9.10 棱柱与棱锥
●知识梳理
1.有两个面互相平行，其余各面的公共边互相平行的多面体叫做棱柱.侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.
2.棱柱的各侧棱相等，各侧面都是平行四边形；长方体的对角线的平方等于由一个顶点出发的三条棱的平方和.
3.一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥.底面是正多边形并且顶点在底面上的射影是正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.
4.棱锥中与底面平行的截面与底面平行，并且它们面积的比等于对应高的平方比.
在正棱锥中，侧棱、高及侧棱在底面上的射影构成直角三角形；斜高、高及斜高在底面上的射影构成直角三角形.
●点击双基
1.设M =｛正四棱柱｝，N =｛直四棱柱｝，P =｛长方体｝，Q =｛直平行六面体｝，则四个集合的关系为
A.M
P
N
Q B.M
P
Q
N
C.P
M
N
Q
D.P
M
Q
N
解析：理清各概念的内涵及包含关系. 答案：B
2.如图，在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在
B
A.直线AB 上
B.直线BC 上
C.直线AC 上
D.△ABC 内部 解析：由AC ⊥AB ，AC ⊥BC 1，知AC ⊥面ABC 1，从而面ABC 1⊥面ABC ，因此，C 1在底面ABC 上的射影H 必在两面的交线AB 上.
答案：A
3.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =a ，则三棱锥D —ABC 的体积为
A.63a
B.12
3a C. 123a 3 D.122 a 3
答案：D
4.（2003年春季上海）若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于_______.（结果用反三角函数值表示）
解析：取BC 的中点D ，连结SD 、AD ，则SD ⊥BC ，AD ⊥B C.
∴∠SDA 为侧面与底面所成二面角的平面角，设为α.在平面SAD 中，作SO ⊥AD 与AD 交于O ，则SO 为棱锥的高.
AO =2DO ，∴OD =3
23.
又V S —ABC =
31·2
1
AB ·BC ·sin60°·h =1， ∴h =43.∴tan α=DO SO =33
243
=8
3.
∴α=arctan 83
.
答案：arctan 8
3
5.过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为__________.
解析：由锥体平行于底面的截面性质知，自上而下三锥体的侧面积之比，S 侧1∶S 侧2∶S 侧
3=
1∶4∶9，所以锥体被分成三部分的侧面积之比为1∶3∶5.
答案：1∶3∶5 ●典例剖析
【例1】 已知E 、F 分别是棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱A 1A 、CC 1的中点，求四棱锥C 1—B 1EDF 的体积.
D 1
解法一：连结A 1C 1、B 1D 1交于O 1，过O 1作O 1H ⊥B 1D 于H ， ∵EF ∥A 1C 1，
∴A 1C 1∥平面B 1EDF .∴C 1到平面B 1EDF 的距离就是A 1C 1到平面B 1EDF 的距离. ∵平面B 1D 1D ⊥平面B 1EDF ，
∴O 1H ⊥平面B 1EDF ，即O 1H 为棱锥的高. ∵△B 1O 1H ∽△B 1DD 1， ∴O 1H =
D
B DD O B 1111 =66
a ，
V EDF B C 11-=
31S EDF B 1·O 1H =31·21·EF ·B 1D ·O 1H =31·21·2a ·3a ·66a =6
1
a 3.
解法二：连结EF ，设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2，则h 1+h 2=B 1D 1=2a ，∴V EDF B C 11-=V EF C B 11-+V EF C D 1-=
31·S EF C 1?·（h 1+h 2）=6
1
a 3. 解法三：V EDF B C 11-=V FD C D E B A 1111-多面体－V 1111D C B A E -－V D D C E 11-=6
1
a 3.
特别提示
求体积常见方法有：①直接法（公式法）；②分割法；③补形法.
【例2】 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A =AB =2，BC =a ，又侧棱P A ⊥底面ABCD .
（1）当a 为何值时，BD ⊥平面P AC ?试证明你的结论. （2）当a =4时，求D 点到平面PBC 的距离.
（3）当a =4时，求直线PD 与平面PBC 所成的角.
A
B C
剖析：本题主要考查棱锥的性质，直线、平面所成的角的计算和点到平面的距离等基础知识.同时考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力.
本题主要是在有关的计算中，推理得到所求的问题，因而尽量选择用坐标法计算. 解：（1）以A 为坐标原点，以AD 、AB 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，当a =2时，BD ⊥AC ，又P A ⊥BD ，故BD ⊥平面P AC .故a =2.
（2）当a =4时，D （4，0，0）、C （0，2，0）、C （4，2，0）、P （0，0，2）、 =（0，2，－2），=（4，0，0）.
设平面PBC 的法向量为n ，则n ·PB =0，n ·=0，即（x ，y ，z ）·（0，2，－2）=0，（x ，y ，z ）·（4，0，0）=0，得x =0，y =z ，取y =1，故n =（0，1，1）.则D 点到平面PBC 的距离d =
|
DC n n ||
|?=2. （3） =（4，0，2），cos 〈，n 〉|
|||n n DP 10
10
>0，证〈，n 〉=α，设直线PD 与平面PBC 所成的角为θ，则sin θ=sin （
2
π
－α）=cos α=1010.
所以直线PD 与平面PBC 所成的角为arcsin 10
10
.
【例3】 如图，设三棱锥S —ABC 的三个侧棱与底面ABC 所成的角都是60°，又∠BAC =60°，且SA ⊥BC .
（1）求证：S —ABC 为正三棱锥；
（2）已知SA =a ，求S —ABC 的全面积.
A B
C
D S
O
（1）证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可.作三棱锥S —ABC 的高SO ，O 为垂足，连结AO 并延长交BC 于D .
因为SA ⊥BC ，所以AD ⊥B C.又侧棱与底面所成的角都相等，从而O 为△ABC 的外心，OD 为BC 的垂直平分线，所以AB =AC .又∠BAC =60°，故△ABC 为正三角形，且O 为其中心.所以S －ABC 为正三棱锥.
（2）解：只要求出正三棱锥S —ABC 的侧高SD 与底面边长，则问题易于解决.在
Rt △SAO 中，由于SA =a ，∠SAO =60°，所以SO =
23a ，AO =2
1
a .因O 为重心，所以AD =23AO =43a ，BC =2BD =2AD cot60°=23a ，OD =31AD =41
a .
在Rt △SOD 中，SD 2=SO 2＋OD 2=（23a ）2＋（41a ）2=16
13
，则SD =1413a .
于是，（S S －ABC ）全=21·（23a ）2sin60°＋3·2
1
·413a ·23a =16)393(3+a 2.
深化拓展
（1）求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式S
正棱锥底
=cos α·S
正棱锥侧
（α为侧面与
底面所成的二面角）.就本题cos α=
13
1，S ABC ?=
1633a 2，所以（S S －ABC ）侧=6
33a 2
÷13
1=
16
393a 2
.于是也可求出全面积. （2）注意到高SO =
23a ，底面边长BC =2
3a 是相等的，因此这类正三棱锥还有高与底面边长相等的性质，反之亦真.
（3）正三棱锥中，若侧棱与底面边长相等，则变成四个面都是正三角形的三棱锥，这时可称为正四面体，因此正四面体是特殊的正三棱锥，但正三棱锥不一定是正四面体.
●闯关训练 夯实基础
1.（2004年全国Ⅰ，10）已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H .设四面体EFGH 的表面积为T ，则
S
T
等于 A.
9
1 B.
9
4
C.
4
1 D.
3
1 解析：如图所示，正四面体ABCD 四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，
∴四面体EFGH 也是正四面体. 连结AE 并延长与CD 交于点M ， 连结AG 并延长与BC 交于点N . ∵E 、G 分别为面的中心，
∴
AM AE =AN AG =32.∴MN GE =3
2
. 又∵MN =21BD ，∴BD GE =3
1
.
∵面积比是相似比的平方，∴S T =9
1
.
答案：A
2.P 是长方体AC 1上底面A 1C 1内任一点，设AP 与三条棱AA 1、AB 、AD 所成的角为α、β、γ，则cos 2α+cos 2β+cos 2γ的值是
A.1
B.2
C.
2
3 D.不确定正
解析：以AP 为一条对角线截得小长方体AP ，由长方体的对角线长定理可得cos 2α+cos 2β
+cos 2γ=1.
答案：A
3.在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 的边及其内部运动，则M 只需满足条件__________
时，就有MN ⊥AC .
答案：点M 与F 重合
说明：本题答案不唯一，当点M 在线段FH 上时均有MN ⊥AC .
4.在三棱锥S —ABC 中，∠ASB =∠ASC =∠BSC =60°，则侧棱SA 与侧面SBC 所成的角的大小是_____________.
答案：arccos
3
3 5.三棱锥一条侧棱长是16 cm ，和这条棱相对的棱长是18 cm ，其余四条棱长都是17 cm ，求棱锥的体积.
解：如图，取AD 的中点E ，连结CE 、BE ，
D
∵AC =CD =17，DE =8，CE 2=172－82=225，BE =CE ，
∴取BC 的中点F ，连结EF ，EF 为BC 边上的高，EF =22CF CE -=22915-=12. ∴S BCE ?=108.
∵AC =CD =17cm ，E 为AD 的中点，CE ⊥AD ，同理BE ⊥AD ， ∴DA ⊥平面BCE .
∴三棱锥可分为以底面BCE 为底，以AE 、DE 为高的两个三棱锥. ∴V A －BCD =V A —BCE +V D —BCE =2·
31S BCE ?·AE =2×3
1
×108×8=576（cm 3）. 6.（2003年春季北京）如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点，EF ∩BD =G .
A
1
（1）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1；
（2）求点D 1到平面B 1EF 的距离d . （1）证法一：连结AC .
∵正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是正方形，∴AC ⊥BD .又AC ⊥D 1D ，∴AC ⊥平面BDD 1B 1.
∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点，故EF ∥AC . ∴EF ⊥平面BDD 1B 1.
∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.
证法二：∵BE =BF ，∠EBD =∠FBD =45°， ∴EF ⊥BD .
又EF ⊥D 1D ，∴EF ⊥平面BDD 1B 1. ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.
（2）在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H .
∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1，且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ， ∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H . ∴点D 1到平面B 1EF 的距离d =D 1H . 解法一：在Rt △D 1HB 1中， D 1H =D 1B 1·sin ∠D 1B 1H .
B B D
D
H
G
11
∵D 1B 1=2A 1B 1=2·22=4， sin ∠D 1B 1H =sin ∠B 1GB =
11GB B B =221
44+=174，
∴d =D 1H =4·
17
4=
17
1716. 解法二：∵△D 1HB 1∽△B 1BG ， ∴
B B H D 11=G
B B D 11
1. ∴d =D 1H =G B B B 121=222
1
44+=171716.
解法三：连结D 1G ，则△D 1GB 1的面积等于正方形DBB 1D 1面积的一半，即
21·B 1G ·D 1H =2
1
B 1B 2，
D 1
∴d =D 1H =G
B B B 121= 1717
16.
培养能力
7.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1=3BB 1，
（1）求证：AB 1⊥BC 1；
（2）求二面角A —BC 1—C 的正切值.
（1）证法一：如图，取BC 的中点M ，连结B 1M 、BC 1交于N ，则AM ⊥面BC 1.下证BC 1⊥B 1M .设BB 1=1，则AB 1=3，AB =BC =2，
A 1
∴tan ∠B 1MB =2=tan ∠B 1BC 1.
∴得△B 1MB ∽△B 1BN .
∴∠B 1BM =90°=∠B 1NB ，即BC 1⊥B 1M . ∴BC 1⊥斜线AB 1.
证法二：如图，取B 1C 1和B 1B 的中点E 与D ，连结ED ，则DE ∥BC 1.再取AB 的中点G ，连结DG ，则DG ∥AB 1，
A
1
∴∠GDE 为异面直线AB 1、BC 1所成的角.下用勾股定理证明∠GDE 为直角.取A 1B 1的中点F ，连结EF 、EG 、FG ，则EG =22FG EF 且DE 、DG 均可表示出.
故可知EG 2=DE 2＋DG 2，∴∠GDE =90°.
（2）解：连结AN ，则∠ANM 为所求二面角的平面角，tan ∠ANM =3.
评述：本题（1）证法一中可把面BB 1C 1C 单独拿出作成平面图形，则易于观察△B 1MB 与△B 1NB 的相似关系.证法二的特点是思路较好.因为所证为两异面直线，作出其所成角为一般方法.
8.（2005年春季北京，文16）如图，正三棱锥S —ABC 中，底面的边长是3，棱锥的侧
面积等于底面积的2倍，M 是BC 的中点.求：
（1）
SM
AM
的值； （2）二面角S —BC —A 的大小； （3）正三棱锥S —ABC 的体积. 解：（1）∵SB =SC ，AB =AC ，M 为BC 的中点，∴SM ⊥BC ，AM ⊥BC
.
由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即
3×
21BC ×SM =2×21
BC ×AM ， 得SM AM =2
3.
（2）作正三棱锥的高SG ，则G 为正三角形ABC 的中心，G 在AM 上，GM =3
1
AM . ∵SM ⊥BC ，AM ⊥BC ，
∴∠SMA 是二面角S —BC —A 的平面角. 在Rt △SGM 中， ∵SM =
32AM =3
2
×3GM =2GM ， ∴∠SMA =∠SMG =60°，
即二面角S —BC —A 的大小为60°. （3）∵△ABC 的边长是3，
∴AM =
233，GM =23，SG =GM tan60°=23·3= 2
3
.
∴V S —ABC =31 S ABC ·SG =31·439·2
3=83
9.
（2005年春季北京，理16）如图，正三角形ABC 的边长为3，过其中心G 作BC 边的平行线，分别交AB 、AC 于B 1、C 1.将△AB 1C 1沿B 1C 1折起到△A 1B 1C 1的位置，使点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影恰是线段BC 的中点M .求：
（1）二面角A 1—B 1C 1—M 的大小；
（2）异面直线A 1B 1与CC 1所成角的大小.（用反三角函数表示） 解：（1）连结AM 、A 1G .
∵G 是正三角形ABC 的中心，且M 为BC 的中点， ∴A 、G 、M 三点共线，AM ⊥BC . ∵B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1⊥AM 于点G ， 即GM ⊥B 1C 1，GA 1⊥B 1C 1.
∴∠A 1GM 是二面角A 1—B 1C 1—M 的平面角. ∵点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影为M ， ∴A 1M ⊥MG ，∠A 1MG =90°.
在Rt △A 1GM 中，由A 1G =AG =2GM ，得∠A 1GM =60°， 即二面角A 1—B 1C 1—M 的大小是60°.
（2）过B 1作C 1C 的平行线交BC 于点P ，则∠A 1B 1P 等于异面直线A 1B 1与CC 1所成的角. 由PB 1C 1C 是平行四边形得B 1P =C 1C =1=BP ，PM =BM －BP =2
1
，A 1B 1=AB 1=2. ∵A 1M ⊥面BB 1C 1C 于点M ， ∴A 1M ⊥BC ，∠A 1MP =90°.
在Rt △A 1GM 中，A 1M =A 1G ·sin60°=3·23=2
3. 在Rt △A 1MP 中，A 1P 2=A 1M 2+PM 2=（23）2+（21）2=2
5
.
在△A 1B 1P 中，由余弦定理得
cos ∠A 1B 1P =P B B A P A P B B A 1112
1212112??-+=
12225
1222??-+=8
5， ∴异面直线A 1B 1与CC 1所成角的大小为arccos
8
5
. 探究创新
9.（2004年天津，理19）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .
（1）证明：P A ∥平面EDB ； （2）证明：PB ⊥平面EFD ； （3）求二面角C —PB —D 的大小
.
解法一：（1）证明：连结AC 交BD 于O .连结EO . ∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点
.
在△P AC 中，EO 是中位线， ∴P A ∥EO .
而EO ?平面EDB 且P A ?平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .
（2）证明：∵PD ⊥底面ABCD 且DC ?底面ABCD ，∴PD ⊥DC . ∵PD =DC ，可知△PDC 是等腰直角三角形.而DE 是斜边PC 的中线， ∴DE ⊥PC . ①
同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC . ∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ， ∴BC ⊥平面PDC .
而DE ?平面PDC ，∴BC ⊥DE . ②
由①和②推得DE ⊥平面PBC . 而PB ?平面PBC ，∴DE ⊥PB .
又EF ⊥PB 且DE ∩EF =E ，所以PB ⊥平面EFD .
（3）解：由（2）知PB ⊥DF ，故∠EFD 是二面角C —PB —D 的平面角. 由（2）知，DE ⊥EF ，PD ⊥DB .
设正方形ABCD 的边长为a ，则PD =DC =a ，BD =2a ， PB =22BD PD +=3a ， PC =22DC PD +=2a ， DE =
2
1
PC =22a .
在Rt △PDB 中， DF =
PB BD PD ?=a
a a 32?=36a .
在Rt △EFD 中，
sin ∠EFD =DF DE
=a a
3
622=23，
∴∠EFD =3
π
.
∴二面角C —PB —D 的大小为3
π
.
解法二：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点.设DC =a
.
（1）证明：连结AC 交BD 于G .连结EG . 依题意得A （a ，0，0），P （0，0，a ），E （0，
2a ，2
a
）. ∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为（2a ，2
a
，0）且PA =（a ，0，－a ），EG =（
2a ，0，－2
a
）. ∴PA =2.这表明P A ∥EG .
而EG ?平面EDB 且P A ?平面EDB ，
∴P A ∥平面EDB .
（2）证明：依题意得B （a ，a ，0），
=（a ，a ，－a ）.
又=（0，
2a ，2a ）， 故·=0+22a －2
2
a =0.
∴PB ⊥DE .
由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE =E ， ∴PB ⊥平面EFD .
（3）解：设点F 的坐标为（x 0，y 0，z 0），PF =λPB ，则（x 0，y 0，z 0－a ）=λ（a ，a ，－a ）.
从而x 0=λa ，y 0=λa ，z 0=（1－λ）a .
∴ =（－x 0，
2a －y 0，2
a
－z 0）=［－λa ，（21－λ）a ，（λ－21）a ］.
由条件EF ⊥PB 知·=0，即 －λa 2+（21－λ）a 2－（λ－2
1
）a 2=0， 解得λ=
3
1. ∴点F 的坐标为（
3a ，3a ，32a ），且FE =（－3a ，6a ，－6a ），FD =（－3a ，－3a ，－3
2a
）.∴PB ·FD =－32a －32a +322a =0，即PB ⊥FD .
故∠EFD 是二面角C —PB —D 的平面角.
∵·=92a －182a +92a =62a ，且||=61·a ，||=3
2
·a ，
∴cos ∠EFD =22
3
26161a a
=21.
∴∠EFD =
3π.∴二面角C —PB —D 为3
π. ●思悟小结
1.棱柱是第一章有关线面关系的载体，棱柱的计算证明问题常借助于前面的内容来解决.因此要牢固掌握线面间的位置关系的性质、判定.
2.三棱锥的等（体）积变换是解决点到面的距离的常见方法之一，同时也是使计算简化的灵活手法；“割”“补”是解决体积问题的常用技巧.正棱锥的四个“特征”直角三角形，是将“空间问题”转化为“平面问题”的桥梁.
●教师下载中心 教学点睛
1.使学生正确理解棱柱、直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体及正方体等有关概念，掌握棱柱的性质及长方体对角线性质，会求棱柱的侧面积及体积.
2.要使学生理解棱锥、正棱锥的意义，掌握棱锥、正棱锥的性质，会求其侧面积及体积.
结合例题讲清求体积的常用方法.
3.在解答棱柱、棱锥的综合练习时，要善于联想，灵活运用柱、锥的性质和线面关系，善于揭示一类问题的共同特征，掌握基本方法，对于正棱柱、直棱柱问题借助空间坐标系或向量的运算或许更容易理解、掌握.
4.仍以棱柱、棱锥为载体，训练计算能力.想象能力和逻辑推理能力. 拓展题例
【例1】 斜三棱柱的一个侧面的面积为S ，这个侧面与它所对的棱的距离为d ，那么这个三棱柱的体积为_____________.
解析：将该斜三棱柱补成一个四棱柱，该四棱柱的底面积为S ，高为d ，故四棱柱的体积为Sd ，
∴V 斜三棱柱=2
1
dS . 答案：
2
1dS 【例2】 已知三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直且长度分别为a 、b 、c ，设O 为S 在底面ABC 上的射影.求证：
（1）O 为△ABC 的垂心；（2）O 在△ABC 内；（3）设SO =h ，则
21a +21b +21c
=21
h . 证明：（1）∵SA ⊥SB ，SA ⊥SC ，
∴SA ⊥平面SBC ，BC ?平面SBC .∴SA ⊥BC . 而AD 是SA 在平面ABC 上的射影，∴AD ⊥BC .
同理可证AB ⊥CF ，AC ⊥BE ，故O 为△ABC 的垂心.
（2）证明△ABC 为锐角三角形即可.不妨设a ≥b ≥c ，则底面三角形ABC 中，AB =22b a +为最大，从而∠ACB 为最大角.
用余弦定理求得cos ∠ACB =2
22
2
2
22c
a c
b c ++>0，∴∠ACB 为锐角，△ABC 为锐角
三角形.故O 在△ABC 内.
（3）SB ·SC =BC ·SD ，
故SD =
2
2c b bc +，
21SD = 21b +2
1c ，又SA ·SD =AD ·SO ， ∴21SO =222SD a AD ?=2
22
2SD
a SD a ?+=21a +21SD = 21a +21
b +21
c =21h .
第一讲 坐标系 一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.点M 的直角坐标为 ),则它的球坐标为( ) 5.2,,.2,,444453.2,,.2,,4444A B C D ππππππππ???? ? ????? ???? ? ????? 解析 :2,1,tan 0,tan 02,x 0. 4 11,,1 5.4 r y x ??θ?θπθππ θ=== === <-=-= <= =由≤≤得又≤所以 答案:B 2.在平面直角坐标系中,以(1,1)为圆心 为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点,以Ox 为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 ( ) () B.. C. D.44A ρθρθππρθρθ? ?=- ? ? ?? ?- ?? =- =?=- 解析:由题意知圆的直角坐标方程为 (x-1)2 +(y-1)2 =2. 化为极坐标方程为(ρcos θ-1)2 +(ρsin θ-1)2 =2.
∴0.40 4,04044 . . ρρθρθρρππππθρθρπθ? ? ??-- = ???? ?? ? ? ?-= ?? ??? ? -∴-∴?-- = ???? ??? ? ?-= ?? ?? ?- ?? ?= 也过极点与等价对应的极坐标方程为 答案:A 3.在极坐标系中,点(ρ,θ)与(-ρ,π-θ)的位置关系为( ) A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.重合 D.关于直线θ= 2 π (ρ∈R)对称 解析:点(ρ,θ)也可以表示为(-ρ,π+θ),而(-ρ,π+θ)与(-ρ,π-θ)关于极轴所在直线对称,故选A. 答案:A 4.在柱坐标系中,两点24,,04,,333M N π π???? ? ?? ??? 与的距离为( ) A.3 B.4 C.5 D.8 解析:解法一:由柱坐标可知M 在Oxy 平面上,N 在Oxy 平面上的射影坐标为 N |MN |4,24,,0MN 5.3. , C π'∴'===?? ??? 再由勾股定理得故选 解法二:可将M ?N 化为直角坐标 ,N(MN 5.. C =-∴=故选 答案:C
9.4两个平面平行 ●知识梳理 1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行. ●点击双基 1.（2005年春季，3）下列命题中，正确的是 A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行 答案：C 2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有 A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 解析：①③④都有可能，②不可能，否则有b⊥a与已知矛盾. 答案：C 3.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是 A.α、β都平行于直线a、b
B.α有三个不共线点到β的距离相等 C.a 、b 是α两条直线，且a ∥β，b ∥β D.a 、b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β 解析：A 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β； B 错，若A 、B 、 C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β； C 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β； D 正确. 答案：D 4.a 、b 、ｃ为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面，给出六个命题： .????;????????????????????αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥① a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;; 其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上） 答案：①④⑤⑥ ●典例剖析 【例1】设平面α∥平面β，AB 、CD 是两条异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β，求证：MN ∥平面α. 剖析：因为AB 与CD 是异面直线，故MN 与AC 、BD 不平行.在平面α、β中不易找到与MN 平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过MN 且与α平行的平面.根据M 、N 是异面直
2019年高考数学第一轮复习必知的重点 高中数学知识量大，考查范围广泛，综合性强。高三一轮复习的要点在于巩固高二知识点，以及对以前知识的查缺补漏。很多的准高三生已经正式的进入了复习状态。现在提醒大家高三数学复习的过程中需要注意的五点问题。 高三期间三个复习阶段 第一轮复习一般从8月到12月，以教材的知识体系作为复习的主要线索，以帮助同学们回忆、回顾以前学习过的知识为主，对知识面进行全方位的覆盖，以及对基本方法、基本题型进行总结、反思； 第二轮复习大概从2月到4月中旬，在此阶段打破了教材的体系，主要是对高中数学的六大板块进行专题性的复习，在第一轮复习的基础上进一步加强综合性运用，提高解题的准确性、速度性和解答题的规范性； 第三轮复习一般从4月中旬到5月中旬，此阶段主要是同学们进行高考试题的模拟考试、训练，以培养同学们的答题技巧、答题方法、考场应变能力。5月下旬到6月5日期间则是同学们自主复习，以回归教材、错题反思、方法的进一步归纳总结。 所以在整个高三的复习中，第一轮复习所用的时间是最长的，它的复习成效将直接影响后面的复习效果。所以徐老师对数学学科的第一轮复习提出以下建议：
在第一轮复习的过程中，心浮气躁是一个非常普遍的现象。主要表现为平时复习觉得没有问题，题目也能做，但是到了考试时就是拿不了高分!这主要是因为： (1)对复习的知识点缺乏系统的理解，解题时缺乏思维层次结构。第一轮复习着重对基础知识点的挖掘，数学老师一定都会反复强调基础的重要性。如果不重视对知识点的系统化分析，不能构成一个整体的知识网络构架，自然在解题时就不能拥有整体的构思，也不能深入理解高考典型例题的思维方法。 (2)复习的时候心不静。心不静就会导致思维不清晰，而思维不清晰就会促使复习没有效率。建议大家在开始一个学科的复习之前，先静下心来认真想一想接下来需要复习哪一块儿，需要做多少事情，然后认真去做，同时需要很高的注意力，只有这样才会有很好的效果。 (3)在第一轮复习阶段，学习的重心应该转移到基础复习上来。 因此，建议广大同学在一轮复习的时候千万不要急于求成，一定要静下心来，认真的揣摩每个知识点，弄清每一个原理。只有这样，一轮复习才能显出成效。 要把书本中的常规题型做好，所谓做好就是要用最少的时间把题目做对。部分同学在第一轮复习时对基础题不予以足够的重视，认为题目看上去会做就可以不加训练，结果常在一
第1页 共64页 高考数学总复习教案 第一章-集合 考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集.
学案37 合情推理与演绎推理 导学目标： 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 自主梳理 自我检测 1．(2010·)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x) 等于( ) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) 2．(2010·质检)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)： ①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0?a＝b”； ②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i?a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2?a＝c，b＝d”； ③“若a，b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0?a>b”．其中类比结论正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 3．(2009·)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．4．(2010·)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________． 5．(2011·月考)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为___________________________________________． 探究点一归纳推理
2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第36讲空间向量及其应用 一．课标要求： （1）空间向量及其运算 ①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ①理解直线的方向向量与平面的法向量； ②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二．命题走向 本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测2013年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 三．要点精讲 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、
速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率 加法交换率： 加法结合率： 数乘分配率： 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。 注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的
第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础练习】 1. 集 合 {(, )0 2,02,,} x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{ ( , ) , ( 0,． 2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ?=?． 3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ?=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8 或2___． 【范例解析】 例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=， {01R B C A x x ?=<<或23}x <<，求集合B . 分析：先化简集合A ，由R B C A R ?=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题. 解：（1） {12}A x x =≤≤，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ?=， R A C A R ?=， 可得A B ?. {0,2}
A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2010·山东)函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )． 解析 在同一坐标系中作出y ＝2x 与y ＝x 2的图象可知，当x ∈(－∞，m )∪(2,4)，y <0，；当x ∈(m,2)∪(4，＋∞)时，y >0，(其中m <0)，故选A. 答案 A 2．(2012·合肥模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于任意的x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 010)＋f (2 011)的值为( )． A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析 ∵f (x )是偶函数， ∴f (－2 010)＝f (2 010)． ∵当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期为2的周期函数， ∴f (－2 010)＋f (2 011)＝f (2 010)＋f (2 011) ＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 22＝0＋1＝1. 答案 C 3．(2012·人大附中月考) 设函数y ＝x 3与y ＝????12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )． A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 解析 (数形结合法)如图所示． 由1 4．(2011·四川)函数y ＝????12x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )． 解析 函数y ＝????12x ＋1的图象如图；作其关于直线y ＝x 的对称图象，可知选A. 答案 A 5．(2010·辽宁)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )． A.10 B ．10 C ．20 D ．100 解析 由已知条件a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，又1a ＋1 b ＝2，则log m 2＋log m 5＝2，即log m 10＝2， 解得m ＝10. 答案 A 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 解析 (数形结合法) 由图象可知0＜2a ＜1，∴0＜a ＜1 2. 答案 ??? ?0，12 7．若3a ＝0.618，a ∈[k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析 ∵3－ 1＝13，30＝1，13＜0.618<1，∴k ＝－1. 答案 －1 8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 数学高考第一轮复习策略 一、构建知识网络，注重基础，重视预习，提高复习效率。 数学的基础知识理解与掌握，基本的数学解题思路分析与数学方法的运用，是第一轮 复习的重中之重。对知识点进行梳理，形成完整的知识体系，确保基本概念、公式等牢固 掌握。要扎扎实实，对每个知识点都要理解透彻，明确它们要求以及与其他知识之间的联系。 复习课的容量大、内容多、时间紧。要提高复习效率，必须使自己的思维与老师的思 维同步。而预习则是达到这一目的的重要途径，要做到“两先两后”，即先预习后听课， 先复习后作业。以提高听课的主动性，减少听课的盲目性。而预习了之后，再听老师讲课，就会在记忆上对老师讲的内容有所取舍，把重点放在自己还未掌握的内容上，从而提高复 习效率。预习还可以培养自己的自学能力。 二、提高课堂听课效率，勤动手，多动脑。 所有课都进入复习阶段，通过复习，学生要能检测出知道什么，哪些还不知道，哪些 还不会，因此在复习课之前一定要弄清那些已懂那些还不懂，增强听课的主动性。现在学 生手中都会有一种复习资料，在老师讲课之前，要把例题做一遍，做题中发现的难点，就 是听课的重点;对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减少听课过 程中的困难;有助于提高思维能力，自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可 提高自己思维水平;体会分析问题的思路和解决问题的思想方法，坚持下去，就一定能举 一反三，提高思维和解决问题的能力。此外还要作好笔记，笔记不是记录而是将上述听课 中的要点，思维方法等作出简单扼要的记录，以便复习，消化，思考。 三、建好错题档案，做好查漏补缺。 这里说的“错”，是指把平时做作业中的错误收集起来。复习，各类试题要做几十套，甚至更多。如果平时做题出错较多，就只需在试卷上把错题做上标记，在旁边写上评析， 然后把试卷保存好，每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷看一看。查漏补 缺的过程就是反思的过程。除了把不同的问题弄懂以外，还要学会“举一反三”，及时归纳。 每次订正试卷或作业时，在做错的试题旁边要写明做错的原因大致可分为以下几类： 1、找不到解题着手点。 2、概念不清、似懂非。 3、概念或原理的应用有问题。 4、知识点之间的迁移和综合有问题。 高三一轮复习 5.4 数列求和 （检测教 师版） 时间:50分钟 总分：70分 班级： 姓名： 一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分） 1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝－20，则－6a 4＋3a 5＝( ) A.－20 B.4 C.12 D.20 【答案】C 【解析】 因为S 5＝－20，所以S 5＝5a 3＝－20，∴a 3＝－4，∴－6a 4 ＋3a 5＝－6(a 1＋3d )＋3(a 1＋4d )＝ －3(a 1＋2d )＝－3a 3＝12. 2.(2012·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15， 则数列???? ?? 1a n a n ＋1的前100项和为( ) A.100101 B.99101 C.99100 D.101100 【答案】A 【解析】 由S 5＝5a 3及S 5＝15得a 3＝3，∴d ＝a 5－a 3 5－3 ＝1，a 1＝1， ∴a n ＝n ，1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1 n ＋1，所以数列???? ??1a n a n ＋1的 前100项和T 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1 101＝100 101，故选A. 3.数列{a n }满足：a 1 ＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有：a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1 a 2 008 ＝( ) A.2 007 2 008 B.2 007 1 004 C. 2 0082 009 D.4 0162 009 【答案】D 【解析】法一 因为a n ＋m ＝a n ＋a m ＋mn ，则可得a 1＝1，a 2＝3，a 3＝ 6，a 4＝10，则可猜得数列的通项a n ＝n （n ＋1）2，∴1 a n ＝2n （n ＋1）＝2? ?? ??1n －1n ＋1，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1 a 2 008＝ 2? ????1－12＋12－13＋…＋12 008－12 009＝2? ? ? ??1－12 009＝4 0162 009.故选D. 法二 令m ＝1，得a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ＝1＋a n ＋n ，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1， 用叠加法：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2 ， 所以1a n ＝2n （n ＋1）＝2? ?? ??1n －1n ＋1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1 a 2 008＝2? ??? ?1－12＋2? ????12－13＋…＋2? ????1 2 008－12 009＝2? ????1－12 009＝4 0162 009，故选D. 4.设a 1，a 2，…，a 50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有( ) A.11个 B.12个 C.15个 D.25个 【答案】A 选修4经典回顾 主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师 开篇语 选修系列4在高考中主要考查4—1中的几何证明选讲、4—4中的坐标系与参数方程、4—5中的不等式选讲三个专题内容．围绕着三部分内容的试题，既有选择题和填空题，又有解答题．因此在第一轮复习中必须围绕上述核心考点，选择相关的问题进行求解训练，提高解决不等式问题能力 开心自测 题一：不等式|21|35x x -++≤的解集是_______________． 题二：如图，,AB CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，他们相交于AB 的中点P ，23a PD = ，30OAP ∠=?，则CP ＝_________． 考点梳理 选修4—1几何证明选讲部分： 1．垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． D 2．圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．圆内接四边形的性质定理： 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内角的对角． 4．圆内接四边形的判定定理： 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果一个四边形的外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 5．切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 6．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 7．相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 8．切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 选修4—4中的坐标系与参数方程部分： 1. 极坐标与直角坐标的关系 设点M的直角坐标为(x，)y，极坐标为(ρ，)θ， 则 cos, sin. x y ρθ ρθ = ? ? = ? 或 222, tan(0). x y y x x ρ θ ?=+ ? ? =≠ ?? 2019年高考数学第一轮复习的攻略 制定学习计划 高三的节奏快，有很多科目要复习，同时又要做大量的习题。这时候，制定合理的学习计划就显得非常重要。首先，学习计划要符合自身的学习情况。不要在老师布置很多作业的情况下，又让自己额外做两套卷子。这样就算完成了“任务”，质量也不能合同。计划一定要量力而行。其次，计划好不要太详细。有的同学的计划细致到每5分钟做什么，每个课间做什么，这样的计划很容易被打乱。计划好是定量不定时的，比如计划在完成作业的基础上额外做10道选择题，可以在任何时间完成，只要做完了就好。后，也是重要的一点，制定了合理的计划，一定要严格执行。不能总是“放任”自己，那样计划也就是纸上谈兵了。 重视课堂 虽然高三大部门时间都是对以前的知识进行复习，但是同学们仍然要重视课堂。有些学生自认为有一套很好的复习方法，上课不听讲，按照自己的进度来复习，后往往会碰得“头破血流”。另外，在听课的同时，一定要做好笔记。曾有一位某市的高考学霸，每天做的多的事情，就是翻看那本数学笔记，一边看一边做。笔记中不管是提炼的知识点，总结的做题方法还是经典例题，都是课堂中的精华，同学们一定要好好利用。 有效率地做题 数学是需要大量做题的科目，那么如何改善做题的效率呢？首先要进行总结。例如要总结题目是什么类型？如何利用已知条件？突破点是什么？一般的解题方法、步骤是什么？在总结之后，有针对性地找一些相关题目进行练习，数量不用太多，几道典型的题目就可以了。这里要提一点的是，一定要做有准确答案的题目，没有答案的题目，做完不知道正误，就等于白做。做完以后对答案，这时候不仅要注意解题方法，更要注意解题步骤。很多时候明明会做的题目却被扣分了，原因就是解题步骤不全。对于做错的题目要加入错题本，进行分析，看看是方法没掌握，步骤不，还是马虎出错。只有这样才能有效率地复习，突破数学难关。 同学们在复习的时候一定要有一个良好的心态，不要太过急躁，须知“冰冻三尺非一日之寒”。尤其学习的时候要听话，跟着老师走，教高三的老师都是经历了几次或十几次的高考，非常有经验，复习的进度，复习的内容，复习的顺序，这些都是长期教学实践中总结出来的，高考的变化及新的要求，都会在复习中渗透进去。 高考数学复习指南 1.高考对于导数考察的常规问题： （1）刻画函数； （2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的 A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·陕西)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )． A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20 解析 T r ＋1＝C r 6(22x )6－r (－2－x )r ＝(－1)r C r 6· (2x )12－3r ，r ＝4时，12－3r ＝0，故第5项是常数项，T 5＝(－1)4C 46＝15. 答案 C 2．(2012·泰安月考)若二项式? ?? ??x －2x n 的展开式中第5项是常数项，则正整数n 的值可能为( )． A ．6 B ．10 C ．12 D ．15 解析 T r ＋1＝C r n (x )n －r ? ?? ??－2x r ＝(－2)r C r n x n －3r 2，当r ＝4时，n －3r 2＝0，又n ∈N *，∴n ＝12. 答案 C 3．(2011·天津)在? ????x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )． A ．－154 B.154 C ．－38 D.38 解析 在? ????x 2－2x 6的展开式中，第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 6? ????x 26－r ? ????－2x r ＝C r 6? ????126－r x 3－r (－2)r ，当r ＝1时，为含x 2的项，其系数是C 16? ?? ??125(－2)＝－38. 答案 C 4．(2012·临沂模拟)已知? ?? ??x －a x 8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )． A ．28 B ．38 C ．1或38 D ．1或28 解析 由题意知C 48· (－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和 数学高考第一轮复习规划与建议 一、高三期间复习阶段分析 第一轮复习一般从8月到12月，以教材的知识体系作为复习的主要线索，以帮助同学们回忆、回顾以前学习过的知识为主，对知识面进行全方位的覆盖，以及对基本方法、基本题型进行总结、反思; 第二轮复习大概从2月到4月中旬，在此阶段打破了教材的体系，主要是对高中数学的六大板块进行专题性的复习，在第一轮复习的基础上进一步加强综合性运用，提高解题的准确性、速度性和解答题的规范性; 第三轮复习一般从4月中旬到5月中旬，此阶段主要是同学们进行高考试题的模拟考试、训练，以培养同学们的答题技巧、答题方法、考场应变能力。5月下旬到6月5日期间则是同学们自主复习，以回归教材、错题反思、方法的进一步归纳总结。 所以在整个高三的复习中，第一轮复习所用的时间是最长的，它的复习成效将直接影响后面的复习效果。 二、数学第一轮复习建议 一、端正态度，切忌浮躁，忌急于求成 在第一轮复习的过程中，心浮气躁是一个非常普遍的现象。主要表现为平时复习觉得没有问题，题目也能做，但是到了考试时就是拿不了高分!这主要是因为： 1对复习的知识点缺乏系统的理解，解题时缺乏思维层次结构。第一轮复习着重对基础知识点的挖掘，数学老师一定都会反复强调基础的重要性。如果不重视对知识点的系统化分析，不能构成一个整体的知识网络构架，自然在解题时就不能拥有整体的构思，也不能深入理解高考典型例题的思维方法。 2复习的时候心不静。心不静就会导致思维不清晰，而思维不清晰就会促使复习没有效率。建议大家在开始一个学科的复习之前，先静下心来认真想一想接下来需要复习哪一块儿，需要做多少事情，然后认真去做，同时需要很高的注意力，只有这样才会有很好的效果。 3在第一轮复习阶段，学习的重心应该转移到基础复习上来。 因此，建议广大同学在一轮复习的时候千万不要急于求成，一定要静下心来，认真的揣摩每个知识点，弄清每一个原理。只有这样，一轮复习才能显出成效。 二、注重教材、注重基础，忌盲目做题 第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理 两个原理 分类加法计数原理、分步乘法计数原理 (1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． (2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题． 知识点两个原理 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m ＋n种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 易误提醒(1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的． (2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步与步之间是相关联的． [自测练习] 1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有() A．30 B．20 C．10 D．6 解析：从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．答案：D 2．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为() A．243 B．252 C．261 D．279 解析：0,1,2…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)， ∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．答案：B 考点一分类加法计数原理| A级基础达标演练 (时间：40分钟满分：60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是()． A．正方体的棱长与体积 B．单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量 C．日照时间与水稻的亩产量 D．电压一定时，电流与电阻 解析A、B、D中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系；C中的两个变量间是相关关系，对于日照时间一定的水稻，仍可以有不同的亩产量，故选C. 答案 C 2．(2012·石家庄调研)下列结论正确的是()． ①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系； ③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法； ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④ 解析由回归分析的方法及概念判断． 答案 C 3．(2011·莱芜二模)在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是()． A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 B．1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌 C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人 D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 解析统计的结果只是说明事件发生可能性的大小，具体到一个个体不一定发 生． 答案 D 4．(2011·陕西)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是()． A．直线l过点(x，y) B．x和y的相关系数为直线l的斜率 C．x和y的相关系数在0到1之间 D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同 解析由样本的中心(x，y)落在回归直线上可知A正确；x和y的相关系数表示为x与y之间的线性相关程度，不表示直线l的斜率，故B错；x和y的相关系数应在－1到1之间，故C错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，即无论样本点个数是奇数还是偶数，故D错． 答案 A 5．(2011·山东)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 根据上表可得回归方程y＝b x＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()． A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元 解析x＝4＋2＋3＋5 4＝3.5(万元)， y＝49＋26＋39＋54 4＝42(万元)， ∴a^＝y－b^x＝42－9.4×3.5＝9.1， 2017-1018学年下学期教学反思 高考是选拔性的考试，对于数学学科来说，它是在考查学生基础知识的同时，突出能力（思维能力、运算能力、空间想象能力、实践创新能力）的考查。因此作为高三数学教师在进行高考复习时，在有限的复习时间内立足基础，在能力的提高上有所突破，以达到应试的要求和水平。现结合本人的教学实践，谈几点反思: 一、加强高考研究，把握高考方向 随着数学教育改革和素质教育的深入，高考命题也在逐年探索、改革，命题的方向愈加突出考查能力，所以研究好高考，尤其是把握好高考的新动向，搞好高考复习，不仅能为学生打好扎实的基础，提高学生的整体素质、应试能力和高考成绩，而且也必将提高自己的教学水平，促进素质教育的全面实施。研究高考要研究大纲和考纲，要研究新旧考题的变化，要进行考纲、考题与教材的对比研究。通过对高考的研究，把握复习的尺度，避免挖的过深,拔的过高、范围过大，造成浪费；避免复习落点过低、复习范围窄小，形成缺漏。 二、明确中心思想，做好学习计划 第一轮复习是高考复习的基础，其效果决定高考复习的成败；一轮复习搞的扎实，二轮复习的综合训练才能顺利进行。故制定以下指导思想：全面、扎实、系统、灵活。全面，即全面覆盖，不留空白；扎实，即单元知识的理解、巩固，把握三基务必牢固；系统，即前挂后连，有机结合，注意知识的完整性系统性，初步建立明晰的知识网络；灵活，即增强小综合训练，克服解题的单向性、定向性，培养综合运用、灵活处理问题的能力和探究能力。 第二轮复习是在第一轮复习的基础上，进行强化、巩固的阶段，是考生数学能力及数学成绩大幅度提高的阶段，在一定程度上决定高考的胜败。指导思想是：巩固、完善、综合、提高。巩固，即巩固第一轮复习成果，把巩固“三基”放在首位；完善，即通过专题复习，查漏补缺，进一步完善知识体系；综合，即在训练上，减少单一知识点的训练，增强知识的连结点，增强知识交汇点的题目，增强题目的综合性和灵活性；提高，即培养学生的思维能力、概括能力，分析问题、解决问题的能力。 三、重视回归课本，狠抓夯实基础 《考试说明》中强调，数学学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，注重展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性、现实性。并明确指出：易、中、难的比例控制在3：5：2左右，即中低档题占总分的80%左右，这就决定了在高考复习中必须抓基础，常抓不懈，只有基础打好了，做中低档题才会概念清楚，得心应手，做难题和综合题才有基本条件。尤其在第一轮复习中应以夯实“三基”为主，对构建的知识网络上每个知识点要弄清概念，了解数学知识和理论的形成过程，以及解决数学问题的思维过程。在第一轮的复习课中，应总结梳理每一章节的数学知识，基本题型和练习，以利于学生进行复习，在梳理中注重由学生自己去推理数学知识的形成的过程。如在两角和与差的三角函数这一章中公式较多，要求学生证明两角差的余弦这一重要公式，并由次推导三角函数的和角、差角、倍角、半角等三角公式，通过这一练习，不但使学生对三角公式之间的联系十分清楚，记忆加深，而且增强了灵活运用公式的能力。在分章节复习时要以课本知识为本，因为课本是知识与方法的重要载体，课本是高考题的主要来源。纵观近几年的新课程高考试题，不难发现，多数试题源于教材，即使是综合题也是课本例习题的综合、加工与拓展，充分体现了课本的基础作用。复习必须紧紧地围绕课本来进行，只有严守课本，才能摆脱“题海”之苦。课本中有基本题，也有综合题，都在课 高三数学第一轮复习计划 王旭丽 高考数学命题近年来经历了由“知识立意”向“能力立意”的转变，体现了对能力和潜能的考察，使知识考查服务于能力考查。针对这一命题走向，怎样在短暂的时间内搞好总复习，提高效率，减轻负担是我的核心理念。 一、夯实基础。 今年高考数学试题的一个显著特点是注重基础。扎实的数学基础是成功解题的关键，从学生反馈来看，平时学习成绩不错但得分不高的主要原因不在于难题没做好，而在于基本概念不清，基本运算不准，基本方法不熟，解题过程不规范，结果“难题做不了，基础题又没做好”，因此在第一轮复习中，我们将格外突出基本概念、基础运算、基本方法，具体做法如下：1.注重课本的基础作用和考试说明的导向作用；2.加强主干知识的生成，重视知识的交汇点；3.培养逻辑思维能力、直觉思维、规范解题习惯；4.加强反思，完善复习方法。 二、解决好课内课外关系。 课内：（1）例题讲解前，留给学生思考时间；讲解中，让学生陈述不同解题思路，对于解题过程中的闪光之处或不足之处进行褒扬或纠正；讲解后，对解法进行总结。对题目尽量做到一题多解，一题多用。一题多解的题目让学生领会不同方法的优劣，一题多用的题目 让学生领会知识间的联系。（2）学生作业和考试中出现的错误，不但指出错误之处，更要引导学生寻根问底，使学生找出错误的真正原因。（3）每节课留10分钟让学生疏理本节知识，理解本节内容。 课外：除了正常每天布置适量作业外，另外布置一两道中档偏上的题目，判作业时面批面改，指出知识的疏漏。 三、注重师生互动 1.多让学生思考回答问题，对于有些章节知识，按难易程度选择六至八道，尽量独自完成，无法独立解决的可以提示思路。 2.让学生自我小结，每一章复习完后，让学生自己建立知识网络结构，包括典型题目、思想方法、解题技巧，易错易做之题； 3.每次考试结束后，让学生自己总结：①试题考查了哪些知识点； ②怎样审题，怎样打开解题思路；③试题主要运用了哪些方法，技巧，关键步在哪里；④答题中有哪些典型错误，哪些是知识、逻辑心理因素造成，哪些是属于思路上的。 四、精选习题。 1．把握好题目的难度，增强题目针对性，所选题目以小题、中档题为主，且应突出知识重点，体现思想方法、兼顾学生易错之处。 2.减少题目数量，加强质量。 第二十五讲 平面向量的数量积 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．) 1．设i ，j 是互相垂直的单位向量，向量a ＝(m ＋1)i －3j ，b ＝i ＋(m －1)j ，(a ＋b )⊥(a －b )，则实数m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D ．不存在 解析：由题设知：a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)， ∴a ＋b ＝(m ＋2，m －4)， a － b ＝(m ，－m －2)． ∵(a ＋b )⊥(a －b )， ∴(a ＋b )·(a －b )＝0， ∴m (m ＋2)＋(m －4)(－m －2)＝0， 解之得m ＝－2. 故应选A. 答案：A 2．设a ，b 是非零向量，若函数f (x )＝(xa ＋b )·(a －xb )的图象是一条直线，则必有( ) A ．a ⊥b B ．a ∥b C ．|a |＝|b | D ．|a |≠|b | 解析：f (x )＝(xa ＋b )·(a －xb )的图象是一条直线， 即f (x )的表达式是关于x 的一次函数． 而(xa ＋b )·(a －xb )＝x |a |2－x 2a ·b ＋a ·b －x |b |2， 故a ·b ＝0，又∵a ，b 为非零向量， ∴a ⊥b ，故应选A. 答案：A 3．向量a ＝(－1,1)，且a 与a ＋2b 方向相同，则a ·b 的范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(－1，＋∞) D ．(－∞，1) 解析：∵a 与a ＋2b 同向， ∴可设a ＋2b ＝λa (λ>0)，数学高考第一轮复习策略
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