南京信息工程大学实验（实习）报告院计算机与软件学院专业软件工程年级 2013 班次3 姓名魏开阳学号 20131344105
一、实验内容
矩阵连乘问题，给定n个矩阵{A1,A2,…,A n}，其中A i与A i+1是可乘的，i=1,2,3…,n-1。考察这n个矩阵的连乘A1,A2,…,A n。
二、主要思想
由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已经完全加括号，则可依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可递归的定义为：
(1)单个矩阵是完全加括号的；
(2)矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号
的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)。
运用动态规划法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。按以下几个步骤进行
1、分析最优解的结构
设计求解具体问题的动态规划算法的第1步是刻画该问题的最优解的结构特征。为方便起见，将矩阵连乘积简记为A[i:j]。考察计算A[1:n]的最优计算次序。设这个计算次序矩阵在A k和A k+1之间将
矩阵链断开，,则其相应的完全加括号方式为((A1…A k)(A k+1…A n))。依此次序，先计算A[1:k]和A[k+1:n],然后将计算结果相乘得到A[1:n]。
2、建立递归关系
设计动态规划算法的第二步是递归定义最优值。对于矩阵连乘积的最优计算次序问题，设计算A[i:j]，，所需的最少数乘次数为m[i][j]，原问题的最优值为m[1][n]。
当i=j时，A[i:j]=A i为单一矩阵，无需计算，因此m[i][i]=0，i=1,2,…n。
当i 3、计算最优值 根据计算m[i][j]的递归式，容易写一个递归算法计算m[1][n]。动态规划法解决此问题，可依据递归式以自底向上的方式进行计算，在计算过程中保存已解决的子问题答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而避免大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法matrixChain。(见实验代码部分) 4、构造最优解 算法matrixChain只计算出最优值，并没有给出最优解。但是matrixChain已经记录了构造最优解所需的全部信息。S[i][j]中的 数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵A k和A k+1之间断开，最优加括号方式为(A[i:k])(A[k+1:j])。依次构造最优解。(算法见实验代码部分) 一、实验代码 #include #define N 100 void matrixChain(int p[],int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1]) /*用m[i][j]二维数组来存储Ai*.....Aj的最少数乘次数，用s[i][j]来存储使Ai.....Aj获得最少数乘次数对应的断开位置k，需要注意的是此处的N+1非常关键，虽然只用到的行列下标只从1到N， 但是下标0对应的元素默认也属于该数组，所以数组的长度就应该为N+1*/ { int n=N; for(int i=1;i<=n;i++) m[i][i]=0; for(int r=2;r<=n;r++) { for(int i=1;i<=n-r+1;i++) { int j=i+r-1; m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j]; s[i][j]=i; for (int k=i+1;k { int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]; if(t { m[i][j]=t; s[i][j]=k; } } } } } void traceback(int i,int j,int s[][N+1]) { if(i==j) { printf("A%d",i); } else { printf("("); traceback(i,s[i][j],s); traceback(s[i][j]+1,j,s); printf(")"); } } void main() { int n; int q[2*N]; int p[N+1],flag=1; int m[N+1][N+1]; int s[N+1][N+1]; printf("输入矩阵的个数(注：小于100)："); scanf("%d",&n); for(int i=0;i<=2*n-1;i++) { if(i%2==0) { printf("————————\n"); printf("*输入A%d的行:",(i/2)+1); } else { printf(" ********列:"); } scanf("%d",&q[i]); } for(i=1;i<=2*n-2;i++)//矩阵连乘条件的检验{ if(i%2!=0&&q[i]!=q[i+1]) { flag=0; break; } } for(int j=1;j<=n-1;j++) { p[j]=q[2*j]; } if(flag!=0) { p[0]=q[0]; p[n]=q[2*n-1]; matrixChain(p,m,s); printf("式子如下:\n"); traceback(1,n,s); printf("\n"); printf("最少数乘次数为%d\n",m[1][n]); } else { printf("这%d个矩阵不能连乘!\n",n); } } 三、结果验证 对实验结果进行验证，4个矩阵分别是A1[35*15]，A2[15*5]，A3[5*10]，A4[10*20]。依递归式有： M[1][4]=min =7125 且k=3。 计算结果正确，证明所编写的程序可正确算出最优解。 通过本次实验，我较为透彻的理解了动态规划算法的几个基本步骤。完成实验后，我认为建立递归关系是很关键的一步，同时也是整个动态规划算法的精髓。掌握了递归的思想，就可以完成很多不必要的重复计算。 具体到矩阵连乘问题，关键是解决断开点k的位置和最少数乘次数。 总体来说，这次实验不仅让我基本掌握递归的思想，而且进一步提高了自己的自学能力和编程能力，代码运用C语言写出，可以很好的体会C语言和C++的不同点和相同点。我也体会到，想要理解一个新的算法，必须要通过自己不断的编写程序，不断的思考才能真正的领悟，因此我会不断朝着这个方向努力。 兰州交通大学 《算法设计与分析》 实验报告3 题目03-动态规划 专业计算机科学与技术 班级计算机科学与技术2016-02班学号201610333 姓名石博洋 第3章动态规划 1. 实验题目与环境 1.1实验题目及要求 (1) 用代码实现矩阵连乘问题。 给定n个矩阵{A1,A2,…,A n}，其中A i与A i+1是可乘的，i=1,2,…,n-1。考察这n 个矩阵的连乘积A1A2…A n。由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序，这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法（有改进的方法，这里不考虑）计算出矩阵连乘积。 确定一个计算顺序，使得需要的乘的次数最少。 (2) 用代码实现最长公共子序列问题。 一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。确切地说，若给定序列X= < x1, x2,…, xm>，则另一序列Z= < z1, z2,…, zk>是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列< i1, i2,…, ik>，使得对于所有j=1,2,…,k有Xij=Zj 。例如，序列Z=是序列X=的子序列，相应的递增下标序列为<2,3,5,7>。给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。例如，若X= < A, B, C, B, D, A, B>和Y= < B, D, C, A, B, A>，则序列是X和Y的一个公共子序列，序列也是X和Y的一个公共子序列。而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。 (3) 0-1背包问题。 现有n种物品，对1<=i<=n，已知第i种物品的重量为正整数W i，价值为正整数V i，背包能承受的最大载重量为正整数W，现要求找出这n种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过W且总价值尽量大。（注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分） 使用动态规划使得装入背包的物品价值之和最大。 1.2实验环境： CPU：Intel(R) Core(TM) i3-2120 3.3GHZ 内存：12GB 操作系统：Windows 7.1 X64 编译环境：Mircosoft Visual C++ 6 2. 问题分析 (1) 分析。 矩 阵 分 析 实 验 报 告 学院：电气学院 专业：控制工程 姓名：XXXXXXXX 学号：211208010001 矩阵分析实验报告 实验题目 利用幂法求矩阵的谱半径 实验目的与要求 1、 熟悉matlab 矩阵实验室的功能和作用； 2、 利用幂法求矩阵的谱半径； 3、 会用matlab 对矩阵分析运算。 实验原理 理念 谱半径定义：设n n A C ?∈，1λ，2λ，3λ， ，j λ， n λ是A 的n 个特征值，称 ()max ||j j A ρλ= 为关于A 的谱半径。 关于矩阵的谱半径有如下结论： 设n n A C ?∈，则 （1）[]()()k k A A ρρ=； （2）2 2()()()H H A A AA A ρρ==。 由于谱半径就是矩阵的主特征值，所以实验换为求矩阵的主特征值。 算法介绍 定义：如果1λ是矩阵A 的特征值，并且其绝对值比A 的任何其他特征值的绝对值大，则称它为主特征值。相应于主特征值的特征向量1V 称为主特征向量。 定义：如果特征向量中最大值的绝对值等于单位值（例如最大绝对值为1），则称其为是归一化的。 通过形成新的向量' 12=c n V （1/）[v v v ]，其中c=v 且1max {},j i n i ≤≤=v v 可将特 征向量 '12n [v v v ]进行归一化。 设矩阵A 有一主特征值λ，而且对应于λ有唯一的归一化特征向量V 。通过下面这个称为幂法（power method ）的迭代过程可求出特征对λ，V ，从下列向量开始： []' 0=111X （1） 用下面递归公式递归地生成序列{}k X ： k k Y AX = k+11 1 k k X Y c += （2） 其中1k c +是k Y 绝对值最大的分量。序列{}k X 和{}k c 将分别收敛到V 和λ： 1lim k X V =和lim k c λ= （3） 注：如果0X 是一个特征向量且0X V ≠，则必须选择其他的初始向量。 幂法定理：设n ×n 矩阵A 有n 个不同的特征值λ1，λ2，···，，λn ，而且它们按绝对 值大小排列，即： 123n λλλλ≥≥≥???≥ (4) 如果选择适当的X 0，则通过下列递推公式可生成序列{[() ()( ) ]}12k k k k n X x x x '=???和 {}k c ： k k Y AX = (5) 和： 11 1k k k X Y c ++= (6) 其中： () 1k k j c x +=且{} ()()1max k k j i i n x x ≤≤= (7) 这两个序列分别收敛到特征向量V 1和特征值λ1。即： 1lim k k X V →∞ =和1lim k k c λ→∞ = (8) 算法收敛性证明 证明：由于A 有n 个特征值，所以有对应的特征向量V j ，j=1，2，···n 。而且它们是 矩阵连乘最佳加括号方式－动态规划算法 一、问题描述 给定n个矩阵{A1,A2,…,A n}，其中A i与A i+1是可乘的，i=1,2,…,n-1。要算出这n个矩阵的连乘积A1A2…A n。由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为： （1）单个矩阵是完全加括号的； （2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C 的乘积并加括号，即A=(BC)。 例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：（A1（A2（A3A4））），（A1（（A2A3）A4）），（（A1A2）（A3A4）），（（A1（A2A3））A4），（（（A1A2）A3）A4）。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。若A是一个p×q矩阵，B是一个q×r矩阵，则计算其乘积C=AB的标准算法中，需要进行pqr次数乘。 为了说明在计算矩阵连乘积时，加括号方式对整个计算量的影响，先考察3个矩阵 {A1,A2,A3}连乘的情况。设这三个矩阵的维数分别为10×100，100×5，5×50。加括号的方式只有两种：（（A1A2）A3），（A1（A2A3）），第一种方式需要的数乘次数为10×100×5＋10×5×50＝7500，第二种方式需要的数乘次数为100×5×50＋10×100×50＝75000。第二种加括号方式的计算量时第一种方式计算量的10倍。由此可见，在计算矩阵连乘积时，加括号方式，即计算次序对计算量有很大的影响。于是，自然提出矩阵连乘积的最优计算次序问题，即对于给定的相继n个矩阵{A1,A2,…,A n}（其中矩阵A i的维数为p i-1×p i，i＝1,2,…,n），如何确定计算矩阵连乘积A1A2…A n的计算次序（完全加括号方式），使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。 穷举搜索法的计算量太大，它不是一个有效的算法，本实验采用动态规划算法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。 二、算法思路 算法设计与分析实验报告 班级：计科0902班 姓名：张华敏 学号：0909090814 矩阵连乘问题 一，实验内容： 二，写一个完整的代码来完整的实现矩阵连乘问题。 三，算法设计： 在矩阵连乘问题中，根据老师所讲和自己看书对动态规划方法的理解，通过最优子结构性质。再结合书上的算法，便可顺利的写出了代码 四，遇到的问题及解决方案： 只根据算法写出具体的实现过程刚开始觉得很难，觉得无从下手，不知道该用什么结构形式来存放各个参数，也不知道该怎样具体的实施算法的细节，但是课本上给出了一段实现代码给了我很大的启发，通过借鉴树上的代码实现再结合自己的努力，才终于完成了矩阵连乘全部的代码实现，包括最少连乘次数以及剖分方法。 五，源代码 package suanfa; public class Juzhen { public void matrixchain(int p[],int m[][],int s[][]){ i nt n=p.length-1; f or(int i=1;i<=n;i++){ m[i][i]=0; } f or(int r=2;r<=n;r++){ for(int i=1;i<=n-r+1;i++){ int j=i+r-1; m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j]; s[i][j]=i; for(int k=i+1;k 一、课题名称 Malab矩阵特征值 二、目的和意义 1、求矩阵的部分特征值问题具有重要实际意义，如求矩阵谱半径()Aρ=maxλ，稳定性问题往往归于求矩阵按模最小特征值； 2、进一步掌握冪法、反冪法及原点平移加速法的程序设计技巧； 3、问题中的题（5），反应了利用原点平移的反冪法可求矩阵的任何特征值及其特征向量。 三、实验要求 1、掌握冪法或反冪法求矩阵部分特征值的算法与程序设计； 2、会用原点平移法改进算法，加速收敛；对矩阵B=A-PI取不同的P值，试求其效果； 3、试取不同的初始向量，观察对结果的影响；()0υ 4、对矩阵特征值的其它分布，如如何计算。 四、问题描述 五、实验程序设计 幂法 function [lamdba,v]=power_menthod(a,x,epsilon,maxl) k=0; y=a*x; while(k 动态规划——矩阵连乘的问题 《问题的引出》 看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50 按此顺序计算需要的次数（（A1*A2）*A3）:10X100X5+10X5X50=7500次 按此顺序计算需要的次数（A1*（A2*A3））:10X5X50+10X100X50=75000次 所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。 枚举显然不可，如果枚举的话，相当于一个“完全加括号问题”，次数为卡特兰数,卡特兰数指数增长，必然不行。 《建立递归关系》 子问题状态的建模（很关键）：令m[i][j]表示第i个矩阵至第j个矩阵这段的最优解。 显然如果i=j，则m[i][j]这段中就一个矩阵，需要计算的次数为0； 如果i>j，则m[i][j]=min{m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]Xp[k]Xp[j]},其中k,在i与j 之间游荡，所以i<=k 所以计算顺序如上右图：相应的计算顺序对应代码为13-15行 m[1][n]即为最终求解，最终的输出想为（（A1（A2 A3））（（A4 A5）A6））的形式，不过没有成功，待思考... 1#include 北京科技大学计算机与通信工程学院 实验报告 实验名称： 学生姓名： 专业： 班级： 学号： 指导教师： 实验成绩：________________________________ 实验地点： 实验时间：2015年05月 一、实验目的与实验要求 1、实验目的 1对比矩阵乘法的串行和并行算法，查看运行时间，得出相应的结论；2观察并行算法不同进程数运行结果，分析得出结论； 2、实验要求 1编写矩阵乘法的串行程序，多次运行得到结果汇总； 2编写基于MPI，分别实现矩阵乘法的并行化。对实现的并行程序进行正确性测试和性能测试，并对测试结果进行分析。 二、实验设备（环境）及要求 《VS2013》C++语言 MPICH2 三、实验内容与步骤 实验1，矩阵乘法的串行实验 （1）实验内容 编写串行程序，运行汇总结果。 （2）主要步骤 按照正常的矩阵乘法计算方法，在《VS2013》上编写矩阵乘法的串行程序，编译后多次运行，得到结果汇总。 实验2矩阵乘法的并行化实验 3个总进程 5个总进程 7个总进程 9个进程 16个进程 四：实验结果与分析（一）矩阵乘法并行化 矩阵并行化算法分析： 并行策略：1间隔行带划分法 算法描述：将C=A*B中的A矩阵按行划分，从进程分得其中的几行后同时进行计算，最后通信将从进程的结果合并的主进程的C矩阵中 对于矩阵A*B 如图：进程1：矩阵A第一行 进程2：矩阵A第二行 进程3：矩阵A第三行 进程1：矩阵A第四行 时间复杂度分析： f(n) =6+2+8+k*n+k*n+k*n+3+10+n+k*n+k*n+n+2 (k为从进程分到的行数) 因此O(n)=(n)； 空间复杂度分析： 从进程的存储空间不共用，f(n)=n; 因此O(n)=(n); 2间隔行带划分法 算法描述：将C=A*B中的A矩阵按行划分，从进程分得其中的几行后同时进行计算，最后通信将从进程的结果合并的主进程的C矩阵中 对于矩阵A*B 如图：进程1：矩阵A第一行 进程2：矩阵A第二行 进程3：矩阵A第三行 进程3：矩阵A第四行 时间复杂度分析： f(n) =6+2+8+k*n+k*n+k*n+3+10+n+k*n+k*n+n+2 (k为从进程分到的行数) 因此O(n)=(n)； 空间复杂度分析： 从进程的存储空间不共用，f(n)=n; 因此T(n)=O(n); 矩阵连乘问题《算法分析与设计》 设计性实验报告 课程名称：《算法分析与设计》矩阵连乘问题实验题目：长：组员一：成 二：成员成员三：数学与计算机科学系别：系专业班级：指导教师：实验日期： 一、实验目的和要求 实验目的 熟悉动态规划算法设计思想和设计步骤，掌握基 本的程序设计方法，培养学生用计算机解决实际问题的能力。 实验要求 1、根据实验内容，认真编写源程序代码、上机调试程序，书写实验报告。 2、本实验项目考察学生对教材中核心知识的掌握程度和解决实际问题的能力。 3、实验项目可 以采用集中与分散实验相结合的方式进行，学生利用平时实验课时间和课外时间进行 实验，要求在学期末形成完整的项目程序设计报告。 二、实验内容提要 矩阵连乘问题给定n个矩阵{A,A,…,A}， 其中，Ai与Ai+1是可乘的，n21A,A,…,A。由于矩阵乘法满足结n-1。考查这n个矩阵的连乘积i=1,2，…，n12合律，故计算矩阵的连乘积可以有 许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反 复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可 递归地定义为： （1）单个矩阵是完全加括号的； （2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=（BC）。 三、实验步骤下面考虑矩阵连乘积的最优计算次序问题的动态规划方法。（1）分析最优解的结构（最优子结构性质）设计求解具体问题的动态规划算法的第一步是刻画该问 题的最优解结构特征。对于矩阵乘积的最优计算次序问题也不例外。首先，为方便起见，降- 1 - 矩阵乘积Ai Ai+1…Aj简记为A[i:j]。 南京林业大学 实验报告 基于AT89C51 单片机4x4矩阵键盘接口电路设计 课程机电一体化设计基础 院系机械电子工程学院 班级 学号 姓名 指导老师杨雨图 2013年9月26日 一、实验目的 1、掌握键盘接口的基本特点，了解独立键盘和矩 阵键盘的应用方法。 2、掌握键盘接口的硬件设计方法，软件程序设计 和贴士排错能力。 3、掌握利用Keil51软件对程序进行编译。 4、用Proteus软件绘制“矩阵键盘扫描”电路，并用测试程序进行仿真。 5、会根据实际功能，正确选择单片机功能接线，编制正确程序。对实验结果 能做出分析和解释，能写出符合规格的实验报告。 二、实验要求 通过实训，学生应达到以下几方面的要求： 素质要求 1.以积极认真的态度对待本次实训，遵章守纪、团结协作。 2.善于发现数字电路中存在的问题、分析问题、解决问题，努力培养独立 工作能力。 能力要求 1.模拟电路的理论知识 2.脉冲与数字电路的理念知识 3.通过模拟、数字电路实验有一定的动手能力 4.能熟练的编写8951单片机汇编程序 5.能够熟练的运用仿真软件进行仿真 三、实验工具 1、软件：Proteus软件、keil51。 2、硬件：PC机，串口线，并口线，单片机开发板 四、实验内容 1、掌握并理解“矩阵键盘扫描”的原理及制作，了解各元器件的参数及格 元器件的作用。 2、用keil51测试软件编写AT89C51单片机汇编程序 3、用Proteus软件绘制“矩阵键盘扫描”电路原理图。 4、运用仿真软件对电路进行仿真。 五．实验基本步骤 1、用Proteus绘制“矩阵键盘扫描”电路原理图。 2、编写程序使数码管显示当前闭合按键的键值。 3、利用Proteus软件的仿真功能对其进行仿真测试，观察数码管的显示状 态和按键开关的对应关系。 4、用keil51软件编写程序，并生成HEX文件。 5、根据绘制“矩阵键盘扫描”电路原理图，搭建相关硬件电路。 6、用通用编程器或ISP下载HEX程序到MCU。 7、检查验证结果。 六、实验具体内容 使用单片机的P1口与矩阵式键盘连接时，可以将P1口低4位的4条端口线定义为行线，P1口高4位的4条端口线定义为列线，形成4*4键盘，可以配置16个按键，将单片机P2口与七段数码管连接，当按下矩阵键盘任意键时，数码管显示该键所在的键号。 1、电路图 华北电力大学科技学院 实验报告 实验名称矩阵连乘问题 课程名称计算机算法设计与分析 专业班级：软件12K1 学生姓名：吴旭 学号：121909020124 成绩： 指导老师：刘老师实验日期：2014.11.14 一、实验内容 矩阵连乘问题，给定n个矩阵{A1,A2,…,A n}，其中A i与A i+1是可乘的，i=1,2,3…,n-1。考察这n个矩阵的连乘A1,A2,…,A n。 二、主要思想 由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已经完全加括号，则可依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可递归的定义为： (1)单个矩阵是完全加括号的； (2)矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号 的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)。 运用动态规划法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。按以下几个步骤进行 1、分析最优解的结构 设计求解具体问题的动态规划算法的第1步是刻画该问题的最优解的结构特征。为方便起见，将矩阵连乘积简记为A[i:j]。考察计算A[1:n]的最优计算次序。设这个计算次序矩阵在A k和A k+1之间将矩阵链断开，1n,则其相应的完全加括号方式为((A1…A k)(A k+1…A n))。依此次序，先计算A[1:k]和A[k+1:n],然后将计 算结果相乘得到A[1:n]。 2、建立递归关系 设计动态规划算法的第二步是递归定义最优值。对于矩阵连乘积的最优计算次序问题，设计算A[i:j]，1i n，所需的最少数乘次数为m[i][j]，原问题的最优值为m[1][n]。 当i=j时，A[i:j]=A i为单一矩阵，无需计算，因此m[i][i]=0，i=1,2,…n。 当i 一、问题描述给定n个矩阵{A1,A2,…,An}，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,…,n-1。要算出这n个矩阵的连乘积A1A2…An。由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：（1）单个矩阵是完全加括号的；（2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)。例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：（A1（A2（A3A4））），（A1（（A2A3）A4）），（（A1A2）（A3A4）），（（A1（A2A3））A4），（（（A1A2）A3）A4）。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。若A是一个p×q矩阵，B是一个q×r矩阵，则计算其乘积C=AB 的标准算法中，需要进行pqr次数乘。为了说明在计算矩阵连乘积时，加括号方式对整个计算量的影响，先考察3个矩阵{A1,A2,A3}连乘的情况。设这三个矩阵的维数分别为10×100，100×5，5×50。加括号的方式只有两种：（（A1A2）A3），（A1（A2A3）），第一种方式需要的数乘次数为10×100×5＋10×5×50＝7500，第二种方式需要的数乘次数为100×5×50＋10×100×50＝75000。第二种加括号方式的计算量时第一种方式计算量的10倍。由此可见，在计算矩阵连乘积时，加括号方式，即计算次序对计算量有很大的影响。于是，自然提出矩阵连乘积的最优计算次序问题，即对于给定的相继n个矩阵{A1,A2,…,An}（其中矩阵Ai的维数为pi-1×pi，i ＝1,2,…,n），如何确定计算矩阵连乘积A1A2…An的计算次序（完全加括号方式），使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。穷举搜索法的计算量太大，它不是一个有效的算法，本实验采用动态规划算法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。 二、算法思路动态规划算法的基本思想是将待求解问题分成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，动态规划法经分解得到的子问题往往不是相互独立的，前一子问题的解为后一子问题的解提供有用的信息，可以用一个表来记录所有已解决的子问题的答案，不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。本实验的算法思路是： 1、计算最优值算法MatrixChain()：建立两张表（即程序中的**m和**s，利用二维指针存放），一张表存储矩阵相乘的最小运算量，主对角线上的值为0，依次求2个矩阵、3个矩阵…、直到n个矩阵相乘的最小运算量，其中每次矩阵相乘的最小运算量都在上一次矩阵相乘的最小运算量的基础上求得，最后一次求得的值即为n个矩阵相乘的最小运算量；另 数学实验报告 学院： 班级： 学号： 姓名： 完成日期： 实验四矩阵的运算 （一）投入产出分析 一．实验目的 1.理解投入产出分析中的基本概念和模型； 2.从数学和投入产出理论的角度，理解矩阵乘法、逆矩 阵等的含义。 二．问题描述 设国民经济由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、部需求、初始投入等如表1-1所示 表1-1国民经济三产部门之间的投入产出表 根据表回答下列问题： （1）如果农业、制造业、服务业外部需求为50,150,100，问三个部门总产出分别为多少？ （2）如果三个部门的外部需求分别增加一个单位，问 他们的总产出分别为多少? 三.实验过程 1．问题（1）的求解 （1）求直接消耗矩阵A 根据直接消耗的计算公式 a ij=x ij/x j 和各部门中间需求; x n a n 运行如下代码可得直接消耗系数表。 X=[15 20 30;30 10 45;20 60 0]; X_colsum=[100 200 150]; X_rep=repmat(X_colsum,3,1) A=X./ X_rep 运行结果为： A = 0.1500 0.1000 0.2000 0.3000 0.0500 0.3000 0.2000 0.3000 0 （2）求解 根据公式 X=(I-A)-1y 在运行如下代码 y=[50;150;100]; n=size(y,1); W=eye(n)-A; X=W\y 运行结果为 X = 139.2801 267.6056 208.1377 即三个部门的总产出分别为139.2801,267.6056, 208.1377亿元。 2．问题2求解 设外部需求由y增加至y+Δy，则产出x的增量为 Δx=(I-A)-1(y+Δy)- (I-A)-1y=(I-A)-1Δy 利用问题（1）求得的I-A矩阵，再运行如下的MATLAB 代码可得问题的结果： dx=inv(W) 运行结果: dx = 1.3459 0.2504 0.3443 0.5634 1.2676 0.4930 0.4382 0.4304 1.2167 《算法设计与分析》实验报告 目录 一、实验内容描述和功能分析. 二、算法过程设计. 三、程序调试及结果（附截图）. 四、源代码（附源代码）. 一、实验内容描述和功能分析. 1.矩阵连乘问题 内容描述：给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2 ,…,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。 功能分析：输入包含多组测试数据。第一行为一个整数C，表示有C 组测试数据，接下来有2*C行数据，每组测试数据占2行，每组测试数据第一行是1个整数n，表示有n个矩阵连乘,接下来一行有n+1 个数,表示是n个矩阵的行及第n个矩阵的列,它们之间用空格隔开。输出应该有C行，即每组测试数据的输出占一行，它是计算出的矩阵最少连乘积次数。 例如：输入：1输出：7500 3 10 100 5 50 2.Pebble Merging 内容描述：在一个圆形操场的四周摆放着n 堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2 堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。试设计一个算法，计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。 编程任务： 对于给定n堆石子,编程计算合并成一堆的最小得分和最大得分。 功能分析：输入由多组测试数据组成。每组测试数据输入的第1 行是正整数n，1≤n≤100，表示有n堆石子。第二行有n个数，分别表示每堆石子的个数。 对应每组输入，输出的第1 行中的数是最小得分；第2 行中的数是最大得分。 例如：输入：4 输出：43 4 4 5 9 54 二、算法过程设计. 1.矩阵连乘问题 矩阵连乘问题是通过设置数组，利用数组的横竖坐标来进行矩阵对应行与列的计算。 2.Pebble Merging 这个问题也是跟数组相关，通过寻找数组中的最大和最小值来进行计算。 三、程序调试及结果（附截图）. 1.矩阵连乘问题 2.Pebble Merging 问题描述：给定n个矩阵：A1,A2,...,A n，其中A i与A i+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。 问题解析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。 完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为： （1）单个矩阵是完全加括号的； （2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC) 例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。 看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50 按此顺序计算需要的次数 ((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=75000次 所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。 算法思路： 例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别是： A1：30*35; A2：35*15; A3：15*5; A4：5*10; A5：10*20; A6：20*25 递推关系： 设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。 当i=j时，A[i:j]=A i，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n 当i MATLAB 程序设计实验 班级：电信1104班 姓名：龙刚 学号：1404110427 实验内容：了解MA TLAB 基本使用方法和矩阵的操作 一．实验目的 1.了解MA TLAB 的基本使用方法。 2.掌握MA TLAB 数据对象的特点和运算规则。 3.掌握MA TLAB 中建立矩阵的方法和矩阵的处理方法。 二．实验内容 1. 浏览MATLAB 的start 菜单，了解所安装的模块和功能。 2. 建立自己的工作目录，使用MA TLAB 将其设置为当前工作目录。使用path 命令和工作区浏览两种方法。 3. 使用Help 帮助功能，查询inv 、plot 、max 、round 等函数的用法和功能。使用help 命令和help 菜单。 4. 建立一组变量，如x=0:pi/10:2*pi ，y=sin(x)，在命令窗口显示这些变量；在变量窗口打开这些变量，观察其值并使用绘图菜单绘制y 。 5. 分多行输入一个MA TLAB 命令。 6. 求表达式的值 ()6210.3424510w -=+? ()22tan b c a e abc x b c a ππ++ -+=++，a=3.5，b=5，c=-9.8 ()220.5ln 1t z e t t =++，21350.65i t -??=??-?? 7.已知 1540783617A --????=??????，831253320B -????=????-?? 求 A+6B ，A 2-B+I A*B ，A.*B ，B*A A/B ，B/A [A,B]，[A([1,3], :); B^2] 8.已知 23100.7780414565532503269.5454 3.14A -????-??=????-?? 输出A 在[10,25]范围内的全部元素 取出A 的前三行构成矩阵B ，前两列构成矩阵C ，右下角3x2子矩阵构成矩阵D ，B 与C 的乘积构成矩阵E 分别求表达式E 实验报告 --矩阵运算 一．实验目的。 1.通过实践加强对程序设计语言课程知识点的理解和掌握，培养对课程知识综合运用能力、实际分析问题能力及编程能力，养成良好的编程习惯。 2.通过实践进一步领会程序设计的特点和应用，提高运用C++ 语言以及面向对象知识解决实际问题的能力。 3.通过实践掌握用C++ 语言编写面向对象的实用程序的设计方法，对面向对象方法和思想增加感性的认识； 4.学会利用C++程序设计语言编写出一些短小、可靠的Windows实用程序，切实提高面向对象的程序设计能力。为后续的相关课程的学习打下基础。 二．实验要求。 1.学会建立模板类； 2.实现矩阵的“加”、“减”、“乘”、“数乘”、“转置”； 3.动态存分配并用随机数填充； 4.注意“加”、“减”、“乘”要进行条件的判断； 三．设计思路。 3.1算法基本流程 1)获取用户输入的矩阵1的行数和列数,动态生成一个一维数组 2)利用随机数生成数组成员,并利用两个循环输出数组,使其符合矩阵的格式 3)矩阵2同矩阵1的处理方法 4)通过两个矩阵的行数和列数比较来判断能否进行加减乘等运算,如不能,输出相关信息 5)如能够进行计算,则利用数组进行相应运算,并按照正确格式输出 6)通过改变一维数组中元素的顺序来实现转置并输出 3.2算法流程图 四．基本界面。 五．关键代码。 5.1关键类的声明 class CMatrixclass { public: CMatrixclass() { int m_Row = 0; //行 int m_Col = 0; //列 m_pElements = NULL; //一维数组 湖南涉外经济学院计算机科学与技术专业 《算法设计与分析》课程 矩阵连乘备忘录算法 实验报告 班级： 学号： 姓名： 教师： 成绩： 2012年5月 【实验目的】 1 掌握动态规划算法和备忘录方法； 2 利用动态规划备忘录思想实现矩阵连乘； 3 分析实验结果，总结算法的时间和空间复杂度。思考是否能将算法的时间复杂度提高到 O(nlgn) 【系统环境】 Windows 07 平台 【实验工具】 VC++6.0中文企业版 【问题描述】 描述：给定n个矩阵{A1，A2，…，An}，其中Ai与Ai+1可乘的，i=1,2，…，n-1。找出这个n个矩阵的连乘A1A2…An所需相乘的最少次数的方式。 例：矩阵连乘积A1A2A3A4可以有一下五种不同的完全加括号方式： （A1（A2（A3A4））） （A1（（A2A3）A4）） （（A1A2）（A3A4）） （（A1（A2A3））A4） （（（A1A2）A3）A4） 【实验原理】 原理：1、矩阵连乘满足结合律，且不同的结合方式，所需计算的次数不同。 2、利用备忘录方法，用表格保存以解决的子问题答案，降低重复计算，提高效率。 思路：m初始化为0，表示相应的子问题还位被计算。在调用LookupChain时，若m[i][j]>0，则表示其中储存的是所要求子问题的计算结果，直接返回此结果即刻。否则与直接递归算法一样，自顶而下的递归计算，并将计算结果存入m[i][j]后返回。因此，LookupChain总能返回正确的值，但仅在它第一次被调用时计算，以后调用就直接返回计算结果。 方法：用MemorizedMatrixChain函数将已经计算的数据存入表中，用LookupChain函数配合MemorizedMatrixChain函数递归调用计算。 【源程序代码】 #include 矩阵连乘问题（动态规划） 一、实验目的与要求 1、明确矩阵连乘的概念。 2、利用动态规划解决矩阵连乘问题。 二、实验题： 问题描述： 给定n个矩阵｛A1,A2,...,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。 三、实验代码 #include算法分析_实验报告3
矩阵分析实验报告
矩阵连乘最佳加括号方式-动态规划算法
算法分析与设计实验报告
矩阵特征值实验报告
矩阵连乘(数据结构)
矩阵乘法的并行化 实验报告
矩阵连乘问题算法分析与设计
矩阵键盘设计实验报告
矩阵连乘实验报告
矩阵连乘问题
数学实验矩阵的运算
算法分析实验三报告
动态规划矩阵连乘算法
MATLAB矩阵实验报告
矩阵运算实验报告
矩阵连乘备忘录算法
矩阵连乘问题
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