中国人口增长预测模型的建立与分析
摘 要
为了加快中国的经济建设进程，全面落实科学的发展观，按照构建社会主义和谐社会的要求，实现人口与经济社会资源环境的协调和可持续发展。我们确定人口发展战略，必须既着眼于人口本身的问题，又处理好人口与经济社会资源环境之间的相互关系，构建社会主义和谐社会，统筹解决人口数量、素质、结构、分布等问题。
本文是以《中国人口统计年鉴》公布的部分人口数据为基准（其他部分数据通过网站查询得到），通过合理的假设和数学模型得到了对于中国人口增长预测的统计模型。
对中国人口做出分析和预测，主要分为如下三个方面： 第一、对人口做短期预测分析；
首先采用灰色系统对人口数量及人口分布即城镇化程度进行预测分析，然后利用人口发展方程进行改进，将二维（年龄、时间）关系转化为一维关系，求出01-05年的各个年龄段的人口增长率，由此反映出人口数量变化趋势。在此基础上求得01-05年总的人口增长率，再利用灰色系统对06-07年的人口增长率进行预测并对结果进行分析。
其次对人口结构进行预测分析。人口结构包括老龄化程度、抚养比、男女出生比例、育龄期妇女所占总人口比重、生育率，我们分别采用多次逐步回归，灰色系统，拟合等预测方法对其建立预测模型进行预测分析。
第二、对中国人口做出长期分析和预测；我们建立两个模型进行预测。
模型一、基于人口发展方程原理的改进模型：y=0.6535*K*100/（M+100）-6.19% 这个模型能反映人口数量与人口结构、人口分布之间的关系。从长远来看，城镇化程度会越来越严重，并且其在很大程度上影响男女出生性别比、老龄化程度、生育率等。因此利用人口发展方程的原理分别重新建立男女出生性别比、老龄化程度、生育率与时间、城镇化程度的关系模型，并对此进行长期预测。分析得结论：育龄期妇女的生育率都随时间而减小，最终趋于稳定值（大约为19‰）；城镇化程度逐渐增大，最后趋于稳定状态（城市人口所占比重为28.40%，镇为31.61%，乡为39.99%）；长期预测中的男女出生性别比逐渐减小，最终在113.5附近趋于平衡。 又由于人口数量受出生率变化的影响，而男女出生性别比、生育率对出生率影响很大。因此建立人口数量与男女出生性别比、生育率的关系模型并进行长期预测。结论为：人口数量呈先增大后减小趋势，峰值出现在2042年，届时人口数量将达到最大，为16.2295亿。
模型二、基于leslie 的改进模型：
(t)X B B B +(t)X A A A =t)▽n +X(t 22)
-(n 32112)-(n 321
此模型考虑到了生育率的变化，并是针对总人口分布处理的，克服了leslie 模型的不足，很适合做长期预测。我们先分别对城、镇、乡进行预测，再综合得出总的预测结果。得到结论：人口数量先增大后减小，峰值出现在2040年，届时人口数量将达到最大，为15.869亿，这与模型一得出的结果比较接近。并且由预测的年龄结构发现，老年化程度越来越严重，到2045年50-70岁这一年龄段分布的人口最多。
第三、人口控制：用模型一做出的人口总量预测峰值为16.2295亿。这与我国提出的将人口总量峰值控制在15亿左右的战略目标有一定差距。而影响此模型预测结果的参数主要是育龄妇女的生育率，因此我们通过控制生育率来控制人口数量。
关键词：分析和预测 人口发展方程 灰色系统 leslie 改进模型
1 问题的背景
随着中国加入世界贸易组织，进入世界500强，我们迎来了更多的机遇，但同时也面临更加艰巨的挑战。中国要在世界中立于不败之地，林立于世界强林之中，首先必须注重人口的发展。现在人口素质已成为综合国力竞争的核心，在经济社会发展中占据着举足轻重的地位。
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。近年来我国人口发展出现了一些新的特点。例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，乡村人口城镇化，先天畸形儿比例较高，人口在地区产业间分布不尽合理，人力资源分配不很完善等，这些因素都影响着中国人口的增长。
为了加快中国的经济建设进程，全面落实科学的发展观。按照构建社会主义和谐社会的要求，坚持以人为本，推进体制改革，优先投资于人的全面发展：稳定低生育水平，提高人口素质，改善人口结构，引导人口合理分布。保障人口安全，实现人口大国向人力资本强国的转变，实现人口与的协调和可持续发展。我们确定人口发展战略，必须既着眼于人口本身的问题，又处理好人口与经济社会资源环境之间的相互关系，构建社会主义和谐社会，统筹解决人口数量、素质、结构、分布问题。因此建立一个人口增长预测的数学模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测就显得尤为重要了。
2 问题的重述
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1)做出了进一步的分析。
关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。
从中国的实际情况和人口增长的上述特点，以构建社会主义和谐社会，统筹解决人口数量、素质、结构、分布等问题为出发点，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，包括人口数量、结构、分布情况等，并且针对预测的结果提出控制的方法；特别要指出所建模型中的优点与不足之处。
3 基本假设
（1）假设题中所给数据基本真实有效；
（2）假设没有重大的自然灾害发生；
（3）在较近一段时期，政府政策基本不发生重大变化；
（4）在较近一段时期，医疗卫生条件保持不变；
（5）所研究的问题没有太大的人口迁入与迁出；
（6）男性比率之和和女性比例之和的总和在1附近。可以近似认为1。
4 模型的符号说明
5 模型分析建立及求解
5.1 中短期人口预测
5.1.1 模型预处理
首先，我们做如下处理：
第一，鉴于人口的增长率只有0岁婴儿的出生能够表示，我们将0岁婴儿分为一类。而育龄妇女的年龄分布为15—49岁，且20—29岁之间的生育率尤为高，之后在我国计划生育等政策制度的影响下，生育率有所控制，由此我们把这一期间的人口分为初始生育期、生育旺盛期、生育控制期三类。而老年人又有较高的死亡率，所以结合中国统计年鉴的分类标准，把65岁以上的人群定义为老年人。综上原因，我们把年龄段分为如下7部分：定义0岁为婴儿期，1-14岁为幼年期，15-19岁为初始生育期，20-29岁为生育旺盛期；30-49岁为生育控制期；50-65岁为转向老年期；65岁以上为老年期。
第二，通过EXCEL计算，各年市、镇、乡各年龄组的男性比率与女性比率的总和在1附近。由于是统计数据，所以稍有偏差，以下我们可以近似认为男、女比率之和为1。
第三，本题要求对人口做中短期与长期预测。进行中短期预测时，由于政府政策在短时期内基本不变，人口数量、素质、结构、分布之间的关系不很明显，所以可以忽略它们之间的相互影响，采取以下方法进行预测。
其次，对于中短期人口的预测，我们从人口分布、数量、结构三方面考虑。
第一，人口数量我们采用人口发展方程模型，把针对人口数量的时间与年龄两个变量综合成一个变量，从而将二维微分方程转化为一维微分方程，大大改进并简化了模型。并且用人口增长率变化来反映人口数量的变化。
第二，人口分布的预测，我们进行人口城镇化比例的预测，采用灰色系统的方法。
第三，针对人口结构，我们又进一步从以下几个方面进行了预测：一，老龄化比例预测，我们采用灰色系统理论进行了预测。二，出生人口性别比预测，我们采用二次逐
步拟合的方法进行预测。三，劳动力预测，即人口抚养比预测，我们采用灰色系统进行预测。四，育龄妇女所占比重的预测，我们同样采用灰色系统。第五，生育率预测，我们又采用二次逐步拟合。 5.1.2人口数量与人口分布预测 5.1.2.1 人口数量预测的微分方程
题目所给数据量较少，运用时间序列进行预测需要大量的数据，不合适；而且预计未来某一时刻会有一个人口高峰值，因此运用灰色系统也不合理。因此我们转向考虑建立微分方程，借鉴人口发展方成模型，把以人口数量为因变量的两个自变量——时间与年龄综合成一个变量，从而将二维微分方程转化为一维微分方程，大大改进并简化了模型。并利用此求出各年的人口增长率，用人口增长率的变化来反映人口数量的变化。
我们引用人口发展方程，设),(t r F 是在第t 年、年龄小于r 的人口数，即人口分布函
数。将人口密度函数定义为：r
F
t r p ??=),(，),(t r p dr 表示时刻t 年龄在区间[dr r r +,]
内的人数。记),(t r μ为时刻t 年龄r 的人的死亡率，其含义是：dr t r p t r ),(),(μ表示第t 年在[)dr r r +,内单位时间死亡的人数 。
为了得到),(t r p 满足的方程，考察第t 年、年龄在[)dr r r +,内的人到时刻dt t +的情况。他们中活着的那一部分人的年龄变为[)11,dr dr r dr r +++，这里dt dr =1。而在dt 这段时间内死亡的人数为drdt t r p t r ),(),(μ。 于是drdt t r p t r dr dt t dr r p dr t r p ),(),(),(),(1μ=++-
设R 为第r 年龄段的人口数量百分比，即),(/)1,(t r p t r p R +=。对模型进行简化，将二维变量化为一维变量，即),(/)),1(1(*),1(),(/)1,(t r p t r u t r p t r p t r p R ---=+=。在第t 年中，第r 年龄段的人口数量百分比为)(/))1(1(*)1(r p r u r p R ---=，从而将变量t 省去。
以第t 年为例，方程有一个定解条件：出生的婴儿数量占总人口百分比记作)(),0(t f t p =，称婴儿出生率。设女性性别比函数为)(r k ，年龄在[)dr r r +,的女性人数为dr r p r k )()(，将这些女性在单位时间内平均每人的生育数量记作)(r b ，设育龄区为
],[21r r ，
则)(t β的直接含义是时刻t 单位时间内平均每个育龄女性的生育数。由此得到以下微分方程组：
??
?
?=---=21),(),(),()()()(/))1(1(*)1(r r dr t r p t r k t r h t t f r p r u r p r β 这个连续型人口发展方程描述了人口的演变过程，但为进一步简化模型，设dr =1；
即一岁为一个年龄段；将连续方程离散化。从这个方程确定出密度函数),(t r p 以后，立即可以得到各个年龄的人口比值（见附件1），即人口比值分布函数。
运用连续方程离散化的思想，利用等式：净人口增长率=出生率-死亡率，出生率即为)(t f ，死亡率为i n
i i d p *1∑=，其中i p 为第i 年龄段人口数量的比值（加权值），i d 为相
应年龄段的死亡率。
5.1.2.2 三种类型人口净增长率的求解
结合上述微分方程组，根据人口净增长率=出生率-死亡率，且出生率=各年市、镇、乡的女性比率与育龄妇女生育率的乘积之和，死亡率=各年男性比率?男性死亡率+女性
比率 女性死亡率，求出2001—2005年城市、镇、乡三种类型的人口净增长率。
表1 2001-2005年市、镇、乡三种类型人口净增长率（单位：%）
我们考虑分别采用灰色系统，多元逐步回归，时间序列分析等三种方法对三种类型的人口进行净总人口增长率的预测。但是，通过比较分析得知在这三种方法中，灰色系统预测效果最好。下面我们以城市人口净增长率为例，对运用灰色系统的预测进行较为详细的介绍：
灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统理论所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的。具有能够利用“少数据”建模寻求现实规律的良好特性，克服了资料不足或系统周期短的矛盾。
灰色系统GM（1，1）模型是依据系统中已知的多种因素的综合资料，按微分方程拟合去逼近，进而外推，达到预测的目的。这种拟合得到的模型是时间序列的一阶微分方程，因此，简记为GM(1，1)模型。
我们利用2002—2005年的实际值（3.4502，2.9174，4.2779，3.5108），通过MATLAB 程序（见附件2）运行得到如下结果：
表2 2002-2005年GM（1，1）灰色系统预测值与实际值比较
由上述表格利用相对误差计算得知相对平均误差为11.3%，平均误差在10%左右，误差率较小，通过检验。与此同时预测得到2006年市人口净增长率为3.9349%；2007年为 4.1075%。同理可预测得到镇人口净增长率2006年为3.9349%；2007年为 4.1075%。乡人口净增长率2006年为3.0676%，2007年为2.6847%。见表3
表3 各类型人口净增长率预测值表
由上表观察得知，从2006年到2007年，市人口净增长率从3.9349%增到4.1075%，增长了0.1726个百分点；而镇人口净增长率下降了0.2793个百分点；乡人口净增长率下降了0.3829个百分点，总体下降了0.4896个百分点。
由此可见，我国人口在这两年内虽然会增加，但是人口净增长率将会逐渐减小并趋于稳定。且可以看出城镇化趋势越来越严重。鉴于这种情况，下面我们对人口分布的城镇化比例进行预测。
5.1.2.3 求解城市、镇、乡三种类型所占人口总数的比重
根据题给附件的EXCEL表中2005年中国人口1%调查数据，通过计算得到市、镇、乡三种类型占人口总数的比重，见下表4。
表4 三种类型所占比重
运用灰色系统，通过MATLAB程序（附件1.1）运行得到各类型人口所占总人口的比例预测值表如下。
表5 各类型人口所占总人口的比例预测值表
由上表可知，从2006年到2007年，市人口所占比例由27.58%增长到28.06%，增长了0.48个百分点；镇人口所占比例由18.80%增长到20.59%，增长了1.79个百分点；乡人口所占比例由54.08%增长到52.42%，减少了1.66个百分点，总体增长了0.61个百分点。
分析城镇化比例预测值表及以上数据，可知该增长点主要是由于生产力的快速发展，各镇无法满足当地人民的生活需要，城镇人口大量涌入城市，进一步造成城镇化比例越来越大。但是，从乡村人口所占比例来看，呈现负增长趋势，可见，我国的政策改革使得城镇化趋势有所缓解。这与近年来人们返璞归真，走进大自然的思想还是很吻合的。因此可见，我们的模型能够反映政府政策的发展动态，以及人民的思想变化，还是较好的。
5.1.2.4 计算总人口的净增长率趋势
根据总人口净增长率等于市、镇、乡各类型人口净增长率与对应所占比例增长率的乘积之和，计算出总人口的净增长率趋势。即2006年总人口净增长率=市人口净增长率?城市人口比例+镇人口净增长率?镇人口比例+乡人口净增长率?乡人口比例。2007年的总人口净增长率的计算方法类似。从而计算得到2006总人口净增长率为3.5524%，2007年的总人口净增长率为3.3874%。
从以上数据及图表分析得知，中短期总人口净增长率逐渐减小并趋于稳定。出现这一现象的原因之一是我国实施计划生育政策，直接导致总人口净增长率下降；另外，我国社会主义经济持续增长，国民受教育程度越来越高，更多的人加入到晚婚晚育的行列，
且封建残留的思想——生女孩不好，已经基本得到缓解，致使越来越多的人生育一胎化，使更替水平趋于稳定，进而使总人口净增长率下降并趋于稳定。
由此可见，要从根本上解决总人口不断增长的趋势，还得进一步实施邓小平提出的“科学是第一生产力”的理念，提高全体国民的素质，加强推行计划生育的政策，鼓励优生优育、晚婚晚育等。 5.1.3 人口结构预测
5.1.3.1老龄化发展程度的预测
根据附件2所给数据，通过EXCEL 分别计算得到2001—2005年市、镇、乡三种类型老年人口（65岁以上人口）所占的比率，即求得三种类型的老龄化人口比重。
表6 市、镇、乡及全国的老龄化人口比重
下面以乡的老龄化人口占总人口的比重为例，运用多元逐步回归的方法，最终确定建立一次回归模型如
bt a W +=
其中，W 是指乡的老龄化人口占总人口的比率，t 表示时刻，b 表示时刻t 的系数。
通过SAS 程序（附件1.2）得到结果如下：
表7 模型的检验参数表
从表1-2-2中我们可见Pr 值为0.0081，远远小于0.05，由此可见此模型整体拟合效果较好，可以进行下一步的拟合。
表8 各变量的检验参数表
从表1-2-3中我们可见两个变量的P 值小于0.05，说明两个因素对W 有显著性的关系，由它得到乡老龄化的预测模型为：
959.5*507.0+=t y
通过上述预测模型计算得到2006年乡老龄化人口的预测值为9.001%，2007年老龄化人口的预测值为9.508%。
同理，运用多次逐步回归对城市和镇的老龄化人口占总人口的比率进行预测，得到如下结果：城市老龄化人口的模型为：y=0.087*t+7.955，并通过预测模型计算得到2006年老龄化人口的预测值为8.477 %，2007年老龄化人口的预测值为8.555%；镇老龄化人口的模型为; y=0.328*t+5.858，并通过预测模型计算得到2006年老龄化人口的预测值为7.83 %，2007年老龄化人口的预测值为8.15%。
表9 老龄化人口分布表
结合上述计算的城镇化人口比例，运用公式：
总老龄化人口占总人口的比率=市老龄化人口的比率?城市人口比例+镇老龄化人口的比率?镇人口比例+乡老龄化人口的比率?乡人口比例。
计算得到2006年总老龄化人口比率为8.6775%，2007年总老龄化人口比率为9.0619%。
图1 市、镇、乡及全国的老龄化程度图
由以上计算及图表分析，城市老龄化程度有一定的波动性，这与乡镇大量人口涌入城镇以及环境污染的条件下，城市大量人口有返璞归真，接近自然的思想休戚相关。这一对矛盾的统一体使得城市老龄化人口有一定的波动性。乡镇老龄化程度有一定程度的增长，这与我国医疗保健水平的提高导致死亡率降低，以及出生率降低致使老龄化程度相对较高有紧密的关系。
5.1.3.2 男女出生性别比的预测：
通过对附件数据1994-2005年的市、镇、乡的男女出生比例来预测分析，首先以城市男女出生比例为例：采用多次逐步拟合进行预测，最终选择2次拟合。
求得关系式为：
=t
.02+
y
12752
t
-
*
509725
*
85
.
509
拟合效果如下图：
图2 城市男女出生性别比拟合图
预测06年、07年的男女出生比例分别为：116.99 118.88
同理可得：镇的男女出生比例关系模型为：603800
.02+
-
y，
t
=t
15104
*
92
.
603
*
并且进一步计算得到2006年、2007年的男女出生比例的预测值分别为： 126.88，129.08；乡的男女出生比例关系模型为：140540
+
-
t
y。
=t
.02-
26
*
.
140
*
034965
并且进一步计算得到2006年、2007年的男女出生比例的预测值分别为：121.14，121.09 结合上述计算的城镇化人口比例，运用公式：
总男女出生人口比率=城市男女出生人口的比率?城市人口比例+镇男女出生人口的比率?镇人口比例+乡男女出生人口的比率?乡人口比例。
计算得到2006年总男女出生人口的比率为121.628，2007年总男女出生人口的比率为123.400（女性以100计）。
表 10 男女出生比例预测模型计预测值表
图3 市、镇、乡男女出生比例图
由图及计算的数据得知，在短期内，经济的发展不会突飞猛进，城镇化程度也不会达到非常高，人们重男轻女思想不会有转折性突变，因此性别比会呈现递增趋势
5.1.3.3 抚养比预测
扶养比也是衡量一个国家经济实力的重要指标，影响着国家经济状况的发展。因此，对于国民经济的预测也很有必要。
扶养比为非劳动人口与劳动人口的比值，且结合中国统计年鉴的分类标准，将15—64岁人口定义为劳动人口，通过EXCEL计算求和得到2001—2005年的劳动人口以及非劳动人口比率。通过公式：扶养比=非劳动人口的比率/劳动人口的比率，计算得到下表。
表11 2001-2005年扶养比变化表
以城市扶养比为例，运用用灰色系统对扶养比进行预测：
表12 2002-2005扶养比的GM（1，1）灰色系统预测值与实际值比较
通过相对误差计算得到相对平均误差为0.656%，误差远远小于10%，可见灰色系统预测效果相当好；与此同时得到2006、2007年城市扶养比的预测值分别为：0.3022，0.2964；同理可得镇扶养比预测值分别为：0.3647，0.3588；乡扶养比的预测值为：0.44206 ，0.4386。结合上述计算的城镇化人口比例，运用公式：
总扶养比人口比率=城市扶养比人口的比率?城市人口比例+镇扶养比人口的比率?镇人口比例+乡扶养比人口的比率?乡人口比例。
计算得到2006年总扶养比人口的比率为0.3909，2007年总扶养比人口的比率为0.3869。
表13 三种类型扶养比预测表
利用2001-2007年的扶养比数据，通过EXCEL制折线图如下：
图4 市、镇、乡及全国的扶养比变化图
由以上数据及表格得到扶养比有递减的趋势，主要原因是出生率有下降趋势，0—14岁人口逐渐减少且随着我国加入世界贸易组织，拥有越来越多的工作岗位等等原因。这就使得扶养比出现上述结果。
5.1.3.4 育龄妇女所占比重
运用附件2中所给15—49岁女性比率，通过EXCEL表求和得到育龄妇女所占比重。并且在更替水平保持稳定一致的前提下，认为15—49岁女性所占比率和即为育龄妇女所占的比率。
表14 育龄妇女比率表（单位：%）
同样采用灰色系统，通过MATLAB程序（附件2）得到2006年及2007年人口的预测值：
表15 2006-2007年育龄妇女预测表
结合上述计算的城镇化人口比例，运用公式：
总育龄妇女人口比率=城市育龄妇女人口的比率?城市人口比例+镇育龄妇女人口的比率?镇人口比例+乡育龄妇女人口的比率?乡人口比例。
计算得到2006年总育龄妇女人口的比率为27.8262%，2007年总育龄妇女人口的比率为27.9255%。
分析可知育龄妇女所占人口的比率基本不变。
5.1.3.5 生育率的预测
因为附件2中2000年的生育率数据缺失，鉴于1994-2005年数据呈线性递减，我们采用1999年和2001年的平均值作为2000年的生育率数据。以城市为例，对生育率利用多次逐步拟合的方法进行预测，拟合结果如下图：
图5 城市生育率拟合图
同理可得镇、乡生育率拟和曲线，结果如下表：
表16 生育率拟和曲线表
利用2001-2007年的扶养比数据，通过EXCEL制折线图如下：
图6 市、镇、乡生育率变化图
由上分析可知生育率逐渐减小，其中乡的育龄妇女的生育率〉镇的育龄妇女的生育率〉市的育龄妇女的生育率。
5.2 长期人口预测
5.2.1 模型一
1、鉴于我们研究的是在没有大的自然灾害、社会动荡因素及生物技术水平带来的医疗技术的巨大的突破情况下的人口发展模型，因此，可认为死亡率基本不变，但生育率会有较大变化。人口数量受出生率，育龄妇女所占总人口的百分比、生育率等的影响。男女出生性别比例，直接关系到将来育龄妇女所占总人口的百分比，从而影响出生率，进而影响人口数量。
2、通过1994-2005年数据可知：在短期内育龄妇女所占总人口的百分比波动不是很大，可以直接通过这些数据预测今后育龄妇女所占总人口的百分比来推算未来人口数量，或者直接通过以往人口数量来预测未来人口数量，所产生的误差不大。但由于男女出生性别比一直增加，在长期预测中，育龄妇女所占总人口的百分比变化很大，并且生育率变化也很大。因此在长期内，必须考虑男女出生性别比例和生育率的影响。
在如下模型中主要考虑男女出生性别比例和生育率是对人口数量的影响。
5.2.1.1 男女出生性别比例预测
城市男女出生性别比相对乡村要平衡一些，随着时间的推移，城镇人口所占的比例会逐渐增加，而导致总的男女出生性别比会变化，因此建立男女出生性别比随城镇化程度及时间的关系变化模型。
表17 各类型人口数量比例随时间变化的关系式表
由函数关系表达式得知：城镇人口所占的比重会越来越多，乡的人口所占的比重会越来小。
城市，镇，乡村的男女出生性别比随时间变化的数学模型：
表18 各类型人口数量比例随时间变化的关系式表
综上建立男女出生性别随城镇化程度以及时间的变化关系模型：
M=w1*y1+w2*y2+w3*y3（M表示第t年的总的男女出生性别比）对预测结果进行数据分析：发现结果与实际有一定出入，男女出生性别比会越来越大。因此利用阻滞增长模型的原理对上述模型进行改进，设立阀值，使模型更加符合实际；通过数值分析可得，市、镇、乡性别比例不应超过114 ，120 ，122。
对改进后模型进行分析：城市的男女出生性别比较乡村小，会以较快速度接近稳定值，而镇、乡的男女出生性别比较大，性别比波动期较长。
对预测结果进行数据分析：男女出生性别比会先增长，后减小（受城镇化程度影响），最终会趋于在113.5的附近波动。
5.2.1.2 老龄化程度的预测
城市的老龄化程度较乡村高，随着时间的推移，城镇人口所占的比例会逐渐增加，而导致总的老龄化程度变化。
表19 各类型人口老龄化程度随时间变化的关系式表
因此建立老龄化程度、城镇化程度、时间的关系模型：
M=v1*y1+v2*y2+v3*y3（M表示第t年的总的男女出生性别）
同样利用阻滞增长模型原理对上述模型进行改进。
对改进后模型预测结果进行数据分析：老龄化程度不断加大，最终将会趋于在一定的范围内波动。
5.2.1.3生育率的预测
城市的育龄妇女的生育率比乡村要小很多，随着时间的推移，城镇人口所占的比例会逐渐增加，而导致总的生育率会变化很大。
表20 各类型育龄妇女的生育率随时间变化的关系式表
市、镇、乡的育龄期妇女的生育率都随时间而减小，最终趋于稳定，但市的生育率趋于稳定值所需要的时间要少一些。因此建立生育率、城镇化程度、时间的关系模型：K=u1*W1+u2*W2+u3*W3，同样利用阻滞增长模型原理对上述模型进行改进。结论：总生育率不断降低.，最终趋于19‰附近上下波动。
5.2.1.4.人口数量预测
因为死亡率基本不变，则育龄妇女所占总女性人口的百分比不变；而女性人口占总人口的比率由于男女出生性别比例变化而变化。
取2005年为基年；育龄女性占总女性人口的百分比为65.35%，设性别比例为M,生育率为K，死亡率为6.19%，人口总量为13.0756亿。
根据人口净增长率=生育率*育龄妇女所占总人口的百分比-死亡率=0.6535*K*100/（M+100）-6.19%。利用男女出生性别比的模型方程、老龄化程度预测的模型方程代入求解（见附件5、6）。最终得出如下结论：在2042年出现人口峰值，此时人口增长率为0.016%（2043年人口增长率为负数），人口数量达到最大为16.2295亿。此时男女出生性别比达到平衡，大约在113.5附近波动。生育率大约在19‰附近波动。此时的城镇化程度分别为：城市人口所占比重为28.40%，镇所占比重为31.61%，乡所占比重为39.99%
图7 2005—2055年未来人口预测图
5.2.2 模型二
5.2.2.1 leslie 模型及其分析
本模型是基于leslie 模型的改进模型，下面对leslie 模型的一个较为详细的介绍。leslie 模型是一个考虑年龄结构的离散人口模型，模型表示如下：
???
??
==?+=?+-=∑.
2,1),()()()(01000
01n i t x b t t x t x a t t x i i i i n
i i 写成矩阵形式即为：X （)0t t ?+=RX （0t ）.
R=???????
?????????---00
0000
1
212121
n n n b b b a a a a
以0t 为初始年限，依次递推可得一个用于预测人口总量及其年龄结构的模型：
X （)0t n t ?+=R n X （0t ），
其中x i （)0t n t ?+表示第（)0t n t ?+年年龄段i 的人口总数， a i 表示年龄段为i 的女性平均生育女性率，
b i 表示年龄段为i 的女性由时刻（)0t n t ?+进入到（))1(0t n t ?++时刻的存活率， 5.2.2.2 leslie 模型的改进模型
leslie 模型只考虑了女性人口数，且将各年龄段女性的生育率、生存率均设为常数，
这样做虽然大大简化了模型，易于预测人口总量及其年龄结构。实际上，尽管各年龄段女性的生存率可能大致不变，可以看作常数，但是生育率却会出现较大的波动，这与生活水平、生育观念有紧密的联系。随着政府政策的改变，医疗诊断水平得以不断提高，男女出生比例不再是自然生育状况下的比例，而有较大的波动。
leslie 模型不考虑男性人口情况，完全依赖于女性数据并根据某一确定的男女性别比计算人口总量，这种做法有待改进。针对lieslie 模型中的不合理成分，我们考虑模型的改进方向：第一，考虑男性的人口比率；第二，针对生育率确定这一条件，寻求一个随时间变化的生育率，使模型更加完善。
由附件中给出的数据可分别求出各年龄段男性、女性的加权平均死亡率，鉴于我们研究的是在没有大的自然灾害、没有社会动荡因素及生物技术水平带来的医疗技术的巨大突破情况下的人口发展模型，因此，可认为各年龄段男性、女性的死亡率基本不变。再由1994年—2005年的男女性别比并结合实际情况，可以看出男女性别比将在一个范围内波动。为简化模型，我们将男女性别比取其平均值，这样，根据性别比即可分别求出男性、女性的leslie 矩阵，
结合中国统计年鉴的分类标准，育龄妇女为14—49岁的女性，考虑将育龄女性和
非育龄女性划为不同组别，我们以5年为一个年龄段，将0—89岁人群化为18个年龄段，并将大于90岁的人划为一个年龄段进行处理，共划分为19个年龄段。
根据题目附件所给数据，我们可计算出2001—2005这五年内育龄女性在各年龄段的生育率(其中2003年的妇女生育率显然有问题，可将它作一个放大十倍的处理则比较合理)，并由此预测生育率的趋势。但由于数据有限，预测的年限越多，由此造成的累积误差就越大，因此我们只预测三年的生育率。
针对以上两个方向，现作出一改进模型，如下：
易知，各年龄段人口数=男性各年龄段人数+女性各年龄段人数；考虑男女性别比，则生育率不为常数。先根据数据预测得出一个总体趋势，用变化的生育率作较短期预测。而在作长期预测时则采用变化并取定值的混合方略。具体模型如下：
????????
???(t)
X B B B +(t)X A A A =t)▽n +X(t (t)X B B B +(t)X A A A =t)▽4+X(t (t)
X B B B +(t)X A A A =t)▽3+X(t (t)
X B B +(t)X A A =t)▽2+X(t (t)
X B +(t)X A =t)▽+X(t 22)-(n 32112)-(n 32122
32112321232113212211212111 其中，
A i =???????????????
?---0
00
0001
212
1112111n i
n i
n i
i
b b b a k a k a k a k B i =???????
????????
?---0
000001
212
2122
212n i
n i
n i
i b b b c k c k c k c k （i=1，2，3）
5.2.2.3 模型的求解及其分析
编写MATLAB 程序（见附件7）求解上述模型，对城、镇、乡的数据均作预测。 首先预测出2010—2050年人口总数：
表21 2010—2050年人口总量预测值表
并作预测图如下：
图8 人口总量预测值图
图9 2010年与2035年各类型人口预测对比图
分析以上图表：由2010—2050年人口总量预测值表及预测图可知人口数量先增大后减小，峰值出现在2040年，此时，人口数量达到最大为15.869亿。近些年来，计划生育工作的有效实施，使我国人口迅猛增长的局势得到控制，人口净增长率呈下降趋势，在现有政策波动不大的情况下，我国人口应会出现一个先增大后减小，出现峰值的情况，这与本模型的结果相吻合，说明此模型在预测人口总量时比较合理。
但对照2010年与2035年预测的城、镇、乡人口比例图得知：市人口预测值由28%增长到29%，增长了1个百分点；镇人口下降了一个百分点，乡人口预测值基本没有很大变化。这与我国城镇化比率不断提高现实情况极不吻合，主要是因为此模型没有考虑乡镇居民向城市居民转化的因素，因此，此模型在预测城镇化程度时，极不合理。
其次，预测出2015、2020、2025、2045这四年的各年龄段人口数，详细结果见附录，分析可知 2015年35-50这一年龄段得人口分布最多，这一结果与我国实际情况也十分吻合：在上世纪70-80年代生育率大增，造成这一时期出生人口较多，而后由于计
划生育的实施，每年的人口出生量得到控制，有所下降。这一结果进一步表明所建模型的合理性。而到2045年时，50-70岁这一年龄段的分布的人口最多，我国老年化程度达到最大。
预测出的2015年的城、镇、乡的人数如下：
表22 2015年各年龄段人口数（单位：亿）
（注：预测的其他年份各年龄段人口数见附件8）
5.3 人口控制模型
5.3.1问题分析
预测的人口总量峰值在16亿左右，与这与我国提出的人口总量峰值控制在15亿左右的战略目标有一定差距，影响人口总数发展进程的因素有男女性别比、死亡率、生育率，而死亡率是很难控制的，因此国家应该以降低生育率来达到控制人口数量的目的。
5.3.2 控制方案确立
利用长期预测模型中的第一个模型进行修正，得出当国家把生育率控制在20.65‰-23‰左右时。人口峰值会在2043年出现，为15.1410亿。
6 模型评价
6.1 优点
基于人口发展方程原理的改进模型
（1）考虑到男女出生性别比例、城镇化程度、生育率和人口数量的关系，从而有效地避免了预测期太长导致误差出现累积效应而过大。
（2）运用阻滞增长模型原理，设立阈值，使预测结果与实际情况更接近。
（3）可以有效地得到人口数量、结构、分布之间的关系。
基于leslie的改进模型
（1）便于预测长期人口数量，与leslie模型相比，结果更直观，效果更优。
（2） lesili模型一个很大的不足便是将育龄期女性的生育率当作常数处理，而最终模型预测是通过递推而得，在递推的每一步都会用到生育率这一参数，因
此会极大影响预测效果。我们在模型中对生育率先作短期预测，再取定值。
当作中短期预测时用变化的生育率。而在作长期预测时则采用变化且取定值
的混合方略，就降低了预测值与实际值的差距。
（3）可预测出各年龄段的结构分布，进而为国家提供人口控制的决策依据。
6.2 缺点
基于人口发展方程原理的改进模型
（1）阈值设立带有一定的主观性，并且对预测结果有一定影响。
（2）预测长期人口数量趋势时，仅仅考虑男女出生性别比例、生育率等对其的影响，导致建立的关系模型不很全面。
基于leslie的改进模型
（1）预测是基于分组年限确定的，若分组太细则模型计算量太大，不宜实行；而分组年限太大，则不能逐年预测。只能每间隔 t年预测一次，这样模型就
不适合作短期预测。
（2）由于对生育率的确立作了一些改进，但同时也增加了模型的复杂度。
6.3模型的应用
我们可根据实际需要选择模型，当仅需预测人口总数及人口年龄分布时，优先选用模型二，而当要求同时预测出城镇化比例、男女性别比例趋势等时优先选用模型一。
[参考文献]：
[1] 谭永基等，数学模型，[M]，上海：复旦大学出版社。
[2] 姜启源等，大学数学实验，[M]，北京：清华大学出版社。
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[4] 盛聚等，概率论与数理统计[M]，北京：高等教育出版社。
[5] 朱军，线形模型分析原理，[M]，1999。
[6] 薛定宇，陈阳泉，高等应用数学问题的MA TLAB求解，[M]，北京：清华大学出版社，2004。
２01４高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。 我们参赛选择的题号是(从Ａ/B/C/Ｄ中选择一项填写)：B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）: 所属学校（请填写完整的全名)： 参赛队员(打印并签名) :1. 2． 3．
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名): ?（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。) 日期： 20１4 年 9 月15日 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号）:
２０14高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用）：
CT系统参数标定及成像问题研究 摘要 CT机扫描部分主要由X线管和不同数目的控测器组成，用来收集信息。X线束对所选择的面层进行扫描，其强度因和不同密度的组织相互作用而产生相应的吸收和衰减。[1] 探测器将收集到的信息经过一系列的转变，最后经过计算机的储存和处理，得到CT值可以排列成数字矩阵。 通过对题目所提供材料进行分析，提出了较为合理的假设，对各组附件数据进行了拟合处理制成各种图像并分析说明，且建立模型来求解CT系统拟合处理问题。 在对问题一的分析中，对附件一模拟实体立体化建立模型Ⅰ，并对数据进行处理及排差，假设载物台在理想状态下是水平并与探测器无偏差，而且不考虑机械系数或各种问题的情况下，建立起了一个模拟CT系统的仪器。运用数学几何知识作图，通过建立相似图形（模拟CT系统运行）等比例来确定几个系统参数之间的关系（CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向）。在对建立的模型Ⅰ进行改进的基础上，对附件2进行拟合处理建立模型Ⅱ，利用数学中的傅里叶变换算法等比对图2模板示意图进行平面配对。借助数学算法和MATLAB软件，对附件中所提供的数据进行了筛选，去除异常数据，对残缺数据进行适当补充，并随机抽取了其中几组数据对理论结果进行了数据模拟，结果显示，理论结果与数据模拟结果吻合。 在对问题二的分析中，对附件3模拟建立模型Ⅲ。利用上述CT系统得到的某未知介质的接受信息还有结合问题一所得到的标定参数，通过建立相似图形等比例来确定几个系统参数之间的关系（CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、几何图形以及该吸
收率等信息）。借助数学算法和MATLAB软件，利用图3所给的10个位置，对附件4中所提供的数据（对附件4模拟建立模型Ⅳ）进行了筛选，去除异常数据，对残缺数据进行适当补充，并随机抽取了其中几组数据对理论结果进行了数据模拟推测其的吸收率。 在对问题三的分析中，对附件5模拟建立模型Ⅴ。利用上述CT系统得到的某未知介质的接受信息还有结合问题一所得到的标定参数，通过建立相似图形等比例来确定几个系统参数之间的关系（CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、几何图形以及该吸收率等信息）。借助数学算法和MATLAB软件，利用图3所给的10个位置，进行了数据模拟推测其的吸收率。 在对问题四的分析中，借助数学算法和MATLAB软件，分析问题一中参数标定的精度和稳定性，并借助问题一的条件设计出新的模板、建立所对应的标定模型，以改进精度和稳定性。 关键词：数字矩阵拟合处理傅里叶变换算法平面配对标定参数吸收率
第五届华中地区大学生数学建模邀请赛 论文格式规范1 ●参赛队从A、B题中任选一题。 ●论文（答卷）用白色A4纸单面打印，上下左右各留出至少2.5厘米的页边距。 ●论文第一页为承诺书，论文题目和摘要写在论文第二页上，论文1—2页按组委会 统一要求编排，具体内容见下文。从第三页开始是论文正文。论文从第二页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。注意，论文一律要求从左面装订。 ●论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ●论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中；二级、三级标题用小 四号黑体字，左端对齐（不居中）。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。 ●提请大家注意：摘要在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写摘要（注意篇幅 不能超过一页）。阅卷组评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 ●引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料）必须按照规定的参考文 献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中： 书籍的表述方式为 [编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为 [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为 [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 1本规范部分参考《全国大学生数学建模竞赛论文格式规范》，其解释权属于第五届华中地区大学生数学建模邀请赛竞赛组委会。
Haozl觉得数学建模论文格式这么样设置 版权归郝竹林所有，材料仅学习参考 版权：郝竹林 备注☆ ※§等等字符都可以作为问题重述左边的。。。。。一级标题 所有段落一级标题设置成段落前后间距13磅 图和表的标题采用插入题注方式题注样式在样式表中设置居中五号字体 Excel中画出的折线表字体采用默认格式宋体正文10号 图标题在图上方段落间距前0.25行后0行 表标题在表下方段落间距前0行后0.25行 行距均使用单倍行距 所有段落均把4个勾去掉 注意Excel表格插入到word的方式在Excel中复制后，粘贴，word2010粘贴选用使用目标主题嵌入当前 Dsffaf 所有软件名字第一个字母大写比如E xcel 所有公式和字母均使用MathType编写 公式编号采用MathType编号格式自己定义
农业化肥公司的生产与销售优化方案 摘 要 要求总分总 本文针对储油罐的变位识别与罐容表标定的计算方法问题，运用二重积分法和最小二乘法建立了储油罐的变位识别与罐容表标定的计算模型，分别对三种不同变位情况推导出的油位计所测油位高度与实际罐容量的数学模型，运用matlab 软件编程得出合理的结论，最终对模型的结果做出了误差分析。 针对问题一要求依据图4及附表1建立积分数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。我们作图分析出实验储油罐出现纵向倾斜 14.时存在三种不同的可能情况，即储油罐中储油量较少、储油量一般、储油量较多的情况。针对于每种情况我们都利用了高等数学求容积的知识，以倾斜变位后油位计所测实际油位高度为积分变量，进行两次积分运算，运用MATLAB 软件推导出了所测油位高度与实际罐容量的关系式。并且给出了罐体倾斜变位后油位高度间隔为1cm 的罐容标定值（见表1），最后我们对倾斜变位前后的罐容标定值残差进行分析，得到样本方差为4103878.2-?，这充分说明残差波动不大。我们得出结论：罐体倾斜变位后，在同一油位条件下倾斜变位后罐容量比变位前罐容量少L 243。 表 1.1 针对问题二要求对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。我们根据实际储油罐的特殊构造将实际储油罐分为三部分，左、右球冠状体与中间的圆柱体。运用积分的知识，按照实际储油罐的纵向变位后油位的三种不同情况。利用MATLAB 编程进行两次积分求得仅纵向变位时油量与油位、倾斜角α的容积表达式。然后我们通过作图分析油罐体的变位情况，将双向变位后的油位h 与仅纵向变位时的油位0h 建立关系表达式01.5(1.5)cos h h β=--，从而得到双向变位油量与油位、倾斜角α、偏转角β的容积表达式。利用附件二的数据，采用最小二乘法来确定倾斜角α、偏转角β的值，用matlab 软件求出03.3=α、04=β α=3.30，β=时总的平均相对误差达到最小，其最小值为0.0594。由此得到双向变位后油量与油位的容积表达式V ，从而确定了双向变位后的罐容表(见表2)。 本文主要应用MATLAB 软件对相关的模型进行编程求解，计算方便、快捷、准确，整篇文章采取图文并茂的效果。文章最后根据所建立的模型用附件2中的实际检测数据进行了误差分析，结果可靠，使得模型具有现实意义。 关键词：罐容表标定；积分求解；最小二乘法；MATLAB ；误差分
利用数学建模解数学应用题 数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。本文将结合数学应用题的特点，把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析，希望得到同仁的帮助和指正。 一、数学应用题的特点 我们常把来源于客观世界的实际，具有实际意义或实际背景，要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题具有如下特点： 第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题；与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题；与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。 第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法，使所求问题数学化，即将问题转化成数学形式来表示后再求解。 第三、数学应用题涉及的知识点多。是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力的检验，考查的是学生的综合能力，涉及的知识点一般在三个以上，如果某一知识点掌握的不过关，很难将问题正确解答。 第四、数学应用题的命题没有固定的模式或类别。往往是一种新颖的实际背景，难于进行题型模式训练，用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题。必须依靠真实的能力来解题，对综合能力的考查更具真实、有效性。因此它具有广阔的发展空间和潜力。 二、数学应用题如何建模 建立数学模型是解数学应用题的关键，如何建立数学模型可分为以下几个层次： 第一层次：直接建模。 根据题设条件，套用现成的数学公式、定理等数学模型，注解图为： 将题材设条件翻译 成数学表示形式 应用题审题题设条件代入数学模型求解 选定可直接运用的 数学模型 第二层次：直接建模。可利用现成的数学模型，但必须概括这个数学模型，对应用题进行分析，然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型中所需数学量需进一步求出，然后才能使用现有数学模型。 第三层次：多重建模。对复杂的关系进行提炼加工，忽略次要因素，建立若干个数学模型方能解决问题。 第四层次：假设建模。要进行分析、加工和作出假设，然后才能建立数学模型。如研究十字路口车流量问题，假设车流平稳，没有突发事件等才能建模。
前两页空白且不编页码
从该页开始编页码摘要 本文在依照电力市场交易原则和输电阻塞管理原则的前提下，通过多元线性回归分析、目标规划等方法，对电力市场的输电阻塞管理问题进行了研究。 问题1中，通过对散点图进行分析，可以得到所有机组出力值都与各线路的有功潮流值存在线性关系。于是，我们利用多元线性回归分析模型，分别得到6条线路的有功潮流与8个机组出力的带有常数项的线性表达式，其中，模型中的参数用最小二乘法估计，并进行了检验，证明函数关系可行。 问题2中，通过分析可知，阻塞费用主要是包括两部分，分别是序内容量不能出力的部分和报价高于清算价的序外容量出力的部分。“公平对待”就理解为电网公司赔偿两者在交易中所有的收入损失，从而制定出了阻塞费用的计算规则和公式。 针对问题3，为了下一个时段各机组的出力分配预案，我们按照电力市场规则，以在各机组出力存在上下极限（受爬坡速率影响）和机组出力值之和必须满足预报负荷为约束条件，以购电费用最少为目标函数，建立线性规划模型。最终各机组的出力分配预案为： 机组1 机组2 机组3 机组4 机组5 机组6 机组7 机组8 150 79 180 99.5 125 140 95 113.5 按照此出力分配预案，清算价为303元/兆瓦小时，购电费用为74416.8元。 问题4中，把问题3的计算数据代入问题4，通过问题1所得函数关系的计算易知部分线路出现阻塞，需调整出力方案。于是，我们以在各条线路上的有功潮流的绝对值不超出限值，各机组出力在其上下极限范围内以及机组出力值之和必须满足预报负荷为约束条件，以阻塞费用最低为目标函数，建立非线性目标规划模型，得到调整之后的出力分配方案为： 机组1 机组2 机组3 机组4 机组5 机组6 机组7 机组8 150.1 88 228 82.3 152 95 70.1 117 此时，清算价为303元/兆瓦小时，购电费用为74416.8元，阻塞费用为4619元。 针对问题5，重复问题3、4的工作。但因其预报负荷较大，无法输电阻塞消除，需将安全裕度纳入考虑范围之内。于是，根据安全且经济的原则的原则，以各条线路上的有功潮流的绝对值不超出安全裕度上限，各机组出力在其上下极限范围内以及机组出力值之和必须满足预报负荷为约束条件，以每条线路上潮流的绝对值超过限值的百分比最小和阻塞费用最低为目标函数，建立双目标规划模型，并利用加权法进行求解。调整之后的方案为： 机组1 机组2 机组3 机组4 机组5 机组6 机组7 机组8 153 88 188.2 99.5 150 155 102.1 117 此时，清算价为356元/兆瓦小时，购电费用为93699.2元，阻塞费用为1310.2元。 关键词：多元线性回归分析；最优解；非线性规划；多目标规划
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则、 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道,抄袭别人的成果就是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其她公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处与参考文献中明确列出。 我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号就是(从A/B/C/D中选择一项填写): 我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话): 所属学校(请填写完整的全名): 参赛队员(打印并签名) :1、 2、 3、 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名): 日期: 年月日赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
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眼科病床的合理安排 摘要 病床就是医院的重要卫生资源,其使用情况就是反映医院工作效率的重要指标,合理分配床位、提高病床使用率对于充分利用医疗资源、提高医院的两个效益有着十分重要的意义。 本题针对某医院眼科病床分配中存在的不合理现象,让我们建立一个合理的病床安排 模型,以解决病床的最优分配问题,从而提高对医院资源的有效利用。 针对问题一,本文制定的指标评价体系包括门诊相关指标集(病人平均等待时间、门诊等待平均队长、病人平均满意度)与病床相关指标集(出院者平均住院日数、病床平均工作日、病床平均周转率、实际病床利用率)。为了能够全面地评价出模型的优劣,本文采用目前普遍使用的密切值法、TOPSIS法与RSR法等综合评价方法,并对应建立了三个评价模型,以得出更为科学合理的结论。 针对问题二,本文建立了以病床需求数为状态转移变量、以各类病人的病床安排数为决策变量的动态规划模型。模型中,充分考虑了观测期内病人平均等待时间、病床平均周转率、病床利用率与潜在流失率等指标,且在制定寻优策略时,引入了病人满意度量化函数与优先 级函数,使得模型更加合理。通过Matlab对该模型求解,得出了次日病床安排方案(结果见表4)。 综合评价模型时,以该医院目前的病床安排方案与我国医院通用的病床安排方法为比 较对象,借助上述三种评价方法与模型,进行了综合评价比较,从综合评价结果来瞧,本文的模型相对较优(评价结果见表9)。 针对问题三,本文既充分考虑了如何缩短病人平均等待时间与提高病床利用率,又兼顾 了公平原则,根据病症的不同与就诊病人到院的顺序制订了优先服务策略,给出了每个病人 相应的入住时间区间(见P18)。 针对问题四,由于住院部周六与周日不安排手术,对某些类型病人的病床安排产生了一 定的影响,因此我们对问题二中模型的优先级函数进行了相应的调整,并利用Matlab进行了求解(结果见表10)。 为了判断手术安排时间就是否改变,本文根据问题一的评价方法与模型对修改后的模 型进行了综合评价,从评价结果得知,手术安排时间应该做相应的调整。 针对问题五,为了使所有病人在系统内的平均逗留时间(含等待入院及住院时间)最短, 本文建立了以其为目标函数且带约束条件的非线性规划模型,并利用了Lingo软件对其进行求解,得出的结论就是:分配给外伤、白内障(双眼)、白内障(单眼)、青光眼、视网膜疾病等各类型病人的床位数依次为:8、16、12、21、22,分别占总床数的比例为:10、13%、20、25%、15、19%、26、58%、27、85%。 最后,本文对所建模型的优点与缺点进行了客观的评价,认为本文研究的结果在实际医院病床安排中有一定的参考价值。 关键词:病人平均等待时间;实际病床利用率;RSR法;满意度量化函数;动态规划模型;非线性规划
数学建模优秀论文范文 数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。本文将结合数学应用题的特点，把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析，希望得到同仁的帮助和指正。 一、数学应用题的特点 我们常把来源于客观世界的实际，具有实际意义或实际背景，要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题具有如下特点: 第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题;与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题;与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。 第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法，使所求问题数学化，即将问题转化成数学形式来表示后再求解。 第三、数学应用题涉及的知识点多。是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力的检验，考查的是学生的综合能力，涉及的知识点一般在三个以上，如果某一知识点掌握的不过关，很难将问题正确解答。 第四、数学应用题的命题没有固定的模式或类别。往往是一种新颖的实际背景，难于进行题型模式训练，用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题。必须
依靠真实的能力来解题，对综合能力的考查更具真实、有效性。因此它具有广阔的 发展空间和潜力。 二、数学应用题如何建模 建立数学模型是解数学应用题的关键，如何建立数学模型可分为以下几个层次: 第一层次:直接建模。 根据题设条件，套用现成的数学公式、定理等数学模型，注解图为: 将题材设条件翻译 成数学表示形式 应用题审题题设条件代入数学模型求解 选定可直接运用的 数学模型 第二层次:直接建模。可利用现成的数学模型，但必须概括这个数学模型，对 应用题进行分析，然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型中所需数学量需 进一步求出，然后才能使用现有数学模型。 第三层次:多重建模。对复杂的关系进行提炼加工，忽略次要因素，建立若干 个数学模型方能解决问题。 第四层次:假设建模。要进行分析、加工和作出假设，然后才能建立数学模 型。如研究十字路口车流量问题，假设车流平稳，没有突发事件等才能建模。 三、建立数学模型应具备的能力 从实际问题中建立数学模型，解决数学问题从而解决实际问题，这一数学全过 程的教学关键是建立数学模型，数学建模能力的强弱，直接关系到数学应用题的解 题质量，同时也体现一个学生的综合能力。 3(1提高分析、理解、阅读能力。
初中数学建模论文范文 数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。本文将结合数学应用题的特点，把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析，希望得到同仁的帮助和指正。 一、数学应用题的特点 我们常把来源于客观世界的实际，具有实际意义或实际背景，要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题具有如下特点： 第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题；与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题；与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。 第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法，使所求问题数学化，即将问题转化成数学形式来表示后再求解。 第三、数学应用题涉及的知识点多。是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力的检验，考查的是学生的综合能力，涉及的知识点一般在三个以上，如果某一知识点掌握的不过关，很难将问题正确解答。 二、数学应用题如何建模 第一层次：直接建模。 根据题设条件，套用现成的数学公式、定理等数学模型，注解图为： 第二层次：直接建模。可利用现成的数学模型，但必须概括这个数学模型，对应用题进行分析，然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型中所需数学量需进一步求出，然后才能使用现有数学模型。 第三层次：多重建模。对复杂的关系进行提炼加工，忽略次要因素，建立若干个数学模型方能解决问题。 第四层次：假设建模。要进行分析、加工和作出假设，然后才能建立数学模型。如研究十字路口车流量问题，假设车流平稳，没有突发事件等才能建模。 三、建立数学模型应具备的能力
一、数学应用题的特点 我们常把来源于客观世界的实际,具有实际意义或实际背景,要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示,从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题具有如下特点: 第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际就是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题;与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题;与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。 第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法,使所求问题数学化,即将问题转化成数学形式来表示后再求解。 第三、数学应用题涉及的知识点多。就是对综合运用数学知识与方法解决实际问题能力的检验,考查的就是学生的综合能力,涉及的知识点一般在三个以上,如果某一知识点掌握的不过关,很难将问题正确解答。 第四、数学应用题的命题没有固定的模式或类别。往往就是一种新颖的实际背景,难于进行题型模式训练,用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题。必须依靠真实的能力来解题,对综合能力的考查更具真实、有效性。因此它具有广阔的发展空间与潜力。 二、数学应用题如何建模 建立数学模型就是解数学应用题的关键,如何建立数学模型可分为以下几个层次: 第一层次:直接建模。 根据题设条件,套用现成的数学公式、定理等数学模型,注解图为: 将题材设条件翻译成数学表示形式: 应用题、审题、题设条件代入数学模型、求解 选定可直接运用的数学模型 第二层次:直接建模。可利用现成的数学模型,但必须概括这个数学模型,对应用题进行分析,然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型中所需数学量需进一步求出,然后才能使用现有数学模型。 第三层次:多重建模。对复杂的关系进行提炼加工,忽略次要因素,建立若干个数学模型方能解决问题。 第四层次:假设建模。要进行分析、加工与作出假设,然后才能建立数学模型。如研究十
觉得数学建模论文格式这么样设置 版权归郝竹林所有，材料仅学习参考 版权：郝竹林 备注☆※§等等字符都可以作为问题重述左边的。。。。。一级标题 所有段落一级标题设置成段落前后间距13磅 二级标题设置成段落间距前0.5行后0.25行 图和表的标题采用插入题注方式题注样式在样式表中设置居中五号字体 中画出的折线表字体采用默认格式宋体正文10号 图标题在图上方段落间距前0.25行后0行 表标题在表下方段落间距前0行后0.25行 行距均使用单倍行距 所有段落均把4个勾去掉 注意表格插入到的方式在中复制后，粘贴，2010粘贴选用使用目标主题嵌入当前 所有软件名字第一个字母大写比如 所有公式和字母均使用编写 公式编号采用编号格式自己定义
公式编号在右边显示
农业化肥公司的生产与销售优化方案 摘 要 要求总分总 本文针对储油罐的变位识别与罐容表标定的计算方法问题，运用二重积分法和最小二乘法建立了储油罐的变位识别与罐容表标定的计算模型，分别对三种不同变位情况推导出的油位计所测油位高度与实际罐容量的数学模型，运用软件编程得出合理的结论，最终对模型的结果做出了误差分析。 针对问题一要求依据图4及附表1建立积分数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1的罐容表标定值。我们作图分析出实验储油罐出现纵向倾斜 14.时存在三种不同的可能情况，即储油罐中储油量较少、储油量一般、储油量较多的情况。针对于每种情况我们都利用了高等数学求容积的知识，以倾斜变位后油位计所测实际油位高度为积分变量，进行两次积分运算，运用软件推导出了所测油位高度与实际罐容量的关系式。并且给出了罐体倾斜变位后油位高度间隔为1的罐容标定值（见表1），最后我们对倾斜变位前后的罐容标定值残差进行分析，得到样本方差为4103878.2-?，这充分说明残差波动不大。我们得出结论：罐体倾斜变位后，在同一油位条件下倾斜变位后罐容量比变位前罐容量少L 243。 表 1.1 针对问题二要求对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。我们根据实际储油罐的特殊构造将实际储油罐分为三部分，左、右球冠状体与中间的圆柱体。运用积分的知识，按照实际储油罐的纵向变位后油位的三种不同情况。利用编程进行两次积分求得仅纵向变位时油量与油位、倾斜角α的容积表达式。然后我们通过作图分析油罐体的变位情况，将双向变位后的油位h 与仅纵向变位时的油位0h 建立关系表达式01.5(1.5)cos h h β=--，从而得到双向变位油量与油位、倾斜角α、偏转角β的容积表达式。利用附件二的数据，采用最小二乘法来确定倾斜角α、偏转角β的值，用软件求出03.3=α、04=β α=3.30，β=时总的平均相对误差达到最小，其最小值为0.0594。由此得到双向变位后油量与油位的容积表达式V ，从而确定了双向变位后的罐容表(见表2)。 本文主要应用软件对相关的模型进行编程求解，计算方便、快捷、准确，整篇文章采取图文并茂的效果。文章最后根据所建立的模型用附件2中的实际检测数据进行了误差分析，结果可靠，使得模型具有现实意义。 关键词：罐容表标定；积分求解；最小二乘法；；误差分
数学建模竞赛例题 B题温室中的绿色生态臭氧病虫害防治2009年12月，哥本哈根国际气候大会在丹麦举行之后，温室效应再次成为国际社会的热点。如何有效地利用温室效应来造福人类，减少其对人类的负面影响成为全社会的聚焦点。 臭氧对植物生长具有保护与破坏双重影响，其中臭氧浓度与作用时间是关键因素，臭氧在温室中的利用属于摸索探究阶段。 假设农药锐劲特的价格为10万元/吨，锐劲特使用量10mg/kg-1水稻；肥料100元/亩；水稻种子的购买价格为5.60元/公斤，每亩土地需要水稻种子为2公斤；水稻自然产量为800公斤/亩，水稻生长自然周期为5个月；水稻出售价格为2.28元/公斤。 根据背景材料和数据，回答以下问题： （1）在自然条件下，建立病虫害与生长作物之间相互影响的数学模型；以中华稻蝗和稻纵卷叶螟两种病虫为例，分析其对水稻影响的综合作用并进行模型求解和分析。 （2）在杀虫剂作用下，建立生长作物、病虫害和杀虫剂之间作用的数学模型；以水稻为例，给出分别以水稻的产量和水稻利润为目标的模型和农药锐劲特使用方案。 （3）受绿色食品与生态种植理念的影响，在温室中引入O3型杀虫剂。建立O3对温室植物与病虫害作用的数学模型，并建立效用评价函数。需要考虑O3浓度、合适的使用时间与频率。 （4）通过分析臭氧在温室里扩散速度与扩散规律，设计O3在温室中的扩散方案。可以考虑利用压力风扇、管道等辅助设备。假设温室长50 m、宽11 m、高3.5 m，通过数值模拟给出臭氧的动态分布图，建立评价模型说明扩散方案的优劣。 （5）请分别给出在农业生产特别是水稻中杀虫剂使用策略、在温室中臭氧应用于病虫害防治的可行性分析报告，字数800-1000字。
2012年暑期培训数学建模第二次模拟 承诺书 我们仔细阅读了数学建模联赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。 我们的参赛报名号为： 参赛队员(签名) ： 队员1： 队员2： 队员3：
2012年暑期培训数学建模第二次模拟 编号专用页 参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）：竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）： 竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）： 2012年暑期培训数学建模第二次模拟
题目学生成绩的分析问题 摘要 本文针对大学高数和线代，概率论成绩进行建模分析，主要用到统计分析的知识及SPSS软件，建立了方差分析、单因素分析、相关性分析等相关模型，从而分析两个专业、四门课程成绩的显著性，以及课程之间的相关性。最后利用分析结论表明了我们对大学数学学习的看法。 问题一：每门课程两个专业的差异性需要进行多个平均数间的差异显著性检验，首先应该对数据进行正态分布检验，结论是各个专业的分数都服从正态分布，之后可以根据Kolmogorov-Smirnov 检验（K-S检验）原理，利用SPSS软件进行单因素方差分析，得出方差分析表，进行显著性检验，最后得出的结论是高数1、高数2、线代和概率这四科成绩在两个专业中没有显著性差异。 问题二：对于甲乙两个专业分别分析，应用问题一的模型，以每个专业不同班级的高数一、高数二、线代和概率平均数为自变量，同第一问相同的做法，得到两个专业中不同学科之间没有显著差异。 问题三：我们通过对样本数据进行Spss的“双变量相关检验”得出相关系数值r、影响程度的P值，从而来分析出高数1、高数2与概率论、现代的相关性。 问题四：利用上面数据，得到各专业课程的方差和平均值，再通过对各门课程的分析，利用分析结论表明了我们对大学数学学习的看法。 本文针对大学甲、乙两个专业数学成绩分析问题，进行建模分析，主要用到统计分析的知识和 excel以及matlab软件，建立了方差分析、相关分析的相关模型，研究了影响学生成绩的相关因素, 以及大学生如何进行数学课程的学习。 问题一针对每门课程分析两个专业的数学成绩可以通过excel工具得出各门功课的平均值、方差 进行比较分析。 问题二针对专业分析两个专业的数学成绩的数学水平有无明显差异，可以运用平均数、方差进行 比较。并对两专业的数学成绩进行T检验，进一步分析其有无显著性差异。 问题三针对各班高数成绩和线代、概率论成绩进行散点图描述建立一元回归线性模型，然后对模 型进行求解，对模型进行改进。包括分析置信区间，残差等。 关键词：平均值方差 T检验一元回归线性模型置信区间残差 excel matlab
2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：
日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
题目（黑体不加粗三号居中） 摘要（黑体不加粗四号居中） （摘要正文小4号，写法如下） （第1段）首先简要叙述所给问题的意义和要求，并分别分析每个小问题的特点（以下以三个问题为例）。根据这些特点对问题1 用··的方法解决；对问题2 用··的方法解决；对问题3 用··的方法解决。 （第2段）对于问题1，用··数学中的··首先建立了·· 模型I。在对··模型改进的基础上建立了··模型II。对模型进行了合理的理论证明和推导，所给出的理论证明结果大约为··，然后借助于··数学算法和··软件，对附件中所提供的数据进行了筛选，去除异常数据,对残缺数据进行适当补充,并从中随机抽取了3 组数据（每组8 个采样）对理论结果进行了数据模拟，结果显示，理论结果与数据模拟结果吻合。（方法、软件、结果都必须清晰描述，可以独立成段，不建议使用表格）（第3段）对于问题2用·· （第4段）对于问题3用·· 如果题目单问题，则至少要给出2种模型，分别给出模型的名称、思想、软 件、结果、亮点详细说明。并且一定要在摘要对两个或两个以上模型进行比较， 优势较大的放后面，这两个（模型）一定要有具体结果。 （第5段）如果在……条件下，模型可以进行适当修改，这种条件的改变可能来自你的一种猜想或建议。要注意合理性。此推广模型可以不深入研究，也可以没有具体结果。
数模论文的撰写方法 1. 题目 2.摘要 3. 问题重述 4. 问题分析 5. 模型假设与约定 6. 符号说明及名词定义 7. 模型建立与求解①补充假设条件，明确概念，引进参数; ②模型形式(可有多个形式的模型); 8. 进一步讨论(参数的变化、假设改变对模型的影响) 9. 模型检验(使用数据计算结果，进行分析与检验) 10. 模型优缺点(改进方向，推广新思想) 11. 参考文献及参考书籍和网站 12.附录(计算程序，框图;各种求解演算过程，计算中间结果;各种图形、表格。) 下面是范例：
1 问题的提出 位于我国西南地区的某个偏远贫困村，年平均降水量不足20mm ，是典型的缺水地区。过去村民的日常生活和农业生产用水一方面靠的是每家每户自行建造的小蓄水池，用来屯积每逢下雨时获得的雨水，另一方面是利用村里现有的四口水井。由于近年来环境破坏，经常是一连数月滴雨不下，这些小蓄水池的功能完全丧失。而现有的四口水井经过多年使用后，年产水量也在逐渐减少，在表1中给出它们在近9年来的产水量粗略统计数字。2009年以来，由于水井的水远远不能满足需要，不仅各种农业生产全部停止，而且大量的村民每天要被迫翻山越岭到相隔十几里外去背水来维持日常生活。 为此，今年政府打算着手帮助该村解决用水难的问题。从两方面考虑，一是地质专家经过勘察，在该村附近又找到了8个可供打井的位置，它们的地质构造不同，因而每个位置打井的费用和预计的年产水量也不同，详见表2，而且预计每口水井的年产水量还会以平均每年10%左右的速率减少。二是从长远考虑，可以通过铺设管道的办法从相隔20公里外的地方把河水引入该村。铺设管 道的费用为 L 66Q .0P 0.51 （万元），其中Q 表示每年的可供水量（万吨/年），L 表示管道长度（公里）。铺设管道从开工到完成需要三年时间，且每年投资铺设管道的费用为万元的整数倍。要求完成之后，每年能够通过管道至少提供100万吨水。 政府从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村打井和铺设管道，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水，请作出一个从2010年起三年的打井和铺设管道计划，以使整个计划的总开支尽量节省（不考虑小蓄水池的作用和利息的因素在内）。
题目（黑体不加粗三号居中） 小组名单 摘要：（第1段）首先简要叙述所给问题的意义和要求，并分别分析每个小问题的特点（以下以三个问题为例）。根据这些特点对问题1 用······的方法解决；对问题2 用······的方法解决；对问题3 用······的方法解决。 （第2段）对于问题1，用······数学中的······首先建立了······ 模型I。在对······模型改进的基础上建立了······模型II。对模型进行了合理的理论证明和推导，所给出的理论证明结果大约为······，然后借助于······数学算法和······软件，对附件中所提供的数据进行了筛选，去除异常数据,对残缺数据进行适当补充,并从中随机抽取了3 组数据（每组8 个采样）对理论结果进行了数据模拟，结果显示，理论结果与数据模拟结果吻合。（方法、软件、结果都必须清晰描述，可以独立成段，不建议使用表格） （第3段）对于问题2用······ （第4段）对于问题3用······ 如果题目单问题，则至少要给出2种模型，分别给出模型的名称、思想、软 件、结果、亮点详细说明。并且一定要在摘要对两个或两个以上模型进行比较， 优势较大的放后面，这两个（模型）一定要有具体结果。 （第5段）如果在……条件下，模型可以进行适当修改，这种条件的改变可能来自你的一种猜想或建议。要注意合理性。此推广模型可以不深入研究，也可以没有具体结果。 关键词：本文使用到的模型名称、方法名称、特别是亮点一定要在关键字里出现，5~7个较合适。 注：字数700~1000 之间；摘要中必须将具体方法、结果写出来；摘要写满几乎 一页，不要超过一页。摘要是重中之重，必须严格执行！。 页码：1（底居中）
数学建模大赛论文范文 一、问题重述 在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的其它飞机发生相撞。如果发生相撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机的飞行方向角，以避免碰撞。现假设条件如下： (1) 不相撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里； (2) 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度； (3) 所有飞机的飞行速度均为每小时800公里； (4) 进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上； (5) 最多需考虑6架飞机； (6) 不必考虑飞机离开此区域后的情况。 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。 设该区域4个顶点的坐标为（0，0），（160，0），（160，160），（0，160）。记录数据为： 注：方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。 二、问题分析 此问题很容易想到以飞机调整的飞行角度平方和作为目标函数，而以每两架飞机之间的最小距离不超过8km，各飞机飞行角度调整的值不超过30°为约束条件。如此得出的是一个非线性模型，在计算上可能会复杂些，但一目了然。 三、符号说明 t表示表示时间； ； xi,yi分别表示第i架飞机的横纵坐标（问题中已给出）；i表示第i架飞机的飞行方向角（问题中已给出） dij(t)表示t时刻第i架飞机与第j架飞机间的距离； 。 v表示飞机的飞行高度（v800） 四、模型的建立
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：