掌门1对1教育 高中数学 【数学】2014版《6年高考4年模拟》
第二章 函数与基本初等函数I 第一节 函数的概念与性质 第一部分 六年高考荟萃
2013年高考题
1 ．（2013年高考江西卷（理））函数y=
x ln(1-x)的定义域为
A.(0,1)
B.[0,1)
C.(0,1]
D.[0,1]
答案：B
考查函数的定义域。要使函数有意义，则010x x ≥??->?，即0
1x x ≥??
，解得01x ≤<，选
B.
2 ．（2013年高考新课标1（理））已知函数()f x =22,0
ln(1),0
x x x x x ?-+≤?+>?,若|()f x |≥ax ,则a
的取值范围是
A.(,0]-∞
B.(,1]-∞
C.[2,1]-
D.[2,0]- 答案：D
由题意可作出函数y=|f （x ）|的图象，和函数y=ax 的图象，
由图象可知：函数y=ax 的图象为过原点的直线，当直线介于l 和x 轴之间符合题意，直线l
为曲线的切线，且此时函数y=|f （x ）|在第二象限的部分解析式为y=x 2
﹣2x ， 求其导数可得y ′=2x ﹣2，因为x ≤0，故y ′≤﹣2，故直线l 的斜率为﹣2， 故只需直线y=ax 的斜率a 介于﹣2与0之间即可，即a ∈[﹣2，0]。故选D
3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））函数
()()
21=log 10f x x x ??
+> ???
的反函数()1=f x - (A)
()1021x x >- (B)()1
021
x
x ≠- (C)()21x x R -∈ (D)()210x x -> 答案：A
设y=log 2（1+），把y 看作常数，求出x ：1+=2y
，x=
，其中y ＞0，
x ，y 互换，得到y=log 2（1+）的反函数：y=
，故选A ．
4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知函数()f x 为
奇函数,且当0x >时,2
1
()f x x x
=+
,则(1)f -= (A) 2- (B) 0 (C) 1 (D) 2 答案：A
因为函数为奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，选A.
5．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知函数
()f x 的定义域为()1,0-,
则函数()21f x -的定义域为
(A)()1,1- (B)11,2?
?- ??? (C)()-1,0 (D)1,12?? ???
答案：B
因为原函数的定义域为（﹣1，0）， 所以﹣1＜2x ﹣1＜0，解得﹣1＜x ＜． 所以则函数f （2x ﹣1）的定义域为．
故选B ．
6 ．（2013年高考陕西卷（理））设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有
（ ）
A ．[-x ] = -[x ]
B ．[2x ] = 2[x ]
C ．[x +y ]≤[x ]+[y ]
D ．[x -y ]≤[x ]-[y ]
答案：D
代值法。
对A, 设x = - 1.8, 则[-x] = 1, -[x] = 2, 所以A 选项为假。 对B, 设x = - 1.4, [2x] = [-2.8] = - 3, 2[x] = - 4, 所以B 选项为假。
对C, 设x = y = 1.8, 对A, [x+y] = [3.6] = 3, [x] + [y] = 2, 所以C 选项为假。 故D 选项为真。所以选D
7．（2013年高考湖南卷（理））函数
()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像
的交点个数为
A.3
B.2
C.1
D.0 答案：B
本题考查函数与方程的应用以及函数图象的应用。因为()2245(2)1g x x x x =-+=-+，所以作出函数()2ln f x x =与()245g x x x =-+的图象，由图象可知两函数图象的交点个
数有2个，选B.
8．（2013年高考上海卷（理））对区间I 上有定义的函数()g x ,记(){|(),}g I y y g x x I ==∈,
已知定义域为[0,3]的函数
()y f x =有反函数1()y f x -=,且
11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==,若方程()0f x x -=有解0x ,则0_____x =
答案：02x =.
【解答】根据反函数定义，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈；[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，而
()y f x =的定义域为[0,3]，故当[2,3x ∈时，()f x 的取值应在集合(,0)[1,2](4,)-∞??+∞，故若00()f x x =，只有02x =．
9．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））
已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时,x x x f 4)(2
-=,则不等式x x f >)(的解集
用区间表示为___________. 答案：()()+∞-,50,5
因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以易知0x ≤时，2
()4f x x x =-- 解不等式得到x x f >)(的解集用区间表示为()()5,05,-+∞
10．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设函数
22()(1)f x ax a x =-+,其中0a >,区间|()>0I x f x =
(Ⅰ)求的长度(注:区间(,)αβ的长度定义为βα-); (Ⅱ)给定常数(0,1)k ∈,当时,求l 长度的最小值. 解: (Ⅰ))1,0(0])1([)(2
2
a a x x a a x x f +∈?>+-=.所以区间长度为21a a
+.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,a
a a
a
l 1112
+
=+=
恒成立令
已知k k
k k k k a k k -111
0-111.1-10),1,0(2>+∴>?>++≤≤<∈. 2
2)1(11)1(1111)(k k
k k l k a a a a g -+-=
-+-≥?-=+=?这时时取最大值在 所以2
)
1(111k k
l k a -+--=取最小值
时，当.
2012年高考题
1.[2012·安徽卷] 下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( )
A ．f (x )＝|x |
B ．f (x )＝x －|x |
C ．f (x )＝x ＋1
D ．f (x )＝－x 答案：C [解析] 本题考查函数的新定义，复合函数的性质.
(解法一)因为f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足f (2x )＝2f (x )，所以A ，B ，D 满足条件；对于C 项，若f (x )＝x ＋1，则f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )＝2x ＋2. (解法二)对于A 项，f (2x )＝2|x |,2f (x )＝2|x |，可得f (2x )＝2f (x )；对于B 项，f (2x )＝2x －2|x |，2f (x )＝2x －2|x |，可得f (2x )＝2f (x )；对于C 项，f (2x )＝2x ＋1,2f (x )＝2x ＋2，可得f (2x )≠2f (x )；对于D 项，f (2x )＝－2x,2f (x )＝－2x ，可得f (2x )＝2f (x )，故选C 项． 2．[2012·江西卷] 下列函数中，与函数y ＝
13
x
定义域相同的函数为( )
A ．y ＝1sin x
B ．y ＝ln x x
C ．y ＝x e x
D ．y ＝sin x x
答案：D [解析] 考查函数的定义域、解不等式等；解题的突破口为列出函数解析式所满足的条件，再通过解不等式达到目的．函数y ＝
13x
的定义域为{x |x ≠0}．y ＝
1
sin x
的定义域为{x |x ≠k π}，y ＝ln x x 的定义域为{x |x >0}，y ＝x e x 的定义域为R ，y ＝sin x x
的定义域为{x |x ≠0}，故选D.
3． [2012·江西卷] 若函数f (x )＝?
????
x 2＋1，x ≤1，
lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )
A ．lg101
B ．2
C ．1
D ．0
答案：B [解析] 考查分段函数的定义、对数的运算、分类讨论思想；解题的突破口是根据自变量取值范围选择相应的解析式解决问题．∵10>1，∴f (10)＝lg10＝1≤1， ∴f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2，故选B. 4.[2012·辽宁卷] 设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在????－12，3
2上的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
答案：B [解析] 本小题主要考查函数的奇偶性与周期性和函数零点的判断．解题的突破口为根据函数的性质得到函数f (x )的解析式，结合函数图象求解．
f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (2－x )＝f (x －2)，所以函数f (x )为周期为2的周期函数，且f (0)＝0，f (1)＝1，而
g (x )＝||x cos ()πx 为偶函数，且g (0)＝g ????12＝g ????－12＝g ????32＝0，在同一坐标系下作出两函数在????－12，32上的图像，发现在????－12，3
2内图像共有6个公共点，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在???
?－12，3
2上的零点个数为6.
5.[2012·山东卷] 设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在
R 上是增函数”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案：A [解析] 本题考查充分必要条件及函数的单调性，考查推理论证能力，容易题． 当f ()x ＝a x 为R 上的减函数时，00，此时g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数成立；当g (x )＝(2－a )x 3为增函数时，2－a >0即a <2，但1 图1－6 A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 答案：C [解析] 本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的快慢．法一：因为随着n 的增大，S n 在增大，要使S n n 取得最大值，只要让随着n 的增大S n ＋1 －S n 的值超过S n ＋1－S 1n (平均变化)的加入即可，S n ＋1－S n 的值不超过S n ＋1－S 1 n (平均变化)的舍 去，由图像可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10,11年的时候，改变 量明显变小，所以不应该加入，故答案为C. 法二：假设S m m 是S n n 取的最大值，所以只要S m m >S m ＋1 m ＋1即可，也就是S m －0m －0>S m ＋1－0 m ＋1 －0，即可 以看作点Q m (m ，S m )与O (0,0)连线的斜率大于点Q m ＋1(m ＋1，S m ＋1)与O (0,0)连线的斜率，所 以观察可知到第Q 9(9，S 9)与O (0,0)连线的斜率开始大于点Q 10(10，S 10)与O (0,0)连线的斜率．答案为C. 7.[2012·陕西卷] 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1 x D ．y ＝x |x | 答案：D [解析] 本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，解题的突破口为单调性的定义、奇偶性的定义与函数图像的对应关系．若函数为单调增函数，其图像为从左向右依次上升；若函数为奇函数，其图像关于原点对称．经分析，A 选项函数的图像不关于原点对称，不是奇函数，排除；B 选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；C 选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；故选D.其实对于选项D ，我们也可利用x >0、x ＝0、x <0分类讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求． 8.[2012·四川卷] 设函数f (x )＝2x －cos x ，{a n }是公差为π 8的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 5) ＝5π，则[f (a 3)]2－a 1a 5＝( )A ．0 B.116π2C.18π2 D.13 16 π2 答案：D [解析] 设a 3＝α，则a 1＝α－π4，a 2＝α－π8，a 4＝α＋π8，a 5＝α＋π 4， 由f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 5)＝5π， 得2×5α－cos ????α－π4＋cos ????α－π8＋cos α＋cos ????α＋π8＋cos ????α＋π 4＝5π， 即10α－(2＋2＋2＋1)cos α＝5π. 当0≤α≤π时，左边是α的增函数，且α＝π 2 满足等式； 当α＞π时，10α＞10π，而(2＋2＋2＋1)cos α＜5cos α≤5，等式不可能成立； 当α＜0时，10α＜0，而－(2＋2＋2＋1)cos α＜5，等式也不可能成立． 故a 3＝α＝π 2 . [f (a 3)]2－a 1a 5＝π2－????α－π4????α＋π4＝1316 π2. 9.[2012·山东卷] 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( ) A ．335 B ．338C ．1 678 D ．2 012 答案：B [解析] 本题考查函数的性质，考查运算求解能力，应用意识，偏难． 由f (x )＝f (x ＋6)知函数的周期为6，f (1)＝1， f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1， f (4)＝f (－2)＝－(－2＋2)2＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6)＝1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012) ＝335[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)]＋f (1)＋f (2)＝335×1＋3＝338. 10.[2012·广东卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝????12x D ．y ＝x ＋1x 11.[2012·天津卷] 已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是________． 答案：(0,1)∪(1,4) [解析] 本题考查函数的表示及图象应用，考查应用意识，偏难． y ＝|x 2－1|x －1＝? ???? － x ＋1 ，－1≤x <1，x ＋1，x <－1或x >1， 在同一坐标系内画出y ＝kx －2与y ＝|x 2－1| x －1的图象 如图， 结合图象当直线y ＝kx －2斜率从0增到1时，与y ＝|x 2－1|x －1在x 轴下方的图象有两公共点； 当斜率从1增到4时，与y ＝|x 2－1| x －1 的图象在x 轴上下方各有一个公共点． 12.[2012·江苏卷] 函数f (x )＝1－2 log 6x 的定义域为________． 答案：(0，6] [解析] 本题考查函数定义域的求解．解题突破口为寻找使函数解析式有意 义的限制条件．由? ???? x >0， 1－2log 6x ≥0，解得0 13.[2012·上海卷] 已知函数f (x )＝e |x － a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 答案：(－∞，1] [解析] 考查复合函数的单调性，实为求参数a 的取值范围． 令t ＝||x －a ，又e>1，函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，只需函数t ＝||x －a 在[1，＋∞)上是增函数，所以参数a 的取值范围是(－∞，1]． 14．[2012·北京卷] 已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若同时满足条件： ①?x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②?x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0.则m 的取值范围是________． 答案：(－4，－2) [解析] 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能． 满足条件①时，由g (x )＝2x －2<0，可得x <1，要使?x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，必须使x ≥1时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0恒成立， 当m ＝0时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)＝0不满足条件，所以二次函数f (x )必须开口向下，也 就是m <0，要满足条件，必须使方程f (x )＝0的两根2m ，－m －3都小于1，即??? ?? 2m <1， －m －3<1， 可得m ∈(－4,0)． 满足条件②时，因为x ∈(－∞，－4)时，g (x )<0，所以要使?x ∈(－∞，－4)时，f (x )g (x )<0，只要?x 0∈(－∞，－4)时，使f (x 0)>0即可，只要使－4比2m ，－m －3中较小的一个大即可，当m ∈(－1,0)时，2m >－m －3，只要－4>－m －3，解得m >1与m ∈(－1,0)的交集为空集； 当m ＝－1时，两根为－2；－2>－4，不符合；当m ∈(－4，－1)时，2m <－m －3，所以只要－4>2m ， 所以m ∈(－4，－2)． 综上可知m ∈(－4，－2)． 15.[2012·上海卷] 已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 答案：－1 [解析] 考查函数的奇偶性和转化思想，此题的关键是利用y ＝f (x )＋x 2为奇函数． 已知函数y ＝f (x )＋x 2为奇函数，则f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋1]＝－2，解得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1. 16.[2012·北京卷] 设A 是由m ×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记S (m ，n )为所有这样的数表构成的集合． 对于A ∈S (m ，n )，记r i (A )为A 的第i 行各数之和(1≤i ≤m )，c j (A )为A 的第j 列各数之和(1≤j ≤n )； 记k (A )为|r 1(A )|，|r 2(A )|，…，|r m (A )|，|c 1(A )|，|c 2(A )|，…，|c n (A )|中的最小值． (1)对如下数表A ，求k (A )的值； 1 1 －0.8 0.1 －0.3 －1 (2)设数表A ∈S (2,3)形如 1 1 c a b －1 求k (A )的最大值； (3)给定正整数t ，对于所有的A ∈S (2,2t ＋1)，求k (A )的最大值． 答案：(1)因为r 1(A )＝1.2，r 2(A )＝－1.2，c 1(A )＝1.1，c 2(A )＝0.7，c 3(A )＝－1.8， 所以k (A )＝0.7. (2)不妨设a ≤b .由题意得c ＝－1－a －b . 又因c ≥－1，所以a ＋b ≤0，于是a ≤0. r 1(A )＝2＋c ≥1，r 2(A )＝－r 1(A )≤－1， c 1(A )＝1＋a ，c 2(A )＝1＋b ，c 3(A )＝－(1＋a )－(1＋b )≤－(1＋a )． 所以k (A )＝1＋a ≤1. 当a ＝b ＝0且c ＝－1时，k (A )取得最大值1. (3)对于给定的正整数t ，任给数表A ∈S (2,2t ＋1)如下： a 1 a 2 … a 2t ＋1 b 1 b 2 … b 2t ＋1 任意改变A 的行次序或列次序，或把A 中的每个数换成它的相反数，所得数表A *∈S (2,2t ＋1)，并且k (A )＝k (A *)． 因此，不妨设r 1(A )≥0，且c j (A )≥0(j ＝1,2，…，t ＋1)． 由k (A )的定义知，k (A )≤r 1(A )，k (A )≤c j (A )(j ＝1,2，…，t ＋1)． 又因为c 1(A )＋c 2(A )＋…＋c 2t ＋1(A )＝0， 所以(t ＋2)k (A )≤r 1(A )＋c 1(A )＋c 2(A )＋…＋c t ＋1(A ) ＝r 1(A )－c t ＋2(A )－…－c 2t ＋1(A )＝∑j ＝1 t ＋1 a j －∑j ＝t ＋2 2t ＋1 b j ≤(t ＋1)－t ×(－1)＝2t ＋1. 所以k (A )≤2t ＋1t ＋2. 对数表A 0： 第1列 第2列 … 第t ＋1列 第t ＋2列 … 第2t ＋1列 1 1 … 1 －1＋t －1 t t ＋2 … －1＋t －1 t t ＋2 t －1 t ＋2 t －1 t ＋2 … t －1 t ＋2 －1 … －1 则A 0∈S (2,2t ＋1)，且k (A 0)＝2t ＋1t ＋2.综上，对于所有的A ∈S (2,2t ＋1)，k (A )的最大值为2t ＋1 t ＋2 . 2011年高考题 1.（福建理9）对于函数()sin f x a x bx c =++ (其中，,,a b R c Z ∈∈)，选取,,a b c 的一 组值计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能是（ ） A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4 D ．1和2 【答案】D 2.（广东文4）函数 1 ()lg(1)1f x x x = ++-的定义域是 （ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．(,)-∞+∞ 【答案】C 3.（江西文3）若 12 1 ()log (21) f x x = +，则()f x 的定义域为( ) 1(,0)2- B.1(,)2-+∞ C.1(,0)(0,)2-?+∞ D.1(,2)2- 【答案】C 【解析】 ()() +∞???? ??-∈∴≠+>+∴≠+,00,211 12,012,012log 2 1x x x x 4.（江西理3）若 ) 12(log 1)(2 1+= x x f ，则)(x f 定义域为（ ） A. )0,21(- B.]0,21(- C. ),21 (+∞- D.),0(+∞ 【答案】A 【解析】由??? ??>+>+0 )12(log 01221x x 解得?????<->021x x ，故021<<-x ，选A 5.（浙江理1）已知 ()?? ?≤+>=0),1(0 2x x f x x x f ，则()()22-+f f 的值为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．2 【答案】B 6.（湖南文8）已知函数 2 ()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为 A ．[22,22]-+ B ．(22,22)-+ C ．[1,3] D ．(1,3) 【答案】B 【解析】由题可知()11x f x e =->-，22()43(2)11g x x x x =-+-=--+≤，若有()(),f a g b =则()(1,1]g b ∈-，即2431b b -+->-，解得2222b -<<+。 7. (全国Ⅰ理12)函数 1 1y x = -的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横 坐标之和等于 （A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 【答案】D 8.（四川理16）函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数．例如，函数()f x =2x+1(x ∈R )是单函数．下列命题： ①函数2 ()f x x =（x ∈R ）是单函数； ②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠； ③若f ：A→B 为单函数，则对于任意b B ∈，它至多有一个原象； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 一定是单函数． 其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号） 【答案】②③ 【解析】对于①，若12()()f x f x =，则12x x =±，不满足；②实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；对于③，若任意b B ∈，若有两个及以上的原象，也即当12()()f x f x =时，不一定有12x x =，不满足题设，故该命题为真；根据定义，命题④不满足条件． 9.（上海文3）若函数()21f x x =+的反函数为1()f x -，则 1 (2)f --= 【答案】3 2- 10.（上海文14）设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[0,1]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[0,3]上的值域为 【答案】[2,7]- 11.（上海理10）行列式(,,,{1,1,2})a b a b c d c d ∈-所有可能的值中，最大的是 . 【答案】6 12.（上海理13） 设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 . 【答案】[15,11] -*copoyright:x,k,https://www.doczj.com/doc/1b15130177.html,* 13（广东文12）设函数 .1cos )(3+=x x x f 若11)(=a f ，则=-)(a f ． 【答案】-9 14.（安徽文13）函数 21 6y x x = --的定义域是 . 【答案】（－3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法. 【解析】由260x x -->可得260x x +-<，即 ()()+320x x -<，所以32x -<<. 15.（浙江文11）设函数k 4 ()1f x x = + ,若()2f a =,则实数a =________________________ 【答案】-1 16（上海理1）函数 1 ()2f x x = -的反函数为1 ()f x -= . 【答案】12x + 17.（江苏11）已知实数0≠a ，函数 ?? ?≥--<+=1,21 ,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________ 【答案】 3 4a =- 【解析】 0a ≠ . 30,2212,2a a a a a a >-+=---=- ，不符合； 3 0,1222,4a a a a a a <-+-=++=- . 本题主要考查函数概念，函数与方程,函数模型及其应用,含参的分类讨论，中档题. 18.（湖北理21）（Ⅰ）已知函数()ln 1f x x x =-+，(0,)x ∈+∞，求函数()f x 的最大值； 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，令 /1 ()101f x x x = -=?=， ()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，故函数()f x 在1x =处取得最大值(1)0f = 2010年高考题 一、选择题 1.（2010湖南文）8.函数y=ax 2 + bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐 标系中的图像可能是 答案 D 2.（2010浙江理）（10）设函数的集 合 211 ()log (),0,,1;1,0,122P f x x a b a b ??==++=-=-???? ， 平面上点的集合 11 (,),0,,1;1,0,122Q x y x y ??==-=-???? ， 则在同一直角坐标系中，P 中函数()f x 的图象恰好．．经过Q 中两个点的函数的个数是 （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10 答案 B 解析：当a=0,b=0;a=0,b=1;a= 21,b=0; a=2 1 ,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B ，本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考察，属中档题 3.（2010辽宁文）（4）已知0a >，函数2 ()f x ax bx c =++，若0x 满足关于x 的方程 20ax b +=，则下列选项的命题中为假命题的是 （A ）0,()()x R f x f x ?∈≤ （B ）0,()()x R f x f x ?∈≥ （C ） 0,()()x R f x f x ?∈≤ （D ）0,()()x R f x f x ?∈≥ 答案 C 解析：选C.函数()f x 的最小值是0()()2b f f x a - = 等价于0,()()x R f x f x ?∈≥，所以命题C 错误. 4.（2010江西理）9．给出下列三个命题： ①函数11cos ln 21cos x y x -= +与ln tan 2 x y =是同一函数； ②若函数()y f x =与()y g x =的图像关于直线y x =对称，则函数 ()2y f x =与()1 2 y g x = 的图像也关于直线y x =对称； ③若奇函数()f x 对定义域内任意x 都有()(2)f x f x =-，则()f x 为周期函数。 其中真命题是 A. ①② B. ①③ C.②③ D. ② 答案 C 【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除A 、B ，验证③, ()[2()](2)f x f x f x -=--=+,又通过奇函数得()()f x f x -=-，所以f （x ）是周期为2的周期函数，选择C 。 5.（2010重庆理）(5) 函数()41 2 x x f x +=的图象 A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x 对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称 答案 D 解析：)(241214)(x f x f x x x x =+=+= --- )(x f ∴是偶函数，图像关于y 轴对称 6.（2010天津文）(5)下列命题中，真命题是 (A)m R,f x x mx x R ?∈+∈2 使函数（）=（）是偶函数 (B)m R,f x x mx x R ?∈+∈2使函数（）=（）是奇函数 (C)m R,f x x mx x R ?∈+∈2使函数（）=（）都是偶函数 (D)m R,f x x mx x R ?∈+∈2使函数（）=（）都是奇函数 答案A 【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念，与存在量词、全称量词的含义，属于容易题。当m=0时，函数f （x ）=x 2 是偶函数，所以选A. 【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。 7.（2010天津理）（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 (A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数 （B ）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 （C ）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数 （D ）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 答案 B 【解析】本题主要考查否命题的概念 ，属于容易题。 否命题是同时否定命题的条件结论，故否命题的定义可知B 项是正确的。 【温馨提示】解题时要注意否命题与命题否定的区别。 8.（2010广东理）3．若函数f （x ）=3x +3-x 与g （x ）=3x -3-x 的定义域均为R ，则 A ．f （x ）与g （x ）均为偶函数 B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数 C ．f （x ）与g （x ）均为奇函数 D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数 答案 D 【解析】()3 3(),()33()x x x x f x f x g x g x ---=+=-=-=-． 9.（2010广东文）3.若函数x x x f -+=33)(与x x x g --=3 3)(的定义域均为R ，则 A. )(x f 与)(x g 与均为偶函数 B.)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数 C. )(x f 与)(x g 与均为奇函数 D.)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数 答案 D 解:由于)(33 )()(x f x f x x =+=----,故)(x f 是偶函数,排除B 、C 由题意知，圆心在y 轴左侧，排除A 、C 在AO Rt 0?， 210==k A OA ，故505 1 0500=?==O O O A ，选D 10.（2010广东文）2.函数)1lg()(-=x x f 的定义域是 A.),2(+∞ B. ),1(+∞ C. ),1[+∞ D. ),2[+∞ 答案 B 解：01>-x ，得1>x ，选B. 11.（2010全国卷1理）（10）已知函数f (x )=|lg x |.若0 (A)(22,)+∞ (B)[22,)+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞ 12.（2010湖北文）5.函数0.51 log (43) y x = -的定义域为 A.( 3 4 ,1) B( 3 4,∞) C （1，+∞） D. ( 3 4 ,1)∪（1，+∞） 13.（2010山东理）(11)函数y =2x -2 x 的图像大致是 【答案】A 【解析】因为当x=2或4时，2x -2x =0，所以排除B 、C ；当x=-2时，2x -2 x =1 4<04 -，故排除D ，所以选A 。 【命题意图】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的 思维能力。 14.（2010山东理）（4）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 【答案】D 15.（2010湖南理）8.用表示a，b两数中的最小值。若函数 的图像关于直线x= 1 2 对称，则t的值为 A．-2 B．2 C．-1 D．1 16.（2010安徽理） 17.（2010重庆文数）（4）函数164x y =-的值域是 （A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4) 答案 B 解析：[)40,0164161640,4x x x >∴≤-<∴-∈ 二、填空题 1.（2010重庆文数）(12)已知0t >，则函数241 t t y t -+=的最小值为____________ . 答案 -2 解析：2411 42(0)t t y t t t t -+= =+-≥-> ，当且仅当1t =时，min 2y =- 2.（2010广东理）9. 函数()f x =lg(x -2)的定义域是 . 答案(1,+∞) ． 【解析】∵10x ->，∴1x >． 3.（2010全国卷1理）(15)直线1y =与曲线2 y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 . 4.（2010福建理）15．已知定义域为0+∞（，）的函数f(x)满足：①对任意x 0∈+∞（，），恒 有f(2x)=2f(x)成立；当x ]∈ （1，2时，f(x)=2-x 。给出如下结论： ①对任意m Z ∈，有m f(2)=0 ；②函数f(x)的值域为[0+∞，）；③存在n Z ∈，使得n f(2+1)=9 ；④“函数f(x)在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得 1(,)(2,2)k k a b +?”。 其中所有正确结论的序号是 。 【答案】①②④ 【解析】对①，因为m 2>0，所以m f(2)=0，故①正确；经分析，容易得出②④也正确。 【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键。 5.（2010江苏卷）5、设函数f(x)=x(e x +ae -x )(x ∈R)是偶函数，则实数a =________________ 答案 a=－1 【解析】考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e x +ae -x 为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。 三、解答题 1.（2010上海文）2 2.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。 若实数x 、y 、m 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m . （1）若2 1x -比3接近0，求x 的取值范围； （2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：2 2 a b ab +比3 3 a b +接近2ab ab ； （3）已知函数()f x 的定义域{} ,,D x x k k Z x R π≠∈∈.任取x D ∈，()f x 等于1sin x +和1sin x -中接近0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、 最小值和单调性（结论不要求证明）. 解析：(1) x ∈(-2,2)； (2) 对任意两个不相等的正数a 、b ，有222a b ab ab ab +>，332a b ab ab +>， 因为22332|2||2|()()0a b ab ab ab a b ab ab a b a b +--+-=-+-<， 所以2233|2||2|a b ab ab ab a b ab ab +-<+-，即a 2 b +ab 2 比a 3 +b 3 接近2ab ab ； (3) 1sin ,(2,2) ()1|sin |,1sin ,(2,2)x x k k f x x x k x x k k πππππππ+∈-?==-≠?-∈+? ,k ∈Z ， f (x )是偶函数，f (x )是周期函数，最小正周期T =π，函数f (x )的最小值为0， 函数f (x )在区间[,)2k k π ππ- 单调递增，在区间(,]2 k k π ππ+单调递减，k ∈Z ． 2.（2010北京文）（20）（本小题共13分） 已知集合 121{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于 12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为 1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---… A 与 B 之间的距离为111 (,)||i d A B a b -= -∑ （Ⅰ）当n=5时，设(0,1,0,0,1),(1,1,1,0,0)A B ==，求A B -，(,)d A B ； （Ⅱ）证明：,,,n n A B C S A B S ?∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; (Ⅲ) 证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ?∈三个数中至少有一个是偶数 （Ⅰ）解：(01,11,01,00,10)A B -=-----=（1,0,1,0,1） (,)0111010010d A B =-+-+-+-+-=3 (Ⅱ)证明：设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n n A a a a B b b b C c c c S =???=???=???∈ 因为11,{0,1}a b ∈，所以11{0,1}(1,2,,)a b i n -∈=??? 从而1122(,,)n n n A B a b a b a b S -=--???-∈ 由题意知,,{0,1}(1,2,,)i i i a b c i n ∈=??? 当0i c =时，i i i i i i a c b c a b ---=- 高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2.指数函数的图象和性质 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31(y = （2）x )2 1 (y = （3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y = 【指数函数性质应用经典例题】 例1．设a 是实数， 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+，试证明：对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 证明：设1212,,x x R x x ∈<，则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数， 且12x x <， 所以1222x x < 即1 2220x x -<， 又由20x >， 得1 1 20x +>，2120x +>， ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <， 所以，对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >， 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根． 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇 数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：n a =；当n 为奇数时， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分 数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫 做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式：log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 高等数学期末试卷 一、填空题（每题2分，共30分） 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是. 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。 2．若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f ． 解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____,=b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23 4 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____,=b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x =。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7. 设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y (1)!n + 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 2.9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 1.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算； 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 1.幂的有关概念 (1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 48476Λ个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ (2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； (3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> (4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ 3.根式 （1）根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈，那么x 叫做a 的n 次方根，用 n a 表 示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 (2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4.指数函数： （1）定义：y=a x (a >0且a ≠1)，叫指数函数，x 是自变量，y 是x 的函数。 （2）图象： 《基本初等函数》检测题 一．选择题．（每小题5分，共50分） 1．若0m >，0n >，0a >且1a ≠，则下列等式中正确的是 ( ) A ．()m n m n a a += B ．1 1m m a a = C ．log log log ()a a a m n m n ÷=- D 43 ()mn = 2．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( ) A ．(1,2) B ．(2,2) C ．(2,3) D ．2 (,2)3 3．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(4)f 的值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．12 D ．8 4．若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是 （ ） A ．12 2lg x x x >> B ．12 2lg x x x >> C ．12 2lg x x x >> D ．12 lg 2x x x >> 5．函数(2)log (5)x y x -=-的定义域是 （ ） A ． (3,4) B ．(2,5) C ．(2,3)(3,5) D ．(,2)(5,)-∞+∞ 6．某商品价格前两年每年提高10%，后两年每年降低10%，则四年 后的价格与原来价格比较，变化的情况是 （ ） A ．减少1.99% B ．增加1.99% C ．减少4% D ．不增不减 7．若1005,102a b ==，则2a b += （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8． 函数()lg(101)2 x x f x =+-是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇且偶函数 D ．非奇非偶函数 9．函数2log (2)(01)a y x x a =-<<的单调递增区间是 （ ） A ．(1,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,0)-∞ 10．若2log (2)y ax =- (0a >且1a ≠)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[2,)+∞ 二．填空题．(每小题5分，共25分) 11．计算：459log 27log 8log 625??= ． 12．已知函数3log (0)()2(0) x x x >f x x ?=?≤?， ， ,则1[()]3 f f = ． 13． 若 3())2 f x a x bx =++，且 (2) f =，则 (2f - = ． 14．若函数()log (01)f x ax a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3 1.填空题 1、当0→x 时，x cos 1-与2x 相比较是 同阶 无穷小。 2、=→2 203sin lim x x x 1/3 3、曲线(1cos ),sin x t t y t =-=在t π=处的切线斜率为 -1/2 4、当k 满足条件__x>2_________时，积分?+∞-1 1k x dx 收敛 5、曲线||x y =的极值点是 x=0 6 、设函数y =则dy = 2xdx 7、若()lim(1)x x t f t x →∞ =+，则=')(t f e t 8、?-=22 35sin cos π πxdx x 0 9、若?=t xdx t f 12ln )(，则=')(t f ln 2 t 10、微分方程0cos 2=-y dx x dy 的通解为siny=x 2__________ 1、当0→x 时，x cos 1-与22x 相比较是 无穷小. 2、设函数?????=≠=0001sin )(3x x x x x f 当当，则=')0(f . 3、设)4)(2)(3)(5()(--++=x x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根. 4、当k 满足条件___________时，积分1 2k dx x +∞+?收敛. 5、设函数21x y -=，则dy = . 6、函数)2(-=x x y 的极值点是 . 7、=≠∞→)0(sin lim a x a x x . 8、若?=t x dx e t f 02 )(，则=')(t f . 9、?-=π πxdx x 32sin . 10、微分方程 0cos 2=-x dy y dx 的通解为___________. 一、 单项选择题（每小题2分，共10分） 1、函数x x y -=3ln 的定义域为（B ） A ),0(+∞ B ]3,(-∞ C )3,0( D ]3,0( 2、函数()f x 在0x 处)0()0(00+=-x f x f 是()f x 在0x 处连续的( B ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件 3、函数93)(+=x x f 在0=x 处（C ） A 不连续 ； B 可导； C 连续但不可导； D 无定义 4、下列式子中，正确的是（B ） A. ()()f x dx f x '=? B. 22()()d f x dx f x dx =? C. ()()f x dx f x =? D.?=)()(x f dx x f d 5、设()x f x e -=，则(ln )f x dx x =? _C______. A ． 1C x + B. ln x C + C. 1C x -+ D. ln x C -+ 二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．函数241)(x x x f -+=的定义域为（ C ）. A ．]2,2[-； B. )2,2(-； C. ]2,0()0,2[ -； D. ),2[+∞． 2、若)(x f 在0x 的邻域内有定义，且)0()0(00+=-x f x f ，则（B ）. A )(x f 在0x 处有极限，但不连续； B )(x f 在0x 处有极限，但不一定连续; ２．9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 １.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算; 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 １.幂的有关概念 （1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ （2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； （3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> （4)0的正分数指数幂等于0，０的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ ３．根式 （1)根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈,那么x 叫做a 的n 次方根,用 n a 表示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 （2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4．指数函数： （1)定义：y=a x (a >0且a ≠１),叫指数函数,ｘ是自变量，ｙ 是x 的函数。 （2）图象: 幂函数 【知识梳理】 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数． 2．常见幂函数的图象与性质 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【常考题型】 题型一、幂函数的概念 【例1】(1)下列函数：①y＝x3；②y＝ 1 2 x ?? ? ?? ；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2； ⑥y＝x；⑦y＝a x(a>1)．其中幂函数的个数为() A．1B．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝( ) 22 23 1m m m m x ----，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y ＝() 2 223 1m m m m x ----为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x － 3，且有x≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x － 3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}． 【类题通法】 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α (α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件． 【对点训练】 函数f(x)＝( ) 22 3 1m m m m x +---是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的 解析式． 解：根据幂函数的定义得 m 2－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，f(x)＝x 3在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝－1时，f(x)＝x －3 在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求． 故f(x)＝x 3. 题型二、幂函数的图象 【例2】 (1)如图，图中曲线是幂函数y ＝x α 在第一象限的大致图象，已知α取－2，－12，1 2，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4 的α的值依次为( ) A ．－2，－12，1 2 ，2 B ．2，12，－1 2 ，－2 专题九 指数函数 【高频考点解读】 1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的函数模型． 【热点题型】 题型一 指数函数性质的考查 例1、求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝????23－|x ＋1|；(2)y ＝2 x 2x ＋1 ；(3)y ＝. 【提分秘籍】 解决与指数函数的性质问题时应注意 (1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断． (2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用． 【举一反三】 已知函数f (x )＝ . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． 【热点题型】 题型二指数函数的图象及应用 例2、(1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是() (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 【答案】(1)A(2)[－1,1] 【提分秘籍】 1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． 2．y＝a x，y＝|a x|，y＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系： y＝a x与y＝|a x|是同一函数的不同表现形式． 函数y＝a|x|与y＝a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同． 【举一反三】 当a≠0时,函数y=ax+b和y=b ax的图象只可能是下图中的( ) 【热点题型】 题型三分类讨论思想在指数函数中的应用 例3、设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 原创理科数学专题卷 专题 基本初等函数 考点07：指数与指数函数（1—3题，8—10题，13,14题，17-19题） 考点08：对数与对数函数（4—7题，8—10题，15题，17题，20-22题） 考点09：二次函数与幂函数（11,12题，16题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1．【来源】2017届黑龙江虎林一中高三期中 考点07 易 函数 2212x x y -+??= ? ?? 的值域是（ ） A.R B.1,2??+∞???? C.()2,+∞ D.()0,+∞ 2. 【来源】2017届黑龙江虎林一中高三期中 考点07 中难 设函数 ()1221,0,0 x x f x x x -?-≤? =??>? 如果 ()01f x >，则0x 的取值范围是（ ） A. () 1,1- B. ()() 1,01,-+∞U C. ()(),11,-∞-+∞U D.()(),10,1-∞-U 3．【2017课标1，理11】 考点07 难 设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ ） A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z 4．【来源】2016-2017学年黑龙江虎林一中月考 考点08 易 已知函数()()3log 472a f x x =-+（0a >且1a ≠）过定点P ，则P 点坐标（ ） A ．()1,2 B ．7 ,24?? ??? C.()2,2 D ．()3,2 5．【来源】2016-2017学年河北定州中学周练考点08 易 若函数[)[]?? ???∈-∈=1,0,40,1,41)(x x x f x x ）（ ，则411log 33f f ??? ?=?? ?? ???（ ） A.3 1 B.3 C.4 1 D.4 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα 指数函数 一、选择题（共17小题；共85分） 1. 已知 a =(?12)?1 ，b =2?12 ，c =(12)?1 2 ，d =2?1，则此四数中最大的是 ( ) A. a B. b C. c D. d 2. 已知 a = √5?1 2 ，函数 f (x )=a x ，若实数 m ，n 满足 f (m )>f (n ) ，则 m ，n 的关系为 ( ) A. m +n <0 B. m +n >0 C. m >n D. m 方法强化练——函数与基本初等函数 (建议用时：75分钟) 一、填空题 1．(2014·珠海模拟)函数y ＝(x ＋1)0 2x ＋1的定义域为______． 解析 由??? x ＋1≠0，2x ＋1＞0，得x ∈? ???? －12，＋∞. 答案 ? ?? ?? －12，＋∞ 2．(2013·金华十校联考)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是________． ①y ＝2|x |；②y ＝lg(x ＋x 2＋1)；③y ＝2x ＋2－x ；④y ＝lg 1 x ＋1 . 解析 根据奇偶性的定义易知①、③为偶函数，②为奇函数，④的定义域为{x |x ＞－1}，不关于原点对称． 答案 ④ 3．(2013·山东省实验中学诊断)已知幂函数f (x )的图象经过(9,3)，则f (2)－f (1)＝________. 解析 设幂函数为f (x )＝x α，则f (9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝12，即f (x )＝ ＝x ，所以f (2)－f (1)＝2－1. 答案 2－1 4．(2014·无锡调研)已知方程2x ＝10－x 的根x ∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析 设f (x )＝2x ＋x －10，则由f (2)＝－4＜0，f (3)＝1＞0，所以f (x )的零点在(2,3)内． 答案 2 5．(2014·天水调研)函数f (x )＝(x ＋1)ln x 的零点有________个． 解析 函数的定义域为{x |x ＞0}，由f (x )＝(x ＋1)ln x ＝0得，x ＋1＝0或ln x ＝0，即x ＝－1(舍去)或x ＝1，所以函数的零点只有一个． 答案 1 6．(2014·烟台月考)若a ＝log 20.9，b ＝ ，c ＝ ，则a 、b 、c 大小 《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du . 5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题（每题5分，共40分） 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成，计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分） 1. 证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x . 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 第二章 指数函数与对数函数及函数的应用 一、知识网络 二、课标要求和最新考纲要求 1、指数函数 （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14 C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2、对数函数 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； （2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3、知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。 4、函数与方程 （1）了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。 （2）理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. 5、函数模型及其应用 （1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 （2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 （3）能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。 三、命题走向 函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势. 考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测2010年对本节的考查是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。 专题三 基本初等函数 考点07：指数与指数函数（1—3题，8—10题，13,14题，17-19题） 考点08：对数与对数函数（4—7题，8—10题，15题，17题，20-22题） 考点09：二次函数与幂函数（11,12题，16题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1． 考点07 易 下列各式中成立的一项是( ) A. 7 1 77n n m m ??= ??? B. = ()34 x y =+ =2. 考点07 中难 函数1 1x y a -=+，（0a >且1a ≠）的图像必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ） A. ()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4 3． 考点07 难 函数2 212x x y -??= ??? 的值域为( ) A. 1,2 ??+∞???? B. 1,2 ??-∞ ?? ? C. 10,2 ?? ?? ? D. [)0,2 4． 考点08 易 已知函数|lg |,010,()16,10.2 x x f x x x <≤?? =?-+>??若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的 取值范围是( ) A. (1,10) B. (5,6) C. (10,12) D. (20,24) 5．考点08 易 已知2log 0.3a =,0.12b =, 1.30.2c =,则,,a b c 的大小关系是( ) A. a b c << B.c a b << C. a c b << D. b c a << 6． 考点08中难 函数y = ） A ．(0,8] B ．(2,8]- C ．(2,8] D ．[8,)+∞ 7． 考点08中难 函数212 log (617)y x x =-+的值域是( ) A. R B. [8,)+∞ C. (,3)-∞- D. [)3,+∞ 8．考点07，考点08 易 函数()log (1)x a f x a x =++ (0a >且1a ≠)在[]0,1上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为( ) A. 12 B. 14高考数学-指数函数图像和性质及经典例题
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