枣阳市高级中学2014-2015学年度下学期期中考试
数学试题
评卷人 得分
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．下列命题中正确的是 （ ） A ．公差为0的等差数列是等比数列
B ．a b c 、、成等比数列的充要条件是2
b a
c =
C ．公比1
3
q =的等比数列是递减数列 D ．
1a b
b c
-=-是,,a b c 成等差数列的充分不必要条件 2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的对边长分别为a 、b 、c ，A sin 、B sin 、C sin 成等比数列，且a c 2=，则B cos 的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．在
中，
，
，，则=（ ）
A ．
B ．
C ．
6
3
D ．6 4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15S 为一确定常数，下列各式也为确定常数的是（ ） A ．213a a + B ．213a a C ．1815a a a ++ D ．1815a a a 5．设函数()f x 是定义在
上的奇函数，且当0x ≥时，()f x 单调递减，若数列{}n a 是等
差数列，且30a <，则()()()()()12345f a f a f a f a f a ++++的值（ ） A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为0 D.可正可负
6． 数列{a n }为等比数列,前n 项和为S n ＝－3(22n －1
+b)，则b ＝( ) A ．1 B ．12- C ．－1 D ．1
4
7．△ABC 中, a = 1， b =3，A=30°，则B 等于
( )
A ．60°
B ．60°或120°
C ．30°或150°
D ．120°
8．在ABC ?中，23,2BC AC ==，6ABC S ?=，则C ∠等于（ ）
（A ）
4π （B ）3π （C ）4π或34π （D ）3π或23
π
9．在△ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足s i n c o s a B b A =,则
2sin cos B C -的最大值是( )
A ．1 B.3 C.7 D.27 10．等比数列{}的前n 项和为
，若
（ ）
A.27
B.
81 C. 243 D.729
11．若ABC ?的三边,,a b c ，它的面积为222
43
a b c +-，则角C 等于（ ）
A ．030
B ．045
C ．060
D ．090 12．已知ABC △中，22AC =,2BC =，6
A π
=，则AB 边长是
（ ） (A) 37+. (B) 62+. (C) 62-. (D) 62±.
评卷人 得分
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
13．在ABC ?中，602A AB ∠==?o
，，且ABC 的面积为
3
2
，则BC 的长为___________. 14．在ABC 中，已知，则ABC 最大角的值是 。
15． 等差数列项的和
等
于 .
16．.在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知22
2a c b -=，且
sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b=
17．在数列}{n a 中，2,121==a a 且)()1(12*+∈-+=-N n a a n n n ,则=50S ． 评卷人 得分
三、解答题（共65分）
18． （本题满分14分）在数列{}n a 中，*1111,30(2,)n n n n a a a a a n n N --=+-=≥∈．
n a 2132112364(...),27,n n a a a a a a a -=+++==则s in :sin :sin 3:5:7A B C =?9}{,27,39,}{963
741前则数列中n n a a a a a a a a =++++9S
（1）求数列{}n a 的通项；
（2）若0a 1≤-+n n a λ对任意的正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围.
19．（本题满分14分）已知c b a ,,分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，A c C a c cos sin 3-= （1）求A
（2）若2=a ，△ABC 的面积为3，求b,c
20．（本小题满分13分）（Ⅰ）已知数列}{n a 的前n 项和222+-=n n S n ，求通项公式n a ； （Ⅱ）已知等比数列}{n a 中，233=
a ，2
9
3=S ，求通项公式n a 21．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的公比0q >，22a =，48a =，等差数列{}n b 中
12b a =，23b a =，其中n *∈N ．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）设数列n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 22．(本小题满分12分) 已知向量
，且0m n =，
其中A 、B 、C 是△ABC 的内角，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边．
求角C 的大小；
求sin sin A B +的取值范围．
参考答案
1．D
【解析】 试题分析解：A 、B 中都忽略了等比数列的公比不能为0，C 中若首项为负，则数列为递增数列. 考点；等差数列与等比数列的概念及性质．
点评：本题考查了等差数列与等比数列的概念及性质． 2．B. 【解析】
试题分析：由于A sin 、B sin 、C sin 成等比数列，C A B B sin sin sin sin ?=?∴，由正弦定理得c a b ?=2
.
由于a c 2=，a b 2=∴，由余弦定理推论得4
3
22242cos 222222=??-+=-+=
a a a a a ac
b
c a B . ()()
m a c b n a c b a =+=--，，，
考点：余弦定理的应用. 3．D 【解析】
试题分析：根据题意，由于，，故可知,由于
，故选D.
考点：解三角形
点评：主要是考查了解三角形的运用，正弦定理的运用，属于基础题。 4．C
【解析】等差数列中，S 15＝15a 8＝15（a 1＋7d ） a 2＋a 13＝2a 1＋13d ，a 2a 13＝（a 1＋d ）（a 1＋12d ），a 1＋a 8＋a 15＝3a 1＋21d ＝3（a 1＋7d ），a 1＋a 8＋a 15＝a 1（a 1＋7d ）（a 1＋14d ），其中只有a 1＋a 8＋a 15＝为定值.
考点：等差数列性质 5．A
【解析】解：∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数， 且当x ≥0时，f （x ）单调递减， 数列{an}是等差数列，且a 3＜0， ∴a 2+a 4=2a 3＜0， a 1+a 5=2a 3＜0，
x ≥0，f （x ）单调递减，
所以在R 上，f （x ）都单调递减， 因为f （0）=0， 所以x ≥0时，
f （x ）＜0，x ＜0时，f （x ）＞0， ∴f （a 3）＞0
∴f （a 1）+f （a 5）＞0， ∴f （a 2）+f （a 4）＞0． 故选A ． 6．B
【解析】1122133263,18,72a S b a S S a S S ==--=-=-=-=-;所以公比为3
2
4.a q a =
=则1
184(63),.2
b b -=--∴=-故选B
7．B 【解析】
试题分析：根据题意，由于△ABC 中, a = 1， b =3，A=30°，则由正弦定理可知，
31sin =A 33cos =B 6sin 3B =6sin 316
1sin sin sin 3
a b a B a b A B A
=∴=∴===155S
1
3sin 32sin sin sin 12
a b b A
B A B a
?
=∴===,由于b>a,所以B>A ，因此可知B 等于60°或120°，故选B.
考点：解三角形
点评：主要是考查了解三角形中正弦定理的运用，属于基础题 8．C 【解析】
试题分析：11sin 223sin 622ABC S AC BC C C ?=
??∠=???∠=，解得2sin 2
C ∠=，因为0C π<∠<，所以4
C π
∠=或34
C π
∠=
。故C 正确。 考点：三角形面积公式。
9．A 【解析】 试题分析：∵，∴，∴，∴，
∴34
C B π
=-， ∴
322222sin cos(
)2sin cos sin sin cos sin()422224
B B B B B B B B ππ--=+-=+=+，
∴最大值为1.
考点：1.正弦定理；2.两角和与差的正余弦公式；3.三角函数的最值. 10．C
【解析】本题考查等比数列的通项公式，前n 项和公式和等比数列的性质.
设公比为,q 则22112
(1)4(1)11n n a q a q q q --=--，即41,3;1q q =∴=+又33
127,aaa a q ==所以5161;13243.a a =∴=?=故选C
11．A
【解析】222222
13sin ,sin .23243
a b c a b c ab C C ab +-+-=∴=?又 根据余弦定理知
222cos 2a b c C ab +-=，所以33
sin cos ,tan (0)33
C C C C π==<<即030.C ∴=故选A
12．D
【解析】此题考查余弦定理
sin cos a B b A =sin sin cos B B A =sin cos A A =4
A π=
解：设AB 长为x ，由余弦定理得284cos 642x x
π
+-=，化简得2
2640x x -+=，解得
62x =±，故选D.
答案：D 13．3 【解析】
试题分析：由11
3
3
s i n 6022222
S A B A C A C =
??=??
=,所以1AC =,所以
2
222c o s 603B C A B A C A B A C =
+-?=,所以
3BC =. 考点：1三角形面积公式;2余弦定理.
14．120° 【解析】
试题分析：解：设三角形的三边长分别为a ，b 及c ，根据正弦定理
化
简已知的等式得： a ：b ：c=3：5：7，设a=3k ，b=5k ，c=7k ，根据余弦定理得cosC==
=- ，∵C ∈（0，180°），∴C=120°．则这个三角形的最大角
为120°．故答案为120°
考点：正弦定理，以及余弦定理
点评：此题考查了正弦定理，以及余弦定理，遇到比例问题，往往根据比例设出线段的长度来解决问题，熟练掌握定理是解题的关键． 15．99 【解析】略 16．4 【解析】
解法一：在ABC ?中
sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理
有:222222
3,22a b c b c a a c ab bc
+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知
222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.
解法二:由余弦定理得: 2
2
2
2cos a c b bc A -=-.又2
2
2a c b -=,0b ≠. 所以2cos 2b c A =+ ①
又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=
sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =
sin sin sin a b c A B C
==22
229254930k k k k +-12
由正弦定理得sin sin b
B C c
=，故4cos b c A = ②
由①，②解得4b =.
17．675 【解析】
试题分析：在数列{an}中，∵2,121==a a 且)()1(12*+∈-+=-N n a a n n n ，∴当n 为奇数时，02=-+n n a a 解得1=n a ，当n 为偶数时，22=-+n n a a ，解得n a n =，故
??
?=为偶数
，为奇数
n n n a n ,1，故 ()675650255064225150=+=+++++?= S ．
考点：数列的性质. 18．1）*1
,32
n a n N n =
∈- 2）14λ≤
【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式和不等式的恒成立问题的综合运用。
（1）利用已知的递推关系式，*1111,30(2,)n n n n a a a a a n n N --=+-=≥∈变形两边同时除以
1-n n a a 得到等差数列，进而求解得到。
（2）要是0a 1≤-+n n a λ对任意的正整数n 恒成立，则利用分离参数的思想，求解参数的取值范围即可。
19．（1）0
60；（2）2,2==c b ．
【解析】
试题分析：（1）利用正弦定理，将边角关系转化为角角关系，消去公共量，利用辅助角公式进行求解；（2）利用三角形的面积公式与余弦定理得到关于c b ,的方程组进行求解． 解题思路:解三角形问题，主要考查三角形的三角关系、三边关系、边角关系、正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，有时还要结合三角恒等变换． 试题解析：（1）由正弦定理：可把A c C a c cos sin 3-= 化为A C C A C cos sin sin sin 3sin -= 2分 ∵在△ABC 中，?<C
∴上式化为：A A cos sin 31-= 3分 ∴由辅助角公式得：)30sin(21?-=A 4分
∵在△ABC 中，?<
?=??=?-603030A A 6分
（2）由余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=结合已知及（1）得，
?-+=60cos 22222bc c b ① 8分
由面积公式：A bc S ABC sin 2
1
=
?得， 360sin 2
1
=?bc ② 10分 联立①、②并化简：???==-+4
4
22bc bc c b
解得：2,2==c b 12分 考点：1．正弦定理；2．余弦定理；3．三角形的面积公式．
20．（Ⅰ）???≥-==2
,321,1n n n a n （Ⅱ）23=n a 或1
162n n a -??
=?- ???
【解析】
试题
分析：(Ⅰ)当
1
=n 时，
111==S a , ……2分
当2≥n 时，321-=-=-n S S a n n n ， ……5分
显然，1a 不适合上式，
所以有?
??≥-==2,321,1n n n a n ……6分
(Ⅱ)因为是等比数列，所以11n n a a q -=?，所以由条件知：
2
312319(1)232
S a q q a a q ?=++=???
?=?=??，
……8分
两式相除化简得0122
=--q q ， ……10分
解得1=q ，或1
2
q =-， ……12分
所以23=n a 或1
162n n a -??
=?- ?
??
. ……
13分
考点：本小题主要考查由n a 与的关系求通项和等比数列中的基本量的运算，考查学生的运
算求解能力. 点评：(1)由
与
的关系求通项时一定要分和两种情况，然后检验能否合二为
一，如果不能，则以分段形式给出.(2)求解等比数列的基本量时，不要忽略时的情况.
21．（1） n N *∈，22(1)2n b n n =+-=，n N *∈.（2）221n n T n n =++-.
【解析】
试题分析：（1）由等比数列
的公比
,
，
，建立1,a q 方程组
213
412
4
a a q a a q ==???==??,解得，写出{}n a 的通项公式.
由已知，建立1,b d （公差）的方程组，求得122b d =??=?
，写出{}n b 的通项公式.
（2）由（1）知数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，数列{}n b 是以2为首项，2为公差的等差数列．应用“分组求和法”计算得到221n n T n n =++-. 试题解析：（1）已知等比数列{}n a 的公比0q >,22a =，48a =
11
2
a q =???
=?? 12n n a -= n N *∈ 3分
等差数列
中
设公差为d
∴1212
4
b b b d =??
=+=? n a S 1=2n ≥1n -{n a 0q >22=48112
a q =???=??2134124a a q a a q ==??∴?==??∴}n
b 23,b a =12232,4b a b a ====
∴12
2
b d =??
=? ∴22(1)2n b n n =+-= n N *∈ 6分
（2）由（1）知数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，数列{}n b 是以2为首项，2为公差的等差数列．
∴122n n n n c a b n -=+=+
123112233123123()()()()
()()1222122
n n
n n n n n T c c c c a b a b a b a b a a a a b b b b n n =+++???+=++++++???++=+++???+++++???+-+=+- 8分 221n n n =++- 12分
考点：1.等差数列；2.等比数列. 22．16．(1) 由0m n =得 ()()()0a c a c b b
a +-+-=，
即 222a b c ab +-=
2分
由余弦定理得 2221cos 222
a b c ab C ab ab +-=== 4分
∵ 0C π<<
∴3
C π
=
6分
(2) ∵ 23
A B π+=
∴ 233sin sin sin sin()sin cos 3sin()3226
A B A A A A A ππ+=+-=+=+ 10分
∵ 203A π<< ∴ 5666
A πππ
<+< ∴
1sin()126
A π
<+≤ ∴ 3
sin sin (3]2
A B +∈， 13分
【解析】略
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