承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式<包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人<包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料<包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是<从A/B/C/D中选择一项填写）：A
我们的参赛报名号为<如果赛区设置报名号的话）： 20004075
所属学校<请填写完整的全名）：中南大学
参赛队员(打印并签名> ：1.于涛
2. 王庄志
3. 刘绍辉
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名>：张佃中
日期：2009 年 9月 11 日赛区评阅编号<由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页
赛区评阅编号<由赛区组委会评阅前进行编号）：
全国统一编号<由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号<由全国组委会评阅前进行编号）：
关于制动器实验台的控制方法的分析
摘 要
本文从模拟实验的原理入手，利用物理学刚体动力学的有关知识，得到了等效转动惯量、机械惯量以及补偿惯量。而后利用最优控制理论中的变分法，得到最优控制电流函数关系式。考虑到制动器和电动机工作原理的复杂性，提出了分段函数的控制理论，并将连续函数离散化，得到了制动器实验台的基于最优控制的动态优化方法，同时给出了相关评价。针对问题一，根据刚体定轴转动的相关知识，并利用车辆的平动动能与飞轮组及主轴的转动动能等效建立数学模型，求解得到等效的转动惯量为51.9989 2m kg ?。针对问题二，建立“组合—补偿”模型，通过组合求解得到所有飞轮的转动惯量，进而得到机械惯量的七种可能组合值：40.00832kg m ?，70.01662kg m ?，100.02492kg m ?，130.03322kg m ?，160.04152kg m ?，190.04982kg m ?，220.05812kg m ?，再通过能量等效建立数学模型，求解电动机的补偿惯量，得到可行的补偿惯量为：11.99062m kg ?<一个厚度为0.0392 m 的飞轮），-18.01772m kg ?<一个厚度为0.0784 m 的飞轮）。针对问题三，先根据能量等效原理将车轮速度转化为飞轮速度，再利用扭矩与惯量的关系分别建立电动机驱动电流基于转速与扭矩的数学模型。得到在安装一个厚度为0.0392 m 的飞轮的装置中，控制电流为174.6882安培。在安装一个厚度为0.0784 m 飞轮的装置中，控制电流为262.4956安培。从节能的角度看，采用前者比较合理。针对问题四，先对附表中所提供的数据，利用扭矩、转速分别求出不同时刻的角加速度，发现两个序列具有不协调性，由转速求得的角加速度具有阶跃性。针对出现的问题，对数据进行了光滑化和极值剔除的数据预处理。最后将路试和模拟实验过程中得到的每个时间段内制动器消耗的能量进行对比分析，求出相应的能量误差，计算能量误差均值为0.3718J ,方差为2.1170，相对误差为0.33%。并利用问题三的模型计算电动机电流，所得电流相对误差为0.28%。表明模拟实验结果与路试实验十分吻合。针对问题五，利用最优控制理论中的变分法，提出“制动效率”概念，将其定义
为泛函dt t k t k t k t C t
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ωω ++-=?，通过泛函求解得到，角速度最优控制方式为二次函数函数，利用第三问建立的模型，得到电流控制函数
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aT I t A 2(23)(0-+=ω，最后针对不同时间间隔的角速度得到动态优化控制，通过计算机模拟，得到该方法鲁棒性强的结论。由于第五问中研究的制动过程与实际有所偏差，考虑到电动机和制动器的复杂工作原理，将汽车制动过程分为三段：准备阶段，稳定阶段和结束阶段，建立分段函数模型。其中，准备阶段为指数函数模型，稳定阶段为一次函数模型，结束阶段为一次函数模型。并针对每个阶段进行评价。
关键词：最优控制 刚体动力学 组合—补偿 变分法 分段函数模型
问题重述
作为汽车重要部件的制动器装置直接影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试，为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。但由于车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器实验台上对所设计的路试进行模拟实验。 模拟实验的原则是实验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。实验台的装置图如下： 被实验的制动器安装在主轴的一端，当制动器工作时会使主轴减速。实验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速后电动机断电，同时对系统施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。 路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量等效地转化为实验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量在本题中称为等效转动惯量。实验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。对于等效的转动惯量不能精确地用机械惯量模拟实验的一种解决方法是：把机械惯量设定为某些值，然后在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，使电动机产生能量与机械惯量所提供的能量与制动器所产生的能量相抵消，从而满足模拟实验的原则。 一般假设实验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比；且实验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。但由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。 对于电动机的驱动电流的计算机控制方法优劣进行评价的一个重要数量指标是能量误差的大小<通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差），能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。显然，能量误差越小，控制方法越优越。 1.已知车辆单个前轮的滚动半径和制动时承受的载荷，求等效的转动惯量。 已知环形钢制飞轮个数、外直径、内直径、厚度，钢材密度等参数和基础惯量，要求给出可以组成的所有机械惯量。已知电动机能补偿的能量相应的惯量的范围，求出对于问题1中得到的等效的转动惯量需要用电动机补偿的惯量。 3.建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。并根据实例求出驱动电流。 4.附表中的实例给出了测量结果，请对该方法执行的结果进行评价。 按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。 6.对第五问的模型存在的问题，重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评 价。 问题分析 本问题的主旨是对制动器实验台的控制方法进行分析。采用循序渐进的方式解决这一复杂问题不仅是本问题六个问号的要求，也符合解决问题的一般规律。 关于制动器实验台的控制方法实际上存在两方面的分析： <1）对按照匀减速制动进行模拟实验的方案进行分析； <2）对求解的最优控制方案进行分析。 对于第一方面的分析实际上是第四问的要求，可以从实验数据的预处理和能量误差两方面评价附录中提供的结果的合理性和科学性。 对于第二方面的分析，首先要找到模拟实验制动效率最高的制动方案，利用最优控制理论可以求解。对于找寻最优控制的电动机电流，必须找到电动机电流与转速、扭矩的关系。在前三问中，我们解决实际问题的过程中，就需要利用物理刚体动力学和数学建模的方法找到电动机对主轴产生的扭矩、制动器对主轴产生的扭矩、角加速度的方程，建立相关的方程组模型并求解结果。 利用前三问得到的相关结果，结合最优控制理论中的变分法，适当地定义模拟实验控制效率就可以求出电动机控制电流关于时间的最优控制函数。显然，对于不同的初角速度和不同的制动时间，电动机控制电流关于时间的函数会有不同，因此需要建立动态优化模型。需要对这一函数的鲁棒性进行分析，因为我们希望在波动情况存在时，仍然可以大体按照最优控制的路线进行。 问题的难点在于电动机和制动器控制的复杂性，使我们求得的最优控制函数可能失去意义。因此我们需要划分时间段，在每个时间间隔，通过测定初值，使系统在这个时间间隔内尽量按照上面求得的最优控制函数进行控制。所以最优的控制不仅要有函数表达式，而且这一函数表达式在每个时间间隔内都是不同的。可以称为动态的最优控制方法。 基本假设 1.不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差； 2.传动装置之间的摩擦相对很小，可以忽略； 3.制动过程中电动机与主轴完全啮合，故电动机与主轴角速度相同； 4.对于路试，假设制动时车辆按照匀减速行驶。<仅适用于第四题）。 5.对于五六题提出的模型，计算机能够按照提出的方案进行电流控制。 符号说明 1.G ——车辆单个前轮制动时承受的载荷； 2.g —— 重力加速度； 3.ω—— 所考虑的单个前轮的角速度； 4.v —— 车辆平动速度； 5.等效I —— 等效的转动惯量； 6.机械I ——机械惯量； 7.1I ——主轴等不可拆卸机构的基础惯量； 8.i I ——飞轮组<假设共k 个飞轮）中各飞轮的转动惯量，)1,3,2(+??=k i ，； 9.补I ——电动机提供的补偿转动惯量； 10. 1R ——飞轮的内直径； 11.2R ——飞轮的外直径； 12. i z ——飞轮 13. ρ——构成飞轮钢体的密度； 14.1n ——主轴的初始转速 15.2n ——主轴的末转速 16.主β——主轴的角加速度<2/s rad ）； 17.制τ、电τ——制动器、电动机产生的力矩。 基于问题一的能量等效模型 1.1 问题的分析 在模拟实验中，通常实验台仅安装、实验单轮制动器。路试时车辆的指定车轮在制动时承受载荷，该载荷在平动过程中具有平动动能，在忽略车轮自身转动具有的能量的情况下，将该载荷所具有的平动动能转化为实验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的转动动能，与此能量相应的转动惯量即为所要求得的等效的转动惯量。因此我们提出能量等效原理，即车辆平动过程中车轮的平动动能与实验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的转动动能相等。本模型中采用上述的能量等效原理导出等效的转动惯量与已知量之间的关系。 1.2模型建立 1.2.1转动的物理理论 1）转动动能 刚体做一般运动时，由Konig 定理可得出能量之间的关系式为： 212 k c kc E m E =+v 上式中，2m 2 1v 是质心动能，kc E 是刚体在质心系中的动能。对于刚体定轴转动，s m v c /0=。 对定点转动，刚体上任一点的速度由欧拉公式可得： =?v ωr 对于由多个质点组成的质点系的动能可表示为： 2112 N k i i i E m ==∑v 更一般化地： 211()22 k E dm dm ==????v ωr v 对于转轴与转动角速度垂直的情形，刚体的角动量方向与角速度的方向相同<物理学右手法则），因此可得到刚体转动时的转动动能为：22 1)(2121ωωωωI I L E k === 2）刚体定轴转动的动能定理 刚体可视为特殊的质点组。不论刚体作何种运动<平动、定轴转动、定点转动等），都遵从质点组动能定理，而具体到刚体做定轴转动<与本题所研究的飞轮组和主轴的转动一致）时的动能定理为：2022 121ωωθτξI I d -=? 1.2.2模型的建立 为了实现车辆平动时所具有的平动动能与飞轮组与主轴等机构转动时所具有的转动动能的相互转化，需要求出平动动能和转动动能。车辆平动时的平动动能1E 可表示为： 212v g G E = 由线速度与角速度之间的关系： r v ω= 其中r 为车轮滚动半径。 所以有： 22121r g G E ω= 飞轮组和主轴转动过程中所具有的转动动能2E 可表示为： 222 1ω等效I E = 由能量等效可得：
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