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高等代数新大纲

高等代数新大纲
高等代数新大纲

《高等代数》课程教学大纲

一、课程基本信息

二、课程简介

《高等代数》课程是数学与应用数学专业必修的基础课,它是与《数学分析》、《解析几何》从第一学期同时开设的数学系三大基础课之一。

本门课程主要由多项式理论与线性代数两部分组成。多项式代数是以数域上一元多项式的因式分解存在唯一性为中心的理论体系;线性代数则以矩阵、线性空间、代数型为研究对象。主要讲授行列式,线性方程组、矩阵、向量空间与线性变换、欧氏空间与酉空间、二次型。

三、课程目标

《高等代数》不仅为相平行开设的《数学分析》、《解析几何》两门基础课提供了必要的帮助,而且为后继课——《近世代数》、《常微分方程》、《概率论与数理统计》等课程的知识上的需要打下了良好的基础。

通过高等代数课程的教学,学生应理解并掌握一元多项式与线性代数的基础知识和基本理论;熟悉和掌握从定义出发,通过逻辑推理进行论证的抽象的,严密的代数方法;理解具体与抽象,特殊与一般,有限与无限辩证关系;提高抽象思维、逻辑推理和运算能力。

四、教学内容及要求

(一)基本概念

1. 教学目标

正确理解与掌握映射、单射、满射、双射、映射的相等、映射的合成、逆映射等概念,并会判断或证明相关的问题。正确理解和掌握正整数集的最小数原理,数学归纳法原理,并熟练地运用数学归纳法。正确理解并熟练掌握整数的整除性质。正确掌握数环、数域的概念,并准确判断数集是否为数环、数域,学会证明有理数域是最小数域。

2. 教学内容

1)映射

2)数学归纳法

3)整数的一些整除性质

4)数环与数域

(二)多项式

1. 教学目标

正确理解数环上一元多项式的定义、运算及其算律,熟练掌握和应用多项式和与积的次数性质。正确理解和掌握多项式的整除概念与性质,深入掌握和应用多项式的带余除法。正确理解并深入掌握最大公因式的概念、性质与求法;正确理解并深入掌握多项式互素概念与性质。正确理解并深入掌握不可约多项式的概念及其性质,正确理解多项式的因式分解存在唯一性定理及其典型分解式。正确理解多项式的导数与重因式的概念,深入掌握和应用多项式有重因式的判别定理。掌握多项式函数与多项式的根的概念,熟练掌握和应用综合除法。正确理解代数基本定理,掌握复数域和实数域上多项式因式分解定理。熟练地掌握有理数域上多项式的有理根的求法,正确理解和判别有理数域上有任意次数的不可约多项式。了解掌握多元多项式的基本概念、运算及基本性质。正确掌握对称多项式的基本概念及其基本定理,学会将一般对称多项式化为初等对称多项式的多项式的方法。

2. 教学内容

1)数环R上一元多项式的定义、运算及其算律,多项式和、积的次数定理。

2)多项式的整除性;整除定义及其基本性质,Euclid带余除法。

3)多项式的最大公因式:

4)多项式的分解

5)重因式

6)多项式函数与多项式的根

7)复数和实数域上多项式

8)有理数域上多项式

9)多元多项式

10)对称多项式

(三)行列式

1. 教学目标

正确理解和深入掌握n阶行列式的定义与性质。熟练运用行列式性质及其依行(列)展开式,进行行列式计算。熟练掌握和应用克莱姆(Cramer)规则。

2. 教学内容

1)排列

2) n阶行列式定义与性质

3)子式和代数余子式,行列式依行依列展开

4)行列式的计算

5)克莱姆(Cramer)规则及应用

(四)线性方程组

1. 教学目标

正确理解消元法与矩阵的初等变换的关系,熟练地运用矩阵的初等变换解一般线性方程组。正确理解和掌握矩阵的秩的概念,并熟练地运用矩阵的初等变换求矩阵的秩。深入理解和熟练掌握线性方程组可解的判别定理及其应用。熟练掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件。了解两个一元多项式的公根与结式的关系,两个二元多项式的公根问题可转化为求一个未知量的方程的根的方法,以及结式与判别式的关系。

2. 教学内容

1)线性方程组的消元法与线性方程组的初等变换

2)矩阵的初等变换;矩阵的定义,矩阵的初等变换概念,线性方程组的初等变换与矩阵的初等变换,任何一个m×n矩阵通过行初等变换和列第一种初等变换化为阶梯形,用矩阵初等变换解线性方程组。

3)矩阵的秩的定义,初等变换不改变矩阵的秩,求矩阵秩的初等变换的方法。

4)线性方程组可解性的判别

5)齐次线性方程组的定义及其有非零解的充要条件

6)结式与判别式

(五)矩阵

1. 教学目标

正确理解并深入掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等概念,及其它们的运算法则,并能熟练地进行矩阵的运算。正确理解并深入掌握矩阵的逆的定义,可逆矩阵的性质及其判别,熟练掌握可逆矩阵的求逆公式。正确理解初等矩阵的概念,初等矩阵与初等变换的关系,熟练地掌握用初等变换求逆矩阵的理论与方法。正确理解并深入掌握矩阵乘积的行列式和矩阵乘积的秩的两个定理及其应用。掌握和运用矩阵分块的方法及其分块运算规则。

2. 教学内容

1)矩阵的运算

2)可逆矩阵

3)矩阵乘积的行列式的定理,矩阵乘积的秩的定理

4)矩阵的分块及其运算

(六)向量空间

1. 教学目标

正确理解和掌握向量空间的定义及其性质,了解公理化定义的思想方法。正确理解和掌握向量空间的子空间的定义及其判别,子空间的交与和的概念,余子空间与直和的概念。深入理解和掌握向量组的线性相关性的概念与性质。正确理解并深入掌握向量空间的基与维数的定义与求法,有限维子空间的维数定理。正确理解向量空间中向量坐标的概念及其意义,熟练掌握过渡矩阵的概念与性质,坐标变换公式。正确理解向量空间同构的概念、性质及其同构的判别。用向量空间的基本概念,给出矩阵秩的另一定义,进一步加深对矩阵秩的概念的理解;进一步加深对线性方程组可解性判别定理的理解,深入掌握齐次线性方程组的基础解系的概念与求法,彻底解决数域上一般线性方程组的解的结构。

2. 教学内容

1)向量空间的定义、例、简单性质

2)向量组的线性相关性

3)子空间的定义,交与和的概念,余子空间与直和的概念、性质

4)基和维数的定义,基的性质,基的扩充定理,子空间维数定理。

5)坐标定义,过渡矩阵定义与性质,坐标变换公式。

6)向量空间同构定义、性质,有限维向量空间同构的充要条件。

7)矩阵秩的几何定义--矩阵的行(列)空间的维数。

8)齐次线性方程组的基础解系与解空间,一般非齐次线性方程组的解的结构。

(七)线性变换

1. 教学目标

正确理解线性映射和线性变换的定义、例、及其性质,熟练地掌握线性变换的运算。深入理解线性变换与矩阵的关系,熟练掌握线性变换的矩阵表示。正确理解和掌握不变子空间的概念、例及判别、深入理解线性变换的本征值及其本征向量的概念和矩阵的特征根及其特征向量的概念。熟练地掌握线性变换的本征值及其本征向量的求法和矩阵的特征根及其特征向量的求法。正确理解矩阵的相似关系,矩阵与线性变换可对角化的概念,并熟练地掌握可对角化的条件及其化法。

2. 教学内容

1)线性映射的定义、例及其性质。

2)线性变换的运算

3)线性变换和矩阵

4)不变子空间的定义与例

5)本征值和本征向量

6)可对角化的矩阵

(八)欧氏空间与酉空间

1. 教学目标

正确理解和掌握内积、欧氏空间及其向量的长度、夹角、距离等度量概念与性质。正确理解并熟练掌握规范正交基的定义与求法,规范正交基与正交矩阵的关系。掌握欧氏空间同构定义及同构的判别。深入理解并熟练掌握正交变换的定义、性质及其判别。深入理解并熟练掌握对称变换的定义、性质及其判别,对称矩阵的相似对角形的求法。

了解酉空间与酉变换、对称变换的基本概念、性质及酉空间中与欧氏空间相平行的一些结论。

2. 教学内容

1)欧氏空间的基本概念:

2)正交基、规范正交基,Schmidt正交化方法,正交矩阵。

3)欧氏空间同构定义及其判别定理。

4)正交变换的定义、判别条件及其与正交矩阵的关系。

5)对称变换的定义及其判别条件,对称矩阵与对称变换关系,实对称矩阵的相似标准形--对角形及其求法。

6)酉空间的基本概念

7)酉变换与对称变换

(九)二次型

1. 教学目标

正确理解与掌握n元二次型的基本概念,及与对称矩阵的关系。正确理解与掌握矩阵合同概念及性质,对称矩阵合同于对角阵,并熟练用矩阵的初等变换化对称矩阵为对角形的方法。深入理解复数域和实数域上二次型的等价条件及其典范形的唯一性,特别是实二次型的惯性定律要熟练掌握,明确n元实二次型等价分类的个数。深入理解并熟练掌握正定二次型的定义及判别。正确理解并熟练掌握实二次型可经变量的正交变换化为标准形--二次型主轴。了解双线性函数的基本概念及一些结论。

2. 教学内容

1)二次型和对称矩阵

2)复数域和实数域上二次型的等价条件,它们典范形及其唯一性,实二次型的惯性定律,n元实二次型等价分类。

3)正定二次型的定义及其判别定理。

4)实二次型的主轴问题--任一个n元实二次型都可通过变量的正交变换化为只含变量的平方项的形式,即标准形。

5)双线性函数

五、课时分配表

六、教材及参考书

教材:

1.《高等代数》(高等教育出版社 2007年 6月出版,张禾瑞等主编)

参考书:

1.《高等代数》(高等教育出版社 2003年 7月出版,北京大学数学系几何与代数教研室代数小组主编)

2. 《高等代数》(高等教育出版社 2002年 7月出版,丘维声主编)

七、教学策略与方法的建议

高等代数这门课程具有一是概念多、内容抽象、性质、定理的论证多、逻辑性强;二是着眼与事物的总体,从考察事物的总体出发提出问题和讨论问题的特点。这就决定了高等代数的教学应注意以下几点:1.讲授概念要讲清楚其产生的背景;讲知识要讲清楚其发生、发展的过程;2.讲定理要先作直观的解释,然后严格的证明;3.要讲清楚研究问题的主线;4.要重视高等代数思想方法的教学

修订人 (签字) 钟梅

审核人 (签字)

批准人(签字)

教学大纲-厦门大学高等代数

教学大纲 一.课程的教学目的和要求 通过这门课的学习,使学生掌握高等代数的基本知识,基本方法,基本思路,为进一步学习专业课打下良好的基础,适当地了解代数的一些历史,一些背景。 要突出传授数学思想和数学方法,让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。突出高等代数中等价分类的思想,分解结构的思想,同构对应的思想,揭示课程内部的本质的有机联系。 二.课程的主要内容: 代数学是研究代数对象的结构理论与表示方法的一门学科。代数对象是在一个集合上定义若干运算,且满足若干公理所构成的代数系统,线性空间则是数学类专业本科生所接触和学习的第一个代数对象。本课程力求突出代数学的思想和方法。 《高等代数》分为两个部分主要内容。一部分是基本工具性质的,包括多项式,行列式,矩阵初步,二次型。既然是工具性质的,因而除了多项式内容外,也是数学专业以外的理科、工科、经管类《线性代数》的内容,以初等变换为灵魂的矩阵理论是这部分内容的核心。另外一部分是研究线性空间的结构,这是研究代数结构的起点和模型,也是《高等代数》有别于《线性代数》之所在。《高等代数》从三个角度进行研究。从元素的角度看,研究向量间的线性表示,线性相关性,基向量;从子集角度看,研究子空间的运算和直和分解;从线性空间之间的关系来研究线性空间结构,就是线性映射,线性变换,线性映射的像与核,Jordan 标准形对应的空间分解。而欧氏空间则是具体的研究空间的例子。在研究线性空间中,始终贯穿着几何直观和矩阵方法的有机结合,矩阵的相似标准形和对应的线性空间分解则是这种有机结合的生动体现和提升,因而是本课程的精华内容。 本课程力求突出几何直观和矩阵方法的对应和互动。我们强调矩阵理论,把握简洁和直观的代数方法,同时重视线性空间和线性映射(变换)的主导地位和分量,从几何观点理解和把握课程内容。 三.课程教材和参考书: 教材:林亚南编著,高等代数,高等教育出版社,第一版 参考书:1. 姚慕生编著,高等代数(指导丛书),复旦大学出版社,第二版 2. 北京大学数学系编,高等代数,高等教育出版社,北京(1987) 3. 张禾瑞、郝炳新,高等代数,高等教育出版社,北京(1999)

高等代数课程的基本内容与主要方法

2010年第2期 牡丹江教育学院学报 No 12,2010 (总第120期) JOU RN A L OF M U D AN JIA N G CO LL EG E OF EDU CA T IO N Serial N o 1120[收稿日期]2009-10-25 [作者简介]戴立辉(1963-),男,江西乐安人,闽江学院教授,研究方向为矩阵论;林大华(1959-),男,福建福州人,闽江学院副教授,研究方向为代数学;吴霖芳(1979-),女,福建永安人,闽江学院讲师,硕士,研究方向为微分方程;陈翔(1980-),男,福建连江人,闽江学院讲师,硕士,研究方向为代数环论。 [基金项目]/十一五0国家课题/我国高校应用型人才培养模式研究0数学类子课题项目(F IB070335-A2-03)。 高等代数课程的基本内容与主要方法 戴立辉 林大华 吴霖芳 陈 翔 (闽江学院,福建 福州 350108) [摘 要] 对高等代数的基本内容与主要方法进行归纳和总结,使其所涉及的知识点之间的相互关系清晰明了,同时体现高等代数课程要求学生掌握的知识体系。 [关键词] 高等代数;基本内容;主要方法[中图分类号]O 15 [文献标识码]A [文章编号]1009-2323(2010)02-0146-03 高等代数是高等学校数学专业的一门必修的专业基础课程,它是由多项式理论和线性代数两部分组成。多项式部分以一元多项式的因式分解理论为中心,线性代数部分主要包括行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、K -矩阵与若尔当标准形、欧几里得空间等。 通过高等代数课程的教学,要求学生掌握一元多项式及线性代数的基本知识和基础理论,熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法,理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系,提高抽象思维、逻辑推理及运算能力。根据我们多年的教学经验,本文拟对高等代数的基本内容与主要方法进行归纳和总结,使其所涉及的知识点之间的相互关系清晰明了,同时也体现出了高等代数课程要求学生掌握的知识体系。 一、多项式 一元多项式理论主要讨论了三个问题:整除性理论,因式分解理论和根的理论。其中整除性是基础,因式分解是核心。 (一)基本内容 1.整除性理论)))整除,最大公因式,互素。 2.因式分解理论)))不可约多项式,典型分解式,重因式。 3.根的理论)))多项式函数,根的个数,根与系数的关系。 (二)主要方法 1.多项式除多项式的带余除法。 2.用辗转相除法求两个多项式的最大公因式,最大公因式的判别法。 3.两多项式互素的判别法。 4.不可约多项式的判别法,多项式标准分解式求法,重因式的判别法。 5.多项式函数值的求法,x -c 除多项式f (x )的综合除法,多项式按x -x 0的方幂展开的方法。 6.多项式根的判别法,多项式重根的判别法。 7.整系数多项式有理根的求法,艾森斯坦判断法。二、行列式 行列式是线性方程组理论的一个重要组成部分,是一种重要的数学工具。 (一)基本内容 n 级排列及其性质,n 级行列式的概念,行列式的性质,行列式的计算,克拉默规则。 (二)主要方法 1.求一个排列的逆序数的方法。 2.行列式的计算方法:定义法,性质法,化为三角形行列式的方法,降级法(按一行或一列展开法、拉普拉斯展开法),化为范得蒙行列式的方法,递推法,加边法,数学归纳法,拆项法。 3.一些特殊行列式的计算方法)))三角形行列式,ab 型行列式,范得蒙行列式,爪型行列式,三对角行列式。 4.克莱姆规则。三、线性方程组 /线性方程组0这部分在理论上解决了线性方程组有解的判定、解的个数及求法、解的结构等。 (一)基本内容 1.向量的线性关系)))n 维向量,向量的线性运算,线性组合,线性表出,线性相关,线性无关,极大线性无关组,向量组等价,向量组的秩。 2.矩阵的秩)))矩阵的秩=矩阵行(列)向量组的秩,即矩阵的行(列)秩=矩阵不为零的子式的最大级数,初等变换不改变矩阵的秩,用初等变换计算矩阵的秩。 3.线性方程组的解的情形)))线性方程组有解的判定,线性方程组解的个数,齐次线性方程组解的情形。 4.线性方程组解的结构)))齐次线性方程组的基础解系,齐次线性方程组解的表示,非齐次线性方程组解的表示。

高等代数最重要的基本概念汇总

第一章 基本概念 1.5 数环和数域 定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说,a+b,a-b,ab 都在S 内,那么称S 是一个数环。 定义2 设F 是一个数环。如果 (i )F 是一个不等于零的数; (ii )如果a 、b ∈F,,并且b 0≠, a F b ∈,那么就称F 是一个数域。 定理 任何数域都包含有理数域,有理数域是最小的数域。 第二章 多项式 2.1 一元多项式的定义和运算 定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式 ()1 2012n n a a x a x a x ++++L , 是非负整数而012,,,n a a a a L 都是R 中的数。 项式()1中,0a 叫作零次项或常数项,i i a x 叫作一次项,一般,i a 叫作i 次项的系数。 定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项,或者只差一些系数 为零的项,那么就说()f x 和()g x 就说是相等 ()()f x g x = 定义3 n n a x 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++L ,0n a ≠的最高次项,非负整数n 叫作 多项式2012n n a a x a x a x ++++L ,0n a ≠的次数。 定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式,并且()0f x ≠,()0g x ≠,那么 ()i 当()()0f x g x +≠时, ()()()()()()()()0 max ,;f x g x f x g x ? +≤?? ()ii ()()()()()()()0 f x g x f x g x ? =?+?。 多项式的加法和乘法满足以下运算规则: 1) 加法交换律: ()()()()f x g x g x f x +=+;

浅谈高等代数中的等价思想及其应用

浅谈高等代数中的等价思想及其应用 蒋红梅 高等代数是数学专业学生必修的一门基础课程,该课程概念多,定理多,教学内容抽象。对于大学一年级学生来说,基本上是介绍新的代数理论,利用新的定义、定理、方法解决代数问题,缺少数学模型,学生总感到难学,遇到新的问题就不知如何下手。究其原因在于学生不了解高等代数与初等代数的区别,用中学生的思想观念和学习方法来学习,未领会高等代数中蕴含的数学方法和思想,对概念和定理的理解不足,缺少对数学方法的理解和总结。高等代数涉及的数学思想有很多,比如等价、类比、化归、结构、分类等思想,了解和应用这些数学思想可以更好地了解和掌握高代中的数学知识。等价思想是高等代数中比较重要的一种思想方法,是学生从计算解题到学习代数结构的结合点,为后续课程的学习起到了铺垫的作用。在教学中,教师应深刻理解和把握课程内容,澄清教学体系,学科思想,把握重点,化解难点,解决疑点,达到帮助学生更好地学习和掌握高等代数知识的目的,也有助于我系高等代数精品课程的建设。本文就高等代数中的等价思想及其应用作了一些探究。 1、高等代数中的等价关系 1.1关于矩阵的等价关系 高等代数中关于矩阵的等价关系有矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同,弄清它们的联系与区别是十分必要的。 首先,这三者的研究对象不同,矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同的研究对象分 别是mn A ,n A ,n A ;其次,满足的条件不一样,但n 阶实对称矩阵既相似又合同,相似或 合同的矩阵是等价的,等价矩阵不一定相似或合同。 在()F M mn 中矩阵等价是等价关系,由于初等变换法不改变矩阵的秩,因此矩阵的秩 是等价关系的完全不变量,每一类的代表元是??? ? ??000r I ,r 为矩阵的秩,按等价关系可以分为{}1,min +n m 类。用消元法求解线性方程组时,运用矩阵的初等变换法将线性方程组化为同解线性方程组的问题转化为增广矩阵的等价问题。 在()F M n 中矩阵的相似是等价关系,由于相似矩阵有相同的行列式因子、不变因子、初等因子和Jordan 标准形,因而行列式因子、不变因子、初等因子和Jordan 标准形是()F M n 上矩阵相似的完全不变量,而特征多项式、秩、迹只是矩阵相似的不变量。Jordan 标准形 是一个等价类的代表元,按等价关系可以分为1+n 类。 在()F M n 中对称矩阵的合同是等价关系,对角阵是等价类的代表元,对角阵的表达形式与数域有关。在()C M n 中的合同矩阵,对角阵??? ? ??000r I 是等价类的代表元,也是复二次型

高等代数发展史

初等代数从最简单的一元一次方程开始,一方面进而讨论二元及三元的一次方程组,另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展,代数在讨论任意多个未知数的一次方程组,也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段,就叫做高等代数。 高等代数是代数学发展到高级阶段的总称,它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数,一般包括两部分:线性代数初步、多项式代数。 高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充,引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量,比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点,不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。 集合是具有某种属性的事物的全体;向量是除了具有数值还同时具有方向的量;向量空间也叫线性空间,是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数,而是向量了,其运算性质也由很大的不同了。 高等代数发展简史 代数学的历史告诉我们,在研究高次方程的求解问题上,许多数学家走过了一段颇不平坦的路途,付出了艰辛的劳动。 人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程,我国在公元七世纪,也已经得到了一般的近似解法,这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪,宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里,充分研究了数字高次方程的求正根法,也就是说,秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。 在西方,直到十六世纪初的文艺复兴时期,才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。 在数学史上,相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501~1576)骗到了这个三次方程的解的公式,并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式),其实,它应该叫塔塔里亚公式。 三次方程被解出来后,一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522~1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力,但一直持续了长达三个多世纪,都没有解决。 到了十九世纪初,挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802~1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数

《高等代数一》知识点

高等代数知识点 第一章 多项式 1. 数域的定义、常见数域 2. (系数在)数域P 上的多项式的定义 3. 多项式相等 4. 多项式的次数、零多项式和零次多项式 5. 一元多项式的运算(加减乘)、运算律、多项式环、次数定理 6. 整除的定义:()()g x f x ?()()()f x g x h x =(证明,不整除则用反证法)、因式和倍式 7. 整除的性质: (1) 一些特殊的整除性(0,常数,自身) (2) 整除的反身性 (3) 整除的传递性 (4) 整除的组合性 8. 带余除法()()()()f x q x g x r x =+、综合除法 9. 整除的判定法则:余式为零 10. 整除不受数域的影响 11. 公因式及最大公因式的定义、()()(),f x g x ,()0,()()g x g x =,()0,00= 12. 最大公因式的求法(辗转相除法)P44:5 13. 最大公因式可以表示为()(),f x g x 的一个组合()()()()()d x u x f x v x g x =+——P45:8 14. 互素的定义 15. 互素的相关定理(证明)P45:12、14 (1) ()()(),11()()()()f x g x u x f x v x g x =?=+ (2) ()()()()()()()(),1,f x g x f x g x h x f x h x =? (3) ()()()()()()() ()()()121212,,,1,f x g x f x g x f x f x f x f x g x =? 16. 不可约多项式的定义(次数大于等于1) 17. 平凡因式、不可约等价于只有平凡因式 18. 可约性与数域有关 19. 不可约多项式的性质: (1) ()p x 不可约,则()cp x 也不可约 (2) ()p x 不可约,()[],f x P x ?∈ ()()|(),(),()1p x f x or f x p x ?= (3) ()p x 不可约,()()()p x f x g x ()()()|(),p x f x or p x g x ? 20. 标准分解式1212()()()()s r r r s f x cp x p x p x =

(完整版)高等代数知识点归纳

1122,, 0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ?=?++=?≠?? L = =()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O * = =* *=-1 (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 范德蒙德行列式: ()12222 1211 1112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 分块对角阵相乘:11 112222,A B A B A B ???? == ? ???? ??11112222A B AB A B ??= ???,1122n n n A A A ?? = ??? 分块矩阵的转置矩阵:T T T T T A B A C C D B D ?? ??= ? ????? () 1121112 222* 12n T n ij n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ? == ? ??? L L M M M L ,ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A -=, 1 1A A --=. 分块对角阵的伴随矩阵:* * *A BA B AB ?? ??= ? ???? ?

高等代数知识点归纳.doc

A , i j , a i 1 A j1 a i 2 A j 2 L a in A jn 0, i j . A O A A O O B = B A B O B O A = A B O ( 1)mn A B B O a 1n O a 1n a 2n 1 a 2 n 1 ( 1 n ( n 1) 2 N N ) a n1 O a n1 O a 1n a 2 n K a n1 范德蒙德行列式: 1 1 L 1 x 1 x 2 L x n x 12 x 22 L x n 2 x i x j M M 1 j i n M x n 1 x n 1 L x n 1 1 2 n 代数余子式和余子式的关系: M ij ( 1)i j A ij A ij ( 1)i j M ij A 11 B 11 A 11 B 11 n A n 分块对角阵相乘: A , B AB , A 11 A 22 A n B 22 A 22 B 22 22 A B T A T C T 分块矩阵的转置矩阵: C D B T D T A 11 A 21 L A n1 A * A ij T A 12 A 22 L A n2 , A ij 为 A 中各个元素的代数余子式 . M M M A 1n A 2n L A nn AA * A * A A E , A * n 1 A 1 1 A , A . A * BA * 分块对角阵的伴随矩阵:

矩阵转置的性质:( A T )T A 矩阵可逆的性质:( A 1) 1 A ( A ) n 2 伴随矩阵的性质: A A n 若 r ( A) n r ( A )1 若 r ( A) n 1 0 若 r ( A) n 1 1 B 1 a1 A B A 1 ( AB)T B T A T A T A ( A 1 )T ( A T ) 1 ( A T ) ( A )T ( AB) 1 B 1 A 1 A 1 1 ( A 1 )k ( A k ) 1 A k A ( AB) B A A n 1 ( A 1 ) ( A ) 1 A ( A k ) ( A ) k A A AB A B A k A k AA A A A E (无条件恒成立) 1 1 1 1 a1 a1 a3 a2 1 a2 1 a2 a 2 a3 1 a3 1 a3 a1 矩阵的秩的性质: ① A O r ( A) ≥1; A O r ( A) 0 ;0≤ r ( A m n ) ≤ min( m, n) ④若A m n , B n s ,若r ( AB) 0 r ( A) r ( B) n 的列向量全部是 Ax 的解 B 0 ⑤r ( AB) ≤min r ( A), r (B) ⑥若 P 、Q可逆,则 r ( A) r (PA) r ( AQ) r ( PAQ) ;即:可逆矩阵不影响矩阵的秩 . Ax 只有零解 ⑦若 r ( A m n ) n r ( AB) r ( B) ;在矩阵乘法中有左消去律AB O B O A A B A C B C 若 r ( B n s ) n r ( AB) r ( B) 在矩阵乘法中有右消去律 . B 若 ( ) 与唯一的E r O 等价,称E r O 等价标准型 . ⑧为矩阵的 r A r A O O O O A ⑨r ( A B) ≤ r ( A) r (B) , max r ( A), r ( B) ≤r ( A, B)≤r ( A) r (B) ⑩ A O O A ( ) ( ) , A C ( ) ( ) r B B O r A r B r B r A r B O O

关于高等代数的一些解题方法总结

高等代数论文 题目:有关二次型的总结 学院:理学院 专业:信息与计算科学 姓名:王颀 学号:11271014 2011年12月30日

学习高等代数,最好的方法是多进行总结分类,将知识系统化。下面那二次型这章来进行操作。 二次型的问题来源于解析几何: 平面解析 一次曲线:Ax + By + C = 0 (直线); 二次曲线:Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey = F → 经平移 变换化,旋转变换化成为Ax 2+ By 2 = d (二次齐次多项式) → 可根据二次项系数确定曲线类型(椭圆、抛物线、双曲线等); 空间解析 一次曲面: Ax + By + Cz + D = 0 (平面); 二次曲面: (平移后不含一次项)→ Ax + By + Cz + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz = G (18-19世纪上半期表示方法) → 通过方程变形,选定主轴方向为坐标轴,可化简为 a/x/2 + b/y/2 + c/z/2 = d/ → 据二次项系数符号确定二次曲面的分类 更一般的问题: 数域P 上含n 个变量x 1,x 2,…,x n 的二次齐次多项式如何化成平方和形式,即标准型问题,是18世纪中期提出的一个课题 了解了二次型的相关背景,我们进行对课本上二次型的内容进行总结。 二次型这章内容如下 5.1 二次型及其矩阵表示 5.2 二次型的标准形 5.3 惯性定理和规范形 5.4 实二次型的正定性 在这章的学习中,我们需要学会二次型的矩阵表示,求解矩阵的秩,通过线性替换将二次型化为标准型,了解矩阵合同,规范型,掌握正定二次型的判定方法。 例1.二次型??? ? ?????? ??=21 21213201),(),(x x x x x x f 的矩阵为( 3 )。 (1)、102 3?? ??? (2)、1 22 3?? ??? (3)、1113?? ??? (4)、1 113-?? ?-?? 注意对于任意一个二次型,都唯一确定这一个对称矩阵,这个对称矩阵才叫做二次型的矩阵。二次型的秩就是矩阵的秩。 例2.将二次型2212311213233(,,)246f x x x x x x x x x x x =+-++化为标准形,并写出所用的非退化线性替换。 解:用配方法: 2 2 2 2 12311232323233 (,,)[2(2)(2)](2)6f x x x x x x x x x x x x x x =+-+---++ 2221232233(2)103x x x x x x x =+--+- 2 2 2 2 12322333 (2)(1025)22x x x x x x x x =+---++

高等代数知识结构

高等代数知识结构

二、高等代数知识结构内容 (一)线性代数 工具:线性方程组 1 1 列时, a 性质1 性质2、一行得公因子可以提出来(或以一数乘行列式得一行就相当于用这个数乘此行列式。 性质3、如果某一行就是两组数得与,那么这个行列式就等于两个行列式得与,而这两个行列式除这一行以外与原行列式得对应行一样。 性质4、如果行列式中两行相同,那么行列式为零。(两行相同就就是说两行对应元素都相同) 性质5、如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。 性质6、把一行得倍数加到另一行,行列式不变。 性质7、对换行列式中两行得位置,行列式反号。 2、矩阵: a、矩阵得秩:矩阵A中非零行得个数叫做矩阵得秩。 b、矩阵得运算 定义同型矩阵:指两个矩阵对应得行数相等、对应得列数相等得矩阵. 矩阵相等:设,, 若 , 称、 线性运算:, 加法: 数乘: 负矩阵: 减法: 矩阵得乘法定义:设 , 其中元素 得列数 = 得行数。 得行数 = 得行数; 得列数 = 得列数. 与得先后次序不能改变. (5)矩阵得初等变换 矩阵得等价变换形式主要有如下几种: 1)矩阵得i行(列)与j行(列)得位置互换; 2)用一个非零常数k乘矩阵得第i行(列)得每个元; 3)将矩阵得第j行(列)得所有元得k倍加到第i行(列)得对应元上去。 3、线性方程组 一般线性方程组、这里所指得一般线性方程组形式为

111122112 11222221122,,.n n n n s s s n n s ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b +++=??+++=??? ?+++=? L L L L L L ()i ()i 式中(1,2,,)i xi n =K 代表未知量,(1,2,,;1,2,,)i j a i s j n ==L L 称为方程组得系数,( 1,2,,)j b j n =L 称为常数项、 线性方程组)(i 称为齐次线性方程组,如果常数项全为零,即120s bb b ====L 、 令 111212122212n n s s sn a a a a a a A a a a ????? ?=??????L L M M M M L ,12n x x X x ??????=??????M , 12s b b B b ?? ????=???? ?? M , 则()i 可用矩阵乘法表示为 A X B =,,,.m n n m A C X C B C ?∈∈∈ a 、线性方程组得解法 1)消元法 在初等代数里,我们已经学过用代入消元法与加减消元法解简单得二元、三元线性方程组、实际上,这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性、但对于那些高元得线性方程组来说,消元法就是比较繁琐得,不易使用、 2)应用克莱姆法则 对于未知个数与方程个数相等得情形,我们有 定理1 如果含有n 个方程得n 元线性方程组 11112211 21122222 1122,,.n n n n n n n n n n ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b +++=??+++=?? ? ?+++=? L L L L L L ()i i 得系数矩阵

高等代数习题

高等代数习题 第一章基本概念 §1.1 集合 1、设Z是一切整数的集合,X是一切不等于零的有理数的集合.Z是不是X的子集? 2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么? {a} A是否正确? 3、设 写出和 . 4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集. 5、设A是含有n个元素的集合.A中含有k个元素的子集共有多少个? 6、下列论断那些是对的,那些是错的?错的举出反例,并且进行改正. (i) (ii) (iii) (iv) 7.证明下列等式: (i)

(ii) (iii) §1.2映射 1、设A是前100个正整数所成的集合.找一个A到自身的映射,但不是满射. 2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射. 3、是不是全体实数集到自身的映射? 4.设f定义如下: f是不是R到R的映射?是不是单射?是不是满射? 5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射? 6、设a ,b是任意两个实数且a

9、设是映射,又令,证明 (i)如果是单射,那么也是单射; (ii)如果是满射,那么也是满射; (iii)如果都是双射,那么也是双射,并且 10.判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算: 集合 A 规则 1 2 3 4 全体整数 全体整数 全体有理数 全体实数 b a b a+ → |) , ( §1.3数学归纳法 1、证明: 2、设是一个正整数.证明 ,是任意自然数. 3、证明二项式定理: 这里 , 是个元素中取个的组合数.

高等代数与解析几何教材特色与比较

1、《高等代数与解析几何(上下册)(第2版)》简介:数学分析、高等代数与解析几何是大学数学系的 三大基础课程,南开大学数学系孟道骥 出版社:科学出版社; 第2版 (2011年1月5日) 丛书名:普通高等教育"十一五"国家级规划教材 平装: 480页https://www.doczj.com/doc/1212556748.html,/jpkc/gdds/ 第二版在以下几个方面作了修改。 为了降低学习难度,根据第一版使用的经验和反馈,我们把第一章里有关线性流形和子空间的内容删去,让这些概念到第三章才出现。第二章的行列式定义还是使用通常的乘积交叉和的形式,把第一版使用的有向体积(即多重线性函数)定义作为几何意义放在评注里。还把几何空间的直线与平面的内容集中放到新设的第四章。考虑到以后计算多重积分的需要,在第六章第8节补充了有关求空间区域到坐标平面投影的求法,给出一个例题和一些习题。此外对习题的顺序和配备做了整理,增加了一些入门级的基本题,较难的题排在后面,还打上星号,这样虽然每一节后面有不少习题,但教师可以根据不同的要求选取习题,从最易到很难,有很大选择余地。根据华东师范大学几年来的经验,第一学年每周6学时(其中2学时习题课)可以把不打星号的内容教完。第3学期开设每周2学时的选修课,讲授第十四章以及其他一些打星号的内容,这样可以使兴趣不同的学生各得其所。 在帮助学生熟悉数学软件方面,第二版增加了与Mapie平行的:Mathematica的内容,使用者可以从中选择一种。由肖刚教授开发的网上互动式多功能服务站(WIMS)有了汉化的光盘版KNOWIMS,这是一个开放软件,可以免费使用。即使在上网不易的偏远地区,只要有一台电脑,就能拥有一个w:IMS系统,而且教师还可以在这个系统里自行开发各种练习。我们在附录中介绍了WIMS的用法,许多章节后面会介绍相应的练习。希望广大师生能喜欢它,发展它。当然这些有关计算机的内容都是选学的,有兴趣的读者可向高等教育出版社数学分社索取相关软件光盘。 第一章向量代数 本章的主要内容是向量及其代数运算。我们在力学和物理中已经遇到过既有大小义有方向的量,如力、速度等。现在我们面临的问题是从数学的观点研究向量的特性以及它的各种运算。利用向量往往能使某些几何问题更简捷地得到解决。向量方法也是力学、物理学和工程技术中常用的有力工具。向量无疑是一个几何概念,但是在空间中建立了坐标系后,向量与它的坐标问有了一个一一对应的关系。这样就使得许多涉及向量的几何问题转换成了它的坐标(数组)间的代数问题,为应用代数方法解决几何问题提供了桥梁。本章的有些例题与习题就是展示向量代数方法在立体几何中的应用。反之,取定了原点和坐标系后,一个二元或三元的数组又能被看成以原点为始点的向量。例如复数就可被看成平面向量。这样又使得许多抽象的代数概念获得了具体的几何背景。数(或公式)与图形的结合及转化始终是数学发展的有力手段。于是几个数的数组被看成了虚构的高维空间中的向量。现实空间中向量的各种运算被推广到了高维数组构成的“空间”,抽象的数组被赋予了直观的形象。我们这门课程把高等代数与解析几何揉合在一起,既是为了给几何问题提供代数工具,也是为了给抽象的代数概念提供几何的背景。希望同学们在学习时对于形数结合给予更多的重视。并把本章学习的重点放在对各种向量运算以及向量的线性相关性的直观理解上,为以后的代数化作准备。 《高等代数与解析几何(上下册)(第2版)》分上、下册,第1章讨论多项式理论;第2章介绍行列式,包括用行列式解线性方程组的Craner法则;第3章矩阵,主要介绍矩阵的计算、初等变换及矩阵与线性方程组的关系;第4章介绍线性空间;第5章介绍线性变换;第6章多项式矩阵是为了讨论复线性变换而设的;第7章介绍Euclid空间;第8章介绍双线性函数与二次型;第9章讨论二次曲面;第10章介绍仿射几何与影射几何。 《高等代数与解析几何(上下册)(第2版)》附有相当丰富的习题。 个人认为这套教材总体还算不错(虽然系里大多数人都认为很烂),内容、观点还是比较新颖的,不同于一般的教材。不足之处(应该也是同学们“讨厌”的地方)在于有些比较重要的定理写的过于简略,进展太过

高等代数 知识点

第一章 定义1 数域 定义2 数域P上的一元多项式 定义3 多项式相等 定义4 一元多项式环 带余除法 定义5 整除 定理1 r(x)=0 定义 6 最大公因式 定理 2 d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x); (f(x),g(x))= u(x)f(x)+v(x)g(x) 定义7 互素(f(x),g(x))=1 定理 3 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 定理4 f ,g互素且f|gh,则f|h 推论f1|g,f2|g,且f1,f2互素,则f1f2|g, 定义8 不可约多项式 定理5 一个不可约多项式p,能够表达成P|fg, 则p|f或者p|g 因式分解及其唯一性定理数域P上的一个多项式f,都可以唯一的分解成数域P上的一些不可约多项式的乘积。

第四章 1 转轴----坐标系(x1,y1,z1)到(x2,y2,z2)的坐标变换矩阵是A,如果令X1=(x1,y1,z1)的转置,X2=(x2,y2,z2)的转置,则X1=AX2。 2单位矩阵E=数量矩阵为kE= 如:AE=A,EA=A 3矩阵的加法,乘法,减法,结合律,交换律,零矩阵 4 秩(A+B)秩A+秩B 5 如:A=则矩阵的数量乘积 kA= 6 矩阵的转置记作A的转置为A’。例如A= 则A’= 注意:转置的性质(A’)’=A (A+B)’=A’+B’( AB)’=B’A’ (kA)’=kA’ 定理1 假设A B是数域P上的两个n n矩阵,那么|AB|=|A||B| 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积 推论1 |A1A2An|=|A 1||A 2||An|

定义6数域P上的一个n n矩阵A,如果|A|0,称为非退化的,否则称为退化的 推论2 假设A B是数域P上的两个n n矩阵,矩阵AB为退化的充要条件是A,B中至少有一个是退化的 定理2 假设A是数域P上的n m矩阵,B是数域P上的m s 矩阵,于是秩(AB)min[秩A,秩B]。即乘积的秩不 超过个因子的秩 推论3 如果A=A1A2An,那么秩A min(秩Ai) 定义7 如果有n级方阵B,使得AB=BA=E,则n级方阵A称为是可逆的 定义8 如果有n级方阵B,使得AB=BA=E,那么B就称为A的逆矩阵,记作A-1 定义9 假设A ij是矩阵A=中a ij的代数余子式,矩阵A*=称为A的伴随矩阵。 A*A=AA*=dE 其中d=|A| 定理3 矩阵A 可逆的充分必要条件是A是非退化的, 而A-1=A* 推论如果A,B可逆,那么AB与A'也可逆, 且(A’)-1=(A-1)’,(AB)-1=B-1A-1

高等代数最重要的基本概念汇总

第一章 基本概念 数环和数域 定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说,a+b,a-b,ab 都在S 内,那么称S 是一个数环。 定义2 设F 是一个数环。如果 (i )F 是一个不等于零的数; (ii )如果a 、b ∈F,,并且b 0≠, a F b ∈,那么就称F 是一个数域。 定理 任何数域都包含有理数域,有理数域是最小的数域。 第二章 多项式 一元多项式的定义和运算 定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式 ()1 2 012n n a a x a x a x +++ +, 是非负整数而012,,,n a a a a 都是R 中的数。 项式()1中,0a 叫作零次项或常数项,i i a x 叫作一次项,一般,i a 叫作i 次项的系数。 定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项,或者只差一些系数 为零的项,那么就说()f x 和()g x 就说是相等 ()()f x g x = 定义3 n n a x 叫作多项式2 012n n a a x a x a x +++ +,0n a ≠的最高次项,非负整数n 叫作 多项式2 012n n a a x a x a x +++ +,0n a ≠的次数。 定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式,并且()0f x ≠,()0g x ≠,那么 ()i 当()()0f x g x +≠时, ()()()()()()()()0 max ,;f x g x f x g x ? +≤?? ()ii ()()()()()()()0 f x g x f x g x ? =?+?。

《高等代数》课程教学大纲

《高等代数》课程教学大纲 课程编号:090085、090022 总学时:162 学分:8 适用专业:数学与应用数学、信息与计算科学 课程类型:专业必修课 开课单位: 一、课程的性质、目的与任务 通过本课程的教学,使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认识, 提高他们的抽象思维、逻辑推理和运算的能力;使学生初步地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法,进而加深对中学代数的理解;使学生能应用代数思想和方法去理解与处理有关的问题, 培养与提高代数的理论分析问题与解决问题的能力;使学生学习数学学科后续课程(如近世代数、离散数学、计算方法、偏微分方程、泛函分析等)提供一些所需要的基础理论和知识;使学生在智能开发、创新能力培养等方面获得重要的平台。 《高等代数》是数学与应用数学、信息与计算科学本科专业最重要的基础课程之一,是数学各专业报考研究生的必考课程之一,也是理论性、应用性很强的一门数学基础课。讲授本课程的目的主要在于培养学生的代数基础理论和思想素质,基本掌握代数中的论证方法, 获得较熟练的演算技能和初步应用的技巧, 提高分析问题、解决问题的能力,为进一步学习其它数学知识打下坚实的基础。 本课程的主要任务是通过教学的主要环节(课堂讲授与讨论、习题课、作业、辅导答疑等),使学生学习和掌握多项式理论、线性代数的代数理论(行列式、线性方程组、矩阵、λ矩阵)及线性代数的几何理论(线性空间、线性变换、欧氏空间)。 二次型、- 二、课程教学内容和基础要求 (1)理解多项式的定义,掌握最大公因式,互素,不可约多项式, 因式分解等有关的一系列性质。 (2)理解行列式的定义, 掌握行列式的基本运算性质和行列式的行(列)展开性质;理解向量组的线性相关性,掌握线性方程组的通解求法;理解矩阵的概念和运算,掌握矩阵的可逆、矩阵的分块、矩阵的等价关系的性质及应用;理解二次型的定义,掌握二次型的标准形的求法及正定二次型的一系列性质。 (3)理解线性空间的定义,掌握交空间、和空间及直和的判定及性质;理解线性变换的定义及简单性质,掌握线性变换在不同基下的矩阵的性质、线性变换的值域与核的应用问

高等代数行列式计算方法

第2章 n 级行列式的计算方法 2.1 定义法 对于含非零元素较少的行列式,用定义计算非常方便。由定义可知, n 级行列式共有!n 项,每一项的一般形式为 1212()12(1),n n r j j j j j nj a a a - 若每一项n 个元素的乘积中有零因子,则该 项的值为零。若零元素较多,则值为零的项就越多,此时找出那些不为零的项就可求出行列式的值。 例1 计算n 级行列式 000010002001000 0000 D n n =- 2.2 利用行列式的性质 例2 计算n 级行列式 11 12 121 2221 2n n n n n n x y x y x y x y x y x y D x y x y x y ------= --- . 解 当1n =时,11D x y =-; 当2n =时,1212()()D x x y y =--;

当3n ≥时,把第一行的1-倍分别加到第i 行,2,3,,,i n = 行列式的值不变,得 11 12121 2121 1 11 n n n n x y x y x y x x x x x x D x x x x x x ------= =--- 综上可得 111212(1)()()(2) 0(3)x y n D x x y y n n -=?? =--=??≥? 2.3 三角化法 由于上三角行列式或下三角行列式的值都等于主对角线上的元素的积。故可利用行列式的性质,采用“化零”的方法。充分利用行列式中元素间具有某些特点及行列式性质,化为三角形行列式。 例4 计算n 级行列式 n x b b b b x b b D b b x b b b b x = 解 这行列式的特点是每行和相等,根据行列式的性质,把

814《高等代数》考研大纲

《高等代数》考研大纲 一、基本要求 要求考生全面系统地理解高等代数的基本概念和基本理论,熟练掌握高等代数的基本思想和基本方法。要求考生具有较强的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学运算能力以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。 二、考试范围 (一)多项式 .多项式的带余除法及整除性、最大公因式、互素多项式; .不可约多项式、因式分解唯一性定理、重因式、复系数与实系数多项式的因式分解、有理系数多项式不可约的判定; .多项式函数与多项式的根、代数基本定理、有理系数多项式的有理根的求法、根与系数的关系。 (二)行列式 .行列式的定义及性质,行列式的子式、余子式及代数余子式; .行列式按一行、列的展开定理、法则、定理和行列式乘法定理、行列式; .运用行列式的性质及展开定理等计算行列式。 (三)线性方程组 .消元法与初等变换; .向量组的线性相关性、向量组的秩与极大线性无关组、矩阵的秩; .线性方程组有解的判别定理与解的结构。 (四)矩阵 .矩阵的基本运算、矩阵的分块及常用分块方法; .矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的等价、矩阵的迹、方阵的多项式;; .逆矩阵、矩阵可逆的条件及与矩阵的秩和初等矩阵之间的关系,伴随矩阵及其性质;.运用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵。 (五)二次型理论 .二次型及其矩阵表示、矩阵的合同、二次型的标准形与规范形、惯性定理; .实二次型在合同变换下的规范形以及在正交变换下的特征值标准型的求法; .实二次型或实对称矩阵的正定、半正定、负定、半负定的定义、判别法及其应用。 (六)线性空间 .线性空间、子空间的定义与性质,向量组的线性相关性,线性(子)空间的基、维数、向量关于基的坐标,基变换与坐标变换,线性空间的同构; .子空间的基扩张定理,生成子空间,子空间的和与直和、维数公式; .一些常见的子空间,如线性方程组的解空间、矩阵空间、多项式空间、函数空间。(七)线性变换 .线性变换的定义、性质与运算,线性变换的矩阵表示,矩阵的相似、同一个线性变换关于不同基的矩阵之间的关系; .矩阵的特征多项式与最小多项式及其性质、线性变换及其矩阵的特征值和特征向量的概念和计算、特征子空间、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质; .线性变换的不变子空间、核、值域的概念、关系及计算; .定理、矩阵可相似对角化的条件与方法、线性变换矩阵的化简、标准形。

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