高三新数学第一轮复习教案（讲座35）—曲线方程及圆锥曲线的综合问题
一．课标要求：
1．由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；
2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；
3．了解圆锥曲线的简单应用。
二．命题走向
近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007年高考对本讲的考察，仍将以以下三类题型为主。
1．求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；
2．与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。
预测09年高考：
1．出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题；
2．可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问。
三．要点精讲
1．曲线方程
（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：
（2）求曲线方程的常见方法：
直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。
转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。
几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。
参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。
2．圆锥曲线综合问题
（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题
通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这
些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。
圆锥曲线的弦长求法：
设圆锥曲线C ∶f (x ，y )=0与直线l ∶y =kx +b 相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |为：
若弦AB 过圆锥曲线的焦点F ，则可用焦半径求弦长，|AB |=|AF |+|BF |． 在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x ，y )的取值范围。
（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题
它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。
（3）实际应用题
数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。
涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：
建立坐标系
（4）知识交汇题
圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。
四．典例解析 题型1：求轨迹方程
例1．（1）一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
（2）双曲线2
219
x y -=有动点P ，12,F F 是曲线的两个焦点，求12PF F ?的重心M 的轨迹方程。 解析：（1）（法一）设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ，设已知
圆的圆心分别为1O 、2O ，
将圆方程分别配方得：22(3)4x y ++=，22
(3)100x y -+=， 当M 与1O 相切时，有1||2O M R =+ ① 当M 与2O 相切时，有2||10O M R =-
②
将①②两式的两边分别相加，得21||||12O M O M +=，
12= ③
移项再两边分别平方得：
x
y
1 2
P
12x =+ ④ 两边再平方得：22341080x y +-=，
整理得
2213627x y +=，所以，动圆圆心的轨迹方程是22
13627
x y +=，轨迹是椭圆。
12=，
由以上方程知，动圆圆心(,)M x y 到点1(3,0)O -和2(3,0)O 的距离和是常数12，所以点M 的轨迹是焦点为1(3,0)O -、2(3,0)O ，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，
∴26c =，212a =，∴3c =，6a =，∴2
36927b =-=，∴圆心轨迹方程为
22
13627
x y +=。 （2）如图，设,P M 点坐标各为11(,),(,)P x y M x y ，∴在已知双曲线方程中3,1a b ==，
∴c =
12(F F ，∵12PF
F ?存在，∴10y ≠
由三角形重心坐标公式有100
3x y y ?=???++?=??
，即1133x x y y =??=? 。
∵10y ≠，∴0y ≠。已知点P 在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有2
2(3)(3)1(0)9
x y y -=≠即所求重心M 的轨迹方程为：2291(0)x y y -=≠。
点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。
例2．（2008全国，22）（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，
，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF = ，求k 的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值． （Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为
2
214
x
y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>
设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4k x +=， 故21x x =-=
．① 由6ED DF =
知01206()x x x x -=-，
得021215(6)77x x x x =
+==
；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k =+． 所以
212k =
+，化简得2
242560k k -+=，解得23k =或38k =． （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为
1h =
=
2h =
=
又AB =
=AEBF 的面积为
121()2S AB h h =
+12=
=
=
≤ 当21k =，即当1
2
k =
时，上式取等号．所以S
的最大值为 解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =
+=
=
=222x y =时，上式取等号．所以S
的最大值为
题型2：圆锥曲线中最值和范围问题
例3．（1）设AB 是过椭圆x a y b
a b 222
210+=>>()中心的弦，椭圆的左焦点为F c 10()-，，则△F 1AB
的面积最大为（ ） A. bc
B. ab
C. ac
D. b 2
（2）已知双曲线x a y b a b 222
2100-=>>()，的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且
||||PF PF 124=，则此双曲线的离心率的最大值是（ ）
A.
4
3
B.
53
C. 2
D.
72
（3）已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆
x y 22
259
1+=上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为（ ） A. 10
B. 105-
C. 105+
D. 1025+
解析：（1）如图，由椭圆对称性知道O 为AB 的中点，则△F 1OB 的面积为△F 1AB 面积的一半。又
||OF c 1=，△F 1OB 边OF 1上的高为y B ，而y B 的最大值是b ，所以△F 1OB 的面积最大值为1
2
cb 。所以
△F 1AB 的面积最大值为cb 。
点评：抓住△F 1AB 中||OF c 1=为定值，以及椭圆是中心对称图形。 （2）解析：由双曲线的定义，得：||||PF PF a 122-=， 又
||||PF PF 124=，所以322||PF a =，从而||PF a 22
3
=
由双曲线的第二定义可得||PF x a c
c a
22-
=，所以x a c =532。又x a a c a ≥≥，即532
，从而
e c a =≤53。故选B 。
点评：“点P 在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系532
a c
a ≥成立的条件。利用
这个结论得出关于a 、c 的不等式，从而得出e 的取值范围。
（3）解析：易知A （3，2）在椭圆内，B （－4，0）是椭圆的左焦点（如图），则右焦点为F （4，0）。连PB ，PF 。由椭圆的定义知：
||||PB PF +=10，所以
||||||||||||(||||)PB PF PA PB PA PF PA PF =-+=+-=+-101010，所以。
由平面几何知识，||||||||PA PF AF -≤，即(||||)||min PA PB AF +=+10，
而||()()AF =
-+-=3420522， 所以(||||)min PA PB +=+105。
点评：由△PAF 成立的条件||||||||PA PF AF -<，再延伸到特殊情形P 、A 、F 共线，从而得出
||||||||PA PF AF -≤这一关键结论。
例4．（1）（2008辽宁理，20）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，点P
到两点(0
，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点． （Ⅰ）写出C 的方程；
（Ⅱ）若OA ⊥OB ，求k 的值；
（Ⅲ）若点A 在第一象限，证明：当k >0时，恒有|OA |>|OB |．
本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分． 解：
（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C
是以(0(0，为焦点，长半轴为2的椭圆．它
的短半轴1b ==，故曲线C 的方程为2
2
14
y x +=． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足2
214
1.y x y kx ?+=???=+?，消去y 并整理得22
(4)230k x kx ++-=， 故12122223
44
k x x x x k k +=-=-++，．若OA OB ⊥ ，即12120x x y y +=． 而2
121212()1y y k x x k x x =+++，于是22
12122
2233210444
k k x x y y k k k +=---+=+++， 化简得2
410k -+=，所以12
k =±
．
（Ⅲ）22
22221122()OA OB x y x y -=+-+ 2222
1212()4(11)x x x x =-+--+ 12123()()x x x x =--+ 1226()4k x x k -=
+．因为A 在第一象限，故1
0x >．由1223
4x x k =-+知20x <，从而120x x ->．又0k >， 故220OA OB -> ，即在题设条件下，恒有OA OB > ． （2）（山东文，21）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l 。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程。
解析： 设椭圆方程为22
221()x y a b c a b
+=>>
（Ⅰ）由已知得2
222
24b c a
c a b c =???=??
??=+?
2
22211
a b c ?=?=??=?∴所求椭圆方程为2212x y +=。 （Ⅱ）解法一：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为11222,(,),(,)y kx A x y B x y =+
由22
2
12
y kx x y =+???+=??，消去y 得关于x 的方程：22(12)860k x kx +++=， 由直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，2206424(12)0k k ∴>?-+> ，解得2
3
2
k >
。 又由韦达定理得122
122812612k x x k x x k ?
+=-??+???=
?+?，
12|||AB x x ∴=-=
= 原点O 到直线l
的距离d =
1||2AOB
S AB d =?== . 解法1
：对2
12S k =+两边平方整理得：
2422244(4)240S k S k S +-++=（*）
，
∵0S ≠，222222
22
16(4)44(24)0,4024
04S S S S S
S S ?
?--?+≥?
-?>???+>??
，整理得：2
12S ≤。
又0S >，
0S ∴<≤
AOB S
的最大值为S =，
此时代入方程（*）得 4
2
428490k k -+=
，2
k ∴=±。
所以，所求直线方程为：240y -+=。 解法2
：令0)m m =
>，则2223k m =+。
2442
S m m m
∴=
=≤++
当且仅当4m m =
即2m =
时，max 2S =
，此时2
k =±。
所以，所求直线方程为240y += 解法二：由题意知直线l 的斜率存在且不为零。
设直线l 的方程为11222,(,),(,)y kx A x y B x y =+，
则直线l 与x 轴的交点2
(,0)D k
-
，
由解法一知2
32k >且122122812612k x x k x x k ?
+=-??+??
?=?+?
，
解法1：1212112
|||||||22|22AOB S OD y y kx kx k
=?-=?+-- =12||x x -
=
=
2
12k =
+ 下同解法一.
解法2：AOB POB POA
S S S =- 2112||||||2x x =??-21||x x =
-。 下同解法一。
点评：文科高考主要考察了圆锥曲线的最值问题，主要是三角形的面积、弦长问题。处理韦达定理以及判别式问题啊是解题的关键。
题型3：证明问题和对称问题
例5．（1）如图，椭圆b
y a x 2
22+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）B(0,1)
的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率e=
2
3
. (Ⅰ)求椭圆方程；
(Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段AF 1的中点，求证：∠ATM=∠AF 1T 。
（2）（2008安徽理，22）（本小题满分13分）设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
过点M ，且
着焦点为1(F （Ⅰ）
求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB =
，证明：点Q 总在某定直线上
解 (1)由题意： 2222222211c a b c a b ?=?
?+=???=-?
，解得22
4,2a b ==，所求椭圆方程为
22142x y += (2)方法一 设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。由题设知,,,AP PB AQ QB
均
不为零，记AP AQ PB QB
λ== ,则0λ>且1λ≠又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而,AP PB AQ QB λλ=-=
于是 1241x x λλ-=
-， 1211y y λλ-=- 121x x x λλ+=+， 12
1y y y λλ
+=+从而
22212241x x x λλ-=-， （1） 222
122
1y y y λλ-=-， （2） 又点A 、B 在椭圆C 上，即 221124,(3)x y += 22
2224,(4)x y +=
（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424s y +=即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上
方法二设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ QB
均不为零。
且 PA PB AQ QB = 又 ,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠± ,于是
1141,11x y
x y λλλλ--=
=-- （1） 2241,11x y
x y λλλλ
++==++ （2） 由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2224,x y +=整理得
222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= （3） 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)
(4)－(3)得8(22)0x y λ+-=0,220x y λ≠+-=∵∴即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上 点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算
的能力和解决问题的能力。
（3）在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点。
①求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→
--OA →
--?OB ＝3”是真命题；
②写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
解析： （3）证明：①设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 12,y 2).
当直线l 的钭率下存在时,直线l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于A(3,6)、B(3,－6)，∴?=3。 当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为y=k(x －3),其中k≠0.
当
y 2=2x 得ky 2－2y －6k=0,则y 1y 2=－6.
y=k(x －3)
又∵x 1=
21y 21, x 2=21y 22,∴OB OA ?=x 1x 2+y 1y 2=212
21)(4
1y y y y +=3. 综上所述, 命题“如果直线l 过点T(3,0),那么?=3”是真命题.
②逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果?=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.
例如：取抛物线上的点A(2,2),B(2
1
,1),此时OB OA ?=3, 直线AB 的方程为Y=
3
2
(X+1),而T(3,0)不在直线AB 上. 点评：由抛物线y 2=2x 上的点A(x 1,y 1)、B(x 12,y 2)满足?=3,可得y 1y 2=－6。或y 1y 2=2，如果y 1y 2
=
－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2, 可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0)。
例6．（1）（2008湖南文，19）19已知椭圆的中心在原点，一个焦点是)0,2(F ，且两条准线间的距离为)4(>λλ。（I ）求椭圆的方程；（II ）若存在过点A （1，0）的直线l ，使点F 关于直线l 的对称点在椭圆上，求λ的取值范围。
解：（I ）设椭圆的方程为22221(0).x y a b a b +=>>由条件知2,c =且2
2,a c λ=所以
2
,a λ=2
2
2
4.b a c λ=-=-故椭圆的方程是2
2
1(4).4
x y λλλ+
=>- （II ）依题意, 直线l 的斜率存在且不为0,记为k ,则直线l 的方程是(1).y k x =-设点(20)F ，
关于直线l 的对称点为00(),F x '，y 则00002(1)2
21
2
y x k y k x +?=-?????=--??， 解得02022121x k k y k ?=??+??=?+?，因为点00()F x '，y 在椭圆上，所以
22
2222()()11 1.4
k k k λλ+++=-即422(4)2(6)(4)0.k k λλλλλ-+-+-= 设2
,k t =则2
2
(4)2(6)(4)0.t t λλλλλ-+-+-=因为4,λ>所以2
(4)0.(4)
λλλ->-于是,
当且仅当23[2(6)](4)()2(6)
0.(4)λλλλλλλλ??=--?
*-?->?-?
-4，上述方程存在正实根,即直线l 存在. 解()*得16,3
4 6.
λλ?≤?
??<
分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '解析：
（2）①由题意可设所求椭圆的标准方程为22
221x y a b
+=(a>b>0),焦距c=6,122a PF PF =+==a =2=a 2-c 2
=9。
所以所求椭圆的标准方程为
22
1459
x y += ②点P(5,2)、F 1(-6,0)、F 2(6,0)关于直线y=x 的对称点分别为点P ，
(2，5)、F 1，
(0，-6)、F 2，
(0，6)。
设所求双曲线的标准方程为22
112211
1(0,0)x y a b a b -=>>。
由题意知，半焦距c 1=6，1122a P F P F ''''=+=
=
1a =12
=c 12
-a 12
=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为22
12016
x y -=。
点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。 题型4：知识交汇题
例7．已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,
向量OA ,OB 满足OA OB OA OB +=-
.设圆C 的方程为
221212()()0x y x x x y y y +-+-+=
(I) 证明线段AB 是圆C 的直径;
(II)当圆C 的圆心到直线X-2Y=0p 的值。 解析：(I)证明1: 22
,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-
222222OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+ 整理得: 0OA OB ?=
12120x x y y ∴?+?=
设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则0MA MB ?=
即1212()()()()0x x x x y y y y --+--= 整理得:2
2
1212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径
证明2: 22
,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-
222222OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+ 整理得: 0OA OB ?=
12120x x y y ∴?+?= (1)
设(x,y)是以线段AB 为直径的圆上则 即
21
1221
1(,)y y y y x x x x x x x x --?=-≠≠-- 去分母得: 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=
点11122122(,),(,),(,)(,)x y x y x y x y 满足上方程,展开并将(1)代入得:
221212()()0x y x x x y y y +-+-+=
故线段AB 是圆C 的直径
证明3: 22
,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-
222222OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+ 整理得: 0OA OB ?=
12120x x y y ∴?+?= (1)
以线段AB 为直径的圆的方程为
2222121212121
()()[()()]224
x x y y x y x x y y ++-
+-=-+- 展开并将(1)代入得:
221212()()0x y x x x y y y +-+-+=
故线段AB 是圆C 的直径
(II)解法1:设圆C 的圆心为C(x,y),则
12122
2
x x x y y y +?=???
+?=?? 2211222,2(0)y px y px p ==> 22
12122
4y y x x p
∴= 又因12120x x y y ?+?=
1212x x y y ∴?=-? 22
12122
4y y y y p
∴-?=
12120,0x x y y ?≠∴?≠
2124y y p ∴?=-
2222121212121211
()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p
+=
=+=++- 2
21(2)y p p
=
+ 所以圆心的轨迹方程为222y px p =- 设圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则
2
2221|
(2)2|
y p y d +-===
22=
当y=p 时,d
=
2p ∴=.
解法2: 设圆C 的圆心为C(x,y),则
121
22
2
x x x y y y +?
=???
+?=?? 2211222,2(0)y px y px p ==> 22
12122
4y y x x p ∴=
又因12120x x y y ?+?=
1212x x y y ∴?=-? 22
12122
4y y y y p ∴-?=
12120,0x x y y ?≠∴?≠
2124y y p ∴?=-
2222121212121211
()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p
+=
=+=++- 2
21(2)y p p
=
+ 所以圆心的轨迹方程为222y px p =-
设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0
的距离为
5
则 2m =±
因为x-2y+2=0与222y px p =-无公共点,
所以当x-2y-2=0与222y px p =-仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0
22
220(2)
2(3)x y y px p --=??=-?
将(2)代入(3)得222220y py p p -+-=
2244(22)0p p p ∴?=--=
02.
p p >∴=
解法3: 设圆C 的圆心为C(x,y),则
121
22
2
x x x y y y +?=???
+?=?? 圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则
12
12|
()|x x y y d +-+=
2211222,2(0)y px y px p ==> 22
12122
4y y x x p ∴=
又因12120x x y y ?+?=
1212x x y y ∴?=-? 22
12122
4y y y y p
∴-?= 12120,0x x y y ?≠∴?≠
2124y y p ∴?=-
2212122221
|
()()|
y y y y d +-+∴==
22
=
当122y y p +=时,d
5=
2p ∴=.
点评：本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以及综
合运用解析几何知识解决问题的能力。
(,)n n n A x y 是抛
例8．（06重庆文，22）如图，对每个正整数n ，物线2
4x y =上的点，过焦点F 的直线n FA 角抛物线
于
另
一
点
(,)n n n B s t 。
（Ⅰ）试证：4(1)n n x s n =-≥；
（Ⅱ）取2n n x =，并记n C 为抛物线上分别以n
A 与n
B 为切点的
两条切线的交点。
试证：1
1222
1n
n n FC FC FC -++++=-+ ；
证明：（Ⅰ）对任意固定的1,n ≥因为焦点F （0,1）， 所以可设直线n n A B 的方程为1,n y k x -=
将它与抛物线方程2
4x y =联立得: 2440n x k x --=, 由一元二次方程根与系数的关系得4(1)n n x s n =-≥．
（Ⅱ）对任意固定的1,n ≥利用导数知识易得抛物线24x y =在n A 处的切线的斜率,2
n n
A x k =
故24x y =在n A 处的切线的方程为：()2
n
n n x y y x x -=
-，……① 类似地，可求得24x y =在n B 处的切线的方程为：()2
n n n s
y t x s -=-，……②
由②－①得：2222
2244n n n n n n
n n x s x s x s y t x ---=-+=-， 22
,242
n n n n n n x s x s x s
x x --+=∴=……③ 将③代入①并注意4n n x s =-得交点n C 的坐标为(,1)2
n n
x s +-． 由两点间的距离公式得：22
2
2()42244
n n n n n
x s x s FC +=+=++
2
22422
2(),422n n n n n n n
x x x FC x x x =++=+?=+
． 现在2n n x =，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：
12121221121111()2()
21111
(222)2()(21)(22)22 1.2222
n n n
n n n n n n FC FC FC x x x x x x --++++=+++++++=+++++++=-+-=-+
点评：该题是圆锥曲线与数列知识交汇的题目。
（2008广东文20） （本小题满分14分）
设0b >，椭圆方程为222212x y b b
+=，抛物线方程为2
8()x y b =-．如图6所示，过点(02)F b +，作
x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）． 【解析】（1）由2
8()x y b =-得2
18
y x b =
+， 当2y b =+得4x =±，∴G 点的坐标为(4,2)b +，1
'4
y x =
，4'|1x y ==， 过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-即2y x b =+-，
令0y =得2x b =-，1F ∴点的坐标为(2,0)b -，由椭圆方程得1F 点的坐标为(,0)b ，
2b b ∴-=即1b =，即椭圆和抛物线的方程分别为2
212
x y +=和28(1)x y =-；
（2） 过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ?只有一个， 同理∴ 以PBA ∠为直角的Rt ABP ?只有一个。
若以APB ∠为直角，设P 点坐标为2
1(,1)8
x x +，A 、B 两点的坐标分别为(和， 222421152(1)108644
PA PB x x x x =-++=+-= 。
关于2
x 的二次方程有一大于零的解，x ∴有两解，即以APB ∠为直角的Rt ABP ?有两个， 因此抛物线上存在四个点使得ABP ?为直角三角形。
五．思维总结
1．注意圆锥曲线的定义在解题中的应用，注意解析几何所研究的问题背景平面几何的一些性质； 2．复习时要突出“曲线与方程”这一重点内容
曲线与方程有两个方面：一是求曲线方程，二是由方程研究曲线的性质.这两方面的问题在历年高考中年年出现，且常为压轴题.因此复习时要掌握求曲线方程的思路和方法，即在建立了平面直角坐标系后，根据曲线上点适合的共同条件找出动点P （x ，y ）的纵坐标y 和横坐标x 之间的关系式，即f （x ，y ）=0为曲线方程，同时还要注意曲线上点具有条件，确定x ，y 的范围，这就是通常说的函数法，它是解析几何的核心，应培养善于运用坐标法解题的能力，求曲线的常用方法有两类：一类是曲线形状明确且便于用标准形式，这时用待定系数法求其方程；另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，一般可用直接法、间接代点法、参数法等求方程。二要引导如何将解析几何的位置关系转化的代数数量关系进而转化为坐标关系，由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练。
3．重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程
①方程思想，解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量。
②用好函数思想方法
对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a ，b ，c ，e 之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效。
③掌握坐标法
坐标法是解析几何的基本方法，因此要加强坐标法的训练。 ④对称思想
由于圆锥曲线和圆都具有对称性质，可使分散的条件相对集中，减少一些变量和未知量，简化计算，提高解题速度，促成问题的解决。
⑤参数思想
参数思想是辩证思维在数学中的反映，一旦引入参数，用参数来划分运动变化状态，利用圆、椭圆、双曲线上点用参数方程形式设立或（x 0、y 0）即可将参量视为常量，以相对静止来控制变化，变与不变的转化，可在解题过程中将其消去，起到“设而不求”的效果。
⑥转化思想
解决圆锥曲线时充分注意直角坐标与极坐标之间有联系，直角坐标方程与参数方程，极坐标之间联系及转化，利用平移得出新系坐标与原坐标之间转化，可达到优化解题的目的。
除上述常用数学思想外，数形结合、分类讨论、整体思想、构造思想也是不可缺少的思想方法，复习也应给予足够的重视。
招式八：轨迹问题 轨迹法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则2 2 2 ON MO MN -=。设),(y x M ,则 2 222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(2 2 2 2 2 =++-+-λλλx y x （1） 当1=λ时，方程为4 5 = x ，表示一条直线。 （2） 当1≠λ时，方程化为2 2 22 222) 1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 ◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ， ，则 2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， y x Q M N O
即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) 评析： 1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。 2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 例2、已知动圆过定点,02p ?? ??? ，且与直线2p x =-相切，其中0p >.求动圆圆心C 的轨迹的方程； 【解析】如图，设M 为动圆圆心，,02p ?? ??? 为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线， 垂足为N ，由题意知：MF MN = 即动点M 到定点F 与定直线2 p x =- 的距离相等， 由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ?? ??? 为焦点， 2 p x =- 为准线，所以轨迹方程为2 2(0)y px P =>； ◎◎ 已知圆O 的方程为 x 2+y 2=100,点A 的坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的方程。 【解析】由中垂线知，PM PA =故10==+=+OM PO PM PO PA ，即P 点的轨迹为以A 、 O 为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P 点的方程为 12516 25)3(2 2=++y x ,02p ?? ??? 2 p x =-
微专题71 求曲线（或直线）的方程 一、基础知识： 1、求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较多（例如斜率，焦距，半轴长，半径等），那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件，主要依靠代数运算，那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替），从而该方程便可参与题目中的运算，再利用题目条件求出参数的值，即可确定方程。可以说两个方向各有侧重，一个倾向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳理 2、所学方程中字母的几何意义 （1）直线：：斜率；()00,x y ：直线所过的定点 （2）圆：(),a b :圆心的坐标； :r 圆的半径 （3）椭圆：2a ：长轴长，焦半径的和；2:b 短轴长；2c ：焦距 （4）双曲线：2a ：实轴长，焦半径差的绝对值；2:b 虚轴长；2c ：焦距 注：在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着,,a b c 展开，通过这些条件也可以求出,,a b c 的值，从而确定曲线方程。例如（椭圆与双曲线共有的）： 离心率：c e a =；通径（焦点弦长的最小值）：22b a 等 （5）抛物线：:p 焦准距 3、待定系数法中方程的形式： （1）直线与曲线方程通式： ① 直线：y kx m =+，x my t =+ ② 圆：2 2 0x y Dx Ey F ++++= ③ 椭圆： 标准方程：()222210x y a b a b +=>>（或()22 2210y x a b a b +=>>，视焦点所在轴来决定） 椭圆方程通式：()2 2 10,0mx ny m n +=>> ④ 双曲线：
椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<
第三课时 圆锥曲线的参数方程 一、教学目标： 知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 (1)圆2 2 2 r y x =+参数方程? ? ?==θθ sin cos r y r x （θ为参数） （2）圆2 2020)\()(r y y x x =+-参数方程为：?? ?+=+=θ θ sin cos 00r y y r x x （θ为参数） 2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。 3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？ （二）、讲解新课： 1.椭圆的参数方程推导：椭圆122 22=+b y a x 参数方程 ???==θ θsin cos b y a x （θ为参数）,参 数θ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角。 2.双曲线的参数方程的推导：双曲线122 22=-b y a x 参数方程 ???==θ θtan sec b y a x （θ为参数）
参数θ几何意义为以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角。 3.抛物线的参数方程：抛物线Px y 22 =参数方程???==Pt y Pt x 222 （t 为参数）,t 为以抛物 线上一点（X,Y ）与其顶点连线斜率的倒数。 （1）、关于参数几点说明： A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。 B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围 (2)、参数方程的意义： 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标。 （3）、参数方程求法：（A ）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ；（B ）选取适当的参数；（C ）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式；（D ）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 (4)、关于参数方程中参数的选取：选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间t 做参数；与旋转的有关问题选取角θ做参数；或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。 4、椭圆的参数方程常见形式：（1）、椭圆12222=+b y a x 参数方程 ???==θ θsin cos b y a x （θ为
有关圆锥曲线轨迹问题 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为 122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数 )0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则2 2 2 ON MO MN -=。设),(y x M ,则 2222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x （1） 当1=λ时，方程为4 5 = x ，表示一条直线。 （2） 当1≠λ时，方程化为2 222 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 ◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点） ，使得PM =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，.
圆锥曲线标准方程求法 一、椭圆标准方程求法 1、定义法 【例1】已知ABC ?的周长是18，)0,4(),0,4(B A -，求点C 的轨迹方程。 【变式】：在周长为定值的△ABC 中,已知|AB|=6,且当顶点C 位于定点P 时,cosC 有最小值为25 7.建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程. 【例2】已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为()0,1，点??? ? ??26,23M 在椭圆上，求椭圆C 的方程； 【例3】已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ．动圆M 过点F 2，且与圆F 1相内切．求点M 的轨迹C 的方程. 【例4】设R y x ,,,∈为直角坐标系内y x ,轴正方向的单位向量， ,)2(j y i x a ++=j y i x b )2(-+=，且8||||=+．求点),(y x M 的轨迹C 的方程； 2、待定系数法 1.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 2 ，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，椭圆G 的方程．
2．已知椭圆1C ：22 221(0)y x a b a b +=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1．求椭圆1C 的方程． 3.已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．求椭圆C 的方程． 4.设椭圆:E 22 221x y a b +=（,0a b >>）过2)M ，(6,1)N 两点，O 为坐标原点，求椭圆E 的方程。 3、转化已知条件 【例1】已知点,A B 的坐标分别是(0,1)-,(0,1),直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为12- .求点M 轨迹C 的方程; 【例2】设Q 、G 分别为ABC ?的外心和重心,已知)0,1(-A ,)0,1(B ,AB QG //?求点C 的轨迹E 【例3】已知动点P 到直线33 4- =x 的距离是到定点(0,3-)的距离的332倍.求动点P 的轨迹方程;
高中数学复习：圆锥曲线的方程与性质 1.已知A 为抛物线C ：y 2 ＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( ) A.2 B.3 C.6 D.9 解析 设A (x ，y )，由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p 2＝12. 又因为点A 到y 轴的距离为9，即x ＝9， 所以9＋p 2＝12，解得p ＝6.故选C. 答案 C 2.设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2 ＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A.? ????14，0 B.? ?? ??12，0 C.(1，0) D.(2，0) 解析 将x ＝2与抛物线方程y 2 ＝2px 联立， 可得y ＝±2p ， 不妨设D (2，2p )，E (2，－2p )， 由OD ⊥OE ，可得OD →·OE → ＝4－4p ＝0，解得p ＝1， 所以抛物线C 的方程为y 2 ＝2x .其焦点坐标为? ?? ??12，0.故选B. 答案 B 3.设F 1，F 2是双曲线C ：x 2 －y 2 3 ＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△ PF 1F 2的面积为( ) A.72 B.3 C.52 D.2 解析 法一 由题知a ＝1，b ＝3，c ＝2，F 1(－2，0)，F 2(2，0)， 如图，因为|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |＝2，所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上，故PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2 ＋|PF 2|2 ＝(2c )2 ＝16.
由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，所以|PF 1|2 ＋|PF 2|2 －2|PF 1||PF 2|＝4，所以|PF 1||PF 2|＝6， 所以△PF 1F 2的面积为1 2 |PF 1||PF 2|＝3.故选B. 法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F 1，F 2在x 轴上，且|F 1F 2|＝21＋3＝4.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则?????x 20－y 2 03＝1，x 20＋y 20 ＝2，解得|y 0|＝32. 所以△PF 1F 2的面积为12|F 1F 2|·|y 0|＝12×4×3 2＝3.故选B. 答案 B 4.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点 重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝4 3|AB |. (1)求C 1的离心率； (2)设M 是C 1与C 2的公共点.若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程. 解 (1)由已知可设C 2的方程为y 2 ＝4cx ，其中c ＝a 2 －b 2 . 不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b 2a ，－b 2 a ；C ，D 的纵坐标分别为2c ， －2c ，故|AB |＝2b 2 a ，|CD |＝4c . 由|CD |＝43|AB |得4c ＝8b 2 3a ，即3×c a ＝2－2? ?? ??c a 2 . 解得c a ＝－2(舍去)或c a ＝1 2 . 所以C 1的离心率为12 . (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x 24c 2＋y 2 3c 2＝1. 设M (x 0，y 0)，则x 204c 2＋y 203c 2＝1，y 2 0＝4cx 0， 故x 20 4c 2＋4x 03c ＝1.①
轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆的例题： 1、 必修2课本P 124B 组2：长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点 M 的轨迹方程： 必修2课本P 124B 组：已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为 2 1 ，求点M 的轨迹方程;（一般地：必修2课本P 144B 组2：已知点M(x ,y )与两个定点21,M M 的距离之比为一个常数m ；讨论点M(x ,y )的轨迹方程（分m =1，与m ≠1进行讨论） 2、 必修2课本P 122例5：线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆1)1(2 2 =++y x 上 运动，求AB 的中点M 的轨迹。 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为 32。 （1）求圆心的P 的轨迹方程； （2）若P 点到直线x y =的距离为 2 2 ，求圆P 的方程。 如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2 =36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. M B A
解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2 )又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2 +y 2 =36－(x 2 +y 2 ),即x 2 +y 2 －4x －10=0因此点R 在一 个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2 0,241+= +y y x ,代入方程x 2+y 2 －4x －10=0,得2 44)2()24(22+? -++x y x －10=0整理得：x 2+y 2 =56,这就是所求的轨迹方程. 在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． （2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2） 已知点)0,1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点Q P ,，若x 轴 是PBQ ∠的角平分线，证明直线l 过定点。 二、椭圆类型： 3、 定义法：（选修2-1P 50第3题）点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线8=x 的距离之比为 2 1 ，求点M 的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义) 讨论：当这个比例常数不是小于1，而是大于1，或等于1是的情形呢？（对应双曲线，抛物线）
圆锥曲线中的轨迹问题 一、单选题 1．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ） A ．一条直线 B ．一个圆 C ．一个椭圆 D ．曲线的一支 2．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方体表面上的一个动点，且总有 1PC BD ⊥，则动点P 的轨迹所围成图形的面积为（ ） A ．3 B ．32 C ． 32 D ．1 3．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且1 3 AM = ，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．直线 二、填空题 4．已知分别过点(1,0)A -和点(1,0)B 的两条直线相交于点P ，若直线PA 与PB 的斜率之积为-1，则动点P 的轨迹方程是________. 5．动圆经过点(3,0)A ，且与直线:3l x =-相切，求动圆圆心M 的轨迹方程是____________. 三、解答题 6．圆C 过点()60A ， ，()1,5B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上. （1）求圆C 的方程；
（2）P 为圆C 上的任意一点，定点()8,0Q ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程. 7．若平面内两定点(0,0)O ，(3,0)A ，动点P 满足||1 ||2 PO PA =. （1）求点P 的轨迹方程； 8．点(,)M x y 与定点(3,0)F 的距离和它到直线25:3 l x = 的距离之比是常数3 5，求点 M 的轨迹方程. 9．在圆:C 223x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当P 在 圆上运动时，线段PD 上有一点M ，使得DM =， （1）求M 的轨迹的方程； 10．已知点()1,0F ，点P 到点F 的距离比点P 到y 轴的距离多1，且点P 的横坐标非负，点()1,M m (0m <)； （1）求点P 的轨迹C 的方程；. （2）过点M 作C 的两条切线，切点为A ，B ，设AB 的中点为N ，求直线MN 的斜率.
圆锥曲线平行弦中点轨迹问题”说题 说题”是近年来涌现出的一种新型教学研究模式 简单地讲：说题是执教者或受教育者在精心做题的基础上，阐述对习题解答时所采用的思维方式，解题策略及依据，进而总结出经验性解题规律. “说题”使教研活动更入微了，可以说是教研活动的一次创新 般说来，说题应从以下几个方面进行分析：数学思想 与数学方法，命题变化的自然思维，小结、归纳与应用，题多解、发散思维，常规变式，多种变式、融会贯通，从特殊到一般寻找规律.要求数学教师不但对题目进行深层次的 挖掘，说出题目的本质、新意、特色，还要说出题目的编制、演变过程以及该题目的潜在价值 面是本人的一次说题研究，在此抛砖引玉供各位参考、说问题 背景 问题来源于2005 年上海市普通高等学校春季招生考试 数学试卷第22 题： 1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（-2，-2）的 椭圆的标准方程； (2)已知椭圆C的方程是x2a2+y2b2=1 (a>b>0), 设 斜率为k的直线I，交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M.证
明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上； 3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找 出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心. 二、说问题立意 1.考查椭圆的标准方程和性质；中心对称等； 2.考查数 学思想有：从特殊到一般思想；数形结合思想；分类讨论思 想；数学方法：判别式法；函数与方程转化等；引导将双 曲线问题与相应的椭圆问题开展类比研究的思想方法.3.通 过研究椭圆的平行弦的中点轨迹，对直线与曲线位置关系研究方法有更深刻的理解；这是将知识、方法、思想、能力素质融于一体的命题，也看出高校选拔人才对学生的直觉思维能力、逻辑推理能力、运算能力和自主探索能力等提出了较高的要求. 、说问题解法 解法1（1）略（2）设直线I的方程为y=kx+m,与椭圆C的交点A（x1, y1 )、B (x2, y2),则有y=kx+m, x2a2+y2b2=1，解得( b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0. ???△ >0，二m2vb2+a2k2，即-b2+a2k2vmvb2+a2k2.则 x1+x2=-2a2kmb2+a2k2，y1+y2=kx1+m+kx2+m=2b2mb2+a2k2. ??? AB 中点M 的坐标为(-a2kmb2+a2k2 , b2mb2+a2k2 ).
微专题19 1．答案：x 2＝2y . 解析：假设抛物线标准方程x 2＝2py (p ＞0)，因为准线方程y ＝－12＝－p 2 ，所以p ＝1，抛物线标准方程为x 2＝2y . 2．答案：x 28－y 28 ＝1. 解析：因为e ＝c a ＝2，又b a ＝4c ，所以b ＝22，a ＝22，所以双曲线的E 的标准方程为x 28－y 28 ＝1. 3．答案：x 24＋y 22 ＝1. 解析：由c a ＝22，2a 2c ＝42解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2.所以椭圆的方程为x 24＋y 2 2＝1. 4．答案：y ＝±2x . 解析：因为m ＋4m ＝3，得出m ＝2，所以渐近线方程为x 22－y 2 4 ＝0，所以y ＝±2x . 5．答案：x 216＋y 2 8 ＝1. 解析：由???c a ＝22，c ＋a 2 c ＝62，解得???a ＝4，c ＝22 则b ＝22，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1. 6．答案：x 2－y 2 3 ＝1. 解析：因为c a ＝2，不妨设焦点为(c ，0)，渐近线为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，所以bc b 2＋a 2＝b ＝3，c 2＝4a 2＝a 2＋b 2，所以 a 2＝1，双曲线C 的标准方程为x 2－y 23 ＝1. 7．答案：x 24＋y 2 4 3 ＝1. 解析：因为a ＝2，由|OC →－OB →|＝ 2|BC →－BA →|，得|BC →|＝2|AC →|，所以|OC →|＝|AC →|，又由AC →·BC →＝0，所以|OC →|＝|AC →|＝2，则点C (1，－1)代入椭圆E ，得b 2＝43，所以椭圆E ：x 24＋y 2 4 3＝1.
椭圆的标准方程与性质 教学目标： １了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 高考相关点: 在高考中所占分数:13分 考查出题方式:解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有:求曲线方程,弦长,面积，对称关系，范围问题,存在性问题。 涉及到的基础知识 1．引入椭圆的定义 在平面内与两定点Ｆ１，Ｆ２的距离的和等于常数(大于|F1F２|=2c）的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P={M||MF1｜＋|ＭF2|＝2a｝，｜F1F2|＝２c,其中a＞0,c>０,且a,c为常数： 有以下３种情况 (１）若a＞c,则集合P为椭圆； (2）若a＝c，则集合P为线段； (3)若a 标准方程x2 ａ2 +＼ｆ（y２,ｂ2）＝1 （a>ｂ>0) ＼f(y2，a2）＋错误!=1 (a>ｂ>０) 图形 性质范围 －a≤x≤a -b≤y≤b -b≤ｘ≤b -a≤ｙ≤a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点 顶点 A1(-a,0),A２(a,０） Ｂ1(０,-b）,B2(0,b) A１(0，－a),A２(0，a) B1(－ｂ,0),B2(b,0）轴长轴A1A2的长为2ａ;短轴B1B2的长为2b 焦距｜F１Ｆ２|=2c 离心率ｅ=错误!∈(０，1） ａ，b，c的关系c2=a2-b2题型总结 类型一椭圆的定义及其应用 例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为Ｏ，F是圆内一定点,M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与Ｆ重合,然后抹平纸片,折痕为ＣD，设CＤ与OM交于点P,则点P的轨迹是( ) A.椭圆? B.双曲线 C.抛物线 D.圆 【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道 结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【答案】根据题意知，CD是线段MF的垂直平分线．,(定值）,又显然，根 据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以Ｆ、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的 练习1：已知Ｆ1,F２是椭圆C： 22 22 1 x y a b +=(a>b＞0)的两个焦点，P为椭圆C 上的一点,且 错误! 1⊥2 PF，若△PF1F２的面积为9,则ｂ＝____＿_＿_． 【解析】由题意的面积∴故答案为: 【答案】３ 练习2：已知F1，Ｆ２是椭圆错误!+错误!=１的两焦点，过点F２的直线交椭圆于A，B两点,在△AF1Ｂ中,若有两边之和是10，则第三边的长度为() A．6?B.5 Ｃ．4 D．3 第四讲 有关圆锥曲线轨迹问题（教师版） 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）限（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这 种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系，点Q （2，0），圆C 方程为 12 2=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则 2 22ON MO MN -=。),(y x M ,则 2 222)2(1y x y x +-=-+λ化简得 0)41(4))(1(2 2222=++-+-λλλx y x 当1=λ时，方程为54x =，表示一条直线。 当1≠λ时，方程化为2 2 22 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 【练习】如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ， （M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则1(20)O -， ，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ，，则2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) y x Q M N O 2021高考数学圆锥曲线轨迹方程问题解法指导 纵观近几年高考轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度.有的学生看到就头疼的题目.分析原因除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理。圆锥曲线问题是山东卷高考压轴大题，解题的关键往往是第一问能否求出轨迹方程。 圆锥曲线问题轨迹方程，解答题中以待定系数法为多，一旦变换考法，往往会造成学生心理负担，为了更好的解决这一问题，本专题针对轨迹方程的常见考法做出了系统总结。 一、考法解法 命题特点分析 求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质就是利用题设中的已知条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系问题，解决这类问题不但对圆锥曲线的定义、性质等基础知识要熟练掌握，还要利用各种数学思想方法，同时具备一定的推理能力和运算能力。 高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法.“轨迹”、“方程”要区分求轨迹方程，求得方程就可 以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）.处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累.所以在处理轨迹问题时，一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法，确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”。在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；②简化条件式；③转化化归。 解题方法荟萃 1.直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧，它是求轨迹方程的基本方法。 直接法一般有下列几种情况： 1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。 3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。 椭圆及其标准方程练习题 【基础知识】 一．椭圆的基本概念 1.椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数 （ ）的点 的轨迹叫做椭圆，用符号表示为这两个定点叫椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做椭圆的 。 椭圆方程的总形式为 [经典例题]： 例1. 根据定义推导椭圆标准方程. 已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ?的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程 已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 例2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,2 5） 例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 例4 已知椭圆经过两点（)5,3()2 5 ,23与-，求椭圆的标准方程 例5 1.椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆离心率是 ； 2.如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 ； 3.若椭圆的两个焦点F 1、F 2与短轴的一个端点B 构成一个正三角形，则椭圆的离心率为 ； [典型练习]： 椭圆 19 252 2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 2.椭圆 1169 252 2=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) 3.已知椭圆的方程为 182 2 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m 4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是 2.3《圆锥曲线的参数方程》教学案 一、教学目标： 知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识. 二、重难点： 教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法： 启发、诱导发现教学. 四、教学过程： (一)、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程. (1)圆222r y x =+参数方程?? ?==θ θ sin cos r y r x (θ为参数) (2)圆2 2 02 0r y y x x =+-)\()(参数方程为：?? ?+=+=θ θ sin cos r y y r x x 00 (θ为参数) 2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程. 3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？ (二)、讲解新课： 1.椭圆的参数方程推导：椭圆 12 22 2=+ b y a x 参数方程 ?? ?==θ θ sin cos b y a x (θ为参数)，参数θ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角 2.双曲线的参数方程的推导：双曲线12 22 2=- b y a x 参数方程 ?? ?==θ θ tan sec b y a x (θ为参数) . 3.抛物线的参数方程：抛物线Px y 22 =参数方程?? ?==Pt y Pt x 222 (t 为参数)，t 为以抛物线上一点(X ，Y)与其顶点连线斜率的倒数. (1)、关于参数几点说明： A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义. B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围 (2)、参数方程的意义： 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标. (3)、参数方程求法：(A)建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ；(B)选取适当的参数；(C)根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式；(D)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 (4)、关于参数方程中参数的选取：选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单.与运动有关的问题选取时间t 做参数；与旋转的有关问题选取角θ做参数；或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等. 4、椭圆的参数方程常见形式：(1)、椭圆122 22=+b y a x 参数方程 ?? ?==θ θsin cos b y a x (θ 为参数)；椭圆 2 2 221(0)y x b a b a +=>>的参数方程是 c o s s i n (2x b y a θθθθ==≤≤π? 为参数，且0）. (2)、以0 ( ,)y x 为中心焦点的连线平行于x 轴的椭圆的参数方程是 00 cos sin ({x a y b x y θθ θ= +=+为参数）. (3)在利用???==θθ sin cos b y a x 研究椭圆问题时，椭圆上的点的坐标可记作(acos θ，bsin θ). (三)、巩固训练 专题9：圆锥曲线中的轨迹问题（解析版） 一、单选题 1．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ） A ．一条直线 B ．一个圆 C ．一个椭圆 D ．曲线的一支 【答案】A 【分析】 先找出定点A 和直线l 确定的一个平面，结合平面相交的特点可得轨迹类型. 【详解】 如图，设l 与l '是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面β，且α的斜线 AB β⊥，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直 所有直线都在这个平面内，故动点C 都在平面β与平面α的交线上. 【点睛】 本题主要考查轨迹的类型确定，熟悉平面的基本性质及推论是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养. 2．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方体表面上的一个动点，且总有 1PC BD ⊥，则动点P 的轨迹所围成图形的面积为（ ） A 3 B ．32 C 3 D ．1 【答案】C 【分析】 本题首先可以根据题意确定当1PC BD ⊥时直线PC 所在平面区域，然后结合图像即可 得出动点P 的轨迹所围成图形为1AB C ，然后求出1AB C 面积即可得出结果. 【详解】 如图，易知直线1BD ⊥平面1ACB ， 故动点P 的轨迹所围成图形为1AB C ， 因为1AB C 为边长为2的正三角形， 所以其面积() 2 3 32S =?= ， 故选：C. 【点睛】 本题考查线面垂直的相关性质，若直线与平面垂直，则直线垂直这个平面内的所有直线，考查推理能力，考查数形结合思想，是中档题. 3．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且1 3 AM = ，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．直线 【答案】B 【分析】 作PQ AD ⊥，11QR A D ⊥，PR 即为点P 到直线11A D 的距离，由勾股定理得最新圆锥曲线轨迹问题(教师版)
2021高考数学圆锥曲线轨迹方程问题解法指导
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2021届高考数学圆锥曲线中必考知识专题9 圆锥曲线中的轨迹问题(解析版)
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