南京邮电大学2013-2014
《线性代数与空间解析几何》模拟试题五及参考答案
一、单项选择（每小题2分，共10分）
1.21,220x y z x y z λ+-=++=若两个平面相互垂直，则
必有( )。
1λ=- (C)2λ= (D)2λ=- 2．设A ，B 为任意两个n 阶方阵，则下列等式一定成立的是（ ）
。 (A)AB BA = (B)||||AB BA = (C)11||||A A --= (D)111()AB B A ---=
3.设三阶方阵A 相似于????
?
??-=222B ，I 为三阶单位矩阵，则4A =（ ）
。 (A) 8I （B ）8A （C ）16A （D ）16I 4．设A 为m n ?矩阵，则线性方程组AX b =有解的充分必要条件为（ ）。 (A) ()R A m < (B) ()R A n < (C)(,)()R A b R A = (D)||0A ≠ 5．设A 为n 阶实对称矩阵，则下列中（ ）与另外三个条件不等价。 (A)A 的特征值全为正的 (B)A 有n 个不同的特征值 (C)A 为正定矩阵 (D)A 与单位矩阵合同 二、填空题（每小题2分，共12分） 1.设010001000A ??
?= ?
???
，则满足0n A =的最小正整数n ＝ 。 2.过点(1,0,1)且与直线
11121
x y z --==-垂直的平面方程为 。 3.已知矩阵1112233A a b -??
?=-- ? ?-??
的秩为1，则a = ， b = 。
4.设3阶矩阵A 的特征值为1,1,2,则A 的伴随矩阵的行列式*||A ＝ 。
5.设n 阶正定矩阵A 满足23A A =，则A ＝ 。
6.设A 为3阶正交矩阵，(1,0,1)α=-，则向量A α长度＝ 。 三、计算题(每小题10分，共30分)
1．求向量组：1234(0,4,2),(1,1,0),(2,4,3),(1,1,1)αααα===-=- 的秩和一个最大无关组。
2.问λ为何值时，线性方程组123123123322
x x x x x x x x x λλλλ++=-??
++=-??++=-?有唯一解、无解、无穷多解，并求
有无穷多解时方程组的通解。
3.求矩阵111242335A -??
?=- ? ?--??
的特征值和特征向量，并问A 是否可相似对角化。
四、计算题(每小题8分，共24分)
1.设||||1,||||2,a b ==23,,u a b v a b =+=- 且向量,a b 的夹角
,3
π
θ=
求以向量,u v 为邻边的平行四边形面积S 。
2.求过点(0,2,1)M -且与直线2370
42390x y z x y z -+-=??-++=?
平行的直线方程。
3.求正交变换x Py =将二次型22212312
323(,,)2334f x x x x x x x x =+++化为标准型的 矩阵P ，并写出相应的标准型。
五、证明题(每小题8分，共24分)
1．设I 为n 阶单位矩阵，A 为n 阶正交矩阵满足: ||1A =-， 证明：||0I A +=。
2.设α是非齐次线性方程组AX b =的一个解，12,,,s βββ是对应齐次线性方程 组0AX =的一个基础解系，证明：向量组12,,,s αβαβαβ+++线性无关。
3.设m 是正整数，I 为n 阶单位矩阵，n 阶矩阵A 满足:0m A =，证明： (1)A 的特征值全为0；(2)对任意实数k ，矩阵I kA +为可逆。
南邮2013-2014《线性代数与空间解析几何》
模拟试题五参考答案与评分标准
一、单项选择（每小题2分，共10分）
1.A
2.B
3.D
4.C
5.B 二、填空题（每小题2分，共12分）
1. 3,
2.22x y z -+=,
3. 2,3a b ==-,
4. 4,
5. 3I
, 6.
三、计算题（每小题10分，共30分）
1.解 1234012120312031(,,,)414141410121203101210000T T T T
A αααα--??????
? ? ?==→→→-- ? ? ?
? ? ?--??????
，4分
向量组秩为2，8分 一个最大无关组 12,αα10分(任意两个都是最大无关组，写成矩
阵不得分)
2.解 211
11(1)(2)11λλλλλ
=-+，
4分
12,5λλ≠≠-当且时方程组有唯一解分
2λ=-当时，方程组无解
7分(结论1分，过程1分) 1λ=当时，方程组有无穷多解,
8分 通解12211010001x k k ---??????
? ? ?=++ ? ? ? ? ? ???????
10分
3.解 21
10
||2
42(2)(6)3
32
I A λλλλλλλ--=---=---，特征值为1232,6λλλ===4分
121
1111111112,2222000,10(,0)33300001I A k k k k λξ---????????
? ? ? ?=-=--→=+ ? ? ? ? ? ? ? ?-????????
当时特征向量不全为，6分
5111116,6222032,2(0)3310003I A k k λξ--1-??????
? ? ?=-=-→=-≠ ? ? ?
? ? ???????
当时特征向量，8分 A A 有三个不同的特征值，因此可与对角矩阵相似。10分 四、计算题（每小题8分，共24分）
1.解
5=?=?=||||2分
5分
8分
S u v a b 。
2.解 231(7,2,8)423
i j k
n =-=---,
5分(2+3) 所求的平面方程
728120x y z +-+=。
8分
3.解 二次型对应的矩阵200032023A ??
?= ?
???
2分 A 的特征值为1231,2,5λλλ===，
4分 1210101,0,1101ααα??????
? ? ?=-== ? ? ? ? ? ???????
6分
1001/01/P ?? =- ?7分
故二次型的标准型222
123
25y y y ++。8分
五、证明题（每小题8分，共24分）
1.证：T A AA 2I
=由于为正交矩阵,则分 4
||||||||||,6T
T I A AA A A A I I A +=+=+=-+由于分||8I A +得到:=0,分
2.
证
：
若
1122()()(s s k k k αβαβαβ++++++=
，
即
121
12()02
s s
s k k k k k k α
βββ+++
++
+=
分 则
左
乘
A
得
：
121()()s s k k k k b k k k k A b α+++=+++=≠因为，得120
s k k k ++
=5分
从而 11220s s k k k βββ+++=，因为12,,,s βββ为基础解系，则12,,,s βββ线性无
关， 得120s k k k ==
==, 7分 所以向量组12,,,s αβαβαβ+++线性无关
8分
3. 证：(1)设λ是A 的一个特征值，对应的特征向量为α，即,0A αλαα=≠，
2分 则 0,m m A αλα== 由0α≠得到0λ=。
4分 (2)(证法1)当0k =时，I kA I +=为可逆矩阵。
5分 当0k ≠时，设μ是I kA +的一个特征值，对应的特征向量为β，即(),0I k A βμββ+=≠，则
1
1,0,0m
m A A k k μμβββββ--??
===≠ ???
，得到1μ=，
6分 1||10n I kA μμ+==≠，7分 所以矩阵I kA +为可逆。
8分
(证法2)(反证法)如果I kA +不可逆，则||0I kA +=，从而0k ≠。
5分 故此 110||||||()|0n I kA k I A I A k k =+=+?--=，于是A 的特征值1
0k
λ=-≠与(1)矛
盾，
7分 所以矩阵I kA +为可逆。
8分 (证法3)(反证法)如果I kA +不可逆，则||0I kA +=，从而0k ≠。
5分
故此 方程组()0I kA X +=有非零解X ，即1
,0AX X X k
=-
≠，则 1
0()0m m A X X X k
==-?=与0X ≠矛盾
7分
所以矩阵I kA +为可逆。
8分