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历年考研数学一真题及答案(2005-2014)
2005年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1)曲线1
22
+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.
(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足9
1
)1(-=y 的解为____________.
(3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{3
1=n ,则
)
3,2,1(n u
??=.________.
(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则??∑
=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.
(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵
123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,
如果1=A ,那么=B .
(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则
}2{=Y P =____________.
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数n n n x x f 31lim )(+=∞
→,则()f x 在),(+∞-∞内
(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点 (8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ?表示"M 的充分必要条件是",N 则必有
(A)()F x 是偶函数()f x ?是奇函数 (B)()F x 是奇函数()f x ?是偶函数 (C)()F x 是周期函数()f x ?是周期函数 (D)()F x 是单调函数()f x ?是单调函数
(9)设函数?+-+-++=y
x y
x dt t y x y x y x u )()()(),(ψ??, 其中函数?具有二阶导数,ψ 具有
一阶导数,则必有
(A)2222y u
x u ??-=??
(B)2222y u x u ??=??
(C)2
22y u y x u ??=
???
(D)2
22x u y x u ??=
??? (10)设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,
在此邻域内该方程
(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y = (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =
(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则
1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是
(A)01≠λ (B)02≠λ (C)01=λ (D)02=λ
(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则
(A)交换*A 的第1列与第2列得*B (B)交换*A 的第1行与第2行得*B (C)交换*A 的第1列与第2列得*-B (D)交换*A 的第1行与第2行得
*-B
(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为
已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则
(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b == (D)0.1,0.4a b ==
(14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则
(A))1,0(~N X n (B)22~()nS n χ
(C))1(~)1(--n t S
X
n (D)
2
122
(1)~(1,1)n
i
i n X F n X
=--∑
三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分)
设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分??++D
dxdy y x xy .
]1[22
(16)(本题满分12分)
求幂级数∑∞
=--+
-121))
12(1
1()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x
(17)(本题满分11分)
如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分
?'''+3
2
.
)()(dx x f x x
(18)(本题满分12分)
已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明: (1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f .
(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f
(19)(本题满分12分)
设函数)(y ?具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分
24
()22L
y dx xydy
x y φ++?
的值恒为同一常数.
(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24
()202C y dx xydy
x y φ+=+?.
(2)求函数)(y ?的表达式. (20)(本题满分9分)
已知二次型212
32221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.
(1)求a 的值;
(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解. (21)(本题满分9分)
已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ??
??=??
????B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.
(22)(本题满分9分)
设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y = 10 01,02x y x
<<<<其它
求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X .
(2)Y X Z -=2的概率密度).(z f Z (23)(本题满分9分)
设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,记
.,,2,1,n i X X Y i i =-=
求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y
2006年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)0
ln(1)
lim
1cos x x x x
→+=
-.
(2)微分方程(1)
y x y x
-'=的通解是 .
(3)
设
∑
是锥
面z =(01
z ≤≤)的下侧,则
23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑
++-=?? .
(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = .
(5)设矩阵2
112??
= ?-??
A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵
B 满足2=+BA B E ,则
B = .
(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则
{}max{,}1P X Y ≤=
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ?为自变量x 在0x 处的增量,y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ?>,则
(A)0dx y < (B)0y dy < (C)0y dy ?<< (D)0dy y < (8)设(,)f x y 为连续函数,则1
40
0(cos ,sin )d f r r rdr π
θθθ??等于
(A)0(,)x f x y dy ??
(B)00
(,)f x y dy ??
(C)0(,)y
f x y dx ??
(C)00
(,)f x y dx ??
(9)若级数1
n n a ∞
=∑收敛,则级数
(A)1
n n a ∞=∑收敛 (B)1
(1)n n n a ∞
=-∑收敛
(C)11
n n n a a ∞
+=∑收敛 (D)1
1
2n n n a a ∞
+=+∑
收敛 (10)设(,)f x y 与(,)x y ?均为可微函数,且1(,)0y x y ?≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点,下列选项正确的是
(A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '= (B)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠ (C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '= (D)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠ (11)设12,,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ?矩阵,下列选项正确的是 (A)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (B)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性无关 (C)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性相关
(D)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性无关.
(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到
第2列得C ,记110010001??
?
= ? ???
P ,则 (A)1-=C P AP (B)1-=C PAP (C)T =C P AP (D)T =C PAP (13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有
(A)()()P A B P A > (B)()()P A B P B > (C)()()P A B P A = (D)()()P A B P B = (14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,
且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则
(A)12σσ< (B)12σσ> (C)12μμ< (D)12μμ>
三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
本题满分10分)
设区域D=(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分22
11D
xy
I dxdy x y +=++??
. 本题满分12分)
设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==.
求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之. (2)计算2
1
1lim n x n x n x x +→∞
?? ???
.
本题满分12分)
将函数()2
2x
f x x x =
+-展开成x 的幂级数
.
本题满分12分)
设函数
()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f
=满足等式
22
2
20z z
x y
??+=??. (1)验证()()
0f u f u u
'''+=. (2)若()()10,11,f f '==求函数()f u 的表达式
. 本题满分12分)
设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的0t >都有
()()2,,f tx ty t f x y =.
证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有(,)(,)0L
yf x y dx xf x y dy -=?
.
本题满分9分)
已知非齐次线性方程组
1234123412
341
435131
x x x x x x x x ax x x bx +++=-??
++-=-??++-=? 有3个线性无关的解,
(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A . (2)求,a b 的值及方程组的通解
.
本题满分9分)
设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T T
=--=-αα是线性
方程组0x =A 的两个解.
(1)求A 的特征值与特征向量.
(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T =Q AQ A
. 本题满分9分)
随机变量x 的概率密度为()()21
,1021
,02,,4
0,令其它x x f x x y x F x y ?-<??=≤<=?????
为二维随机变量(,)
X Y 的分布函数.
(1)求Y 的概率密度()Y f y .
(2)1
,42
F ??
- ??
?.
本题满分9分)
设总体X 的概率密度为(,0)F X = 10θθ- 01
12x x <<≤<其它
,其中θ是未知参数
(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的
个数,求θ的最大似然估计.
2007年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内) (1)当0x +→时,
(A)1-
(B)ln
1
(D)1- (2)曲线1ln(1e )x y x
=++,渐近线的条数为
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (3)如图,连续函数()y f x =在区间[3,2],[2,3]--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[2,0],[0,2]-的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设0()()x
F x f t dt =?.则下列结论正确的是
(A)3(3)(2)4
F F =-- (B)5(3)(2)4
F F = (C)3(3)(2)4F F = (D)5(3)(2)4
F F =-- (4)设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是 (A)若0
()
lim
x f x x
→存在,则(0)0f = (B)若0
()()
lim
x f x f x x
→+- 存在,则
(0)0f =
(C)若0
()
lim
x f x x
→ 存在,则(0)0f '= (D)若0
()()
lim
x f x f x x
→-- 存在,则
(0)0f '=
(5)设函数()f x 在(0, +∞)上具有二阶导数,且"()0f x >, 令()1,2,,,n u f n n ==则下列结论正确的是
(A)若12u u >,则{n u }必收敛 (B)若12u u >,则{n u }必发散
(C)若12u u <,则{n u }必收敛 (D)若12u u <,则{n u }必发散
(6)设曲线:(,)1L f x y =((,)f x y 具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点,N Γ为L 上从点M 到N 的一段弧,则下列小于零的是 (A)(,)x y dx Γ? (B)(,)f x y dy Γ? (C)(,)f x y ds Γ? (D)'(,)'(,)x y f x y dx f x y dy Γ+? (7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是
(A),,122331---αααααα (B),,122331+++αααααα (C)1223312,2,2---αααααα (D)1223312,2,2+++αααααα
(8)设矩阵211121112--?? ?=-- ? ?--??A ,100010000??
?
= ? ???
B ,则A 与B (A)合同,且相似 (B)合同,但不相似 (C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为()01p p <<,则此人
第4次射击恰好第2次命中目标的概率为
(A)23(1)p p - (B)26(1)p p -
(C)223(1)p p - (D)226(1)p p -
(10)设随即变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,()X f x ,()Y f y 分别表示
,X Y
的概率密度,则在Y y =的条件下,X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为
(A)()X f x (B)()Y f y (C)()X f x ()Y f y (D)
()
()
X Y f x f y
二、填空题(11-16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上)
(11)31
2
1
1e x dx x
?=_______.
(12)设(,)f u v 为二元可微函数,(,)y x z f x y =,则
z x
??=______.
(13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32e x y y y -+=的通解为y =____________. (14)设曲面:||||||1x y z ++=∑,则(||)x y ds ∑
+??=_____________.
(15)设矩阵0
1000
01000010
00
0?? ?
?
= ? ???
A ,则3A 的秩为________. (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于1
2
的概率为
________.
三、解答题(17-24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
本题满分11分)
求函数 2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)|4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值
. 本题满分10分)
计算曲面积分23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑
=++??其中 ∑为曲面2
2
1(01)4y z x z =--≤≤的上
侧
.
本题满分11分)
设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值,()(),()()f a g a f b g b ==,证明:存在(,)a b ξ∈,使得 ()()f g ξξ''''=
. 本题满分10分) 设幂级数
n n
n a x
∞
=∑ 在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足
240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--===
(1)证明:22
,1,2,.1
n n a a n n +=
=+
(2)求()y x 的表达式
.
本题满分11分
设线性方程组12312321
23020,40
x x x x x ax x x a x ++=??
++=??++=?与方程 12321,x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有
公共解.
本题满分11分)
设3阶实对称矩阵A 的特征向量值12311,2, 2.(1,1,1)T λλλ===-=-α是A 的属于特征值
1λ的一个特征向量,记534,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵.
(1)验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B
. 本题满分11分)
设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01
(,)0,x y x y f x y --<<<=??
其他
(1)求{2}.P X Y > (2)求Z X Y =+的概率密度
. 本题满分11分)
设总体X 的概率密度为1
,021
(;),12(1)0,x f x x θθθθθ?<??=≤
-????
其他 12
,,n X X X 是来自总体x 的简单随机样本,X 是样本均值
(1)求参数θ的矩估计量?θ.
(2)判断24X 是否为2θ的无偏估计量,并说明理由.
2008年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)设函数2
0()ln(2)x f x t dt =+?则()f x '的零点个数
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
(2)函数(,)arctan x f x y y
=在点(0,1)处的梯度等于
(A)i (B)-i (C)j (D)-j
(3)在下列微分方程中,以123cos2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是
(A)440y y y y ''''''+--= (B)440y y y y ''''''+++= (C)440y y y y ''''''--+= (D)440y y y y ''''''-+-= (4)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}n x 为数列,下列命题正确的是 (A)若{}n x 收敛,则{}()n f x 收敛 (B)若{}n x 单调,则{}()n f x 收敛 (C)若{}()n f x 收敛,则{}n x 收敛 (D)若{}()n f x 单调,则{}n x 收敛 (5)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ,则
(A)-E A 不可逆,+E A 不可逆 (B)-E A 不可逆,+E A 可逆
(C)-E A 可逆,+E A 可逆 (D)-E A 可逆,+E A 不可逆
(6)设A 为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程
(,,)1x x y z y z ?? ?
= ? ???
A 在正交变换下的标准方程的图形如图,则
A 的正特征值个数为
(A)0 (B)1 (C)2
(D)3
(7)设随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ,则{}max ,Z X Y =分布函数为 (A)()2F x (B) ()()F x F y (C) ()2
11F x --???? (D) ()()11F x F y --???????? (8)设随机变量()~0,1X N ,()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=,则 (A){}211P Y X =--= (B){}211P Y X =-= (C){}211P Y X =-+= (D){}211P Y X =+=
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程0xy y '+=满足条件()11y =的解是y = . (10)曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 .
(11)已知幂级数()0
2n
n n a x ∞
=+∑在0x =处收敛,在4x =-处发散,则幂级数()0
3n n n a x ∞
=-∑的
收敛域为 .
(12)设曲面∑
是z =的上侧,则2xydydz xdzdx x dxdy ∑
++=?? .
(13)设A 为2阶矩阵,12,αα为线性无关的2维列向量,12120,2==+A αA ααα,则A 的非零特征值为 .
(14)设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则{}2P X EX == .
三、解答题(15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
本题满分10分)
求极限()4
0sin sin sin sin lim x x x x x →-????.
本题满分10分)
计算曲线积分()2sin 221L xdx x ydy +-?,其中L 是曲线sin y x =上从点()0,0到点(),0π的一段
.
本题满分10分)
已知曲线22220
:35
x y z C x y z ?+-=?++=?,求曲线C 距离XOY 面最远的点和最近的点
.
本题满分10分) 设()f x 是连续函数,
(1)利用定义证明函数()()0x
F x f t dt =?可导,且()()F x f x '=.
(2)当()f x 是以2为周期的周期函数时,证明函数()2
002()()x
G x f t dt x f t dt =-??也是以2为周期的周期函数
. 本题满分10分)
()21(0)f x x x π=-≤≤,用余弦级数展开,并求()1
2
1
1n n n
-∞=-∑的和.
本题满分11分)
T T =+A ααββ,T α为α的转置,T β为β的转置.证明:
(1)()2r ≤A . (2)若,αβ线性相关,则()2r 本题满分11分)
设矩阵2
221
212n n
a a a
a a ???
?
?= ?
???A ,现矩阵A 满足方程=AX B ,其中()
1,
,T
n x x =X ,()1,0,,0=B ,
(1)求证()1n n a =+A .
(2)a 为何值,方程组有唯一解,求1x . (3)a 为何值,方程组有无穷多解,求通解.
本题满分11分)
设随机变量X 与Y 相互独立,X 的概率分布为{}()1
1,0,13
P X i i ===-,Y 的概率密度为()101
0Y y f y ≤≤?=?
?其它,记Z X Y =+,
(1)求102P Z X ??≤
=???
?
. (2)求Z 的概率密度.
本题满分11分)
设12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.
记11n i i X X n ==∑,22
1
1()1n i
i S X X n ==--∑,221T X S n =- (1)证明T 是2μ的无偏估计量. (2)当0,1μσ==时 ,求DT .
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有
一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2
ln 1g x x bx =-等价无穷小,则
(A)1
1,6a b ==-
(B)1
1,6a b ==
(C)1
1,6
a b =-=-
(D)1
1,6
a b =-=
(2)如图,正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =,cos k
k D I y xdxdy =??,则{}14
max k k I ≤≤=
(A)1I (B)2I (C)3I (D)4I
(3)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为
则函数()()0x
F x f t dt =?的图形为
(A) (B)
(C)
(D)
(4)设有两个数列{}{},n n a b ,若lim
0n n a →∞
=,则 (A)当1
n n b ∞=∑收敛时,1
n n n a b ∞=∑收敛. (B)当1
n n b ∞=∑发散时,1
n n n a b ∞
=∑发散.
(C)当1
n n b ∞=∑收敛时,22
1n n
n a b ∞=∑收敛. (D)当1n n b ∞=∑发散时,22
1
n n n a b ∞
=∑发散.
(5)设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基,则由基12311,,23
ααα到基
122331,,+++αααααα的过渡矩阵为
(A)101220033??
?
? ???
(B)120023103??
?
? ???
(C)1
112461
112461112
4
6??- ? ? ?
-
? ? ?- ???
(D)1112221114441116
6
6??-
? ?
?- ? ? ?- ???
(6)设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3==A B ,则分块矩阵
O A B O ?? ???
的伴随矩阵为
(A)**32O B A
O ?? ???
(B)**
23O
B A
O ??
???
(C)*
*32O A B
O ??
???
(D)*
*
23O A B
O ??
???
(7)设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -??
=Φ+Φ ???
,其中()x Φ为标准正态分布函数,则EX =
(A)0 (B)0.3 (C)0.7 (D)1
(8)设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为
{}{}1
012
P Y P Y ====
,记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断点个数为
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
(9)设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数,(),z f x xy =,则2z
x y
?=?? .
(10)若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12e x
y C C x =+,则非齐
次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = . (11)
已知曲线(2
:0L y x x =≤≤,则L xds =? .
(12)设(){}2
2
2
,,1x y z x y z Ω=++≤,则2
z dxdydz Ω
=??? .
(13)若3维列向量,αβ满足2T =αβ,其中T α为α的转置,则矩阵T βα的非零特征值为 .
(14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量,则k = .
三、解答题(15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分9分)
求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.
(16)(本题满分9分)
设n a 为曲线n
y x =与()1
1,2,.....n y x n +==所围成区域的面积,记122111
,n n n n S a S a ∞
∞
-====∑∑,求
1S 与2S 的值.
(17)(本题满分11分)
椭球面1S 是椭圆22
143x y +=绕x 轴旋转而成,圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆
22
143
x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. (1)求1S 及2S 的方程. (2)求1S 与2S 之间的立体体积.
(18)(本题满分11分)
(1)证明拉格朗日中值定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 可导,则存在
(),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.
(2)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且()0lim x f x A +
→'=,则()
0f +'存在,且()0f A +'=
(19)(本题满分10分) 计算曲面积分()
32
222
xdydz ydzdx zdxdy
I x
y z
++=∑
++??
,其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.
(20)(本题满分11分)
设111111042--??
?=- ? ?
--??
A ,1112-?? ?= ? ?-??ξ (1)求满足21=A ξξ的2ξ.231=A ξξ的所有向量2ξ,3ξ. (2)对(1)中的任意向量2ξ,3
ξ证明123,,ξξξ无关.
(21)(本题满分11分)
设二次型()()222
1231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.
(1)求二次型f 的矩阵的所有特征值; (2)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的
值.
(22)(本题满分11分)
袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.
(1) 求{}10p X Z ==. (2)求二维随机变量(),X Y 概率分布
(23)(本题满分11 分)
设总体X 的概率密度为2,0
()0,x xe x f x λλ-?>=??其他
,其中参数(0)λλ>未知,1X ,2X ,…n X 是
来自总体X 的简单随机样本.
(1)求参数λ的矩估计量.
(2)求参数λ的最大似然估计量.
2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)极限2
lim ()()x
x x x a x b →∞????-+??
= (A)1 (B)e (C)e a b - (D)e b a -
(2)设函数(,)z z x y =由方程(,)0y z
F x x
=确定,其中F 为可微函数,且20,F '≠则
z z
x
y x y
??+??= (A)x (B)z (C)x - (D)z - (3)设,m n 为正整数,
则反常积分0
?
的收敛性
(A)仅与m 取值有关 (B)仅与n 取值有关 (C)与,m n 取值都有关 (D)与,m n 取值都无关 (4)22
11lim ()()
n
n
x i j n
n i n j →∞
==++∑∑
= (A)12
00
1
(1)(1)
x
dx dy x y ++?? (B)100
1
(1)(1)
x
dx dy x y ++??
(C)11
00
1
(1)(1)
dx dy x y ++??
(D)1
1
200
1
(1)(1)
dx dy x y ++?? (5)设A 为m n ?型矩阵,B 为n m ?型矩阵,若,=AB E 则
(A)秩(),m =A 秩()m =B (B)秩(),m =A 秩()n =B (C)秩(),n =A 秩()m =B (D)秩(),n =A 秩()n =B (6)设A 为4阶对称矩阵,且20,+=A A 若A 的秩为3,则A 相似于
(A)1110??
?
? ? ?
??
(B)1110??
?
? ?- ?
??
(C)1110??
?
- ? ?- ?
??
(D)1110-??
?
- ? ?- ?
??
(7)设随机变量X
的分布函数()F x = 00
101,2
1e 2
x x x x -<≤≤->则{1}P X ==
(A)0 (B)1 (C)11e 2
-- (D)11e --
(8)设1()f x 为标准正态分布的概率密度2,()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度,
()f x =
12()
()af x bf x
x x ≤> (0,0)a b >>
为概率密度,则,a b 应满足
(A)234a b += (B)324a b += (C)1a b += (D)2a b +=
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
(9)设2
0e ,ln(1),t
t
x y u du -==+?求220
t d y
dx == .
(10)2
π?= .
(11)已知曲线L 的方程为1{[1,1]},y x x =-∈-起点是(1,0),-终点是(1,0), 则曲线积分2L xydx x dy +?= .
(12)设22{(,,)|1},x y z x y z Ω=+≤≤则Ω的形心的竖坐标z = .
(13)设123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,),T T T α=-==ααα若由123,,ααα形成的向量空间的维数是2,则α= .
(14)设随机变量X 概率分布为{}(0,1,2,),!
C
P X k k k ==
=则2EX = .
三、解答题(15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)
求微分方程322e x y y y x '''-+=的通解.
(16)(本题满分10分)
求函数2
21()()e x
t f x x t dt -=-?的单调区间与极值.
(17)(本题满分10分)
(1)比较1
0ln [ln(1)]n
t t dt +?与1
0ln (1,2,)n t t dt n =?的大小,说明理由
(2) 记1
0ln [ln(1)](1,2,),n
n u t t dt n =+=?求极限lim
.n x u →∞
(18)(本题满分10分)
求幂级数1
21(1)
21
n n n x n -∞=--∑的收敛域及和函数.
(19)(本题满分10分)
设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的动点,若S 在点P 的切平面与xoy 面垂直,求P 点的轨迹,C
并计算曲面积分,I ∑
=其中∑是椭球面S 位于曲线C 上方
的部分.
(20)(本题满分11分)
设11010,1,111a λλλ????
? ?
=-= ? ? ? ?????
A b 已知线性方程组=A x b 存在两个不同的解. (1)求,.a λ
(2)求方程组=A x b 的通解.
(21)(本题满分11分)
设二次型123(,,)T f x x x =A x x 在正交变换x y =Q 下的标准形为22
12,y y +且Q
的第三列为
(
).22
T (1)求.A
(2)证明+A E 为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵.
(22)(本题满分11分)
设二维随机变量()X Y +的概率密度为22
22(,)e ,,,x xy y f x y A x y -+-=-∞<<∞-∞<<∞求常
数及A 条件概率密度|(|).Y X f y x
(23)(本题满分11 分) 设总体X 的概率分布为
其中(0,1)θ∈未知,以i N 来表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3),i =试求常数123,,,a a a 使3
1
i i i T a N ==∑为θ的无偏估计量,并求T 的方差.
2011年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
1、
曲线432)4()3()2)(1(----=x x x x x y 的拐点是( )
A (1,0)
B (2,0)
C (3,0)
D (4,0)
2、设数列{}n a 单调减少,且0lim
=∞
→n n a 。∑==n
i i n a S 1
无界,则幂级数n n n x a )1(1
-∑∞
=的收敛域为( )
A ]11-(
B )11[-
C )20[
D ]20( 3、
设函数)(x f 具有二阶连续的导数,且0)(>x f .0)0(='f 。则函数)()(ln y f x f z =在
点)0,0(处取得极小值的一个充分条件是( )
A 0)0(1)0(>''>f f
B 0)0(1)0(<''>f f
C 0)0(1)0(>''D 0)0(1)0(<''4、设?=40sin ln π
xdx I ?=40cot ln π
xdx J ?=40cos ln π
xdx K ,则 K J I 的大小关系是( )
A K J I <<
B J K I <<
C K I J <<
D I J K <<
5、设A 为3阶矩阵,把A 的第二列加到第一列得到矩阵B ,再交换B 的第二行与第
3行得到单位阵E ,记????? ??=1000110011P ,????
?
??=010*******P ,则A=( )
A 21P P
B 211P P -
C 12P P
D 112P P -
6、设)(4321αααα=A 是4阶矩阵,*A 为A 的伴随矩阵。若T )0,1,0,1(是0=Ax 的一个基础解系,则0*=x A 的基础解系可为( )
A 31αα
B 21αα
C 321ααα
D 432ααα 7、设)()(21x F x F 为两个分布函数,且连续函数)()(21x f x f 为相应的概率密度,则必为概率密度的是( )
A )()(21x f x f
B )()(212x F x f
C )()(21x F x f
D )()(21x F x f +)()(12x F x f
8、设随机变量Y X ,相互独立,且EY EX ,都存在,记{}Y X U ,max ={}Y X V ,min =,则=EUV ( )
A EV EU ?
B EY EX ?
C EY EU ?
D EV EX ?
二、填空题:9—14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定的位置上。
9、曲线)4
0(tan 0π
≤≤=?x tdt y x
的弧长为_____________
10、微分方程x e y y x cos =+'满足条件0)0(=y 的解为________________ 11、设函数dt t t y x F xy
?+=0
21sin ),(,则______________|2
022=??==y x x F
12、设L 是柱面方程122=+y x 与平面y x z +=的交线,从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分_________2
2
=++?dz y xdy xzdx L
13、若二次曲面的方程42223222=+++++yz xz axy z y x ,经正交变换化为42221=+y y ,则_______=a
14、设二维随机变量)0,,,,(~),(22σσμμN Y X ,则____________)(2=XY E
三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上,解答应
写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(本题满分10分) 求极限1
1
0)
)1ln((lim
-→+x e x x x
(本题满分9分)
设函数))(,(x yg xy f z =,其中f 具有二阶连续的偏导数,函数)(x g 可导且在1=x 处取得
极值1)1(=g .求11
2|==???y x y x z
17、(本题满分10分)
求方程0arctan =-x x k 的不同实根的个数,其中k 为参数。
18、(本题满分10分)
①证明:对任意的正整数n ,都有
n
n n 1
)11ln(11<+<+成立; ②设......)2,1(ln 1............
2
1
1=-+++=n n n
a n ,证明数列{}n a 收敛.
19、(本题满分11分)
已知函数),(y x f 具有二阶连续的偏导数,且??===D
a dxdy y x f x f y f ),(,0)1,(),1(,其中
{}10,10|),(≤≤≤≤=y x y x D 计算二重积分??''D
xy
dxdy y x f xy ),(
20、(本题满分11分)
设向量组T )1,0,1(1=α,T )1,1,0(2=α,T )5,3,1(3=α不能由向量组T )1,1,1(1=β,T )3,2,1(2=β,
T a ),4,3(3=β线性表示;
(1) 求a 的值;
(2) 将321,,βββ用321,,ααα线性表示;
21、(本题满分11分)
A 为3阶实对称矩阵,A 的秩为2,且???
?
?
??-=????? ??11001111-0011A
求(1)A 的特征值与特征向量 (2) 矩阵A
22、(本题满分11分)
设随机变量X 与Y 的概率分布分别为
且{}122==Y X P
求(1)二维随机变量(X ,Y )的概率分布; (2)XY
Z
=的概率分布
(3)X 与Y 的相关系数XY ρ
23、(本题满分11分)
设n X X X 21,是来自正态总体),(20σμN 的简单随机样本,其中0μ已知,02>σ未知.2,S X 为样本均值和样本方差.
求(1)求参数2
σ的最大似然估计Λ
2
σ
(2) 计算E Λ
2σ和D Λ2
σ
2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)曲线221
x x
y x +=-渐近线的条数为()
(A )0 (B )1 (C )2 (D )3
(2)设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---,其中n 为正整数,则'(0)f =
(A )1(1)(1)!n n --- (B )(1)(1)!n n -- (C )1(1)!n n -- (D )(1)!n n - (3)如果(,)f x y 在()0,0处连续,那么下列命题正确的是( ) (A )若极限00
(,)
lim
x y f x y x y
→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (B )若极限2200(,)
lim x y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微
(C )若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限00(,)
lim x y f x y x y →→+存在
(D )若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限2200
(,)
lim x y f x y x y →→+存在
(4)设2k
x k e
I e
=?
sin x d x (k=1,2,3),则有D
(A )I 1< I 2
(B) I 2< I 2< I 3. (C) I 1< I 3
(5)设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-????????
? ? ? ?===-= ? ? ? ? ? ? ? ?????????
其中1234,,,c c c c 为任意常数,则下列向量组线性相关的是( )
(A )123,,ααα (B )124,,ααα (C )134,,ααα (D )234,,ααα
(6)设A 为3阶矩阵,P 为3阶可逆矩阵,且1112P AP -??
?= ? ???
,()123,,P ααα=,()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=( )
(A )121?? ? ? ??? (B )112?? ? ? ???
(C )212?? ? ? ??? (D )221??
? ? ???
(7)设随机变量x 与y 相互独立,且分别服从参数为1与参数为4的指数分布,则
{}=112
4
()
()
() ()
5
35
5A B C D
(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为()
1)(2
1)(2
1)
(1)(--
D C B A
二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)若函数)(x f 满足方程0)(2)()('''=-+x f x f x f 及x e x f x f 2)()('=+,则)(x f =________。 (10
)2
0? ________。 (11)(2,1,1)
grad z xy y
?
?+ ?
?? ________。
(12)设(){},0,0,0,1,,∑≥≥≥=++=z y x z y x z y x 则??∑
=ds y 2________。
(13)设X 为三维单位向量,E 为三阶单位矩阵,则矩阵T xx E -的秩为________。
(14)设,,A B C 是随机事件,,A C 互不相容,1()2P AB =,1
()3
P C =,则()P AB C -=________。
三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
10分)
证明:2
1ln cos 1,1112x x x x x x ++≥+-<<-
10分)
求()22
,2
x y f x y xe +=-的极值。
(17)(本题满分10分) 求幂级数0n ∞
=∑
244321
n n n +++x 2n
的收敛域及和函数
(18)(本题满分10分) 已知曲线???
?
?<≤??
?==20cos )(:πt t y t f x L ,其中函数)(t f 具有连续导数,且0)0(=f ,
??
? ??
<<>200)(πt t f 。若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1,求函数)(t f 的表达式,并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。
(19)(本题满分10分)
已知L 是第一象限中从点()0,0沿圆周2
2
2x y x +=到点()2,0,再沿圆周2
2
4x y +=到点
()0,2的曲线段,计算曲线积分()
22=32L
J x ydx x x y dy ++-?。
(20)(本题满分10分)
设1
000
1000100
1a a A a a
?? ?
?= ?
???,1100b ?? ?- ?= ? ???
(Ⅰ)求A
(Ⅱ)已知线性方程组Ax b =有无穷多解,求a ,并求Ax b =的通解。
(21)(本题满分10分)三阶矩阵10101110A a ??
?= ?
?-??
,T A 为矩阵A 的转置,已知()2T
r A A =,且二次型T T f x A Ax =。
1)求a 2)求二次型对应的二次型矩阵,并将二次型化为标准型,写出正交变换过程。
(22)(本题满分10分)
已知随机变量,X Y 以及XY 的分布律如下表所示,
求:(1)()2P X Y =; (2)()cov ,X Y Y -与XY ρ.
(23)(本题满分11分)
设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布()2,N μσ与()2,2N μσ,其中σ是未知参数且0σ>,设Z X Y =-, (1) 求z 的概率密度()2,f z σ;
(2) 设12,,n z z z 为来自总体Z 的简单随机样本,求2σ的最大似然估计量2
σ; (3) 证明2
σ为2σ的无偏估计量。
2013硕士研究生入学考试
数学一
1.已知极限0
arctan lim
k
x x x
c x →-=,其中k ,c 为常数,且0c ≠,则( ) A. 12,2k c ==- B. 12,2k c == C. 13,3k c ==- D. 1
3,3
k c ==
2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为( ) A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --=
3.设1
()2
f x x =-,102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==?,令1()sin n n S x b n x π∞==∑,则9()4-=S ( )
A .34 B. 14 C. 14- D. 34
-
4.设221:1L x y +=,222:2L x y +=,223:22L x y +=,224:22L x y +=为四条逆时针方向的平面曲线,记33
()(2)(1,2,3,4)63
i
i L y x
I y dx x dy i =+
+-=?,则{}1234max ,,,I I I I = A. 1I B. 2I C. 3I D 4I 5.设A,B,C 均为n 阶矩阵,若AB=C ,且B 可逆,则( ) A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价
B 矩阵
C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价
D 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价
6.矩阵1111a a b a a ?? ? ? ???与20000000b ??
?
? ???
相似的充分必要条件为( ) A. 0,2a b == B. 0,a b = 为任意常数 C. 2,0a b == D. 2,a b = 为任意常数
7.设123,,X X X 是随机变量,且1(0,1)X N ,22(0,2)X N ,23(5,3)X N ,
{}22(1
,2,3)=-≤≤=i i P P X i ,则( ) A. 123P P P >> B. 213P P P >> C. 322P P P >> D 132P P P >> 8.设随机变量()X t n ,(1,)Y
F n ,给定(00.5)a a <<,常数c 满足{}P X c a >=,则
{}2P Y c >=( )
9.设函数y=f(x)由方程y-x=e x(1-y) 确定,则0
1lim
[()1]n n f n
→-= 。 10.已知y 1=e 3x –xe 2x ,y 2=e x –xe 2x ,y 3= –xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程的通解y = 。
11.设224
sin ()sin cos t x t d y
t y t t t dx π=
=?=?=+?为参数,则 。
12.2
1
ln (1)x
dx x +∞
=+? 。 13.设A=(a ij )是3阶非零矩阵,A 为A 的行列式,A ij 为a ij 的代数余子式.若a ij +A ij =0(i ,j=1,2,3),则|A |= 。
14.设随机变量Y 服从参数为1的指数分布,a 为常数且大于零,则P{Y ≤a+1|Y >a}= 三.解答题:
(15)(本题满分10分) 计算dx x
x f )(1
?,其中f(x)=.)
1ln(1
dt t
t x
+?
(16)(本题10分)
设数列{a n }满足条件:0123,1(1)0(2).n n a a a n n a n -=--≥=,=S (x )是幂级数
.n n n a x ∞
=∑的和函数
(1)证明:()()0;''-=S x S x (2)求().S x 的表达式
(17)(本题满分10分)
求函数的极值y
x e x y y x f ++=)3
(),(3.
(18)(本题满分10分)
设奇函数f(x)在[]1,1-上具有二阶导数,且f (1)=1,证明: (I )存在.1)(1,0='∈ξξf ),使得(
(Ⅱ)存在1,1() 1.f f ηηη'''∈-+=(),使得()
19.(本题满分10分)
设直线L 过A (1,0,0),B (0,1,1)两点将L 绕z 轴旋转一周得到曲面∑,∑与平面
0,2z z ==所围成的立体为Ω。
(1) 求曲面∑的方程; (2) 求Ω的形心坐标。 20.(本题满分11分)
设101,101a A B b ????
== ? ?????
,当a,b 为何值时,存在矩阵C 使得AC-CA=B,并求所有矩阵C 。 21.(本题满分11分)
设二次型22123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++,记123a a a α?? ?= ? ???,123b b b β??
?= ? ???
。 (1) 证明二次型f 对应的矩阵为2T T ααββ+;
(2) 若,αβ正交且均为单位向量,证明f 在正交变换下的标准形为2
21
2
2y y +。
22.(本题满分11分)
设随机变量X 的概率密度为2
1,03,()0,x x f x a ?<=?
??其他令随机变量2,1,,12,1,2x Y x x x ≤??
=<?≥?
(1) 求Y 的分布函数; (2) 求概率{}P X Y ≤.
23.(本题满分11分)
设总体X 的概率密度为23,0,
(;)0,x e x f x x θ
θθ-?>?=???
其他其中θ为未知参数且大于零,12,,n
X X X ,为来自总体X 的简单随机样本。 (1) 求θ的矩估计量; (2) 求θ的最大似然估计量。
2014年全国硕士研究生入学统一考试