、2(9)-的算术平方根是 。
2、已知一块长方形的地长与宽的比为3：2，面积为3174平方米，则这块地的长为 米。
3、已知2
31(1)0,a b a b ++-=+=则 。 4、已知22114,)1
x y x x y x +-+-+=+3则(2= 。 5、设等式()()a x a a y a x a a y -+-=---在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不相等的实数，则22
223x xy y x xy y
+--+的值是 。 6、已知a 、b 为正数，则下列命题成立的： 若32,1;3,6, 3.2
a b ab a b ab a b ab +=≤+=≤+=≤则若则；若则 根据以上3个命题所提供的规律，若a+6=9，则ab ≤ 。
7、已知实数a 满足219992000,1999a a a a -+-=-=则 。
8、已知实数211,,a-b 20,24c a b c b c c c ab
+++-+=满足则的算术平方根是 。 9、已知x 、y 是有理数，且x 、y 满足22322332x y y ++=-，则x+y= 。
10、由下列等式：
33333322334422,33,44,7726266363
===…… 所揭示的规律，可得出一般的结论是 。
11、已知实数a 满足3230,11a a a a a ++=-++=那么 。
12、设62,53,A B =+=+则A 、B 中数值较小的是 。
13、在实数范围内解方程12 5.28,x x y ππ-+
-+-=则x= ,y= . 14、使式子2
52
x x --有意义的x 的取值范围是 。 15、若1101,6,a a a a a
+=- 且则的值为 。 16、一个正数x 的两个平方根分别是a+1和a-3，则a= ,x= .
二、选择题：
1、3(6)-的平方根是( )A 、-6 B 、6 C 、±6 D 、±6
2、下列命题：①（-3）2的平方根是-3 ；②-8的立方根是-2；③9的算术平方根是3；④平方根与立方根相等的数只有0； 其中正确的命题的个数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
3、若35,b a b ++的小数部分是a ，3-5的小数部分是则的值为（ ）
A 、0
B 、1
C 、-1
D 、2
4、已知5,14,0.063a b ===则( ) A 、
10ab B 、310ab C 、100ab D 、3100ab 5、使等式2()x x --=成立的x 的值（ ） A 、是正数 B 、是负数 C 、是0 D 、不能确定
6、如果30,a a - 那么等于（ ） A 、a a B 、a a - C 、a a - D 、a a --
7、下面5个数：1
3.1416,,,3.14,1πππ-，其中是有理数的有（ ）A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个
8、已知30,0,2150,y x y x xy y x xy y +--=+- 2x+xy 且求
的值。
9、已知：
,,32220022002,x y z x y z x y z x y x y +--++-=+-+--适合关系式试求x,y,z 的值。
10、在实数范围内，设2006224(
)12x x x a x x -+-=++-，求a 的各位数字是什么？
八年级数学拓展训练2 班级姓名 1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是 （A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）7 2．如图，ABC ?和DCE ?都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为 （A）3（B）23（C）33（D）43 3．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为 （A）4 cm （B）5 cm （C）6 cm （D）10 cm 4．如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm. 5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是． 6．如图，Rt△ABC中，∠C=0 90, ∠ABC=0 30，AB=6.点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是. 7．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD的长为． E D B A （第13 A 第3题 B C D E 第5题 第1题第2题 第6题
8．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m 、0.3m 、0.2m ，A 和B 是台 阶上两个相对的顶点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬 行到B 点的最短路程是多少？ 9．长方形ABCD 如图折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE 的 长． 10．已知：如图，∠B=∠D=90°,∠A=60°，AB=4，CD=2.求四边形ABCD 的面积. 11．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极 强的破坏力．如图，据气象观测，距沿海城市A 的正南方向240千米B 处有一台风中 心，其中心风力为12级，每远离台风中心25km ，风力就会减弱一级。该台风中心现正 以20km/h 的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力 达到或超过四级，则称为受台风影响。 （1）城市A 是否受到台风影响？请说明理由。 （2）若城市A 受到台风影响，则持续时间有多长？ （3）城市A 受到台风影响的最大风力为几级？ A B 30° 240 D C
WORD格式 . 专题勾股定理在动态几何中的应用一.勾股定理与对称变换 （一）动点证明题 1.如图，在△ABC中，AB=AC， （1）若P为边BC上的中点，连结 22 AP，求证：BP×CP=AB-AP； （2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由； A B C P （3）若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系？请证明你的结论 A . B C P （二）最值问题 2.如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3，BE=1，P为AC上的动点，则PB+PE的最小值是
A D E P 3.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点， B C . 专业资料整理
WORD格式 . 将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.（1） 求证：△AMB≌△ENB； A D （2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小； N E M C B C ②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； A D N E M B C C （3）当AM＋BM＋CM的最小值为31时，求正方形的边长. A D N E M B C C
4.问题：如图①，在ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的. 专业资料整理
WORD格式 . 长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决． （1）请你回答：图中BD的长为； （2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长． A A B D C B D C 图①图②
实数培优题 【知识点精讲】 1，有关平方根、立方根的概念及运算中稍加综合的题目。 2，一些较为简单的关于平方根、立方根的应用问题。 【解题方法指导】 例1，已知 a ?b +1 + 2a ?3b ?4=0，求4a +b 2的立方根。 例2，计算： ?2 3× ?4 2+ ?4 33× ?12 2 ? 81 例3，求10×11×12×13+1的平方根。 【典型例题分析】 例1，已知M = a +32a ?b+4是a +3的算术平方根，N = b ?3a +2b ?3的立方根，试 求M-N 的值。
例2，一个自然数的一个平方根是m，求比它大1的自然数的平方根。例3，已知3x+16的立方根是4，求2x+4的平方根。 例4，已知10404=102，x=0.102。则x等于（） A 10.404 B 1.0404 C 0.10404 D 0.010404 例5，（1）已知a是m（m≠0）的平方根，求m的算术平方根。 3=n2，那么x有意义吗？如果有意义，数值等于多少？（2）如果x （3）已知?90x是一个正整数，那么x可取的最大整数值是多少？ 例6，求5? ?x2+4的最大值和最小值。
【综合测试】 A 卷 1，等式 a+3 2a+3=?1成立的条件是 。 2，当x 为 时，它的算术平方根比x 大。 3，计算： ?183 ? 0.25 3+ ? 2.89 2? 1 64?13 4，代数式11? a 在实数范围内有意义的条件是 。 5，如果a 是非零实数，则下列格式中一定有意义的是（ ） A a B 2 ?a C 2 D 1 a 2 6，若x ?12+ =x ?12+x ?5，则x 的取值范围是 。 7，一个等腰三角形的两条边长分别为5 3和3 2，则此等腰三角形的周长是多少？ B 卷 1，下列说法错误的是（ ） A a 2和 ?a 2相等 B a 2和 ?a 2互为相反数 C a 3和 ?a 3是互为相反数 D a 和 ?a 互为相反数 2，若 a 2=?a ，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ） A 原点左侧 B 原点右侧 C 原点或原点左侧 D 原点或原点右侧 3，一个正方形的面积变为原来的m 倍，则边长变成原来的 倍；一个立方体的体积变为原来的n 倍，则棱长变为原来的 倍。 4，已知a ，b 满足 2a +8+ b ? 3 =0，解关于x 的方程 a +2 x +b 2=a ?1. 5，已知y =2+1.求xy 的平方根。 6，（1）当a<0时，化简： a 2?a a 的结果是 。 （2）化简 m ?1 ?1 m ?1的结果是 。 7，当x<2时， 2?4x +4= ；若x>1时， 1x 2+x 2?2= 。
勾股定理培优练习集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
勾股定理 【知识点】1、勾股定理__________________________________________________________________ 2、勾股定理逆定理_____________________________________________________________________ 【基础练习】 1．如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（） A．30° B．45° C．60° D．90° 2．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（） A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5 3．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=20，点M，N在边OB上，PM=PN．若MN=6，则OM=（） A．4 B．5 C．6 D．7 第1题第3题第5题第6题 4．在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为10，AC边的长度可以在3、5、7、9、11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（） A．3个B．4个C．5个D．6个 5．（2015?石家庄模拟）图1是我国古代着名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（） A．51 B．49 C．76 D．无法确定 6．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（） A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 7．下列命题中，是假命题的是( )． A．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形 B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形 C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形 D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形 8．如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需米． 第8题第9题第10题 9．如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF= ． 10．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=度． 【例题讲解】 例1、）阅读以下解题过程： 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状． 错解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4…（1）， ∴c2（a2﹣b2）=（a2﹣b2）（a2+b2）…（2）， ∴c2=a2+b2 (3) 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号． （2）错误的原因是． （3）本题正确的结论是． 例2．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON 方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时． （1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离； （2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 例3、我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
浙教七上数学第三章：实数培优训练 一．选择题： 1.下列各数中无理有（ ） 10 π 14159.3 81 3 27 32+ 73 169 121 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2.①64的立方根是4±；②x x =33；③64的平方根为8±；④()4832 ±=± 其中正确的有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 的值等于则若n m n m --==,3,23( ) A. 31 B. 31- C. 332+ D. 332- 4.计算：=---+-π14.35351（ ） A.π+-5286.0 B. π-14.5 C. π+-14.752 D. π+-14.1 的整数有而小于大于53.5-( ) A. 2,1,0,1,2-- B. 3,2,1,0,1- C. 3,2,1,0,1,2-- D. 2,1,0,1- 则下列各式正确的是若,0.6>a ( ) A. a a > B. a a >1 C. a a 1 1< D. a a < 的大小关系是则若c b a c b a ,,2,3),3(22.72--=-=-?+-=（ ） A. c a b >> B. c a b >> C. c b a >> D. b c a >> =-=+ x x x x 1 ,71.8则已知( ) A. 3 B. 3- C. 3± D. 5± 9.一个自然数的算术平方根是a ，则与这个自然数相邻的后续自然数的平方根是（ ） A. 1+a B. 12+a C. 1+±a D. 12+±a 10.若1212=a ,1692 =b ，且0 相交实数典型问题精析(培优) 例1.(2009年乌鲁木齐市中考题 ( ) A. C. D. 分析:本题考查实数得概念――相反数,要注意相反数与倒数得区 别,实数a 得相反数就是-a,选A 、要谨防将相反数误认为倒数,错选D 、例2.(2009年江苏省中考题)下面就是按一定规律排列得一列数: 第1个数: 11122-??-+ ???;第2个数:2311(1)(1)1113234????---??-+++ ??? ???????; 第3个数:234511(1)(1)(1)(1)11111423456????????-----??-+++++ ??????? ??????????? ; ……第n 个数:232111(1)(1)(1)111112342n n n -??????----??-++++ ??? ? ?+????????. 那么,在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中,最大得数就 是(A ) A.第10个数 B.第11个数 C.第12个数 D.第13个 数 解析:许多考生对本题不选或乱选,究其原因就是被复杂得运算式子吓住了,不善于从复杂得式子中寻找出规律,应用规律来作出正确得判断、也有一些考生尽管做对了,但就是通过写出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数得结果后比较而得出答案得,费时费力,影响了后面试题得解答,造成了隐性失分、本题貌似复杂,其实只要认真观察,就会发现,从第二个数开始,减数中得因数就是成对增加得,且增加得每一对数都就是互为倒数,所以这些数得减数 都就是21,只要比较被减数即可,即比较141131121111、 、、得大小,答案一目了然、例3(荆门市)定义a ※b ＝a2－b,则(1※2)※3＝＿＿＿、 解 因为a ※b ＝a2－b,所以(1※2)※3＝(12－2)※3＝(－1)※3＝(－ 人教版八年级下册第17章《勾股定理》培优提高试题 一．选择题（共8小题） 1．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（） A．a＝1.5 b＝2 c＝2.5B．a：b：c＝5：12：13 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（） A．18cm2 B．36cm2C．72cm2D．108cm2 3．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（） A．30厘米B．40厘米C．50厘米D．以上都不对4．在△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，BC＝，则∠B为（） A．30°B．90°C．30°或60°D．30°或90°5．如图，一架25米的梯子AB靠在一座建筑物AO上，梯子的底部B距离建筑物AO的底部O有7米（即BO＝7米），如果梯子顶部A下滑4米至A1，则梯子底部B滑开的距离BB1是（） A．4米B．大于4米C．小于4米D．无法计算 6．为比较与的大小，小亮进行了如下分析后作一个直角三角形，使其两直 角边的长分别为与，则由勾股定理可求得其斜边长为 ．根据“三角形三边关系”，可得．小亮的这一做法体现的数学思想是（） A．分类讨论思想B．方程思想 C．类此思想D．数形结合思想 7．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（） A．9B．36C．27D．34 8．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（） A．12B．15C．20D．30 二．填空题（共6小题） 9．直角三角形的斜边长是5，一直角边长是3，则此直角三角形另一直角边是．10．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形． 11．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为． 实数典型问题精析（培优） 例1．（2009的相反数是（ ） A ． B C ．2 - D ． 2 分析：本题考查实数的概念――相反数，要注意相反数与倒数的区别，实数a 的相反数是-a ，选A.要谨防将相反数误认为倒数，错选D. 例2．（2009年江苏省中考题）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-??-+ ???；第2个数：2311(1)(1)1113234????---??-++ + ??? ??????? ； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456???????? -----??-++ +++ ??????? ??????????? ； ……第n 个数：23 2111(1)(1)(1)111112342n n n -???? ?? ----??-++++ ??? ? ?+?????? ?? ． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（A ） A ．第10个数 B ．第11个数 C ．第12个数 D ．第13个数 解析：许多考生对本题不选或乱选，究其原因是被复杂的运算式子吓住了，不善于从复杂的式子中寻找出规律，应用规律来作出正确的判断.也有一些考生尽管做对了，但是通过写出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的结果后比较而得出答案的，费时费力，影响了后面试题的解答，造成了隐性失分.本题貌似复杂，其实只要认真观察，就会发现，从第二个数开始，减数中的因数是成对增加的，且增加的每一对数都是互为倒数，所以这些数的减数都是 21，只要比较被减数即可，即比较14 1 131121111、、、的大小，答案一目了然. 例3（荆门市）定义a ※b ＝a 2 －b ，则(1※2)※3＝＿＿＿. 解 因为a ※b ＝a 2 －b ，所以(1※2)※3＝(12 －2)※3＝(－1)※3＝(－1)2 －3＝－2.故应填上－2. 说明：求解新定义的运算时一定要弄清楚定义的含义，注意新定义的运算符号与有理数运算符号之间的关系，及时地将新定义的运算符号转化成有理数的运算符号. 例4（河北省）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、…，这样的数称为“正方形数”.从如图所示中可以发现，任何一个大于 实数培优拓展 1、利用概念解题： 例1. 已知：18-+=b a M 是a +8的算术数平方根，423+--=b a b N 是b -3立方根，求N M +的平方根。 练习：1.若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是 。 2.已知234323-=-=+y x y x ， ，求x y +的算术平方根与立方根。 3．若2a ＋1的平方根为±3，a －b ＋5的平方根为±2，求a+3b 的算术平方根。 例2、解方程（x+1）2=36. 练习：（1）9)1(2=-x （2）2515 1 3=+）（x 2、利用性质解题： 例1 已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数． 变式：①已知2a －1和a －11是一个数的平方根，则这个数是 ； ②若2m －4与3m －1是同一个数两个平方根，则m 为 。 例2．若y =x -3＋3-x ＋1，求（x ＋y ）x 的值 例3．x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 例4．已知321x -与323-y 互为相反数，求y x 21+的值. 例5.若a a +=+3)3(2，则a 的取值范围是 例6.对于每个非零有理数c b a ,,式子 abc abc c c b b a a +++的所有可能__________________. 练习： 1.若一个正数a 的两个平方根分别为x +1和x +3，求a 2005的值。 2. 若（x －3）2＋1-y =0，求x ＋y 的平方根； 3. 已知,22421+-+-=x x y 求y x 的值. 4. 当x 满足下列条件时，求x 的范围。 ① 2)2(x -=x －2 ② x -3=3-x ③x =x 5. 若3 38 7=-a ，则a 的值是 3、利用取值范围解题： 例1.已知 052522=--+-x x x y ，求7（x ＋y ）－20的立方根。 例2. 已知有理数a 满足a a a =-+-20052004，求a -20042的值。 4、比较大小、计算： 例1．比较大小 216- 212+.310; 83-13 71 说明：比较大小的常用方法还有： ①差值比较法： 如：比较1－2与1－3的大小。 ②商值比较法（适用于两个正数） 如：比较 51-3与5 1的大小。 七年级数学培优讲义（2） 一、实数： （一）【内容解析】 （1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数； 要准确、深刻理解概念。如平方根的概念：①文字概念：若一个数x的平方是a，那么x是a的平方根； ②符号概念：若，那么；③逆向理解：若x是a的平方根，那么。 （2）性质：①在平方根、算术平方根中，被开方数a≥0式子有意义； ②在算术平方根中，其结果是非负数，即≥0； ③计算中的性质1：（a≥0）； ④计算中的性质2：； ⑤在立方根中，（符号法则） ⑥计算中的性质3：； （3）实数的分类： （二分法）（三分法） （二）【典例分析】 1、利用概念解题： 例1. 已知：是的算术数平方根，是立方根，求的平方根。 练习：1. 已知，求的算术平方根与立方根。 2．若2a＋1的平方根为±3，a－b＋5的平方根为±2，求a+3b的算术平方根。 例2、解方程（x+1）2=36. 练习：（1）（2） 2、利用性质解题： 例1 已知一个数的平方根是2a－1和a－11，求这个数． 变式：①已知2a－1和a－11是一个数的平方根，则这个数是； ②若2m－4与3m－1是同一个数两个平方根，则m为。 例2．若y=＋＋1，求（x＋y）x的值 例3．x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 ⑴⑵⑶⑷ 例4．已知与互为相反数，求的值. 练习：1.若一个正数a的两个平方根分别为和，求的值。 2.若（x－3）2＋=0，求x＋y的平方根； 3.已知求的值. 4.当x满足下列条件时，求x的范围。 ① =x－2 ② = ③=x 5.若，则的值是 3、利用取值范围解题： 例1. 已知有理数a满足，求的值。 3、利用估算比较大小、计算： 估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。 例1．比较与的大小 一、选择题 1．如图，ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若56AB AC BC ===，，则AP BP CP ++的最小值为( ) A ．8 B ．8.8 C ．9.8 D ．10 2．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是 （ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的一条角平分线．若AC ＝6，AB ＝10，则点D 到AB 边的距离为（ ） A ．2 B ．2.5 C ．3 D ．4 4．已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ，以下四个结论： ①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2）， 其中结论正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（ ） A ．1，2，6 B ．3，5，4 C ．5，12，13 D ．3，2，13 6．如图，已知AB AC =，则数轴上C 点所表示的数为( ) A ．3- B ．5- C ．13- D ．15- 7．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A ．1 B ．2021 C ．2020 D ．2019 8．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为 （ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 9．下列条件中，不能．．判定ABC 为直角三角形的是（ ） A ．::5:12:13a b c = B ．A B C ∠+∠=∠ C ．::2:3:5A B C ∠∠∠= D ．6a =，12b =，10c = 10．如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边6,8AC BC ==，现将ABC 折叠，使点B 点A 重合，折痕为DE ，则BD 的长为（ ） A ．7 B ． 25 4 C ．6 D ． 112 二、填空题 11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若S 1+S 2+S 3=10，则S2的值是_________． 八年级下勾股定理培优训练 一．选择题 1．如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD AB、AC于E、F，给出以下四个结论： ①AE=CF ②△EPF是等腰直角三角形③EF=AP ④S四边形AEPF=S△ABC 4．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有dm 2dm 7．如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=∠BAC，CE交 8．已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第 2 （1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13； （2）如果a≥0，那么=a （3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限； （4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； （5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等． 图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为2 EF的长是（） 二．填空题 14．如图，△ABD和△CED均为等边三角形，AC=BC，AC⊥BC．若BE=，则CD= ．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2，则BC的长是． 16．已知a，b，c是直角三角形的三条边，且a＜b＜c，斜边上的高为h，则下列说法中正确的是．（只填序号） ①a2b2+h4=（a2+b2+1）h2；②b4+c2h2=b2c2；③由可以构成三角形；④直角三角形的面积的最大值是． 17．如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，则四边形ABCD的面积是． 18．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点．若BE=2，AG=8，则AB的长为． 三．解答题 19．如图，已知AD是△ABC的高，∠BAC=60°，BC=3,AC=2，试求AB的长． 20．操作发现：将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合． 问题解决：将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC 与BD交于点O，连接CD，如图②． （1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长． 一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！ 1．一个正数的算术平方根是8，则这个数的相反数的立方根是( ) A ．4 B ．－4 C ．±4 D ．±8 2.16的平方根为（ ） A. 4± B. 4 C. 2 D. 2± 3．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( ) A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 4.下列说法中不正确的是( ) ①．－1的立方根是－1，－1的平方是1；②．两个有理数之间必定存在着无数个无理数， ③．在1和2之间的有理数有无数个，但无理数却没有；④．如果x 2＝6，则x 一定不是有理数 A.②③ B.①④ C.③ D.③④ 5.如果b a ,表示两个实数，那么下列式子正确的是( ) A ．若b a =，则b a = B ．若b a <，则22b a < C ．若33b a =，则b a = D ．若b a >，则33b a > 6.如果642 =x ，那么=3x （ ） A. 4± B. 2± C.2 D. 2- 7.一个正奇数的算术平方根是a ，那么与这个正奇数相邻的下一个正奇数的算术平方根是( ) A ．2+a B ．22 +a C.22+a D ．2+±a 8.已知35.703.54=，则005403.0的算术平方根是( ） A ． B ． C ． D ． 9.已知实数139-的整数部分为a ，小数部分为b ，则=-b a 32 （ ） A. 39343- B.3937- C.39343+ D.3937+ 10．正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点D 、A 对应的数分别为0和1，若正方形ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为2；则翻转2018次后，数轴上数2018所对应的点是（ ） A ．点C B ．点D C ．点A D ．点B 二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！ 11．已知一个正数的两个平方根分别为62-m 和m +3，则()2018 m -的值为_________ 12.如果15=，5.1=，那么______00015.0= 2017.10.08实数 1、一组按一定规律排列的式子如下：2 a -，52a ，83a -，11 4a ，…，(0)a ≠，则第n 个式子是________。 2、已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|2||2|a b c b +--的结果是________。 答案：a+c 3、观察下面一列数，1,2,3,4,5,6,7---- 将这列数排成下列形式，按照上述规律排下去，那么第11行从左边第7个数是_____________。 答案：－107 4、下列说法错误的是（ ） A 、28是的立方根 B 、464±是的立方根 C 、1139-是 的平方根 D 、4的算术平方根 答案：B 5、2(8)-的立方根是（ ） A 、－2 B 、2± C 、4 D 、4± 答案：C 6、若b a -是的立方根，那么下面结论正确的是（ ） A 、b a --也是 的立方根 B 、b a 是 的立方根 C 、b a -也是 的立方根 D 、b a ±都是 的立方根 答案：C 7、点A 、B 分别是数3-、12 -在数轴上对应的点，把线段AB 沿数轴向右移动到A'B'，且线段A'B'的中点对应的数是3，则点A'对应的数是（ ） A 、0 B 、 12 C 、314 D 、144 答案：C 8、已知1101101,,,,mn m n m n n m n n m <->->>+++且那么的大小关系是（ ） A 、11m n n n m <<+< B 、11m n n m n <+<< C 、11n m n m n +<<< D 、11m n n m n <+<< 9__________________________。 10、已知一个正数x 的平方根是3225a a +-与，则a ＝_______，x 的立方根为_______。 11、若,a b 均为正整数，且a b >a b +的最小值是（ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 答案：B 第二章实数 2.1认识无理数 专题无理数近似值的确定 1. 设面积为3的正方形的边长为x，那么关于x的说法正确的是（） A．x是有理数 B．x取0和1之间的实数 C．x不存在 D．x取1和2之间的实数 2．（1）如图1，小明想剪一块面积为25cm2的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边长吗？ （2）若小明想将两块边长都为3cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间． 3.你能估测一下我们教室的长、宽、高各是多少米吗？你能估测或实际测量一下数学课本的长、宽和厚度吗？请你再估算一下我们的教室能放下多少本数学书？这些数学书可供多少所像我们这样的学校的初一年级学生使用呢？请你对每一个问题给出估测的数据，再把估算的过程结果一一写出来． 答案： 1．D 【解析】∵面积为3的正方形的边长为x，∴x2=3，而12=1，22=4，∴1＜x2＜4，∴1＜x＜2，故选D. 2．解：（1）边长为5cm. （2）设大正方形的边长为x，∵大正方形的面积=32+32=18，而42=16，52=25， ∴16＜x2＜25，∴4＜x＜5,故正方形的边长不是整数,它的值在4和5之间. 3．解：估算的过程：教室的长、宽、高可以用我们的身高估计出来；数学课本的长、宽和厚度可以用我们的手指估计出来，也可以用直尺测量出来；我们用长宽高相乘估计出教室的容积与课本的体积相除算出能放下多少本数学书，就是能供多少名学生使用，再用本班人数乘一年级班数估计本校一年级人数，然后相处就可以估计出这些数学书可供多少所像我们这样的学校的初一年级学生使用了．估测的数据、估算的结果略. 勾股定理练习(根据对称求最小值) 基本模型：已知点A、B为直线m 同侧的两个点，请在直线m上找一点M，使得AM+BM 有最小值。 1、已知边长为4的正三角形ABC上一点E，AE=1，AD⊥BC于D,请在AD上找一点N， 使得EN+BN有最小值，并求出最小值。 2、.已知边长为4的正方形ABCD上一点E，AE=1，请在对角线AC上找一点N， 使得EN+BN有最小值，并求出最小值。 3、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到 直线b的距离为3，AB=230．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（） A． 6 B．8 C．10 D．12 4、已知AB=20，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA=10，CB=5． （1）在AB上找一点E，使EC=ED，并求出EA的长； （2）在AB上找一点F，使FC+FD最小，并求出这个最小值 5、如图，在梯形ABCD 中，∠C=45°，∠BAD=∠B=90°，AD=3 ，CD=2 2， M为BC上一动点，则△AMD 周长的最小值为． 6、如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB 边上一点，则EM+BM的最小值为． 7、如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、R分别是OA、OB上的动点， 求△PQR周长的最小值． 8．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（） A．2 B．2 6C．3 D．6 9、在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________cm 10、在长方形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，若P、Q是BC边上的两动点，且PQ=2，当四边形APQE的周长最小时，求BP的长. 人教版数学八年级下册第17章勾股定理专题培优训练（含答案）一．选择题（共11小题） 1．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（） A．4B．8C．16D．64 2．已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．30 cm B．80 cm C．90 cm D．120 cm 3．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（） A．32，42，52B．C．9，41，40D．2，3，4 4．如图：a，b，c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，则下列结论正确的是（） A．a2+b2＝c2B．ab＝c C．a+b＝c D．a+b＝c2 5．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（） A．4.8B．4.8或3.8C．3.8D．5 6．若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（）A．ab＝h2B． C．D．a2+b2＝2h2 7．在△ABC中，若a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，则△ABC是（） A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形 8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了右图， 如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2009次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（） A．2008B．2009C．2010D．1 9．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B． C．D． 10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（） A．2.7米B．2.5米C．2米D．1.8米 11．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为 1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（） 米． 一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们． （1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答） （2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程 中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨5 2 m%，购买数量和原计划一样：“美团”网 上的购买价格比原有价格下降了9 20 m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在 两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了15 2 m%，求出m的值． 【答案】（1）120；（2）20． 【解析】 试题分析：（1）本题介绍两种解法： 解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，解出即可； 解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价； （2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评” 网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+5 2 m%），在“美团”网上的购买实际消费 总额：a[120（1﹣25%）﹣9 20 m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划 的预算总额增加了15 2 m%”列方程解出即可． 试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，x≤120； 解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）． 答：每个礼盒在花店的最高标价是120元； （2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得： 120×0.8a（1﹣25%）（1+5 2 m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣ 9 20 m]（1+15m%）=120×0.8a （1﹣25%）×2（1+ 15 2 m%），即72a（1+ 5 2 m%）+a（72﹣ 9 20 m）（1+15m%）=144a （1+ 15 2 m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍）， m2=20． 答：m的值是20． 相交实数典型问题精析（培优） 例1．（2009 ） A ． B C ． D ． 分析：本题考查实数的概念――相反数，要注意相反数与倒数的区 别，实数a 的相反数是-a ，选A.要谨防将相反数误认为倒数，错选D. 例2．（2009年江苏省中考题）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-??-+ ???；第2个数：2311(1)(1)1113234????---??-+++ ??? ???????； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456????????-----??-+++++ ??????? ???????????； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -??????----??-++++ ??? ? ?+????????． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数 是（A ） A ．第10个数 B ．第11个数 C ．第12个数 D ．第13个 数 解析：许多考生对本题不选或乱选，究其原因是被复杂的运算式子吓住 了，不善于从复杂的式子中寻找出规律，应用规律来作出正确的判断.也有一些考生尽管做对了，但是通过写出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的结果后比较而得出答案的，费时费力，影响了后面试题的解答，造成了隐性失分.本题貌似复杂，其实只要认真观察，就会发现，从第二个数开始，减数中的因数是成对增加的，且增加的每一对数都是互为倒数，所以这些数的减数 都是21，只要比较被减数即可，即比较141131121111、、、的大小，答案一目了然. 例3（荆门市）定义a ※b ＝a2－b ，则(1※2)※3＝＿＿＿. 解 因为a ※b ＝a2－b ，所以(1※2)※3＝(12－2)※3＝(－1)※3＝(－实数典型例题(培优)
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