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1.4.1曲边梯形面积与定积分

1.4.1曲边梯形的面积与定积分

学习目标：

1.理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法；

2.借助于几何直观定积分的基本思想，理解定积分的概念；

3. 理解掌握定积分的几何意义. 学习难点重点：

定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义自主学习：

一、知识再现：导数的概念及应用二、新课探究：

提出问题

如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线

()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和

曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？

例题分析：

求图中阴影部分是由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S.

（1）．分割

在区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间：

10,

n ??????，12,n n ??????，…，1,1n n -??

????

记第i 个区间为 1,(1,2,,)i i i n n n -??

=????

，其长度为11i i x n n n -?=-= 分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他

们的面积分别记作：

1S ?，2S ?，…，n S ? 显然，1

i S S ==

?∑

（2）近似代替

记()2

f x x =，如图所示，当n 很大，即x ?很小时，在区间1,i i n n -??

???

上，可以认为函数()2

f x x =的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n -处的函数值1i f n -??

???，从图形上看，就是用平行于x 轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）

．这样，在区间

1,i i n n -??

????

上，用小矩形的面积i S '?近似的代替i S ?，即在局部范围内“以直代取”，则有 211i i i i S S f x x n n --????'?≈?=?=? ? ????? 2

(1,2,,)i i n n n

-??== ??? ①

（3）求和

由①，上图中阴影部分的面积n S 为

111111

n i i i i i i S S f x n n n

===--????'?=?=?= ? ?????∑∑∑

=22

111110n n n n n n -????+++ ? ????? =()22231121n n

??+++-?? =()()312116n n n n --=1111132n n ????-- ???????

从而得到S 的近似值 1111132n S S n n ????

≈=-- ???????

（4）取极限

分别将区间[]0,1等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当n 趋向于无穷大时，即x ?趋向于0时，1111132n S n n ????

-- ???????

趋向于S ，从而有 1

1111lim lim lim 11323n

n n n n i i S S f n n n n →∞→∞→∞=-??????===--= ? ?????????∑ 归纳总结：

求曲边梯形面积的四个步骤:

第一步：分割．在区间[],a b 中任意插入1n -各分点，将它们等分成n 个小区间

[]1,i i x x -()1,2,,i n = ，区间[]1,i i x x -的长度1i i i x x x -?=-，

第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．

第三步：求和．

第四步：取极限。

定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点

0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=

将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a

x n

-?=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式：1

()()n

n i i i i b a

S f x f n ξξ==-=

?=∑∑

如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b

a S f x dx =? ，其中()f x 成为被积函数，x 叫做积

分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

定积分的几何意义

如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()b

f x dx ?

表示由直线,x a x b

==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。

说明：一般情况下，定积分()b

f x dx ?

的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线

,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．

三、例题解析：

例．求20,0,22≤≤=-=x y x x y 围成图形面积

解：1．分割

在区间[]0,2上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,2等分成n 个小区间： 20,n ??

????

，

24,n n ??

????，…，()21,1n n -??????

记第i 个区间为()212,(1,2,,)i i i n n

n -??

??? ，其长度为 ()2122

i i x n n n

-?=

-= 分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作： 1S ?，2S ?，…，n S ?

显然，1

i S S ==

?∑

（2）近似代替

∵2

2y x x =-，当n 很大，即x ?很小时，在区间()212,(1,2,,)i i i n n

n -??

??? 上，可以认为函数22y x x =-的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点

()

21i n

-处的函数值()()2

21212i i n n --????- ? ?????，这样，在区间()212,i i n

n -??

???上，用小矩形的面积i S '?近似的代替i S ?，即在局部范围内“以直代取”，则有

()()221212i i i i S S x n n ??--????'???≈?=-? ? ????????? ()()2212122i i n n n ??--??????=- ? ?????????

①

（3）求和

由①，上图中阴影部分的面积n S 为

()()21121212

n i i i i i S S n n n ==??--????'???=?=- ? ?????????

∑∑

11241n

i i i n n n =--??- ???∑ =()()2

31811n i n i i n =??---??∑ =()()()

222

23880121121n n n n

++++--+++-????

=()()()2311218826

n n n n n n n ---- 从而得到S 的近似值 ()()()2311218826

n n n n n n S S n n ---≈=- （4）取极限

()()()2311121884

lim lim 263

n n n i n n n n n S S n n →∞→∞=---??==-=????∑ 课堂巩固：

设S 表示由曲线x y =，x =1，以及x 轴所围成平面图形的面积，求S,并用定积分表示.

归纳反思：

合作探究：

1.计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积

2..计算

3dx x 的值

1.5.1 曲边梯形的面积(优秀教案)

1.5.1 曲边梯形的面积一、教学目标 1、知识与技能目标：（1）通过问题情景，经历求曲边梯形面积的过程，初步了解、感受定积分概念的实际背景。（2）理解求曲边梯形面积的“四步曲”——分割、近似代替、求和、取极限。 2、过程与方法目标：（1）通过问题的探究体会“以直代曲、无限逼近”的思想。（2）通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感、态度与价值观目标：在探究中进一步感受极限的思想，体会直与曲虽然是对立矛盾的，但它们可以相互转化，体现对立统一的辩证关系，在问题解决中体验成功的愉悦，感受数学的魅力。二、学情分析本节课的教学对象是民语班的学生。学生在本节课之前已经具备的认知基础有：一是学生已学习过如何通过割补的方法计算不规则直边图形的面积；学生在必修3的阅读与思考内容中对刘徽的“割圆术”求圆面积的方法已经有所了解。二是学生虽然未学习过极限的有关知识，但通过导数的学习，对极限有了初步的认识。学生在本节课学习中将会面临的难点：一是部分学生汉语程度相对较为薄弱，一些数学名词难以准确理解，因此需要借助民语教材对部分名词做民语标注，帮助学生准确掌握和学习；此外，学生的汉语表达能力较差，需要即时引导学生进行准确表述和学习。二是本节课的学习过程中如何“以直代曲”，即学生如何将割圆术中“以直代曲，无限逼近”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上．具体说来就是：如何选择适当的直边图形（矩形、三角形或梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算。三、重点难点教学重点：探究求曲边梯形面积的方法。教学难点：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法。四、教学过程一、问题情境—生活中的数学原型【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？图片一：

曲边梯形的面积教案

1.5.1曲边梯形的面积教案一、学习目标 1.通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤—分割、近似代替、求和、求极限； 2通过求曲边梯形的面积、变速运动中的路程，初步了解定积分产生的背景．二、重点、难点重点：求曲边梯形的面积；难点：深入理解“分割、近似代替、求和、求极限”的思想．三、知识链接 1、直边图形的面积公式：三角形，矩形，梯形； 2、匀速直线运动的时间（t）、速度（v）与路程（S）的关系．四、学法指导探求、讨论、体会以直代曲数学思想．五、自主探究 1、概念：如图，由直线x=a , x= b , x轴，曲线y=f (x)所围成的图形称为． 2、思考：如何求上述图形的面积？它与直边图形的主要区别是什么？能否将求这个图形的面积转化为求直边图形的面积问题？例１、求由抛物线y=x2与x轴及x=1所围成的平面图形的面积S．分析：我们发现曲边图形与“直边图形”的主要区别是，曲边图形有一边是线段，而“直边图形”的所有边都是线段。我们可以采用“以直代曲，逼近”的思想得到解决问题的思路：将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”面积的问题．解：（1）分割把区间[0，1]等分成n个小区间：过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作（2）以直代曲（3）作和（4）逼近分割以曲代直作和逼近当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示小曲边梯形的面积表示了曲边梯形面积的近似值。变式拓展：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积．反思: 例2：一辆汽车在笔直的公路上变速行使,设汽车在时刻的速度为(单位，求它在(单位：)这段时间内行使的路程(单位:)．

(完整版)曲边梯形的面积与定积分习题

高中数学专题训练——曲边梯形的面积与定积分 [例1]（1）已知和式1 123(0)p p p p P n p n +++++>L 当n →+∞时，无限趋近于一个常数A ，则A 可用定积分表示为（） A ． dx x ?1 01 B ．dx x p ? 1 C ．dx x p ?1 0)1( D ．dx n x p ?1 0)( （2）下列定积分为1是（） A ． dx x ? 1 B ． dx x ? +1 )1( C ． dx ?1 1 D ． dx ?1 021 （3）求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（） A ．［0，2e ］ B ．［0，2］ C ．［1，2］ D ．［0，1］（4）由y=cosx 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为．（5）计算 ? = 。 [例2]①利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正是负？（1） 3π40 sin d x x ? ；（2）0 1 e d x x -?；（3）1213 ln d x x ?． ②利用定积分的几何意义，比较下列定积分的大小． 10 d x x ? ， 120 d x x ? ， 130 d x x ? 。 [例3]计算下列定积分： 121 (1)(1)d 3 x x -+?； 4 1 (2) (3)d x x -+? ； 20 (3)cos d x x π?； 2 32 (4)d x x -?。 1．下列定积分值为1的是（） A ． 1 tdt ? B 。 1 (1)x dx +? C 。1 dx ? D 。1 012dx ? 2． 1 321 (tan sin )x x x x dx -++? = （） A ．0 B 1 320 2(tan sin )x x x x dx ++? C ．0 32 12(tan sin )x x x x dx -++? D 。1 320 2|tan sin |x x x x dx ++? 3．设连续函数f (x )＞0，则当a ＜b 时，定积分 ()d b a f x x ? 的符号（） A ．一定是正的 B ．当0

曲边梯形的面积

§ 1.5.1曲边梯形的面积(二) 一.学习目标： 1?掌握用“分割、以直代曲、作和、逼近”四步求“变速直线运动的位移”、“变力做功”的方法； 2?进一步体会“以直代曲”、“逼近”的思想。二.重点、难点：会求“变速直线运动的位移”、“变力做功”；进一步体会以“有限和”来推导“无限和” 三.知识链接 2 2 2 2 1 1.122232n2— n(n 1)(2 n 1) 6 2?如何求曲边梯形的面积？四.学习过程 (一)自主学习，合作探究阅读课本第41至44页，完成以下问题 1?若已知物体的运动路程s与时间t的函数关系：s= f(t)，如何求物体在某时刻t o的瞬时度? 2?汽车以速度v作匀速直线运动，经过时间t所行驶的路程为多少？如果汽车作变速直线动, 那么在相同时间内所行驶的路程相等吗？ 3?若已知物体的运动速度v与时间t的函数关系：v= f(t)，那么f (t0)的含义是什么？如何求变速直线运动的物体在某时段内经过的路程呢？例如：已知一物体做变速直线运动，其瞬时速度为v(t) 2t (单位：m/s )，则该物体在出发后从t 1(s)到t 5(s)这4秒内所经过的位移是多少？(分解过程如下) 。分割把时间段1,5分成n等分，则n个区间分别为____________________________________________ 每个时间段即区间长度为________; ◎在时间的小区间段内，以匀速代变速，在每一小时间段内，经过的位移

Si _______________________ ◎作和 4.由直线t = 1 ,t = 5, v= 0和曲线v= 2t围成一个曲边梯形，那么这个曲边梯形面积有什么物理意义？每个小矩形的面积有什么物理意义？ 5?分割越____ ，位移的近似值就越 _____ 。当分割无限变细时，这个近似值就无限 _________ 所求变速直线运动的位移S。（二）新知应用，技能培养例1?已知汽车作变速直线运动，在时刻t（单位：h）的速度为v（t）= —t2+ 2 （单位： km/h），那么汽车在O w t< 1 （单位：h）时段内行驶的路程是多少？例2?弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即F(x) kx(k为常数，x为伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b所做的功。结合例1、例2即课本第45页例题，反思：求曲边梯形的面积、变速直线运动的位移、变力做功的方法有何区别？本质一样吗？

课题：求曲边梯形的面积

课题：求曲边梯形的面积授课班级：高二（12）班主讲老师：曹祖志授课时间：2012年5月23日（星期三第6节）地点：史地室一．教学目标 1．知识与技能：了解求简单曲边梯形（x 轴上方）的面积的一般求法（即“分割以直代曲作和逼近”），在“以直代曲”方案比较中建构出定积分的概念，初步理解定积分的几何意义，能利用定积分的几何意义求曲边梯形的面积． 2．过程与方法：在解决问题（求曲边梯形）的过程中，体会“以直代曲”的方法和极限的思想；在方案比较中建构数学知识；初步体会数学的思维过程，学会猜想、比较、验证． 3．情感态度与价值观：培养学生主动探求知识、合作交流的意识，培养借助信息技术探究数学问题的意识，感受数学思维的全过程，改善数学学习信念．能够让90%的学生会用“以直代曲”方法求简单曲边梯形的面积。二．教学重点 “以直代曲”求曲边梯形的面积步骤。三．教学难点分割方法及极限思想。四．教学过程１．情境创设已知“嫦娥一号”升空做直线运动，设经过t s 后的运动速度为)(t v （单位：m/s ），若()v t 的图象分别如图（1）（2）（3）中曲线所示，试求a t b ≤≤内物体运动的总路程．由物理学知识可知，S 即对应曲线下方的“曲边梯形”的面积．因此，问题即转化为如何求曲边梯形的面积，如果说图（2）中“曲边梯形”面积可分解为三个梯形的面积，那么图（3）中“曲边梯形”面积又该如何求呢？２．操作探究为了便于研究问题，我们不妨将问题简化，求直线0,1,0x x y ===和曲线2y x =所围成的图形（曲边三角形）的面积S ．活动① 方案提出通过计算机演示，启发学生将曲边梯形细分为若干小曲边梯形，并能提出以矩形面积近似替代曲边梯形面积，初步形成“分割?以直代曲?作和?逼近”的问题解决方案，在具体“以直代曲”过程中能通过小组讨论的形式提出多种方案．

《曲边梯形的面积定积分》练习题.doc

《曲边梯形的面积定积分》练习题一、选择题 1p 2 p 3 p ....... n p 0) 表示成定积分（ 1．将和式的极限lim n P 1 ( p ）n 1 1 1 p 1 1 p 1 x p A ．dx B ．x dx C．( ) dx D．( ) dx 0 x 0 0 x 0 n 2．下列等于 1 的积分是（） 1 xdx 1 1 A ． B ．( x 1)dx C．1dx 0 0 0 3．曲线y cos x, x 3 ] 与坐标周围成的面积（） [ 0, 2 5 D． 1 1 dx 0 2 A ．4 B ． 2 C． 2 1 e x )dx =（ 4．(e x ） A ．e 1 B ． 2e 2 e C． e 5．若 f (x) 是 [ a, a ] 上的连续偶函数，则a f ( x)dx （ a D． 3 D．e ） 1 e f (x)dx B ． 0 C． 2 0 A ． f ( x)dx a a 1 tan x x 2 sin x)dx =（ 6．( x3 ） 1 A ．0 1 ( x3 tan x B.. 2 C．2 0 tan x x2 sin x) dx 1 | x3 tan x ( x3 D.. 2 1 0 6 6 a D．0 f ( x)dx x2 sin x)dx x2 sin x | dx 7、已知 f(x)为偶函数且f(x)dx＝ 8，则f(x)dx 等于 ( ) 0 6 A ．0 B ． 4 C． 8 D． 16 b 8．设连续函数 f(x)>0, 则当 a

曲边梯形面积与定积分(二)教案

1.4.1 曲边梯形面积与定积分【学习要求】 1．了解定积分的概念，会用定义求定积分. 2.理解定积分的几何意义. 3.掌握定积分的基本性质．【学法指导】通过求曲边梯形的面积、变力做功这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义. 1．定积分：设函数y ＝f(x)定义在区间[a ，b]上，用分点a ＝x 0

曲边梯形的面积(赵秋明)

曲边梯形的面积一、教学内容解析本节课是人教A版选修2-2第一章第五节《定积分》的第一课，能够了解曲边梯形及其面积的含义；了解求曲边梯形面积的“分割、近似代替、求和、取极限”的基本过程。从而知道曲边梯形的面积是定积分概念的几何背景，求曲边梯形面积的过程蕴含着定积分的基本思想方法，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．让学生认识到定积分是微积分的核心概念，有极其丰富的实际背景和广泛的应用．二.学生学情分析：本节课的教学对象是普同中学的学生，学生的比数学基础较差，理解能力、运算能力和学习交流能力较弱．学生在本节课学习中将会面临两个难点：一是如何“以直代曲”，具体来说就是：如何选择适当的直边图形（矩形、三角形、梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算；二是对“极限思想”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值，也是前n项和的极限是数列所有项的和在几何中的应用。三、教学目标分析依据课标，结合教材内容和学生的认知水平，我将本节课的教学目标确定如下：（1）知识与技能:从问题情境中了解定积分的实际背景；掌握求曲边梯形面积的方法及步骤；（2）过程与方法:用现代多种多体媒手段经历求曲边梯形面积的过程，体会“以直代曲”、“无限逼近”的微积分基本思想方法；（3）情感、态度与价值观:让学生亲身经历数学产生的过程中数学思想起到的作用，伟大的实践必有伟大的理论――极限思想，同时体验“量变到质变”的辩证观点. 四、教学重点、难点：重点：“分割、近似代替、求和、取极限”的求曲边梯形面积的方法，用多媒体手法让学生体会无限逼近的过程。难点：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，就是一种极限思想产生的方法. 五、教学策略分析：根据本节课的教学内容，学生情况和教学目标，为了突出教学重点，突破难点，体现新课标“以人为本，主动发展”的教学理念，教学中采用“问题引领，小组互助”的教学方法，通过问题激发学生的思维，鼓励学生发现、探究、合作、交流、展示，使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高。针对本节课的重点——探究求曲边梯形面积的方法，教学中采用现代多种多体媒手段展示，让学生从感性上升到理性，从个性到共性，从而逐步强化求曲边梯形面积的方法和步骤，突出教学重点．六、教具分析借助教学课件形象直观的展示问题；利用现代多种多体媒手段分割变细过程，利用现代多种多体媒手段感悟无限逼近的极限思想. 七、教学过程设计：为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，根据“启发性原则”和“循序渐进原则”，教学过程设计以“问题引领，小组互助”为教学理念．分三个环节，理论研讨，多媒体实现，总结与反思。（-）问题引入，点出课题：

4曲边梯形面积与定积分

专题四曲边梯形面积与定积分【使用说明及学法指导】1.先仔细阅读教材选修2-2，P38-P59,再思考知识梳理所提问题，有针对性的二次阅读教材，构建知识体系，画出知识树；2.限时15分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法。【课程核心】定积分的几何意义及用定积分求曲边梯形面积重点：定积分的概念及几何意义。难点：用定积分求曲边梯形面积。【学习目标】 1.了解定积分的概念的实际背景及几何意义，会用定积分求曲边梯形面积。 2.探究用定积分求曲边梯形面积的方法步骤。 3.养成扎实严谨的科学态度。一、基础知识梳理： 1．写出定义法求定积分的四个步骤： 2．你如何理解：被积函数、积分下限、积分上限、被积式，试举例说明。 3.定积分的性质是什么？ 4.写出微积分基本定理： 5.曲边梯形的面积与定积分的符号有什么关系？ 6.请同学们对本节所学知识归纳总结后，画出知识树：二、梳理自测 1.由0 ,2 ,1 ,3= = = =y x x x y给出的边界围成的区域面积等于 2. 求由曲线y=sinx（ 22 x ππ -≤≤）和直线 2 x π =±，y=0所围成图形的面积是。 3.已知dx x a ax a f?- =1 2 2) 2 6( ) (，则()a f的最大值是 4.dx x-1 1 1- 2 ?= . 5.若函数f(x)，g(x)满足 ?? －1 1f(x)g(x)d x＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sin 1 2x，g(x)＝cos 1 2x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数是探究一：求定积分【例1】（1） dx x5 2 1 2 ?；（2）dx x 1 1 e ?，（3）sin xdx π π- ?，（4）dx x ? 1 。拓展：计算2 (sin cos) x x x dx π + ?。规律总结：知识树：我的疑问：我的收获与发现：

人教新课标版数学高二-数学B版选修2-2练习1.4.1曲边梯形面积与定积分(一)

§1.4 定积分与微积分基本定理 1.4.1 曲边梯形面积与定积分(一) 一、基础过关 1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，i n ]上的值，可以近似代替为 ( ) A ．f (1n ) ` B ．f (2n ) C ．f (i n ) D ．f (0) 2．在等分区间的情况下f (x )＝11＋x 2 (x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是 ( ) A.lim n →＋∞∑n i ＝1 [11＋(i n )2·2n ] B.lim n →＋∞∑n i ＝1 [11＋(2i n )2·2n ] C.lim n →＋∞∑n i ＝1 (11＋i 2·1n ) D.lim n →＋∞∑n i ＝1[11＋(i n )2·n ] 3．把区间[a ，b ] (a

二、能力提升 5．如果1 N 的力使弹簧伸长1 cm ，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为 ( ) A ．0.5 J B ．1 J C ．50 J D ．100 J 6．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2，在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7.∑n i ＝1 i n ＝________. 8．在求由抛物线y ＝x 2＋6与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2] 等分成n 个小区间，则第i 个区间为________． 9．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为______． 10．求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积． 11．已知自由落体的运动速度v ＝gt ，求在时间区间[0，t ]内物体下落的距离．

曲边梯形面积与定积分(二)学生版

1 / 1 1.4.1 曲边梯形面积与定积分(二) 一、基础过关 1．下列命题不正确的是 ( ) A ．若f (x )是连续的奇函数，则?a －a f (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则?a －a f (x )d x ＝2?a 0f (x )d x C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则?b a f (x )d x >0 D ．若f (x ) 在[a ，b ]上连续且?b a f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正 2．定积分?31(－3)d x 等于 ( ) A ．－6 B ．6 C ．－3 D ．3 3．已知定积分?60f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则?6－6f (x )d x 等于 ( ) A ．0 B ．16 C ．12 D ．8 4．定积分?20x 2d x 的值等于 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．计算?4016－x 2d x 等于 ( ) A ．8π B ．16π C ．4π D ．32π 6．下列等式不成立的是 ( ) A ．?b a [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ?b a f (x )d x ＋n ?b a g (x )d x B ．?b a [f (x )＋1]d x ＝?b a f (x )d x ＋b －a C ．?b a f (x )g (x )d x ＝?b a f (x )d x ·?b a g (x )d x D ．?2π－2πsin x d x ＝?0－2πsin x d x ＋?2π0sin x d x 二、能力提升 7．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S ＝________. 8．计算定积分?1－1 4－4x 2d x ＝________. 9．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)： (1)S 1＝________(如图1)； (2)S 2＝________(如图2)；图1 图2 10．用定积分的意义求下列各式的值：(1)?30(2x ＋1)d x ； (2)?32－32 1－x 2d x . 11．已知f (x )＝????? x ， x ∈[0，2)4－x ， x ∈[2，3)52－x 2， x ∈[3，5] ，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．三、探究与拓展 12．利用定积分的几何意义求?2－2f (x )d x ＋?π2－π2sin x cos x d x ，其中f (x )＝????? 2x －1(x ≥0)3x －1(x <0 ).

选修2-2第一章1.4.1曲边梯形面积与定积分-教案

1.4 定积分与微积分基本定理 1.4.1曲边梯形面积与定积分【提出问题】如上图，函数f(x)=x2与g(x)=2x-0.5交点为A（0.29，0.09），B（1.71，2.91），过点A做x轴的垂线交x轴为点C，过点B做x轴的垂线交x轴为点D。问题1：直角梯形ACDB的面积是多少？根据梯形面积公式易得，直角梯形ACDB的面积是2.13. 曲线y=f(x)与平行于y轴的两条直线x=a，x=b和x轴所围成的图形，称为曲边梯形．问题2：函数f(x)=x2与x=0.29，x=1.71和x轴所围成的曲边梯形面积怎么求呢？提示：既然直角梯形的面积我们可以求，那么曲边梯形能否转化为直角梯形（曲化直）。我们知道任意多边形都可以分割成一些三角形，通过计算这些三角形面的和就可以得出这个多边形的面积，是否可以使用类似的方法计算由曲线围成的区域的面积（分割）。下面我们举例来研究这个问题。【解决问题】求由抛物线y＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的图形面积．将区间[0,1] 等分为n个小区间， 0＝x0

于是曲线之下小矩形的面积为ξi 21 n (i ＝0，1,2，…，n-1) 所以曲线之下小矩形的面积和为 S n =(0n ) 2?1n +(1n ) 2?1n +(2n ) 2?1n +…+(n?1n ) 2?1 n = 02+12+22+?+(n?1)2 n 3 =1 6(1?1 n )(2?1 n ) 由此得到 S ＝lim n →∞ S n ＝lim n →∞ 16 (1?1n )(2?1n )＝1 3 . 从图形上看，当n 越来越大时，划分越来越细，阴影部分的面积与曲边梯形面积相差越来越小，当n 趋于正无穷时，阴影部分趋近于曲边三角形，因此可以将1 3视为此曲边三角形的面积。【获得新知】类似的问题还很多，它们都可以归结为求这种和式的极限。牛顿等数学家经过艰苦研究，得到了解决这类问题的一般方法：求函数的定积分。定积分的定义设函数y ＝f(x)定义在区间[a ，b]上(如图)．用分点a ＝x 0

模式一1.5.1曲边梯形的面积

1. 5.1曲边梯形的面积课前预习学案【预习目标】预习“曲边梯形的面积”，初步体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想. 【预习内容】 1、曲边梯形的概念。 2、如何利用“以直代曲”的思想得到曲边梯形的面积？ 3、如何实施曲边梯形的面积的求解？【提出疑惑】同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案【学习目标】 1、理解“以直代曲”的意义； 2、理解求曲边梯形面积的四个步骤； 3、了解“近似代替”时取点的任意性。学习重难点：对以直代曲、无限逼近思想的理解。以及一般曲边梯形的面积的求法。【学习过程】（一）情景问题：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。但基本是规则的平面图形，如矩形、三角形、梯形。而现实生活中更多的是不规则的平面图形。对于不规则的图形我们该如何求面积？比如我们山东省的国土面积？（二）合作探究、精讲点拨例题：对于由y=x2与x轴及x=1所围成的面积该怎样求？（该图形为曲边三角形，是曲边梯形的特殊情况）探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？

特别帮助：12+22+32+…+n2=1 6 n(n+1)(2n+1) 探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。探究3：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？探究4：采用过剩求和与不足求和所得到的结果一样，其意义是什么？变式训练1：求直线x=0,x=1,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。变式训练2：求直线x=1,x=4,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。

（三）反思总结 1、对于一般曲边梯形，如何求面积？ 2、求曲边梯形面积的方法步骤是什么？（四）当堂检测求由y=2x 2＋1,和x=1,x=3,x 轴围成的曲边梯形面积。课后练习与提高 1、把区间[1,3]n 等分,所得n 个小区间,每个小区间的长度为( ) A.n 1 B.n 2 C.n 3 D.n 21 2、把区间],[b a )(b a

曲边梯形的面积(优秀教案)

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