海淀区高三年级第一学期期中练习
数 学（理） 2014.11
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。
（1）设集合1{|}A x x >=∈R ，{|12}B x x =∈-R ≤≤，则A B =（ ）
（A ）[1,)-+∞
（B ）(1,)+∞
（C ）(1,2]
（D ）[1,1)-
（2）已知向量(2,1)=-a ，(3,)x =b . 若3?=a b ，则x =（ ） （A ）6
（B ）5
（C ）4
（D ）3
（3）若等比数列{}n a 满足135a a +=，且公比2q =，则35a a +=（ ） （A ）10
（B ）13
（C ）20
（D ）25
（4）要得到函数π
sin(2)3
y x =+
的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） （A ）向左平移
3π
个单位 （B ）向左平移
6π
个单位 （C ）向右平移3
π
个单位 （D ）向右平移
6
π
个单位 （5）设1
31()2
a =，21log 3
b =，2log 3
c =，则（ ）
（A ）a b c >>
（B ）c a b >>
（C ）a c b >>
（D ）c b a >>
（6） 设,a b ∈R ，则“0ab >且a b >”是“11
a b
<”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（7
）已知函数,0,()0.
x x f x x -
（A ）1[,)2
+∞
（B ）(0,)+∞ （C ）(0,1)
（D ）1(0,)2
（8）设等差数列{}n a 的前n 项和为
n S .在同一个坐标系中，()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示，则
（ ）
（A ）当4n =时，n S 取得最大值 （B ）当3n =时，n S 取得最大值 （C ）当4n =时，n S 取得最小值
（D ）当3n =时，n S 取得最小值
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）设复数i
1i
z =
-，则z =______． （10） 已知函数2x a
y +=的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是 .
（11）
π
π
(sin )d x x x -+=?
________.
（12）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：
mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204
t
C t =
+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大.
（13）如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点， 且2BD DC =.
若(,)AC mAB nAD m n =+∈R ，则____m n -=.
（14）已知函数()sin()f x A x ω?=+（,,A ω?是常数，0,0A ω>>）
的最小正周期为π,设集合M ={直线l l 为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线，
0[0,π)x ∈}.若集合M 中有且只有两条直线互相垂直，则ω= ；A = .
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （15）（本小题满分13分）已知函数π
()sin sin()3
f x x x =-+
. （Ⅰ）求π()2
f 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间.
D C
B
A
（16）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，11
2
a =
，且132,,a a a -成等差数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a n -的前n 项和n S .
（17）如图所示，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠
，且1,3,cos AD CD B ===. （Ⅰ）求△ACD 的面积（Ⅱ
）若BC =AB 的长.
（18）（14分）已知函数1ln 2)(2+-=x x a x f .（Ⅰ）若1a =,求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）若0a >，求函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值； （Ⅲ）若0)(≤x f 在区间),1[+∞上恒成立，求a 的最大值.
（19）（本小题满分13分）
已知数列{}n a 的前n 项和(1)
(1,2,3,)2
n n n a S n +=
=. （Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求证：1(2)1(1)(2)n n n a n a n --+=-≥； （Ⅲ）判断数列{}n a 是否为等差数列，并说明理由.
（20）（本小题满分14分）
设函数2
1()51623f x x x =
++，L 为曲线:()C y f x =在点1
(1,)12
-处的切线.
（Ⅰ）求L 的方程；
（Ⅱ）当15x <-时，证明：除切点1
(1,)12-之外，曲线C 在直线L 的下方；
（Ⅲ）设123,,x x x ∈R ，且满足1233x x x ++=-，求123()()()f x f x f x ++的最大值．
D
C
B
A
海淀区高三年级第一学期期中练习
数学（理）答案及评分参考 2014.11
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）D （3）C （4）B （5）B （6）A （7）D （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）
（9）
2
（10）0 （11）0 （12）2 （13）2- （14）2；12
三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）
解：（Ⅰ）π
πππ11
()sin sin()1222322
f =-+=-=. ……………… 3分
（Ⅱ）π
()sin sin()3f x x x =-+ ππ
sin (sin cos cos sin )33
x x x =-+ (5)
分
1
1πsin (sin )sin sin()22223
x x x x x x =-+
=-=-. ……………… 9分
函数sin y x =的单调递增区间为ππ
[2π,2π]()22
k k k -+∈Z ， 由πππ
2π2π()232k x k k --+∈Z ≤≤， ……………… 11分
得π5π2π2π()66
k x k k -
+∈Z ≤≤. 所以 ()f x 的单调递增区间为π5π
[2π,2π]()66
k k k -+∈Z . ……………… 13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）因为 132,,a a a -成等差数列，
所以 3122a a a =-. ……………… 2分
设数列{}n a 的公比为(0)q q >，由11
2
a =
可得2111
2222
q q ?=-， (4)
分
即2210q q +-=. 解得：1
2
q =
或1q =-（舍）. ……………… 5分
所以 1111
()222
n n n a -=?=. ………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：1
2n n
a n n -=-. 所以 231111
1232222
n n S n =-+-+-++- (8)
分
231111
1232222n n =++++----- ………………9分 11(1)
(1)1(1)221122212
n n n n n n -++=-=---. ……………… 13分
（
17）（共13分）
解：（Ⅰ）因为 2D B ∠=∠，cos B =
， 所以 2
1
cos cos 22cos 13
D B B ==-=-
. ……………… 3分
因为 (0,π)D ∠∈，
所以
sin D == ……………… 5分
因为 1,3AD CD ==，
所以 △ACD
的面积11sin 13223
S AD CD D =
??=???= (7)
分
（Ⅱ）在△ACD 中，222
2cos 12AC AD DC AD DC D =+-??=.
所以
AC = ……………… 9分
因为
BC =sin sin AC AB
B ACB
=∠， ……………… 11分
所以
sin(2)sin 22sin cos AB AB AB B B B B ====
π- 所以 4AB =. ……………… 13分
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）当1a =时，2()2ln 1f x x x =-+.
222(1)
()2x f x x x x
--'=-=，0x >. ……………… 2分
令22(1)
()0x f x x
--'=
<. 因为 0x >，
所以 1x >. ……………… 3分
所以 函数()f x 的单调递减区间是(1,)+∞. ……………… 4分
（Ⅱ）x
a x x x a x f )
(222)(2--=
-=',0>x .
令'()0f x =，由0a >，解得1x =2x =. ……………… 5分
① 1≤，即01a <≤时，在区间[1,)+∞上'()0f x ≤，函数()f x 是减函数. 所以 函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值为(1)0f =； ……………… 7分
② 1>，即1a >时，x 在[1,)+∞上变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表
x
所以 函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值为ln 1f a a a =-+.
……………… 10分
综上所述：当01a <≤时，函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值为(1)0f =；
当1a >时，函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值为ln 1f a a a =-+. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当01a <≤时，0)1()(=≤f x f 在区间),1[+∞上恒成立；
(11)
分
当1a >时，由于)(x f 在区间],1[a 上是增函数，
所以 0)1()(=>f a f ,即在区间),1[+∞上存在x =
()0f x >.
(13)
分
综上所述，a 的最大值为1. ……………… 14分
（19）（共13分）
（Ⅰ）解：由题意知：1112a S +=
，即1
112
a a +=. 解得：11a =. (2)
分
（Ⅱ）证明：因为 (1)
(1,2,3,)2
n n n a S n +=
=， 所以 11(1)(1)
2
n n n a S ---+=（2n ≥）. (4)
分
因为 1n n n a S S -=-（2n ≥）. (6)
分 所以 1
1(1)2
n n n na n a a -+--=
，即1(2)1(1)(2)n n n a n a n --+=-≥.
(7)
分
（Ⅲ）数列{}n a 是等差数列.理由如下： ……………… 8分
又22(2)(1)
2
n n n a S ---+=
（3n ≥），由（Ⅱ）可得：
112n n n a S S ---=-12
(1)1(2)2
n n n a n a ---+--=
（3n ≥）. ……………… 9分
所以 12
12(1)(2)2
n n n n n na n a n a a a -----+--=
，
即12(2)2(2)(2)0n n n n a n a n a -----+-=. ……………… 11分
因为 3n ≥，
所以 1220n n n a a a ---+=，即112n n n n a a a a ----=-（3n ≥）.
所以 数列{}n a 是以1为首项，21a -为公差的等差数列. ……………… 13分
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）22
1016
()(51623)x f x x x +'=-++.
所以 1(1)24
f '-=-
. 所以 L 的方程为11(1)1224
y x -=-+，即11
2424y x =-+． (3)
分
（Ⅱ）要证除切点1
(1,
)12
-之外，曲线C 在直线L 的下方，只需证明1
(,1)
(1,)5
x ?∈-∞---，2
111516232424x x x <-+++恒成立. 因为 2516230x x ++>， 所以 只需证明1(,1)
(1,)5
x ?∈-∞---，32
511710x x x +++<恒成立即可．
(5)
分
设321
()5117 1 ().5
g x x x x x =+++-≤
则2()15227(1)(157)g x x x x x '=++=++. 令()0g x '=，解得11x =-，27
15
x =-
. ……………… 6分 当x 在1
(,]-∞-上变化时，()'(),g x g x 的变化情况如下表
所以 1(,1)
(1,)5
x ?∈-∞---，32
511710x x x +++<恒成立. (8)
分
（Ⅲ）（ⅰ）当1211,,55x x <-<-且31
5
x <-时，
由（Ⅱ）可知：11
211111
()516232424
f x x x x =-+++≤， 222
22111()516232424f x x x x =
-+++≤，33233111()516232424
f x x x x =-+
++≤. 三式相加，得12312311
()()()()248
f x f x f x x x x ++≤-+++. 因为 1233x x x ++=-，
所以 1231
()()()4
f x f x f x ++≤，且当1231x x x ===-时取等号． ……………… 11分
（ⅱ）当123,,x x x 中至少有一个大于等于1
5
-时，
不妨设115x -≥，则2221118511851
516235(5()2055555x x x ++=++-++=)≥，
因为 2222285151516235()555x x x ++=++≥，2233385151
516235()555
x x x ++=++≥，
所以 1231551()()()2051514
f x f x f x ++++<≤
． 综上所述，当1231x x x ===-时123()()()f x f x f x ++取到最大值1
4
.……………… 14分