隐形圆问题
一、确定动点轨迹是圆
【例题1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A，且OA=OB，∠APB=90°，l不过点C，则AB的最小值为
【举一反三】
1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN,连接A’C，则A’C长度的最小值是
第1题第2题
2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝6，BC=8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是
3、如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.当PB=6时，在直线l变化过程中，则△ACB’面积的最大值是.
4、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC=8，P、Q分別是直线BC、AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是
二、定边对直角
知识回顾:直径所对的圆周角是直角
构造思路:一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.
图形释义:
若AB是一条定线段，且∠APB-90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆
【例题1】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、BF，交点为P点，则PC的最小值为
【举一反三】
1、如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是
2、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC，则线段CP长的最小值是
3、如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5，AC＝4.D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为
4、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC＝12，AB＝10，点D是AC上的一个动点，以AD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为
5、如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分別从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为
【辅助圆+将军饮马】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为
【辅助圆+相切】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB＝4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是
三、定边对定角
在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理:同圆或等圆中，同弧或等弧所対的圆周角都相.定边必不可少，而直角则可一般为定角.例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆.
当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下面分别作对应的轨迹圆若∠P＝30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心
若∠P＝45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心.
若∠P＝60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.
若∠P＝120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.
【例题1】如图，等边△ABC边长为2，E、F分別是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为
【举一反三】
1、如图，△ABC为等边三角形，AB=3，若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为
2、在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是
3、如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB(异于A、B)上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是
2020年九年级中考模拟考试 数学试题 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．如图，C，D，E是线段AB上的三个点，下面关于线段CE的表示： ①CE＝CD+DE；②CE＝CB﹣EB；③CE＝CD+DB﹣AC；④CE＝AE+CB﹣AB．其中，正确的 是（） A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④ 2．共享单车的投放使用为人们的工作和生活带来了极大的便利，不仅有效缓解了出行“最后一公里” 问题，而且经济环保，据相关部门2018年11月统计数据显示，郑州市互联网租赁自行车累计投放超过49万辆，将49万用科学记数法表示正确的是（） A．4.9×104B．4.9×105C．0.49×104D．49×104 3．下列图形是中心对称图形的是（） A．B． C．D． 4．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面与“生”相对应的面上的汉字是（） A．数B．学C．活D．的 5．在一条数轴上四个点A，B，C，D中的一个点表示实数，这个点是（）
A．A B．B C．C D．D 6．下列关于统计与概率的知识说法正确的是（） A．武大靖在2018年平昌冬奥会短道速滑500米项目上获得金牌是必然事件 B．检测100只灯泡的质量情况适宜采用抽样调查 C．了解北京市人均月收入的大致情况，适宜采用全面普查 D．甲组数据的方差是0.16，乙组数据的方差是0.24，说明甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数 7．下面的统计图反映了我国最近十年间核电发电量的增长情况，根据统计图提供的信息，下列判断合理的是（） A．2011年我国的核电发电量占总发电量的比值约为1.5% B．2006年我国的总发电量约为25000亿千瓦时 C．2013年我国的核电发电量占总发电量的比值是2006年的2倍 D．我国的核电发电量从2008年开始突破1000亿千瓦时 8．如图，点P是?ABCD边上的一动点，E是AD的中点，点P沿E→D→C→B的路径移动，设P 点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（） A．B．
——圆 ◆知识讲解 一．圆的定义 1、在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。 2、圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。 3、确定一个圆需要两个要素：一是位置二是大小，圆心确定其位置，半径确定其大小。 4、连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弦记作“圆弧AB”，或者“弧AB”。大于半圆的弧叫作优弧（用三个字母表示，如ABC）叫优弧；小于半圆的弧（如AB）叫做劣弧。 二、垂直于弦的直径、弧、弦、圆心角 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弦。 2、垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等。 在等圆中，弦心距相等的弦相等。 三、圆周角 1、定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角。 2、定理：一条弧所以的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 3、推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所以的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 四、点和圆的位置关系 1、设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。 则d>r ?点在圆外，d=r ?点在圆上，d 一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E． (1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC； (2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，BF FA =，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG； (3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2 3 DG，PO=5，求EF的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32． 【解析】 【分析】 （1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可； （2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案； （3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出 EH∥DG，求出OM=1 2 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE= 2 3 DG，DG=3a， 求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝ 1 2 MO BM =，tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】 （1）证明：连接OC， ∵PC为⊙O的切线， ∴OC⊥PC， ∵AD⊥PC， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OC=OA， ∴∠PAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠PAC； （2）证明：连接BE交GF于H，连接OH， ∵FG∥AD， ∴∠FGD+∠D=180°， ∵∠D=90°， ∴∠FGD=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA=90°， ∴∠BED=90°， ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°， ∴四边形HGDE是矩形， ∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°， ∵BF AF =， ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°， ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°， ∴∠HEF=∠HFE， ∴FH=EH， ∴FG=FH+GH=DE+DG； （3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF， ∵EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴△FHO≌△EHO， ∴∠FHO=∠EHO=45°， 人教版九年级数学上册中考专题复习题 1.类比归纳专题：配方法的应用 2.类比归纳专题：一元二次方程的解法 3.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题 4.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合 5.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题 6.易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围 7.难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做) 8.抛物线中的压轴题 9.易错专题：抛物线的变换 10.解题技巧专题：巧用旋转进行计算 11.旋转变化中的压轴题 12.类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度 13.类比归纳专题：切线证明的常用方法 14.解题技巧专题：圆中辅助线的作法 15.解题技巧专题：圆中求阴影部分的面积 16.考点综合专题：圆与其他知识的综合 17.圆中的最值问题 18.抛物线与圆的综合 19.易错专题：概率与放回、不放回问题 类比归纳专题：配方法的应用 ——体会利用配方法解决特定问题 ◆类型一 配方法解方程 1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是（ ） A ．x 1＝x 2＝1 B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2 C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2 D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 2 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100 B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25 C ．2t 2－7t －4＝0 化为????t －742 ＝8116 D ．3x 2－4x －2＝0 化为????x －232＝109 3．利用配方法解下列方程： (1)(2016·淄博中考)x 2＋4x －1＝0； (2)(x ＋4)(x ＋2)＝2； (3)4x 2－8x －1＝0； (4)3x 2＋4x －1＝0. ◆类型二 配方法求最值或证明 4．代数式x 2－4x ＋5的最小值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．5 5．下列关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（ ） A ．有最大值13 B ．有最小值－3 C ．有最大值37 D ．有最小值1 6．(2016－2017·夏津县月考)求证：代数式3x 2－6x ＋9的值恒为正数． 7．若M ＝10a 2＋2b 2－7a ＋6，N ＝a 2＋2b 2＋5a ＋1，试说明无论a ，b 为何值，总有M ＞N . ◆类型三 完全平方式中的配方 8．如果多项式x 2－2mx ＋1是完全平方式，则m 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．±1 D ．±2 9．若方程25x 2－(k －1)x ＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为（ ） A ．－9或11 B ．－7或8 C ．－8或9 D ．－6或7 ◆类型四 利用配方构成非负数求值 10．已知m 2＋n 2＋2m －6n ＋10＝0，则m ＋n 的值为（ ） A ．3 B ．－1 C ．2 D ．－2 11．已知x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0，求(x ＋y )2016的值． 九年级中考模拟数学试题 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 1 . 若一个正多边形的每个外角都等于45°，则它是（） A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形 2 . 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（） A．5B．6C．7D．25 3 . 如图，直角坐标平面内有一点，那么与轴正半轴的夹角的余切值为（） A．2 D． B．C． 4 . 如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝6，BD＝8，则OE长为（） A．3B．5C．2.5D．4 5 . 下列运算正确的是（） A．a2·a3 =a6B．(a3)2=a6C．a6÷a2=a3D．2x2+x3=3x5 6 . 下列说法正确的是（）． A．绝对值最小的数是B．绝对值相等的两个数相等 C．一定是负数D．有理数的绝对值一定是正数 7 . 同学在“爱心捐助”活动中，捐款数额为：8、10、10、4、6（单位：元），这组数据的中位数是（）A．10B．8C．9D．6 8 . 已知x＋y＝－1，则代数式2016－x－y的值是（） A．2015B．2016C．2017D．2018 9 . 下列图形中，轴对称图形的个数为（） A．个B．个C．个D．个 10 . 下列语句；①若，则与互为邻补角；②的角和的角都是补角；③连结AB，并延长到点C；④同角的余角相等．其中真命题有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 二、填空题 11 . 分解因式：2a2-8b2= ． 12 . 若等腰三角形一边上的高等于腰长的一半，则等腰三角形的底角为_______. 13 . 在函数y=中，自变量x的取值范围是． 14 . 下列说法正确的有____(只填序号) 2018 初三数学中考复习 圆 专题复习训练题 一、选择题 1．如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵ ，∠AOB ＝60°，则∠BDC 的度数是( D ) A ．60° B ．45° C ．35° D ．30° 2．如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 外一点，CA ，CD 是⊙O 的切线，A ，D 为切点，连接BD ，AD.若∠ACD ＝30°，则∠DBA 的大小是( D ) A ．15° B ．30° C ．60° D ．75° 3．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C.若∠ACB＝30°，AB＝3，则阴影部分的面积是( C ) A. 3 2 B. π 6 C. 3 2 － π 6 D. 3 3 － π 6 4．已知⊙O的半径为10 cm，弦AB∥CD，AB＝12 cm，CD＝16 cm，则AB和CD 的距离为( C ) A．2 cm B．14 cm C．2 cm或14 cm D．10 cm或20 cm 5．如图，从一块直径为24 cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是( C ) A．12 cm B．6 cm C．3 2 cm D．2 3 cm 二、填空题 6．如图，⊙O的直径CD＝20 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM＝6 cm，则AB的长为__16__cm. 7．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，则∠BOC＝__125°． 人教版九年级数学中考模拟试题 一．选择题(30分) 1.陆地上最高处就是珠穆朗玛峰的峰顶,高出海平面约8844m记为+8844m;陆地上最低处就是地处亚洲本部的死海,低于海平面约415m,记作就是( ) A.+415m B、-415m C、±415m D、-8844m 2.如图,AB∥CD,∠A=50°,则∠1的大小就是( ) A.50°B、120°C、130°D、150° 3.下列计算中不正确的就是( ) .23 A x x x -+=2 .623 B xy xy y ?()3263 .26 C x y x y -=-() 222 .22 D xy x x y ?=- 4.如图所示的几何体就是由一些正方体组合而成的立体图形,则这几个几何体的俯视图就是( ) 5.抛物线223 y x x =++的对称轴就是( ) A、直线x=1 B、直线x=-1 C、直线x=-2 D、直线x=2 6.在平面坐标系中,把点P(-3,2)绕原点O顺时针旋转180°、所得到的对应点P′的坐标为( ) A、(3,2) B、(2,-3) C、(-3,-2) D、(3,-2) 7.下列说法中,正确的就是( ) A.不可能事件发生的概率为0 B、随机事件发生的概率为 1 2 C、概率很小的事件不可能发生 D、投掷一枚质地均匀的硬币100次,正面朝上的次数一定为50次 8.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条绳索,索比竿子长一托。折回索子再量竿,却比竿子短一托。”其大意为:现有一根竿子与一条绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺度;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺。设绳索长x尺,竿长y尺,则符合题意的方程组就是( ) 5 .1 5 2 x y A x y ì=+ ? í =- ? ? 5 .1 5 2 x y B x y ì=- ? í =+ ? ? 5 . 25 x y C x y ì=+ ? í =- ?? 5 . 25 x y D x y ì=- ? í =+ ?? 9.如图,在△ABC中,按以下步骤作图: ①分别以B,C为圆心,大于 1 2 BC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点; ②作直线MN交AB于点D,连接CD,若CD=AC,∠B=25°,则∠ACB的度数为( ) A、100° B、105° C、115° D、110° 10.甲骑摩托车从A地去B地,乙开汽车从B地去A地,同时出发, 匀速行驶,各自到达终点后停止。设甲乙两人间距离为s(单位: 千米),甲行驶的时间为t(单位:小时),s与t之间的函数关系 如图所示,有下列结论: ①出发1小时时,甲乙在途中相遇;②出发1、5小时时,乙比甲多行驶了60千米; 2017届深圳中考数学专题——圆 一．解答题（共30小题） 1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F． （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若AB=6，AD=4，求EF的长． 2．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE． （1）求证：直线DF与⊙O相切； （2）若AE=7，BC=6，求AC的长． 3．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC2=CD?2OE； （3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长． 4．如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足=，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM，AM． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半径． 5．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O 于点F，且CE=CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接AF、BF，求∠ABF的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径． 6.如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）求证：ED平分∠BEP； （3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长． 8．如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED． （1）若∠B+∠FED=90°，求证：BC是⊙O的切线； （2）若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直径． 9．如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E． （1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）． 九年级圆专题复习 第21题圆这道题对于升学考高中的学生来说是一道必得分题，随着中考复习的逐步深入，学生从知识上对于这道题已经很熟练了，都知道这道题的第（2）问主要考查圆与相似、三角函数、勾股定理等等。如果不进行归类，学生的脑海中还是显得比较杂，比较乱。在复习的过程中，教师如何引导学生进行归类，如何提升学生的转化能力，这些则是教学最需要突破的地方。如果教师能够引导学生对第21题考查的题型结构进行有效的归类，那么学生在面对这道题的时候，首先将这道题归纳为几个重要的熟悉的题型，然后利用自己对这几个题型的熟练理解，则可以大大提高解决问题的速度和准确性。 一、历年题型对比分析及2017年中考题型预测 1. （2013?武汉四月调考）在圆O 中，AB 为直径，PC 为弦，且PA=PC. （1）如图1，求证：OP//BC ； （2）如图2，DE 切圆O 于点C ，若DE//AB ，求tan ∠A 的值。 2. （2013?武汉中考）如图，已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是弧AB 的中点，连接PA 、PB 、PC （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3 ； （2）如图②，若sin ∠BPC= 25 24 ,求tan ∠PAB 的值。 3. （2014?武汉四月调考）已知：P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点． （1）如图1，若AC 为直径，求证：OP ∥BC ； （2）如图2，若sin ∠P=，求tan ∠C 的值． 4.（2014?武汉中考）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、P 是弧AB 上两点，AB ＝13，AC ＝5 (1) 如图(1)，若点P 是弧AB 的中点，求PA 的长 (2) 如图(2)，若点P 是弧BC 的中点，求PA 得长 5.（2015?武汉四月调考）已知：⊙O 为Rt △ABC 的外接圆，点D 在边AC 上，AD ＝AO ． （1）如图1，若弦BE ∥OD ，求证：OD=BE ； （2）如图2，点F 在边BC 上，BF ＝BO ，若OD ＝2 2 ，OF ＝3，求⊙O 的直径． 6.（2015?武汉中考）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT=45°，AT=AB ． （1）求证：AT 是⊙O 的切线； （2）连接OT 交⊙O 于点C ，连接AC ，求tan ∠TAC ． 7.（2016?武汉四月调考） 已知⊙O 为△ABC 的外接圆，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交⊙O 于点D ． (1)如图1，求证：BD= ED ； (2)如图2,AO 为⊙O 的直径，若BC= 6,sin ∠BAC=5 3 ，求OE 的长． E D O A B C F D O A B C 25题汇编 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，AD 为弦，OC ∥AD 。 （1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）若OA=2，求OC AD 的值。 2. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的一点，且AP=AC （1）求证：直线AP 是⊙O 的切线； （2）若AC=3，求PD 的长。 D C B A O C B 3. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，点E 是⊙O 上一点，点D 是AM 上一点，连接DE 并延长交BN 于点C ，连接OD 、BE ，且OD ∥BE 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若AD=1，BC=4，求直径AB 的长。 4. 如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AD ⊥AB 交BC 于点E ，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ，且∠ABF=∠ABC 。 （1）求证：AB=AC ； （2）若EF=4，2 3 tan F ，求DE 的长。 M N E D C B A O 5. 在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若AE=1，52=BD ，求AB 的长。 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AD 垂直于过点C 的直线，垂足为D ，且AC 平分 ∠BAD 。 （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若62=AC ，AD=4，求AB 的长。 A 九年级数学中考专题--压轴题精炼卷 1.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°，BC=8厘米,点D在AC上,CD=3厘米.点P、Q分别由A．C两点同时出发,点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米,行完AC全程用时8秒；点Q 沿CB方向向点B匀速移动,速度为每秒1厘米.设运动的时间为x秒(0 2.已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）． （1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式； （2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式； （3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围． 3.如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（0.5，2.5）和B（4，m），点P是线 段AB上异于A．B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标． 4.已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0． （1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根； （2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P （a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标． 浙教版2018-2019学年度九年级中考数学模拟试卷含解析答案 题号一二三总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人得分 一．选择题（共12小题，12*3=36） 1．的值是（） A．1B．﹣1C．3D．﹣3 2．已知x2﹣3x+1=0，则的值是（） A．B．2C．D．3 3．如图，在数轴上表示实数的可能是（） A．点P B．点Q C．点M D．点N 4．从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩 都是86.5分，方差分别是S 甲2=1.5，S 乙 2=2.6，S 丙 2=3.5，S 丁 2=3.68，你认为派谁去 参赛更合适（） A．甲B．乙C．丙D．丁 5．一个几何体由大小相同的小正方体搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在这个位置小正方体的个数．从左面看到的这个几何体的形状图的是（） A．B．C．D． 6．计算﹣?的结果是（） A．B．C．D． 7．某种长途的收费方式如下：接通的第一分钟收费a元，之后的每分钟收费b元，如果某人打一次该长途被收费m元，则这次长途的时间是（） A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟 8．如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（） A．四边形ACDF是平行四边形 B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形 C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形 D．四边形ACDF不可能是正方形 9．若不等式组的解集为x＞3，则a的取值是（） A．a≤6B．a≥6C．a＜6D．a≤0 10．如图，点A、B的坐标分别为（0，2）、（2，0），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1，若点D为⊙O上的一个动点，线段DB与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值为（） A．1B．2C．2﹣D．4﹣ 中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘 米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ） 中考数学圆的综合综合经典题及详细答案 一、圆的综合 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解． 试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ， 在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ， 又∵OA=BC=OD=4， ∴S△CDO=1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24． 2．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）． （1）求⊙M的半径； （2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH． （3）在（2）的条件下求AF的长． 【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4． 【解析】 【分析】 （1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长； （2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论； （3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】 （1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM， ∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径， ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ； （2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB， ∴∠HBC+∠BCH=90° 天津市和平区普通中学2018届初三数学中考复习 数与式 专题练习题 1．下列实数中，是有理数的为( ) A. 2 B ．3 4 C ．π D ．0 2．餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为( ) A ．5×109千克 B ．50×109千克 C ．5×1010千克 D ．0.5×1011千克 3．若|a －1|＝a －1，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥1 B ．a ≤1 C ．a ＜1 D ．a ＞1 4．下列计算正确的是( ) A ．4x 3·2x 2＝8x 6 B ．a 4＋a 3＝a 7 C ．(－x 2)5＝－x 10 D ．(a －b)2＝a 2－b 2 5．如果a ＋a 2－4a ＋4＝2，那么a 的取值范围是( ) A ．a ≤0 B ．a ≤2 C ．a ≥－2 D ．a ≥2 6．在代数式2x ，13(x ＋y)，x π－3，5a －x ，x （x －y ）x ，x ＋3（x ＋1）（x －2） 中，分式有____个． 7．如图，数轴上点A ，B 所表示的两个数的和的绝对值是____． 8．分解因式：8－2x 2＝____ ． 9．若a ＜6＜b ，且a ，b 是两个连续的整数，则a b ＝____． 10．若分式x 2－2x －3x ＋1 的值为0，则x 的值为____． 11．计算： 8＋|22－3|－( 13 )－1－(2015＋2)0； 12．已知x＋y＝－7，xy＝12，求y x y ＋x y x 的值． 13．先化简，再求值：a2－b2 a ÷(a－ 2ab－b2 a )，其中a＝2＋3，b＝2－3； 14．观察下列等式： 31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…. 解答下列问题： (1)32016的末位数字是多少？ (2)3＋32＋33＋33＋…＋32016的末位数字是多少？ 绝密☆启用并使用完毕前 试卷类型A 2018年高中阶段学校模拟考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，70分；共100分．考试时间为120分钟． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的、号和座号，然后用0.5毫米黑色签字笔将本人的、号和座号填写在答题卡相应位置． 3．答第Ⅰ卷时，必须使用2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号(ABCD)涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域作答．答作图题时，要先用2B 铅笔试画，无误后用黑色签字笔描黑． 5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷(选择题 共30分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1 . -2017的相反数是 A ．2017 B-2017 C. 2017 1 D.2017 1 - 2. 下列各式中，运算正确的是 A. 235 325a a a += B.2 2 (2)4a a -=- C.22(3)9a a = D.33 a a a ÷= 3“厉行勤俭节约，反对铺浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮．将210000000用科学记数法表示为（ ） A ． 2.1×109 B ． 0.21×109 C ． 2.1×108 D ． 21×107 4.下图是由6个相同的小立方块搭成的几何体,那么这个几何体的俯视图是 ( ） 5．世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a %后售价为128元． 下列所列方程中正确的是（ ） A ．2 168(1%)128a += B ．168(12%)128a -= C ．2 168(1%)128a -= D ．2 168(1%)128a -= 6.小刚用一半径为24cm 的扇形纸板做一个如下图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝处忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm ，那么这扇形纸板的面积是 班 级 经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单” 一.名称由来 在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。 正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！ 二.模型建立 【模型一：定弦定角】 【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】 【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 ` 三．模型基本类型图形解读 【模型一：定弦定角的“前世今生”】 【模型二：动点到定点定长】 【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 四．“隐圆”破解策略 牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。 直角必有外接圆，对角互补也共圆。五．“隐圆”题型知识储备 3 六．“隐圆”典型例题 【模型一：定弦定角】 1.（2017 威海）如图 1，△ABC 为等边三角形，AB=2，若P 为△ABC 内一动点，且满足 ∠PAB=∠ACP，则线段P B 长度的最小值为_ 。 简答：因为∠PAB=∠PCA，∠PAB+∠PAC=60°，所以∠PAC+∠PCA=60°，即∠APC=120°。因为A C定长、∠APC=120°定角，故满足“定弦定角模型”，P在圆上，圆周角∠APC=120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°，故以AC 为边向下作等边△AOC，以O 为圆心，OA 为半径作⊙O，P在⊙O 上。当B、P、O三点共线时，BP最短（知识储备一：点圆距离）， 此时B P=2 -2 2.如图1所示，边长为2的等边△ABC 的原点A在x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点A 在射线O D 上移动，则顶点C到原点O的最大距离为。 中考初三数学专题 隐形圆 辅助圆 模型一：“隐形圆”解点的存在性 模型分析“定边、定角”圆上找.具体来说：当边长一定，其所对角度也一定时，该角顶点 在两段弧上. 1. 如图，已知线段AB. （1）请你在图①中画出使∠APB＝90°的所有满足条件的点P； （2）请你在图②中画出使∠APB＝60°的所有满足条件的点P； （3）请你在图③中画出使∠APB＝45°的所有满足条件的点P. 2. （1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5.请你在图①中矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的点P； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝.请你在图②中矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝60°的点P；（3）如图③，在正方形ABCD中，AB＝2，BC＝ .请你在图③正方形ABCD的边上画出使∠BPC＝45°的点P. 3. 如图，线段AB和动点C构成△ABC，AB＝2，∠ACB＝120°，则△ABC周长的最大值为___________. . 模型二：“隐形圆”解角的最值 模型分析同弧所对的圆周角相等，其所对的“圆外角”小于圆周角，“圆内角”大于圆周角. 如图①，∠ B＝∠D＝∠E；如图②，∠F＞∠B＞∠G. 4. 如图，线段AB是球门的宽，球员（前锋）在距球门前一定距离的直线b上，在直线b上是否存在一点P，使得球员在P点射门更易进球？若存在这样的点，请找出；若不存在，请说明理由. 5. 如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点. （1）使∠APB＝30°的点P有________个； （2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标； （3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，请说明理由. 模型三：“隐形圆”解线段的最值 模型分析平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值. 具体分以下三种情况讨论（规定OD＝d，⊙O半径为r）： 第一种：当点D在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为（d＋r），DE的最小值为（d－r）； 第二种：当点D在圆上时，d＝r，如图③：当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值， DE的最大值为d＋r＝2r（即为⊙O的直径），DE的最小值为d－r＝0（点D，E重合）； 第三种：当点D在⊙O内时，d H F E D C B A 最新人教版九年级数学中考模拟测试卷含答案 班级姓名：成绩： 考 生 须 知 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题．满分100分，考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有 ．．一个． 1．数轴上的点A表示的数是a，当点A在数轴上向右平移了6个单位长度后得到点B，若点A和点B表示的数恰好互为相反数，则数a是 （A）6（B）6 -（C）3（D）3 - 2．如图，在ABC △中，BC边上的高是 （A）AF（B）BH（C）CD（D）EC 第2题图第3题图 3．如图是某个几何体的侧面展开图，则该几何体是 （A）三棱锥（B）四棱锥（C）三棱柱（D）四棱柱 4．任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是 （A）面朝上的点数是6 （B）面朝上的点数是偶数 （C）面朝上的点数大于2 （D）面朝上的点数小于2 5．下列是一组logo设计的图片，其中不是 ．．中心对称图形的是 （A）（B）（C）（D） 6．一个正方形的面积是12，估计它的边长大小在 （A） 2与3之间（B）3与4之间（C） 4与5之间（D）5与6之间 则这组数据的众数和中位数分别是 （A）10，8 （B）9.8，9.8 （C）9.8，7.9 （D）9.8，8.1 8．甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S（单位：米）与所用时间t（单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA和折 线OBCD．则下列说法正确的是 （A）两人从起跑线同时出发，同时到达终点 （B）跑步过程中，两人相遇一次 （C）起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远 （D）乙在跑前300米时，速度最慢 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．分解因式：= + -x x x2 32_________． 10．若代数式 24 +2 x x - 的值为0，则实数x的值是_________． 11．一次函数()0 y kx b k =+≠的图象过点() 0,2，且y随x的增大而减小，请写出一 12．某学校组织600名学生分别到野生动物园和植物园开展社会实践活动，到野生动物园的人数比到植物园人数的2倍少30人，若设到植物园的人数为x人，依题意，可 13．若22 2351 x y +-=，则代数式22 695 x y +-的值为． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐 标分别为(－4，1)、(－1，3)，在经过两次变化 （平移、轴对称、旋转）得到对应点A''、B''的 坐标分别为(1，0)、(3，－3)，则由线段AB得到 线段A B''的过程是：，由线段A B''得到 线段A B'''' 15．如图，⊙O的半径为2，切线AB的长为 200 S(米) t(秒) O D C B A 160 70 800 600 300中考数学专题复习圆的综合的综合题
人教版九年级数学上册中考专题复习题含答案全套
九年级中考模拟数学试题
2018 初三数学中考复习 圆 专题复习训练题及答案
人教版九年级数学中考模拟试题
深圳中考数学专题--圆
(完整版)九年级数学中考圆专题复习
中考数学圆综合题汇编
九年级数学中考专题--压轴题 精炼卷(含答案)
2019届人教版九年级数学中考模拟试卷含答案
中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案
中考数学圆的综合综合经典题及详细答案
初三数学中考复习-数与式-专题练习题-含答案
人教版九年级2018年数学中考模拟考试试题
“中考数学专题复习 圆来如此简单”经典几何模型之隐圆专题(含答案)
中考初三数学专题隐形圆
最新人教版九年级数学中考模拟测试卷含答案
相关主题
文本预览