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2016届甘肃省重点中学协作体高三上学期第一次适应性考试数学(理)试题解析版

2015-2016学年甘肃省重点中学协作体高三（上）第一次适应性考

试数学试卷

一、选择题：在每题所给出的四个选项中只有一个最符合题意，每题5分，共60分.

1．已知复数f（n）=i n（n∈N），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是( )

A．4 B．3 C．2 D．无数

2．已知等差数列{a n}前四项中第二项为606，前四项和S n为2600，则第4项为( ) A．707 B．782 C．870 D．990

3．集合A={x|}，B={x||x﹣b|＜a}，若a=1是A∩B≠?的充分条件，则b的取值范围

可以是( )

A．﹣2≤b＜0 B．0＜b≤2 C．﹣3＜b＜﹣1 D．﹣2＜b＜2

4．函数y=lg（x﹣1）的定义域为( )

A．{x|x＜0} B．{x|x＞1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0或或x＞1}

5．函数的图象大致是( )

A．B．C．D．

6．函数y=cosx的图象与函数y=（）|x﹣1|（﹣3≤x≤5）的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A．4 B．6 C．8 D．10

7．已知x，y满足，则的取值范围是( )

A．[0，]B．[0，]C．[1，]D．[2，]

8．四面体ABCD中，AD与BC互相垂直，AD=2BC=4，且，则四面体ABCD的体积的最大值是( )

A．4 B．2C．5 D．

9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )

A．B．C．D．

10．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是( )

A．0.128 B．0.096 C．0.104 D．0.384

11．一个年级有12个班，每个班的同学从1至50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下进行交流，这里运用的是( )

A．系统抽样 B．分层抽样 C．抽签抽样 D．随机抽样

12．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )

A．2 B．3 C．9 D．27

13．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=( )

A．B．C．3 D．6

14．设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是( )

A．B．C．D．+1

15．过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记

∠APB=α，则当α最小时cosα的值为( )

A． B．C．D．

16．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题不正确的是( )

①若l⊥α，α⊥β，则l?β②若l∥α，α∥β，则l?β

③若l⊥α，α∥β，则l⊥β④若l∥α，α⊥β，则l⊥β

A．①③B．②③④ C．①②④ D．①④

二、填空题（每题5分，共30分）

17．曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程为__________．

18．数列{a n}中，a1=2，a2=7，a n+2是a n a n+1的个位数字，S n是{a n}的前n项和，则S242﹣10a6=__________．

19．已知a，b，c三个数成等比数列，其中，，则b=__________．

20．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某四天的用电量与当天气温，列表如下：

由表中数据得到回归直线方程=﹣2x+a．据此预测当气温为﹣4°C时，用电量为__________

21．以抛物线y=x2的焦点为圆心，以焦点到准线的距离为半径的圆被双曲线﹣y2=1的渐近线截得的弦长为__________．

22．我们把离心率e=的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）称为黄金双曲线．如图是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0，c=）的图象，给出以下几个说法：

①双曲线x2﹣=1是黄金双曲线；

②若b2=ac，则该双曲线是黄金双曲线；

③若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），B2（0，﹣b）且∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；

④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线．

其中正确命题的序号为__________．

三、解答题

23．已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=．

（1）若△ABC的面积等于，求a，b；

（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．

24．某校高三年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查．设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．

（Ⅰ）请完成此统计表；

（Ⅱ）试估计高三年级学生“同意”的人数；

（Ⅲ）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意的概率．”

25．甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．

（1）若左右手各取一球，问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？

（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为X，求X的分布列和数学期望．

26．已知抛物线C1：y2=2px上一点M（3，y0）到其焦点F的距离为4；椭圆C2：

的离心率e=，且过抛物线的焦点F．

（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；

（Ⅱ）过点F的直线l1交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知

，求证：λ+μ为定值．

（Ⅲ）直线l2交椭圆C2于P，Q两不同点，P，Q在x轴的射影分别为P′，Q′，

+1=0，若点S满足：，证明：点S在椭圆C2上．

27．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．

（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；

（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；

（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．

28．已知函数f（x）=+bx（a≠0），g（x）=1+lnx．

（Ⅰ）若b=1，且F（x）=g（x）﹣f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；

（Ⅱ）设函数g（x）的图象C1与函数f（x）的图象C2交于点M、N，过线段MN的中点T 作x轴的垂线分别交C1、C2于点P、Q，是否存在点T，使C1在点P处的切线与C2在点Q 处的切线平行？如果存在，求出点T的横坐标，如果不存在，说明理由．

2015-2016学年甘肃省重点中学协作体高三（上）第一次

适应性考试数学试卷

一、选择题：在每题所给出的四个选项中只有一个最符合题意，每题5分，共60分.

1．已知复数f（n）=i n（n∈N），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是( )

A．4 B．3 C．2 D．无数

【考点】虚数单位i及其性质；集合中元素个数的最值．

【专题】数系的扩充和复数．

【分析】直接利用复数的幂运算，化简求解即可．

【解答】解：复数f（n）=i n（n∈N），可得f（n）=，k∈Z．

集合{z|z=f（n）}中元素的个数是4个．

故选：A．

【点评】本题考查复数单位的幂运算，基本知识的考查．

2．已知等差数列{a n}前四项中第二项为606，前四项和S n为2600，则第4项为( ) A．707 B．782 C．870 D．990

【考点】等差数列的性质．

【专题】等差数列与等比数列．

【分析】由题意可得S3的值，而a4=S4﹣S3，代值计算可得．

【解答】解：由题意可得a2=606，S4=2600，

∴S3=a1+a2+a3=3a2=1818

∴a4=S4﹣S3=2600﹣1818=782，

故选：B．

【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．

3．集合A={x|}，B={x||x﹣b|＜a}，若a=1是A∩B≠?的充分条件，则b的取值范围

可以是( )

A．﹣2≤b＜0 B．0＜b≤2 C．﹣3＜b＜﹣1 D．﹣2＜b＜2

【考点】充分条件．

【专题】探究型．

【分析】先化简A，B利用a=1是A∩B≠?的充分条件确定b的取值范围．

【解答】解：A={x|}={x|﹣1＜x＜1}，因为A∩B≠?，所以a＞0，

则由B={x||x﹣b|＜a}，得B={x|b﹣a＜x＜b+a}，

当a=1时，B={x|b﹣1＜x＜b+1}，要使A∩B≠?，

则或，

解得0≤b＜2或﹣2＜b≤0．即﹣2＜b＜2．

故选D．

【点评】本题主要考查分式不等式和绝对值不等式的解法以及充分条件和必要条件的应用，比较基础．

4．函数y=lg（x﹣1）的定义域为( )

A．{x|x＜0} B．{x|x＞1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0或或x＞1}

【考点】函数的定义域及其求法．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．

【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1＞0，

即x＞1，

则函数的定义域为{x|x＞1}，

故选：B．

【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．

5．函数的图象大致是( )

A．B．C．

D．

【考点】对数函数的图像与性质．

【专题】数形结合．

【分析】由已知中函数的解析式，我们利用导数法，可以判断出函数的单调性及最大值，进而分析四个答案中的图象，即可得到答案．

【解答】解：∵（x＞0）

∴（x＞0）

则当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；

当x=1时，f（x）取最大值，f（1）=；

故选B

【点评】本题考查的知识点是函数的图象与性质，其中利用导数分析出函数的性质，是解答本题的关键．

6．函数y=cosx的图象与函数y=（）|x﹣1|（﹣3≤x≤5）的图象所有交点的横坐标之和等于( )

A．4 B．6 C．8 D．10

【考点】余弦函数的图象．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】分别作出两个函数的图象，根据图象的对称性即可得到交点坐标问题．

【解答】解：作出函数y=cosπx的图象，则函数关于x=1对称，

同时函数y=（）|x﹣1|（﹣3≤x≤5）也关于x=1对称，

由图象可知，两个函数在﹣3≤x≤5上共有8个交点，两两关于x=1对称，

设对称的两个点的横坐标分别为x1，x2，

则x1+x2=2×1=2，

∴8个交点的横坐标之和为4×2=8，

故选：C．

【点评】本题主要考查函数交点个数以及数值的计算，根据函数图象的性质，利用数形结合是解决此类问题的关键，综合性较强，属于中档题．

7．已知x，y满足，则的取值范围是( )

A．[0，]B．[0，]C．[1，]D．[2，]

【考点】简单线性规划．

【专题】不等式的解法及应用．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=，则z=+1，设k=，利用k 的几何意义，即可得到结论．

【解答】解：由题意绘出可行性区域如图所示，

设z=，则z=+1，设k=，则z=k+1，

k的几何意义是可行域内任一点与点（4，2）连线的斜率k的取值范围，

由图象可得∈[0，]，

∴z=．

故选：C

【点评】本题主要考查线性规划的应用，将条件转化为z=k+1，利用数形结合是解决本题的关键．

8．四面体ABCD中，AD与BC互相垂直，AD=2BC=4，且，则四面体ABCD的体积的最大值是( )

A．4 B．2C．5 D．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】作BE⊥AD于E，连接CE，说明B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE 都垂直于焦距AD，BE=CE．取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ABD

是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可．

【解答】解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，

由题设，，所以B与C都是在以AD为焦点的椭圆上，且BE、CE都垂直于焦距AD，

因为，所以△ABD≌△ACD，所以BE=CE．

取BC中点F，所以EF⊥BC，EF⊥AD，四面体ABCD的体积的最大值，只需EF最大即可，当△ABD是等腰三角形时几何体的体积最大，BE=CE=，再求出EF=3，故可知答案为4，故选A．

【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力．

9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )

A．B．C．D．

【考点】由三视图求面积、体积．

【专题】计算题；空间位置关系与距离．

【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是一正方体去掉一个三棱锥，结合图中数据求出它的体积．

【解答】解：根据几何体的三视图，得；

该几何体是一棱长为1的正方体，去掉一三棱锥，

如图所示；

∴该几何体的体积是V几何体=13﹣×12×1=．

故选：A．

【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．

10．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是( )

A．0.128 B．0.096 C．0.104 D．0.384

【考点】互斥事件的概率加法公式．

【专题】概率与统计．

【分析】由题意知3个相互独立的灯泡使用的时间能否超过1000小时，可以看做一个做了3次独立重复试验的概率，根据独立重复试验的公式得到结果．

【解答】解：∵灯泡的耐用时间超过1000小时的概率为0.2，

3个相互独立的灯泡使用的时间能否超过1000小时，

可以看做一个做了3次独立重复试验的概率，

∴3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是C31×0.8×0.22=0.096，

故选：B

【点评】本题考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，本题解题的关键是看出本试验符合独立重复试验，本题是一个基础题．

11．一个年级有12个班，每个班的同学从1至50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下进行交流，这里运用的是( )

A．系统抽样 B．分层抽样 C．抽签抽样 D．随机抽样

【考点】系统抽样方法；收集数据的方法．

【专题】应用题．

【分析】学生人数比较多，把每个班级学生从1到50号编排，要求每班编号为14的同学留下进行交流，这样选出的样本是具有相同的间隔的样本，是采用系统抽样的方法．

【解答】解：当总体容量N较大时，采用系统抽样．将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为预先制定的，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．

本题中，把每个班级学生从1到50号编排，

要求每班编号为14的同学留下进行交流，

这样选出的样本是采用系统抽样的方法，

故选A．

【点评】本题考查系统抽样，当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分即将总体分段，分段的间隔要求相等，系统抽样又称等距抽样．

12．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )

A．2 B．3 C．9 D．27

【考点】程序框图．

【专题】图表型；算法和程序框图．

【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值，当Q=0时，满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为3．

【解答】解：模拟执行程序，可得

P=153，Q=63

不满足条件Q=0，R=27，P=63，Q=27

不满足条件Q=0，R=9，P=27，Q=9

不满足条件Q=0，R=0，P=9，Q=0

满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为9．

故选：C．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值是解题的关键，属于基本知识的考查．

13．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=( )

A．B．C．3 D．6

【考点】抛物线的简单性质．

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】考查抛物线的图象，利用抛物线的定义以及=3，求解即可．

【解答】解：如下图所示，抛物线C'：B的焦点为（3，0），准线为A，准线与C'轴的交点为AB，P

过点f（x）=|x+1|+|x﹣1|作准线的垂线，垂足为f（x）＜4，由抛物线的定义知M

又因为M，所以，a，b∈M

所以，2|a+b|＜|4+ab|，所以，．

故选：B．

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．

14．设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是( )

A．B．C．D．+1

【考点】双曲线的简单性质．

【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率．

【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为y=±x，

分别与x﹣3y+m=0（m≠0）联立，解得A（﹣，﹣），B（﹣，），

∴AB中点坐标为（，），

∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，

∴=﹣3，

∴a=2b，

∴c=b，

∴e==．

故选：A．

【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．

15．过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记

∠APB=α，则当α最小时cosα的值为( )

A． B．C．D．

【考点】简单线性规划．

【专题】不等式的解法及应用．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可得到结论．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使α最小，

则P到圆心的距离最大即可，

由图象可知当P位于点D时，∠APB=α最小，

由，解得，即D（﹣4，﹣2），

此时|OD|=，|OA|=1，

则，即sin=，

此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2（）2=1﹣=，

故选：C

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式．

16．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题不正确的是( )

①若l⊥α，α⊥β，则l?β②若l∥α，α∥β，则l?β

③若l⊥α，α∥β，则l⊥β④若l∥α，α⊥β，则l⊥β

A．①③B．②③④ C．①②④ D．①④

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．

【专题】空间位置关系与距离．

【分析】利用线面垂直、线面平行、面面平行的性质定理和判定定理对四个命题分别分析选择．

【解答】解：对于①，若l⊥α，α⊥β，则l?β或者l∥β，故①错误；

对于②，若l∥α，α∥β，则l?β或者l∥β；故②错误；

对于③，若l⊥α，α∥β，则l⊥β，正确；

对于④，若l∥α，α⊥β，则l与β的位置关系不确定；故④错误；

故选：C．

【点评】本题考查了空间线面垂直、线面平行、面面平行的性质定理和判定定理的运用；熟练运用定理，掌握定理成立的条件是关键．

二、填空题（每题5分，共30分）

17．曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程为x﹣ey=0．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【专题】计算题．

【分析】由y=lnx，知，故曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的斜率k=，由此能求出曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程．

【解答】解：∵y=lnx，∴，

∴曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的斜率k=，

曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程为：

y﹣1=），

整理，得x﹣ey=0．

故答案为：x﹣ey=0．

【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用．

18．数列{a n}中，a1=2，a2=7，a n+2是a n a n+1的个位数字，S n是{a n}的前n项和，则S242﹣10a6=909．【考点】数列的求和．

【专题】点列、递归数列与数学归纳法．

【分析】通过题意可得a1a2=14、a3=4，同理可得：a4=8，a5=2，a6=6，a7=2，a8=2，a9=4，a10=8，以此类推可得：a6n+k=a k（k∈N，k≥3），进而可得结论．

【解答】解：∵a1=2，a2=7，a n+2是a n a n+1的个位数字，

∴a1a2=14，∴a3=4．

∴a2a3=28，∴a4=8，

a3a4=32，∴a5=2，

a4a5=16，∴a6=6，

a5a6=12，∴a7=2，

a6a7=12，∴a8=2，

a7a8=4，∴a9=4，

a8a9=8，∴a10=8，

…

以此类推可得：a6n+k=a k（k∈N，k≥3）．

∴S242=a1+a2+40（a3+a4+a5+a6+a7+a8）

=2+7+40×（4+8+2+6+2+2）

=969，

∴S242﹣10a6=969﹣10×6=909．

故答案为：909．

【点评】本题考查数列的周期性，考查推理能力与计算能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．

19．已知a，b，c三个数成等比数列，其中，，则b=±1．

【考点】等比数列的性质．

【专题】计算题．

【分析】由a，b，c三个数成等比数列，知，再由，，能求出b．

【解答】解：∵a，b，c三个数成等比数列，

，，

∴

=±

=±1．

故答案为：±1．

【点评】本题考查等比数列的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等差中项的求法．

20．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某四天的用电量与当天气温，列表如下：

由表中数据得到回归直线方程=﹣2x+a．据此预测当气温为﹣4°C时，用电量为68（单位：

【专题】概率与统计．

【分析】求出样本中心（，），代入求出a，结合线性回归方程进行预测即可．

【解答】解：=（18+13+10﹣1）=10，

=（24+34+38+64）=40，

则﹣20+a=40，

即a=60，

则回归直线方程=﹣2x+60．

当气温为﹣4°C时，用电量为=﹣2×（﹣4）+60=68，

故答案为：68

【点评】本题考查线性回归方程，考查用线性回归方程估计或者说预报y的值，求出样本中心是解决本题的关键．

21．以抛物线y=x2的焦点为圆心，以焦点到准线的距离为半径的圆被双曲线﹣y2=1的渐

近线截得的弦长为．

【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，得到圆心坐标和半径，由双曲线方程求出其渐近线方程，再由点到直线距离求得圆心到渐近线的距离，利用勾股定理求得弦长．

【解答】解：由y=x2，得x2=4y，∴F（0，1），则所求圆的方程为x2+（y﹣1）2=4，

由双曲线﹣y2=1，得其渐近线方程为y=，

不妨取y=，即x﹣2y=0，

则F（0，1）到直线x﹣2y=0的距离为d=，

∴弦长为．

故答案为：．

【点评】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，考查了点到直线的距离公式，是中档题．22．我们把离心率e=的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）称为黄金双曲线．如图是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0，c=）的图象，给出以下几个说法：

①双曲线x2﹣=1是黄金双曲线；

②若b2=ac，则该双曲线是黄金双曲线；

③若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），B2（0，﹣b）且∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；

④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线．

其中正确命题的序号为①②③④．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．

【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．

【分析】利用双曲线的简单性质分别求出离心率，再利用黄金双曲线的定义求解．

【解答】解：①双曲线x2﹣=1中，

∵e==，

∴双曲线x2﹣=1是黄金双曲线，故①正确；

②b2=ac，则e===，

∴e2﹣e﹣1=0，解得e=，或e=（舍），

∴该双曲线是黄金双曲线，故②正确；

③如图，F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，

B1（0，b），B2（0，﹣b），且∠F1B1A2=90°，

∴，即b2+2c2=（a+c）2，

整理，得b2=ac，由②知该双曲线是黄金双曲线，故③正确；

④如图，MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，

∴NF2=OF2，∴，∴b2=ac，

由②知该双曲线是黄金双曲线，故④正确．

故答案为：①②③④．

【点评】本题考查黄金双曲线的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的灵活运用．

三、解答题

23．已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=．

（1）若△ABC的面积等于，求a，b；

（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．

【考点】余弦定理；正弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（1）c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab，利用三角

形面积计算公式=，即ab=4．联立解出即可．

（2）由sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，可得2sinBcosA=4sinAcosA．当cosA=0时，解得A=；当cosA≠0时，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立解得即可．

【解答】解：（1）∵c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，

∴4=a2+b2﹣ab，

∵=，化为ab=4．

联立，解得a=2，b=2．

（2）∵sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，

∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A，

2sinBcosA=4sinAcosA，

当cosA=0时，解得A=；

当cosA≠0时，sinB=2sinA，

由正弦定理可得：b=2a，

联立，解得，b=，

∴b2=a2+c2，

∴，

又，∴．

综上可得：A=或．

【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积计算公式、两角和差的正弦公式，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

（Ⅰ）请完成此统计表；

（Ⅱ）试估计高三年级学生“同意”的人数；

（Ⅲ）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意的概率．”

【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．

【专题】计算题；应用题．

【分析】（I）根据所给的男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，得到女生男生和教师共需抽取的人数，根据表中所填写的人数，得到空着的部分．

（II）根据由表格可以看出女生同意的概率是，男生同意的概率是，用男女生同意的概率

乘以人数，得到同意的结果数．

（III）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，可以通过列举得到结果，然后根据古典概型概率公式得到结果．

【解答】解：（I）被调查人答卷情况统计表：

（II）∵由表格可以看出女生同意的概率是，男生同意的概率是，

用男女生同意的概率乘以人数，得到同意的结果数

（人）

（III）设“同意”的两名学生编号为1，2，

“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，

选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），

（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），

（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法；

其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），

（2，5），（2，6），8种满足题意，

则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为．

【点评】本题考查古典概型，考查分层抽样，考查用列举法得到事件数，是一个综合题目，但是题目应用的原理并不复杂，是一个送分题目．

（1）若左右手各取一球，问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？

（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为X，求X的分布列和数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题．

【分析】（1）设事件A为“两手所取的球不同色”，由此能求出P（A）=1﹣．

宁夏银川一中高三第四次月考数学理试题含答案

银川一中2020届高三年级第四次月考理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,2,4}A =,2{|40}B x x x m =-+=，若}1{=B A I ，则B = A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2．设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，13z i =+，则12z z = A ．10 B ．9i -- C ．9i -+ D ．-10 3．已知向量)4,(),3,2(x b a ==，若)(b a a -⊥，则x = A ． 2 1 B ．1 C ． 2 D ．3 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3623a a +=，535S =，则{}n a 的公差为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 5．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（） A ．若βαβα//,,??n m ，则n m // B ．若βαα//,?m ，则β//m C. 若βαβ⊥⊥,n ，则α//n D ．若βα??n m ,，l =βαI ，且l n l m ⊥⊥,，则βα⊥ 6．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》，《茶馆》，《天籁》，《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是 A ．《雷雨》只能在周二上演 B ．《茶馆》可能在周二或周四上演 C ．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D ．四部话剧都有可能在周二上演 7．函数x e x f x cos )112 ( )(-+=（其中e 为自然对数的底数）图象的大致形状是

高三年级数学高三第一次调研测试

南通市高三第一次调研测试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合U ={1, 2, 3, 4}，M ={1, 2}，N ={2, 3}，则U (M ∪N ) = ▲ ． 2．复数 2 1i (1i)-+（i 是虚数单位）的虚部为 ▲ ． 3．设向量a ，b 满足：3||1,2 =?= a a b ，22+=a b ，则||=b ▲ ． 4．在平面直角坐标系xOy 中，直线(1)2x m y m ++=-与直线28mx y +=-互相垂直的充要条件是 m = ． 5．函数()cos (sin cos )()f x x x x x =+∈R 的最小正周期是 ▲ ． 6．在数列{a n }中，若对于n ∈N *，总有 1 n k k a =∑＝2n －1，则 21 n k k a =∑= ▲ ． 7．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则 x y 为整数的概率是 ▲ ． 8．为了解高中生用电脑输入汉字的水平，随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试，下图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图，其中每分钟输入汉字个数的范围是[50，150]，样本数据分组为[50，70），[70，90）， [90，110），[110，130），[130，150]，已知样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36，则样本中每分钟输入汉字个数大于或等于70个并且小于130个的人数是 ▲ ． 9．运行如图所示程序框图后，输出的结果是 ▲ ． 10．关于直线, m n 和平面,αβ，有以下四个命题： ∈若//,//,//m n αβαβ，则//m n ；∈若//,,m n m n αβ?⊥，则αβ⊥； ∈若,//m m n α β=，则//n α且//n β；∈若,m n m αβ⊥=，则n α⊥或n β⊥. 其中假命题的序号是 ▲ ．（第8题字数/分频率组距 0.005 0.0070.0100.0120.015 50 70 90 110 130 150 k ≥-3 开始 k 1 S S S – 2k k k -1 结束输出S Y N （第9题图）

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