课时作业(十)第10讲函数的图像
时间/ 30分钟分值/ 80分
基础热身
1.[2017·山西大学附中二模]要得到g(x)=log22x的图像,只需将函数f(x)=log2x的图像()
A. 向左平移1个单位
B. 向右平移1个单位
C. 向上平移1个单位
D. 向下平移1个单位
2.[2017·贵州七校联考]已知函数f(x)的图像如图K10-1所示,则f(x)的解析式可以是
()
图K10-1
A. f(x)=
B. f(x)=
C. f(x)=-1
D. f(x)=x-
3.下列函数f(x)的图像中,满足f>f(3)>f(2)的只可能是()
A B C D
图K10-2
4.若函数y=f(x+3)的图像经过点P(1,4),则函数y=f(x)的图像必经过点.
5.设函数f(x)=若f(x0)>1,则x0的取值范围是.
能力提升
6.已知图①中的图像是函数y=f(x)的图像,则图②中的图像对应的函数可能是()
①
②
图K10-3
A. y=f(|x|)
B. y=|f(x)|
C. y=f(-|x|)
D. y=-f(-|x|)
7.若函数y=f(2x+1)是偶函数,则函数y=f(2x)的图像的对称轴方程是()
A. x=-1
B. x=-
C. x=
D. x=1
8.[2017·福建三明二检]函数f(x)=的图像大致是()
A B
C D
图K10-4
9.[2017·桂林一调]函数y=(x3-x)2|x|的图像大致是()
A B C D
图K10-5
10.使log2(-x) A. (-1,0) B. [-1,0) C. (-2,0) D. [-2,0) 11.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实数根,则实数k的取 值范围是() A. (0,+∞) B. (-∞,1) C. (1,+∞) D. (0,1] 图K10-6 12.已知函数f(x)的图像如图K10-6所示,则函数g(x)=lo f(x)的定义域是. 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π???? << ?? ? 个单位长度， 所得的部分图象如右图所示，则?的值为（ ） A ．6 π B ．3 π C ．12 π D ．23 π 2．已知函数()sin 23f x x π??=+ ?? ? ，为了得到()sin 2g x x =的图象，则 只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移3π个长度单位 B ．向右平移6 π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3 π 个长度单位 3．若113sin cos αα +=sin cos αα=（ ） A ．13- B ．13 C ．13-或1 D ．13或-1 4．2014cos()3 π的值为（ ） A ．12 B ． 3 2 C ．12- D ．32 - 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A 2 1k -．2 1k - C 2 1k -．2 1k k -- 6．若sin a = -45 ，a 是第三象限的角，则sin()4 a π +=（ ） （A ）-7210 （B ） 7210 （C ）2 - 10 （D ） 210 7 ．若 55 2) 4 sin(2cos -=+ π αα，且)2 ,4(ππα∈，则α2tan 的值为（ ） A ．3 4- B ．4 3- C ．4 3 D ．3 4 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是 （ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在)0,2 (π-上单调递减 C ．)(x f 的最大值为2 D ．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数2（ωφ），φ＜2 π的图象，那么 A.ω=11 10，φ=6 π B.ω=10 11，φ6π C.ω=2，φ=6 π D.ω =2，φ6 π 10．要得到函数sin(4)3 y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的 图象（ ） A ．向左平移3 π个单位 B ．向右平移3 π 个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12 π个单位 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象 三角函数性质与图像 知识清单： ．．．．．．．．．． 函数s i n ()y A x ω?=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x =????→图例变化为 ②sin()y A x ω?=+(A >0,ω>0)相应地， ①的单调增区间2,22 2 k k ππππ??-++?? ? ? ??? →变为 222 2 k x k π π πω?π- +++≤≤ 的解集是②的增区间. 注:⑴)sin(?ω+=x y 或cos()y x ω?=+（0≠ω ）的周期ω π 2= T ; ⑵sin()y x ω?=+的对称轴方程是2 x k π π=+ （Z k ∈），对称中心(,0)k π； cos()y x ω?=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈） ，对称中心1(,0) 2 k ππ+； )tan(?ω+=x y 的对称中心（ 0,2πk ）. 课前预习 1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 2π . 2． 函数1 π2sin()23 y x =+ 的最小正周期T = 4π ． 3．函数sin 2 x y =的最小正周期是2π 4．函数]),0[)(26 sin( 2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是]6 5, 3 [ ππ 5．函数22cos()( )3 6 3 y x x π π π=- ≤≤的最小值是1 6．为了得到函数)6 2sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向左平移3 π 个单位长度 7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移 3 π 个单位，所得图象的解析式是y=sin( 2 1x+ 6 π ). 8． 函数sin y x x =+ 在区间[0, 2 π ]的最小值为___1___. 9．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2 x + 3 2 5（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期；y=5sin(2x-3π ) T=π ⑵求f (x )单调区间；[k 12 π π- ,k π+ 12 5π], [k 12 5ππ+ ,k π+ 12 11π]k Z ∈ ⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。x=1252ππ+k ,( 0,6 2π π+ k ) k Z ∈ 典型例题 例1、三角函数图像变换 将函数1 2cos()3 2 y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？ 变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4 y x π =-的图像？ 例2、已知简谐运动π π()2sin 32f x x ????? ?=+< ? ???? ?的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最 小正周期T 和初相?分别为6T =，π6 = 例3、三角函数性质 求函数34sin(2)2 3 y x ππ= + 的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合．； 变式1：函数y =2sin x 的单调增区间是［2k π－2 π ，2k π＋ 2 π ］（k ∈Z ） 变式2、下列函数中，既是（0， 2 π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( B) (A)y =lg x 2 (B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2 变式3、已知? ? ???? ∈2, 0πx ，求函数)12 5cos( )12 cos( x x y +--=ππ 的值域y=2sin （x+ 6 π ）?? ? ??2,22 变式4、已知函数12 ()log (sin cos )f x x x =- y=log 2 1()4 sin(2π -x ) ⑴求它的定义域和值域；(2k 4 52,4 πππ π+ + k ) k ∈Z ?? ? ?? ?+∞- ,21 高中数学教案三角函数的图象及性质 精编习题 三角函数的图象及性质 一、知识网络 二、高考考点 （一）三角函数的性质 1、三角函数的定义域，值域或最值问题； 2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇 函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性；寻求型三角函数的周期以及 难度较高的含有绝对值的三角函数的周期. （二）三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换； 2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草 图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式； 3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用； 4、利用函数图象解决应用问题. （三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域及值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数；为奇函 数 . 3、周期性 （1）基本公式 （ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点及（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究 专题九三角函数图像与性质．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 ．三角函数的单调区间： 的递增区间是，递减区间是 ； 的递增区间是，递减区间是， 的递增区间是， ．函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 ．由＝的图象变换出＝(ω＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进 行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换 (伸缩变换) 先将＝的图象向左(＞)或向右(＜＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞)，便得＝(ω＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将＝的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞)，再沿轴向左(＞)或向右(＜＝平移 个单位，便得＝(ω＋)的图象。 ．由＝(ω＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式（ω）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，）作为突破口， 要从图象的升降情况找准 ．．第一个零点的位置。 ．对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 ．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； ．求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 ．五点法作（ω）的简图： 五点取法是设ω，由取、、π、、π来求相应的值及对应的值，再描点作图。 四．典例解析 难点15 三角函数的图象和性质 三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用. ●难点磁场 (★★★★)已知α、β为锐角，且x(α+β－2π)＞0,试证不等式f(x)=)sin cos ()sin cos (αββα+x x ＜2对一切非零实数都成立. ●案例探究 ［例1］设z1=m+(2－m2)i,z2=cos θ+(λ+sin θ)i,其中m,λ,θ∈R ，已知z1=2z2，求λ的取值范围. 命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目. 知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决. 错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题. 技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 解法一：∵z1=2z2， ∴m+(2－m2)i=2cos θ+(2λ+2sin θ)i,∴ ???+=-=θλθ sin 222cos 22m m ∴λ=1－2cos2θ－sin θ=2sin2θ－sin θ－1=2(sin θ－41)2－89 . 当sin θ=41时λ取最小值－89 ，当sin θ=－1时，λ取最大值2. 解法二：∵z1=2z2 ∴ ???+=-=θλθsin 222cos 22m m ∴??????? --==222sin 2cos 2 λθθm m , ∴4)22(42 22λ--+m m =1. ∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ=0,设t=m2,则0≤t ≤4, 令f(t)=t2－(3－4λ)t+4λ2－8λ,则 ???????? ?≥≥≤-≤ ≥?0 )4(0)0(424300 f f λ或f(0)·f(4)≤0 ∴??? ??? ??? ≤≥≤≤≤≤--≥02204345 89λλλλλ或或 ∴－89 ≤λ≤0或0≤λ≤2. ∴λ的取值范围是［－89 ，2］. ［例2］如右图，一滑雪运动员自h=50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O 点保持速率v0不为，并以倾角θ起跳，落至B 点，令OB=L ，试问，α=30°时，L 的最大值为多少？当L 取最大值时，θ为多大？ 命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题. 错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活. 技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题. 解：由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程： 专题11 三角函数的图像与性质中的易错点 一．学习目标 1．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性． 2．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期． 3．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题． 二．方法总结 1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致： (1)首先看定义域是否关于原点对称； (2)在满足(1)后，再看f (－x )与f (x )的关系. 另外三角函数中的奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式. 2.三角函数的单调性 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，比如：由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π 2 (k ∈Z)解出x 的范围，所得区间即为增区间. 若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A ＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间. 对函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等单调性的讨论同上. (2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；③再利用单调性比较. 3.求三角函数的最值常见类型： (1)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B ， (2)y ＝A (sin x －a )2＋B ， (3)y ＝a (sin x ±cos x )＋b sin x cos x (其中A ，B ，a ，b ∈R ，A ≠0，a ≠0). 三．函数图象与性质需要掌握的题型 （一）三角函数图象平移 （二）三角函数的零点 （三）函数的单调性 （四）函数的解析式 （五）三角函数图象综合 （六）三角函数的奇偶性 高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。 一、知识整合 1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题． 2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数sin() =+的图象； y A xω? 理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化． 二、高考考点分析 2004年各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。 第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。 三、方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－ β，β= 2β α+－ 2β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=2 2b a+sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a、b的符号确定，?角的值由tan?= a b确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 2021年高考数学三角函数的图象与性质 (1)高考命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题． (2)高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第6～12或14～16题位置上． 考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 1.[三角函数的定义及应用](2019·昆明市诊断测试)在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点P ????－35，45，则sin ??? ?α＋π 4＝( ) A ． 2 10 B ．－ 2 10 C ．7210 D ．－7210 2.[同角三角函数的关系式及应用]若tan α＝1 2，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C ．15 D ．35 3.[诱导公式及应用]设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ????23π6＝( ) A.1 2 B ． 32 C ．0 D ．－12 1.[与数列交汇]设a n ＝1n sin n π 25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个 数是( ) A ．25 B ．50 C ．75 D ．100 2.[与算法交汇]某一算法程序框图如图所示，则输出的S 的值为( ) A.32 B ．－32 C.3 D ．0 3.[借助数学文化考查]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝1 2 (弦 ×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π 3，半径等于4 m 的弧田，按照上述经验 公式计算所得弧田面积约是( ) A ．6 m 2 B ．9 m 2 C ．12 m 2 D ．15 m 2 考点二 三角函数的图象与解析式 题型一 由“图”定“式” [例1] (1)(2019·成都市第二次诊断性检测)将函数f (x )的图象上所有点向右平移π 4个单位长度，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)????A >0，ω>0，|φ|<π 2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝sin ????x ＋5π 12 B ．f (x )＝－cos ????2x ＋π3 C ．f (x )＝cos ????2x ＋π3 D ．f (x )＝sin ? ???2x ＋7π12 (2)(2019·长沙市统一模拟考试)已知P ??? ?12，2是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图 象的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点．若|BC |＝6，则f (x )的图象的对称中心可 1．将函数f (x )＝sin ???? x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴 方程可能是( ) A ．x ＝－π 12 B ．x ＝π 12 C ．x ＝π 3 D ．x ＝2π 3 【答案】D 2．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)????ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈???? －π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( ) A.12 B.32 C.22 D ．1 【解析】由题图可知，T 2＝π3－????－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12，∴f (x )的图象过点???? π12，1，即sin ????2×π12＋φ＝1，得φ＝π3，∴f (x )＝sin ????2x ＋π3.而x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝f ????π6＝sin ???? 2×π6＋π3＝sin 2π3＝32. 8．函数 的图像是（ ） 【答案】D 9．定义22?矩阵 ，若 ，则()f x （ ） A.图象关于(),0π中心对称 B.图象关于直线2 x π =对称 C.在区间[,0]6 π -上单调递增 D.周期为π的奇函数 【答案】C 【解析】由题中所给定义可知 ，根据三角函数的图象性质可知本题的正确选项应该为C. 10．已知函数① ，② ，则下列结论正确的是（ ） A ．两个函数的图象均关于点,04π?? - ??? 成中心对称图形 B ．两个函数的图象均关于直线4 x π =-成轴对称图形 C ．两个函数在区间,44ππ?? - ??? 上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同 【答案】C 11．若sin ????π2＋α＝－35，且α∈???? π2，π，则sin(π－2α)＝( ) 【高考地位】 近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题. 【方法点评】 类型一 求三角函数的单调区间 使用情景：一般三角函数类型 解题模板：第一步 先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数,A ω的正负； 第二步 利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间； 第三步 运用三角函数的图像与性质确定其单调区间. 例1 函数cos(2)4 y x π =-的单调递增区间是（ ） A ．[k π＋ 8π，k π＋85π] B ．[k π－83π，k π＋8π ] C ．[2k π＋8π，2k π＋85π] D ．[2k π－83π，2k π＋8 π ]（以上k ∈Z ） 【答案】B. 考点：三角函数单调性. 【点评】本题解题的关键是将24x π -作为一个整体，利用余弦函数的图像将函数cos(2)4 y x π =-的单调 递增区间转化为24 x π θ= -在区间[]2,2k k πππ-+上递减的. 【变式演练1】已知函数),0)(6 2sin()(>+=ωπ ωx x f 直线21,x x x x ==是)(x f y =图像的任意两条对称 轴，且21x x -的最小值为2 π ．求函数)(x f 的单调增区间； 【答案】Z k k k ∈++-],6 , 3 [ππ ππ . 【解析】 试题分析：根据两条对称轴之间的最小距离求周期，根据周期求ω，根据公式求此函数的单调递增区间. 试题解析：由题意得,π=T 则1,()sin(2).6 f x x π ω=∴=+ 由222,2 6 2 k x k π π π ππ- +≤+ ≤ +解得 十四、三角函数函数图像与性质、函数sin()y A wx ?=+的图像性质及应用 1.求下列函数的定义域 (1)x x y cos 2cos 1+= ； (2)x y 2sin =. (3)y ＝tan ? ????π4－x 2.求下列函数的最小正周期 (1))23πsin(x y -=； (2))4π2πtan(+=x y ； (3)y ＝｜sin x ｜ (4) y ＝3cos ? ????x 2－π4 (5))]1(2 πcos[)2πcos(-=x x y (6)f (x )＝(1＋3tan x )cos x 3.若函数cos()3y x πω=+(0)ω>的图象相邻两条对称轴间距离为2 π，则ω等于 ． 4.已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数．求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期； 5.函数)3 π21sin(2-=x y 的一条对称轴方程为( ) A ．3π4-=x B ．6π5-=x C ．3π-=x D ．3 π2=x 6.函数sin(2)3 y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ） A ．6x π=- B ．12x π=- C ．6x π= D ． 12 x π= 7.y ＝sin ? ?? ??x －π4的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0) B.? ????－3π4，0 C.? ????3π2，0 D.? ?? ??π2，0 8.求函数)3 π2cos(-=x y 的对称轴方程和对称中心的坐标 9.已知函数()2sin()f x x ω?=+对任意x 都有()(),66 f x f x ππ+=-则()6f π等于（ ） A . 2或0 B . 2-或2 C . 0 D . 2-或0 10.函数)3 π2sin(+=x y 的图象( ) A ．关于点(3π，0)对称 B ．关于直线4 π=x 对称 C ．关于点(4π，0)对称 D ．关于直线3 π=x 对称 11.函数y ＝tan ? ?? ??2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是 ． 高中数学高考总复习三角函数的图像与性质习题及详解 一、选择题 1．(2010·枣庄模考)下列函数中，以π为最小正周期的偶函数，且在???? π2，π上为减函数的是( ) A ．y ＝sin2x ＋cos2x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos 2x D ．y ＝tan x [答案] B [解析] 由函数为偶函数，排除A 、D ；由????π2，π上为减函数，排除C. 2．(文)为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( ) A ．98π B.197 2π C.1992π D ．100π [答案] B [解析] 由题意至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，∴4914·T ＝1974·2π ω≤1，∴ ω≥197 2 π，故选B. (理)有一种波，其波形为函数y ＝sin ???? π2x 的图象，若在区间[0，t ](t >0)上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 [答案] C [解析] ∵y ＝sin ????π2x 的图象在[0，t ]上至少有2个波峰，函数y ＝sin ????π 2x 的周期T ＝4， ∴t ≥5 4 T ＝5，故选C. 3．(2010·深圳中学)函数y ＝lgsin ????π6－2x 的单调递减区间是( ) A ．[k π－π6，k π＋π 3](k ∈Z ) B ．[k π＋π3，k π＋5π 6](k ∈Z ) C ．[k π－π6，k π＋π 12 ](k ∈Z ) D ．[k π＋7π12，k π＋5π 6](k ∈Z ) [答案] C [解析] ∵sin ????π6－2x >0，∴sin ????2x －π 6<0， ∴2k π－π<2x －π 6<2k π，k ∈Z ， ∴k π－5π12 高中数学 三角函数的图象和性质知识点 一. 正弦函数： 1. 正弦函数的图象： 2. 定义域为；值域为 . (1) 当且仅当时，取得最大值1； (2) 当且仅当时，取得最小值1-. 3. 单调性： 在闭区间上都是增函数，其值从1-增大到1； 在闭区间上都是减函数，其值从1减小到1-. 4. 奇偶性： . 5. 周期性：最小正周期是，周期是 . 6. 对称性：对称轴是___________，对称中心是__________. 二. 余弦函数： 1. 余弦函数的图象： 2. 定义域为 .值域为 . (1) 当且仅当时，取得最大值1； (2) 当且仅当时，取得最小值1-. 3. 单调性： 在闭区间上都是增函数，其值从1-增加到1；在闭区间上都是减函数，其值从1减小到1-. 4. 奇偶性： . 5. 周期性：最小正周期是，周期是 . 6. 对称性：对称轴是___________，对称中心是__________. 三. 正切函数： 1．正切函数的图象 (1) 将正切函数tan y x =在区间 (, )2 2 ππ -上的图象向左、右扩展，就可以得到正切函数 tan ,,,2 y x x x k k π π=∈≠ +∈R Z （）的图象，我们把它叫做正切曲线．正切曲线是由被互相平行的直线x ＝ ________()k ∈Z 所隔开的无数多支曲线组成的．这些平行直线x ＝________()k ∈Z 叫做正切曲线各支的________． (2) 结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用三点两线作图法作出正切函数 tan y x =在一个单调区间 (,)22ππ-上的简图．其中，三点为(,1)4π--、()0,0、(,1)4π，两线为2x π-＝、2 x π ＝． 画 图时，注意图象不能与直线 相交． 2. 定义域为__________;值域为__________． 3. 单调性：在区间__________内，函数单调递增． 4. 奇偶性：由诱导公式tan()tan x x -=-，可得正切函数具备________． 5. 周期性：最小正周期是________；周期是 6. 对称性：对称轴是________，对称中心是________．高三数学三角函数经典练习题及复习资料精析
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