1．矢量z y x e e e
A ???++=
的大小为3。 2．由相对于观察者静止的，且其电量不随时间变化的电荷所产生的电场称为 静电场 。
3．若电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹是直线，则波称为 线极化 。 4．从矢量场的整体而言，无散场的 旋度
不能处处为零。
5．在无源区域中，变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场，使电磁场以 波 的形式传播出去，即电磁波。 6．随时间变化的电磁场称为 时变（动态） 场。 7．从场角度来讲，电流是电流密度矢量场的 通量 。
8．一个微小电流环，设其半径为a 、电流为I ，则磁偶极矩矢量的大小为2
a I p m π=。
9．电介质中的束缚电荷在外加 电场 作用下，完全脱离分子的内部束缚力时，我们把这种现象称为击穿。
10．法拉第电磁感应定律的微分形式为t
B
E ??-=??
。
11．简述恒定磁场的性质，并写出其两个基本方程。
答：恒定磁场是连续的场或无散场，即磁感应强度沿任一闭合曲面的积分等于零。产生恒定磁场的源是矢量源。 (3分）
两个基本方程：
?=?S
S d B 0
（1分） I l d H C
=?? （1分）
(写出微分形式也对)
12．试写出在理想导体表面电位所满足的边界条件。
200 年 月江苏省高等教育自学考试
7568 电磁场理论答案
一、填空题（每小题 1 分，共 10 分）
二、简述题 （每题 5分，共 20 分）
答：设理想导体内部电位为2φ，空气媒质中电位为1φ。
由于理想导体表面电场的切向分量等于零，或者说电场垂直于理想导体表面，因此有
S S 21φφ= （3分） σφε-=??S
n
10
（2分）
13．试简述静电平衡状态下带电导体的性质。
答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面；（2分）
导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。（3分） 14．什么是色散？色散将对信号产生什么影响？
答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。 （3分） 色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。 （2分）
15．标量场()z
e y x z y x +=3
2
,,ψ，在点()0,1,1-P 处 （1）求出其梯度的大小 （2）求梯度的方向
解：（1）z
e y e x e
z y x ??+??+??=?ψ
ψψψ??? （2分）
z y x P
e e e
?3?2?++-=?ψ
（2分）
梯度的大小： 14=?P
ψ （1分）
（2）梯度的方向
ψ
ψ
??=n
? （3分） 14
?3?2??z y x e e e
n
++-= （2分）
16．矢量y x e e A ?2?+= ，z x e e B ?3?-=
，求 （1）B A
? （2）B A +
三、 计算题 （每题10分，共30分）
z z y x e e y x e xy e
?3?2?223++=?ψ
解：（1）根据z
y x
z y x
z y x B B B A A A e
e
e
B A ???=?
（3分） 所以2?3?6?3
1
021
???z y x z y x e e e e
e e B A -+-=-=?
（2分） （2）z x y x e e e e
B A ?3??2?-++=+
（2分） z y x e e e B A ?3?2?2-+=+
（3分） 17．矢量场A
的表达式为
2?4?y e x e
A y x -=
（1）求矢量场A
的散度。
（2）在点()1,1处计算矢量场A
的大小。
解：（1）
分）
（分）
（2243y
z A y A x A A z
y x -=??+
??+??=??
（2）在点()1,1处 矢量 y x e e A ?4?-=
（2分）
所以矢量场A
在点()1,1处的大小为
()17142
2=-+=A （3分）
18．一个点电荷q +位于()0,0,a -处，另一个点电荷q 2-位于()0,0,a 处，其中0>a 。求 （1） 求出空间任一点()z y x ,,处电位的表达式； （2） 求出电场强度为零的点。
四、 应用题 （每题 10分，共30分）
解：（1）建立如图18-1所示坐标
空间任一点的电位
????
??-=
12
0214r r q πεφ （3分） 其中，()2221z y a x r ++-=
（1分） ()2
222z y a x r +++=
（1分）
（2）根据分析可知，电场等于零的位置只能位于两电荷的连线上的q +的左侧，（2分） 设位于x 处，则在此处电场强度的大小为
()()???
? ??+--=220214a x a x q E πε （2分）
令上式等于零得 ()()2
2
2
1
a x a x +=
-
求得
()
a x 223+-= （1分）
19．真空中均匀带电球体，其电荷密度为ρ，半径为a ，试求
（1） 球内任一点的电位移矢量 （2） 球外任一点的电场强度 解：（1）作半径为r 的高斯球面，在高斯球面上电位移矢量的大小不变， （2分） 根据高斯定理，有
ρππ3
2
344r r D =
（2分） r D
3
ρ= a r < （1分）
（2）当a r >时，作半径为r 的高斯球面，根据高斯定理，有
ρππ32
3
44a r D = （2分）
r r
a D
333ρ= （2分）
电场强度为
r r
a E
3
033ερ=
（1分） 图18-1
20． 无限长直线电流I 垂直于磁导率分别为21μμ和的两种磁介质的交界面，
如图1所示。试
（1） 写出两磁介质的交界面上磁感应强度满足的方程 （2） 求两种媒质中的磁感应强度21B B 和。 解：（1）磁感应强度的法向分量连续
n n B B 21= （2分） 根据磁场强度的切向分量连续，即
t t H H 21= （1分） 因而，有
2
21
1μμt
t
B B =
（2分）
（2）由电流在区域1和区域2中所产生的磁场均为?e
?，也即是分界面的切向分量，再根据磁场强度的切向分量连续，可知区域1和区域2中的磁场强度相等。 （2分）
由安培定律
I l d H C
=??
得 r
I H π2=
（1分）
因而区域1和区域2中的磁感应强度分别为
r
I
e
B πμ?2?11= （1分） r
I
e
B πμ?2?22=
（1分）
21． 设沿方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想
导体，如图2所示，
五、综合 （10分）
图2
1B
2B
1μ
2μ
入射波电场的表达式为 z j y e E e
E β-=0?
（1）试画出入射波磁场的方向
（2）求出反射波电场表达式。 解：（1）入射波磁场的方向如图21-1所示。
（2）设反射波电场
z j r y r e E e
E β?=
区域1中的总电场为
)(?0z j r z j y r e E e E e
E E ββ+=+-
（2分） 根据0=z 导体表面电场的切向分量等于零的边界条件得
0E E r -= （2分） 因此，设反射波电场为
z j y r e E e
E β0?-=
（1分）
电磁场与电磁波 试卷2
一、 （20分）简答题
1. 试写出均匀、理想介质中微分形式的麦克斯韦方程组及辅助方程（描述D 与E ，B 与H ，J 与E 之间的关系）。（7分） 解：
0t t ρ????=+???
????=-???
??=????=?D H J B E D B
图21-1
H
εμσ=??
=??=?D E B H J E
2. 试写出理想导体表面切向电场、切向磁场的边界条件。（2分）
解：
()120?-=n E E ()12S
?-=n H H J
3. 试写出坡印廷定理的数学表示式，并简要的说明其意义。（4分）
解：
2
211()d d d 22S
V V H E V V t με???-??=
++? ???????E H S E J
用场的观点描述在电磁场中的能量守恒关系。说明从外部进入体积内的能量等于电磁储能的增加和热损耗能量。
4.下面哪几项是对电偶极子辐射远区场的准确描述( ①③ )（2分）
①坡印廷矢量的平均值不为零； ②感应场； ③TEM 波；
④电场强度和磁场强度存在90?的相位差。
5 直角坐标系中，0z ≥的区域为自由空间，0z <的区域为理想导体，若其中自由空间区域存
在磁场为：()()j 3cos 4cos e t
x y z z ω??=+??H e e A/m ，试求此理想导体表面的面电流密度。（5
分）
解：判断出分界面法向单位矢量为n z =e e ，则
()()()()j j 3cos 4cos e 3cos 4cos e t t
S n z x y y x z z z z ωω????=?=?+=-????J e H e e e e e (A/m)
二（12分）某无界理想介质（ε，0μ）中的电场为：
()
5j 60004102e t z
y -π+π?=E e V/m ，试求：
1． 该介质的相对介电常数r ε； 2． 与之对应的磁场强度； 3． 对应的坡印廷矢量平均值。 解：
1
．由角频率ω=
58
41031026000ππ-???===，所以4r ε=
2．容易看出是均匀平面波，则
)()()5
j 6000410j 021
2e e
12030t z t kz z z y x ππωππ-+?+=-?=-??=??H e E e e e （A/m ）
或者利用麦克斯韦方程：
()()
j j -12
2e e j t kz t kz x x k
ωωωμ
ωμ
η
++=
??=
=?
?H E e e （A/m ）
3．磁场的共轭为：()5-j 6000410*
1
e
30t z x πππ-+?=??H e ，
则
()*av 111
Re Re 2223030z
y x ππ-??=
?=???=
???e S E H e e （W/m 2）
三、（10分）频率为
1.8f =GHz 、x 方向极化的均匀平面波在媒质（1r
μ=，81r ε=，4σ=S/m ）中沿z 方向传播，电场强度的幅度为0.5V/m 。试求： 1．该媒质中波的衰减常数、相移常数； 2．电场强度和磁场强度的瞬时值表达式。
解：（1）0.49
σ
ωε=，为有损媒质。 102 1.1310f ωπ==?rad/s ()018110.49e j
j σεεεωε?
?
=-=??- ??
?
80.86348.79j j j γ===+
80.86α=Np/m ，348.79β=rad/m
评分标准：σ
ωε计算和结论给1分；α和β各1.5分，用良导体或良介质公式计算0分，单位各0.5分。
（2）80.86348.790.5z j z
x e e --=E e V/m
80.86(348.7913.1)1
0.013z j z z
y e e e η
--+=
?H e E =e A/m
评分标准：E ，H 方向各0.5分，方程形式各1.5分，单位各0.5分。 四、（16分）自由空间中均匀平面波的电场强度复矢量为
()
()
2
6
3j
x x y e
π-=-E e V/m
求：
1. 电场强度的振幅、传播方向的单位矢量和波长；
2. 该平面波传播多长距离可以产生3
2π
的相移；
3. 电场强度矢量的瞬时表达式；
4. 坡印廷矢量的平均值。
解：1. =E ()
26
x
y z
π
=
+-k e
2k π
==k rad/m
(
)
1
23k x y z k =
=+k e e
24k πλ=
=m
2.
32kl π
= 3l =m 3.
8
3
102
kc ωπ==?
rad/s
(
)()
26
3j
x x y e
π
-=E e
(
)()
7
3
3cos 1022
6x y
t x ππ??
=-
?-+
-??
??E e
V/m
4. ()
2
*
013Re 22280av k x y z
ηπ??=?==+-??E S E H e e
五、（16分）圆极化波从空气斜射到某种玻璃的边界平面上，如图所示，该入射波的坡印廷矢量均值的大小为
()
2||1mW/m av +=S ，若反射波中只有线极化波存在。已知：平行极化波斜入射时，
反射系数为
()P R =垂直极化波斜入射时，反射系数为
i i i
i N R θεεθθεεθ21
22
12)(sin cos sin cos -???? ??+
-???? ??-=
。
试求：
1．入射角i θ；
2．反射波的坡印廷矢量均值的大小
||av -
S ； 3．折射波的极化类型。
空气
解：圆极化波可以分解为两个等幅的、时间相位及空间相位都相差90?的线极化波；若分解后的线
极化波中有一个垂直极化波，则另一个必然是平行极化波。只有平行极化波才可能发生全折射。调整入射角i θ，使其等于布儒斯特角B θ时，只有平行极化波产生全折射，反射波中就仅存在垂直极化波了。
1. i B θθ=时，反射波中仅有线极化波，i θ应为：
1
60i B θθε====?
2. 利用垂直极化波的反射系数R N ，求||av S -
由于圆极化波的功率密度为两个等幅线极化波的功率密度之和，又知圆极化波的功率密度平
均值为()
2
||1mW/m av S +
=r ，
即 ()()
()22011121mW/m 2av
N S E η+
+??
=?=????，其中()0N E +
为垂直极化入射波的幅度值。
()()
()2201111
mW/m 22N
E η+??
∴
=????
由于60i B θθ==?
=，则
()12N R =
≈-
所以 ()()
()
22201111|| mW/m 28av N N S R E η-+??==????r
3. 由于折射波中，既有平行极化波，又有垂直极化波，但二者的幅度已不相等，因此，折射波应为椭圆极化波。
六、（14分）空气填充的矩形金属波导，尺寸为7?4 mm 2，电磁波工作频率为30GHz ，（1）该电磁波能否在波导中传输；（2）若能传输，求波导波长、波速以及基模状态下的波阻抗；（3）若波导长度为50mm ，求电磁波传输后的相移。 解：电磁波工作频率30GHz ，得 电磁波波长为：
()10
9
310()103010c cm mm f λ?===?
(1)电磁波要在矩形波导中传输，必须波长小于TE10模的截止波长：
()()10214C TE a mm λ==
所以，可以在该波导中传输； (2)由于该波导能传输的模式如下：
TE10模式，该频率的电磁波唯一能在该波导中传输的模式。
0.70
== ；
波导波长：
()
1.4314.3g mm λλ=
≈=；
波速：
(
)TE10 1.43p v c
=
≈
波阻抗：()
10 1.43529TE Z η=
≈=欧
(3)求相位常数
10
0.7TE k k
β=≈
电磁波传输后的相移：
20.70.75072210l kl π
φβπ?=?==?
?=≈（弧度）
七、（12分）假设空气中一个电偶极子的辐射功率为10W ，求与电偶极子轴线成45?角方向、距此电偶极子50km 处(远场区)电场强度和磁场强度的振幅。 解：由偶极子的辐射功率可知
()A Idl Idl P 159.02110402
2
≈=?=?
??
??=πλλπ (4分)
则由远场区磁场强度的表达式得其振幅为
()m A r Idl H /10125.121050245sin sin 26
3
-?≈???==πθλφ (4分)
远场区电场强度的振幅为
()m V H H k
r Idl E /10241.4120sin 240-?≈=?=?=
φφθπηθωελ (4分)
1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为ε，则电位移矢量D 和电场E
满足的方程为：E D ε=。
2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为φ，媒质的介电常数为ε，电荷体密度为V ρ，电位所满足的方程为
ερφV -=?2。
3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为H E S
?=。
4．在理想导体的表面，电场强度的 切向 分量等于零。
5．表达式()S d r A S
??称为矢量场)(r A
穿过闭合曲面S 的 通量 。
6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生 全反射 。 7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 零 。
8．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互 垂直 。 9．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为 零 。
10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是 无散场（连续的） 场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。 11．试简述磁通连续性原理，并写出其数学表达式。
答：磁通连续性原理是指：磁感应强度沿任一闭合曲面的积分等于零，或者是从闭合曲面S 穿出去的通量等于由S 外流入S 内的通量。 （3分）
其数学表达式为：0=??S
S d B
（2分）
12．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。
答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。 （3分）
亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或
200 年 月江苏省高等教育自学考试
7568 电磁场理论答案
六、填空题（每小题 1 分，共 10 分）
七、简述题 （每题 5分，共 20 分）
者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究。 （2分）
13．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S
C
???-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微分形式。
答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 （3分）
方程的微分形式：t
B
E ??-=??
（2分）
14．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？
答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。（2分） 极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。（3分）
15．矢量函数z x e yz e
yx A ??2
+-=，试求 （1）A
?? （2）A
??
解：（1）分）
（分）
（223y
xy z
A y A x A A z y x +-=??+
??+??=??
（2）
分）
（分）
2??3(0
???22
x e z e
yz
yx z y x e e
e
A z x z y x +=-??????=
??
16．矢量z x e e
A ?2?2-= ，y x e e
B ??-=
，求 （1）B A
-
（2）求出两矢量的夹角 解：（1）
()分）
（分）
2?2??3(???2?2z y x y x z x e e e
e e e e B A -+=---=-
（2）根据θcos AB B A =?
（2分）
()()2???2?2=-?-=?y x z x e e e e
B A
2
1
2
222cos =
=
θ （2分） 所以
60=θ （1分）
八、 计算题 （每题10分，共30分）
17．方程2
22),,(z y x z y x u ++=给出一球族，求 （1）求该标量场的梯度；
（2）求出通过点()0,2,1处的单位法向矢量。
解：（1）
分）
（分）（22?2?2?3???z e y e x e
z u
e y u e x u e
u z y x z y x ++=??+??+??=?
（2）u
u
n
??=? （2分） 所以5
2??16
44?2??y x y x e e
e e n
+=++= （3分）
r
处产生的电场强度表达式为 r e
r
q E ?
42
πε=
（1）求出电力线方程；（2）画出电力线。
解:（1）()z e
y e x e
r
q r
r q e
r
q E z y
x
r ???44?43
03
02
0++=
==
πεπεπε
（2分） 由力线方程得
dz
z
dy y dx x == （2分） 对上式积分得
y
C z x C y 21== （1分）
式中，21,C C 为任意常数。
（2）电力线图18-2所示。
（注：电力线正确，但没有标方向得3分）
19．设点电荷位于金属直角劈上方，如图1所示，求
九、 应用题 （每题 10分，共30分）
图18-2
（1） 画出镜像电荷所在的位置
（2） 直角劈内任意一点),,(z y x 处的电位表达式 解：（1）镜像电荷所在的位置如图19-1所示。 （注：画对一个镜像得2分，三个全对得5分）
（2）如图19-2所示任一点),,(z y x 处的电位为
???
? ??-+-=
4321011114r r r r q πεφ （3分） 其中，
()()()()()()()()2
22422
232
2222
22121212121z y x r z y x r z y x r z y x r +-++=
++++=+++-=+-+-=
（2分）
20．设时变电磁场的电场强度和磁场强度分别为：
)cos(0e t E E φω-= )cos(0m t H H φω-=
（1） 写出电场强度和磁场强度的复数表达式 （2） 证明其坡印廷矢量的平均值为：)cos(2
100m e av H E S φφ-?=
解：（1）电场强度的复数表达式
e
j e E E φ-=0 （3分）
电场强度的复数表达式
m j e H H φ-=0
（2分）
（2）根据 ()
*Re 2
1
H E S av ?=得 （2分）
()
)cos(2
1Re 2100)(00m e m e j av H E e H E S φφφφ-?=?=-- （3
分）
图19-1
图19-2
q -
q
+q -
21．设沿方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图2所示，该电磁波电场只有x 分量即
z j x e E e
E β-=0?
(1) 求出反射波电场的表达式； (2) 求出区域1 媒质的波阻抗。
解：（1）设反射波电场
z j r x r e E e
E β?=
区域1中的总电场为
)(?0z j r z j x r e E e E e
E E ββ+=+-
（2分） 根据0=z 导体表面电场的切向分量等于零的边界条件得 0E E r -= （2分） 因此，反射波电场的表达式为
z j x r e E e
E β0?-=
（1分） （2）媒质1的波阻抗
εμη=
（3分） 因而得 )(377120Ω==πη （2分）
一、选择题。（本大题共15个选项，【1】～【10】每个选择项1分，【11】～【15】每个选择项2分，共20
分）
1. 静电场中试验电荷受到的作用力与试验电荷电量成 【i
】 关系。
【1】A ．正比 B.反比 C.平方 D.平方根
2. 按照麦克斯韦的电磁场理论，以下说法中正确的是 【ii
】
【2】A. 恒定的电场周围产生恒定的磁场
B. 恒定的磁场周围产生恒定的电场
C. 变化的电场周围产生磁场，变化的磁场周围产生电场
D. 均匀变化的磁场周围产生均匀变化的电场
3. 若一个矢量函数的旋度恒为零，则此矢量可以表示为某一个 【iii
】 函数。
【3】A ．矢量的散度 B ．矢量的旋度 C ．标量的梯度 D ．矢量的梯度
4. 恒定磁场是 【iv
】 场。
【4】A ．有散有旋 B ．有旋无散 C ．有散无旋 D ．无散无旋
5. 真空中磁导率的数值为 【v
】 H/m 。
【5】A. 4π×10-5 B. 4π×10-6 C. 4 π×10-7 D. 4 π×10-8
6. 若J E γ、和分别表示导电媒质中的电流密度、电场和电导率，则欧姆定律的微分形式可表示为 【vi 】 。
【6】A. J E γ=
B. E J γ=
C. J E γ
= D. J E γ=?
十、综合 （共10分）
7. 下面关于平板电容器的电容量的说法中，正确的是【vii
】
【7】A. 电容量与极板面积成反比
B. 电容量与极板间介质的介电常数成反比
C. 电容量与板间距离成成反比
D. 电容量与极板上的电荷量有关 8. 静电场中，电位函数?与电场强度E 之间的关系为 【viii 】 。
【8】A. E ?=?
B. E ?=??
C.E ?=-?
D.E ?=-?
9. 相同尺寸和匝数的空心线圈电感 【ix
】 有铁心线圈的电感。
【9】A.小于 B.等于 C.大于 D.不等于
10. 静电场中，当介质分界面上存在自由电荷分布时，下面说法正确的是 【x 】 。
【10】 A. 介质分界面两侧电位移矢量D 的法向分量连续
B. 介质分界面两侧电位移矢量D 的切向分量连续
C. 介质分界面两侧电场强度E 的法向分量连续
D. 介质分界面两侧电场强度E 的切向分量连续
11. 磁偶极子产生的静磁场可引入一标量磁位m ?来简化研究，则理由是磁偶极子产生的磁场强度满足 【xi 】 。
【11】A.0H ??≠
B.0H ?≠
C.0H ?=
D.0H ??=
12. 平板空气电容器的两极板都是半径为r 的圆导体片，在充电时，板间电位移矢量的变化率为
D
t
??，若略去边缘效应，则两极板间的位移电流为 【xii 】 。 【12】A.
D t
??
B.2D
r
t
π?? C.
01D
t
ε??
D.2
D
r
t
π?? 13. 如图所示，平板电容器（忽略边缘效应）充电的瞬间，分别沿闭合回路1,2c c 磁场强度的H 环流满足 【xiii 】 。
【13】 A.
1
2c c H dl H dl >??
B. 1
2
c c H dl H dl
C. 1
2
c c H dl H dl =??
D.
1
0c H dl =?
14. 矢量场634x y z A e x e e z =++的散度A ?为 【xiv
】 。
【14】A.64x z e e +
B. 13
C. 634x y z e e e ++
D. 10
15. 矢量场2
2
x y z A e x y e y e z y =++的旋度为 【xv 】 。
【15】A. 22x z e z e x - B. 2y yz + C. 22
x y e x e z -
D. 22
y z e z e x -
二、填空题(16～30，每空1分，31～40，每空2分，共35分)
16. 电流元Idl 与其所产生的矢量磁位dA 的方向＿【xvi 】＿。
17. 导体在静电平衡条件下，其表面的＿【xvii
】＿正好等于导体外电位移矢量在表面外法线方向的分量。
18. 矢量场中，力线上任意点的切线方向必定与该点的＿【xviii
】＿相同。
19. 静止电荷产生的电场，称之为＿【xix
】＿。
20. 恒定磁场中，介质分界面上磁感应强度B 的＿【xx
】＿分量连续。
21. 一个矢量场可以表示为一个无散场分量与＿【xxi
】＿分量之和。 22. 静电场中，当介质分界面上没有自由电荷时，电位移矢量D 的＿【xxii
】＿分量连续。
23. 标量场中，通常将标量值相等的点形成的曲面称为＿【xxiii
】＿。
24. 若两矢量正交，则矢量的＿【xxiv
】＿为0。
25. 导体在静电平衡条件下，其内部电场强度为＿【xxv
】＿。 26. 的表达式＿【
xxvi
】＿。
27. ＿【xxvii
】＿定理指出，只要能够找到一个满足边界条件的位函数，且这个函数又满足泊松方程，则他就是
所给定边界条件下泊松方程的唯一解。
28. 电偶极矩的方向是负电荷指向正电荷，大小为＿【xxviii
】＿。
29. 由库仑定律知：点电荷周围的电场，其强度(或大小)与距离平方成＿【xxix 】＿，与源点电荷的＿【xxx
】＿成
正比。 30. 给定矢量342x y z A e e e =++、352x y z B e e e =-+、6x y z C e e e =+-，则B C 与之间夹角的余弦为＿
【
xxxi
】＿，()
A B C ??的结果为＿【
xxxii
】＿。
31. 设有无限大导体平面()0z =,导体平面是等位面,设其电位为零,若在()0,0,h 处有一点电荷q ，则()
2,0,
h h 处的电位为＿【
xxxiii
】＿。
32. 真空中无限长直线上均匀分布着线电荷l ρ,则直线外任一点（与轴心相距r ）处的电场强度E 的大小为＿
【
xxxiv
】＿。
33. 若在环形螺旋管上开个很小的空气隙,假定铁心的相对磁导率为μ r >>1,则空气隙和铁心中磁能密度的比值为
＿【
xxxv
】＿。
34. 圆柱坐标系中的矢量函数9B e r ?=是否可能为磁场？答：＿【
xxxvi
】＿。
35. 分别写出与物理意义相对应的麦克斯韦方程组的积分形式，
变化的电场产生磁场：＿【xxxvii
】＿；
变化的磁场产生电场：＿【xxxviii
】＿；
磁场是一种无散度的矢量场（无孤立磁荷）：＿【xxxix
】＿；
电荷是产生电场的标量场场源：＿【xl
】＿。
三、简答计算证明题（共45分）
xli 、简要叙述位移电流与传导电流的不同点？(5分)
xlii 、已知平行板电容器极板面积为S ，极板间填充ε 的介质，距离为d ，证明平行板电容器的电容为s
C d
ε=。(8
分)
xliii 、有一半径为a 的无线长圆柱体，沿轴线方向通有电流密度为0z J e rJ =, 0(,)r a J ≤常数的电流，
求圆柱体内外任一点的磁感应强度B 。（10分）
xliv 、在通以电流cos i A t ω=的无限长直导线产生的磁场中，有一矩形回路，如图所示，求矩形回路中的感应电
动势ε,其中A ω、为常量，t 为时间变量。(12分
)
xlv 、有一半径a ，带电量q 的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，如图所示，此两种介质的介电常数分别为1ε和2ε，分界面可视为无限大平面。求导体球外两种介质中的电场强度。（10分）
班 级___________________ 考试日期 2006 年 7 月 日 姓 名___________________
学 号______________________
c
s
t +
???
?
?
c
s
dS t ??
? 0s
B dS =?
s
D dS q =?
B 唯一性
附录：梯度、散度和旋度表示式 ()
1r rA r r r z
??++???()(221sin r r A r r r θθ?+??
i
A ii
C iii
C iv
B v
C vi
A vii
C viii
D ix
A x
D xi
D xii
D xiii
B xiv
D xv
A
2222
x
y z
x z e e e A e z e x x y z x y
y
yz ???
??=
=-??? xvi
平行
xvii
电荷面密度
数字信号处理试卷集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
数字信号处理试卷 一、填空题 1、序列()0n n -δ的频谱为 。 2、研究一个周期序列的频域特性，应该用 变换。 3、要获得线性相位的FIR 数字滤波器，其单位脉冲响应h （n ）必须满足条件： ； 。 4、借助模拟滤波器的H （s ）设计一个IIR 高通数字滤波器，如果没有强调 特殊要求的话，宜选择采用 变换法。 5、用24kHz 的采样频率对一段6kHz 的正弦信号采样64点。若用64点DFT 对其做频谱分析，则第 根和第 根谱线上会看到峰值。 6、已知某线性相位FIR 数字滤波器的一个零点为1+1j ，则可判断该滤波器 另外 必有零 点 ， ， 。 7、写出下列数字信号处理领域常用的英文缩写字母的中文含义： DSP ，IIR ，DFT 。
8、数字频率只有相对的意义，因为它是实际频率对 频率 的 。 9、序列CZT 变换用来计算沿Z 平面一条 线 的采样值。 10、实现IIR 数字滤波器时，如果想方便对系统频响的零点进行控制和调 整，那么常用的IIR 数字滤波器结构中，首选 型结构来实现该IIR 系统。 11、对长度为N 的有限长序列x （n ） ，通过单位脉冲响应h （n ）的长度 为M 的FIR 滤波器，其输出序列y （n ）的长度为 。若用FFT 计算x （n ） *h （n ） ，那么进行FFT 运算的长度L 应满 足 。 12、数字系统在定点制 法运算和浮点制 法运算中要进行尾数处理， 该过程等效于在该系统相应节点插入一个 。 13、，W k x l X DFT N k kl M ∑-==1 0)()( 的表达式是某 由此可看出，该序列的时域长度 是 ，M W 因子等于 ， 变换后数字频域上相邻两个频率样点 之间的间隔是 。 14、Z 平面上点的辐角ω称为 ，是模拟频率Ω对 （s f ）的归一化，即ω= 。 15、在极点频率处，)(ωj e H 出现 ，极点离单位圆越 ，峰值 越大；极点在单位圆上，峰值 。 16、采样频率为Fs Hz 的数字系统中，系统函数表达式中1-z
A．电磁场理论B基本概念 1．什么是等值面？什么是矢量线？ 等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过； ★所有的等值面均互不相交； ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。 矢量线（通量线）---- 一系列有方向的曲线。 线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向， 而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。 例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？（图） 右手定则是指当食指指向矢量A的方向，中指指向矢量B的方向，则大拇指的指向就是矢量积C=A*B的方向。 右手法则又叫右手螺旋法则，即矢量积C=A*B的方向就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。 本课程中的应用： ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向和传播方向。 3．什么是电偶极子？电偶极矩矢量是如何定义的？电偶极子的电磁场分布是怎样的？ 电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。 电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量和间距的乘积，方向由负电荷指向正电荷。
4.麦克斯韦积分和微分方程组的瞬时形式和复数形式； 积分形式： 微分方式： （1）安培环路定律 （2）电磁感应定律 （3）磁通连续性定律 （4）高斯定律 5.结构方程
6.什么是电磁场边界条件？它们是如何得到的？（图） 边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发，得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式（近似式）。 边界条件是在无限大平面的情况得到的，但是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7.不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义； （1）导电媒质分界面的边界条件 ★ 导电媒质分界面上不存在传导面电流，但可以有面电荷。 在不同媒质分界面上，电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量永远是连续的 （2）理想导体表面的边界条件 ★ 理想导体内部，时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流和面电荷。
A 一、 选择题（每题3分，共5题） 1、)6 3()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期6 π = N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥ 3、对)70()(≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作 20 点 DFT ，得)(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ， n 在 围时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、)()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16 微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ） n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解：332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 电磁场与电磁波理论基础自学指导书 课程简介：电磁场理论是通信技术的理论基础，是通信专业本科学生必须具备的知识结构的重要组成部分之一。使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生对"场"与"路"这两种既密切相关又相距甚远的理论有深刻的认识，并学会用"场"的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。为以后的学习和工作打下坚实的理论基础。 第一章矢量分析场论初步 1主要内容 本章从矢量分析入手，介绍了标量场和矢量场的基本概念，学习了矢量的通量、散度以及散度定理，矢量的环流、旋度以及斯托克斯定理，标量的梯度，以及上述的物理量在圆柱和球坐标系下的表达形式，最后介绍了亥姆霍兹定理，该定理说明了研究一个矢量场从它的散度和旋度两方面入手。通过本章的学习，使学生掌握场矢量的散度、旋度和标量的梯度的概念和数学计算为以后的电磁场分析打下基础。 2学习要求 深刻理解标量场和矢量场的概念；深刻理解散度、旋度和梯度的概念、物理意义及相关定理； 熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算； 了解亥姆霍兹定理的内容。 3重点及难点 重点：在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。 难点：正确理解和掌握散度、旋度和梯度的概念及定理，可以借助流体的流量和涡旋等自然界中比较具体而形象的相似问题来理解。 4思考题合作业 1.4, 1.8, 1.9, 1.11, 1.14, 1.16, 1.24 第二章静电场 1主要内容 本章我们从点电荷的库仑定律发，推导出静电场的基本方程（微分表达及积分表达），该基本方程第一组与静电场的散度和通量有关（高斯定律），第二组有关静电场的环量和旋度，推导的过程运用了叠加原理。由静电场的基本方程中的环量和旋度的基本方程，我们引入了电位的概念，并给出了电场强度与电位之间的关系以及电位的计算公式。运用静电场的基本方程及电位可以解决静电场中的场源互求问题（已知源求场或已知场求源）。然后介绍了电偶极子的概念，推导了电偶极子的电场强度与电位的表达式。接着介绍了介质的极化，被极化的分子可等效为电偶极子，所以介质极化产生的电位就可以借用电偶极子的相关结论。由极化介质的电位公式我们推导了介质中的高斯定律，在该定律中引入了一个新的量— 第一章 一、矢量代数 A ?B =AB cos θ A B ?= AB e AB sin θ A ?(B ?C ) = B ?(C ?A ) = C ?(A ?B ) ()()()C A C C A B C B A ?-?=?? 二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系 矢量线元x y z =++l e e e d x y z 矢量面元=++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元d V = dx dy dz 单位矢量的关系?=e e e x y z ?=e e e y z x ?=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系 矢量线元=++l e e e z d d d dz ρ?ρρ?l 矢量面元=+e e z dS d dz d d ρρ?ρρ? 体积元dz d d dV ?ρρ= 单位矢量的关系?=??=e e e e e =e e e e z z z ρ??ρ ρ? 3. 球坐标系 矢量线元d l = e r d r + e θ r d θ + e ? r sin θ d ? 矢量面元d S = e r r 2sin θ d θ d ? 体积元 ?θθd d r r dV sin 2= 单位矢量的关系?=??=e e e e e =e e e e r r r θ? θ??θ 三、矢量场的散度和旋度 1. 通量与散度 =?? A S S d Φ 0 lim ?→?=??=??A S A A S v d div v 2. 环流量与旋度 =??A l l d Γ max n rot =lim ?→???A l A e l S d S 3. 计算公式 ????= ++????A y x z A A A x y z 11()z A A A z ?ρρρρρ?????= ++????A 22111()(s i n )s i n s i n ????= ++????A r A r A A r r r r ? θ θθθθ? x y z ? ????= ???e e e A x y z x y z A A A 1z z z A A A ρ?ρ?ρρ?ρ? ?? ??= ???e e e A 数字信号处理期末试卷(含答案) 填空题（每题2分，共10题） 1、 1、 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 信号，再 进行幅度量化后就是 信号。 2、 2、 )()]([ωj e X n x FT =，用)(n x 求出)](Re[ωj e X 对应的序列 为 。 ３、序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 的N 点等间隔采样。 ４、)()(5241n R x n R x ==，只有当循环卷积长度L 时，二者的循环卷积等于线性卷积。 ５、用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要_________ 次复乘法，采用基2FFT 算法，需要________ 次复乘法，运算效率为__ _ 。 ６、FFT 利用 来减少运算量。 ７、数字信号处理的三种基本运算是： 。 ８、FIR 滤波器的单位取样响应)(n h 是圆周偶对称的，N=6， 3)3()2(2 )4()1(5 .1)5()0(======h h h h h h ，其幅 度特性有什么特性？ ，相位有何特性？ 。 ９、数字滤波网络系统函数为 ∑=--= N K k k z a z H 111)(，该网络中共有 条反馈支路。 １０、用脉冲响应不变法将)(s H a 转换为)(Z H ，若)(s H a 只有单极点k s ，则系统)(Z H 稳定的条件是 （取s T 1.0=）。 一、 选择题（每题3分，共6题） 1、 1、 )6 3()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期 6π = N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、 2、 序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥ 3、 3、 对)70() (≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20点DFT ，得)(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ， n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、 4、 )()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可 能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16 微积分试卷及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 31 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+ 2.设 2 d 11x k x +∞=+? ，则k = ( ). (A) 2π (B) 22π (C) 2 (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）. (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立，则（ ） (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（ ）． (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 1 3(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 11(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分） Lect.1 0 引言 1.课程简介 1) 课程内容 “电磁场与电磁波”或者叫电磁学，涉及到很多方面的内容。翻开书本的话，会看到有矢量分析，电磁学的学习的数学基础，有静态电磁场、时变电磁场、电磁波、波导、天线等很多方面的内容。但可以用一句话来概括：电磁学研究静止及运动电荷相关效应的一门学科，它是物理学的一个分支。 由基础物理学的知识可知，电荷产生电场。电荷的移动构成电流，而电流则会在空间中产生磁场。静止的电荷产生静电场。恒定电流产生静磁场。如果电荷或者电流随时间变化，则产生时变电场及时变磁场。时变电场和时变磁场还可以相互激发，形成在空间中独立传播的时变电磁场，即电磁波。所有的电磁场的唯一来源就是静止或者运动状态的电荷。所以我们说《电磁场及电磁波》或者《电磁学》这门课程，不干别的，就是研究静止及运动电荷所产生的效应。 2) 核心概念 这门课程的核心概念有两个，一个是场(field)，一个是波(wave)。那么，什么是场？场是一个数学概念，只某个量在空间中的分布。这个量可以不随时间变化，也可以随时间改变，前者称为静态场，后者称为时变场。例如，在地球表面或者附近，任意位置，任意一个有质量的物体都受到重力的吸引，我们说地球在其周围的空间中形成了重力场。例如，一个流体，流动的液体或者气体，每一个位置上流体的质点都对应一个速度，我们说，空间存在流体的一个速度场。对于物理学上的场而言，空间上，每个点都对应有某个物理量的一个值。这个物理学上的场，根据物理量本身的性质，有标量场和矢量场之分，我们之后会学到。 波(wave)的概念。振动在空间的传播，伴随能量的传播过程。举例：声波。 电磁波电磁波相关内容：波的描述、界面上的反射与折射、波在开放及封闭空间中的传播等。 3) 电磁理论的发展 早期：电及磁现象被视为两种独立的不同的现象。 希腊人琥珀中国《吕氏春秋》司南 富兰克林正负电荷、电荷守恒。风筝实验 库伦库伦定律定量电学 1820，Hans Christian Orsted: 电流可以造成磁针的偏转.即电流可以产生磁场。 1820-1827 Ampere的贡献：实验：两平行通电电线之间的吸引与排斥。安培定律 Farady的贡献：电磁感应：由磁产生电。 Maxwell：所有电磁现象用一组方程表示。光是一种电磁波。（对爱因斯坦的启发。）1873 电磁通论。 1. 有一个线性移不变的系统，其系统函数为： 2z 2 1 )21)(2 11(2 3)(11 1<<-- - = ---z z z z H 1）用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 4．试用冲激响应不变法与双线性变换法将以下模拟滤波器系统函数变换为数字滤波器系统函数： H(s)= 3) 1)(s (s 2 ++其中抽样周期T=1s 。 三、有一个线性移不变的因果系统，其系统函数为： ) 21)(2 1 1(2 3)(111------= z z z z H 1用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 七、用双线性变换设计一个三阶巴特沃思数字低通虑波器，采样频率为kHz f s 4=（即采样周期为s T μ250=）,其3dB 截止频率为kHz f c 1=。三阶模拟巴特沃思滤波器为： 3 2 ) ()(2)(211)(c c c a s s s s H Ω+Ω+Ω+= 解1)2 111112 5 12 3) 21)(2 1 1(2 3)(------+-- = --- = z z z z z z z H …………………………….. 2分 当2 1 2> >z 时： 收敛域包括单位圆……………………………6分 系统稳定系统。……………………………….10分 1111 1211 2 111)21)(2 11(2 3)(------- -= -- - = z z z z z z H ………………………………..12分 )1(2)()2 1 ()(--+=n u n u n h n n ………………………………….15分 4.（10分）解： 3 1 11)3)(1(1)(+- +=++= s s s s s H ………………1分 1 311)(------ -= Z e s T Z e T z H T T ……………………3分 微积分试卷及答案Revised on November 25, 2020 2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 31 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+ 2.设 2 d 11x k x +∞=+? ，则k = ( ). (A) 2π (B) 22π (C) 2 (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）. (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立，则（ ） (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（ ）． (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 1 3(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 11(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分） 1.已知自由空间中均匀平面波磁场强度瞬时值为： A/m，求①该平面波 角频率、频率f、波长 ②电场、磁场强度复矢量③瞬时坡印廷矢量、平均坡印廷矢量。 解：①；，，； ； ， （因是自由空间）， ；②； ③ （A/m） ，2.横截面为矩形的无限长接地金属导体槽，上部有电位为的 金属盖板；导体槽的侧壁与盖板间有非常小的间隙以保证相互 绝缘。试求此导体槽内的电位分布。 解: 导体槽在方向为无限长，槽内电位满足直角坐标系中的 二维拉普拉斯方程。 由于槽内电位和，则其通解形式为 代入上式，得 为使上式对在内成立，则 则 代入上式，得 为使上式对在内成立，则 其中不能为零，否则 ,故有 得则 代入上式，得 为使上式对x在内成立，且则 则 其中； 代入上式，得 为确定常数，将在区间上按展开为傅 里叶级数，即 导体槽内电位函数为 4．已知空气中均匀平面波电场强度的复数表示为 ，由z<0区域垂直入射于z>=0区域的理想介质中，已知该理想介质εr = 4，μ≈μ0，求①反射波的电场强度、磁场强度；②透射波电场强度、磁场强度。③z<0区域合成波的电场强度、磁场强度并说明其性质。 解：①， ，， ， ②③ 行驻波，驻波系数 5．已知空气中均匀平面波电场强度的复矢量表示为 ，垂直入射于z=0的理想导体板上，求①反射波电场强度、磁场强度复矢量；②导体板上的感应电流密度；③真空中合成电场强度的瞬时值表示式并说明合成波特性。 解：①， ② ③ 合成电磁波为驻波。 6.电场中有一半径为a的圆柱体，已知圆柱体内、外的电位函 数为： 求①圆柱体内、外的电场强度；②柱表面电荷密度。 （提示：柱坐标）解：①圆柱体内的电场强度为 圆柱体外的电场强度为 ②柱表面电荷密度为 7.海水的电导率σ=4S/m，相对介电常数。设海水中电场大小为，求频率f=1MHz时，①海水中的传导电流密度J; ②海水中的位移电流密度J D。解：① ②在理想介质()中均匀平面波电场强度瞬时值为：。 已知该平面波频率为10GHz，求：①该平面波的传播方向、角频率、波长、波数k；②电场强度复矢量；③磁场强度瞬时值； ④平均能流密度矢量。 解：①传播方向：+z ； 。 ② ③， 江 苏 大 学 试 题 课程名称 数字信号处理 开课学院 使用班级 考试日期 江苏大学试题第2A页 江苏大学试题第3A 页 江苏大学试题第页 一、填空题：（每空1分，共18分） 8、 数字频率ω是模拟频率Ω对采样频率s f 的归一化，其值是 连续 （连续还是离散？）。 9、 双边序列z 变换的收敛域形状为 圆环或空集 。 10、 某序列的DFT 表达式为∑-== 10 )()(N n kn M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 N ， 变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 M π 2 。 11、 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2 52) 1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 2,2 1 21-=-=z z ；系统的稳定性为 不稳定 。系统单位冲激响应)(n h 的初值4)0(=h ； 终值)(∞h 不存在 。 12、 如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点的有限长 序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 64+128-1＝191点 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 256 点。 13、 用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射变换 关系为T ω = Ω。用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之 间的映射变换关系为)2tan(2ωT = Ω或)2 arctan(2T Ω=ω。 当线性相位FIR 数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应)(n h 满足的条件为)1()(n N h n h --= ， 微积分试题 (A 卷) 一. 填空题 (每空2分,共20分) 三. 已知,)(lim 1A x f x =+ →则对于0>?ε，总存在δ>0，使得当 时，恒有│?(x )─A│< ε。 四. 已知22 35 lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。 五. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→β β α0 lim x x 。 六. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a x 。 七. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。 八. 设函数y =?(x )在x 0点可导，则=-+→h x f h x f h ) ()3(lim 000 ______________。 九. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。 十. ='?))((dx x f x d 。 十一. 设总收益函数和总成本函数分别为2 224Q Q R -=，52 +=Q C ，则当利润最大 时产量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 十二. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。 (A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a (C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极 限一定不存在 十三. 设1 1 )(-=x arctg x f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 十四. =+-∞→13)1 1(lim x x x （ ）。 (A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D) 3e 十五. 对需求函数5 p e Q -=，需求价格弹性5 p E d - =。当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。 (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10 十六. 假设)(),(0)(lim , 0)(lim 0 x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以 除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。 (A) 若a x g x f x x =→) ()(lim 或∞，则a x g x f x x =''→)() (lim 0或∞ (B) 若a x g x f x x =''→)()(lim 0或∞，则a x g x f x x =→) () (lim 0或∞ (C) 若) ()(lim x g x f x x ''→不存在，则)() (lim 0x g x f x x →不存在 (D) 以上都不对 十七. 曲线2 2 3 )(a bx ax x x f +++=的拐点个数是（ ） 。 (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 十八. 曲线2 ) 2(1 4--= x x y （ ）。 (A) 只有水平渐近线； (B) 只有垂直渐近线； (C) 没有渐近线； (D) 既有水平渐近线， 又有垂直渐近线 十九. 假设)(x f 连续，其导函数图形如右图所示，则)(x f 具有 (A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值 二十. 若?(x )的导函数是2 -x ，则?(x )有一个原函数为 ( ) 。 x 第2章习题解答 2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0V a ρρρρ =， ()0a ρ≤≤。试求总电量Q 。 解：2π20000 2d d d d π3 l a V V Q V z la a ρρ ρρρ?ρ= ==? ? ?? 2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求 其表面上的面电流密度。 解：面电荷密度为 2 04πS Q R ρ= 面电流密度为 002 00 sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθ ρρωθωθ=?== = 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ?=。已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试 求0S J 。 解：每根导线的体电流密度为 00 22 4π(/2)πI I J d d = = 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04πS I J Jd d == 因此，等效面电流密度为 04πS I J e d ?= 2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。为使中间的 点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？ 解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为 12 214πq F x ε= 实验电荷受0q 的排斥力为 022 1 4π()q F d x ε= - 要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由0022 211 4π4π() q q x d x εε=-，可以解得 d d x 585.01 22=+= 如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.01 22=+=。只是这时实验电荷与0q 和02q 不 是排斥力，而是吸引力。 2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。 解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电 场为 ( ) ( 00 2 22 00001114π4π4π221x y y x x y q q q E e e e e a a q e e εεε? =+++ ?+=+ 北京信息科技大学 2010 ~2011 学年第一学期 《数字信号处理》课程期末考试试卷（A） 一、填空题（本题满分30分，共含4道小题，每空2分） 1.两个有限长序列x1(n)，0≤n≤33和x2(n)，0≤n≤36，做线性卷积 后结果的长度是，若对这两个序列做64点圆周卷积，则圆周卷积结果中n= 至为线性卷积结果。 W的、和三个固有特性来实现2.DFT是利用nk N FFT快速运算的。 3.IIR数字滤波器设计指标一般由、、和等 四项组成。 4.FIR数字滤波器有和两种设计方法，其结构 有、和等多种结构。 二、判断题（本题满分16分，共含8道小题，每小题2分，正 确打√，错误打×） 1.相同的Z变换表达式一定对应相同的时间序列。（） 2.Chirp-Z变换的频率采样点数M可以不等于时域采样点数N。（） 3.按频率抽取基2 FFT首先将序列x(n)分成奇数序列和偶数序列。（） 4.冲激响应不变法不适于设计数字带阻滤波器。（） 5.双线性变换法的模拟角频率Ω与数字角频率ω成线性关系。（） 6.巴特沃思滤波器的幅度特性必在一个频带中（通带或阻带）具有等 波纹特性。（ ） 7. 只有FIR 滤波器才能做到线性相位，对于IIR 滤波器做不到线性相 位。（ ） 8. 在只要求相同的幅频特性时，用IIR 滤波器实现其阶数一定低于 FIR 阶数。（ ） 三、 综合题（本题满分18分，每小问6分） 若x (n)= {3，2，1，2，1，2 }，0≤n≤5， 1) 求序列x(n)的6点DFT ，X (k)=？ 2) 若)()]([)(26k X W n g DFT k G k ==，试确定6点序列g(n)=? 3) 若y(n) =x(n)⑨x(n)，求y(n)=？ 四、 IIR 滤波器设计（本题满分20分，每小问5分） 设计一个数字低通滤波器，要求3dB 的截止频率f c =1/π Hz ，抽样频率f s =2 Hz 。 1. 导出归一化的二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数H an (s)。 2. 试用上述指标设计一个二阶巴特沃思模拟低通滤波器，求其系 统函数H a (s)，并画出其零极点图。 3. 用双线性变换法将H a (s)转换为数字系统的系统函数H(z)。 4. 画出此数字滤波器的典范型结构流图。 五、 FIR 滤波器设计（本题满分16分，每小问4分） . 2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 3 1 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设 ()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+ 2.设 2 d 11x k x +∞=+? ，则k = ( ). . (A) 2π (B) 22π (C) (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）. (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立，则（ ） (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（ ）． (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 13(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 1 1(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1. 2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分） 1.设 arctan y z x =，求2,.z z z x y x y ???????， 第1章习题解答 1.4 计算下列标量场u 的梯度u ? ： （1）234u x y z =； （2）u xy yz zx =++； （3）222323u x y z =-+。 解：（1） 34224233234x y z x y z u u u u e e e e xy z e x y z e x y z x y z ????=++=++??? （2）()()()x y z x y z u u u u e e e e y z e x z e y x x y z ????=++=+++++??? （3）646x y z x y z u u u u e e e e x e y e z x y z ????=++=-+??? 1.6 设()22,,1f x y z x y y z =++。试求在点()2,1,3A 处f 的方向导数最大的方向的单位矢量及其方向导 数。方向导数最小值是多少？它在什么方向？ 解： ()2222x y z x y z f f f f e e e e xy e x yz e y x y z ????=++=+++??? 因为410x y z x y z A f f f f e e e e e e x y z ????=++=++??? 所以 ( max 410l x y z f e e e e l ?==++? ( min 410l x y z f e e e e l ?==-++? 1.10 求下列矢量场在给定点的散度值： （1）()x y z A xyz e x e y e z =++ 在()1,3,2M 处； （2）242x y z A e x e xy e z =++ 在()1,1,3M 处； （3）())1222x y z A e x e y e z x y z =++++ 在()1,1,1M 处。 解：（1） 222636y x z M A A A A xyz xyz xyz xyz A x y z ?????=++=++=??=??? （2）42212y x z M A A A A x z A x y z ?????= ++=++??=??? （3）y x z A A A A x y z ?????=++ ??? ( )( )( ) 2222 2222 2222 3 3 3 x y z x x y z y x y z z ++-++-++ -= + + = M A ??=大一微积分期末试卷及答案
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