第12讲 基本不等式
【知识要点梳理】
一、均值不等式:(一正二定三相等) 定理:如果a,b 是正数,那么).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b
a 说明:ⅰ)我们称
b a b
a ,2为+的算术平均数,称
b a ab ,为的几何平均数,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ab b
a ≥+2
定理变形:
(1)如果+
∈R b a ,,则ab b a 2≥+,).""(号时取
当且仅当==b a (积是定值,和有最小值) (2)如果R b a ∈,,则2
)2
(b a ab +≤,).""(号时取当且仅当==b a (和是定值,积有最大值) 二、重要的不等式:
(1)如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
(2)如果a ,b 都是正数,那么
2
112a b a b
+≤≤≤+ (3)如果+∈R c b a ,,,那么abc c b a 33
3
3
≥++(当且仅当a=b=c 时取“=”)
(4)如果+
∈R c b a ,,,那么
3
3
abc c b a ≥++ (当且仅当a=b=c 时取“=”) (5)如果0,0>< b m a b a ++< (糖水不等式) 【典型例题】 题型一、两个正数的和的最小值 例1. 已知1lg lg =+y x ,则y x 2 5+的最小值为 ;取最小值时的y x ,的值分别是 。 变式训练1 1. 求下列函数的最小值,并求相应的x 值. (1))0(11≥++=x x x y (2))1(1 )2)(5(->+++=x x x x y 2.设点),(y x P 在函数x y 24-=的图像上运动,则y x 39+的最小值为 题型二、两个正数的积的最大值 例2.设y x ,是满足202=+y x 的正数,求y x lg lg +的最大值,并求出取最大值时y x ,的值。 变式训练2 1.已知10< A. 31 B.21 C.43 D.3 2 2. 已知0<x <3 1 ,求函数y=x(1-3x)的最大值; 3. 已知0,0>>b a 且12 22=+b a ,求21b a +的最大值________. 题型三、“1”的代换 例3.已知x >0,y >0,且x 1+y 9 =1,求x+y 的最小值. 1. 已知正数a,b,x,y 满足a+b=10, y b x a +=1,x+y 的最小值为18,求a,b 的值. 题型四、运用基本不等式在遇到两个负数时的处理 例4. 求f(x)=3+lgx+x lg 4 的最大值(0<x <1). 变式训练4 1.已知x <45,求函数y=4x-2+5 41-x 的最大值. 题型五、不等关系的灵活转换 例5.已知+ ∈R y x ,,且满足302=++xy y x ,求xy 的最大值,并求出此时y x ,的值。 变式训练5 1.设+ ∈R n m ,,若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(2 2 =-+-y x 相切,则n m +的最小值是( ) A.22+ B. 222+ C. 24- D. 224- 2.函数)(x f 满足) (1) (1ln x f x f x -+= ,且21,x x 均大于e ,1)()(21=+x f x f ,则)(21x x f 的最小值为 题型六、证明不等关系式 例6. 已知0>x ,0>y ,1=+y x ,求证:9)1 1)(1 1(≥++y x 变式训练6. 1. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1,求证:111 (1)(1)(1)8.a b c ---≥ 2.如果b a >,1=ab ,求证:)(2222b a b a -≥+ 题型七、基本不等式的应用 例7.某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用为12万元,以后每年都增加4万元,每年捕鱼收益为50万元。 (1)问从第几年起开始获利? (2)若干年后,有两种处理方案:方案一,年平均获利最大时,以26万元出售该船;方案二,总纯收入获利最大时,以8万元出售该船.问哪种方案合算?(注:取2.751≈) 变式训练7 1.某商店预备在一个月内分批购买每张价值为20元的书桌共36台,每批都购入x 台(x 是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4台,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f (x ); (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由. 2.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价. 【经典练习】 1. 若a ∈R ,下列不等式恒成立的是 ( ) A .21a a +> B . 211 1 a <+ C .2 96a a +> D .2lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=,则下列四个数中最大的是 ( ) A.1 2 B.22a b + C.2ab D.a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 ( ) A.3 B.3- C.3- D.-1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数,且 14 1x y +=,则xy 有 ( ) A.最大值16 B.最小值 116 C.最小值16 D.最大值116 6. a ,b 是正数,则下列不等式中不成立的是 ( ) A.ab ab b a 22 2≥+ B.ab b a ab ≥+2 C.4)11)((≥++b a b a D.b a ab b a +≥+2 2 7. 某产品的产量第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,设这两年平均增长率为x ,则有( ) A.2p q x += B.2p q x +< C.2p q x +≤ D.2 p q x +≥ 8. 下列函数中,最小值为4的是 ( ) A.4y x x =+ B.4sin sin y x x =+ (0)x π<< C.e 4e x x y -=+ D.3log 4log 3x y x =+ 9. 函数y =的最大值为 . 10. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池,如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元, 那么池的最低造价为 元. 11. 若直角三角形斜边长是1,则其内切圆半径的最大值是 . 12. 若x , y 为非零实数,代数式22228()15x y x y y x y x +-++的值恒为正,对吗?答 . 13.当x <23时,求函数y=x+3 28-x 的最大值. 14、若x, y ∈R + ,且 14 1=+y x ,求u=x+y 的最小值 15.如图,动物园要围成相同的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成. (1)现有可围36 m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为24 m 2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小? 【巩固练习】 1. 若a , b , c ∈R ,且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 ( ) A .2222a b c ++≥ B .2()3a b c ++≥ C . 111a b c ++≥ D .a b c ++≤ 2. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A . 114x y ≤+ B .111x y +≥ C 2≥ D .1 1xy ≥ 3.设)32(21<<-+ =a a a M ,))(161 (log 22 1R x x N ∈+=,则N M ,的大小关系是( ) A.N M > B.N M = C.N M < D.不能确定 4.对于命题:①x x 1+的最小值是2;②1 2 22++x x 的最小值是2;③4522++x x 的最小值是2;④x x 432- -的最小值是2,其中正确的命题的序号为 5.如图所示,将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ,要求B 点在AM 上,D 点在AN 上,且对角线MN 过C 点,已知AB =3米,AD =2米. (1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米,则DN 的长应在什么范围内? (2)当DN 的长为多少时,矩形花坛AMPN 的面积最小?并求出最小值. 补充拓展习题: (1)求函数y =2x 2 + x 3 (x >0)的最小值. (2)求函数y =x 2+ 4 1 x (x >0)的最小值. (3)求函数y =3x 2 -2x 3 (0<x < 2 3 )的最大值. (4)求函数y =x (1-x 2 )(0<x <1)的最大值. (5)、求y = sin x ·cos 2 x , x ∈?? ? ??2,0π的最大值. 不等式选讲习题 1.(2014全国新课标I 卷)若0,0,a b >>且 11a b += (I )求33a b +的最小值; (II )是否存在,,a b 使得236?a b +=并说明理由. 2.(2014全国新课标II 卷)设函数1()(0).f x x x a a a =+ +-> (I )证明:()2;f x ≥ (II )若(3)5,f <求a 的取值范围. 3.(2013全国新课标I 卷)已知函数()212,() 3.f x x x a g x x =-++=+ (I )当2a =-时,求不等式()()f x g x <的解集; (II )设1,a >-且当1,22a x ??∈- ???? 时,()()f x g x ≤,求a 的取值范围. 4.(2013全国新课标II 卷)设,,a b c 均为正数,且1,a b c ++=证明: (I )1;3 ab bc ac ++≤ (II )222 1.a b c b c a ++≥. 5.(2012全国新课标卷)已知函数() 2.f x x a x =++- (I )当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集; (II )若()4f x x ≤-的解集包含[]1,2,求a 的取值范围. 6.(2011全国新课标卷)设函数()3f x x a x =-+,其中0a >. (I )当1a =时,求不等式()32f x x ≥+的解集; (II )若不等式()0f x ≤的解集为{|1},x x ≤-,求a 的值. 7.(2015第一次省统测)已知a 是常数,对任意实数x ,不等式|2||1||2||1|x x a x x -++≤≤--+都 5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——(6例题) 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法:比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”.其一般步骤为:①作差:考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体;②变形:把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是:“若a,b∈R + ,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”.其一般步骤为:①作商:将左右两端作商;②变形:化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1.应用范围:当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法. 2.综合法:利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”.即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B. 3.分析法:是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是:为了证明命题B成立,只需证明命题B1为真,从而有…,这只需证明B2为真,从而又有…,……这只需证明A为真,而已知A为真,故B必为真.这种证题模式告诉我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法:有些不等式的证明,从正面证不好说清楚,可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定A>B.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时,可以考虑用反证法. 5.换元法:换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新???? 选修4--5 不等式选讲 一、课程目标解读 选修系列4-5专题不等式选讲,内容包括:不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大(小)值、数学归纳法与不等式。通过本专题的教学,使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系,不等关系和相等关系都是基本的数学关系,它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用;使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景,以加深对这些不等式的数学本质的理解,提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。 二、教材内容分析 作为一个选修专题,虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块,教材内容仍以初中知识为起点,在内容的呈现上保持了相对的完整性.整个专题内容分为四讲,结构如下图所示: 第一讲是“不等式和绝对值不等式”,为了保持专题内容的完整性,教材回顾了已学过的不等式6个基本性质,从“数与运算”的思想出发,强调了比较大小的基本方法。回顾了二元基本不等式,突出几何背景和实际应用,同时推广到n个正数的情形,但教学中只要求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。 对于绝对值不等式,借助几何意义,从“运算”角度,探究归纳了绝对值三角不等式,并用代数方法给出证明。通过讨论两种特殊类型不等式的解法,学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法,而不是系统研究。 第二讲是“证明不等式的基本方法”,教材通过一些简单问题,回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法,反证法、放缩法。其中,用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。这些方法大多在选修2-2“推理与证明”已经学过,此处再现也是为了专题的完整性,对于新增的放缩法,应通过实际实际例子,使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法,比如舍掉或加进一些项,在分式中放大或缩小分子或分母,应用基本不等式进行放缩等(见分节教学设计)。本讲内容也是本专题的一个基础内容。 第三讲是“柯西不等式和排序不等式”。这两个不等式也是本专题实质上的新增内容,教材主要介绍柯西不等式的几种形式、几何背景和实际应用。其中柯西不等式及其在证明不等式和求某些特殊类型函数极值中的应用是教材编写和我们教学的重点。事实上,柯西不等式和均值不等式在求最值方面的简单应用,二者同样重要,在某些问题中,异曲同工。比如课本P41页,习题3.2 第四题。 基本不等式应用 一.基本不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --g 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 高考真题选修不等式选 讲 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】 选修4-5 不等式选讲 考点不等式选讲 1.(2017?新课标Ⅰ,23)已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x) =|x+1|+|x﹣1|.(10分) (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围. 1.(1)解:当a=1时,f(x)=﹣x2+x+4,是开口向下,对称轴为x= 的二次函数, g(x)=|x+1|+|x﹣1|= , 当x∈(1,+∞)时,令﹣x2+x+4=2x,解得x= ,g(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)在(1,+∞)上单调递减,∴此时f(x)≥g(x)的解集为(1,]; 当x∈[﹣1,1]时,g(x)=2,f(x)≥f(﹣1)=2. 当x∈(﹣∞,﹣1)时,g(x)单调递减,f(x)单调递增,且g (﹣1)=f(﹣1)=2. 综上所述,f(x)≥g(x)的解集为[﹣1,]; (2)依题意得:﹣x2+ax+4≥2在[﹣1,1]恒成立,即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1,1]恒成立,则只需,解得﹣1≤a≤1, 故a的取值范围是[﹣1,1]. 2.(2017?新课标Ⅱ,23)已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明:(Ⅰ)(a+b)(a5+b5)≥4; (Ⅱ)a+b≤2. 2.证明:(Ⅰ)由柯西不等式得:(a+b)(a5+b5)≥(+ )2=(a3+b3)2≥4, 当且仅当= ,即a=b=1时取等号, (Ⅱ)∵a3+b3=2, ∴(a+b)(a2﹣ab+b2)=2, ∴(a+b)[(a+b)2﹣3ab]=2, ∴(a+b)3﹣3ab(a+b)=2, ∴=ab, 由均值不等式可得:=ab≤()2, ∴(a+b)3﹣2≤ , ∴(a+b)3≤2, ∴a+b≤2,当且仅当a=b=1时等号成立. 3.(2017?新课标Ⅲ,23)已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|.(Ⅰ)求不等式f(x)≥1的解集; (Ⅱ)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围. 基本不等式应用解题技巧归纳 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1x 技巧一:凑项 例1:已知54x <,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二:凑系数 例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。 技巧三: 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 技巧四:换元 技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数()a f x x x =+的单调性。例:求函数2 y = 练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值. (1)231,(0)x x y x x ++=> (2)12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2.已知01x <<,求函数y = 的最大值.;3.203x <<,求函数y =. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ,则b a 33+的最小值是 . 变式:若44log log 2x y +=,求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。 2:已知0,0x y >>,且 191x y +=,求x y +的最小值。 变式: (1)若+∈R y x ,且12=+ y x ,求y x 11+的最小值 (2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ,求y x +的最小值 技巧七、已知x ,y 为正实数,且x 2 +y 22 =1,求x 1+y 2 的最大值. 技巧八:已知a ,b 为正实数,2b +ab +a =30,求函数y =1ab 的最小值. 变式:1.已知a >0,b >0,ab -(a +b )=1,求a +b 的最小值。 2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。 专题7.3 基本不等式及其应用 学习目标 1.了解基本不等式的证明过程; 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 知识点一 基本不等式ab ≤a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b . 知识点二 几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R);(2)b a +a b ≥2(a ,b 同号); (3)ab ≤????a +b 22(a ,b ∈R);(4)????a +b 22≤a 2+b 2 2(a ,b ∈R); (5)2ab a +b ≤ab ≤a +b 2≤ a 2+b 22(a >0,b >0). 知识点三 算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为a +b 2 ,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则 (1)如果xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p (简记:积定和最小). (2)如果x +y 是定值q ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是q 2 4(简记:和定积最大). 【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数,“二定”指求最值时和或积为定值,“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时,牢记等号要同时成立. 考点一 利用基本不等式求最值 【典例1】(江西临川一中2019届模拟)已知x <54,则f (x )=4x -2+14x -5 的最大值为_______ 【答案】1 【解析】因为x <54 ,所以5-4x >0, 则f (x )=4x -2+ 14x -5=-????5-4x +15-4x +3≤-2+3=1.当且仅当5-4x =15-4x ,即x =1时,取等号. 故f (x )=4x -2+ 14x -5 的最大值为1. 【方法技巧】 1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.拼凑法的实质是代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键. 2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数); (2)把确定的定值(常数)变形为1; (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式; (4)利用基本不等式求解最值. 【变式1】(山东潍坊一中2019届模拟)已知x >0,y >0,x +3y +xy =9,则x +3y 的最小值为________. 【答案】6 【解析】由已知得x +3y =9-xy , 因为x >0,y >0,所以x +3y ≥23xy , 所以3xy ≤????x +3y 22,当且仅当x =3y ,即x =3,y =1时取等号,即(x +3y )2+12(x +3y )-108≥0. 令x +3y =t ,则t >0且t 2+12t -108≥0, 得t ≥6,即x +3y 的最小值为6. 【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常是考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值. 考点二 利用基本不等式解决实际问题 【典例2】 【2019年高考北京卷理数】李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果 证明不等式的基本方法 导学目标:1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式. [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式:如果a ,b ,c>0,那么_________________________,当且仅当a =b =c 时等号成立. 2.基本不等式(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即a 1+a 2+…+a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ,当且仅当__________________时等号成立. 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法:比较法是证明不等式最基本的方法,具体有作差比较和作商比较两种,其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小. (2)综合法:从已知条件出发,利用定义、______、______、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫综合法.也叫顺推证法或由因导果法. (3)分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的________条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立为止,这种证明方法叫分析法.也叫逆推证法或执果索因法. (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法. ②反证法的特点 先假设原命题不成立,再在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实等矛盾. (5)放缩法 ①定义:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值________或________,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法. ②思路:分析观察证明式的特点,适当放大或缩小是证题关键. 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t =a +2b ,s =a +b 2+1,则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 不等式选讲习题(含答案)上课讲义
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