目录
摘要 (1)
Abstrqct (1)
1引言 (2)
2 方程问题 (2)
2.1 方程实根的正负情况 (2)
2.2 求方程实根的个数 (3)
2.3 含参数的方程 (3)
3 不等式问题 (4)
3.1 无理不等式 (4)
3.2 二元二次不等式组 (4)
3.3 高次不等式 (5)
3.4 绝对值不等式 (5)
3.5 含参数的不等式 (6)
4 最值问题 (6)
4.1 转化为直线的截距 (6)
4.2 转化为直线的斜率 (7)
4.3 转化为距离 (7)
5 函数问题 (8)
5.1 比较函数值的大小 (8)
5.2 函数的定义域 (9)
5.3 函数的值域 (9)
5.4 函数求值 (10)
5.5 函数的单调区间 (11)
5.6 函数的奇偶性,单调性 (11)
6解决线性规划问题 (12)
参考文献 (13)
致谢 (13)
谈数形结合思想在中学数学解题中的应用
XXX
数学与信息学院数学与应用数学专业2011级指导老师:XXX
摘要：数形结合思想在中学数学中应用广泛, 本文将例举说明数形结合思想方法在方程问题，不等式问题，最值问题，函数问题，线性规划问题等方面的实际应用。充分说明在解题中运用数形结合的方法，借助几何图形的直观描述，如何使许多抽象的概念和复杂的关系形象化、简单化。在中学数学解题中充分运用数形结合思想,有助于学生思维能力的培养, 有利于他们解题能力的提高。
关键词: 数形结合；数形结合思想；方程问题；不等式问题；最值问题；函数问题；线性规划问题
On the combination of application of thought in middle school
mathematics
XXX
College of Mathematics and Information Mathematics and Applied Mathematics
Grade 2011 Instructor: XXX
Abstrqct：Several form combining ideas is widely used in the middle school mathematics, this article will illustrate that number form combined with the thinking and methods in the equation, inequality problem, the most value problem, function problem, the practical application of linear programming problems.Full explanation in the problem solving, with the method of using the number form, with the help of a visual description of the geometry, how to make many abstract concepts and visual and simplify complex relationships. Full use of in the middle school mathematics problem-solving number form combining ideas, helps to develop students' thinking ability, is conducive to the improvement of their ability to problem solving.
Key words:The number of combination form; Several form combining ideas; Equation problem; Inequality problem; The most value problems; Function problem; Linear programming problem
1引言
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，我们通常把数与形之间的一一对应关系称之为数形结合或形数结合。其主要作用是将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。纵观多年来的各地的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，都可起到事半功倍的效果。
在解析几何中就常常利用数量关系去解决图形问题。将“数”的问题转化为形状的性质去解决，它往往具有直观性，易于理解与接受的优点。数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解决集合问题，求函数的值域和最值问题，解方程和解不等式问题，三角函数问题，解决线性规划问题中都有体现，运用数形结合思想解题，不仅易于直观的寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理过程，大大简化解题过程。下面我将就数形结合思想在方程、不等式、线性规划中的应用做一个系统的分析与总结。
2 方程问题
方程是中学数学中常见和重要的学习研究对象，特别是二次方程，是方程问题学习中的重点和难点。而方程、不等式、函数三者之间又有密切联系 ，这就使得这类问题成为应用数形结合方法的良好载体。
2.1 方程实根的正负情况
若用代数方法研究方程根的情况,计算复杂.但如果用数形结合的方法,利用方程与函数的关系,画出函数图象,将方程解的问题转化为函数图象的交点来处理,则形象直观,过程明了。
例1 已知二次方程222lg(2)0x x a a -+-=有一正根和一负根,求a 的取值范围.
解:设()f x =222lg(2)x x a a -+-
因为二次项系数大于0，函数图象开口向上，如图1 所以函数与x 轴的交点落在y 轴两侧只需(0)0f <，
)2lg()0(2a a f -=0
解之得，-102a <<或1
12
a <<.
利用函数图像来研究二次方程，要注意抛物线开口方向的讨论。分析题意，
图1
提取作图的限制条件，列出满足条件的方程，做到不重不漏。
2.2 求方程实根的个数
有些方程并不需要求出实根,只要求方程的实根个数.这就没有必要按常规方法求解.利用数形结合,将方程实根的个数转化为曲线的交点的个数.
例2 求方程211
4x x x
-+=的实根个数。
解：此题若直接解方程则较为困难， 若利用数形结合，将代数问题转化为几 何问题，则较为简单。即求两曲线的交 点的个数。
做出函数214y x x =-+和1
y x
=的图象，从图2中可以看出两曲线的交点M 只
有一个，所以，方程只有一个实数解。
例3 求方程sin lg x x =的解的个数. 解:作出函数sin y x =和lg y x =的图象。观察图象,两函数图象有3个交点。 所以，原方程的解有3个。
结合函数定义域正确画出函数图像时要注意交点，分界点。可结合函数的性质或简单的计算、估算作出
判断。
2.3 含参数的方程
中学数学中常见的是含参数的二次方程，很多数学问题最后都可转化为二次方程问题来处理。在对二次方程问题的探讨中,对含有参数的二次方程实根问题代数解法讨论较繁而且解题入手点不简明。若采用数形结合方法解决此类问题,则思路自然、结果简明直观,易操作,容易理解运用。
例4 集合
2{(,)|2}A x y y x mx ==++
,
图2
图3
{(,)|10,02}B x y x y x =-+=≤≤且A B ?≠?,求实数m 的取值范围。
解:由题意得方程221x mx x ++=+(02x ≤≤)等价变形为方程
21(1)x m x +=- 在(0 ,2)中有解。 设211y x =+, 2(1)y m x =-, 0 2.x ≤≤
则211y x =+的图象为抛物线段，2(1)y m x =-图象为过定点(0 ,0)的直线系， 其中L 1 :2y x =为切线,切点为(1 ,2)。
由图4可知,直线系斜率1m -满足12m -≥时,直线系和抛物线段都相交。 所以，m 的取值范围是1m ≤-。
由于方程含有参数，因此画出的函数图像不是静态不变的，而是动态变化的，例如直线系，曲线系。要注意寻找分界点，分界直线。
3 不等式问题
不等式问题也是中学数学的重要内容。不等式是解决问题的一种有利工具，而许多复杂的不等式问题也能通过数形结合的方法得到巧妙解决。 3.1 无理不等式
解无理不等式是中学数学的一个重要内容，常规解法是平方去根号转化为有理不等式(组)求解。但上述解法往往运算量大，过程冗长。解题中若能注意到某些代数式的功能作用，将原不等式作适当转化，利用数形结合的方法，常能简化解题过程，优化数学思维，提高解题效率。
例5
x > 。
解：令()()s x q x x =，
x >
的解就是使
()s x 在()q x x =的上方的那段图象所对应的横坐标，如图5不等式的解集为{|}A B x x x x ≤<。
而B x
x =解得22B A x x ==-，， 故不等式的解集为{|22}x x -≤<。
3.2 二元二次不等式组
图5
x ) = x + 2
) = x
例6 解不等式组2222
10(1)
4(2)
x y x y ?-->??+
22
1(3)
4(4)
x y x y ?-=??+=?? 如图6，它们分别表示双曲线和圆由(3)知221x y =+代
入(4),
得2
y =±
。
所以，原不等式的解集为22y x ?-<
或2
2y x ?-<
??<
熟悉代数式结构，巧用几何意义。
3.3 高次不等式
中学数学中主要学习一次不等式与二次不等式。高次不等式需转化为低次不等式来求解。最常用的是数轴标根法。
例7 解不等式2(3)(2)(1)0x x x --+≥. 解:因最高次项系数为- 1 < 0 ,所以原不等式可变形
为2(3)(2)(1)0x x x --+≤，方程2(3)(2)(1)0x x x --+=有实根11x =-， 22x =，
343x x ==，说明曲线2(3)(2)(1)y x x x =--+与x 轴有交标根，如图7所示，
所以，不等式的解集为{|123}x x x -≤≤=或
用数轴标根法求解高次不等式时，要特别注意将不等式正确变形为最高次项的系数为正数的形式，注意曲线在数轴上的绕法，特别是重根的情况。
3.4 绝对值不等式
若用代数求法求解,需分情况讨论,去除绝对值号来求解.但分类讨论繁琐,过程复杂.利用数形结合方法,将不等式两边视为两个函数，然后在同一直角坐标系中画出它们的图象,则求解简单明了。
例8 解不等式|log (1)||log (1)|a a x x +>- (1a >
).
图6
图7
解：设1|log (1)|a y x =+,2|log (1)|a y x =-. 两曲线有一个交点,且交点在第一象限。 列出方程log (1)log (1)a a x x +=--
即 1010111x x x x ?
?+>?
->???+=
-?
解之得
:x =所以，原不等式的解集为
3.5 含参数的不等式
若对参数分类讨论来求解，过程烦琐.利用数形结合可大大简化计算过程。 例9 若不等式1x -+1x +a >恒成立,求a 的取值范围。
解：要使不等式恒成立，只要a <1x -+1x +的最小值.考虑用绝对值的几何意义，把1x -+1x +理解为到数轴上两点(-1,0),(1,0)的距离的和，则较为简单。
当x (1,1)∈-时,有1x -+1x +最小值2. 所以a 的取值范围是(,2)-∞。
与含参数的方程同理，含参数的不等式的图像也是动态变化的，
要注意找出分界情况，当然还需要按参数分情况作图。
4 最值问题
最值问题若采用代数方法求解,需要大量的计算,过程冗长,且较难找到切入点,一时之间难以入手，若能深刻挖掘题目的几何意义将问题巧妙地转化,往往能简化过程,取得良好的解题效果。
4.1 转化为直线的截距
将所求问题看作直线的截距，即求满足题目条件的直线系何时取得最值。 例10 已知2268210x y x y ++-+=,求2u x y =+的最大值和最小值。 解:已知等式可化为222(3)(4)2x y ++-=,它表示以()3,4-为圆心，2为半径的圆，u 可看作是直线的截距。当u 取得最值时,直线2x y u +=恰是圆的切线。
图8
图9
从而由距离公式可得:
2
=
解得5
u=±
故u max
min
将最值问题转化为直线系的截距，注意
找出直线与曲线相切的情况。
4.2 转化为直线的斜率
例11如果实数,x y满足22
(2)2
x y
-+=方程，求
y
x
的最大值。
解:不妨设点(,)
P x y在圆22
(2)2
x y
-+=上，
圆心为(2,0)
M,
则所求表示的是
点P与原点连线的斜率。当OP与圆M相切，且切
点P落在第一象限时，
OP
K有最大值，即
y
x
有最大
值。
因为MP=,2
OM=,所以OP=1，
max
tan
OP
y
K POM
x
??
==∠
?
??
将最值问题转化为直线的斜率问题，要注意将原式正确变形，不同的变形，其对应的函数图像也不同。注意找出相切的情况。
4.3 转化为距离
将所求问题通过变形、构造等方法巧妙地转化为距离。即求点与点，点与直线距离和与差。结合几何知识，不难求得结果。若是直接采用代数方法求解，计算复杂，往往事倍功半。
例12当S和T取遍所有实数时，求22
(53cos)(2sin)
S t S t
+-+-的最小值.
解: 分析可知，式子可以看成是动点(5,)
S S
+与动点(3cos,2sin)
t t距离的平方，有下面两个函数：
图10
图11
22
194
x y +=，5y x =- 222
2
1318936
1
9
4y x b x bx b x y =-???++-=?+=??22(18)413(936)0b b b ?=-??-=?=故(0,P 所以min d =
= 所以2d =
=
例13 求函数u = 解：x y u x y ==+设 22216(040x y x y +=≤≤≤≤且，
所给函数化为以为参数的直线方程，它与椭圆在u y x u x y =-++=22
216 第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图13）
u min =22
相切于第一象限时，u 取最大值
22
22
342160216
y x u x ux u x y =-+??-+-=?+=? u u ?=0==解，得±所以max u =
结合函数图像找出最大或最小距离，利用几何知识加以判断。
5 函数问题
函数问题与函数图象密切相关.结合函数的性质画出函数图象，容易理解题意，求解过程简单，结果直观形象。 5.1 比较函数值的大小
函数解析式形式多样，函数值形式也多样。作出函数图像，在图像上找出与
图13
函数值对应的点，是最简便快捷的解题方法，且结果直观。
例14 比较三个数的大小0.32,2log 0.3,20.3. 解:这三个数看成三个函数:
21y x =,22log y x =,32x y =
在0.3x =时对应的函数值，在同一坐标系内作出这三个函数的图像,从图像可以直观地看出当0.3x =时,对应的三个点123,,P P P 的位置,
从而可得出结论: 0.3
2
220.3log 0.3>>
比较不同名的函数值大小较为困难。若采用代数方法需有较强的公式变形技巧及运算技巧。将函数值在图像上表示出来，能避免大量的计算。尤其是解选择题的快捷途径。
5.2 函数的定义域
例15
求函数lg(2sin 1)y x =-的定义域。 解：要使函数有意义，必须有：
2sin 1012cos 0x x ->??
-≥?即1sin 2
1
cos 2
x x ?
>
????≤??. 在同一坐标系中画出sin y x =和cos y x =的图象.找出公共区间[52,2)3
6
k k π
π
ππ++
(k Z ∈)。
5.3 函数的值域
例16若椭圆224()4x y a +-=与抛物线22x y =有公共点，则实数a
的取值范
图
15
图14
围为_________。
解：2
2()14
x y a +-=
①211
a a
b '=??-≤?'=?
②222
2
2
24(28)4404()4
x y y a y a x y a ?=??+-+-=?+-=?? 所以17
08
a ??≤
≥ 例17 设四面体的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4记它们中的最大者为S ， 令1234
S S S S S
λ+++=
，则λ的取值范围为_________。
⑴取特殊情况
.=4.=4λλλ??≤?
?①四面体为正四面体时，
4②四面体对棱相等，即四面体的面积相等时， ⑵顶点M →0时，λ→2（即点M 落到底面上）
12312322S S λλ??
?>?+=
=??
①S=S +S +S S +S +S ②. 故λ的取值范围为(]2,4。
5.4 函数求值
许多看似复杂的函数求值问题，其实都可以通过建立数学模型得到巧妙解答。
例18 如果三个正数,,x y z 满足
2225x xy y 4++=
, 22y yz z 36++=，22169z zx x 4
++= , xy yz zx ++的值为________. 解：
A
分析可得： 222
2514416951213
+=444222
???①命题特征：常数②数量特征：，，，有（）（）（） 构造直角三角形：
⑴结构上：22222255
()2cos120=()22
x xy y x y xy ++=?+-
同理有：22212
+2cos120=()2y z yz -
222
132cos120=()2
z x zx +-
⑵形上觅数：S △ABC = S △ABF +S △ACF + S △BFC
ABC ABF ACF BFC S S S S ????=++
15121
()sin1202222xy yz zx ?
??=+
+
xy yz zx ?++=
5.5 函数的单调区间
函数图像最为直观形象地反映函数的单调性。
例19 设函数2()21(33)f x x x x =---≤≤指出函数f(x)的单调区间并说明在各个区间上()f x 是增函数还是减函数。 解：当0x ≥时，()f x =221x x --=2(1)2x -- 当0x <时，()f x =221x x +-=2(1)2x +-
即 ()()
2
2
(1)20
()(1)20x x f x x x ?--≥?=?+-
5.6 函数的奇偶性,单调性
根据题意，结合函数的奇偶性质：“偶函数的图像关于
y 轴对称；奇函数的图像关于原点对称。”及增减性质画出图像求解，
不仅有助于全面分析解决问题，
图19
图18
212221m m m m ?-≤-≤?
-≤≤??->
?
而且能提高解题效率。
例20 设定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在[0,2]上单调递减，(1)()f m f m -<，求实数m 的取值范围。
解:利用偶函数图象关于y 轴对称，以及偶函数的定义:()f x =()f x -=
()f x ，有(|1|)(||)f m f m -<. 画出图象,根据已知条件,得
解得:-1m ≤12
<
。 利用函数的奇偶性、单调性对画出函数的精确图，粗略图有很大帮助。
6解决线性规划问题
线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。 例21 已知12x y ≤-≤且24x y ≤+≤,求42x y -的范围。
分析:此题可利用代数方法中换元法去求解, 这里用数形结合法来解决。
解：在平面坐标系中作出直线2x y += ，x y 4+=, x y 1-= ,
x y 2-= ,则12x y ≤-≤和24x y ≤+≤表示平面上的阴影部分(包括边界) ,如
图21所示，令4x 2y m -= ,则
y 2x 2
m
=-，显然m 为直线系4x 2y m -= 在y 轴上截距2倍的相反数,易看出,直线4x 2y m -= 过阴影最左
边的点 A 31,22??
???
时, m 取最小值 5 ；过阴影
最右边的点()C 3 ,1 时, m 取最大值10。即
42x y -的范围是[510]，。
该题是用数形结合思想解决具有约束条件的函数的最值问题。
图20
图21
参考文献：
[1]张爱平.谈数形结合思想在高中数学中的应用[J].陕西教育（教育），2014，3：44.
[2]候祥伟.例谈数形结合思想在高中数学解题中的应用[J].高中数理化，2014，13：49—50.
[3]张耀美.例谈数形结合思想在解题中的应用[J].试题与研究（新课程论坛），2013，4：61.
[4]聂毅.例谈数形结合思想在高考函数解题中的应用[J].理科爱好者（教育教学版），2013，4：62，83.
致谢
在我毕业论文开题、调查、研究和撰写过程中，xxx教授给予了我耐心、细致和全面的帮助。导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。不禁使我树立了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处事的道理。本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导新完成的，倾注了导师大量的心血。在此谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢!