错解剖析得真知（二十）第七章平面解析几何初步
§7.1直线和圆的方程
一、知识导学
1．两点间的距离公式:不论A(1
，1)，B(2
，2)在坐标平面上什么位置，都有
d=|AB|=，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|2－1|或|AB|=|2-1|.
2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(1，1)，B(2，2)，P(，)
之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以
A为起点，B为终点，P 为分点，则定比分点公式是.当P点为AB的中点时，
λ=1，此时中点坐标公式是.
3．直线的倾斜角和斜率的关系
（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.
（2）斜率存在的直线，其斜率与倾斜角α之间的关系是=tanα.
4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.
为直线的斜率
已知点，
=
+=1
为直线的横截距
，，分别
5．两条直线的夹角。当两直线的斜率
,都存在且·≠ -1时，tan θ=，
当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.
6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.
（1）斜率存在且不重合的两条直线1∶
，
2∶
，有以下结论：
①1∥
2
=，且ｂ1＝ｂ2 ②1⊥
2
·
= -1
（2）对于直线
1∶
，2
∶
，当
1
，
2
，
1
，
2
都不为零时，有以下结论：
①1∥2
=
≠ ②1⊥
2
1
2
+
1
2
= 0
③
1
与
2
相交≠
④
1
与
2
重合==
7．点到直线的距离公式. （1）已知一点P （
）及一条直线：
，则点P 到直线的距离
d =；
（2）两平行直线1:，2:之间的距离
d=.
8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系
（1）圆的标准方程：，其中（，b）是圆心坐标，是圆的半径；
（2）圆的一般方程：（＞0），圆心坐标为（-，-），半径为=.
二、疑难知识导析
1．直线与圆的位置关系的判定方法.
（1）方法一直线：；圆：.
一元二次方程
（2）方法二直线:；圆：，圆心（，b）到直线的距离为
d=
2．两圆的位置关系的判定方法.
设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为1，2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：|O1O2|>1+2两圆外离；
|O1O2|=1+2两圆外切；
| 1-2|<|O1O2|<1+2两圆相交；
| O1O2 |=|1-2|两圆内切；
0<| O1O2|<| 1-2|两圆内含.
三、经典例题导讲
［例1］直线l经过P（2,3）,且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.
错解：设直线方程为:,又过P(2,3),∴,求得a=5
∴直线方程为x+y-5=0.
错因：直线方程的截距式: 的条件是:≠0且b≠0,本题忽略了这一情形.
正解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:,∴直线方程为y=x
综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=x .
［例2］已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P的轨迹方程.
错解：设动点P坐标为(x,y).由已知3
化简3=x2-2x+1+y2-6y+9 .
当x≥0时得x2-5x+y2-6y+10=0 . ①
当x＜0时得x2+ x+y2-6y+10=0 . ②
错因：上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得
(x-)2+(y-3)2 = ①和 (x+)2+(y-3)2 = - ②
两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现.
正解：接前面的过程,∵方程①化为(x-)2+(y-3)2 = ,方程②化为(x+)2+(y-3)2 = - ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为: (x-)2+(y-3)2 = (x≥0)
［例3］m是什么数时，关于x,y的方程（2m2+m-1）x2+（m2-m+2）y2+m+2=0的图象表示一个圆？
错解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C≠0，
得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，
∴当m=1或m=-3时，x2和y2项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆
错因：A=C，是Ax2+Cy2+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：A=C≠0且＜0.
正解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C≠0，
得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，
(1)当m=1时，方程为2x2+2y2=-3不合题意，舍去.
(2)当m=-3时，方程为14x2+14y2=1,即x2+y2=,原方程的图形表示圆.
［例4］自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7＝0相切，求光线L所在的直线方程.
错解：设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)，于是L′过A(-3，-3).
设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，
已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1
因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1
即
整理得12k2-25k+12＝0
解得k＝L′的方程为y+3＝(x+3)
即4x-3y+3＝0 因L和L′关于x轴对称
故L的方程为4x+3y+3＝0.
错因：漏解
正解：设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)，于是L′过A(-3，-3).
设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，
已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1
因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1
即
整理得12k2-25k+12＝0
解得k＝或k＝
L′的方程为y+3＝(x+3);或y+3＝(x+3)。
即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0
因L和L′关于x轴对称
故L的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.
［例5］求过直线和圆的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：
（1）过原点；（2）有最小面积.
解：设所求圆的方程是：
即：
（1）因为圆过原点，所以，即
故所求圆的方程为：.
（2）将圆系方程化为标准式，有：
当其半径最小时，圆的面积最小，此时为所求.
故满足条件的圆的方程是.
点评：（1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待定系数法。（2）面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小.
［例6］（06年辽宁理科）已知点A()，B()（≠0）是抛物线
上的两个动点，O是坐标原点，向量满足｜｜＝｜｜.设圆C的
方程为
（1）证明线段AB是圆C的直径；
（2）当圆C的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值.
解：（1）证明∵｜｜＝｜｜，∴（）2＝（）2，整理得：＝0 ∴＋＝0
设M（）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则＝0
即＋＝0
整理得：
故线段AB是圆C的直径.
（2）设圆C的圆心为C（），则
∵，
∴
又∵＋＝0 ，＝－
∴－
∵≠0，∴≠0
∴＝－4
＝
所以圆心的轨迹方程为
设圆心C到直线的距离为ｄ，则
＝
当＝时，ｄ有最小值，由题设得＝
∴＝2.
错解剖析得真知（二十一）
§7.2圆锥曲线
一、知识导学
1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹
2．椭圆的标准方程：，（）
3椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数
，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式
4．椭圆的准线方程
对于，左准线；右准线
对于，下准线；上准线
5.焦点到准线的距离（焦参数）
椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称
6椭圆的参数方程
7．双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动
点的轨迹叫双曲线即这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距
8．双曲线的标准方程及特点：
（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)；
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)
(2)有关系式成立，且
其中与b的大小关系:可以为
9焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上
10．双曲线的几何性质：
（1）范围、对称性
由标准方程，从横的方向来看，直线x=-,x=之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心
（2）顶点
顶点：，特殊点：
实轴：长为2, 叫做半实轴长虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异
（3）渐近线
过双曲线的渐近线（）
（4）离心率
双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率范围：
双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔
11．双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数
的点的轨迹是双曲线其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数e 是双曲线的离心率．
12．双曲线的准线方程：
对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点
对应着右准线；
焦点到准线的距离（也叫焦参数）
对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点
对应着下准线
抛物线
13抛物线定义：
平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线
二、疑难知识导析
椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线，它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单的几何性质都存在着相似之处，也有着一定的区别,因此，要准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系
1．等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率
2．共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定
是：或写成
3．共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1
4．抛物线的几何性质
（1）范围
因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x ≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
（2）对称性
以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
（3）顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，
因此抛物线的顶点就是坐标原点．
（4）离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．
19抛物线的焦半径公式：
抛物线，
抛物线，
抛物线，
抛物线，
三、经典例题导讲
[例1]设双曲线的渐近线为：，求其离心率.
错解：由双曲线的渐近线为：，可得：，从而
剖析：由双曲线的渐近线为是不能确定焦点的位置在x轴上的，当焦点的位置在y轴上时，，故本题应有两解，即：
或.
［例2］设点P(x,y)在椭圆上，求的最大、最小值.
错解：因∴，得：，同理得：，故
∴最大、最小值分别为3,-3.
剖析：本题中x、y除了分别满足以上条件外，还受制约条件的约束.当x=1时,y此时取不到最大值2,故x+y的最大值不为3.其实本题只需令，则，故其最大值为，最小值为.
［例3］已知双曲线的右准线为，右焦点,离心率,求双曲线方程.
错解一：故所求的双曲线方程为
错解二：由焦点知
故所求的双曲线方程为
错因：这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法.
解法一：设为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为，右焦点，
离心率，由双曲线的定义知整理得
解法二：依题意，设双曲线的中心为,
则解得,所以
故所求双曲线方程为
［例4］设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的最远距离是，求这个椭圆的方程.
错解：依题意可设椭圆方程为
则，
所以，即
设椭圆上的点到点的距离为，
则
所以当时，有最大值，从而也有最大值。
所以，由此解得：
于是所求椭圆的方程为
错因：尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当时，有最大值，这步推理是错误的，没有考虑到的取值范围.事实上，由于点在椭圆上，所以有，因此在求的最大值时，应分类讨论.
正解：若，则当时，（从而）有最大值.
于是从而解得.
所以必有，此时当时，（从而）有最大值，
所以，解得
于是所求椭圆的方程为
［例5］从椭圆,(>b>0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1，A、B分别是椭圆长、短轴的端点，AB∥OM设Q是椭圆上任意一点，当QF2⊥AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若⊿F1PQ的面积为20，求此时椭圆的方程
解：本题可用待定系数法求解
∵b=c, =c，可设椭圆方程为
∵PQ⊥AB,∴k PQ=-，则PQ的方程为y=(x-c)，
代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0，
根据弦长公式，得,
又点F1到PQ的距离d= c
∴ ,由
故所求椭圆方程为
［例6］已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长
解：a=3,b=1,c=2; 则F（-2，0）
由题意知：与联立消去y得：
设A（、B（，则是上面方程的二实根，由违达定理，
，又因为A、B、F都是直线上的点，
所以|AB|=
点评：也可利用“焦半径”公式计算
［例7］（06年全国理科）设P是椭圆短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求｜PQ｜的最大值.
解：依题意可设P（0,1），Q（），则｜PQ｜＝，又因为Q在椭圆上，所以，，｜PQ｜2＝＝
＝.
因为≤1，＞1，若≥，则≤1，当时，｜PQ｜取最大值
；若1＜＜，则当时，｜PQ｜取最大值2.
［例8］已知双曲线的中心在原点，过右焦点F（2，0）作斜率为的直线，交双曲线于M、N 两点，且=4，求双曲线方程
解：设所求双曲线方程为，由右焦点为（2，0）知C=2，b2=4-
2
则双曲线方程为，设直线MN的方程为：，代入双曲线方程整理得：(20-82)x2+122x+54-322=0
设M（x1,y1）,N(x2,y2),则，
解得，
故所求双曲线方程为：
点评：利用待定系数法求曲线方程，运用一元二次方程的根与系数关系将两根之和与积整体代入，体现了数学的整体思想，也简化了计算，要求学生熟练掌握
错解剖析得真知（二十二）
§7.3 点、直线和圆锥曲线
一、知识导学
1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系
已知（a＞b＞0）的焦点为F1、F2, （a＞0,b＞0）
的焦点为F1、F2，(p＞0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：
上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明．
2．直线∶Ax＋B＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：
设直线:Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f(x,y)=0,由
消去y(或消去x)得:ax2+bx+c=0,△=b2-4ac,（若a≠0时），
△＞0相交△＜0相离△= 0相切
注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．
二、疑难知识导析
1．椭圆的焦半径公式：（左焦半径）,（右焦半径）,其中是离
心率。焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：（其中分别是椭圆的下上焦点）.
焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：左加右减，上减下加.
2．双曲线的焦半径
定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径.
焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：
焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：
（其中分别是双曲线的下上焦点）
3．双曲线的焦点弦：
定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦。
焦点弦公式：
当双曲线焦点在x轴上时，
过左焦点与左支交于两点时：；
过右焦点与右支交于两点时：。
当双曲线焦点在y轴上时，
过左焦点与左支交于两点时：；
过右焦点与右支交于两点时：。
4．双曲线的通径：
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦.
5．直线和抛物线
（1）位置关系：
相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）.联立，得关于x的方程
当（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）；
当，则
若，两个公共点（交点）；
，一个公共点（切点）；
，无公共点（相离）.
（2）相交弦长：
弦长公式：.
（3）焦点弦公式：
抛物线，.
抛物线，.
抛物线，.
抛物线，.
（4）通径：
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦通径：.
（5）常用结论：
和
和.
三、经典例题导讲
[例1]求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点.
错解：设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为
，消去得整理得
直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为
正解：①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切.②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好
与抛物线只有一个交点.③一般地，设所求的过点的直线为,则，
令解得k = ,∴所求直线为
综上，满足条件的直线为：
[例2]已知曲线C：与直线L：仅有一个公共点，求m的范围.
错解：曲线C：可化为①，联立，得：
，由Δ＝0,得.
错因：方程①与原方程并不等价，应加上.
正解：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m的范围为
.
注意：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错.
[例3]已知双曲线，过P(1,1)能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且P 为AB中点.
错解：（1）过点P且与x轴垂直的直线显然不符合要求.
（2）设过P的直线方程为，代入并整理得：
解析几何经典例题 圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从 的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。 图1 解析：易知故 在中， 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。 图2 解析：不妨设P点在双曲线的右支上， 延长F1M交PF2的延长线于N， 则， 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。
图3 解析：易知抛物线的准线l：， 作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y＝－1的最短距离为。 评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地， 求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4. ①已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（） 图4 ②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|， 而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝ 故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。
1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程． 39．02=+-z y 3． 在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等． 7．)5 1,1,57 (． 5．已知：→ → -AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （ ） A ．4 B ．1 C ． 2 1 D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（ ） A ．平行于x 轴 B ．平行于y 轴 C ．平行于z 轴 D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ） A ．5 B ． 6 1 C ． 51 D ．8 1 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ． 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ． 设 ++=2， 22+-=， 243+-=，则 )(b a p r j c += ． 4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：442 2 2 =++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的． 3．34-=m ； 4．29 19 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线 1422 =+z y 绕z 轴
解析几何练习题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3．若直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线对称的直线方程是 （ ） A ． B ． C ． D ． 6.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l
A ． B ． C ． D ． 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则 弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22
第一章集合与常用逻辑用语 §1.1 集合的概念与运算 一、知识导学 1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合. 2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元. 3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则），则称 集合A为集合B的子集，记为A B或B A；如果A B，并且A B，这时集合A称为集合B的真子集，记为A B或B?A. 4.集合的相等：如果集合A、B同时满足A B、B A，则A=B. 5.补集：设A S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记 为. 6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U. 7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A B. 8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A B. 9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作. 10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集. 11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集. 12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）. 13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或N，整数集记作Z，有理数 集记作Q，实数集记作R. 二、疑难知识导析 1.符号，，，?，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别. 2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”. 3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质. 4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式 中，B=易漏掉的情况. 5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之. 6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.
平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角的范围 0 180 （2）经过两点的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2 ，其斜率分别为k1, k2 ，则有 l1 / /l2 k1 k2 。特别地， 当直线 l1,l2 的斜率都不存在时，l1与l2 的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线l1,l2 斜率存在，设为k1, k2 ，则l1 l2 k1 k2 1 注：两条直线l1 ,l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率 之积为 -1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果 l1,l2 中 有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时， l1与l2 互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称方程的形式已知条件局限性 点斜式 不包括垂直于x 轴的直 线为直线上一定点，k 为斜率 斜截式k 为斜率， b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式 不包括垂直于x 轴和 y 轴的是直线上两定点 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直不包括垂直于x 轴和 y 轴或
线在 y 轴上的非零截距过原点的直线 一般式 A ，B，C 为系数无限制，可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是，两条 直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条 直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平 行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1 ）两点间的距离平面上的两点间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用 公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知A(x , y ), B(x , y ), C (x , y ), 若 x 1 x 2 x3或k AB k AC ，则有 A 、B、 C 三点共 1 1 2 2 3 3 线。
空间解析几何试卷 一、填空题（本大题共计30分，每空3分。请把正确答案填在横线上） 1. 设向量{}{}1,1,2,0,1,1=--=→→b a ，则→→b a 在上的射影是_____________,→ a 是_______________. 2. 设向量{}3,5,4-=→a ,向量225共线，反向且模为与→→a b ,那么向量→ b 的坐标是 ________________. 3. 已知向量{}{}3,2,,1,1,1x b a ==→→, 如果→ →b a ,垂直, 那么x =_________. 4. 已知向量{}{},0,3,2,1,0,1=-=→→b a {}2,1,0=→c ，则由这3个向量张成的平行六面体的体积是_________. 5. 直线z y x -=-+=-3212与直线2 112-+=-=z y x 间的距离是_____________. 6. 若直线1 23z y a x ==- 与平面x-2y+bz=0平行，则a,b 的值分别是______________. 7. 经过直线???=-+-=-+0 201z y x y x 且与直线z y x 2==平行的平面的方程是_________________. 8. 空间曲线? ??+==-+1022x z z y x 在y x 0坐标面上的射影曲线和射影柱面的
方程分别是_____________________________. 9. 顶点在原点、准线为抛物线???==1 22z x y 的锥面方程是 ________________(请用x y x ,,的一个方程表示). 10.曲线?????==-0 19422y z x 绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__________________,此曲面表示______________曲面. 二、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若=?-+=+-=→ →→→→→→→→→b a k j i b k j i a 则,23,532( ) A. 7 B. -7 C. -1 D. 0 2. 已知→→b a ,不共线, 与→→b a ,同时垂直的单位向量是( ) A. →→?b a B. →→?a b C. ||→→→ →??±b a b a D. ||→→→→??b a b a 3. 在空间右手直角坐标系下，点P(-1,2,-3)在第( )卦限. A. II B. III C. V D. VI 4. 若两个非零向量→→b a ,满足|→→+b a |=|→→-b a |，则一定有( ) A. →→⊥b a B. →→b a // C. →→b a 与同向 D. → →b a 与反向 5. 点M(1,-3,-2)关于y 轴的对称点N 的坐标是( )
错解剖析得真知（三十七） 12.4线性回归方程 一、知识导学 1．变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达 2．能用直线方程近似表示的相关关系叫做线性相关关系 当a,b使 取得最小值时，就称为拟合这n对数据的线性回归方程，将该方程所表示的直线称为回归直线. 4．线性回归方程中的系数满足： 由此二元一次方程组便可依次求出的值： （*） 5．一般地，用回归直线进行拟合的一般步骤为： （1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近； （2）如果散点在一条直线附近，用公式（*）求出，并写出线性回归方程. 二、疑难知识导析 1．现实世界中两个变量的关系中更多的是相关关系而不是确定性关系，许多物理学中公式看起来是确定性关系，实际上由于公式的使用范围，测量误差等的影响，试验得到的数据之间是相关关系. 2．用最小二乘估计方法计算得到的使函数达到最小
3．还有其他寻找较好的回归直线的原则（如使y方向的偏差和最小，使各点到回归直线的距离之和最小等） 4．比较相关关系绝对值的大小可以比较一组变量之间哪两个变量有更强的（线性）相关关系. 5．“最好的”直线方程中“最好”可以有多种解释，也就有不同的求解方法，现在广泛采用的最小二乘法所用的思想是找到使散点到直线在垂直方向上的距离的平方和最小的直线，用这个方法，的求解最简单 三、经典例题导讲 问y与x的(样本)相关系数r是多少?这是否说明y与x没有关系? 错解： 所以相关系数r=0,即y与x没有关系. 错因：相关系数r=0并不是说明y与x没有关系，而是说明y与x没有线性相关关系，但有可能有非线性相关关系. 正解： 所以相关系数r=0,即y与x没有线性相关关系，但有可能有非线性相关关系. 此题中y与x之间存在着的二次相关关系的. [例2]某工厂在2004年的各月中，一产品的月总成本y（万元）与月产量x（吨）之间有如下数据： 若2005年1月份该产品的计划产量是6吨，试估计该产品1月份的总成本. 分析：可将此问题转化为下面三个问题： （1）画出散点图，根据散点图，大致判断月总成本y与月产量之间是否有线性相关关系；（2）求出月总成本y与月产量x之间的线性回归方程； （4）若2005年1月份该产品的计划产量是6吨，试估计该产品1月份的总成本. 错解：省去第一步，即把判断判断月总成本y与月产量之间是否有线性相关关系的过程舍去，想当然其具有线性相关关系，直接代入公式，求出线性回归方程. 错因：此题的月总成本y与月产量x之间确实是有线性相关关系，若不具有则会导致错误.因此判断的过程不可少. 正解：（1）散点图见下面，从图中可以看到，各点大致在一条直线附近，说明x与y有较强的线性相关关系.
《解析几何》期末试卷及答案 一、 填空（每题3分，共30分） 1 1=, 2=?，则摄影= 2 。 2．已知不共线三点)5,2,3(),5,1,2(),3,2,1(--C B A 则三角形ABC 的 BC 边上的高 为 8 。 3．， = 时+平分，夹角。 4．自坐标原点指向平面：035632=-++z y x 的单位法矢量为 ? ?? ???32,31,92 。 5．将双曲线?????==-0 1 22 22x c z b y 绕虚轴旋转的旋转曲面方程为 1222 22=-+c z b y x 。 6．直线???=+++=+++00 22221111D z C y B x A D z C y B x A 与X 轴重合，则系数满足的条件为 ?????? ?====00,02 2 1 122 1 1 21A C A C C B C B D D 。 7．空间曲线???=+=-0042 2z x z y 的参数方程为 ?????==-=242t z t y t x 或?? ? ??=-=-=2 4 2t z t y t x 。 8．直纹曲面0222=-+z y x 的直母线族方程为 ???-=-=+) ()()(y w y x u uy z x w ，或 ? ? ?=--=+sy y x t y t z x s )() ()( 。 9．线心型二次曲线0),(=y x F 的渐近线方程为 0131211=++a y a x a 。 10．二次曲线027522=+-++y x y xy x 在原点的切线为 02 1 =+-y x 。 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 二次曲线0126622=-++++y x y xy x 的图象为（ B ）
错解剖析得真知 第八章平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、知识导学 1.模（长度）：向量的大小，记作。长度为０的向量称 为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量。记作-。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知，。在平面内任取一点，作=，=，则向量 叫做与的和。记作+。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知，。在平面内任取一点O，作=，=，则向量叫做与的差。记作-。 7.实数与向量的积：
（1）定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，并规定： ①λ的长度|λλ|·； ②当λ＞0时，λ的方向与的方向相同； 当λ＜0时，λ的方向与的方向相反； 当λ＝0时，λ= （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μ)=(λμ) ②(λ+μ) =λ+μ ③λ(+)=λ+λ 8.向量共线的充分条件：向量与非零向量共线的充要条件是 有且只有一个实数λ，使得＝λ。 另外，设=（x 11）, = (x22)，则1y2－x2y1=0 9.平面向量基本定理： 如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2使＝λ1＋λ2，其中不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 10.定比分点 设P1，P2是直线l上的两点，点P是不同于P1，P2的任意一点则存在一个实数λ,使=λ，λ叫做分有向线段所成的比。
若点P1、P、P2的坐标分别为(x1，y1)，()，(x22)，则有 特别当λ=1，即当点P是线段P1P2的中点时，有 11.平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为θ，则数量 θ叫做与的数量积(或内积)，记作·，即·＝θ 规定：零向量与任一向量的数量积是0。 (2)几何意义：数量积·等于的长度与在的方向上的投影θ的乘积。 (3)性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，θ是与的夹角，则·＝·＝θ，⊥·＝0 当与同向时，·＝ 当与反向时，·＝－ 特别地，·＝2或＝ θ＝ |·|≤ (4)运算律： ·＝· (交换律) (λ)·＝λ(·)＝·(λ) (＋)·＝·＋·
错解剖析得真知（十） 3. 4三角函数的图象与性质 一、知识导学 1?三角函数线?设角Q的终边与单位圆交于点尸，过点P做PM丄兀轴于过点 川1?）做单位圆的切线，与角Q的终边或终边的反向延长线相交于点T7,则有向线段 MP9OM9AP分别叫做角◎的正弦线，余弦线，正切线. 2.三角函数的图象 （1）尹二sin 兀卩二cosj/= tan = cotx 四种图象 （2）函数戸=4$山（物+釣的图象 ①“五点作图法” ②图象变化规律 3.三角函数的定义域、值域及周期 4 ?三角函数的奇偶性和单调性二、疑难知识导析 1尹=虫$in（物+0）+E（4H 0,0 A0）中.及卩.对正弦函数，=sm乳图象的影响，应记住图象变换是对自变量而言. .c —v = sin 2(J -—) y = sin( 2x + —) 如：V = 向右平移6个单位，应得 6 ,而不是 6 2 ?用“五点法”作产=虫泅（处+ 0（月工0?〉0）图时，将处+ ?看作整体，取‘2 , 2来求相应的兀值及对应的习值，再描点作图. 3尹=sm x T y= cos兀尹二4sin（曲+?）的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形. 而p=tanx图象只是中心对称图形，掌握对称中心和对称轴的求法及位置特征，充分利用特征求出中P =虫$山（愿+◎）（虫壬°，Q > °）的各个参数. 4?三角函数的左义域是研究其它一切性质的前提?求左义域实质上是解简单的三角不等式（组）?要考虑到分母不为零，偶次根式被开方数不小于零，对数的真数大于零、底数
大于零且不等于1,同时还要考虑到函数本身的左义域?可用三角函数图象或三角函数线 解不等式（组）. 5?求三角函数的值域是常见题型?一类是尹= +处。沐型，这要变形成 y = + 二是含有三角函数复合函数，可利用换元、配方等方法转换 成一元二次函数在定区间上的值域. 6?尹=^sm （饭+ @）（月〉Og > 0）单调性的确泄，基本方法是将皈+ ?看作整体， 数，通常先通过诱导公式处理. 7?利用单调性比较函数值的大小.往往先利用对称型或周期性转化成同一单调区间 上 的两个同需函数. 三. 典型例题导讲 错解：A 错因：审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误. 正解:B y= sm 1 + tan x ■ tan — ［例2］ 函数 v 2 - 错解：A 错因：将函数解析式化为尹二阪兀后得到周期忽视了定义域的限制，导致岀错. 正解:B 才 才 ［例 3］ F 列四个函数 y=tan2x, y=cos2x, y=sin4x, y=cot （x+ 4 ）,其中以点（4,0）为中心对 称的三角函数有（ ）个. A ?1 B ?2 C ?3 D ?4 错解：B 错因：对三角函数图象的对称性和平移变换未能熟练掌握. 如求增区间可由 2k7V^—(k e z) 解出兀的范围?若x 的系数为负 尹二 stn ［例1］为了得到函数 2x-- $丿的图象，可以将函数y=cos2入 的图象（ 7T A 向右平移§ 7F 7F B 向右平移3 C 向左平移6 7F D 向左平移3 的最小正周期为（ 7T C 2 3TT D 2
习题一 空间解析几何 一、填空题 1、过两点(3,-2)和点(-1,0)的直线的参数方程为 。 2、直线2100x y --=方向向量为 。 3、直角坐标系XY 下点在极坐标系中表示为 。 4、平行与()6,3,6a =-的单位向量为 。 5、过点(3,-2,1)和点(-1,0,2)的直线方程为 。 6、过点(2,3)与直线2100x y +-=垂直的直线方程为 。 7、向量(3,-2)和向量(1,-5)的夹角为 。 8、直角坐标系XY 下区域01y x ≤≤≤≤在极坐标系中表示为 。 9、设 (1,2,3),(5,2,1)=-=-a b , 则(3)?a b = 。 10、点(1,2,1)到平面2100x y z -+-=的距离为 。 二、解答题 1、求过点(3,1,1)且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程。 2、求过点(4,2,3) 且平行与直线 31215 x y z --==的直线方程。 3、求过点(2,0,-3) 且与直线247035210x y z x y z -+-=??+-+=? 垂直的平面方程。 4、一动点与两定点(2,3,2)和(4,5,6)等距离, 求这动点的方程。
5、求222,01z x y z =+≤≤在XOZ 平面上的投影域。 6、求222 19416 x y z ++=在XOY 平面上的投影域。 7、求2z z =≤≤在XOZ 平面上的投影域。 8、求曲线222251x y z x z ?++=?+=? 在XOY 平面上的投影曲线。 9、求曲线 22249361x y z x z ?++=?-=? 在XOY 平面上的投影曲线。 10、求由曲面22z x y =+与曲面2222x y z ++=所围成的区域在柱面坐标系下的表示。
解析几何 1.（21）（本小题满分13分） 设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经 过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足 ,求点的轨迹方程。 （21）（本小题满分13分）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量 的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵 活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学 素养. 解：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直 线上，故可设 ① 再设 解得②，将①式代入②式，消去，得 ③，又点B在抛物线上，所以， 再将③式代入，得 故所求点P的轨迹方程为 2.（17）（本小题满分13分） 设直线 （I）证明与相交； （II）证明与的交点在椭圆 （17）（本小题满分13分）本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力. 证明：（I）反证法，假设是l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1=k2，代入k1k2+2=0，得此与k1为实数的事实相矛盾. 从而相交. （II）（方法一）由方程组，解得交点P的坐标为，而 此即表明交点 （方法二）交点P的坐标满足， ，整理后，得 所以交点P在椭圆 .已知椭圆G：，过点（m，0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点。 （1）求椭圆G的焦点坐标和离心率； （2）将表示为m的函数，并求的最大值。 （19）解：（Ⅰ）由已知得所以 所以椭圆G的焦点坐标为，离心率为 （Ⅱ）由题意知，.当时，切线l的方程， 点A、B的坐标分别为此时 当m=－1时，同理可得 当时，设切线l的方程为 由；设A、B两点的坐标分别为，则； 又由l与圆
二元一次方程组常见错解剖析 同学们在学习二元一次方程组时，由于对概念理解和解法掌握程度不够，常会出现一些错误．现我举一些常见的错误，供同学们在学习上参考． 一、概念上的错误 例1：下列哪些方程是二元一次方程？ （1）1=xy ,（2）,13=-y x （3）,21=+y x （4）,032=-+x x （5）,732=+x （6）122=-y x 错解：（1）、（2），（3），（4），（6） 剖析：二元一次方程定义：①是整式方程；②有两个未知数；③未知数项的最高次数为1．方程（1）（6）不符合③，方程（3）不符合①，方程（4）不符合②，故它们都不是二元一次方程． 例2：下列哪些方程组不是二元一次方程组？ （1）?? ???=--=21y x y x （2）???==30y x （3）?????==+-=+4362y y x y x （4）???=-=+1053253y x y x （5）???=+=+2 1z y y x 错解：（1）（2）（3）（5） 剖析：二元一次方程组应从三个方面来理解：①未知项最高次数是1的整式方程；②方程组总共只有二个未知数；③方程的个数可以多于2个．方程（1）不符合①；（5）不符合②，故（1）（5）不是二元一次方程组． 例3：已知方程3)1()1(12||=++--b a y b x a 是二元一次方程，求b a ,的值． 错解：由题意得：???=-=1121||b a ∴???=±=1 1b a 剖析：根据二元一次方程定义可知，方程含有两个未知数但未知数 系数不能为0． 正解：（接上）∵01≠-a ∴1=a ∴???=-=1 1b a
二、解法上的错误 例4：解方程组???-=-=-22 2y x y x ) 2()1( 错解：（1）+（2）得：42=x 2=∴x 原方程组的解是：2=x 正解：（接上）将2=x 带入（2）得：1=y ???==∴1 2y x 例5:解方程组? ??-=-=-222y x y x )2()1( 错解：方程（1）-（2）得：424-=-y x （3） （1）-（3）得：03=-y ∴0=y 把0=y 带入（2）得：2-=x ? ??=-=∴02y x 剖析：在（1）-（2）时，符号出错． 正解：（1）-（2）得：)2(2)()2(--=---y x y x 42=+--y x y x 4=-y 4-=∴y 把4-=y 带入（2）得：6-=x
第七章 向量代数与空间解析几何 （一） 空间直角坐标系、向量及其线性运算 一、判断题 1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。 （ ） 2． 任何向量都有确定的方向。 （ ） 3． 任二向量, =.则a =b 同向。 ( ) 4． 若二向量, + ,则,同向。 （ ） 5． 若+=+,则= ( ) 6． 向量b a , b a ,同向。 （ ） 7．若={ z y x a a a ,,}，则平行于向量的单位向量为| |a a x a | |a z }。（ ） 8．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。 ( ） 二、填空题 1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是 2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。 4． 设向量a 与b 有共同的始点，则与,共面且平分a 与b 的夹角的向量为 5． 已知向量与方向相反，且||2||a b =，则由表示为= 。 6． ，与轴l 的夹角为 6 π，则a l prj = 7． 已知平行四边形ABCD 的两个顶点A （2，-3，-5）、B （-1，3，2）。 以及它的对角线 交点E （4，-1，7），则顶点C 的坐标为 ，则顶点D 的坐标为 。 8． 设向量与坐标轴正向的夹角为α、β、γ，且已知α =ο 60，β=ο 120。则γ= 9． 设a 的方向角为α、β、γ，满足cos α=1时，a 垂直于 坐标面。 三、选择题
1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ） 225)3(+- （C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 2 ． 已 知 梯 形 OABC 、 2 12 1 -21--2121-, ⊥ b + + - + < - +>-yoz 2AOB ∠42222)(b a b a ?=?a ?b a ???2 a b ??a ??b ωc a ρρ?0??≠a c b ??=b a ??=b a ?? ?22 2b b a a +?+??a b b a ???ρ?=?c b a ???、、a c b c b a ???????=?=,c b a ???、、b a ??,111,,γβα2 22,,γβαb a ∧ (2 12121cos cos cos cos cos cos γγββαα++) (b a ?∧3 π,8,5==b a ??b a ??-24,19,13=+==b a b a ??ρ?a b -v v 32)(π=∧b ?2 ,1==b a ??a b ?v v 72,26,3=?==b a b a ????b a ???}1,2,2{},4,3,4{=-=b a ??a }4,6,4{},2,3,2{--=-=b a ?? )(b ?∧b a ??,λb a P ???5+=λb a Q ???-=3MNP ∠π 4 3π2π 4π2a =0=?b a ??0??=a 0??=b c a b a c b a ???????-=-)(0??≠a c a b a ????=c b ??=}. 4,4,1{},2,3,{-==b x a ?? b a ??//}1,3,1{1},1,1,2{-=-= b a ?? b a ??、}2,1,2{}3,2,1{}1,3,2{=-=-=c b a ? ??、、d ?b a ??,. 14d c ?? ，求向量上的投影是312123 a a a b b b == 2222222 123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++=++?..a C B c A B ????= =c a c a S ABD ρ?????= ?l l πππ⊥πππθ2 π πππ5πd 2 2212C B A D D ++-5 1 232-==-z y x { 7 421 253=+--=-+z y x z y x 1 3241z y x =+=-300 { x y z x y z ++=--={ 1240 322=+--=+-+z y x z y x 2 33211+=+=-z y x 1 0101z y x =-=+{ 0440 4=--=--y x z x ?? ? ??==+=4321z t y t x { 7 27 2=-+=++-z y x z y x
一、填空题（共7题，2分/空，共20分） 1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是______. 2.已知向量 (1,1,1) a → =, ) 3,2,1(=→ b , (0,0,1) c → =,则 → → → ??c b a )(=__(-2,-1,0)____. 3.点)1,0,1(到直线?? ?=-=0 3z x y x 的距离是___66 ___________. 4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是__ 3 147 ___________. 5.曲线C:2201x y z z x ?+-=?=+? 对 xoy 坐标面的射影柱面是 ___2210x x y -+-=____, 对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________. 6.曲线 C:220 x y z ?=?=?绕x 轴旋转后产生的曲面方程是 __4224()x y z =+_____，曲线C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________. 7.椭球面125 492 22=++z y x 的体积是_____ ____________.
二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分） 1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里,,a b c 是3个非零实数. 解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则 12(,0,)M M a c =-，13(0,,)M M b c =- 于是1M ，12M M ，13M M 所确定的平面方程是000 x a y b z a c b c ---=- 即 ()()0bc x a ac y b abz -+-+= . 2.已知空间两条直线:1l 0 10x y z +=??+=? ,:2 l 0 10x y z -=??-=? . (1)证明1l 和2l 是异面直线;(2)求1l 和2l 间的距离;(3)求公垂线方程. 证明：(1) 1l 的标准方程是1 110 x y z +== -，1l 经过点1(0,0,1)M -，方向向量1{1,1,0}v =- 2l 的标准方程是 2 110 x y z -== ，2l 经过点2(0,0,2)M ，方向向量2{1,1,0}v =，于是
1 践行得真知，乘风破浪去 --社会实践心得体会 *** 大脑里千丝万缕，这次活动让我至始至终都兴奋不已，不能说我 与气象这门服务人类的科学事业进行了一次零距离接触，但却让我真挚的了解了气象服务于世界所做出的巨大贡献和幕后的辛劳。 在中国共产党迎来她九十华诞之际，在这个红色的七月里，我们南京信息工程大学大学生气象科技协会开展了为期七天的“气象服务与实习调研”活动，以不一样的形式高歌我们伟大而又光荣的党。它指引着我们每一个心怀百姓，要拥有服务人民，奉献气象的伟大精神，要为祖国的强大献出一份力量，要在气象领域里不懈努力，不断拼搏。 正如我所想，一切都很新奇。我们于7月14日-20日在松原市气象局、吉林油田通讯公司等单位的支持下开展的活动，让我见识了不少，颇有收获。 在松原市气象局，吉林油田通讯公司后，让我深深感悟到“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”的道理。看似普通的天气预报工作，背后的故事那就复杂了。数据的收集与处理，以及绘图制表，综合分析，才能有一个大致的测定。然而，我的叙述也是不够全面、不到位的。之后，还了解了有关天气对通讯的影响问题及其重要性。 最有趣的当属先后各处发了有关气象防灾减灾的科普宣传单和调查问卷。我们受到了广泛的欢迎，同时得到了公众关于气象灾害认
2 识的一个抽样调查，得到了一些宝贵的数据。在组长的带领下，我们热情、细心地为路过的每一位学生和长辈传授一些气象基础知识和防灾减灾的简单措施。 最后，我们来到当地的历史博物馆。作为建党对象的我，聆听了导游的一番讲解，让我仿佛看见了无数革命前辈留下的金色脚印在闪闪发光。而我也正在追逐，不断学习，时时刻刻以党员的身份严格要求自己，争取成为一名党员。我懂得了我们要不断践行，尽管现在还处于大学阶段，但是也该早早的上堂课，为理想、事业提前迈一步，为祖国、为党和人民奉献自己的青春和满腔热血。 曲终收弦，树欲静而风不止，我的心情因这次活动时时刻刻被牵动着，作为一名气象学子，我们肩负着祖国对我们的伟大历史使命，承担着母校对我们的殷切期望。 我相信，这次活动中每个人都有所收获。我们怀揣梦想，不断向前进发！！在这里，祝愿中国共产党永远绿树常青、生机怏然，领导我们迈向下一个里程碑。祝愿我们祖国繁荣昌盛、名主富强。 2011.08.03
解析几何经典例题 圆锥曲线的定义就是“圆锥曲线方程”这一章的基础,对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1、如图1,P为椭圆上一动点,为其两焦点,从的外角的平分线作垂线,垂足为M,将F2P的延长线于N,求M的轨迹方程。 图1 解析:易知故 在中, 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2、如图2,为双曲线的两焦点,P为其上一动点,从 的平分线作垂线,垂足为M,求M的轨迹方程。 图2 解析:不妨设P点在双曲线的右支上, 延长F1M交PF2的延长线于N, 则, 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3、如图3,AB为抛物线的一条弦,|AB|＝4,F为其焦点,求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。
图3 解析:易知抛物线的准线l:, 作AA”⊥l,BB”⊥l,MM”⊥l,垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y＝－1的最短距离为。 评注:上述解法中,当且仅当A、B、F共线,即AB为抛物线的一条焦点弦时,距离才取到最小值。一般地,求 抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离,只有当(即通径长)时,才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4、①已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( ) 图4 ②已知圆,M为圆上任一点,MP的垂直平分线交OM于Q,则Q的轨迹为( ) A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解析:①如图4,由垂直平分线的性质,知|QM|＝|QP|, 而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝ 故Q的轨迹就是以O(0,0)、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理,利用垂直平分线的性质及双曲线的定义,可知点Q的轨迹为双曲线的一支,应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5、如图5,已知三点A(－7,0),B(7,0),C(2,－12)。①若椭圆过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点P的轨迹方程;②若双曲线的两支分别过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点Q的轨迹方程。
《解析几何初步》检测试题 命题人 周宗让 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12- C 、13 D 、13 - 3．若直线32:1+=x y l ，直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为 （ ） A ．2 1 B ．2 1- C ．2 D ．2- 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线02032=+-=+-y x y x 关于直线对称的直线方程是 （ ） A ．032=+-y x B ．032=--y x C ．210x y ++= D ．210x y +-= 6.若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点)1,2(对称，则直线2l 恒过定点( ) A ．()0,4 B ．()0,2 C ．()2,4- D ．()4,2- 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距
为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24x y +取得最小值时，过点(,)P x y 引圆22111()()242 x y -++=的切线，则此切线段的长度为( ) A ． 2 B ．32 C ．12 D ． 2 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点， 则弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 12．直线3y kx =+与圆()()2 2 324x y -+-=相交于M,N 两点， 若MN ≥则k 的取值范围是（ ） A. 304?? -??? ?， B. []304??-∞-+∞????U ，， C. ???? D. 203?? -????， 二填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.） 13.已知点()1,1A -，点()3,5B ，点P 是直线y x =上动点，当||||PA PB +的