2016年10月26日二次函数压轴2
一．解答题（共30小题）
1．如图，在△ABC中，∠BAC=90，BC∥x轴，抛物线y=ax2﹣2ax+3经过△ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D、E，点A为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标；
（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值．
3．如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内、F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为4，求点F的坐标；
（3）连接B、C，点P是线段，AB上一点，作PQ平行于x轴交线段BC于点Q，过P作PM⊥x轴于M，过Q作QN⊥x轴于N，求矩形PQNM面积的最大值和P点的坐标．
4．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣2的顶点为点D，与直线y=kx在第一象限内
交于点A，且点A的横坐标为4；直线OA与抛物线的对称轴交于点C．
（1）求△AOD的面积；
（2）若点F为线段OA上一点，过点F作EF∥CD交抛物线于点E，求线段EF的最大值及此时点E坐标；
（3）如图2，点P为该抛物线在第四象限部分上一点，且∠POA=45°，求出点P的坐标．
5．如图，已知抛物线L1：y1=x2，平移后经过点A（﹣1，0），B（4，0）得到抛物线L2，
与y轴交于点C．
（1）求抛物线L2的解析式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）点P为抛物线L2上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L1交于点D，是否存在PD=2OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
6．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为P（1，﹣4），在x轴上截得的线段AB长为4个单位，OA＜OB，抛物线与y轴交于点C．
（1）求这个函数解析式；
（2）试确定以B、C、P为顶点的三角形的形状；
（3）已知在对称轴上存在一点F使得△ACF周长最小，请写出F点的坐标．
7．如图，已知抛物线与x轴交于A （﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴
交于C点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q点，当P点运动到什么位置时，线段PQ的长最大，并求此时P点的坐标．
8．如图，抛物线y=﹣x2+ax+8（a≠0）于x轴从左到右交于点A，B于y轴交于点C于直线y=kx+b交于点c和点D（m，5），tan∠DCO=1
（1）求抛物线与直线CD的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有点E，使EA+EC的值最小，求最小值和点E的坐标；
（3）点F为在直线CD上方的抛物线上任意一点，作FG⊥CD于点G，作FH∥y轴，与直线CD交于点H，求△FGH的周长的最大值和对应的点F的坐标．
9．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B（1，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，点P在直线AC上，若S△PAO：S△PCO=2：1，求P点坐标；
（3）如图②，若点C关于对称轴对称的点为D，点E的坐标为（﹣2，0），F是OC的中点，连接DF，Q为线段AD上的一点，若∠EQF=∠ADF，求线段EQ的长．
10．如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
（1）求A点的坐标及该抛物线的函数表达式；
（2）求出△PBC的面积；
（3）请问在对称轴x=2右侧的抛物线上是否存在点Q，使得以点A、B、C、Q所围成的四边形面积是△PBC的面积的？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
11．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x﹦﹣2，点C是抛物线与y轴的交点，点D是抛物线上另一点，已知以OC为一边的矩形OCDE 的面积为8．
（1）写出点D坐标并求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线在x轴上方的一个动点，且始终保持PQ⊥x轴，垂足为点Q，是否存在这样的点，使得△PQB∽△BOC？若存在求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
12．如图，已知二次函数图象的顶点为（1，﹣3），并经过点C（2，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）直线y=3x与该二次函数的图象交于点B（非原点），求点B的坐标和△AOB的面积；（3）点Q在x轴上运动，求出所有△AOQ是等腰三角形的点Q的坐标．
13．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），与x轴交于另一点C，与y轴交于点B（0，3），对称轴是直线x=﹣1，顶点是M．
（1）直接写出二次函数的解析式：；
（2）点P是抛物线上的动点，点D是对称轴上的动点，当以P、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出此时点D的坐标：；
（3）过原点的直线l平分△MBC的面积，求l的解析式．
14．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），
与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．
（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP 的最小值，若不存在，请说明理由．
15．已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象过点（﹣1，0）和点（2，﹣9）．
（1）求该二次函数的解析式并写出其对称轴；
（2）已知点P（2，﹣2），连结OP，在x轴上找一点M，使△OPM是等腰三角形，请直接写出点M的坐标（不写求解过程）．
16．如图，已知直线y=﹣x+3分别交x轴、y轴于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+c经过B、C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点（与B点不重合）．连接AC，AO：CO=1：3．（1）求△ABC的面积；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上，是否存在与点C不重合的一点P，使PAB的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17．已知：二次函数y=x2+2x﹣3与x轴交于点A、点B（点A在点B左边），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．连接AD、CD，过点A、点C作直线AC．
（1）求点B、D的坐标及直线AC的解析式；
（2）若点E为抛物线上一点，点F为直线AC上一点，且E、F两点的纵坐标都是2，求线段EF的长；
（3）该抛物线上是否存在点P，使得∠APB=∠ADC？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．
（1）求抛物线的解析式和它的顶点坐标；
（2）若在该抛物线的对称轴l上存在一点M，使MB+MC的值最小，求点M的坐标以及MB+MC的最小值；
（3）若点P、Q分别是抛物线的对称轴l上两动点，且坐标标分别为m，m+2，当四边形CBQP周长最小时，求出此时点P、Q的坐标以及四边形CBQP周长的最小值．
19．如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线相交于点A，B．已知点B的坐标为（﹣
2，﹣2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．
（1）请直接写出双曲线和直线AB的解析式，求出抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上能否找到点D，使△BCD周长最短，请求出点D的坐标和直接写出此时△BCD周长；
（2）在直线AB的下方的抛物线上找一点P，使△ABP的面积最大．并求出点P的坐标和△ABP的最大面积．
20．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于A（0，4），且抛物线经过点C（﹣3，﹣2），
对称轴x=﹣．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于B点，连接AC，AB，若在抛物线上有一点D，使得△ABC=S△BCD，求D点的坐标；
（3）记抛物线与x轴左交点为E，在A、E两点之间的抛物线上有一点F，连接AE、FE、FA，试求出使得S△AEF面积最大时，F点的坐标以及此时的面积．
21．如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线．点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A
的直线y=﹣x+n于点C．
（1）求直线AC及抛物线的解析式；
（2）若，求PC的长；
（3）过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，若点P在Q左侧，矩形PMNQ 的周长记为d，求d的最大值．
22．如图，已知二次函数y=﹣x2+x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，
其对称轴与x轴交于点D，连接AC．
（1）点A的坐标为，点C的坐标为；
（2）△ABC是直角三角形吗？若是，请给予证明；
（3）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（4，0）、B（1，3）．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的顶点坐标；
（2）在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，直线y=kx+b交x轴于点A（﹣1，0），交y轴于B点，tan∠BAO=3；过A、B 两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求抛物线的表达式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=kx+b交于A（3，0）、C（0，3）两点，抛物线的顶点坐标为Q（2，﹣1）．点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交直线AC于点D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设P点的横坐标为t，PD的长度为l，求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点P的坐标．
（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点O，
点B（﹣2，n）在这条抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线y=﹣2x沿y轴向下平移b个单位后得到直线l，若直线l经过B点，求n、b
的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，直线l与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E．若P是抛物线上一点，且PB=PE，求P点的坐标．
27．如图，已知抛物线y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m与x轴交与点A（x1，0），B（x2，0），与y 轴交与点C，且满足．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若点M是这条抛物线对称轴上的一个动点，当MB+MC的值最小时，求点M的坐标．
28．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA=OB．
（1）求b+c的值；
（2）若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，求抛物线的解析式；
（3）在（2）条件下，点P（不与A、C重合）是抛物线上的一点，点M是y轴上一点，当△BPM是等腰直角三角形时，求点M的坐标．
29．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2．0），其中x1＜x2，与y轴交于点C（0，3），且x1，x2满足2（x1+x2）+x1x2﹣1=0．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥X轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标．
30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（2，0）．P为抛物线在x轴上方的一点（不落在y轴上），过点P作PD∥x轴交y轴于点D，PC ∥y轴交x轴于点C．设点P的横坐标为m，矩形PDOC的周长为L．
（1）求b和c的值．
（2）求L与m之间的函数关系式．
（3）当矩形PDOC为正方形时，求m的值．
2016年10月26日二次函数压轴2
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．（2014?无锡校级模拟）如图，在△ABC中，∠BAC=90，BC∥x轴，抛物线y=ax2﹣2ax+3经过△ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D、E，点A为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）BC与抛物线的对称轴于F点，先根据抛物线的性质得到对称轴为直线x=1，由于BC∥x轴，根据抛物线的对称性得到B点和C点关于直线x=1对称轴，
则AB=AC，于是可判断△ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得AF=BF=1，所以可确定A点坐标为（1，4），然后把A点坐标代入y=ax2﹣2ax+3求出a即可得到抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）先根据抛物线与x轴的交点问题得到D点坐标为（﹣1，0），设P点坐标为（1，t），利用两点之间的距离公式得到CD2=32+（2+1）2=18，PC2=12+（t﹣3）2，PD2=22+t2，然后
分类讨论：当CD2=PC2+PD2，即18=12+（t﹣3）2+22+t2，解得t1=，t2=，此时P点坐标为（1，），（1，）；当PD2=CD2+PC2，即22+t2=18+12+（t﹣3）
2，解得t=4，此时P点坐标为（1，4），；当PC2=CD2+PD2，即12+（t﹣3）2=18+22+t2，解得t=﹣2，此时P点坐标为（1，﹣2）．
【解答】解：（1）BC与抛物线的对称轴于F点，如图，抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，
∵BC∥x轴，
∴B点和C点关于直线x=1对称轴，
∴AB=AC，
而∠BAC=90，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AF=BF=1，
∴A点坐标为（1，4），
把A（1，4）代入y=ax2﹣2ax+3得a﹣2a+3=4，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）令y=0，则﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，
∴D点坐标为（﹣1，0），
设P点坐标为（1，t），
∴CD2=32+（2+1）2=18，PC2=12+（t﹣3）2，PD2=22+t2，
当CD2=PC2+PD2，即18=12+（t﹣3）2+22+t2，解得t1=，t2=，此时P点坐标为（1，），（1，）；
当PD2=CD2+PC2，即22+t2=18+12+（t﹣3）2，解得t=4，此时P点坐标为（1，4），；
当PC2=CD2+PD2，即12+（t﹣3）2=18+22+t2，解得t=﹣2，此时P点坐标为（1，﹣2）；
∴符合条件的点P的坐标为（1，）或（1，）或（1，4）或（1，﹣2）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了分类讨论的思想和两点之间的距离公式．
2．（2014?镇江一模）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，
且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标；
（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值．
【考点】抛物线与x轴的交点；轴对称-最短路线问题．
【分析】（1）把A的坐标代入抛物线的解析式可求出b的值，进而得到抛物线的解析式，利用配方法即可求出顶点D的坐标；
（2）首先求出C，A，B的坐标，根据抛物线的对称性可知AM=BM．所以AM+CM=BM+CM ≥BC=2．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=x2+bx﹣2上，
∴b=﹣，
∴抛物线解析式y=x2﹣x﹣2，
∵抛物线y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，
∴顶点D的坐标（，﹣）；
（2）当x=0时，y=﹣2，∴C（0，﹣2）
∴OC=2，
当y=0时，0=x2﹣x﹣2，
解得：x=4或﹣1，
∴B（4，0），
∴OB=4，
由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，
∴AM=BM，
∴AM+CM=BM+CM≥BC=2．
∴CM+AM的最小值是2．
【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及抛物线和抛物线的交点问题，利用抛物线的对称性得到AM+CM=BM+CM≥BC=2是解题的关键．
3．（2014?重庆模拟）如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内、F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为4，求点F的坐标；
（3）连接B、C，点P是线段，AB上一点，作PQ平行于x轴交线段BC于点Q，过P作PM⊥x轴于M，过Q作QN⊥x轴于N，求矩形PQNM面积的最大值和P点的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由直线解析式可求出A、B点的坐标，将其代入抛物线中，即可求出抛物线解析式；
（2）由直线解析式和抛物线对称轴解析式可求出交点E的坐标，可随之求出AE的长度，由三角形的面积为4，可得出点F到直线AB的距离，设出F点的坐标，套用点到直线的距离公式即可求得F的坐标；
（3）设出P点的坐标，用未知数n表示出Q的坐标，由矩形的面积公式可得出含n的代数式，利用解极值问题即可得出矩形PQNM面积的最大值和P点的坐标．
【解答】解：（1）直线y=x+3与x、y轴的交点分别为A（﹣3，0）、B（0，3），
将A、B坐标代入抛物线解析式得：
，解得．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．
（2）∵抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为x=﹣1，
解，得，
即点E坐标为（﹣1，2），
∴AE=2．
设F点坐标为（m，﹣m2﹣2m+3）．
∵△AEF的面积为4，
∴F点到直线AE的距离为==2，
即|m2+3m|=4，
解m2+3m=4，得m1=1，m2=﹣4；
解m2+3m=﹣4，无解．
∵点F在第三象限，
∴m＜0，
即m=﹣4，此时点F的坐标为（﹣4，﹣5）．
（3）依照题意画出图形，如下，
令y=﹣（x+1）2+4=0，解得x=1，x=﹣3，
∴点C坐标为（1，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则有，解得，
即直线BC的解析式为y=﹣3x+3．
设P点坐标为（n，n+3）（其中﹣3＜n＜0），则Q点坐标为（﹣，n+3），M点坐标为（n，0），N点坐标为（﹣，0）．
∴PM=n+3，PQ=﹣﹣n=﹣n，
矩形PMNQ的面积=PM×PQ=（n+3）×（﹣n）=﹣（n2+3n）=﹣+3．
故当n=﹣时，矩形PMNQ的面积最大，最大面积为3．
此时P点坐标为（﹣，）．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键：（1）由直线解析式求出A、B两点坐标，再代入抛物线解析式即可；（2）先找出线段AE的长度，再根据点到直线的距离来表示出面积；（3）设出P点坐标，利用含n的代数式表示出矩形面积，由求极值的方法解决问题．
4．（2014?沙坪坝区校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣2的顶点为点D，
与直线y=kx在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为4；直线OA与抛物线的对称轴交于点C．
（1）求△AOD的面积；
（2）若点F为线段OA上一点，过点F作EF∥CD交抛物线于点E，求线段EF的最大值及此时点E坐标；
（3）如图2，点P为该抛物线在第四象限部分上一点，且∠POA=45°，求出点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）在图1中求出的A、D坐标，利用S△AOD=S梯形AHMD﹣S△AOH﹣S△DOH即可求解．
（2）直线OA的解析式为y=x，EF∥y轴，可以假设E（m，m2﹣m﹣2），F（m，m），根据EF=m﹣（m2﹣m﹣2）=﹣（m﹣）2+即可解决．
（3）在图2中，构造△AEO≌△HMA，只要证明△OAH是等腰直角三角形，求出点H坐标，再求出直线OH与抛物线的交点P即可．
【解答】解：（1）如图1中，作AH⊥y轴DM⊥y轴垂足分别为H、M．
∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣1）2﹣，
∴顶点D坐标（1，﹣），
∴点A横坐标为4，
∴点A的坐标为（4，2），
∴S△AOD=S梯形AHMD﹣S△AOH﹣S△DOH=×﹣×1×﹣×2×4=6．
（2）∵直线OA的解析式为y=x，EF∥y轴，
∴可以假设E（m，m2﹣m﹣2），F（m，m），
∴EF=m﹣（m2﹣m﹣2）=﹣（m﹣）2+，
∴当m=时，EF有最大值=，此时的E坐标为（，﹣）．
（3）如图2中，作AE⊥y轴垂足为H，延长EA到M使得AM=EO，过点M作MH⊥EM，过点A作AO的垂线交MH于H．
∵∠AEO=∠OAH=∠AMH=90°，∠EOA+∠EAO=90°，∠EAO+∠MAH=90°，
∴∠EOA=∠MAH，
在△AEO和△HMA中，
，
∴△AEO≌△HMA，
∴OA=AH，AE=HM=4，
∵∠OAH=90°，
∴∠AOH=∠AHO=45°，
∴点H坐标为（6，﹣2），
设直线OH为y=kx，点H坐标代入得到k=﹣，
∴直线OH为y=﹣x，
由解得，
∵点P在第四象限，
∴点P坐标为（，﹣）．
【点评】本题考查二次函数的有关性质、一次函数的性质、坐标系中三角形面积的计算，第三个问题巧妙构造全等三角形，解决45度角问题，属于中考压轴题．
5．（2014?广东模拟）如图，已知抛物线L1：y1=x2，平移后经过点A（﹣1，0），B（4，
0）得到抛物线L2，与y轴交于点C．
（1）求抛物线L2的解析式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）点P为抛物线L2上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L1交于点D，是否存在PD=2OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由于二次函数的二次项系数表示的是抛物线的开口大小和开口方向，在平移过程中，抛物线的形状没有发生变化，所以二次项系数仍为，已知了平移后的抛物线经过x
轴上的A、B两点，可由待定系数法求出平移后的抛物线解析式；
（2）由坐标轴上点的特征可得C（0，﹣3），根据两点间的距离公式得到AB，BC，AC的值，再根据等腰三角形的判定即可求解；
（3）可设P（a，a2﹣a﹣3），D（a，a2），根据PD=2OC，列出方程即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线L2的解析式为y=x2+bx+c，经过点A（﹣1，0），B（4，0），根据题意，得，
解得
∴抛物线L2的解析式为y=x2﹣x﹣3．
（2）△ABC的形状是等腰三角形．
理由：根据题意，得C（0，﹣3），
∵AB=4﹣（﹣1）=5，BC==5，AC==，
∴△ABC的形状是等腰三角形．
（3）存在PD=2OC．
设P（a，a2﹣a﹣3），D（a，a2），
根据题意，得PD=|a2﹣a﹣3﹣a2|=|a+3|，OC=3，
当|+3|=6时，解得a1=，a2=﹣4．
∴P1（，），P2（﹣4，18）．
【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及了二次函数图象的平移、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定以及两点间的距离等知识，综合性较强，难度中等．
6．（2014?哈尔滨校级模拟）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为P（1，﹣4），在x轴上截得的线段AB长为4个单位，OA＜OB，抛物线与y轴交于点C．
（1）求这个函数解析式；
（2）试确定以B、C、P为顶点的三角形的形状；
（3）已知在对称轴上存在一点F使得△ACF周长最小，请写出F点的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标以及在x轴上截得的线段AB长为4个单位，OA＜OB，得出A，B点坐标，进而得出抛物线解析式即可；
（2）利用网格以及勾股定理得出PC，BC，BP的长，进而得出△BCP的形状；
（3）利用轴对称求最短路径的方法，首先确定F点位置，再求出直线BC的解析式，进而得出F点坐标．
【解答】解：（1）如图所示：
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为P（1，﹣4），在x轴上截得的线段AB长为4个单位，OA＜OB，
∴A点到对称轴直线x=1的距离为2，B点到对称轴直线x=1的距离为2，
∴A点坐标为；（﹣1，0），B点坐标为；（3，0），
2020年中考复习之提高篇——二次函数压轴题（含答案） 1．(2019抚顺）（12分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数334 y x =-+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于B 点，抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，在第一象限的抛物线上取一点D ，过点D 作DC x ⊥轴于点C ，交直线AB 于点E ． （1）求抛物线的函数表达式 （2）是否存在点D ，使得BDE ?和ACE ?相似？若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，F 是第一象限内抛物线上的动点 （不与点D 重合），点G 是线段AB 上的动点．连接DF ，FG ，当四边形DEGF 是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G 的坐标．
2（2019沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点． （1）求直线DE和抛物线的表达式； （2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF面积是7时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2√2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．
3（2018年辽宁本溪）.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF 沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．
2016年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由． 考点：二次函数综合题． 专题：压轴题；数形结合． 分析： （1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长． （3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
， 解得； 故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标． 考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题；转化思想． 分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13． （1）求抛物线的解析式； （2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标； （3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113 +113 + 3）点Q的坐 标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式； （2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝1 2 CD＝CE．利 用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标； （3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛 物线的解析式联立，得出方程组 223 33 y x x y x ?=-- ? =-+ ? ，求解即可得出点Q的坐标． 【详解】 （1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）， ∴x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），
精选中考二次函数压轴题（含答案） 1．如图，二次函数c x y +-=2 21的图象经过点D ??? ? ?-29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值； ⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用） 2．（2010福建福州）如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ． （1）求证：AH AD ＝EF BC ； （2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值； （3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式． 3．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝16 x 2＋bx ＋c 过O 、A 两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若A 点关于直线y ＝2x 的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆．过原点O 作⊙O 1的切线OP ，P 为切点(点P 与点C 不重合)．抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由 4．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC =23．设直线AC (第2(图1) (图
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1．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B． （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P，N． ①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标； ②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值． 2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′． （1）求抛物线C的函数表达式； （2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围． （3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动
点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由． 3．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M 的关联点． （1）当⊙O的半径为2时， ①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点 是． ②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围． （2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y 轴相交于点C． （1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式； （2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．
20１7年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 面积类 1.如图,已知抛物线经过点A（﹣1，０）、B(3,０)、Ｃ（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． (２)点Ｍ是线段BC上的点(不与Ｂ，Ｃ重合），过Ｍ作MＮ∥y轴交抛物线于Ｎ,若点M的横坐标为ｍ，请用m的代数式表示MＮ的长. (3）在(2）的条件下,连接NＢ、NC，是否存在m，使△ＢNC的面积最大?若存在，求m的值;若不存在,说明理由. 考点：二次函数综合题． 专题:压轴题;数形结合. 分析: （1）已知了抛物线上的三个点的坐标,直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式. （2)先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到Ｍ、N点的坐标，N、Ｍ纵坐标的差的绝对值即为MN的长. （3)设ＭN交x轴于D，那么△ＢNC的面积可表示为:Ｓ△BNC=S△MNC＋S△ＭNＢ=MＮ（OD+DB)＝MN?OＢ,MN的表达式在（2）中已求得,OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式,根据函数的性质即可判断出△BＮC是否具有最大值. 解答: 解：（1)设抛物线的解析式为:ｙ=ａ(x+１)（x﹣3），则： a（０+1)（０﹣3）=3,a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+１）(x﹣3）=﹣x２+2x＋３． (2）设直线ＢＣ的解析式为：y=kｘ+b，则有：
， 解得； 故直线ＢC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+３)、N（ｍ，﹣m2+2ｍ+3）； ∴故MN=﹣m2+2m＋３﹣（﹣m＋３)=﹣m2+３ｍ(０＜ｍ<３）． (3）如图； ∵Ｓ△ＢNC=S△MＮC+Ｓ△MNＢ＝MＮ（OＤ+ＤB）=MＮ?OB， ∴S△BNC＝(﹣m２+３m)?3=﹣（m﹣）2+(0 一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a 1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC． （1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标； （4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标． 2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）． 已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）． （1）求d（点O，△ABC）； （2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围； （3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t 的取值范围． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）． （1）求线段AB的长； （2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点 H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值； （3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A的直线交直线BC于点M． ①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； ②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标． 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 考点：二次函数综合题． 专题：压轴题；数形结合． 分析： （1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长． （3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得； 故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题；转化思想． 分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可． （2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标． 中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得； 故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 解答： 解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=； ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2． （2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）． （3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2； 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4． 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有： ，解得：即M（2，﹣3）． 过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4． -X 二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数y = α√-2αχ + 3的最大值为4,且该抛物线与A 轴的交点为C ,顶点为 D ? (1) 求该二次函数的解析式及点C , D 的坐标: (2) 点P(ΛO)是X 轴上的动点， ① 求IPC - PDl 的最大值及对应的点P 的坐标： ② 设0(0,2/)是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数y = a ?x ?1 -2a ?x ?+3的图像只有一个 公共 点，求f 的取值范围. 【答案】(i) y = -χ2+2x + 3, C 点坐标为(0,3),顶点D 的坐标为(1,4)； (2)①最 _ 3 7 大值是J∑, P 的坐标为(一 3,0),②,的取值范围为U_3或才Qv3或心?? 2 2 【解析】 【分析】 孕=1,计算对称轴，即顶点坐标为(1, 4),再将两点代 2a 入列二元一次方程组求出解析式： (2)根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时IPC-PDl 取得最大值，求出直线CD 与X 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标； —χ-+ 2Λ"+3, X n 0, , ,此函数是两个二次函数 —XJ — 2x + 3, X < 0. 的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点(0, 3 ),即点Q 与点C 重合时，两 图象有一个公共点，当线段PQ 过点(3, 0),即点P 与点(3, 0)重合时，两函数有两 个公共点，写出t 的取值：②线段PQ 与当函数y=a∣x∣2-2a∣×∣+c (x>0)时有一个公共点 时，求t 的值：③当线段PQ 过点 (-3, 0),即点P 与点(-3, 0)重合时，线段PQ 与当 函数y=a∣x∣2-2a∣x∣+c (×<0)时也有一个公共 点,则当t 冬3时,都满足条件;综合以上结 论，得出t 的取值. 【详解】 —2a (I) VX= ???y = ax'-ax+3的对称轴为X = 1? T y = ax 2 -ax + 3人最大值为4, ???抛物线过点(1,4). 得 a-2a+3 = 4, 解得a = -l. ???该二次函数的解析式为y = —X? + 2x + 3. C 点坐标为(0,3),顶点 D 的坐标为(1,4). (2) ①.? IPC-PDI≤CD, (1)先利用对称轴公式X= (3)先把函数中的绝对值化去，可知y = < 2018年中考二次函数压轴题汇编 2．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S． ①求S关于t的函数表达式； ②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标． 3．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC． （1）求线段OC的长度； （2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和 抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 5．如图，点P为抛物线y=x2上一动点． （1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程； （2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M． ①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由． ②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值． 6．已知直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c 经过A、B两点，点M在线段OA上，从O点出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连接MN，设运动时间为t秒（1）求抛物线解析式； （2）当t为何值时，△AMN为直角三角形； （3）过N作NH∥y轴交抛物线于H，连接MH，是否存在点H使MH∥AB，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 二次函数与几何综合 中考二次函数压轴题分类汇编 一．极值问题 1.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值； （3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标． 分析：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解； （3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标． 解：（1）由题设可知A（0，1），B（﹣3，）， 根据题意得：，解得：， 则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1； （2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M、P点的坐标分别是（x，﹣x+1），（x，0）． ∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+， 则当x=﹣时，MN的最大值为； （3）连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分， 即四边形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC， 即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解得：x=1， 故当N（﹣1，4）时，MN和NC互相垂直平分． 点评：本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用 二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题． 2.如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式． （2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值． （3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值； （3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论． 解答：解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中， 得， 解得 ∴该抛物线的解析式为y=x2+x﹣4． （2）令y=0，即x2+x﹣4=0，解得x 1=﹣4，x 2 =2， ∴A（﹣4，0），S △ABC =ABOC=12． 设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x． ∵PE∥AC， ∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA， ∴△PBE∽△ABC， ∴，即， 化简得：S △PBE =（2﹣x）2． 图1 图 2 二次函数压轴题解题技巧 引言:解数学压轴题一般可以分为三个步骤:认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构,以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系,确定解题的思路和方法.当思维受阻时,要及时调整思路和方法，并重新审视题意,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃。 一、动态:动点、动线 １.如图,抛物线与x 轴交于A (x １，０)、B (ｘ2,0）两点,且x 1>x 2，与y 轴交于点C (0,4), 其中x 1、x 2是方程x ２ -2x －8=0的两个根. （１）求这条抛物线的解析式; （2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作ＰE ∥AC ,交BC 于点Ｅ,连接ＣP ，当△CPE 的面积最大时，求点Ｐ的坐标; (3)探究:若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ,使△QB Ｃ成为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点Ｑ 二、圆 2．如图1,在平面直角坐标系x Ｏｙ，二次函数ｙ=a ｘ2 +bx +c (a >０)的图象顶点为D ，与ｙ轴交于点C ，与x 轴交于点Ａ、Ｂ,点A 在原点的左侧，点B 的坐标为(3,0),OB ＝OC ， tan ∠ＡCO =错误!． （1)求这个二次函数的解析式； (2）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、Ｎ，且以ＭN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径长度; （3)如图2,若点Ｇ(2，y ）是该抛物线上一点,点P 是直线A Ｇ下方的抛物线上的一动点,当点Ｐ运动到什么位置时，△ＡG Ｐ的面积最大?求此时点P 的坐标和△A ＧＰ的最大面积. （2010湖北咸宁）16．如图，一次函数y ax b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， 与反比例函数k y x =的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两 点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ． 有下列四个结论： ①△CEF 与△DEF 的面积相等； ②△AOB ∽△FOE ； ③△DCE ≌△CDF ； ④AC BD =． 其中正确的结论是 ．（ 把你认为正确结论的序号都填上） （2010江苏徐州）25．(本题8分)如图，已知A(n ，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函 数y= x m 的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC 的面积； (3)求不等式kx+b-x m <0的解集(直接写出答案)． 1. （2009遂宁）把二次函数34 12+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2 的形式 A.()22412+--=x y B. ()42412+-=x y C.()42412++-=x y D. 3212 12 +??? ??-=x y 2. （2009嘉兴）已知0≠a ，在同一直角坐标系中，函数ax y =与2ax y =的图象有可能是（ ▲ ） 3. （2009烟台）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函 数a b c y x ++= 在同一坐标系内的图象大致为（ ） 4. （2009黄石）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图3所示， 下列结论：①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0， 其中正确结论的个数为（ ） O y x 1 -1A x y O 1 -1 B x y O 1 -1 C x y O 1 -1 D 1- 1 O x y （第11题图） y x O y x O B ． C ． y x O A ． y x O D ． A B O x y （第21题） 2 1 2 3 －3 －1 －2 1 3 －3 －1 －2 y x D C A B O F E （第16题） 2016年10月26日二次函数压轴2 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，∠BAC=90，BC∥x轴，抛物线y=ax2﹣2ax+3经过△ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D、E，点A为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）． （1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标； （2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值． 3．如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）在第三象限内、F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为4，求点F的坐标； （3）连接B、C，点P是线段，AB上一点，作PQ平行于x轴交线段BC于点Q，过P作PM⊥x轴于M，过Q作QN⊥x轴于N，求矩形PQNM面积的最大值和P点的坐标． 4．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣2的顶点为点D，与直线y=kx在第一象限内 交于点A，且点A的横坐标为4；直线OA与抛物线的对称轴交于点C． （1）求△AOD的面积； （2）若点F为线段OA上一点，过点F作EF∥CD交抛物线于点E，求线段EF的最大值及此时点E坐标； （3）如图2，点P为该抛物线在第四象限部分上一点，且∠POA=45°，求出点P的坐标． 5．如图，已知抛物线L1：y1=x2，平移后经过点A（﹣1，0），B（4，0）得到抛物线L2， 与y轴交于点C． （1）求抛物线L2的解析式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）点P为抛物线L2上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L1交于点D，是否存在PD=2OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 二次函数压轴题精讲 1．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 例1. 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴的交点分 别为A、B，将∠对折，使点O的对应点H落在直线上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线上是否存在点P，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线的交点为T，Q为线段上一点，直接写出﹣的取值范围． 2．如图，直线2与抛物线26（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线 段上异于A、B的动点，过点P作⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△为直角三角形时点P的坐标． 一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值； （3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式； ②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2 y x 2x 3=--+. （2）3210. （3）①2S m 4m 3=---. ②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）. 【解析】 【分析】 （1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可. （2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可. （3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可. 【详解】 解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0）， ∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-. 又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-. ∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+. （2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值. ∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小. ∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，二次函数压轴题题型归纳
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题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的 代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以 想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二 是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐 心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 （1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式，属于送分题。 （2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练 掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题 目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。 （3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目 所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条 件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系， 再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用， 这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一 步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这 一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底， 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C中考二次函数压轴试题分类汇编及答案(1)
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