1函数解析式的特殊求法
例1 已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式
例2 若x x x f 21
(+=+）,求f(x) 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f
例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 例5 已知f(x)满足x x
f x f 3)1()(2=+，求)(x f
2函数值域的特殊求法
例1. 求函数
]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。 例2.
求函数
22x 1x x 1y +++=
的值域。
例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域
例4. 求函数1e 1
e y x
x +-=的值域。
例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
①3
)
5)(3(1+-+=
x x x y 52-=x y
②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y ③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f
2若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点
(A))1,4(- (B))4,1(-- (C))1,4(-- (D))4,1(-
例3
已知函数)(x f 对任意的a b R ∈、满足：()()()6,f a b f a f b +=+-
0,()6a f a ><当时；(2)12f -=。
（1）求：(2)f 的值；
（2）求证：()f x 是R 上的减函数；
（3）若(2)(2)3f k f k -<-，求实数k 的取值范围。 例4已知{(,)|,,A x y x n y an b n ===+∈Z }，
2{(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z }，22{(,)|C x y x y =+≤14}，问是否存在实数
,a b ，使得(1)A B ≠?，(2)(,)a b C ∈同时成立.
证明题
1已知二次函数2
()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时
12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121
[()()]2
f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间
（x 1，x 2）.
答案
1解：设f(x)=kx+b 则 k(kx+b)+b=4x -1
则??
???-==????-=+=3121)1(42b k b k k 或 ???=-=12b k ∴3
12)(-=x x f 或12)(+-=x x f
2换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。解法一（换元法）：令
t=1+x 则
x=t 2-1, t ≥1代入原式有
1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f
∴1)(2-=x x f （x ≥1）
解法二（定义法）：1)1(22-+=+x x x
∴1)1()1(2-+=+x x f 1+x ≥1 ∴1)(2-=x x f (x ≥1)
4代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点
)3,2(-的对称点
则?????=+'-=+'3222y y x
x ，解得：??
?-='--='y y x x 64 ，
点),(y x M '''在)(x g y =上
x x y '+'='∴2
把??
?-='--='y y x x 64
代入得：
整理得
672
---=x x y
∴67)(2
---=x x x g
例5构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构
造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
∵已知x x
f x f 3)1
()(2=+
①，
将①中x 换成x
1得x
x f x
f 3)()1(2=
+
②，
①×2-②得x
x x f 36)(3-=
∴x
x x f 12)(-=.
值域求法
例1 解：将函数配方得：4)1x (y 2
+-=
∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y m i n =，当1x -=时，
8y m a x = 故函数的值域是：[4，8]
2. 判别式法例2. 解：原函数化为关于x 的一元二次方程
0x )1y (x )1y (2=-+- （1）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2≥----=?
解得：23y 2
1≤
≤ （2）当y=1时，0x =，而???
???∈23,211故函数的值域为??????23,21
当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y －1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y 的值域为｛y ∣y≠1,y ∈R ｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x －10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y ∣y<－1或y>1｝
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例4. 求函数1e 1e y x
x +-=的值域。解：由原函数式可得：
1y 1y e x -+= ∵0e x >
∴01y 1
y >-+
解得：1y 1<<-
故所求函数的值域为)1,1(-
例1（定义域不同）（定义域不同） （定义域、值域都不同）
例3解: （1）()()()6,f a b f a f b +=+- 令0a b ==，得(0)6f =
令2,2a b ==-，得(2)0f =
（2）证明：设12,x x 是R 上的任意两个实数，且12x x <，即210x x ->，
从而有21()6f x x -<，
则212111()()[()]()f x f x f x x x f x -=-+-2111()()6()f x x f x f x =-+--
21()60f x x =--< ∴21()()f x f x <即()f x 是R 上的减函数
（3）()()()6,f a b f a f b +=+-令1,1a b ==，得(1)3f =
∵(2)(2)3f k f k -<- ∴(2)3(2)f k f k -+<，又(1)3f =，(2)0f = 即有(2)(1)(2)(2)f k f f k f -+<+
∴(2)(1)6(2)(2)6f k f f k f -+-<+- ∴[(2)1][(2)2]f k f k -+<+
又∵()f x 是R 上的减函数 ∴(2)1(2)2k k -+>+即3k <-
(A)∴实数k 的取值范围是3k <-
例4分析：假设存在,a b 使得(1)成立，得到a 与b 的关系后与2
2
x y +≤14联立，然后讨论联立的不等式组.
解：假设存在实数,a b ，使得A
B ≠?，(,)a b
C ∈同时成立，则集合
{(,)|,,A x y x n y an b n ===+∈Z }与集合2
{(,)|,315,B x y x m y m
m ===+∈Z }分别对应集合1{(,)|,A x y y ax b x ==+∈Z }与2
1{(,)|315,B x y y x x ==+∈Z }，1A 与1B 对应
的直线y ax b =+与抛物线2
315y x =+至少有一个公共点，所以方程组2
315
y ax b y x =+??=+?有
解，即方程2
315x ax b +=+必有解.
因此2
12(15)a b ?=--≥2
0a ?-≤12180b -，①
又∵22
a b +≤14 ②
由①②相加，2
b 得≤1236b -，即2
(6)b -≤0.∴6b =. 将6b =代入①得2a ≥108，
再将6b =代入②得2
a ≤108，因此63a =±，
将63a =±，6b =代入方程2
315x ax b +=+得2
36390x x ±+=，
解得3x =±?Z .
所以不存在实数,a b ，使得(1)，(2)同时成立. 证明题1
1解：设F （x ）＝()f x －121
[()()]2
f x f x +， 则方程 ()f x ＝121[()()]2
f x f x + ① 与方程 F （x ）＝0 ② 等价 ∵F （x 1）＝1()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2
f x f x - F （x 2）＝2()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2
f x f x -+
∴ F （x 1）·F （x 2）＝－2
121[()()]4
f x f x -，又12()()f x f x ≠
∴F （x 1）·F （x 2）＜0
故方程②必有一根在区间（x 1，x 2）内.由于抛物线y ＝F （x ）在x 轴上、下方均有分布，所以此抛物线与x 轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）.
点评：本题由于方程是()f x ＝121[()()]2
f x f x +，其中因为有()f x 表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明()f x 的图像与x 轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证1()f x 2()f x ＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F
（x ）＝()f x －121
[()()]2
f x f x 的图像与x 轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.
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