2020年北京市中考数学模拟试题含答案
一、选择题(本题共30分，每小题3分)
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 在建的北京新国际机场预计2025年旅客吞吐量将达到72 000 000人次.将72 000 000用科学记数法表示应为
A. 67.210?
B. 67210?
C. 77.210?
D. 80.7210? 2.实数a , b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
A . a >0 B. a > b C. a b > D. a > -b 3．长城是我国古代劳动人民创造的伟大奇迹，是中国悠久历史的见证，是中华民族的象征，被列为世界文化遗产.下列以长城为背景的标志设计中，不是轴对称图形的是
A. B. C. D.
4．如图，以下给出的几何体中，其主视图是矩形且俯视图是圆形的是
A. B. C. D.
5.六边形的内角和是 A.1080°
B.900°
C.720°
D.540°
6．如图是我们常用的一副三角板.用一副三角板可以拼出的角度是 A ．70° B ．135° C ．140° D ．55°
7. 如果二次根式
2-x 有意义，那么x 的取值范围是
A ．2>x
B ．x ≥2
C ．2≠x
D ．x ≤2
8．本学期，大兴区开展了“恰同学少年，品诗词美韵”中华传统诗词大赛活动. 小江统计了班级30名同学四月份的诗词背诵数量，具体数据如下表所示： 诗词数量（首）
4 5 6 7 8 9 10 11 人数
3
4
4
5
7
5
1
1
那么这30名同学四月份诗词背诵数量的众数和中位数分别是
A ．11，7
B ．7，5
C ．8，8
D ． 8，7 9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点A （1，0），O （0，0），B （0，1）作圆.若点C 在劣弧?OB
上，则∠BCO 的度数为 A ．125° B ．150° C ．105° D ．135°
10．已知，菱形ABCD 中，AD =1，记∠ABC 为∠α（αO O <<090），菱形的面积记作S ，菱形的周长记作C ．则下列说法中，不正确的是
A ．菱形的周长C 与∠α 的大小无关
B ．菱形的面积S 是α的函数
C ．当α∠=45°时，菱形的面积是
1
2
D ．菱形的面积S 随α的增大而增大 二、填空题(本题共18分，每小题3分)
11.请你写出一个函数，使它的图象经过点A (1 ,2),这个函数的表达式可以是 ．
12．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为 .
13．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连结CO .如果CO =2cm ，∠COE =60°，那么劣弧?CD
的长是 cm ． 14. 如图，△ABC 中，点D 在BA 的延长线上，DE ∥BC ，如果∠BAC=65°，∠C =30°，那么∠BDE 的度数是 ．
15. 明朝的数学家程大位在《算法统宗》中有一道古诗趣题：甲赶群羊逐草茂，乙拽只羊随其后，戏问甲及一百否？甲云所曰无差谬；若得这般一群羊，再添半群小半群，得你一只来
方凑，玄机妙算谁猜透？其大意是：甲赶一群羊去放，乙也牵着一只羊跟在甲的后面.乙问甲：“你的这群羊有没有一百只呢？”甲说：“我再得这样的一群羊，再得这群羊的一半，还得这群羊的四分之一，最后凑上你的这只羊，正好是一百只.”问甲原有多少只羊？设甲原有x只羊，根据题意，可列方程为．
16．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：△ABC，
尺规作图：求作∠APC=∠ABC.甲、乙两位同学的主要作法如下：
老师说：“两位同学的作法都是正确的．”
请你选择一位同学的作法，并说明这位同学作图的依据．
我选择的是 的作法，这样作图的依据是 ． 三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分， 第29题8分）
17.
计算：201711
(1)12sin60()2
--+-?+.
18. 解不等式组： 532311
13
2x x x x -+??
?-
19. 先化简，再求值：22122
11x x x x x x
+---÷--，其中x = -2.
20. 如图，□ABCD 中，E 是AB 的中点，连结CE 并延长交DA 的延长线于点F .求证：AF =AD .
21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx -3与双曲线4
y x
=
的两个交点为A ,B ， 其中A （-1，m ）．
（1）求m 的值及直线的表达式；
（2）若点M 为x 轴上一个动点，且△AMB 为直角三角形，直接写
出满足条件的点M 的个数.
22．已知关于x 的一元二次方程220++-=x mx m （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）请你写出一个m 的整数值，并求此时方程的根.
23.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作
DE⊥BD交BC的延长线于点E.
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若BD=4, AC=3，求cos∠CDE的值.
24.阅读下列材料：
随着我国经济的高速发展，人民群众对食品的消费正由“量”的需求升级为对“质”的追求，食品安全是人民群众最关注的问题. 习近平总书记针对食品安全工作提出的战略指引是“最严谨的标准、最严格的监管、最严厉的处罚、最严肃的问责”，在政府大力推进食品安全工作的总基调下，为了解北京市食品安全现状、居民满意度评价及诉求，2017年4
月，北京调查总队对1000位本市居民开展了食品安全状况满意度调查，食品安全状况满意度是指被访者选择“满意”、“比较满意”和“基本满意”三项百分比之和.下图是北京市统计局官网上公布的近三年北京市食品安全状况满意度情况的有关数据.
2015-2017年北京市食品安全状况满意度情况（单位：%）
根据以上信息，回答下列问题：
(1)2016年食品安全状况满意度是 %，较2015年增长 %；
(2)调查结果显示，2017年我市食品安全状况满意度与上年同期基本持平，受访者中有中有人对食品安全状况基本满意；
(3)预估2018 年我市食品安全状况满意度中选择“满意”的被访者百分比为，预估理由是 .
25.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F.
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC=3AE，写出求tan C的思路.
26.有这样一个问题：探究方程023
=--x x 的实数根的个数.
小芳想起了曾经解决的一个问题：通过函数图象探究方程的实数根的个数，她想到了如下的几个方法：
方法1：方程的根可以看作是抛物线与直线（即x 轴）交点的横坐标;这两个图象的交点个数即是方程的实数根的个数.
方法2：将方程变形成 ，那么方程的根也可以看作是抛物线与直线+1交点的横坐标；这两个图象的交点个数即是方程的实数根的个数.
方法3：由于x ≠0,将方程变形成+3 =，那么方程的根也可以看作是直线+3与双曲线交点的横坐标；这两个图象的交点个数即是方程的实数根的个数.
她类比上述方法，借助函数图象的交点个数对方程023
=--x x 的实数根的个数进行了探究.
下面是小芳的探究过程，请补充完成：
(1) x =0 方程023
=--x x 的根；(填”是”或”不是”)
(2) 方程023
=--x x 的根可以看作是函数 与函数 的
图象交点的横坐标;
(3) 在同一坐标系中画出两个函数的图象;
27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = x2– 2mx + m2– 1与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；
（2）求线段AB的长；
（3）抛物线与y轴交于点C（点C不与原点O重合），若△OAC的面积始终小于△ABC的面
积，求m的取值范围
28. 已知，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=3，在BC边上取两点E，F（点E在点F 左侧），以EF为边作等边三角形DEF，使顶点D与E在边AC异侧，DE，DF分别交AC于点G，H，连结AD.
（1）如图1，求证：DE⊥AC；
（2）如图2，若∠DAC=30°，△DEF的边EF在线段BC上移动.写出DH与BE的数量关系并证明；
（3）若30°<∠DAC <60°，△DEF的周长为m，则m的取值范围是 .
29．在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN的“三等分变换”，给出如下定义：如图1，点P，Q为线段MN的三等分点，即MP=PQ=QN,将线段PM以点P为旋转中心顺时针旋转90°得到PM’，将线段QN以点Q为旋转中心顺时针旋转90°得到QN’,则称线段MN进行了三等分变换，其中M’，N’记为点M，N三等分变换后的对应点.
例如：如图2，线段MN,点M的坐标为（1，5），点N的坐标为（1，2），则点P的坐标为（1，4），点Q的坐标为（1，3）,那么线段MN三等分变换后，可得：M’的坐标为（2，4），点N’的坐标为（0，3）.
（1）若点P的坐标为（2，0），点Q的坐标为（4，0），直接写出点M’与点N’的坐标；
（2）若点Q的坐标是（0， -
2
2
），点P在x轴正半轴上，点N’在第二象限.当线段PQ
的长度为符合条件的最小整数时，求OP的长；
（3）若点Q的坐标为（0，0），点M’的坐标为（-3，-3），直接写出点P与点N的坐标；
（4）点P是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个定点，点P的坐标为31
2
）当
点N’在圆O内部或圆上时，求线段PQ的取值范围及PQ取最大值时点M’的坐标.
数学答案及评分参考
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27、28题，每小题7分，第29题8分） 17. 解：
原式=1122-+
-+） =112-+-） …………………………4分 …………………………5分
18. 解：
532311132x x x x -+??
?-
解不等式①，得3≥x ． …………………………………2分 解不等式②，得6>-x ． ………………………………4分 ∴不等式组的解集为3≥x ．………………………………5分
19.解： 22122
11x x x x x x
+---÷-- 2212112
x x x x x x +-=-?--- 22221111(1)(1)11(1)(1)(1)1(1)(1)11
x x x x x x x x x x x x x x x x x x +=-
--+=-
-+-+-+=
-+-=
-+=-
+
把2x =-代入，原式的值为1. 20.
证明：∵四边形∴AD ∥BC
∴∠BAF =∠B,∠F =∠FCB. ∵E 是AB 的中点 ∴AE =BE
∴△AFE ≌△BCE ……………………2分 ∴AF =BC …………………………………3分
………………………………3分
………………………………4分
………………………5分
∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AD =BC ………………………………………4分 ∴AF =AD . ………………………………………5分 21.
解：（1）把A （-1，m ）代入4
=
y
x
得 ∴m = - 4……………………………………………1分 把A （-1，-4）代入y =kx -3 ∴-4=-k -3 ∴k=1
∴y =x -3 ………………………………………3分 （2）满足条件的点M 有4个. ……………………5分 22．
（1）证明： 2
4(2)?=--m m ……………………1分 248=-+m m
2(2)4=-+m ………………………2分
∵2
(2)0-≥m ∴2(2)40-+>m
即0?>……………………………3分 ∴方程总有两个不相等的实数根
（2）答案不唯一 如：m=2时，
原方程为220+=x x ……………………………4分 解得：120,2==-x x …………………………5分 23. （1）证明：∵四边形ABCD 是菱形
∴AD ∥BC ，∠BOC =90°. ……………1分 ∵DE ⊥BD ∴∠BDE =90° ∴∠BDE =∠BOC ∴AC ∥DE
∴四边形ACED 是平行四边形. ………2分
(2) 解：∵ 四边形ACED 是平行四边形
∴AD =CE ∵AD =BC
∴BC =CE ………………………………………3分 ∵∠BDE =90° ∴DC =CE ∴∠CDE =∠E
cos ∠CDE = cos E ………………………………4分 ∵BD =4,AC =3，∠BDE =90° ∴BE =5 ∴cos E =
3
5
DE BE = ∴cos ∠CDE = cos E 3
5
=
…………………………5分 24. 解：（1）87.0，8.3………………………………2分 （2）375 ……………………………………3分
（3）理由合理，能支撑预估数据即可. ……5分
25. （1）证明：联结OD 和AD
∵AB 为直径
∴∠ADB =90o ………………………………………1分 ∵AB =AC ∴BD =DC ∵O B =O A
∴OD ∥AC …………………………………………2分 ∵DF ⊥AC 于点F ∴∠ODF =∠DFC =90o
∴DF 是⊙O 的切线. ……………………………3分
(2)思路：①由AC =3AE 可设AC =3x ,AE=x ，则AB =AC =3x ，EC=4x ； ②连结BE ，由AB 是直径可知∠AEB =90°，则BE =22x ； …4分 ③在Rt △BEC 中，由tanC=
BE
EC
可求得tanC 的值. …………5分 26.解： （1）不是………………………………………………………………1分 （2）答案不唯一，如：2
1y x =-，2
y x
=
…3分 （3）答案不唯一，根据（2）的结果正确作图………………………4分
（4）1…………………………………………………………………5分
27．解：（1）y = x2– 2mx + m2– 1 = （x–m）2– 1 ，
∴顶点为（m，-1）………………………………………………1分（2）令y = 0
∴x2– 2mx + m2– 1 = 0
解得x1 = m– 1 ，x2 = m + 1 ……………………………………2分
∵点 A在点B的左侧
∴A（m– 1，0），B（m + 1，0）
∴AB = （m + 1）– ( m– 1 ) = 2…………………………………3分（3）∵△OAC与△ABC等高
△OAC的面积小于△ABC的面积
∴OA < AB…………………………………………4分
①当点A在x轴的正半轴上时
m– 1 < 2
m < 3……………………………………………………5分
②当点A在x轴的负半轴上时
1 –m < 2
m > – 1…………………………………………………6分
又∵点C不与原点O重合
∴m 2– 1≠ 0，m≠±1
∴– 1< m <3且 m≠1…………………………………7分
28.解: （1）如图，在Rt ABC △中 ∵∠B=90°，33AB BC ==，
∴tan ∠C=
∴∠C=30° …………………1分 ∵△DEF 是等边三角形 ∴∠DEF =60° ∴∠EGC =90°
∴DE ⊥AC …………………………………………………………2分 (2) DH 与BE 的数量关系是：DH -BE =1…………………………………3分 ∵△DEF 是等边三角形 ∴∠DFE =∠DEF =60°
∵∠DFE =∠C +∠CHF ，∠C =30° ∴∠CHF =30° ∴∠DHA =30° ∵∠DAC =30° ∴∠DHA =∠DAC
∴DA =DH …………………………………………………………………4分 过点E 作EN ⊥AD 于N ，则∠ANE =90° ∵∠DAC =∠C =30° ∴AD ‖BC ∴∠BEN =90° 又∵∠B =90° ∴四边形ABEN 是矩形 ∴AN=BE ，AB=EN= ∵AD ‖BC
∴∠DEF =∠NDE=60° ∴tan ∠NDE== ∴ND=1
∵AD -AN =ND ，DA =DH ，AN=BE
N
H G
D
A
∴DH -BE =1……………………………………………………………5分 (3) m 的取值范围是：6 29．解：（1）M ’（ 2 ，2 ），N ’（ 4 ，-2 ）……………………2分 （2）①当PQ =1时，OQ = 2 2 在RT △OPQ 中 2 22 2 21 1211222OP PQ OQ ??= -= -= - == ? ??? ∴OP= OQ ∴∠OQP=∠OPQ=45° ∵∠PQN ’=90°PQ=Q N ’ ∴点N’在x 轴负半轴上,不在第二象限 ∴PQ =1不符合题意. …………………………………………………3分 ②当PQ =2时 2 2 2 2 21 71424222OP PQ OQ ?? = -= -= - == ? ??? 此时，点N’在第二象限符合题意…………………………………4分 （3）P （0 ，-3 ），N （ 0 ， 3 ）………………………………………6分 （4）过点P 作PA ⊥x 轴于点A 在RT △OAP 中， 由勾股定理 2 2 22 31122OP OA AP ????=+=+= ? ? ????? 在△PQN ’ 中，∠PQN ’=90°PQ=Q N ’ 点N ’在⊙O 内部或在⊙O 上运动 ∴PN ’>0
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