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历年考研数学一真题及答案(2005-2014)

历年考研数学一真题及答案(2005-2014)
历年考研数学一真题及答案(2005-2014)

2005年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

(1)曲线1

22

+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.

(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足9

1

)1(-=y 的解为____________.

(3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{3

1=n ,则

)

3,2,1(n u

??=.________.

(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则??∑

=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.

(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵

123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,

如果1=A ,那么=B .

(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则

}2{=Y P =____________.

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数n n n x x f 31lim )(+=∞

→,则()f x 在),(+∞-∞内

(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点 (8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ?表示"M 的充分必要条件是",N 则必有

(A)()F x 是偶函数()f x ?是奇函数 (B)()F x 是奇函数()f x ?是偶函数 (C)()F x 是周期函数()f x ?是周期函数 (D)()F x 是单调函数()f x ?是单调函数

(9)设函数?+-+-++=y

x y

x dt t y x y x y x u )()()(),(ψ??, 其中函数?具有二阶导数,ψ 具有

一阶导数,则必有

(A)2222y u

x u ??-=??

(B)2222y u x u ??=??

(C)2

22y u y x u ??=

???

(D)2

22x u y x u ??=

??? (10)设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,

在此邻域内该方程

(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y = (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =

(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则

1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是

(A)01≠λ (B)02≠λ (C)01=λ (D)02=λ

(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则

(A)交换*A 的第1列与第2列得*B (B)交换*A 的第1行与第2行得*B (C)交换*A 的第1列与第2列得*-B (D)交换*A 的第1行与第2行得

*-B

(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为

已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则

(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b == (D)0.1,0.4a b ==

(14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则

(A))1,0(~N X n (B)22~()nS n χ

(C))1(~)1(--n t S

X

n (D)

2

122

(1)~(1,1)n

i

i n X F n X

=--∑

三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分)

设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分??++D

dxdy y x xy .

]1[22

(16)(本题满分12分)

求幂级数∑∞

=--+

-121))

12(1

1()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x

(17)(本题满分11分)

如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分

?'''+3

2

.

)()(dx x f x x

(18)(本题满分12分)

已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明: (1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f .

(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f

(19)(本题满分12分)

设函数)(y ?具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分

24

()22L

y dx xydy

x y φ++?

的值恒为同一常数.

(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24

()202C y dx xydy

x y φ+=+?.

(2)求函数)(y ?的表达式. (20)(本题满分9分)

已知二次型212

32221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.

(1)求a 的值;

(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解. (21)(本题满分9分)

已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ??

??=??

????B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.

(22)(本题满分9分)

设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y = 10 01,02x y x

<<<<其它

求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X .

(2)Y X Z -=2的概率密度).(z f Z (23)(本题满分9分)

设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,记

.,,2,1,n i X X Y i i =-=

求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y

2006年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)0

ln(1)

lim

1cos x x x x

→+=

-.

(2)微分方程(1)

y x y x

-'=的通解是 .

(3)

是锥

面z =(01

z ≤≤)的下侧,则

23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑

++-=?? .

(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = .

(5)设矩阵2

112??

= ?-??

A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵

B 满足2=+BA B E ,则

B = .

(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则

{}max{,}1P X Y ≤=

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ?为自变量x 在0x 处的增量,y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ?>,则

(A)0dx y <

40

0(cos ,sin )d f r r rdr π

θθθ??等于

(A)0(,)x f x y dy ??

(B)00

(,)f x y dy ??

(C)0(,)y

f x y dx ??

(C)00

(,)f x y dx ??

(9)若级数1

n n a ∞

=∑收敛,则级数

(A)1

n n a ∞=∑收敛 (B)1

(1)n n n a ∞

=-∑收敛

(C)11

n n n a a ∞

+=∑收敛 (D)1

1

2n n n a a ∞

+=+∑

收敛 (10)设(,)f x y 与(,)x y ?均为可微函数,且1(,)0y x y ?≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点,下列选项正确的是

(A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '= (B)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠ (C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '= (D)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠ (11)设12,,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ?矩阵,下列选项正确的是 (A)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (B)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性无关 (C)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性相关

(D)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性无关.

(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到

第2列得C ,记110010001??

?

= ? ???

P ,则 (A)1-=C P AP (B)1-=C PAP (C)T =C P AP (D)T =C PAP (13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有

(A)()()P A B P A > (B)()()P A B P B > (C)()()P A B P A = (D)()()P A B P B = (14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,

且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则

(A)12σσ< (B)12σσ> (C)12μμ< (D)12μμ>

三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

本题满分10分)

设区域D=(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分22

11D

xy

I dxdy x y +=++??

. 本题满分12分)

设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==.

求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之. (2)计算2

1

1lim n x n x n x x +→∞

?? ???

.

本题满分12分)

将函数()2

2x

f x x x =

+-展开成x 的幂级数

.

本题满分12分)

设函数

()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f

=满足等式

22

2

20z z

x y

??+=??. (1)验证()()

0f u f u u

'''+=. (2)若()()10,11,f f '==求函数()f u 的表达式

. 本题满分12分)

设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的0t >都有

()()2,,f tx ty t f x y =.

证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有(,)(,)0L

yf x y dx xf x y dy -=?

.

本题满分9分)

已知非齐次线性方程组

1234123412

341

435131

x x x x x x x x ax x x bx +++=-??

++-=-??++-=? 有3个线性无关的解,

(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A . (2)求,a b 的值及方程组的通解

.

本题满分9分)

设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T T

=--=-αα是线性

方程组0x =A 的两个解.

(1)求A 的特征值与特征向量.

(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T =Q AQ A

. 本题满分9分)

随机变量x 的概率密度为()()21

,1021

,02,,4

0,令其它x x f x x y x F x y ?-<

为二维随机变量(,)

X Y 的分布函数.

(1)求Y 的概率密度()Y f y .

(2)1

,42

F ??

- ??

?.

本题满分9分)

设总体X 的概率密度为(,0)F X = 10θθ- 01

12x x <<≤<其它

,其中θ是未知参数

(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的

个数,求θ的最大似然估计.

2007年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内) (1)当0x +→时,

(A)1-

(B)ln

1

(D)1- (2)曲线1ln(1e )x y x

=++,渐近线的条数为

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (3)如图,连续函数()y f x =在区间[3,2],[2,3]--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[2,0],[0,2]-的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设0()()x

F x f t dt =?.则下列结论正确的是

(A)3(3)(2)4

F F =-- (B)5(3)(2)4

F F = (C)3(3)(2)4F F = (D)5(3)(2)4

F F =-- (4)设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是 (A)若0

()

lim

x f x x

→存在,则(0)0f = (B)若0

()()

lim

x f x f x x

→+- 存在,则

(0)0f =

(C)若0

()

lim

x f x x

→ 存在,则(0)0f '= (D)若0

()()

lim

x f x f x x

→-- 存在,则

(0)0f '=

(5)设函数()f x 在(0, +∞)上具有二阶导数,且"()0f x >, 令()1,2,,,n u f n n ==则下列结论正确的是

(A)若12u u >,则{n u }必收敛 (B)若12u u >,则{n u }必发散

(C)若12u u <,则{n u }必收敛 (D)若12u u <,则{n u }必发散

(6)设曲线:(,)1L f x y =((,)f x y 具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点,N Γ为L 上从点M 到N 的一段弧,则下列小于零的是 (A)(,)x y dx Γ? (B)(,)f x y dy Γ? (C)(,)f x y ds Γ? (D)'(,)'(,)x y f x y dx f x y dy Γ+? (7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是

(A),,122331---αααααα (B),,122331+++αααααα (C)1223312,2,2---αααααα (D)1223312,2,2+++αααααα

(8)设矩阵211121112--?? ?=-- ? ?--??A ,100010000??

?

= ? ???

B ,则A 与B (A)合同,且相似 (B)合同,但不相似 (C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似

(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为()01p p <<,则此人

第4次射击恰好第2次命中目标的概率为

(A)23(1)p p - (B)26(1)p p -

(C)223(1)p p - (D)226(1)p p -

(10)设随即变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,()X f x ,()Y f y 分别表示

,X Y

的概率密度,则在Y y =的条件下,X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为

(A)()X f x (B)()Y f y (C)()X f x ()Y f y (D)

()

()

X Y f x f y

二、填空题(11-16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上)

(11)31

2

1

1e x dx x

?=_______.

(12)设(,)f u v 为二元可微函数,(,)y x z f x y =,则

z x

??=______.

(13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32e x y y y -+=的通解为y =____________. (14)设曲面:||||||1x y z ++=∑,则(||)x y ds ∑

+??=_____________.

(15)设矩阵0

1000

01000010

00

0?? ?

?

= ? ???

A ,则3A 的秩为________. (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于1

2

的概率为

________.

三、解答题(17-24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

本题满分11分)

求函数 2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)|4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值

. 本题满分10分)

计算曲面积分23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑

=++??其中 ∑为曲面2

2

1(01)4y z x z =--≤≤的上

.

本题满分11分)

设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值,()(),()()f a g a f b g b ==,证明:存在(,)a b ξ∈,使得 ()()f g ξξ''''=

. 本题满分10分) 设幂级数

n n

n a x

=∑ 在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足

240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--===

(1)证明:22

,1,2,.1

n n a a n n +=

=+

(2)求()y x 的表达式

.

本题满分11分

设线性方程组12312321

23020,40

x x x x x ax x x a x ++=??

++=??++=?与方程 12321,x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有

公共解.

本题满分11分)

设3阶实对称矩阵A 的特征向量值12311,2, 2.(1,1,1)T λλλ===-=-α是A 的属于特征值

1λ的一个特征向量,记534,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵.

(1)验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B

. 本题满分11分)

设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01

(,)0,x y x y f x y --<<<

其他

(1)求{2}.P X Y > (2)求Z X Y =+的概率密度

. 本题满分11分)

设总体X 的概率密度为1

,021

(;),12(1)0,x f x x θθθθθ?<

-????

其他 12

,,n X X X 是来自总体x 的简单随机样本,X 是样本均值

(1)求参数θ的矩估计量?θ.

(2)判断24X 是否为2θ的无偏估计量,并说明理由.

2008年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)设函数2

0()ln(2)x f x t dt =+?则()f x '的零点个数

(A)0 (B)1

(C)2 (D)3

(2)函数(,)arctan x f x y y

=在点(0,1)处的梯度等于

(A)i (B)-i (C)j (D)-j

(3)在下列微分方程中,以123cos2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是

(A)440y y y y ''''''+--= (B)440y y y y ''''''+++= (C)440y y y y ''''''--+= (D)440y y y y ''''''-+-= (4)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}n x 为数列,下列命题正确的是 (A)若{}n x 收敛,则{}()n f x 收敛 (B)若{}n x 单调,则{}()n f x 收敛 (C)若{}()n f x 收敛,则{}n x 收敛 (D)若{}()n f x 单调,则{}n x 收敛 (5)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ,则

(A)-E A 不可逆,+E A 不可逆 (B)-E A 不可逆,+E A 可逆

(C)-E A 可逆,+E A 可逆 (D)-E A 可逆,+E A 不可逆

(6)设A 为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程

(,,)1x x y z y z ?? ?

= ? ???

A 在正交变换下的标准方程的图形如图,则

A 的正特征值个数为

(A)0 (B)1 (C)2

(D)3

(7)设随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ,则{}max ,Z X Y =分布函数为 (A)()2F x (B) ()()F x F y (C) ()2

11F x --???? (D) ()()11F x F y --???????? (8)设随机变量()~0,1X N ,()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=,则 (A){}211P Y X =--= (B){}211P Y X =-= (C){}211P Y X =-+= (D){}211P Y X =+=

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程0xy y '+=满足条件()11y =的解是y = . (10)曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 .

(11)已知幂级数()0

2n

n n a x ∞

=+∑在0x =处收敛,在4x =-处发散,则幂级数()0

3n n n a x ∞

=-∑的

收敛域为 .

(12)设曲面∑

是z =的上侧,则2xydydz xdzdx x dxdy ∑

++=?? .

(13)设A 为2阶矩阵,12,αα为线性无关的2维列向量,12120,2==+A αA ααα,则A 的非零特征值为 .

(14)设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则{}2P X EX == .

三、解答题(15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

本题满分10分)

求极限()4

0sin sin sin sin lim x x x x x →-????.

本题满分10分)

计算曲线积分()2sin 221L xdx x ydy +-?,其中L 是曲线sin y x =上从点()0,0到点(),0π的一段

.

本题满分10分)

已知曲线22220

:35

x y z C x y z ?+-=?++=?,求曲线C 距离XOY 面最远的点和最近的点

.

本题满分10分) 设()f x 是连续函数,

(1)利用定义证明函数()()0x

F x f t dt =?可导,且()()F x f x '=.

(2)当()f x 是以2为周期的周期函数时,证明函数()2

002()()x

G x f t dt x f t dt =-??也是以2为周期的周期函数

. 本题满分10分)

()21(0)f x x x π=-≤≤,用余弦级数展开,并求()1

2

1

1n n n

-∞=-∑的和.

本题满分11分)

T T =+A ααββ,T α为α的转置,T β为β的转置.证明:

(1)()2r ≤A . (2)若,αβ线性相关,则()2r

本题满分11分)

设矩阵2

221

212n n

a a a

a a ???

?

?= ?

???A ,现矩阵A 满足方程=AX B ,其中()

1,

,T

n x x =X ,()1,0,,0=B ,

(1)求证()1n n a =+A .

(2)a 为何值,方程组有唯一解,求1x . (3)a 为何值,方程组有无穷多解,求通解.

本题满分11分)

设随机变量X 与Y 相互独立,X 的概率分布为{}()1

1,0,13

P X i i ===-,Y 的概率密度为()101

0Y y f y ≤≤?=?

?其它,记Z X Y =+,

(1)求102P Z X ??≤

=???

?

. (2)求Z 的概率密度.

本题满分11分)

设12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.

记11n i i X X n ==∑,22

1

1()1n i

i S X X n ==--∑,221T X S n =- (1)证明T 是2μ的无偏估计量. (2)当0,1μσ==时 ,求DT .

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有

一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2

ln 1g x x bx =-等价无穷小,则

(A)1

1,6a b ==-

(B)1

1,6a b ==

(C)1

1,6

a b =-=-

(D)1

1,6

a b =-=

(2)如图,正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =,cos k

k D I y xdxdy =??,则{}14

max k k I ≤≤=

(A)1I (B)2I (C)3I (D)4I

(3)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为

则函数()()0x

F x f t dt =?的图形为

(A) (B)

(C)

(D)

(4)设有两个数列{}{},n n a b ,若lim

0n n a →∞

=,则 (A)当1

n n b ∞=∑收敛时,1

n n n a b ∞=∑收敛. (B)当1

n n b ∞=∑发散时,1

n n n a b ∞

=∑发散.

(C)当1

n n b ∞=∑收敛时,22

1n n

n a b ∞=∑收敛. (D)当1n n b ∞=∑发散时,22

1

n n n a b ∞

=∑发散.

(5)设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基,则由基12311,,23

ααα到基

122331,,+++αααααα的过渡矩阵为

(A)101220033??

?

? ???

(B)120023103??

?

? ???

(C)1

112461

112461112

4

6??- ? ? ?

-

? ? ?- ???

(D)1112221114441116

6

6??-

? ?

?- ? ? ?- ???

(6)设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3==A B ,则分块矩阵

O A B O ?? ???

的伴随矩阵为

(A)**32O B A

O ?? ???

(B)**

23O

B A

O ??

???

(C)*

*32O A B

O ??

???

(D)*

*

23O A B

O ??

???

(7)设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -??

=Φ+Φ ???

,其中()x Φ为标准正态分布函数,则EX =

(A)0 (B)0.3 (C)0.7 (D)1

(8)设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为

{}{}1

012

P Y P Y ====

,记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断点个数为

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

(9)设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数,(),z f x xy =,则2z

x y

?=?? .

(10)若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12e x

y C C x =+,则非齐

次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = . (11)

已知曲线(2

:0L y x x =≤≤,则L xds =? .

(12)设(){}2

2

2

,,1x y z x y z Ω=++≤,则2

z dxdydz Ω

=??? .

(13)若3维列向量,αβ满足2T =αβ,其中T α为α的转置,则矩阵T βα的非零特征值为 .

(14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量,则k = .

三、解答题(15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分9分)

求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.

(16)(本题满分9分)

设n a 为曲线n

y x =与()1

1,2,.....n y x n +==所围成区域的面积,记122111

,n n n n S a S a ∞

-====∑∑,求

1S 与2S 的值.

(17)(本题满分11分)

椭球面1S 是椭圆22

143x y +=绕x 轴旋转而成,圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆

22

143

x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. (1)求1S 及2S 的方程. (2)求1S 与2S 之间的立体体积.

(18)(本题满分11分)

(1)证明拉格朗日中值定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 可导,则存在

(),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.

(2)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且()0lim x f x A +

→'=,则()

0f +'存在,且()0f A +'=

(19)(本题满分10分) 计算曲面积分()

32

222

xdydz ydzdx zdxdy

I x

y z

++=∑

++??

,其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.

(20)(本题满分11分)

设111111042--??

?=- ? ?

--??

A ,1112-?? ?= ? ?-??ξ (1)求满足21=A ξξ的2ξ.231=A ξξ的所有向量2ξ,3ξ. (2)对(1)中的任意向量2ξ,3

ξ证明123,,ξξξ无关.

(21)(本题满分11分)

设二次型()()222

1231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.

(1)求二次型f 的矩阵的所有特征值; (2)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的

值.

(22)(本题满分11分)

袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.

(1) 求{}10p X Z ==. (2)求二维随机变量(),X Y 概率分布

(23)(本题满分11 分)

设总体X 的概率密度为2,0

()0,x xe x f x λλ-?>=??其他

,其中参数(0)λλ>未知,1X ,2X ,…n X 是

来自总体X 的简单随机样本.

(1)求参数λ的矩估计量.

(2)求参数λ的最大似然估计量.

2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)极限2

lim ()()x

x x x a x b →∞????-+??

= (A)1 (B)e (C)e a b - (D)e b a -

(2)设函数(,)z z x y =由方程(,)0y z

F x x

=确定,其中F 为可微函数,且20,F '≠则

z z

x

y x y

??+??= (A)x (B)z (C)x - (D)z - (3)设,m n 为正整数,

则反常积分0

?

的收敛性

(A)仅与m 取值有关 (B)仅与n 取值有关 (C)与,m n 取值都有关 (D)与,m n 取值都无关 (4)22

11lim ()()

n

n

x i j n

n i n j →∞

==++∑∑

= (A)12

00

1

(1)(1)

x

dx dy x y ++?? (B)100

1

(1)(1)

x

dx dy x y ++??

(C)11

00

1

(1)(1)

dx dy x y ++??

(D)1

1

200

1

(1)(1)

dx dy x y ++?? (5)设A 为m n ?型矩阵,B 为n m ?型矩阵,若,=AB E 则

(A)秩(),m =A 秩()m =B (B)秩(),m =A 秩()n =B (C)秩(),n =A 秩()m =B (D)秩(),n =A 秩()n =B (6)设A 为4阶对称矩阵,且20,+=A A 若A 的秩为3,则A 相似于

(A)1110??

?

? ? ?

??

(B)1110??

?

? ?- ?

??

(C)1110??

?

- ? ?- ?

??

(D)1110-??

?

- ? ?- ?

??

(7)设随机变量X

的分布函数()F x = 00

101,2

1e 2

x x x x -<≤≤->则{1}P X ==

(A)0 (B)1 (C)11e 2

-- (D)11e --

(8)设1()f x 为标准正态分布的概率密度2,()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度,

()f x =

12()

()af x bf x

x x ≤> (0,0)a b >>

为概率密度,则,a b 应满足

(A)234a b += (B)324a b += (C)1a b += (D)2a b +=

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

(9)设2

0e ,ln(1),t

t

x y u du -==+?求220

t d y

dx == .

(10)2

π?= .

(11)已知曲线L 的方程为1{[1,1]},y x x =-∈-起点是(1,0),-终点是(1,0), 则曲线积分2L xydx x dy +?= .

(12)设22{(,,)|1},x y z x y z Ω=+≤≤则Ω的形心的竖坐标z = .

(13)设123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,),T T T α=-==ααα若由123,,ααα形成的向量空间的维数是2,则α= .

(14)设随机变量X 概率分布为{}(0,1,2,),!

C

P X k k k ==

=则2EX = .

三、解答题(15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)

求微分方程322e x y y y x '''-+=的通解.

(16)(本题满分10分)

求函数2

21()()e x

t f x x t dt -=-?的单调区间与极值.

(17)(本题满分10分)

(1)比较1

0ln [ln(1)]n

t t dt +?与1

0ln (1,2,)n t t dt n =?的大小,说明理由

(2) 记1

0ln [ln(1)](1,2,),n

n u t t dt n =+=?求极限lim

.n x u →∞

(18)(本题满分10分)

求幂级数1

21(1)

21

n n n x n -∞=--∑的收敛域及和函数.

(19)(本题满分10分)

设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的动点,若S 在点P 的切平面与xoy 面垂直,求P 点的轨迹,C

并计算曲面积分,I ∑

=其中∑是椭球面S 位于曲线C 上方

的部分.

(20)(本题满分11分)

设11010,1,111a λλλ????

? ?

=-= ? ? ? ?????

A b 已知线性方程组=A x b 存在两个不同的解. (1)求,.a λ

(2)求方程组=A x b 的通解.

(21)(本题满分11分)

设二次型123(,,)T f x x x =A x x 在正交变换x y =Q 下的标准形为22

12,y y +且Q

的第三列为

(

).22

T (1)求.A

(2)证明+A E 为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵.

(22)(本题满分11分)

设二维随机变量()X Y +的概率密度为22

22(,)e ,,,x xy y f x y A x y -+-=-∞<<∞-∞<<∞求常

数及A 条件概率密度|(|).Y X f y x

(23)(本题满分11 分) 设总体X 的概率分布为

其中(0,1)θ∈未知,以i N 来表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3),i =试求常数123,,,a a a 使3

1

i i i T a N ==∑为θ的无偏估计量,并求T 的方差.

2011年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

1、

曲线432)4()3()2)(1(----=x x x x x y 的拐点是( )

A (1,0)

B (2,0)

C (3,0)

D (4,0)

2、设数列{}n a 单调减少,且0lim

=∞

→n n a 。∑==n

i i n a S 1

无界,则幂级数n n n x a )1(1

-∑∞

=的收敛域为( )

A ]11-(

B )11[-

C )20[

D ]20( 3、

设函数)(x f 具有二阶连续的导数,且0)(>x f .0)0(='f 。则函数)()(ln y f x f z =在

点)0,0(处取得极小值的一个充分条件是( )

A 0)0(1)0(>''>f f

B 0)0(1)0(<''>f f

C 0)0(1)0(>''

D 0)0(1)0(<''

4、设?=40sin ln π

xdx I ?=40cot ln π

xdx J ?=40cos ln π

xdx K ,则 K J I 的大小关系是( )

A K J I <<

B J K I <<

C K I J <<

D I J K <<

5、设A 为3阶矩阵,把A 的第二列加到第一列得到矩阵B ,再交换B 的第二行与第

3行得到单位阵E ,记????? ??=1000110011P ,????

?

??=010*******P ,则A=( )

A 21P P

B 211P P -

C 12P P

D 112P P -

6、设)(4321αααα=A 是4阶矩阵,*A 为A 的伴随矩阵。若T )0,1,0,1(是0=Ax 的一个基础解系,则0*=x A 的基础解系可为( )

A 31αα

B 21αα

C 321ααα

D 432ααα 7、设)()(21x F x F 为两个分布函数,且连续函数)()(21x f x f 为相应的概率密度,则必为概率密度的是( )

A )()(21x f x f

B )()(212x F x f

C )()(21x F x f

D )()(21x F x f +)()(12x F x f

8、设随机变量Y X ,相互独立,且EY EX ,都存在,记{}Y X U ,max ={}Y X V ,min =,则=EUV ( )

A EV EU ?

B EY EX ?

C EY EU ?

D EV EX ?

二、填空题:9—14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定的位置上。

9、曲线)4

0(tan 0π

≤≤=?x tdt y x

的弧长为_____________

10、微分方程x e y y x cos =+'满足条件0)0(=y 的解为________________ 11、设函数dt t t y x F xy

?+=0

21sin ),(,则______________|2

022=??==y x x F

12、设L 是柱面方程122=+y x 与平面y x z +=的交线,从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分_________2

2

=++?dz y xdy xzdx L

13、若二次曲面的方程42223222=+++++yz xz axy z y x ,经正交变换化为42221=+y y ,则_______=a

14、设二维随机变量)0,,,,(~),(22σσμμN Y X ,则____________)(2=XY E

三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上,解答应

写出文字说明,证明过程或演算步骤。

(本题满分10分) 求极限1

1

0)

)1ln((lim

-→+x e x x x

(本题满分9分)

设函数))(,(x yg xy f z =,其中f 具有二阶连续的偏导数,函数)(x g 可导且在1=x 处取得

极值1)1(=g .求11

2|==???y x y x z

17、(本题满分10分)

求方程0arctan =-x x k 的不同实根的个数,其中k 为参数。

18、(本题满分10分)

①证明:对任意的正整数n ,都有

n

n n 1

)11ln(11<+<+成立; ②设......)2,1(ln 1............

2

1

1=-+++=n n n

a n ,证明数列{}n a 收敛.

19、(本题满分11分)

已知函数),(y x f 具有二阶连续的偏导数,且??===D

a dxdy y x f x f y f ),(,0)1,(),1(,其中

{}10,10|),(≤≤≤≤=y x y x D 计算二重积分??''D

xy

dxdy y x f xy ),(

20、(本题满分11分)

设向量组T )1,0,1(1=α,T )1,1,0(2=α,T )5,3,1(3=α不能由向量组T )1,1,1(1=β,T )3,2,1(2=β,

T a ),4,3(3=β线性表示;

(1) 求a 的值;

(2) 将321,,βββ用321,,ααα线性表示;

21、(本题满分11分)

A 为3阶实对称矩阵,A 的秩为2,且???

?

?

??-=????? ??11001111-0011A

求(1)A 的特征值与特征向量 (2) 矩阵A

22、(本题满分11分)

设随机变量X 与Y 的概率分布分别为

且{}122==Y X P

求(1)二维随机变量(X ,Y )的概率分布; (2)XY

Z

=的概率分布

(3)X 与Y 的相关系数XY ρ

23、(本题满分11分)

设n X X X 21,是来自正态总体),(20σμN 的简单随机样本,其中0μ已知,02>σ未知.2,S X 为样本均值和样本方差.

求(1)求参数2

σ的最大似然估计Λ

2

σ

(2) 计算E Λ

2σ和D Λ2

σ

2012年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1)曲线221

x x

y x +=-渐近线的条数为()

(A )0 (B )1 (C )2 (D )3

(2)设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---,其中n 为正整数,则'(0)f =

(A )1(1)(1)!n n --- (B )(1)(1)!n n -- (C )1(1)!n n -- (D )(1)!n n - (3)如果(,)f x y 在()0,0处连续,那么下列命题正确的是( ) (A )若极限00

(,)

lim

x y f x y x y

→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (B )若极限2200(,)

lim x y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微

(C )若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限00(,)

lim x y f x y x y →→+存在

(D )若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限2200

(,)

lim x y f x y x y →→+存在

(4)设2k

x k e

I e

=?

sin x d x (k=1,2,3),则有D

(A )I 1< I 2

(B) I 2< I 2< I 3. (C) I 1< I 3

(5)设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-????????

? ? ? ?===-= ? ? ? ? ? ? ? ?????????

其中1234,,,c c c c 为任意常数,则下列向量组线性相关的是( )

(A )123,,ααα (B )124,,ααα (C )134,,ααα (D )234,,ααα

(6)设A 为3阶矩阵,P 为3阶可逆矩阵,且1112P AP -??

?= ? ???

,()123,,P ααα=,()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=( )

(A )121?? ? ? ??? (B )112?? ? ? ???

(C )212?? ? ? ??? (D )221??

? ? ???

(7)设随机变量x 与y 相互独立,且分别服从参数为1与参数为4的指数分布,则

{}=

112

4

()

()

() ()

5

35

5A B C D

(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为()

1)(2

1)(2

1)

(1)(--

D C B A

二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)若函数)(x f 满足方程0)(2)()('''=-+x f x f x f 及x e x f x f 2)()('=+,则)(x f =________。 (10

)2

0? ________。 (11)(2,1,1)

grad z xy y

?

?+ ?

?? ________。

(12)设(){},0,0,0,1,,∑≥≥≥=++=z y x z y x z y x 则??∑

=ds y 2________。

(13)设X 为三维单位向量,E 为三阶单位矩阵,则矩阵T xx E -的秩为________。

(14)设,,A B C 是随机事件,,A C 互不相容,1()2P AB =,1

()3

P C =,则()P AB C -=________。

三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

10分)

证明:2

1ln cos 1,1112x x x x x x ++≥+-<<-

10分)

求()22

,2

x y f x y xe +=-的极值。

(17)(本题满分10分) 求幂级数0n ∞

=∑

244321

n n n +++x 2n

的收敛域及和函数

(18)(本题满分10分) 已知曲线???

?

?<≤??

?==20cos )(:πt t y t f x L ,其中函数)(t f 具有连续导数,且0)0(=f ,

??

? ??

<<>200)(πt t f 。若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1,求函数)(t f 的表达式,并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。

(19)(本题满分10分)

已知L 是第一象限中从点()0,0沿圆周2

2

2x y x +=到点()2,0,再沿圆周2

2

4x y +=到点

()0,2的曲线段,计算曲线积分()

22=32L

J x ydx x x y dy ++-?。

(20)(本题满分10分)

设1

000

1000100

1a a A a a

?? ?

?= ?

???,1100b ?? ?- ?= ? ???

(Ⅰ)求A

(Ⅱ)已知线性方程组Ax b =有无穷多解,求a ,并求Ax b =的通解。

(21)(本题满分10分)三阶矩阵10101110A a ??

?= ?

?-??

,T A 为矩阵A 的转置,已知()2T

r A A =,且二次型T T f x A Ax =。

1)求a 2)求二次型对应的二次型矩阵,并将二次型化为标准型,写出正交变换过程。

(22)(本题满分10分)

已知随机变量,X Y 以及XY 的分布律如下表所示,

求:(1)()2P X Y =; (2)()cov ,X Y Y -与XY ρ.

(23)(本题满分11分)

设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布()2,N μσ与()2,2N μσ,其中σ是未知参数且0σ>,设Z X Y =-, (1) 求z 的概率密度()2,f z σ;

(2) 设12,,n z z z 为来自总体Z 的简单随机样本,求2σ的最大似然估计量2

σ; (3) 证明2

σ为2σ的无偏估计量。

2013硕士研究生入学考试

数学一

1.已知极限0

arctan lim

k

x x x

c x →-=,其中k ,c 为常数,且0c ≠,则( ) A. 12,2k c ==- B. 12,2k c == C. 13,3k c ==- D. 1

3,3

k c ==

2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为( ) A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --=

3.设1

()2

f x x =-,102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==?,令1()sin n n S x b n x π∞==∑,则9()4-=S ( )

A .34 B. 14 C. 14- D. 34

-

4.设221:1L x y +=,222:2L x y +=,223:22L x y +=,224:22L x y +=为四条逆时针方向的平面曲线,记33

()(2)(1,2,3,4)63

i

i L y x

I y dx x dy i =+

+-=?,则{}1234max ,,,I I I I = A. 1I B. 2I C. 3I D 4I 5.设A,B,C 均为n 阶矩阵,若AB=C ,且B 可逆,则( ) A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价

B 矩阵

C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价

D 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价

6.矩阵1111a a b a a ?? ? ? ???与20000000b ??

?

? ???

相似的充分必要条件为( ) A. 0,2a b == B. 0,a b = 为任意常数 C. 2,0a b == D. 2,a b = 为任意常数

7.设123,,X X X 是随机变量,且1(0,1)X N ,22(0,2)X N ,23(5,3)X N ,

{}22(1

,2,3)=-≤≤=i i P P X i ,则( ) A. 123P P P >> B. 213P P P >> C. 322P P P >> D 132P P P >> 8.设随机变量()X t n ,(1,)Y

F n ,给定(00.5)a a <<,常数c 满足{}P X c a >=,则

{}2P Y c >=( )

9.设函数y=f(x)由方程y-x=e x(1-y) 确定,则0

1lim

[()1]n n f n

→-= 。 10.已知y 1=e 3x –xe 2x ,y 2=e x –xe 2x ,y 3= –xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程的通解y = 。

11.设224

sin ()sin cos t x t d y

t y t t t dx π=

=?=?=+?为参数,则 。

12.2

1

ln (1)x

dx x +∞

=+? 。 13.设A=(a ij )是3阶非零矩阵,A 为A 的行列式,A ij 为a ij 的代数余子式.若a ij +A ij =0(i ,j=1,2,3),则|A |= 。

14.设随机变量Y 服从参数为1的指数分布,a 为常数且大于零,则P{Y ≤a+1|Y >a}= 三.解答题:

(15)(本题满分10分) 计算dx x

x f )(1

?,其中f(x)=.)

1ln(1

dt t

t x

+?

(16)(本题10分)

设数列{a n }满足条件:0123,1(1)0(2).n n a a a n n a n -=--≥=,=S (x )是幂级数

.n n n a x ∞

=∑的和函数

(1)证明:()()0;''-=S x S x (2)求().S x 的表达式

(17)(本题满分10分)

求函数的极值y

x e x y y x f ++=)3

(),(3.

(18)(本题满分10分)

设奇函数f(x)在[]1,1-上具有二阶导数,且f (1)=1,证明: (I )存在.1)(1,0='∈ξξf ),使得(

(Ⅱ)存在1,1() 1.f f ηηη'''∈-+=(),使得()

19.(本题满分10分)

设直线L 过A (1,0,0),B (0,1,1)两点将L 绕z 轴旋转一周得到曲面∑,∑与平面

0,2z z ==所围成的立体为Ω。

(1) 求曲面∑的方程; (2) 求Ω的形心坐标。 20.(本题满分11分)

设101,101a A B b ????

== ? ?????

,当a,b 为何值时,存在矩阵C 使得AC-CA=B,并求所有矩阵C 。 21.(本题满分11分)

设二次型22123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++,记123a a a α?? ?= ? ???,123b b b β??

?= ? ???

。 (1) 证明二次型f 对应的矩阵为2T T ααββ+;

(2) 若,αβ正交且均为单位向量,证明f 在正交变换下的标准形为2

21

2

2y y +。

22.(本题满分11分)

设随机变量X 的概率密度为2

1,03,()0,x x f x a ?<

??其他令随机变量2,1,,12,1,2x Y x x x ≤??

=<

(1) 求Y 的分布函数; (2) 求概率{}P X Y ≤.

23.(本题满分11分)

设总体X 的概率密度为23,0,

(;)0,x e x f x x θ

θθ-?>?=???

其他其中θ为未知参数且大于零,12,,n

X X X ,为来自总体X 的简单随机样本。 (1) 求θ的矩估计量; (2) 求θ的最大似然估计量。

2014年全国硕士研究生入学统一考试

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