第三章行波法与积分变换法 」 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 J 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 」 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 作如下代换; X at, X at 利用复合函数求导法则可得 同理可得 2 a 2(￡ 代入(1)可得 =0o u(x,t) F( ) G( ) F(X at) G(X at) 这里F,G 为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 F(X ) G(X ) (X ), aF (X ) aG (X ) (X ). X 2 u -2 )(」 2 2」 2 u ~2 先对求积分，再对 求积分，可得u(X,t)d 的一般形式 § 3.1 一维波动方程的达朗贝尔 (D 'alembert )公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题: 2 u 下 u 2 2 u a 2 ， X (X), u 0, (1) (X ),- (2) 2 ■4), (3)
由(3)第二式积分可得 1 X F(x) G(x) - 0 (t)dt C , a 0 利用(3)第一式可得 所以，我们有 1 1 x at u(x,t) [ (x at) (x at)] (t)dt 2 2a x at 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、 特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 AU xx 2BU xy CU yy DU x EU y Fu 0 称下常微分方程为其特征方程 A(dy)2 2Bdxdy C(dx)2 0。 由前面讨论知道，直线x at 常数为波动方程对应特征方程的积分曲线， 称为特征线。已知，左行波F(x at)在特征线x at G 上取值为常数值F(CJ ， 右行波G(x at)在特征线x at C 2上取值为常数值G(C 2)，且这两个值随着特 征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换( 2)为特征 变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、 公式的物理意义 由 U(x,t) F (x at) G(x at) 其中F(x at)表示一个沿x 轴负方向传播的行波，G(x at)表示一个沿x 轴正方 向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。 四、 依赖区间、决定区域、影响区域 F(x) 1 2(X ) 2a (t)dt G(x) (x) 1 x 2a o (t)dt (4)
补充：（习题2.1 ） 10．求解无限长理想传输线上电压和电流的传播情况，设始电压分布为kx cos A ，初始电流分布为 kx A L C cos 。 解：（1）电压的传播情况： 传输线方程：02=-xx tt v a v ，式中LC a 1 2 =。 初始条件： ?? ? ? ?==--=-======)(sin )sin ()1(1 )(cos 00 0x kx aAk kx Ak L C C j C v x kx A v t x t t ψ? 由达朗伯公式有： ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x v ξξψ??)(21)]()([21),( )](cos )(cos [21at x k A at x k A -++=?+-+at x at x d k aA a ξξsin 21 )](cos )(cos [21at x k A at x k A -++=)](cos )(cos [2 at x k at x k A -++-+ )(cos at x k A -= （2）电流的传播情况： 传输线方程：02=-xx tt j a j ，式中LC a 1 2 = ，初始条件： ??? ??? ?==-======)(sin 1 )(cos 000 x kx L Ak v L j x kx A L C j t x t t t ψ? 应用一维无界空间解达朗伯公式： )](cos )(cos [21),(at x k A L C at x k A L C t x j -++=?+-+at x at x d k L Ak a ξξsin 21 )](cos )([cos 2at x k at x k L C A -++= )]cos()(cos [2at x at x k A L LC -++-+ )(cos at x k A L C -= 11．在G/C=R/L 条件下求无限长传输线上的电报方程的通解。 解：关于j 和v 的电报方程为
第三章 行波法与积分变换法 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2222222 2ηηξξ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 ). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3）
由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x += -?0)(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得 . 2 )(21)(21)(, 2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx 称下常微分方程为其特征方程 0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。 由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、公式的物理意义 由 )()(),(at x G at x F t x u -++= 其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波， )(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。 四、依赖区间、决定区域、影响区域 由方程的解（4）可以看出，解在（x,t ）点的数值由x 轴上区间[x-at,x+at]
第三章 行波法与积分变换法 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2 2222222ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知
). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x += -?0)(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得 .2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx 称下常微分方程为其特征方程 0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。 由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、公式的物理意义 由 )()(),(at x G at x F t x u -++= 其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波， )(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。
数学物理方法 泰山医学院 于承斌 cbyu@https://www.doczj.com/doc/1314118977.html,
第十四章行波法与达朗贝尔公式 14.1 二阶线性偏微分方程的通解 对于给定的偏微分方程，一般不能简单的确定通解， 但对简单的标准形式的方程或一个标准形式进一步化简后， 有的可以得到通解。
例14.1.1 求偏微分方程的通解为:板书讲解P280 例14.1.2 求偏微分方程的通解为:板书讲解P281 14.2 二阶线性偏微分方程的行波解 通解法中有一种特殊的解法――行波法, 即以自变量的线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方程 类型的求解十分有效.
1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程 为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的简单二阶线性偏微分方程 xx xy yy au bu cu ++=(14.2.1) 方程中的系数 ,,a b c 为实常数． ,,a b c (,)x y （说明：这里我们用了小写字母 表示它是实常数，而不是 的函数）
假设方程的行波解具有下列形式 (,)() u x y F y x λ=+代入方程即得 2 ()()()0 a F y x b F y x cF y x λλλλλ′′′′′′+++++=需要求方程的非零解，故2 a b c λλ++=(14.2.2) ''()0 F y x λ+≠上述方程变为
(i) 2 40 b a c ?=?>12(,)()() u x y F y x G y x λλ=+++(14.2.3) 2 40 b a c ?=?=(ii) 122b a λλ==? 对应于抛物型方程，式(14.2.2)有相等的实根11(,)()() u x y F y x xG y x λλ=+++(14.2.4) 对应于双曲型方程，式(14.2.2)有两个不同的实根12 ,λλ
第三章 行波法与积分变换法 (第十三讲) 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2 2222222ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 ). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3）
由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x +=-?0 )(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得 . 2 )(21)(21)(, 2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 例 求解柯西问题： ?????+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202 x u x u x y u u u y y y yy xy xx 解：其特征方程为 0)(32)(22=--dx dxdy dy 由此可得特征线方程为 d y x c y x =+=-3 因此作变换 ?? ?+=-=y x y x μξ, 3 从而可得 η ξ???u 2＝0 从而有 )()3(),(y x G y x F y x u ++-= 由初始条件可得 )()3(3)()3(' ' 2=+-=+x G x F x x G x F 所以有 C x G x F =-)(3)3(，
行波法与达朗贝尔公式 我们已经熟悉常微分方程的常规解法：先不考虑任何附加条件，从方程本身求出通解，通解中含有任意常数（积分常数），然后利用附加条件确定这些常数。偏微分方程能否仿照这种办法求解呢？ （一）达朗贝尔公式 试研究均匀弦的横振动方程（7-1-6）、均匀杆的纵振动方程（7-1-9）、理想传输线方程（7-1-14），它们具有同一形式 即 （7-4-1） （1）通解 方程（7-4-1）的形式提示我们作代换 （7-4-2） 因为在这个代换下， 方程（7-4-1）就成为 。但为了以后的书写便利，把代换（7-4-2） 修改为 ,0 2 2 2 22 =??? ????-??u x a t . 0 =??? ????-????? ????+?? u x a t x a t , ),(ηξηξ-=+=t a x , x a t x x t t ??+??=????+????=??ξξξ, ??? ????-?? -=?? ??+????=?? x a t x x t t ηηη0 ) /(2 =???u ηξ
即 在此代换下，方程（7-4-1）化为 （7-4-3） 就很容易求解了。 先对 积分，得 （7-4-4） 其中 是任意函数。再对 积分，就得到通解 （7-4-5） 其中 和 都是任意函数。 式（7-4-5）就是偏微分方程（7-4-1）的通解。不同于常微分方程的情况，式中出现任意函数而不是任意常数。 通解（7-4-5）具有鲜明物理意义。以 而论，改用以速度 沿 正方向移动的坐标轴 ，则新旧坐标和时间之间的关系为 而 与时间 T 无关。这就是说，函数的图象在动坐标系中保持不变，亦即是随着动 坐标系以速度 沿 正方向移动的行波。同理，是以速度 沿 负方向移动的行波。 这样，偏微分方程（7-4-1）描写以速度 向两方向传播的行波。 ?????? ? -=+=),(21),(21ηξηξa t x ?? ?-=+=., at x at x ηξ, 0 2 =???η ξu η ) ( ξξ f u =??f ξ ), ()( ) ()()()(21212at x f at x f f f f d f u -++=+=+= ? ηξηξξ1 f 2 f ) (2at x f -a x X ?? ?=-=,,t T at x X ), ()(22X f at x f =-a x ) (1at x f +a x a
第三章 行波法与积分变换法 (第十三讲 ) 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ?? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 222222 22))((,ηηξξ ηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2222222 2ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对求积分，再对求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 ). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x +=-?0 )(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得
.2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 例 求解柯西问题： ?????+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202 x u x u x y u u u y y y yy xy xx 解：其特征方程为 0)(32)(22=--dx dxdy dy 由此可得特征线方程为 d y x c y x =+=-3 因此作变换 ?? ?+=-=y x y x μξ, 3 从而可得 η ξ???u 2＝0 从而有 )()3(),(y x G y x F y x u ++-= 由初始条件可得 )()3(3)()3(' ' 2=+-=+x G x F x x G x F 所以有 C x G x F =-)(3)3(， 从而可得 C x x G C x x F +=-=4 3)(4 9)3(2 2
第三章行波法与积分变换法 在第二章中，讨论了分离变量法，它是求解有限区域内定解问题的一个常用方法，只要求解的区域很规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示），对三种典型的方程均可运用。本章介绍另外两个求解定解问题的方法，一是行波法，一是积分变化法。行波法只能用于求解无界域内波动方程的定解问题，积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无界域，但对有界域也能应用。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D’Alembert） 要求一个常微分方程的特解，惯用的方法是先求出它的通解，然后利用初始条件确定通解中的任意常数得到特解。对于偏微分方程能否采用类似的方法呢？一般来说是不行的，原因之一是在偏微分方程中很难定义通解的概念，原因之二是即使对某些方程能够定义并求出它的通解，但此通解中包含有任意函数，要由定解条件确定出这些任意函数是会遇到很大困难的。但事情不是绝对得，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的通解（指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。本节就一维波动方程来建立它的通解公式，然后由它得到初值问题解的表达式。 对于一维波动方程
22 222 u u a t x ??=?? （3.1） 作如下代换： x at x at ξη=+?? =-? （3.2） 利用复合函数微分法则，得 u u u u u x x x ξηξηξη ???????=+=+??????? 222 2 2 22 ()()2u u u u u x x x u u u ξη ξξηηξηξξηη?????????=+++????????????= ++???? （3.3） 同理有 22222 2 2 222 ()()[ 2]u u u u u a a t u u u a ξξηηξηξξηη ???????=---??????????=-+???? （3.4） 将（3.3）及（3.4）代入（3.1）得 20u ξη ?=?? （3.5） 将（3.5）式对η积分得 ()u f ξξ ?=?，（()f ξ是ξ的任意可微函数） 在对此式对ξ积分得 212(,)()()()()u x t f d f f x at f x at ξξη=+=++-? （3.6） 其中1f ，2f 都是任意二次连续可微函数。（3.6）式就是方程（3.1）得通解（包含两个任意函数的解）。 在各个具体问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数1f ，
第三章 行波法 §3.1 达朗贝尔公式（P150-152） 1．确定下列初值问题的解 （1）()()20,,00,,01tt xx t u a u u x u x -=== 解：因为 ()()0,1x x ?ψ== 由达朗贝尔公式有： ()()() ()1 ,2 2x at x at x at x at u x t d a ??ψαα+--++= + ? =t （2）()()220,,0sin ,,0tt xx t u a u u x x u x x -=== 解：因为 ()()2 s i n ,x x x x ?ψ== 由达朗贝尔公式有： ()()() ()1 ,2 2x at x at x at x at u x t d a ??ψαα+--++= + ? =2231 sin cos 626x at x at a t a ?? + +? ? =2231sin cos 3 x at x t a t ++ （3）()()230,,0,,0tt xx t u a u u x x u x x -=== 解：因为 ()()3,x x x x ?ψ== 由达朗贝尔公式有： ()()() ()1 ,2 2x at x at x at x at u x t d a ??ψαα+--++= + ? = ()() 1 cos cos 1 2 2x at x at x at x at e d a α+---+++ ? =1cos cos x at e t -+ 2．求解无界弦的自由振动，设弦的初始位移为()x ?，初始速度为()'a x ?-。 解：该问题的数学模型为：
()()()( ) 2 ' ,,0,0,,0t t x x t u a u x t u x x u x a x ???=-∞<<+∞>?? ==-?? 由达朗贝尔公式： ()()() ()' 1,2 2x at x at x at x at u x t a d a ???αα+--++= + -? =()x at ?- 2．求解弦振动方程的古沙问题 ()()()( )()(),,,,tt xx u u u x x x x u x x x x ?ψ=? ? -=-∞<<+∞??=-∞<<+∞ ? 解：该方程的通解为： ()()()12,u x t f x t f x t =++- （1） 令：t x =- ()()()1202x f f x ?=+ 令： t x = ()()()1220x f x f ψ=+ 令2y x =，则有： ()()()()12210202y f y f y f y f ψ??? ? =- ?????? ? ? ?=- ???? ? 所以： ()()1102x t f x t f ψ+??+=- ???，()()2202x t f x t f ?-?? -=- ??? ()()()12,0022x t x t u x t f f ψ?+-???? =+-+?? ? ??????? 又 ()()121(0)(0)002 f f ?ψ+=+???? 所以古沙问题解为： ()()() 00,22 2x t x t u x t ?ψψ?++-????=++ ? ????? 3．求解无限长理想传输线上电压和电流的传播情况。设初始电压分布为 cos A kx cos kx 。
第二章数学物理方程的解 §2.1 行波法 达朗贝尔公式 读者已经熟悉常微分方程的常规解法：先不考虑任何附加条件，从方程本身求出通解，通解中含有任意常数（积分常数），然后利用附加条件确定这些常数。偏微分方程能否仿照这种办法求解呢？ （一）达朗贝尔公式 试研究均匀弦的横振动方程（7-1-6）、均匀杆的纵振动方程（7-1-9）、理想传输线方程（7-1-14），它们具有同一形式 即 （7-4-1） （1）通解 方程（7-4-1）的形式提示我们作代换 （7-4-2） 因为在这个代换下， 方程（7-4-1）就成为。 但为了以后的书写便利，把代换（7-4-2） 修改为 ,0 2 2 222=??? ????-??u x a t . 0 =??? ????-????? ????+?? u x a t x a t , ),(ηξηξ-=+=t a x , x a t x x t t ??+??=????+????=??ξξξ, ??? ????-??-=????+????=??x a t x x t t ηηη0) /(2=???u ηξ
即 在此代换下，方程（7-4-1）化为 （7-4-3） 就很容易求解了。 先对积分，得 （7-4-4） 其中是任意函数。再对积分，就得到通解 （7-4-5） 其中 和都是任意函数。 式（7-4-5）就是偏微分方程（7-4-1）的通解。不同于常微分方程的情况，式中出现任意函数而不是任意常数。 通解（7-4-5）具有鲜明物理意义。以 而论，改用以速度沿正方 向移动的坐标轴，则新旧坐标和时间之间的关系为 而 与时间T 无关。这就是说，函数的图象在动坐标系中保持不变，亦即是随着动坐标系以速度沿正方向移动的行波。同理，是以速度沿负方向 移动的行波。 这样，偏微分方程（7-4-1）描写以速度向两方向传播的行波。 ?????? ?-=+=),(21),(21ηξηξa t x ?? ?-=+=., at x at x ηξ,0 2=???ηξu η )( ξξf u =??f ξ), ()( )()()()(21212at x f at x f f f f d f u -++=+=+=?ηξηξξ1f 2f )(2at x f -a x X ?? ?=-=, ,t T at x X ),()(22X f at x f =-a x )(1at x f +a x a
第七章 行波法和积分变换法 7.2 基础训练 7.2.1 例题分析 一、行波法 例1 求解下列初值问题 () 2 1 000 ,0(,)|cos , (,)|. tt xx t t t u a u x t u x t x u x t e -==?-=-∞<<∞>?? ==?? 解 本题中1()cos ,(),x x x e ?ψ-== 直接应用D ’Alembert 公式（7.2）有 []1 11(,)cos()cos()22cos()cos x at x at u x t x at x at e d a t at x e ξ+--=++-+=+? 例2 试求解有阻尼的波动方程的初值问题 () 220020(1)(,)|(), (,)|() (2) tt xx t t t t v a v v v x v x t x v x t x εε?ψ==-++=-∞<<∞== 解 问题中的泛定方程与无界弦的自由振动相比，多了阻尼项，故不能直接运用D ’Alembert 公式求解。但对于阻力的作用，常常可表示为其解中带一个随时间呈指数衰减的因子，故可令 ()(,)(,) 0t v x t e u x t ββ-=> （3） 其中β为一待定参数，于是 ()2,2, t t t t tt tt t xx xx u v e u v e u u u v e u t ββββββ---???=-=-+= ???? 代入阻尼振动方程（1），得 ()() 222 220tt xx t u a u u u εβεεββ-+-+-+= 显然，若取βε=，则上式变成标准波动方程 20tt xx u a u -= （4） 将变换（3）代入（2），得 0 (,0)(,0)()v x e u x x ε?-?== 0(,0)(,)|()t t t d v x e u x t x dt εψ-?=??= =??
第三章 行波法 §3.1 达朗贝尔法（行波法） 考虑无界弦的自由振动问题，有定解问题如下： ???? ?????==??=??)()0,()()0,(22222x x u x x u x u a t u t ψ? ∞+<∞-+∞ <<∞->+∞<<∞-x x t x 0, 对于上面的标准形方程，它有两族特征曲线 1c at x =+，2c at x =- 作变换 at x +=ξ，at x -=η 由上面的方程变为： 02=???η ξu 求上面偏微分方程的解 先对η积分一次得 )(1ξη f u =?? 再对ξ积分一次得： ?+=+=)()()()(2ηξηξξG F f d f u 其中G F ,是具有任意连续可微函数，将原自变量代回得原方程的通解为 )()(),(at x G at x F t x u -++= 下面通过初始条件确定上面的任意函数G F , ∵ )(0x u t ?==，)(0x u t t ψ== ∴ )()()(x x G x F ?=+ （1）
)()()(//x x aG x aF ψ=- （2） 对（2）从0x 到x 积分得： ?-+= -x x x G x F d a x G x F 0)()()(1)()(00ααψ （3） （1）+（3）得 )]()([2 1)(21)(21)(000x G x F d a x x F x x -++=?ααψ? ?---=x x x G x F d a x x G 0)]()([2 1)(21)(21)(00ααψ? ∴ ?+-+++-=at x at x d a at x at x t x u ααψ??)(21)]()([21),( 该公式叫达朗贝尔公式 例：确定初值问题： ?? ???==>∞+<∞??=??-122222)0,( cos )0,(0 e x u x x u ,t x -x u a t u t 解：略。 达朗贝尔方程的物理定义： 先讨论0)(=x ψ （即振动只有初始位移） )]()([2 1),(at x at x t x u ++-= ?? 先看)(at x -?项： 当0=t 时若观察者位于c x =处，此时 )()(c at x ??=- 在x 轴上，若观察者以速度a 沿轴正方向运动，则在t 时刻观察者位于at c x +=处，此时： )()()(c at at c at x ???=-+=- 由于t 是任意的，这说明观察者在运动过程中随时可以看到相同的波形，可见，波形和
行波法故障测距 行波法的研究始于本世纪四十年代初,它是根据行波传输理论实现输 电线路故障测距的。现在行波法已经成为研究热点。 (1)早期行波法按照故障测距原理可分为 A,B,C 三类: ① A 型故障测距装置是利用故障点产生的行波到达母线端后反射到故障点,再由故障点反射后到达母线端的时间差和行波波速来确定故障点距 离的。但此种方法没有解决对故障点的反射波和对侧母线端反射波在故障点的透射波加以区分的问题,所以实现起来比 较困难。 ② B 型故障测距装置是利用记录故障点产生的行波到达线路两端的时间,然后借助于通讯联系实现测距的。由于这种测距装置是利用故障产生后到达母线端的第一次行波的信息,因此不存在区分故障点的反射波和对侧 母线端反射波在故障点的透射波的问题。但是它要求在线路两端有通讯联系,而且两边时标要一致。这就要求利用 GPS 技术加以实现。 ③ C 型故障测距装置是在故障发生后由装置发射高压高频或直流脉冲,根据高频脉冲由装置到故障点往返一次的时间进行测距。这种测距装置原理简单,精度也高,但要附加高频脉冲信号发生器等部件,比较昂贵复杂。另外,测距时故障点反射脉冲往往很难与干扰相区别,并且要求输电线路三相均有高频信号处理和载波通道设备。 三种测距原理的比较:A 型和 C 型测距原理属于单端测距,不需要线 路两端通信,因都需要根据装置安装处到故障点的往返时间来定位,故又称回波定位法;而 B 型测距原理属于双端通讯, 需要双端信息量。A 型测距原理和 B 型测距原理适用于瞬时性和持久性故障,而 C 型测距原理只适 用于持久性故障。 (2)现代行波法 从某种意义上讲,现代行波法是早期A 型行波法的发展。60年代中期以来,人们对1926年提出的输电线路行波传输理论行了大量的深入的研究,在相模变换、参数频变和暂态数值计算等方面作了大量的工作,进一步加深了对行波法测距及诸多相关因素的认识。 1)行波相关法 行波相关法所依据的原理是向故障点运动的正向电压行波与由故障点返回的反向电压行波之间的波形相似,极性相反,时间延迟△ t对应行波在母线与故障点往返一次所需要的时间。对二者进行相关分析,把正向行波倒极性并延迟△ t时间后,相关函数出现极大值。