用向量法证明海伦公式
作者：杜云， DU Yun
作者单位：六盘水师范学院数学系,贵州,六盘水,553004
刊名：
六盘水师范高等专科学校学报
英文刊名：JOURNAL OF LIUPANSHUI TEACHERS COLLEGE
年，卷(期)：2009，21(3)
被引用次数：0次
参考文献(4条)
1.王培甫.张金兰向量及其应用 2005
2.秦九韶数书九章新释 1992
3.胡银伟向量的由来 2007(03)
4.吕林根.许子道解析几何 2006
相似文献(10条)
1.期刊论文陆金菊.Lu Jinju试论向量在几何中的应用-山西广播电视大学学报2010,15(1)
向量在解决数学问题中有着广泛的用途.利用向量知识解决几何问题可以将"定性"研究转变为"定量"分析,使复杂问题简单化.从而,使学生掌握"数形"结合的方法,提高解决问题的能力.
2.期刊论文徐永红.洪文学.高直模式特征的几何代数多向量表示方法-燕山大学学报2010,34(2)
模式表示是模式识别的一个基本问题.传统统计模式识别理论中模式特征一般表示为一个数值向量,并被视作n维欧式空间中的一个点.这种表示方法只利用了一阶特征,容易丢失模式特征间的关联信息和高阶结构.本文首先阐述了几何代数的公理化定义和一些基本概念,然后将传统的模式特征向量表示推广为几何代数空间的多向量表示,接着讨论了该表示的两种特例,最后阐述了基于该多向量表示进行特征提取和分类的一般思想和需要进一步研究的问题.
3.期刊论文丁自瑞.Din Zirui向量在几何中的应用-保山师专学报2005,24(5)
向量,包括平面向量和空间向量,是高中数学新教材的主要内容之一.随着课改的深入,高考命题中向量将是不可缺少的重要命题点,在教学中我们看到,向量在几何中的用途是很大的,向量在处理长度、距离、夹角、垂直、平行等几何问题中占明显优势,向量的使用大大降低了某些题目的难度,简化了运算,它是解决几何问题的有力工具.
4.学位论文陈雪梅中学向量课程与教学的研究2007
向量是高中数学课程的重要内容。向量作为一种不同于数的量，有自己独特的运算结构和系统，学习向量有助于发展学生对“数、量和运算”的认识。向量几何提供了一种认识空间和图形的新方法，使学生初步领略机械化的现代数学思想。向量是现代数学的基本概念之一，可以使师生从一种新的角度诠释许多初等数学知识，并为学习高等数学中线性代数理论奠定基础。
近几年，从数学角度探索向量教与学的研究多是探讨技术进入数学课程后怎样影响学生数学概念的发展以及解题途径的产生。向量概念包括方向和大小两个维度，有几何图像和代数坐标等多种表征方式。这给教学和学生的概念理解都带来一定困难。向量进入我国高中数学课程后，引起广大师生的极大关注和兴趣。但国内数学教育研究领域对向量教学中许多重要而基础的问题一直缺少实证研究。例如普通高中数学课程标准中要求学生“理解平面向量概念”，“能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理。”，“体会向量方法在研究几何问题中的作用”，等等。因此，我们试图通过对向量教学中四个基本问题的探讨来反映当前的现状和问题。
我们首先以SOLO，APOS等教学理论为基础检验学生对向量概念(几何图象和代数坐标)的理解水平，以及与向量概念有关的错误类型。我们选择302名高二学生为被试，利用测试卷、访谈、个案研究作为研究工具。研究发现，对于检验向量概念的测试题，有约占总数22％的学生在几何图像方面达到水平4，约占总数3％的学生在代数符号方面达到水平4，只有约2％的学生在几何图像和代数符号两个方面都达到灵活协调阶段。大多数学生没有建构自由向量概念。学生更倾向于应用向量的几何图像表征处理问题。把向量看作一段距离或一个数是向量错误的主要类型。
其次，我们检验了用向量法处理立体几何度量与位置关系问题的教学效果。以测试卷和调查表为工具，我们对368名高三学生怎样处理能用两种方法(综合法与向量法)解决的立体几何(位置关系与角的度量)问题以及学生对两种方法特征的认识进行了研究。研究结果表明：同时用两种方法处理问题的学生(EV型)人数最多，仅使用综合法(E型)的人数略高于仅使用向量法(V型)的人数。但V类型学生的解法似乎更有效，成功率高于E类型学生。而且EV类型学生的得分结果也表明，向量方法的正确率高于综合法。
我们还分析了两种错误类型——一般性错误与向量错误。对E类型和EV类型学生来说，一般性错误主要出现在逻辑推理方面，其次是技术性错误，误用题目信息，误用定理或定义。对于运用向量方法的学生，V类型学生和EV类型学生(应用向量法部分)的一般性错误类型都是数学语言转换。向量坐标计算错误是向量错误的主要类型。对于两种方法(综合法与向量法)特征的认识，研究表明学生认为综合法的最主要优点是：综合法是解决立体几何问题的基本方法(向量只能处理个别问题)。综合法的最主要缺点是不会做辅助线以及找不到要求的线或角。学生认为向量法的最主要优点是方法简洁有效，向量法的主要缺点是计算繁琐易出错。
第三，我们以皮亚杰的图式理论为基础，从知识关联性的角度研究了教师的向量概念。我们以测试卷、访谈、个案研究为工具，对23名教师进行了调查。结果表明：大多数教师不能以一种系统的观点去看待向量概念及其一些变换，例如，他们对向量概念的理解仅限于教材中的定义——“向量是既有大小又有方向的量”。他们虽然能判断～个线性方程组有无解，但不能表示出解空间的结构。他们认为复数、矩阵与向量概念有许多相似，但看不清几个概念之间的关系。
第四，我们通过对上海、沈阳和石家庄三地1069位教师的问卷调查和其后三位教师的访谈，调查高中教师对向量在高中数学课程中作用的态度，教师相关教学知识的发展途径，教师希望进一步培训的内容，等等。结果表明：立体几何简化论和解题方法的多样性是大多数教师对向量进入高中数学课程的基本认识。
最后，我们通过反思和整合各项研究结果，得出如下结论：(1)教材和教学没有重视培养学生的自由向量概念。(2)立体几何用两种方法(综合法和向量法)处理没有引起学生的思维冲突，但仍受欧氏几何影响较深。(3)大多数教师具有的向量知识以程序性经验为主。(4)囿于自身经验积累和反思，以及同水平经验分享的知识发展途径影响了教师教学内容知识(向量概念)的进一步发展。据此，我们对向量教学、教材编写以及教师培训提出若干建议
：(1)教材应明确提出自由向量概念。(2)改进向量定义的叙述方式。(3)教学应展现向量概念从不同的物理情境到数学概念的抽象过程，突出自由向量的概念本质。(4)加强向量的代数坐标表示及运算的教学。(5)探索和推广新的教师教育发展模式势在必行。
5.期刊论文娄祖安用向量法证明与动点有关的几何问题-考试周刊2009,""(39)
随着向量知识进入高中教材,用向量法解几何问题已经成为教师关注的热点问题.本文从与动点有关的几何问题入手,略举数例,探讨直接用向量基本性质和运算律的简便方法证明几何问题的思路和技巧.
6.学位论文黄光华高中生对平面向量的认知特点及教学启示2006
本文通过对高中三个年级的数学高成绩组和低成绩组的15名学生进行了调查、访谈以及个案观察，阐述了中学生对平面向量及其一些概念(模)的认知过程。结果显示，学生对平面向量及其一些概念(模)的理解呈现三个侧面：(1)代数意义上的理解；(2)几何意义上的理解；(3)整体意义上的理解。借助认知心理学的理论，本文详细分析了两组学生在三种理解上的认知特点及其影响因素。调查显示：平面向量是认知的难点，影响学生学习平面向量整篇文章可从四个方面加以分析：(1)实数的相关知识对平面向量表示形式的影响；(2)平面向量的学习是学生认知的重组和深化；(3)教师的教学观点、教学方法对平面向量表示形式的影响；(4)教材体系的编排对学生学习平面向量的影响。研究者还通过个案观察调查了带有不同思维倾向的学生(“代数型”、“几何型”、“平衡型”)在平面向量认知中的现状，并分析了其特点：“代数型”倾向于抽象思维；“几何型”倾向于形象思维；“平衡型”是抽象思维和形象思维均衡发展。
7.期刊论文王燕向量在几何题中的应用-科技信息（学术版）2008,""(28)
在新版的高职教材中,引入了平面向量和空间向量的概念.向量的出现为同学解决几何问题提供了更多、更简单的方法.本文主要从平行、垂直两种位置关系,角度、长度两种度量问题,一共四个方面讨论了向量在几何题目中的应用.
8.期刊论文刘华"平面向量"的教学感悟-商情2009,""(2)
"平面向量"进入高中教材,适应了当今的课程改革.高中几何改革的趋势是几何问题的代数化,向量就为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具,对于它,我们不仅作为一种知识去学习,还要作为一种解题思想去理解,作为一种解题工具去应用,这一点在新教材中尤为明显.本文结合自己的教学实践谈谈对"平面向量"的教学体会.
9.期刊论文黄丹妹构造向量解一类几何问题-广西轻工业2007,23(6)
向量是研究空间解析几何,特别是研究平面和空间直线相关问题的重要工具,而且在数学的其他分支、其他学科也有重要价值.本文将通过构造向量
,利用向量的相关知识解答一类几何问题,以感受向量在研究中学数学问题中的重要价值.
10.学位论文杨巧玲向量型Sturm-Liouville问题的特征值重数2008
本文主要是研究向量型Sturm-Liouville问题的特征值重数问题.文章首先证明在满足一定的条件下，当n≥2时，向量型Sturm-Liouville问题有有限个几何重数为n，的特征值.然后得到结论，当n=2时，对于满足一定条件的Q（x），可以找到一个依赖于Q（x）的序数mQ，使得当上述向量型Sturm-Liouville问题的特征值的序数超过mQ时，问题的特征值都是单的.应用这些结论可以推导出两个势问题的谱有有限个公共元素，并且可以估计出两个谱交集元素的个数.最后证明向量型Sturm-Liouville问题的特征值的代数重数和几何重数之间的关系，也就是，若向量型Sturm-Liouville问题的特征值的几何重数为2，则问题的代数重数也为2.
本文链接：https://www.doczj.com/doc/1615360364.html,/Periodical_lpssfgdzkxxxb200903020.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：3cc3f681-bd69-438b-9766-9dca00986387
下载时间：2010年8月6日
用法向量求二面角和证明两平面垂直 用法向量证明两平面垂直问题 要证两平面相互垂直，只需找出这两个平面的两个法向量，证明这两个法向量相互垂直。 例1.如右图，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ， BD ∥CE ，且CE=CA=2BD ，M 是EA 的中点。 求证：（1）DE=DA ； （2）平面BDM ⊥平面ECA ； （3）平面DEA ⊥平面ECA ； 分析（3）：建立如图所示右手直角坐标系 ，不妨设CA=2， 则CE=2，BD=1，C （0，0，0），A （3，1，0），B （0，2，0），E （0，0，2），D （0，2，1），( ) 2,1,3-= EA ，()2,0,0=CE ，()1,2,0-=ED ， 分 别假设面CEA 与面DEA 的法向量是()1111,,z y x n =、()3222,,z y x n =，所以得 11111113203200x y z y x z z ??+-==???? ?==????，22222 2222 3203202x y z x y y z z y ??+-==?????-==???? 不妨取() 0,3,11-=n 、()2,1,32=n ，从而计算得02 1 =?n n ，所以两个法向量相互 垂直，两个平就相互垂直。 用法向量求二面角 如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量1n 与2n ，则平面α与β所成的角跟法向量1n 与 2n 所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。 例2、如下图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=a ，AD=3a ，sin ∠ADC= 5 5 ，且PA ⊥平面ABCD ，PA=a ，求二面角P-CD-A 的平面角的余弦值。 分析：依题意，先过C 点CE ⊥AD ，计算得ED=2a ，BC=AE=a,建立如图右角直角坐标系，则P （0，0，a ）,D(0,3a,0)， C(a,a,0), () a a PD -=,3,0, () a a a PC -=,,, ()0,3,0a AD =,()0,,a a AC = 取平面ACD 的一个法向量()1,0,01=n ，设平面PCD 的法 z y x E A D B P C z y x M C B A E D
运用向量法证明几个数学 向量法是几何问题代数化的一种重要方法，运用向量法可以证明一些三角或者几何公式，下面仅举几例予以说明。 例1、用向量证明和差化积公式 cos cos 2cos cos 22αβ αβ αβ+-+= sin sin 2sin cos 22αβαβ αβ+-+= 如图，作单位圆，并任作两个向量 (cos ,sin )OP αα=u u u r ，(cos ,sin )OQ ββ=u u u r 取 ?PQ 的中点M ，则 (cos ,sin )2 2 M αβαβ ++ 连接PQ 、OM ，设它们相交于点N ，则点N 为线段PQ 的中点，且ON PQ ⊥，∠Mo x 和∠MOQ 分别为,22αβαβ +-，所以||||cos cos 22 ON OM αβαβ --==u u u r u u u u r ，所以点N 的坐标为(||cos ,||sin ) 22 ON ON αβαβ ++u u u r u u u r ，即(cos cos ,cos sin )2222N αβαβαβαβ-+-+ 又11 ()(cos cos ,sin sin )22ON OP OQ αβαβ=+=++u u u r u u u r u u u r 所以(cos cos ,cos sin )2222αβαβαβαβ-+-+1 (cos cos ,sin sin )2 αβαβ=++ 即cos cos 2cos cos 22 αβαβ αβ+-+= sin sin 2sin cos 22 αβαβαβ+-+= 在上面的基础上，还可以证明另外两个和差化积公式：
sin sin 2cos sin 22αβ αβ αβ+--= cos cos 2sin sin 2 2 αβ αβ αβ+--=- 如图，过P 点作y 轴的平行线，过Q 作x 轴的平行线相交于点F ，那么||sin sin PF αβ=-u u u r ，||cos cos FQ βα=-u u u r ， ∠ QPF ＝ ∠ QNE ＝ ∠ Mox ＝ 2 αβ +， ||2||2||sin 2sin 22 PQ NQ OQ αβαβ --===u u u r u u u r u u u r 所以||||cos ,||||sin PF PQ QPF FQ PQ QPF =∠=∠u u u r u u u r u u u r u u u r 即sin sin 2cos sin 22αβ αβ αβ+--= cos cos 2sin sin 22 αβαβ αβ+--=- 例2、用向量解决平行四边形与三角形面积的计算公式 如图，在直角坐标系中，已知12(,)OA a a a ==u u u r r ，12(,)OB b b b ==u u u r r ，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，那么平行四边形的面积1221||S a b a b =-，三角形OAB 的面积 12211 ||2 OAB S a b a b ?= - 证明：设,a b α<>=r r ，那么可以得出 ||||sin OACB S a b α=r r ，由于cos ||||a b a b α?=r r r r 所以222sin 1cos 1()|||| a b a b αα?=-=-r r r r 222222 1122122111221221222222222 222121212121212()2()1()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b a b a a b b a a b b a a b b ++--=-==++++++ 所以sin α=
2017届高二数学导学案编写 审核 审批 课题：立体几何中的向量方法—证明平行和垂直 第 周 第 课时 班 组 组评 姓名 师评 【使用说明】 1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】 理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【学习方法】学案导学法，合作探究法。 【自主学习·梳理基础】 1、 考点深度剖析 利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向． 2．【课本回眸】 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB → 为直线l 的方向向量，与AB → 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量． ②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量， 则求法向量的方程组为??? ?? n·a ＝0， n·b ＝0. 2.用向量证明空间中的平行关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. ②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝xv 1＋yv 2. ③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . ④设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1∥u 2. 3. 用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. ②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 4.共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)， a ⊥ b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． 【课堂合作探究】 探究一：如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中， N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在 棱 1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP . 当1=λ时，证明：直线//1BC 平面EFPQ . 探究二：如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明： (1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .
海伦公式 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的国王希伦（,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。我国宋代的数学家也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。 假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长： p=(a+b+c)/2 —————————————————————————————————————————————— 注1：Metrica(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。 —————————————————————————————————————————————— 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 证明（1）： 与海伦在他的着作Metrica(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] ）：2证明（ 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国着名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上
§3.2立体几何中的向量方法(二) ——空间向量与垂直关系 课时目标 1.能利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系． 1．空间垂直关系的向量表示 空间中的垂直关系 线线垂直线面垂直面面垂直 设直线l的方向向量为a ＝(a1，a2，a3)，直线m 的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?______ 设直线l的方向向量是a＝ (a1，b1，c1)，平面α的法向量 u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α? ________ 若平面α的法向量u＝(a1，b1 ， c1)，平面β的法向量为v＝ (a2，b2，c2)，则α⊥β? ________ 线线垂直线面垂直面面垂直 ①证明两直线的方向向量的数 量积为______． ①证明直线的方向向量与平面的法向 量是______． ①证明两 个平面的 法向量 _________ ___． ②证明两直线所成角为 ______. ②证明直线与平面内的相交直线 ________. ②证明二 面角的平 面角为 ________._ _______. 一、选择题 1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于() A．1B．2C．3D．4 2．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是() A．等边三角形B．等腰三角形 C．直角三角形D．等腰直角三角形 3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则() A．l∥αB．l⊥α C．l?αD．l与α斜交
4．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直 D ．不能确定 5．设直线l 1的方向向量为a ＝(1，－2,2)，l 2的方向向量为b ＝(2,3,2)，则l 1与l 2的关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交不垂直 D ．不确定 6. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面中心，则AC 1与CE 的位置关系 是( ) A ．平行 B ．相交 C ．相交且垂直 D ．以上都不是 二、填空题 7．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝______. 8．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有______对． 9．下列命题中： ①若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β?u·v ＝0； ②若u 是平面α的法向量且向量a 与α共面，则u·a ＝0； ③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． 正确的命题序号是________．(填写所有正确的序号) 三、解答题 10．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱 CC 1上的点，且CN ＝1 4 CC 1.求证：AB 1⊥MN . 11．已知ABC —A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.
用向量法证明海伦公式 杜云 （六盘水师范学院数学系；贵州六盘水553004） 摘要：从数与形的角度对向量进行再认识，通过应用向量方法证明海伦公式，更进一步阐明了向量是沟通代数与几何的天然桥梁，是一个重要的数学模型，它能为解决问题提供新的方法和视角。 关键词：向量；几何；海伦公式；数形结合 中图分类号：G421文献标识码：A 文章编号：1671-055X （2009）03-0063-03 To prove Heron's Formula with the Vector DU Yun (Mathematics Department of Liupanshui Nornal College;Liupanshui,553004,China) Abstract:Recognized the vector from algebra and geometry and by proving Heron's Formula further expounds ,If shows thar the vector is a natural bridge between algebra and geometry,and it is an important mathematics style,and also provides the new method and view to solve the problems. Key words :vector ；geometry;Heron's Formula;combination between algebra and geometry 收稿日期：2009-03-03 作者简介：杜云（1982-），男，贵州盘县人，助教，研究方向：高等代数与解析几何。 第21卷第3期 2009年6月六盘水师范高等专科学校学报Journal of Liupanshui Teachers College Vol.21NO.3June 2009 63--
高中数学必修3海伦公式的证明方法 海伦公式的证明⑴ 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c 的对角分别为A、B、C，则余弦定理为[1] cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b- c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 海伦公式的证明⑵ 中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角
形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果 这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来 求三角形的面积?直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜 求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方， 送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”， 作1作为“隅”，开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以 q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2} 当P=1时，△2=q, △=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2} 因式分解得 △^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] =1/4[(c+a)^2-b^2][b^2-(c-a)^2] =1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =1/4[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] =p(p-a)(p-b)(p-c) 由此可得： S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a+b+c)
经典合同 海伦公式的证明 姓名：XXX 日期：XX年X月X日
海伦公式的证明 与海伦在他的著作"metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为a、b、c，则余弦定理为cosc = (a^2+b^2-c^2)/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*√(1-cos^2 c)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2 +b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4* √[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+ b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式 =√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形abc面积s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 第二篇：海伦公式的几种证明与推广 海伦公式的几种证明与推广 古镇高级中学付增德 高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重 要且优美的公式——海伦公式〔heron's formula〕：假设有一个三角形，边长分别为a,b,c,，三角形的面积s可由以下公式求得： s? (p?a)(p?b)(p?c)，而公式里的p? 12 (a?b?c)，称为半周长。 图1 第 2 页共 32 页
3.2．2用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 学习目标： 1、进一步理解向量的坐标表示和坐标运算 2、能建立适应的空间直角坐标系并利用坐标方法求空间两个向量的夹角 3、利用向量的数量积解决与立体几何有关的问题 复习回顾 1、 向量数量积的运算及其性质？ 2、 向量夹角与线线夹角的联系与区别？ 3、 如何求向量的夹角？ 一、课前达标： 1、异面直线所成的角： 分别在直线n m ,上取定向量,,b a 则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a ,所成的角或其补角（如图1所示）， 则 .||||| |cos b a b a ??=θ 2、预习检测 （1）如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，求证EF ⊥DA 1 . （2）如图，在正方体ABCDA ′B ′C ′D ′中，E `1 、F 1分别是A 1B `1、C 1D 1的四等分点，求BE 1与DF 1所成的角．
二、典例分析： 1、建立坐标系证明线线垂直，求夹角 例3 在棱长为1的正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、BD 的中点，G 在CD 上，且CG ＝CD/4，H 为C 1G 的中点，⑴求证：EF ⊥B 1C ；⑵求EF 与C 1G 所成角的余弦值；⑶求FH 的长。 注意思考： （1） 如何建立坐标系、把已知条件转化为向量表示？ （2） 如何对已经表示出来的向量进行运算才可获得所需结论？ 巩固练习：练习A 1 练习B 1 2、选取基向量求解线线夹角：例4、（见课本100页） O -A B C ,O A =4,O B =5,O C =3; A O B =B O C = C O A =90,M ,N O A ,B C M N ,B C ∠∠∠三棱锥分别是中点，求直线所成角 注意：基向量的选取；如何用基向量来表示未知向量。 巩固练习：练习B 3 三：作业：如下图，直棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.
1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积 的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与 垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 在四棱锥 设直线，则 v
的正方体 I 2. 如图，在棱长为a (1) 试证：A1、G、C三点共线； (2) 试证：A1C⊥平面 3.【改编自高考题】如图所示，四棱柱 的正方形，侧棱A (1)证明：AC⊥A1B； (2)是否在棱A1A上存在一点P，使得C1【学后反思】 本节课我学会了 掌握了那些？ 还有哪些疑问？ 2017届高二数学导学案编写邓兴明审核邓兴明审批
1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角． 【教学重点】灵活地运用各种方法求空间角 【教学难点】灵活地运用各种方法求空间角 —l—β的两个面α，β的法向量，则向量 的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)． 【课堂合作探究】 利用向量法求异面直线所成的角 B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D 的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线
毕业论文 论文题目向量法证明初等几何命题 学院数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级 2011级 学号 4 学生平 指导教师峰 完成时间 2015 年 4 月 学院教务处制
向量法证明初等几何命题 平 摘 要 本文使用向量的数量积，向量积，混合积证明一些初等几何的命题．例如，勾股定理，余弦定理，海伦公式． 关键词 初等几何；数量积；向量积；混合积 1引言 向量这个名词对于大家来说并不陌生，在高中的教材中已经接触了不少向量的容．在力学、物理学已及日常生活中，咱们常常遇到很多的量，譬如像温度、时间、质量、密度、功、长度、面积与体积等，这些量在规定的单位下，都可以由一个数来完全确定，这种只有大小的量叫做数量．其余又有一些比较复杂的量，比方像位移、力、速度、加速度等，他们不仅有大小，而且还有方向，这类量便是向量． 向量最初被应用于物理学．不少物理量如力，速度，位移一集电场强度，磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个了的组合作用可用著名的平行四边形则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有想线段．最早使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿． 从数学发展历史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所了解，直到19世纪未20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算关联起来，使向量成为具备一套优良运算通性的数学体制． 向量可以进入数学并得到发展，最初使用于复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔初次使用坐标平面上的点来表示复数a bi +（a 、b 为有理数，且不同时等于0），把坐标平面上的点用向量表示出来，并使用拥有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并用向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐渐接受了复数，也学会了利用复数来表述和研究平面中的向量，向量就这样平静地投入了数学中． 因为向量法证明许多几何命题都是比较简化，所以许多命题都有向量法去证明，许多学生因为学习了向量，从而激发他们的兴趣，在许多熟悉的问题上都想向量法去证明，但他们不清楚不了解向量法的基本思路和证明技巧，不仅仅学生，甚至老师也有时候还是用比较繁琐的方法去证明初等几何命题． 本论文主要介绍向量的基本运算法则，还有对几个经典的问题进行证明，分别用一般的方法和向量法对一些初等的几何命题进行证明，然后作对比，比较一下向量法和一般的方法有什么不一样，看看哪一种方法更加简捷和实用． 2结果与讨论 2．1向量的基本运算[1] 向量的加法运算： AB BC AC +=，a b b a +=+，0a a +=，()0a a +-=，()()a b c a b c ++=++．
已知三角形的三个边c b a 、、求它的面积S ,有公式))()((c p b p a p p S ---=, 其中)(21 c b a p ++=。这就是大家所熟知的“海伦公式”,在中学几何课本上一般都有介紹。人们认为这 个公式一定是海伦所首先发现,其实并不然。在一些有关数学史著作中,对此早有不同提法。海伦是古希腊的数学家,同时他还是一位优秀的测绘工程师及亚历山大学派的科学家,他对于物理学和机械学很有研究,发明了不少很有价值的机械和仪器。对于他的准确生活时代我们还不知道,大概在公元1-3世纪期间。 为何会出现海伦公式？由于当时数学的应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，三角术是由于人们想建立定量的天文学，以使用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的。而在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边c b a 、、直接求出三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊的数学家阿基米德解决的，于是他得到了海伦公式。 而本文的重点归纳研究海伦公式几种证明方式，希望这些方法对其它有关解三角形问题有一定的启发作用。 一种方法是用解三角形基本的知识解决。 已知三角形的三边为c b a 、、，设)(2 1 c b a p ++=， 求证：三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=. 证明：由正弦定理C ab S sin 21= 可得）（C b a C b a S 2222222cos 14 1sin 41-==， 又由余弦定理2 2222222222 4)(2cos b a c b a ab c b a C -+=-+=）（，从而有 ）（（222222222 4141b a c b a b a S -+-=16412 22222）（c b a b a -+-= ]4[1612 22222）（c b a b a -+-= ]2(2[(161222222））c b a ab c b a ab +---++= )])(()[((1612222b a c c b a ---+=）))()()((16 1b a c b a c c b a c b a +--+-+++= 2 ) (2)(2)(2)(b a c b a c c b a c b a +-?-+?-+?++= 2 )2(2)2(2)2(2)(a b a c b b a c c c b a c b a -++?-++?-++?++=
用向量的方法证明平行与垂直关系 知识点一：求平面的法向量 例1.已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向 量． 解: ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)， ＝(1，－2，－4)，AC → ＝(1，－2，－4)， 设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z)． 依题意，应有n ·= 0， n ·AC → = 0. 即????? x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0 ，解得??? ? ? x ＝2y z ＝0 . 令y ＝1，则x ＝2. ∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)． 【反思】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其 中一组解(非零向量)即可． 练习：， 如图所示，已知点(,0,0),(0,,0),(0,0,)A a B b C c ，求平面ABC 的一个法向量。 知识点二：利用向量方法证平行关系 （1）线线平行：设直线1l 、2l 的方向向量分别为、，则l l λ=??////21 （2）线面平行： ①由线面平行的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内的某一向量平行即可； ②设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为μ，则0//=??⊥?μμαl ； ③由共面向量定理知，只要证已知直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量表示即可. （3）面面平行： “用向量法”求法向量的解题步骤： （1）设平面的一个法向量为),,(z y x n =； （2）找出（或求出）平面内的两个不共线的向量的坐标),,(),,,(222111c b a b c b a a ==；（3）根据法向量的定义列出方程组?????=?=?0 0b n a n ； （4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
海伦公式的证明(精选多篇)第一篇：海伦公式的证明 与海伦在他的著作"metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在变形此我们用三角公式和公式变形来说明。设三角形的三边a、b、c 的对角分别为a、b、c，则余弦定理为cosc = (a^2+b^2- c^2)/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*√(1-cos^2 c)=1/2*ab*√[1- (a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2- c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2- b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a- b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形abc面积s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 第二篇：莉莉公式的几种证明与推广 海伦公式的几类证明与推广 古镇高级中学付增德 高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔heron"s formula〕：换言之有一个三角形，边长分别为a,b,c,，三角形的面积s可由以下公式求得： s? (p?a)(p?b)(p?c)，而公式里的p? 12 (a?b?c)，称为半周长。 图1
用向量法证明空间中的平行垂直关系 新知新讲 点、直线和平面位置的向量表示 用空间向量解决立体几何问题的“三部曲” (1)建立立体图形与空间向量的联系, 用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面, 把立体几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算, 研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. 金题精讲 题一：设a，b分别是直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断直线l1，l2的位置关系： (1)a=(2，-1，-2)，b=(6，-3，-6) (2)a=(1，2，-2)，b=(-2，3，2) 题二：设u，v分别是平面α，β的法向量，根据下列条件判断平面α，β的位置关系： (1)u=(-2，2，5)，v=(6，-4，4) (2)u=(1，2，-2)，v=(-2，-4，4) 题三：如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1. (1)求证：BC1⊥AB1； (2)求证：BC1∥平面CA1D. 用向量法证明空间中的平行垂直关系
讲义参考答案 题一：(1)平行 (2)垂直 题二：(1)垂直 (2)平行 题三：以C 1为原点，以11C A ，11C B ，1C C 为x 轴、y 轴、z 轴建系如图 设AC =BC =BB 1=1，则A (1，0，1)，B (0，1，1)， B 1(0，1，0)，C 1(0，0，0) (1)∵BC 1→= (0，-1，-1)，AB 1→ = (-1，1，-1) ∴BC 1→·AB 1→ =0-1+1=0 ∴BC 1→⊥AB 1→ ∴BC 1⊥AB 1 (2)C (0，0，1)，A 1(1，0，0)，D (1 2，1 2，1) 设平面CA 1D 的法向量为m = (x ，y ，z ) 1(1,0,1)CA =-，11 (,,0)22CD = 110 22x z x y -=???+=?? 取(1,1,1)m =-，则10110BC m ?=+-= ∴1BC m ⊥ 又BC 1?∥平面CA 1D ∴BC 1∥平面CA 1D
海伦公式的几种证明与推广 高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔Heron's Formula 〕：假设有一个三角形，边长分别为,,,c b a ，三角形的面积S 可由以下公式求得： ))()((c p b p a p s ---=，而公式里的)(2 1 c b a p ++= ，称为半周长。 图1 C 为了证明该公式，海伦公式有多种变形，如：S= ))()((c p b p a p p --- = ))()()((41a c b b c a c b a c b a -+-+-+++=])(][)[(412222b a c c b a ---+ =)]2()[2(41222222ab c b a ab c b a --+-+-+=222222)(441 c b a b a -+- =4442222222224 1 c b a c b c a b a ---++ （方法一）：利用三角形面积公式C ab s sin 2 1=和余弦定理C ab b a c cos 22 22-+= C ab s sin 21==C n ab 2 cos 121-=2222)2(121ab c b a ab -+-下略。 （方法二）：利用三角形最基本的面积公式a ABC ah S 2 1 = ?入手，并利用勾股定理，如图2。
y 图2 B C 在△ABC 中，AD 为边BC 上的高，根据勾股定理，有?? ???=+=+=+a z y b z x c y x 2 22222解方程，得a b c a y 2222-+=， a c b a z 2222-+=，2222222222222)(421)2(b c a c a a a b c a c y c x -+-=-+-=-=下略。 （方法三）：利用三角形内切圆 图3 z z C 如图3,在△ABC 中，内切圆⊙O 的半径是r,则x r A =2tan , y r B =2tan ,z r C =2tan ,代入恒等式2tan 2tan B A ?+2tan 2tan C A ?+2 tan 2tan C B ?=1，(考虑三角形内角和之半为九十度，并考虑和角正切公式) 得1222=++yz r xz r xy r ，两边同乘xyz ，有等式 xyz z y x r =++)(2 ………①
Z 用向量法证明垂直 学习目标: 1、掌握用向量法证明立体几何中的线、面垂直关系 2、认识到向量方法是解决立体几何的基本方法 重点：用向量方法讨论空间中的垂直关系 难点：将立体几何问题转化为向量问题 新知探索 一、方向向量与法向量 例1. 如图所示, 正方体的棱长为1 (1) 直线OA 的一个方向向量坐标为___________ (2) 平面OABC 的一个法向量坐标为___________ (3) 平面C AB 1 的一个法向量坐标为___________ 例2 .在空间直角坐标系中,已知)2,0,0(,040(),0,0,3(C B A ），， ,,试求平面ABC 的一个法向量. 小结：求平面法向量的步骤： （1） （2） （3） （4）
二、用向量证明空间中的垂直关系 1、设直线m l ,的方向向量分别为b a ,，平面βα,的法向量分别为v u ,，则 （1）线线垂直 _______ ________??⊥m l （2）线面垂直 ________ _______??⊥αl （3）面面垂直 ________________??⊥βα 例3、正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别是CD BB ,1的中点 证明：ADE F D 平面⊥1 例4、四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，ABCD PD 平面⊥,F E 、分别是棱 PB AD 、的中点，AD PD = 求证：PBC CEF 平面平面⊥
小结：1、空间问题如何转化为向量问题 2、运用空间向量解决立体几何问题的一般步骤 作业：习题2-4 A 组 3、4 拓展：已知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为棱BC AB 和DE 中点， 试在棱1BB 上找一点M ，使得11EFB M D 平面⊥
已知三角形的三个边c b a 、、求它的面积S ,有公式))()((c p b p a p p S ---=, 其中)(21c b a p ++=。这就是大家所熟知的“海伦公式”,在中学几何课本上一般都有介紹。人们认为这个公式一定是海伦所首先发现,其实并不然。在一些有关数学史著作中,对此早有不同提法。海伦是古希腊的数学家,同时他还是一位优秀的测绘工程师及亚历山大学派的科学家,他对于物理学和机械学很有研究,发明了不少很有价值的机械和仪器。对于他的准确生活时代我们还不知道,大概在公元1-3世纪期间。 为何会出现海伦公式？由于当时数学的应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，三角术是由于人们想建立定量的天文学，以使用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的。而在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边c b a 、、直接求出三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊的数学家阿基米德解决的，于是他得到了海伦公式。 而本文的重点归纳研究海伦公式几种证明方式，希望这些方法对其它有关解三角形问题有一定的启发作用。 一种方法是用解三角形基本的知识解决。 已知三角形的三边为c b a 、、，设)(21c b a p ++= ， 求证：三角形的面积))()((c p b p a p p S ---= . 证明：由正弦定理C ab S sin 21= 可得）（C b a C b a S 2222222cos 141sin 41-==， 又由余弦定理2 22 22222 2224)(2cos b a c b a ab c b a C -+=-+=）（，从而有 ））（（222222222 4141b a c b a b a S -+-=1641222222）（c b a b a -+-= ]4[161222222）（c b a b a -+-=]2(2[(16 1222222））c b a ab c b a ab +---++= )])(()[((1612222b a c c b a ---+=）))()()((16 1b a c b a c c b a c b a +--+-+++= 2 )(2)(2)(2)(b a c b a c c b a c b a +-?-+?-+?++=2)2(2)2(2)2(2)(a b a c b b a c c c b a c b a -++?-++?-++?++= ))()((a p b p c p p ---=