关于。。。等比数列
【例1】 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n (p ∈R ，n ∈N*)，那么数列{a n }．
[ ]
A ．是等比数列
B ．当p ≠0时是等比数列
C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列
D ．不是等比数列
分析 由S n ＝p n (n ∈N*)，有a 1=S 1＝p ，并且当n ≥2时， a n =S n －S n-1＝p n －p n-1＝(p －1)p n-1
故－，因此数列成等比数列≠－≠a =(p 1)p {a }p 0p 10
(p 1)p 2n n 1?--=-???
??
????--()()p p
p p p n 212 但满足此条件的实数p 是不存在的，故本题应选D ．
说明 数列{a n }成等比数列的必要条件是a n ≠0(n ∈N*)，还要注
意对任∈，≥，都为同一常数是其定义规定的准确含义．n *n 2N a a n
n -1
【例2】 已知等比数列1，x 1，x 2，…，x 2n ，2，求x 1·x 2·x 3·…·x 2n ． 解 ∵1，x 1，x 2，…，x 2n ，2成等比数列，公比q ∴2＝1·q 2n+1
x 1x 2x 3...x 2n ＝q .q 2.q 3...q 2n =q 1+2+3+ (2)
=q
2n(1+2n)
2
==+q n n n ()212
【例3】 {a }(1)a =4a n 25等比数列中，已知，＝－，求通项公1
2
式；(2)已知a 3·a 4·a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．
解 (1)a =a q q =5252-∴－1
2
∴＝＝－＝∵·＝··＝a a q 4()()(2)a a a a a a a =8
n 2n 2n 2n 4
354234543
----121
2 ∴a 4＝2
又＝＝∴a a a a a a a a a a =a =32
26354234564
5
2
【例4】 已知a ＞0，b ＞0且a ≠b ，在a ，b 之间插入n 个正数x 1，x 2，…，x n ，使得a ，x 1，x 2，…，x n ，b 成等比数列，求
证…＜．x x x a b n n
122
+
证明 设这n ＋2个数所成数列的公比为q ，则b=aq n+1
∴∴……＜
q b a
x x x aqaq aq aq
ab a b n n n n
n
n ++=
===+1122
12
2
【例5】 设a 、b 、c 、d 成等比数列，求证：(b －c)2＋(c －a)2＋(d －b)2＝(a －d)2．
证法一 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列
∴
a b b c c d
== ∴b 2＝ac ，c 2＝bd ，ad ＝bc
∴左边=b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2＋d 2－2bd ＋b 2 =2(b 2－ac)＋2(c 2－bd)＋(a 2－2bc ＋d 2)
＝a 2－2ad ＋d 2 ＝(a －d)2＝右边
证毕．
证法二 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，设其公比为q ，则： b ＝aq ，c ＝aq 2，d=aq 3
∴左边＝(aq －aq 2)2＋(aq 2－a)2＋(aq 3－aq)2 ＝a 2－2a 2q 3＋a 2q 6 =(a －aq 3)2 ＝(a －d)2=右边
证毕．
说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b 、c 的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b 、c 的路子．证法二则是把a 、b 、c 、d 统一化成等比数列的基本元素a 、q 去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性．
【例6】 求数列的通项公式：
(1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2
(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0 思路：转化为等比数列．
解 (1)a =3a 2a 1=3(a 1)n+1n n+1n ＋＋＋?
∴{a n ＋1}是等比数列 ∴a n ＋1=3·3n-1 ∴a n =3n －1
(2)a 3a 2a =0a a =2(a a )n+2n+1n n+2n+1n+1n －＋－－?
∴{a n+1－a n }是等比数列，即 a n+1－a n =(a 2－a 1)·2n-1=3·2n-1
再注意到a 2－a 1=3，a 3－a 2=3·21，a 4－a 3=3·22，…，a n －a n-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到
a =3[1222
]=3=3(21)n 2n-2
n 1＋＋＋…＋·－21
21
1n ----
说明 解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{a n ＋1}是等比数列，(2)中发现{a n+1－a n }是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．
【例7】 a a a a (a a )a 2a (a a )a a a =0a a a a 1234122242
2
1342
2
3
21234若实数、、、都不为零，且满足＋－＋＋＋求证：、、成等比数列，且公比为．
证 ∵a 1、a 2、a 3、a 4均为不为零的实数
∴＋－＋＋＋为实系数一元二次方程
等式＋－＋＋＋说明上述方程有实数根．
(a a )x 2a (a a )x a a =0(a a )a 2a (a a )a a a =0a 12222213223212
22422134223
24
∴上述方程的判别式Δ≥0，即
[2a (a a )]4(a a )(a a )=4(a a a )0(a a a )0
2132122222322213222132－＋－＋＋－－≥∴－≤
又∵a 1、a 2、a 3为实数
∴－≥必有－即(a a a )0
a a a =0a =a a 22132
22132213
因而a 1、a 2、a 3成等比数列
又∵a =
2a 42()()()a a a a a a a a a a a a 1312
222131213
2
12++=++= ∴a 4即为等比数列a 1、a 2、a 3的公比．
【例8】 若a 、b 、c 成等差数列，且a ＋1、b 、c 与a 、b 、c ＋2都成等
比数列，求b 的值．
解 设a 、b 、c 分别为b －d 、b 、b ＋d ，由已知b －d ＋1、b 、b ＋d 与b －d 、b 、b ＋d ＋2都成等比数列，有
b =(b d 1)(b d)b =(b d)(b d 2)
22－＋＋①－＋＋②
?????
整理，得
b =b d b d
b =b d 2b 2d
222222
－＋＋－＋－????? ∴b ＋d=2b －2d 即b=3d 代入①，得
9d 2=(3d －d ＋1)(3d ＋d) 9d 2=(2d ＋1)·4d 解之，得d=4或d=0(舍) ∴b=12
【例9】 已知等差数列{a n }的公差和等比数列{b n }的公比都是d ，又知d ≠1，且a 4=b 4，a 10=b 10：
(1)求a 1与d 的值； (2)b 16是不是{a n }中的项？ 思路：运用通项公式列方程
解 (1)a =b a =b 3d =a d
a 9d =a d
a (1d )=3d a (1d )=9d 441010113
119
13
1
9
由＋＋－－－－???????????????a ??==-=-==-d d 2=063＋－舍或∴d d a d d 123133122
2
()
(2)∵b 16=b 1·d 15=－32b 1
且＋·－－∴a =a 3d =22=b b =b d =2b =22b =a =2
413441313113- ∴b 16=－32b 1=－32a 1，如果b 16是{a n }中的第k 项，则 －32a 1=a 1＋(k －1)d
∴(k －1)d=－33a 1=33d
∴k=34即b 16是{a n }中的第34项．
【例10】 {a }b =(12)b b b =21
8
b b b =1
8
n n a n 123123设是等差数列，，已知＋＋，
，求等差数列的通项．
解 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n =a 1＋(n －1)d
∴·b =(12
)b b =(12)(12)=(12
)b n a 13a a +2d 2(a +d)2
2
1
111+-()n d
1
由，解得，解得，代入已知条件整理得＋b b b =18b =18b =12b b b =18b b =14
b b =17
8123232
123131
3b b b 123218++=??
??????
?????? 解这个方程组，得
b =2b =
18b =1
8
b =21313，或， ∴a 1=－1，d=2或a 1=3，d=－2
∴当a 1=－1，d=2时，a n =a 1＋(n －1)d=2n －3 当a 1=3，d=2时，a n =a 1＋(n －1)d=5－2n
【例11】 三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这
个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．
解法一 按等比数列设三个数，设原数列为a ，aq ，aq 2 由已知：a ，aq ＋4，aq 2成等差数列 即：2(aq ＋4)=a ＋aq 2
①
a ，aq ＋4，aq 2＋32成等比数列 即：(aq ＋4)2=a(aq 2＋32)
?aq 2=4a ＋②
①，②两式联立解得：或－∴这三数为：，，或，，．
a =2q =3a =
29q =52618????
?
???-2910950
9
解法二 按等差数列设三个数，设原数列为b －d ，b －4，b ＋d
由已知：三个数成等比数列 即：(b －4)2=(b －d)(b ＋d)
?8b d =16
2－①
b －d ，b ，b ＋d ＋32成等比数列 即b 2=(b －d)(b ＋d ＋32)
?32b d 32d =0
2－－②
①、②两式联立，解得：或∴三数为，，或，，．
b =269d =83b =10
d =82618?????
????
?-2910950
9
解法三 任意设三个未知数，设原数列为a 1，a 2，a 3 由已知：a 1，a 2，a 3成等比数列
得：①a =a a 2213
a 1，a 2＋4，a 3成等差数列 得：2(a 2＋4)=a 1＋a 3
②
a 1，a 2＋4，a 3＋32成等比数列
得：(a 2＋4)2=a 1(a 3＋32)
③
①、②、③式联立，解得：或a =29a =109a =509a =2
a =6a =18123123
-
?
???
?
?
?
?????
?? 说明 将三个成等差数列的数设为a －d ，a ，a ＋d ；将三个成
等比数列的数设为，，或，，是一种常用技巧，可起到a aq aq (a aq)2a
q
简化计算过程的作用．
【例12】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
分析 本题有三种设未知数的方法
方法一 设前三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则第四个数由已知条
件可推得：()a d a
+2
方法二 设后三个数为b ，bq ，bq 2，则第一个数由已知条件推得为2b －bq ．
方法三 设第一个数与第二个数分别为x ，y ，则第三、第四个数依次为12－y ，16－x ．
由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，
解法一 a d a a d 设前三个数为－，，＋，则第四个数为．()a d a
+2
依题意，有－＋
＋＋a d =16a (a d)=12()a d a
+????
?2
解方程组得：或－a =4
d =4a =9d =61122
?????
? 所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．
解法二 设后三个数为：b ，bq ，bq 2，则第一个数为：2b －bq
依题意有：－＋＋2b bq bq =16
b bq =12
2???
解方程组得：或b =4q =2 b =9
q =13
1122??????
??
所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．
解法三 设四个数依次为x ，y ，12－y ，16－x ．
依题意有＋－·－－x (12y)=2y
y (16x)=(12y)
2
??? 解方程组得：或x =0y =4x =15
y =91122
?????
? 这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．
【例13】 已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84．求这两个数列．
解 设成等差数列的三个数为b －d ，b ，b ＋d ，由已知，b －d ＋b ＋b ＋d=126 ∴b=42
这三个数可写成42－d ，42，42＋d ．
再设另三个数为a ，aq ，aq 2．由题设，得
a 42d =85ap 42=76
aq 42d =842
＋－＋＋＋???
?? 整理，得－①②＋③
a d =43aq =34
aq d =42
2
???
?? 解这个方程组，得 a 1=17或a 2=68
当a=17时，q=2，d=－26
当时，，a =68q =1
2
d =25
从而得到：成等比数列的三个数为17，34，68，此时成等差的三个数为68，42，16；或者成等比的三个数为68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67．
【例14】 已知在数列{a n }中，a 1、a 2、a 3成等差数列，a 2、a 3、a 4成等比数列，a 3、a 4、a 5的倒数成等差数列，证明：a 1、a 3、a 5成等比数列．
证明 由已知，有 2a 2=a 1＋a 3
①
a =a a 3224·②③
211435a a a =+
由③，得·由①，得代入②，得··a =
2a a a +a a =a +a 2a =a +a 243535
213
3
213235
35
a a a a +
整理，得a =
a (a +a )
a +a 351235
即 a 3(a 3＋a 5)=a 5(a 1＋a 3)
a a a =a a a a a =a a 323515353
2
15
＋＋∴·
所以a 1、a 3、a 5成等比数列．
【例15】 已知(b －c)log m x ＋(c －a)log m y ＋(a －b)log m z=0．
(1)设a ，b ，c 依次成等差数列，且公差不为零，求证：x ，y ，z 成等比数列．
(2)设正数x ，y ，z 依次成等比数列，且公比不为1，求证：a ，b ，c 成等差数列．
证明 (1)∵a ，b ，c 成等差数列，且公差d ≠0 ∴b －c=a －b=－d ，c －a=2d
代入已知条件，得：－d(log m x －2log m y ＋log m z)=0 ∴log m x ＋log m z=2log m y
∴y2=xz
∵x，y，z均为正数
∴x，y，z成等比数列
(2)∵x，y，z成等比数列且公比q≠1
∴y=xq，z=xq2代入已知条件得：
(b－c)log m x＋(c－a)log m xq＋(a－b)log m xq2=0 变形、整理得：(c＋a－2b)log m q=0
∵q≠1 ∴log m q≠0
∴c＋a－2b=0 即2b=a＋c
即a，b，c成等差数列
等比数列·例题解析 【例1】已知S n是数列{a n}的前n项和，S n＝p n(p∈R，n∈N*)，那么数列{a n}． [ ] A．是等比数列 B．当p≠0时是等比数列 C．当p≠0，p≠1时是等比数列 D．不是等比数列 分析由S n＝p n(n∈N*)，有a1=S1＝p，并且当n≥2时， a n=S n－S n-1＝p n－p n-1＝(p－1)p n-1 但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D． 说明数列{a n}成等比数列的必要条件是a n≠0(n∈N*)，还要注 【例2】已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．解∵1，x1，x2，…，x2n，2成等比数列，公比q ∴2＝1·q2n+1 x1x2x3...x2n＝q.q2.q3...q2n=q1+2+3+ (2) 式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值． ∴a4＝2 【例4】已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之间插入n个正数x1，x2，…，x n，使得a，x1，x2，…，x n，b成等比数列，求 证明设这n＋2个数所成数列的公比为q，则b=aq n+1 【例5】设a、b、c、d成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2． 证法一∵a、b、c、d成等比数列 ∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc
∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2 =2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2) ＝a2－2ad＋d2 ＝(a－d)2＝右边 证毕． 证法二∵a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则： b＝aq，c＝aq2，d=aq3 ∴左边＝(aq－aq2)2＋(aq2－a)2＋(aq3－aq)2 ＝a2－2a2q3＋a2q6 =(a－aq3)2 ＝(a－d)2=右边 证毕． 说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子．证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性． 【例6】求数列的通项公式： (1){a n}中，a1＝2，a n+1＝3a n＋2 (2){a n}中，a1=2，a2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n＝0 思路：转化为等比数列． ∴{a n＋1}是等比数列 ∴a n＋1=3·3n-1∴a n=3n－1 ∴{a n+1－a n}是等比数列，即 a n+1－a n=(a2－a1)·2n-1=3·2n-1 再注意到a2－a1=3，a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…，a n－a n-1=3·2n-2，
等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=L 则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （ ） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（ ） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++L ＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（ ） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为 ． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______．
课题：等比数列的前n项和（一课时） 教材：浙江省职业学校文化课教材《数学》下册 （人民教育出版社） 一、教材分析 ●教学内容 《等比数列的前n项和》是中职数学人教版（基础模块）（下）第六章《数列》第四节的内容。是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体． 二、学情分析 ●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. ●认知水平与能力：高二学生具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生 q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于1 其是在后面使用的过程中容易出错． 三、目标分析 依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标： 1.教学目标
●知识与技能目标 理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题． ●过程与方法目标 通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、 分析的能力和协作、竞争意识。 ●情感、态度与价值目标 通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于 探索、敢于创新，磨练思维品质，培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神, 感受数学的美。 2.教学重点、难点 ●重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用． ●难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用． 突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点， 激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的 切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予 适当的提示和指导. 四、教学模式与教法、学法 根据学生的认知特点，本着学生为主体教师为主导的原则采用多元教学法，让学生至于情景中。学生动手操作实践分组讨论探究，而教师重在启发，引导。基于教学平台和数学软件让学生可观，可感，可交流的环境中轻松的学习。 五、教学过程
等比数列的概念教案 教学目标 1．理解等比数列的定义，并能以方程思想作指导，理解和运用它的通项公式． 2．逐步体会类比、归纳的思想，进一步培养学生概括、抽象思维等能力． 3．培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展． 教学重点和难点 重点：等比数列要领的形成及通项公式的应用． 难点：对要领的深刻理解． 教学过程设计 (一)引入新课 师：前面我们已经研究了一类特殊的数列──等差数列，今天我们一起研究第二类新的数列──等比数列． (板书)三等比数列 (二)讲解新课
师：等比数列与等差数列在名字上非常类似，只有一字之差，一个是差，一个是比，你能否仿照等差数列，举列说明你对等比数列的理解．(要求学生能主动的用类比思想，通过具体例子说明对概念的理解) 生：数列1，3，9，27，… 师：你为什么认为它是等比数列呢？ 生：因为这个数列相邻两项的比都是相等的，所以是等比数列． (先引导学生用自己的语言描述等比数列的特征，但暂时不作评论，以防限制其他学生的思维) 师：这是你对等比数列的理解，不过这个例子中的项是一项比一项大，能否再举一个一项比一项小的． 师：你对等比数列的理解呢？ 生：数列中每一项与前一项的比都是同一个常数． 师：他们对等比数列理解基本相同的，能否再换个样子，举一个例子． (若理解没有什么变化，就不必让学生再重复了)
师：下面再举例子又增加点要求，既然要去研究它，说明它一定有实际应用价值，那么能否再举一个生活中的等比数列例子．生：如生物学中细胞分裂问题：1个细胞经过一次分裂变为2个细胞，这两个细胞再继续分裂成为4个细胞．这样分裂继续下去，细胞个数从1到2到4到8，把每次分裂后所得细胞个数排列好可形成一个数列1，2，4，8，16，…这个数列就是等比数列． 师：这个例子举得很好，不仅能够发现生活中的数学问题，还能把数学知识应用在其它学科，其实等比数列的应用是非常广泛的，说明它确有很高的研究价值． 说了这么多，也发现了等比数列的特征，能否试着给等比数列下个定义呢？ 生：如果一个数列的每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列就叫做等比数列． 师：作为定义这种叙述还有一点不足，为保证这样比都作得出来，这每一项应从数列的第二项起，否则第一项没有前一项，也就做不出这个比，调整之后，再找一位同学准确描述一下等比数列． 生：如果一个数列，从第二项起．每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列叫做等比数列． 师：好，就把它作为等比数列的定义记录下来．
一、等差数列 1.定义：)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式：d n a )1(a 1n -+= 3.变式：d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和：2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义： ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义：常数）(a 1q a n n =+ 2.通项公式：11a -=n n q a 3.变式： m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n
前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式：m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质： ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和： 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2．裂项相消法． ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列，项和，其中的前项为用于通 从而计算和的方法，适别裂开后，消去一部分把数列和式中的各项分
§2.4等比数列练习 1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． 2、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项． 3、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -=． 4、通项公式的变形：①n m n m a a q -=；②()11n n a a q --=；③1 1n n a q a -=；④n m n m a q a -=． 5、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ?=?；若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2 n p q a a a =?． 一.选择题：1.下列各组数能组成等比数列的是（ ） A. 111,,369 B. lg3,lg9,lg 27 C. 6,8,10 D. 3,- 2.等比数列{}n a 中，32a =，864a =，那么它的公比q =（ ） A. 4 B. 2 D. 12 3.已知{}n a 是等比数列，n a >0，又知243546225a a a a a a ++=g g g ，那么35a a +=（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4.等比数列{}n a 中，11a =，1q q ≠公比为且，若12345m a a a a a a =g g g g ，则m 为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5. “2 b a c =”是“a 、b 、c 成等比数列”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 6.若{}n a 是等差数列，公差0d ≠，236,,a a a 成等比数列，则公比为（ ） A.1 B. 2 C. 3 D. 4 二.填空题： 7.等比数列中，首项为 98，末项为13，公比为23 ，则项数n 等于 . 8.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 . 9.在等比数列{}n a 中，n a >0，()n N +∈且3698a a a =，则 22242628210log log log log log a a a a a ++++= . 10.若{}n a 是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为是 . ① {}2n a ② {}2n a ③ 1n a ?????? ④ {} lg n a 三.解答题 11.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，求56a a +. 12.已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数.
专题六 数列 第十六讲 等比数列 2019年 1.（2019全国1理14）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若21461 3 a a a ==，，则S 5=____________． 2.（2019全国3理5）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项为和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16 B ． 8 C ．4 D ． 2 3.（2019全国2卷理19）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-. （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式. 2010-2018年 一、选择题 1．(2018北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比 例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比 都等于．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A B C ． D ． 2．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若 11a >，则 A ．13a a <，24a a < B ．13a a >，24a a < C ．13a a <，24a a > D ．13a a >，24a a > 3．（2017新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红 光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381
等比数列的前n 项和 命题分析： 1. 高考主要考查两种基本数列（等差与等比数列）、两种基本求和方法（裂项求和法、错 位相减法）、两类综合（与函数综合、与不等式综合），主要突出数学思想的应用。 2. 若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在17题的位置上交替考查，试题难度中等； 若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也会出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时要引起关注。 一、首先回忆一下基本内容： 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比。 公比通常用字母q 表示（q ≠0），即： ｛n a ｝成等比数列 ?n n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件（前提条件）。 2. 等比数列的通项公式: )0(111≠??=-q a q a a n n ， 1(0)n m n m a a q a q -=??≠ 3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 4．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）. 5．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ?=? 6．判断等比数列的方法：定义法，等比中项法，通项公式法 如： 有一个数列满足135-?=n n a ，与公式)0(111≠??=-q a q a a n n 比较我们可以 判断出这个数列为等比数列且3,51==q a 。 二、 【趣味数学问题】 传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨?班?达依尔，舍罕王为了表彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏． 国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？”，这位聪明的大臣达依尔说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒，…，依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律，放满棋盘的64个格子．并把这些麦粒赏给您的仆人吧”． 国王认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答应了，命令如数付给达依尔麦粒． 计数麦粒的工作开始了，在第一个格内放1粒，第二个格内放2粒，第三个格内放4粒，第四个格内放8粒，……，国王很快就后悔了，因为他发现，即使把全国的麦子都拿来，
等比数列练习—1 1．若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且则____． 【答案】 【解析】分析：由题意，互不相等的实数构成等差数列，设， 又由成等比数列，求得，进而根据，即可求解. 详解：由题意，互不相等的实数构成等差数列， 设， 又由成等比数列，所以，即，解得， 所以三个数分别为， 又因为，所以，所以实数. 2．已知数列是等比数列，且，则________________． 【答案】 【解析】分析：根据数列是等比数列，将、分别代入，可以得到数列公比，从而求得通项公式。 详解：将带入数列的通项公式，可以得到首项为2，将带入数列通项公式可以得第二项为4，所以数列的公比 所以 所以 所以数列的通项公式为 所以 3．已知函数，各项均为正数的数列满足，，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据数列递推公式，求得数列的奇数项；根据，求得偶数项的值，进而求得的值。 【详解】 因为， 所以，， 因为数列各项均为正数，且 设
则，解得或舍） 所以 所以 4．设有四个数的数列，前三个数构成一个等比数列，其和为，后三个数构成一个等差数列，其和为15，且公差非零．对于任意固定的实数，若满足条件的数列个数大于1，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】分析：利用等差数列、等比数列的性质,可得方程=0,由此,即可得出结论. 详解：因为后3个数成等差数列且和为15,故可依次设后3个数为5-d,5,5+d,（d且） 又前3个数构成等比数列, 则第一个数为（）,即（）+5-d+5=k, 化简得=0, 因为满足条件的数列的个数大于1,需要Δ>0,所以k>. 再由d且，得且 故答案为： 5．等差数列{a n}的公差d≠0满足成等比数列，若=1，S n是{}的前n项和，则的最小值为________．【答案】4 【解析】 【分析】 成等比数列，=1，可得：=，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得a n，S n．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值． 【详解】 ∵成等比数列，a1=1， ∴=， ∴（1+2d）2=1+12d，d≠0， 解得d=2． ∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1． S n=n+×2=n2． ∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4， 当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，
等比数列的性质以及常见题 一公比q 的运用 1.在等比数列{}n a 中，22a =，5128a =，则它的公比q =_______，前n 项和 n S =_______． 2.在等比数列}{n a 中,116a =-，48a =，则=7a （） A．4 -B．4 ±C．2-D．2 ±3.在等比数列{}n a 中，201020078a a =，则公比q 的值为（） A．2 B．3 C．4 D．84.等比数列{}n a 的公比为2，则 1234 22a a a a ++的值为 5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则9 6 =S S （ ） A．2 B．7 3 C．8 3 D．3 6.等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，公比1q ≠，若105 S S ＝3132 ，则105 a a 等于． 思考题 7.在等比数列}{n a 中，公比2q =，且30303212=????a a a a ，则30963a a a a ???? 等于（） A．102B．20 2C．16 2D．15 2二 t s n m a a a a t s n m =?+=+性质的应用 1.在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ?=，则3132log log b b ++…… 314log b +等于（ ） A．5B．6C．7 D．8 2.等比数列 {} n a 的各项均为正数，且564718 a a a a +=，则 3132310log log log a a a ++= () A．12B．10 C．8 D．32log 5 +
等比数列求和公式 万年历2013年3月6日星期三10:43 癸巳年正月廿五设置闹钟站内搜索支持本站公益活动等比数列 等比数列的通项公式 等比数列求和公式(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。 (2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)； 推广式：an=am×q^(n-m)； (3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (q为比值，n为项数） (4)性质： ①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq； ②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列. ③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2 (5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠0）". (6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。 等比数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。 （2）等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n) (前提：q≠1) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m) （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} （4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。 记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π 2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义
教案设计 高中数学 《等比数列》 ●教学目标 知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导； 过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。 情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 ●教学重点 等比数列的定义及通项公式 ●教学难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 复习：等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +） 等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。 课本P41页的4个例子： ①1，2，4，8，16，… ②1，12，14，18，116 ，… ③1，20，220，320，420，… ④10000 1.0198?，210000 1.0198?，310000 1.0198?，410000 1.0198?，510000 1.0198?，…… 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。 Ⅱ.讲授新课
1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1 -n n a a =q （q ≠0） 1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛n a ｝成等比数列?n n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）2? 隐含：任一项00≠≠q a n 且 “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件． 3? q= 1时，{a n }为常数。 2.等比数列的通项公式1: ) 0(111≠??=-q a q a a n n 由等比数列的定义，有： q a a 12=； 21123)(q a q q a q a a ===； 312134)(q a q q a q a a ===； … … … … … … … ) 0(1111≠??==--q a q a q a a n n n 3.等比数列的通项公式2: ) 0(11≠??=-q a q a a m m n 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系 等比数列与指数函数的关系： 等比数列｛n a ｝的通项公式)0(111≠??=-q a q a a n n ,它的图象是分布在曲线1x a y q q =（q>0）上的一些孤立的点。 当10a >，q >1时，等比数列｛n a ｝是递增数列； 当10a <，01q <<，等比数列｛n a ｝是递增数列；
等比数列·例题解析 【例1】 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n (p ∈R ，n ∈N*)，那么数列{a n }． [ ] A ．是等比数列 B ．当p ≠0时是等比数列 C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列 D ．不是等比数列 【例2】 已知等比数列1，x 1，x 2，…，x 2n ，2，求x 1·x 2·x 3·…·x 2n ． 【例3】 {a }(1)a =4a n 25等比数列中，已知，＝－ ，求通项公12 式；(2)已知a 3·a 4·a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值． 【例4】 已知a ＞0，b ＞0且a ≠b ，在a ，b 之间插入n 个正数x 1，x 2，…，x n ，使得a ，x 1，x 2，…，x n ，b 成等比数列，求证…＜ ．x x x a b n n 122
【例5】 设a 、b 、c 、d 成等比数列，求证：(b －c)2＋(c －a)2＋(d －b)2＝(a －d)2． 【例6】 求数列的通项公式： (1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2 (2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0 思路：转化为等比数列． 【例7】 a a a a (a a )a 2a (a a )a a a =0a a a a 123412 22 42 2 13422 32 1234若实数、、、都不为零，且满足＋－＋＋＋求证：、、成等比数列，且公比为．
【例8】若a、b、c成等差数列，且a＋1、b、c与a、b、c＋2都成等比数列，求b的值． 【例9】已知等差数列{a n}的公差和等比数列{b n}的公比都是d，又知d ≠1，且a4=b4，a10=b10： (1)求a1与d的值；(2)b16是不是{a n}中的项？ 思路：运用通项公式列方程 【例10】{a}b=(1 2 )b b b= 21 8 b b b=1 8 n n a n 123 123 设是等差数列，，已知＋＋，，求等差数列的通项．
等比数列经典例题透析 类型一：等比数列的通项公式 例1．等比数列{}n a 中，1964a a ?=, 3720a a +=,求11a . 思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a 和q 的二元方程组，解出1a 和q ，可得11a ；或注意到下标1937+=+，可以利用性质可求出 3a 、7a ，再求11a . 总结升华： ①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量； ②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）. 举一反三： 【变式1】{a n }为等比数列，a 1=3，a 9=768，求a 6。 【变式2】{a n }为等比数列，a n ＞0，且a 1a 89=16，求a 44a 45a 46的值。 【变式3】已知等比数列{}n a ，若1237a a a ++=，1238a a a =，求n a 。 类型二：等比数列的前n 项和公式 例2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q. 解析：若q=1，则有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1. 因a 1≠0，得S 3+S 6≠2S 9，显然q=1与题设矛盾，故q ≠1. 由3692S S S +=得，369111(1)(1)2(1) 111a q a q a q q q q ---+=---， 整理得q 3(2q 6-q 3-1)=0， 由q ≠0，得2q 6-q 3-1=0，从而(2q 3+1)(q 3-1)=0， 因q 3 ≠1，故3 1 2 q =-，所以342q =-。 举一反三： 【变式1】求等比数列11 1,,,39 的前6项和。 【变式2】已知：{a n }为等比数列，a 1a 2a 3=27，S 3=13，求S 5. 【变式3】在等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -?=，126n S =，求n 和 类型三：等比数列的性质 例3. 等比数列{}n a 中，若569a a ?=,求3132310log log ...log a a a +++. 举一反三： 【变式1】正项等比数列{}n a 中，若a 1·a 100=100; 则lga 1+lga 2+……+lga 100=_____________.
1.等差数列： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 叫做等差数列的公差，即 d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；. 2.等差中项： （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A +=或 b a A +=2 （ 2 ） 等 差 中 项 ： 数 列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 3.等差数列的通项公式： 一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为： ()d n a a n 11-+= 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4） 数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列．
1.(2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B 。 【答案】B 2.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公 比为正数，所以,故,选B 3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, , 则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 【解 析】由得得,再由 得 则,所以,.故选C 4.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n 项和，已知，，则等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 【解析】故选C. 135105a a a ++=33105a =335a =433a =432d a a =-=-204(204)1a a d =+-?=}{n a 3a 9a 2 5a 2a 1a 2 1 222q ( )2 2 8 41112a q a q a q ?=2 2q =}{n a q = 212a a q = == {}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S 2 437a a a =2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++1230a d +=8156 8322 S a d =+ =1278a d +=12,3d a ==-10190 10602 S a d =+ =n S {}n a 23a =611a =7S 172677()7()7(311) 49.222 a a a a S +++= ===
赏析等比数列的前n 项和公式的几种推导方法 山东 张吉林（山东省莱州五中 邮编261423） 等比数列的前n 项和公式是学习等比数列知识中的重点内容之一，其公式： 当1≠q 时，q q a S n n --=1) 1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n = 本身不仅蕴涵着分类讨论的数学思想，而且用以推导等比数列前n 项和公式的方法---错位 相减法，更是在历年高考题目中频繁出现。本文变换视野、转换思维，从不同的角度加以推导，以加深对公式的理解与应用,希望能起到抛砖引玉的效果。 一般地，设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是 =n S n a a a a +++321 公式的推导方法一： 当1≠q 时，由???=+++=-1 1321n n n n q a a a a a a S 得?????++++=++++=---n n n n n n q a q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 111312111 1212111 n n q a a S q 11)1(-=-∴ ∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n = 当已知1a , q, n 时常用公式①；当已知1a , q, n a 时，常用公式②. 拓展延伸：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，对形如{}n n a b 的数列，可以用错位相减法求和。 例题 数列{}n a 的前n 项和221 (1)2(2)2222 n n n S n n n --=+-?+-?++?+ ，则n S 的表达式为（ ） ． A ．1222n n n S n +=+-- B ．122n n S n +=-+ C ．22n n S n =-- D ．122n n S n +=-- 解析：由2 2 1(1)2(2)222 2n n n S n n n --=+-?+-?++?+ ，①
英杰教育学科教师辅导教案 审查组长： 学员编号： 年 级：高 一 课 时 数：3课时 学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师： 授课主题 数列的概念与等差数列 教学目的 1、理解并掌握等比数列的通项公式，前n 项和公式． 2、会灵活运用等比中项,会用构造新数列法求通项公式， 3、掌握递推公式法、倒序相加法、列项相消法、错位相减求数列的前n 项和； 教学重点 构造新数列法；数列的前n 项和求法 授课日期及时段 教学内容 一、等比数列 1、高考考点 （1） 等比数列的概念（2）等比数列的通项公式与前n 项和的公式 考试要求 （1）掌握等比数列的通项公式与前n 项和的公式 （2）能在具体问题情境中识别数列的等比关系，并能有关知识解决问题； （3）了解等比数列与指数函数的关系. 2、知识梳理 等比数列 定义 1 n n a q a +=或212n n n a a a ++= 注意；0,0.n a q ≠≠ 通项公式 11n n m n m a a q a q --== 前n 项和公式 11,1,(1), 1.1n n na q S a q q q =?? =-?≠?-? 注意q 含字母讨论 简单性质 若* (,,,)m n s t m n s t N +=+∈, 则m n s t a a a a ?=?.
3、 等比数列重要结论 （1）定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即： 1 -n n a a =q （q ≠0）｛n a ｝成等比数列?n n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） ①“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q ，q ≠0) ② 隐含：任一项00≠≠q a n 且 ③ q= 1时，{a n }为常数 例 下面四个数列：（1）1，1,2,4,8,16,32,64；（2）在数列{}n a 中，12a a =2,23a a =2；（3）常数列a,a,a,...； （4）在数列{}n a 中， 1 -n n a a =q ；其中是等比数列的有 （2）既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． （3）等比定理：q=12a a =23a a =34 a a =...=1-n n a a =1 321432......-+++++++n n a a a a a a a a （4）等比数列基本量的求法：1a 和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出。——m n m n m n m n a a q a a q --== ;；q=n n a a 1+ （5）等比数列与指数函数：11-?=n n q a a ，即n n q q a a ?=1,与指数函数x q y =类似，可借助指数函数的图像和性质来研究 4、 典型例题讲解 例1 等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列 （1）求{n a }的公比q ； （2）求1a －3a ＝3，求n s 解：（Ⅰ）依题意有 )(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++ 由于 01≠a ，故022=+q q