《电动力学》第22讲
第4章 介质中的电动力学（2）
§4.2 唯一性定理
教师姓名： 宗福建
单位： 山东大学物理学院
2012年11月22日
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教学体系
第4章 介质中的电动力学
§4.1 介质中的Maxwell方程组
§4.2 唯一性定理
§4.3 电像法
§4.4 分离变量法
§4.5 格林函数法
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? 1、介质的极化
宏观电偶极距分布用电极化强度矢量P 描述，它等于 物理小体积ΔV 内的总电偶极距与ΔV 之比，
式中p i 为第i 个分子的电偶极距，求和符号表示对ΔV 内 所有分子求和。
V
S = D i p P
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? 1、介质的极化
引入电位移矢量D,定义为
则，
e
=+
D E P
f
r
?=
D
g
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? 2、介质的极化
实验指出，各种介质材料有不同的电磁性能，D 和E 的 关系也有多种形式。对于一般各向同性线性介质， 极化强度P 和E 之间有简单的线性关系
00 1 e r r e
c e e e e e e c = = ==+ P E
D E
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? 2、介质的磁化
介质磁化后，出现宏观磁偶极距分布，用磁化强度M 表示，它定义为物理小体积ΔV 内的总磁偶极距与 ΔV 之比，
V = D ? i
m M
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?
2、介质的磁化
引入磁场强度H ，定义为
则， f t
m =- ? ?′=+ ? B
D
H M
H J
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? 2、介质的磁化
实验指出，对于各向同性非铁磁物质，磁化强度M 和H 之间有简单的线性关系
0 1 M r r M
c m m m m m c = ==+ M H
B H
=
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? 3、介质中的麦克斯韦方程组为 介质方程为：
t t
r ? ì ?′=- ? ? ? ? ? ?′=+ í ? ? ?= ? ? ?= ? B
E D H J D B g g e m s = ì
? = í ?
= ? D E
B H
J E
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? 积分形式：
0 l S
l S S S S V d d d
dt d d I d dt d Q I d d Q dV r ì =- ? ? ? =+ ? ? í ? = ? ? = ? ? ? òò òò òòò òòò
E l B S H l D S D S J S B S g g g g g g g ? ? ò ò ＝ ＝ e m s = ì ? = í ?
= ? D E B H
J E
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11 上一讲复习
? 4、法向分量的跃变
21 21 021 () f n n
P n n
f P n
n D D P P E E s s s s e =- -=- +=- n
n B B 1 2 =
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? 5、切向分量的跃变
21 21 210
12 ()/ f t t
M t t
f M t t t t
H H M M B B E E a a a a m =- =- +=- =
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? 矢量形式
21 21 21 21 ()0
() () ()0
s
′-= ′-= -= -= n E E n H H α
n D D n B B g g
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? 6、标势的边值关系
12
2
1
21 n n j j j j e e s
= ì ? ?? í -=- ? ?? ?
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? 7. 矢势边值关系
21
21 21 1
1
()
m m
= ′?′-?′= A A n A A α
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上一讲习题解答
? 9.证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自 由电荷密度的 倍。
? 证： 0 (1)
e e -- 0 0 0 00
()(1) (1)(1) f
f
p E E P
P E D D D
p D r
e e e e e e
e
e r e e r = ==+ =-=- -- ?× =-?×=- =-?× uu
v uu v u v u v u v
u v u v uu v
uv uu v
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上一讲习题解答
? 9.证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自 由电荷密度的 倍。
? 证：
0 (1)
e e -- 0
(1) f
f
p E D D r e e
r e r = = - ?× - = uu v uu v u v
可以证明：
上一讲习题解答
? 13、用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界而上， 在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；
在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表 面。
? 证：
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本讲主要内容
? 静电场的唯一性定理
– 可以均匀分区的单连通区域内静电场的唯一 性
– 有导体存在时的唯一性定理
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§4.2 唯一性定理
? 静电场的唯一性定理对于解决实际问题有着重要的意 义。因为它首先告诉我们，哪些因素可以完全确定静 电场，这样在解决实际问题时就有所依据。其次，对 于许多实际问题，往往需要根据给定的条件作一定的 分析，提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性 定理所要求的条件，它就是该问题的唯一正确的解。
下面我们先提出并证明一般形式的唯一定理，然后再 证明有导体存在时的唯一性定理。
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第8讲 静电势的多极展开 第二章 电磁场的标势、矢势和电磁辐射(2) §2.2 静电势的多极展开 1. 电势的多极展开 在§ 2.1中我们导出了真空中给定电荷密度 ρ（x '） 激发的电势 0 1() ()'4V dV r ρ?πε'= ? x x （2.2---1） 式中体积分遍及电荷分布区域，r 为场点x 和源点x ' 的距离。 在许多物理问题中，电荷只分布于一个小区域内，而需要求电场强度的地点x 又距离电荷分布区域比较远，即在（2.2---1）式中，r 远大于区域V 的线度l 。在这种情况下，可以把（2.2---1）式表为 1/r 的展开式，由此得出电势 φ 的各级近似值。例如原子核的电荷分布于 ~10 ?15 m 线度的范围内，而原子内电子到原子核的距离 ~10 ?10 m ，因此原子核作用到电子上的电场可以用本节方法求得各级近似值。 在区域V 内取一点O 作为坐标原点，以 R 表示由原点到场点P 的距离，有 R = ''). r =-x x x ' 点在区域V 内变动。由于区域线度远小于R ，可以把 x ' 各分量看作小参量， 把 x ?x ' 的函数对 x ' 展开。设 f （x ?x '）为 x ?x ' 的任一函数，在 x 点附近 f （x ?x '）的展开式为 2 3 1 ,1(')()()()...2!i i j i i j i i j f f x f x x f x x x =?? '''-=-++???∑∑x x x x x 21 ()'()(')()... 2! f x f x f =-?? +??+x x x 取 f （x ?x '）= 1 / | x ?x ' | = 1 / r ,有 2 ,1111'()...2!i j i j i j x f x x x r R x x R ?''=-??++??∑ （2.2---2）
第一章 电磁现象的普遍规律 1） 麦克斯韦方程组是整个电动力学理论的完全描述。 1-1) 在介质中微分形式为 D ρ??=r 来自库仑定律，说明电荷是电场的源，电场是有源场。 0B ??=r 来自毕—萨定律，说明磁场是无源场。 B E t ???=-?r r 来自法拉第电磁感应定律，说明变化的磁场B t ??r 能产生电场。 D H J t ???=+?r r r 来自位移电流假说，说明变化的电场D t ??r 能产生磁场。 1-2) 在介质中积分形式为 L S d E dl B dS dt =-??r r r r g g ? , f L S d H dl I D dS dt =+??r r r r g g ?, f S D dl Q =?r r g ?, 0S B dl =?r r g ?。 2）电位移矢量D r 和磁场强度H r 并不是明确的物理量，电场强E r 度和磁感应强度B r ，两者 在实验上都能被测定。D r 和H r 不能被实验所测定，引入两个符号是为了简洁的表示电磁规律。 3）电荷守恒定律的微分形式为0J t ρ ??+ =?r g 。 4）麦克斯韦方程组的积分形式可以求得边值关系，矢量形式为 ()210n e E E ?-=r r r ，()21n e H H α?-=r r r r ，()21n e D D σ?-=r r r ，() 210n e B B ?-=r r r 具体写出是标量关系 21t t E E =，21t t H H α-=，21n n D D σ-=，21n n B B = 矢量比标量更广泛，所以教材用矢量来表示边值关系。 例题（28页）无穷大平行板电容器内有两层线性介质，极板上面电荷密度为f σ±，求电场和束缚电荷分布。 解：在介质1ε和下极板f σ+界面上，根据边值关系1f D D σ+-=和极板内电场为0，0 D +=r 得1f D σ=。同理得2f D σ=。由于是线性介质，有D E ε=r r ，得
第22讲 唯一性定理 第4章 介质中的电动力学（2） §4.2 唯一性定理 在上节中我们说明静电学的基本问题是求出所有边界上满足边值关系或给定边界条件的泊松方程的解。本节我们把这问题确切地表述出来，即需要给出哪一些条件，静电场的解才能唯一地被确定。 静电场的唯一性定理对于解决实际问题有着重要的意义。因为它首先告诉我们，哪些因素可以完全确定静电场，这样在解决实际问题时就有所依据。其次，对于许多实际问题，往往需要根据给定的条件作一定的分析，提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性定理所要求的条件，它就是该问题的唯一正确的解。下面我们先提出并证明一般形式的唯一定理，然后再证明有导体存在时的唯一性定理。 1. 静电问题的唯一性定理 下面我们研究可以均匀分区的区域V ，即V 可以分为若干个均匀区域 V i ，每一个区域的电容率为 ε i 。设V 内有给定的电荷分布 ρ（x ）。电势 φ 在均匀区域 V i 内满足泊松方程 2i ρ ?ε?=- （4.2---1） 在两区域 V i 和 V j 的分界上满足边值关系 ()()i j i i j j n n ????εε=?? ???=???? （4.2---2） 泊松方程（4.2---1）式和边值关系（4.2---2）式是电势所必须满足的方程，它们属于电场的基本规律。除此之外，要完全确定V 内的电场，还必须给出V 的边界S 上的一些条件。下面提出的唯一性定理具体指出所需给定的边界条件。 唯一性定理： 设区域V 内给定自由电荷分布，在V 的边界上S 上给定 （1）电势φ| s 或
（2）电势的法向导数 ?φ/?n | s ， 则V 内的电场唯一确定。也就是说，在V 内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程（4.2---1），在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V 的边界S 上满足该给定的φ或?φ/?n 值。 证明 设有两组不同的解 φ' 和 φ'' 满足唯一性条件定理的条件。 令 ,???'''=- （4.2---3） 则由 ▽2φ' = ?ρ/εi ，▽2φ'' = ?ρ/εi ，得 20??= （在每个均匀区V i 内） （4.2---4） 在两均匀区界面上有 i j ??= ()()i i j j n n ?? εε??=?? （4.2---5） 在整个区域V 的边界S 上有 0S S S ???'''=-= （4.2---6a ） 或 S S S n n n ? ??'''???= - ???=0 （4.2---6b ） 考虑第i 个均匀区 V i 的界面 S i 上的积分 i i S d ε??????S 由附录（Ⅰ.7）式，这积分可以变换为体积分 ()i i i i S V d dV ε??ε????=????? ?S 22()i i i i V V dV dV ε??ε?=?+??? 由（4.2---4）式，右边最后一项为零，因此 2 ()i i i i S V d dV ?ε??ε???=???S 对所有分区 V i 求和得 2()i i i i S V i i d dV ε??ε???=?∑∑?? ?S （4.2---7）
第六章练习题 一、填空 1.狭义相对论的基本原理是 和 。 2.相对性原理指的是 ,光速不变原理指的是 。 3.洛仑兹变换式是 ， ， ， 4.运动时钟延缓效应的表达式是 ，运动尺度的缩短效应的表达式是 。 5.对于电磁波来说相位是一个相对论不变量，写成协变形式为 。 6. 麦克斯韦方程组的协变形式为 ， 。 7.电荷守恒定律的四维形式为 ，四维势矢量为 。 8.达朗贝尔方程的四维形式和洛仑兹规范的四维形式为 ， 。 9. 从狭义相对论理论可知在不同参考系观测，两个事件的 是不变的 10.在一个惯性参照系中同时同地的两事件在另一惯性系中为 两事件 11.在一个惯性参照系中观测到两事件有因果关系，则在另一参照系中两事件 12.设一个粒子的静止寿命为810-秒，当它以c 9.0的速度飞行时寿命约为 秒 13.一个物体静止在∑系时的静止长度为0l ，当它静止在/∑系时，/∑系的观测者测到该物体的长度为 （设/∑相对∑系的运动速度为)9.0c 14.在∑系测到两电子均以c 6.0的速率飞行但方向相反，则在∑系测到它们的相对速率为 15.相对论的质量、能量和动量的关系为 16.一个静止质量为0m 的物体在以速度v 运动时的动能为 17.一个静止质量为0m 的物体在以速度v 运动时的动量大小为 18.真空中以光速c 运动的粒子，若其动量大小为p ，则其能量为 19.当一颗子弹以0.6c （c 为真空中的光速）的速度运动时，其质量与静止质量之比为 20.将静止质量为0m 的静止粒子加速到0.6c （c 为真空中光速）所需作的功为 21. 光速不变原理的数学表示形式为 22. 事件(,,,)x y z t 和事件(0,0,0,0)之间的间隔为 二、简答题 1. 简述相对论的基本原理及其内容。 2. 简述简述事件P 相对于事件O 的时空关系。 3. 写出相对论速度变换公式 4. 写出四维波矢量及其洛仑兹变换公式。 5. 写出四维空间矢量，电流密度四维矢量，电荷守恒定律的四维形式。 6. 写出四维势矢量，达朗贝尔方程的四维形式和洛仑兹规范条件的四维形式。 7. 写出四维势矢量及其洛仑兹变换公式。 8. 写出电磁场四维张量的定义式和矩阵表达式。 9. 写出麦克斯韦方程组的协变形式。 10. 写出电磁场的变换关系。 11. 写出电磁场的不变量。
论动体的电动力学 大家知道，麦克斯韦电动力学——象现在通常为人们所理解的那样——应用到运动的物体上时，就要引起一些不对称，而这种不对称似乎不是现象所固有的。比如设想一个磁体同一个导体之间的电动力的相互作用。在这里，可观察到的现象只同导休和磁体的相对运动有关，可是按照通常的看法，这两个物体之中，究竟是这个在运动，还是那个在运动，却是截然不同的两回事。如果是磁体在运动，导体静止着，那么在磁体附近就会出现一个具有一定能量的电场，它在导体各部分所在的地方产生一股电流。但是如果磁体是静止的，而导体在运动，那么磁体附近就没有电场，可是在导体中却有一电动势，这种电动势本身虽然并不相当于能量，但是它——假定这里所考虑的两种情况中的相对运动是相等的——却会引起电流，这种电流的大小和路线都同前一情况中由电力所产生的一样。 堵如此类的例子，以及企图证实地球相对于“光煤质”运动的实验的失败，引起了这样一种猜想：绝对静止这概念，不仅在力学中，而且在电动力学中也不符合现象的特性，倒是应当认为，凡是对力学方程适用的一切坐标系，对于上述电动力学和光学的定律也一样适用，对于第一级微量来说，这是已经证明了的。我们要把这个猜想（它的内容以后就称之为“相对性原理”）提升为公设，并且还要引进另一条在表面上看来同它不相容的公设：光在空虚空间里总是以一确定的速度C 传播着，这速度同发射体的运动状态无关。由这两条公设，根据静体的麦克斯韦理论，就足以得到一个简单而又不自相矛盾的动
体电动力学。“光以太”的引用将被证明是多余的，因为按照这里所要阐明的见解，既不需要引进一个共有特殊性质的“绝对静止的空间”，也不需要给发生电磁过程的空虚实间中的每个点规定一个速度矢量。 这里所要闸明的理论——象其他各种电动力学一样——是以刚体的运动学为根据的，因为任何这种理论所讲的，都是关于刚体（坐标系）、时钟和电磁过程之间的关系。对这种情况考虑不足，就是动体电动力学目前所必须克服的那些困难的根源。 一运动学部分 §1、同时性的定义 设有一个牛顿力学方程在其中有效的坐标系。为了使我们的陈述比较严谨，并且便于将这坐标系同以后要引进来的别的坐标系在字面上加以区别，我们叫它“静系”。 如果一个质点相对于这个坐标系是静止的，那么它相对于后者的位置就能够用刚性的量杆按照欧儿里得几何的方法来定出，并且能用笛卡儿坐标来表示。 如果我们要描述一个质点的运动，我们就以时间的函数来给出它的坐标值。现在我们必须记住，这样的数学描述，只有在我们十分清楚地懂得“时间”在这里指的是什么之后才有物理意义。我们应当考虑到：凡是时间在里面起作用的我们的一切判断，总是关于同时的事件的判断。比如我说，“那列火车7点钟到达这里”，这大概是说：“我的表的短针指到7 同火车的到达是同时的事件。”
电动力学 第一章静电场 一、考核知识点 1、真空与介质中静电场场方程，场的性质、物理特征。 2、电场的边值关系、在两种介质分界面上电场的跃变性质。 3、由场方程、边值关系，通过电荷分布确定场分布及极化电荷的分布。 4、静电场的势描述。由势分布确定场分布、荷分布；通过静电势的定解问题，确定静 电势的分布、场分布及介质极化性质的讨论。 二、考核要求 （一）、场方程、场的确定 1、场方程，场的边值关系，体、面极化电荷密度的确定式等规律的推导。 2、识记： （1）、真空与介质静电场方程。 （2）、电场的边值关系。 （3）、体、面极化电荷密度的确定式。 3、领会与理解： （1）、静电场的物理特征。 1
2 （2）、P D E ,,与电荷的关系，力线分布的区别与联系。 （3）、在介质分界面上场的跃变性质。 4、应用： 通过对称性分析，运用静电场的高斯定理确定场，讨论介质的极化，正确地由电荷分布画出场的力线分布。 （二）、静电势 1、静电势方程、边值关系的推导。 2、识记：静电势的积分表述、势方程、势的边值关系、势的边界条件、唯一性定理。 3、领会与理解：势的边值关系与边界条件，荷、势与场的关系，解的维数的确定，电像法的指导思想与像电荷的确定。 4、应用：求解静电势定解问题的方法（分离变量法、电像法）的掌握及应用，求解的准确性，场的特征分析及由势对介质极化问题的讨论。 第二章 稳恒磁场 一、考核知识点 1、电荷守恒定律。 2、稳恒磁场场方程，场的性质特点。 3、由场方程，通过流分布确定场分布与磁化流。 4、磁场的边值关系。 5、稳恒磁场的矢势。 6、由磁标势法确定场。
第六章 狭义相对论 1. 证明牛顿定律在伽利略交换下是协变的，麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。 证明：根据题意，不妨分别取固着于两参考系的直角坐标系，且令t =0时，两坐标系对应 轴重合，计时开始后，'∑系沿Σ系的x 轴以速度v 作直线运动，根据伽利略变换有： vt x x -='，y y ='，z z ='，t t =' 1）牛顿定律在伽利略变换下是协变的 以牛顿第二定律22dt d m x F =为例，在Σ系下，22dt d m x F = Θvt x x -='，y y ='，z z ='，t t =' ∴'' ']',','[],,[222 22222F x x F ==+===dt d m dt z y vt x d m dt z y x d m dt d m 可见在'∑系中牛顿定律有相同的形式2 2' 'dt d m x F =，所以牛顿定律在伽利略变换下 是协变的。 2）麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的 以真空中的麦氏方程t ?-?=??/B E 为例，设有一正电荷q 位于O 点并随'∑系运动，在'∑系中q 是静止的，故: r r q e E 2 0' 4'πε= ， （1） 0'=B （2） 于是方程'/'''t ?-?=??B E 成立，将（1）写成直角分量形式： ])'''(')'''(')'''('[4''2 3 222'23222'2 32220z y x z y x z z y x y z y x x q e e e E ++++++++=πε 由伽利略变换关系，在∑中有： y x z y vt x y z y vt x vt x q e e E 2 3 2222 32220])[(])[({4++-+++--= πε }])[(2 3 222z z y vt x z e ++-+ ])()()[(])[(3 42 3 2220z y x y vt x vt x z z y z y vt x q e e e E --++-+-++--=??∴πε 可见E ??不恒为零。又在Σ系中观察，q 以速度x v e 运动，故产生电流x qv e J =，于是 有磁场R qv πμ2/0=B ，（R 是场点到x 轴的距离）此时，有0/=??-t B ，于是 t ?-?≠??/B E 故麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。 2. 设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为,它们以相同速率v 相对于某一参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺的长度。 解：根据相对论速度交换公式可得2'∑系相对于1'∑的速度大小是 )/1/(2'22c v v v += （1）
《 电动力学》教学教案 教材 高教出版社 作者 蔡圣善 第一周 授课时间 章节名称 预备知识 矢量分析初步 §1、标量与矢量 §2物理量的空间积累 §3物理量的空间变化率（1） 教学内容 1、标量场 定性描述一个标量常可以使用等势面的概念 定量描述为一个标量通常使用空间与时间的函数 ),(t x φφ= 标量函数的空间变化率的最大值—— 梯度 2、矢量场 定性描述用场线的方法 定量描述为一个空间，时间的矢量函数 ),(t x E E = 。 3、掌握 研究矢量场的基本方法 空间的积累 4、通过对矢量场的通量的研究，（大于零，小于零，等于零）来判断区域内是否有源、是否有汇、是否连续。 5、通量的局限性， 教学难点 1、通量大于零，小于零，等于零时，封闭面与场线的关系。 2、梯度的定义式与在各种正交坐标系中的表达式的不同。 例题 1、 求 ▽r ▽· r ▽（r 1 ） r = x i + y j + z k 授课时间 章节名称 §3物理量的空间变化率（2） §4、算符的二级运算 §5曲线坐标系 教学内容
1、 通过对矢量场的环量的研究来讨论矢量的性质。由其是否等于零来判断是否为有势场。 2、 旋度的定义及旋度在直角坐标系中的表达式。 3、 算符的二级运算，梯度的旋度，旋度的散度，梯度的散度以及旋度的旋度。 4、场点与源点在数学表示方法上的区别，哈密顿算符的场点与源点的区别。 5、体积元在柱坐标系与球 坐标系中的表示方法。 教学难点 1、 梯度，散度及旋度是算符的一级运算，对应的是一阶偏微分方程，在数学上，一阶偏微 分方程较难计算。为了将一阶偏微分方程换成二阶偏微分方程，引入算符的二级运算。 2、 为了今后计算方便，以下的计算结果应该熟记。▽ ，▽， ，得区别。▽ ρ（x ， ）φ（x ）， ▽， ρ（x ， ）φ（x ）的计算结果是不同的。但是电荷守恒原理▽·（j ，t ）+ t ??ρ = 0中，为了简单，常常将一瞥省略。 3、 体会公式 )() ()(41)(, 3 ,,,x x x x dv x X E o --= ???ρπε 中的场点与源点的区别。 4、 体积元在柱坐标系与球 坐标系中的表示方法。 例题 ▽×r ▽·（3r r ） ▽×（3r r ） ▽ （3r r p ?） 第二周 授课时间 章节名称 §6 δ函数与并矢 §7矢量场的唯一性定理 第一章 麦克斯韦方程组 §1、静电场 （1） 教学内容 1、质点，点电荷的共性，δ函数 ▽2 （ r 1 ）= - 4πδ（x ）的证明。 2、唯一确定矢量场的条件，推论满足同一散度，，旋度与边界条件的矢量场是唯一的。 3、库仑假设 平方反比 电场的定义，点电荷的电场，已知电荷分布求电场。
1.半径为R的均匀磁化介质球，磁化强度为，则介质球的总磁矩为 A． B. C. D. 0 答案:B 2.下列函数中能描述静电场电场强度的是 A． B. C. D.（为非零常数） 答案:D 3.充满电容率为的介质平行板电容器，当两极板上的电量（很小），若电容器的电容为C，两极板间距离为d，忽略边缘效应，两极板间的位移电流密度为： A． B. C. D. 答案:A 4.下面矢量函数中哪一个不能表示磁场的磁感强度?式中的为非零常数 A．(柱坐标) B. C. D. 答案:A 5.变化磁场激发的感应电场是 A.有旋场,电场线不闭和 B.无旋场,电场线闭和 C.有旋场,电场线闭和 D. 无旋场,电场线不闭和 答案: C 6.在非稳恒电流的电流线的起点.终点处,电荷密度满足 A. B. C. D. 答案:D 7.处于静电平衡状态下的导体,关于表面电场说法正确的是:
A.只有法向分量; B.只有切向分量 ; C.表面外无电场 ; D.既有法向分量,又有切向分量 答案:A 8.介质中静电场满足的微分方程是 A. B.; C. D. 答案:B 9.对于铁磁质成立的关系是 A. B. C. D. 答案:C 10.线性介质中,电场的能量密度可表示为 A. ; B.; C. D. 答案:B 11.已知介质中的极化强度，其中A为常数，介质外为真空，介质中的极化电荷体密度 ；与垂直的表面处的极化电荷面密度分别等于 和。答案: 0, A, -A 12.已知真空中的的电位移矢量=（5xy+）cos500t，空间的自由电荷体密度为答案: 13.变化磁场激发的感应电场的旋度等于。答案: 14.介电常数为的均匀介质球，极化强度A为常数，则球内的极化电荷密度为，表面极化电荷密度等于答案0,
第六章 一、选择题 1、（ ）是测量光速沿不同方向的差异的主要实验，其结果否定了“以太”的存在。答：C A). 伽利略单摆实验 B). 牛顿棱镜色散实验 C). 迈克尔逊-莫雷实验 D). 卡文迪许扭矩实验 2、在狭义相对论理论中，间隔不变性其实就是［ ］：答：A (A) 光速不变原理的数学表征 (B) 相对性原理的数学表示 (C) 洛伦兹变换的另一数学表示 (D) 四维时空的数学表示 3、在正负电子对撞机中，电子和正电子以速率0.75c （c 为光速）相向飞行，则它们间的相对速率（ ）。答：C A). 大于光速c B). 等于光速c C). 小于光速c D). 不确定 4、关于同时性的以下结论中，正确的是（ ）。答：C A)在一惯性系中同时发生的两个事件，在另一惯性系中一定不同时发生； B)在一惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在另一惯性系中一定同时发生 ； C)在一惯性系中同一地点同时发生的两个事件，在另一惯性系中一定同时发生； D)在一惯性系中不同地点不同时发生的两个事件，在另一惯性系中一定同时发生。 二、填空题 1. 爱因斯坦狭义相对论的的两条基本假设是 和 。 答： 相对性原理 ； 光速不变原理 2. 在一惯性系中同一地点同时发生的两个事件，在另一惯性系中一定 发生。 答：同时 3、洛伦兹变换可以看作 维空间的“转动”，这个空间称为 。 答： 四 ； 闵可夫斯基空间 4、四维速度U μ= 。答：123(,,,)v v v ic γ 5、相对论电动力学中，四维势的形式为A μ = 。答：A μ =(,)i A c ?
6、固有时d τ 和时间间隔dt 的关系是 。 答： 1 u u d dt or dt d τγτγ= == 7、四维空间坐标为x μ= 。答： (,)x ict 。 8、物体总能量E 和运动质量m 间的质能关系式为 ； 答： E=mc 2 或2 2224 0E p c m c =+； 9、用四维势和四维电流密度表示的达朗贝尔方程为 。 答： 2 2 00221J or J c t A A A μ μμμμμμ?=- ?-=-? 三、判断题 1、根据狭义相对论，物质运动的最大速度不能超过光速c 。 （ ）√ 2. 当势作规范变换时，所有物理量和物理规律都应保持不变，这种不变性称为规范不变性。（ ）√ 3. 物理规律的协变性是指物理规律在任意惯性系中不可表为相同形式。（ ）? 4.引入四维电流),(ρμic J J =后，电流守恒定律可以写为0=??μμ x J 。 （ ）√ 四、简答题 1、Einstein 狭义相对论的两个基本假设 答：（a ）相对性原理：所有惯性参考系都是等价的。物理规律对所有惯性参考系都可以表为相同形式。 （b ）光速不变原理：真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为C ，并于光源的运动无关。 2、写出相对论四维时空结构中间隔的定义式，并说明间隔有哪三种类型。 答：222222221 ()S c t r or c t t r =-=--； 类光间隔、类时间隔、类空间隔。 3、简答间隔的分类。 答：（1）类光间隔2s =0
一、单项选择题 1. 下列计算正确的是 （ ） A. 30r r ????= ??? B. 34()r r r πδ????= ??? C. 0r r ????= ??? D. 20r r ????= ??? 2. k 为常矢量，下列计算正确的是( ) A. r k r k e k e ???=? B. r k r k e k e ??=? C. r k r k e r e ???=? D. r k r k e r e ??=? 3. 导体中平面电磁波的电场表示式为 （ ） A.()0i k x t E E e ω?-= B.()0x i x t E E e e αβω-??-= C. 0cos()E E t ω?=+ D. 0sin()E E t ω?=+ 4. 以下说法正确的是（ ） A. 12W dV ρ?=? 只有作为静电场总能量才有意义 B. 12W dV ρ?=? 给出了能量密度 C. 12W dV ρ?=? 对非静电场同样适用 D. 12W dV ρ?= ? 仅适用于变化的电场 5. 电四级张量的独立分量个数为：（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 由体系的电荷分布而定。 6. 在同一介质中传播的电磁波的相速度 v = （ ） A. 相同 B. 不同
C. 与电磁波的频率有关 D. 以上说法均不正确
7. 已知电极化强度，则极化电荷密度为 （ ） A. B. C. D. 8. 下面说法正确的是 （ ） A. 空间任一点的场强是由该点的电荷密度决定的; B. 空间任一点的场强的散度是由所有在场的电荷ｑ决定的; C. 空间任一点的场强的散度只与该点的电荷密度有关; D. 空间某点，则该点，可见该点也必为零. 9. 球对称电荷分布的体系是：（ ） A. 电中性的 B. 电偶极矩不为零，电四级矩为零 C. 电偶极矩为零，电四级矩不为零 D. 各级电多极矩均为零 10. 电像法的理论基础是 （ ） A. 场方程的边界条件 B. 麦克斯韦方程组 C. 唯一性定理 D. 场的叠加原理 11. 在同一介质中传播的电磁波的相速度 v εμ= （ ） A. 相同 B. 不同 C. 与电磁波的频率有关 D. 以上说法均不正确 12. H B μ= 是 （ ） A ．普适的 B. 仅适用于铁磁性物质 C ．仅适用于线性非铁磁性物质 D. 不适用于非铁磁性物质 13. 以下说法正确的是： （ ） A ． 平面电磁波的E 和 B 一定同相 B ． 平面电磁波中电场能量一定等于磁场能量 C ． 两种电磁波的频率相同，它们的波长也一定相同
山东大学物理学院 宗福建 1 《电动力学》第18讲 第三章 狭义相对论(5) §3.4 电动力学的相对论不变性 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2012年11月8日
山东大学物理学院 宗福建 2 教学体系 §2.1 静电场的标势 §2.2 静电势的多极展开 §2.3 恒稳磁场的矢势 §2.4 讯变电磁场的矢势和标势 §2.5 谐变势的多极展开、电磁辐射 第2章 电磁场的标势、矢势和电磁辐射 §3.1 相对论的实验基础 §3.2 狭义相对论的时空观 §3.3 相对论理论的四维形式 §3.4 电动力学的相对论不变性 §3.5 相对论力学方程 第3章 狭义相对论 第1章 真空中的Maxwell方程组
山东大学物理学院 宗福建 3 上一讲复习 ? 洛伦兹变换 2 2 2 2 2 ' 1' ' ' 1 x vt x v c y y z z v t x c t v c - ì = ? ? - ? ? = ? í = ? ? - ? = ? ? - ? 2 2 2 2 2 '' 1 ' ' '' 1 x vt x v c y y z z v t x c t v c + ì = ? ? - ? ? = ? í = ? ? + ? = ? ? - ?
山东大学物理学院 宗福建 4 上一讲复习 ? 速度变换公式 2 , 1 x x x u dx u u dt c u u ￠ - ￠ == ￠ - 2 2 2 1 , 1 y y x u dy c u u dt c u u - ￠ ￠ == ￠ - 2 2 2 1 1 z z x u dz c u u dt c u u - ￠ ￠ == ￠ -
《电动力学》复习题 一、 简答题 1． 分别写出电流的连续性方程的微分形式与积分形式，并简单说明它的物理意义。 2． 写出麦克斯韦方程组，并对每一个方程用一句话概括其物理意义。 3． 麦克斯韦方程组中的电场与磁场是否对称？为什么？ 4． 一个空间矢量场A K ，给出哪些条件能把它唯一确定？ 5． 写出极化电流与极化强度、磁化电流密度与磁化强度之间的关系式。 6． 简述公式d d d d d V V w V f V S t σ?=?+?∫∫∫v K K K K v 的物理意义。 7． 简述介质中静电场的唯一性定理。 8． 写出无界空间、上半空间以及球外空间在第一类边值条件下的格林函数。 9． 写出电偶极矩和电四极矩的定义式。 10． 设体系的电荷密度分布为()x ρK ，则该体系在外场e ?中的能量是多少？ 11． 写出麦克斯韦方程组的积分形式，并写出其对应的在介质分界面上的表达形式（即边值关系）。 12． 简述引入磁标势的基本条件，并写出磁标势所满足的泊松方程。 13． 写出磁偶极矩的定义式以及它所产生的矢势与标势的表达式。 14． 平面电磁波中，电场和磁场的能量密度各为多少？电场能与磁场能相等吗？
15．简述全反射现象。 16．在导体内部，电荷密度随时间衰减的表达式是什么？衰减的特征时间如何定义？特征时间的表达式是什么？ 17．什么是穿透深度？电磁波从介质垂直入射到导体时，穿透深度是多少？良导体的条件是什么？ 18．简述趋肤效应。 19．谐振腔内亥姆霍兹方程的本征解的表达式是什么？ 20．若电磁波在一个宽为a，高为b的无穷长矩形波导管中传播，其截止角频率是多少？ 21．写出电磁场矢势与标势中的库仑规范与洛仑兹规范条件。 22．写出在洛仑兹规范下的标势与矢势方程（即达朗贝尔方程）。23．写出真空中标势与矢势的达朗贝尔方程的推迟势解。 24．简述对小电流分布区域在远场区的矢势进行多极展开的基本条件。25．写出电磁波动量密度的表达式，以及它与能流密度的关系式，独立的静电场或静磁场存在动量吗？ 26．简述狭义相对论中的两条基本假设。 27．′Σ坐标系以速度v相对Σ坐标系沿x轴正向运动，写出从Σ系到′Σ系的洛仑兹变换公式。 28．′Σ坐标系以速度v相对Σ坐标系沿x轴正向运动，在Σ系中两事件的 Δ，在′Σ系中两事件的时间与空间间隔分别是时间与空间间隔分别为tΔ和x 多少？ 29．简述相对论的时间延缓效应和长度收缩效应。
第六章 一．选择题 1.一质点在'∑系中作匀速圆周运动，其轨迹方程为222x y a ''+=， '∑系相对∑系以速度v 沿x 方向运动，则在 ∑系中质点的运动轨迹是（ D ） A.222x y a += B.222()x vt y a -+= C. 2 2222(1)x y a v c +=- D.22222()(1)x vt y a v c -+=- 2．两个质子以v=0.5c 的速率从一共同点反向运动，那么每个质子相对于共同点的动量和能量（0m 为质子的静止质量）为（ A ） A. 2000.58,1.15m c m c B. 2000.25,0.125m c m c C. 2000.58,0.125m c m c D. 2001.5,1.15m c m c 3．把静止的电子加速到动能为0.25MeV ，则它增加的质量约为原有质量的（ D ）倍 A. 0 B. 0.1 C. 0.2 D. 0.5 4．飞船静止时体积为0V ，平均密度为0ρ，相对地面以35v c = 高速飞行时，地面参考系测得它的动能为（ C ） A. 20012V c ρ B. 20018V c ρ C. 20014V c ρ D. 200116 V c ρ 5．两个静止质量都是0m 的小球，其中一个静止，另一个以v=0.8c 运动，他们做对心碰撞后黏在一起，则碰撞后合成小球的静止质量（ B ） A. 02m 0 C. 012m 0m 6.在狭义相对论理论中，间隔不变性其实就是( A )。 A) 光速不变原理的数学表征；B) 相对性原理的数学表示； B) C) 洛伦兹变换的另一数学表示D)； 四维时空的数学表示 7.狭义相对论是建立在一系列实验基础和两个基本原理上，试判断下列答案( C )不属于这些基础。 A ）光速不变原理； B) 相对性原理； C) 洛伦兹变换； D)麦克尔逊—莫雷干涉实验 8.下列各项中不符合相对论结论的是（ C ）。
论动体的电动力学 爱因斯坦 大家知道，麦克斯韦电动力学——象现在通常为人们所理解的那样——应用到运动的物体上时，就要引起一些不对称，而这种不对称似乎不是现象所固有的。比如设想一个磁体同一个导体之间的电动力的相互作用。在这里，可观察到的现象只同导休和磁体的相对运动有关，可是按照通常的看法，这两个物体之中，究竟是这个在运动，还是那个在运动，却是截然不同的两回事。如果是磁体在运动，导体静止着，那么在磁体附近就会出现一个具有一定能量的电场，它在导体各部分所在的地方产生一股电流。但是如果磁体是静止的，而导体在运动，那么磁体附近就没有电场，可是在导体中却有一电动势，这种电动势本身虽然并不相当于能量，但是它——假定这里所考虑的两种情况中的相对运动是相等的——却会引起电流，这种电流的大小和路线都同前一情况中由电力所产生的一样。 堵如此类的例子，以及企图证实地球相对于“光煤质”运动的实验的失败，引起了这样一种猜想：绝对静止这概念，不仅在力学中，而且在电动力学中也不符合现象的特性，倒是应当认为，凡是对力学方程适用的一切坐标系，对于上述电动力学和光学的定律也一样适用，对于第一级微量来说，这是已经证明了的。我们要把这个猜想（它的内容以后就称之为“相对性原理”）提升为公设，并且还要引进另一条在表面上看来同它不相容的公设：光在空虚空间里总是以一确定的速度C 传播着，这速度同发射体的运动状态无关。由这两条公设，根据静体的麦克斯韦理论，就足以得到一个简单而又不自相矛盾的动体电动力学。“光以太”的引用将被证明是多余的，因为按照这里所要阐明的见解，既不需要引进一个共有特殊性质的“绝对静止的空间”，也不需要给发生电磁过程的空虚实间中的每个点规定一个速度矢量。 这里所要闸明的理论——象其他各种电动力学一样——是以刚体的运动学为根据的，因为任何这种理论所讲的，都是关于刚体（坐标系）、时钟和电磁过程之间的关系。对这种情况考虑不足，就是动体电动力学目前所必须克服的那些困难的根源。 一运动学部分 §1、同时性的定义 设有一个牛顿力学方程在其中有效的坐标系。为丁使我们的陈述比较严谨，并且便于将这坐标系同以后要引进来的别的坐标系在字面上加以区别，我们叫它“静系”。 如果一个质点相对于这个坐标系是静止的，那么它相对于后者的位置就能够用刚性的量杆按照欧儿里得几何的方法来定出，并且能用笛卡儿坐标来表示。 如果我们要描述一个质点的运动，我们就以时间的函数来给出它的坐标值。现在我们必须记住，这样的数学描述，只有在我们十分清楚地懂得“时间”在这里指的是什么之后才有物理意义。我们应当考虑到：凡是时间在里面起作用的我们的一切判断，总是关于同时的事件的判断。比如我说，“那列火车7点钟到达这里”，这大概是说：“我的表的短针指到7 同火车的到达是同时的事件。” 也许有人认为，用“我的表的短针的位置”来代替“时间”，也许就有可能克服由于定义“时间”而带来的一切困难。事实上，如果问题只是在于为这只
电动力学思考题 第一章电磁现象的普遍规律 1.麦克斯韦方程组的实验基础是什么？为什么说它们是有机的组合？ 2.电动力学的三大基本假设是什么？各说明了什么？ 3.麦克斯韦方程组的三种形式各是什么？***适用范围各是什么？ 麦克斯韦方程组的积分和微分形式如下： https://www.doczj.com/doc/1f12338984.html,/baike/pic/item/5af4d7ea09f911c0d539c9ef.jpg 除此之外，还有矢量形式： E=Qr’/4πε.r3 …………………………（1）其中E和r’为矢量，Q为电荷的电量。 、 对（1）式的等号两边取散度，就可以得到上述微分形式中的第一式。
、 A= u.Qv/4πr’……………………………（2）其中A、v、r’为矢量，Q为电荷的电量。 、 对（2）式的等号两边先取旋度，再取散度，就可以得到上述微分形式中的第二式。 、 E=B×v=B×ds/dt…………………………（3）其中E、B、v、s为矢量。 、 对（3）式的等号两边取旋度，就可以得到上述微分形式中的第三式。 、 H=D×v………………………………………（4.1） B= u. D×v……………………………………（4.2） B=ε. u. E×v=（E0×v）/C^2 …………………（4.3） 、 （4.1）、（4.1）、（4.3）三式是等价的，又因为位移电流和传导电流都可以写成“电通量的变化率”或“电位移量的变化率”。对（4）式等号两边取旋度，就可以得到上述微分形式中的第四式。 4.E, H ,B, H四个物理量中，那两个是基本物理量？为什么？ 5.电磁场的能量密度、能流密度和动量密度的定义式和表达式是什么？单位时间内通过边界面单位面积流动的电磁能，即能流密度矢量S = E H 系统的电磁场能量密度为 6.传导电流,位移电流的定义式各是什么?两种电流的区别是什么?相同点是什么? 位移电流是电位移矢量随时间的变化率对曲面的积分。英国物理学家麦克斯韦首先提出这种变化将产生磁场的假设并称其为“位移电流”。但位移电流只表示电场的变化率,与传
1． 写出麦克斯韦方程组，由此分析电场与磁 场是否对称？为什么？ 麦氏方程组为 000 0 B E E t E B j B t ρ εμμε???=- ??= ????=+??=? 不对称。由于磁单极不存在，因此电场和磁场不部对称。 2． 在稳恒电流情况下，有没有磁场存在？若 有磁场存在，磁场满足什么方程？ 有. 满足安培定则 H dl I ?=? 3.由麦克斯韦方程组出发，分析产生磁场的方式有几种？磁场有什么特点？ 由麦克斯韦方程组可知： 000E B j t μμε???=+? 因此，产生磁场的方式有两种：①是 电流，②是变化的电场。 4在两种介质的分界面上产生全反射的条件是什么？ 电磁波从光密介质射向光疏介质，设 12εε>，当入射角2 1 arcsin c ε θθε??>= ??? ，将发生全反射。 5.由麦克斯韦方程组出发，分析产生电场的方式有几种？ 由麦克斯韦方程组可知： 000E B j t μμε???=+? 因此，产生磁场的方式有两种：①是电 流，②是变化的电场。 6.什么叫做全反射？在两种不同介质的分界面上产生全反射的条件是什么？ 入射波全部被反射的现象，称为全反射。条件：1）电磁波从光密介质入射到光疏介质；2）入射角大于临界角。 7.如果0>??E ，请画出电力线方向图，并标明源电荷符号。 8.请写出相对论的基本原理。 （1） 相对性原理 （2）光速不变原理
9.介电常数为ε的均匀介质中有均匀电场0E ，介质中有一球形空腔，作图画出球形空腔表面极化电荷 分布． 10.在均匀外电场0E 中放入一个半径R 的绝缘介质球，请画出球形表面极化电荷分布． 在稳恒电流情况下，有无电场存在？若有电场存在，电场满足什么方程? 有。 满足 j E σ= 11.请写出达朗伯方程及其推迟势的解． 达朗伯方程：2 2 022 1A A j c t μ??-=-? 222201c t ?ρ?ε??-=-? 推迟势的解：()()0 ,,, , ,44r r j x t x t c c A x t dV x t dV r r ρμμ?π π ?? ??''-- ? ?? ?? ? ''= =?? E -- E ε --
第26 26讲 》第 《 《电动力学 电动力学》 第5章 电磁波的传播（1） §5.1 平面电磁波 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2012年12月6日
教学体系 教学体系 第 5章 电磁波的传播 §5.1介质中的平面电磁波 §5.2 电磁波在介质界面的反射和折射 §5.3 电磁波在导电介质表面的反射和折射 §5.4 波导管、谐振腔 、电磁波的衍射
本讲主要内容 —1、电磁场波动方程 —2、时谐电磁波 —3、平面电磁波 —4、电磁波的能量和能流
§ §5.1 平面电磁波 — 在迅变情况下，电磁场以波动形式存在。 变化着的电场和磁场互相激发，形成在空间 中传播的电磁波。由于在广播通讯、光学和 其他科学技术中的广泛应用，电磁波的传播、 辐射和激发问题已发展为独立的学科，具有 十分丰富的内容。
§ §5.1 平面电磁波 — 平面电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的 形式，本章先研究无界空间中平面电磁波的主要特 性，然后用电磁场边值关系研究电磁波在介质界面 上的反射和折射问题，从电磁理论出发导出光学中 的反射和折射定律。第三节研究有导体存在时的电 磁波传播问题，说明电磁波在导体内有一定的穿透 深度，在良导体内只有很小部分电磁能量透入，因 而良导体成为电磁波存在的边界。第四节研究有界 空间的电磁波，以谐振腔和波导管为例说明电磁波 边值问题的解法。
§ §5.1 平面电磁波 — 1.电磁场波动方程 — 一般情况下，电磁场的基本方程是麦克斯韦方程组： t t e m s r ? ì ?′=- ? ? = ? ì ? ?? ?′=+ = í í ? ? ? = ? ?×= ? ? ?×= ? B E D E B H J E D B 其中 D H J
第一章电磁现象的普遍规律 一、主要内容： 电磁场可用两个矢量—电场强度和磁感应强度来完全 描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出, 所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。完成由普通物理到理论物理的自然过渡。 二、知识体系： 三、内容提要： 1．电磁场的基本实验定律： （1）库仑定律：
对个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即： （2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律） （3）电磁感应定律 ①生电场为有旋场（又称漩涡场）,与静电场本质不同。 ②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。 （4）电荷守恒的实验定律 , ①反映空间某点与之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。 ② 若空间各点与无关，则为稳恒电流，电流线闭合。 稳恒电流是无源的（流线闭合），，均与无关，它产生的场也与无关。 2、电磁场的普遍规律—麦克斯韦方程 其中：
1是介质中普适的电磁场基本方程，适用于任意介质。 2当，过渡到真空情况： 3当时，回到静场情况： 4有12个未知量，6个独立方程，求解时必须给出与，与的关系。介质中： 3、介质中的电磁性质方程 若为非铁磁介质 1、电磁场较弱时：均呈线性关系。 向同性均匀介质： ，， 2、导体中的欧姆定律 在有电源时，电源内部，为非静电力的等效场。 4．洛伦兹力公式 考虑电荷连续分布，