2005-2013年高考数学《概率与统计》解答题资料汇编{含答案}
1.(2005年高考18)箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球, 黄、白乒乓球的数量比为s :t .现从箱中每次任意取出一个球,若取出的是黄球则结束,若取出的是白球,则将其放回箱中,并继续从箱中任意取出一个球,但取球的次数最多不超过n 次.以ξ表示取球结束时已取到白球的次数. (I)求ξ的分布列; (II )求ξ的数学期望.
2.( 2006年高考16)某运动员射击一次所得环数X 的分布如下:
X 06 7 8 9 10 P
0.2
0.3
0.3
0.2
现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩,记为ξ.
(I)求该运动员两次都命中7环的概率(II)求ξ的分布列 (III) 求ξ的数学期望E ξ. 3.( 2007理17、2007文18) (本题满分12分)
下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据.
x 3 4 5 6 y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =a x b
+;
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
4.( 2008理17)随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、
2万元、1万元,而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位:万元)为ξ. (1)求ξ的分布列;
(2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望);
(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少? 5.( 2009理17)(本小题满分12分)
根据空气质量指数API (为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:
对某城市一年(365天)的空气质量进行监测,获得的API 数据按照区间]50,0[,
]100,50(,]150,100(,]200,150(,]250,200(,]
300,250(进行分组,得到频率分布直方图如图5.
(1)求直方图中x 的值;
(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数; (3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.
(结果用分数表示.已知781257
=,12827
=,
++3652182531825
7
9125
123
9125818253=++
,573365?=) 6.(2010理17) (本小题满分12分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量(单位:克)重量的分组区间为(490,]495,(495,]500,……(510,]515,由此得到样本的频率分布直方图,如图4所示.
(1)根据频率分布直方图,求重量超过505克的产品数量.
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y 为重量超过505克的产品数量,求Y 的分布列.
(3)从流水线上任取5件产品,求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率. 7.(2011理17)(本小题满分13分)为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中微量元素,x y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据: 编号
1 2 3 4 5 x
169 178 166 175 180 y
75
80
77
70
81
(1)已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量;
(2)当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥且75y ≥时,该产品为优等品.用上述样
本数据估计乙厂生产的优等品的数量;
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数ξ的
分布列及其均值(即数学期望).
8.(2012理17) (本小题满分13分)
某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图 如图4所示,其中成绩分组区间是:
[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。
(1)求图中x 的值;
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,
该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ, 求ξ的数学期望。
9.(2013理17)(本小题满分12分)
某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日 加工零件个数的茎叶图如图4所示,其中茎为十位 数,叶为个位数.
(1)根据茎叶图计算样本均值;
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人?
(3)从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.
参考答案
1.【解】:(I)ξ的可能取值为:0,1,2,…,n ξ的分布列为:
1 7 9
2 0 1 5
3 0 图4
ξ 0 1 2 … n-1 n
p
t
s s + 2
)
(t s st
+ 32
)(t s st +
… n
n t s st )(1+-
n
n t s t )(+
(II) ξ的数学希望为
n
n
n n t s t n t s st n t s st t s st t s s E )()()1(...)(2)(101322+?++?-+++?++?++?=-ξ…(1) 1
1114332)()()1()()2(...)(2)(+++-+++-++-+++++=+n n n n n n t s nt t s st n t s st n t s st t s st E t s t ξ…(2) (1) -(2)得
n
n n n t s t n t s s t s t E )
()12()(1+--+-=-ξ 2.【解】:(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为04.02.02.0)7(=?=P ; (Ⅱ) ξ的可能取值为7、8、9、10
04.0)7(==ξP
21.03.03.02.02)8(2=+??==ξP
39.03.03.03.023.02.02)9(2=+??+??==ξP
36.02.02.03.022.03.022.02.02)10(2=+??+??+??==ξP
ξ分布列为 ξ
7 8 9 10 P
0.04
0.21
0.39
0.36
(Ⅲ) ξ的数学希望为07.936.01039.0921.0804.07=?+?+?+?=ξE 3.【解】: (1) 散点图略 (2)
41
66.5i i
i X Y ==∑ 4
2
22221
345686i
i X
==+++=∑ 4.5X = 3.5Y =
2
66.54 4.5 3.566.563?0.7864 4.58681
b -??-===-?- ; ?? 3.50.7 4.50.35a Y bX =-=-?= 所求的回归方程为 0.70.35y x =+
(3) 100x =, 1000.70.3570.35y =?+=吨,
预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65-=(吨) 4.【解】:(1)ξ的所有可能取值有6,2,1,-2;126
(6)0.63200
P ξ==
=,50
(2)0.25200P ξ==
= 20(1)0.1200P ξ===,4
(2)0.02200P ξ=-==
故ξ的分布列为:
ξ 6 2 1 -2 P
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)60.6320.2510.1(2)0.02 4.34E ξ=?+?+?+-?= (3)设技术革新后的三等品率为x ,则此时1件产品的平均利润为
()60.72(10.70.01)(2)0.01 4.76(00.29)E x x x x =?+?---+-?=-≤≤
依题意,() 4.73E x ≥,即4.76 4.73x -≥,解得0.03x ≤,所以三等品率最多为3% 5.【解】:(1)由图可知
-=150x ++365218253(
18257509125123150)9125818253?-=?++,解得18250119
=x ; (2)219)503652
5018250119(
365=?+??; (3)该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为
533652195036525018250119==?+?,则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为
5
2
531=-,一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为
78125
76653)53()52()53()52(11
6670777=--C C .
7.【解】:(1)设乙厂生产的产品数量为a 件,则
9814
5
a =,解得35a = 所以乙厂生产的产品数量为35件
(2)从乙厂抽取的5件产品中,编号为2、5的产品是优等品,即5件产品中有2件是优等品
由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为2
35145
?=(件) (2) ξ可能的取值为0,1,2
23253(0),10C P C ξ=== 1123256(1),10C C P C ξ=== 2
2251
(2),10
C P C ξ===
∴ξ的分布列为:
ξ
1
2
P
103 106 10
1
∴3614012.1010105
E ξ=?
+?+?=
8.【解析】(1)0.0061030.01100.054101010.018x x ??+?+?+?=?=
(2)成绩不低于80分的学生有(0.0180.006)105012+??=人,其中成绩在90分以上(含90分)的人数为0.0610503??= 随机变量ξ可取0,1,2
211
29933222
121212691
(0),(1),(0)112222
C C C C P P P C C C ξξξ=========
6911
0121122222
E ξ=?+?+?= 答:(1)0.018x =
(2)ξ的数学期望为
1
2
9.(1)样本均值为226
30
2521201917=+++++=
x . (2)根据题意,抽取的6名员工中优秀员工有2人,优秀员工所占比例为
3
162=, 故12名员工中优秀员工人数为4123
1=?(人). (3)记事件A 为“抽取的工人中恰有一名为优秀员工”, 由于优秀员工4人,非优秀员工为8人,故
事件A 发生的概率为3316
6684)(2
12
18
14=?=
=
C C C A P , 即抽取的工人中恰有一名为优秀员工的概率为33
16
.