2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线
一、选择题
1 ．（2013年高考江西卷（理））
过点引直线l
与曲线y =A,B 两点,O 为坐标原点,当
?AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于
（ ）
A ．
B
． C
．±
D
．【答案】B
2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）双曲线2
214
x y -=的顶点到其渐近线的距离
等于 （ ）
A ．
25 B ．
45
C
D
【答案】C
3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为
()
3,0F ,
离心率等于3
2,在双曲线C 的方程是 （ ）
A
．22
14x -=
B ．22
145x y -= C ．22
125x y -=
D ．22
125x =
【答案】B
4 ．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)5
则C 的渐近线方
程为 （ ）
A ．1
4
y x =±
B ．13
y x =±
C ．12
y x =±
D ．y x =±
【答案】C
5 ．（2013年高考湖北卷（理））已知04
π
θ<<,则双曲线22
12
2:1cos sin x y C θθ-=与22
2222:1sin sin tan y x C θθθ
-=的
（ ）
A ．实轴长相等
B ．虚轴长相等
C ．焦距相等
D ．离心率相等
【答案】D
6 ．（2013年高考四川卷（理））抛物线2
4y x =的焦点到双曲线2
2
13
y
x -=的渐近线的距离是 （ ）
A ．
12
B
C ．1 D
【答案】B
7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）如图,21,F F 是椭圆14
:22
1=+y x C 与双曲线2
C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是
（ ）
A ．2
B ．3
C ．
2
3 D ．
2
6 【答案】D
8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐
近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB
则p = （ ）
A ．1
B ．
3
2
C ．2
D ．3
【答案】C
9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））椭圆22
:143
x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是 （ ）
A ．1324
??
????
，
B ．3384
??????
，
C ．112??
????
，
D ．314??????
，
【答案】B
10．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知抛物线2
:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦
点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =
,则k =
（ ）
A ．
12
B
．
2
C
D ．2
【答案】D
11．（2013年高考北京卷（理））若双曲线22
221x y a b
-=
则其渐近线方程为
（ ）
A ．y =±2x
B ．y
= C ．1
2
y x =±
D
．2
y x =±
【答案】B
12．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）已知抛物线
1
C :
2
12y x
p =
(0)p >的焦点与
双曲线2C :22
13x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C
在点M 处的切线平行于2C 的
一条渐近线,则p =
（ ）
A
．
B
． C
． D
．
【答案】D
13．（2013年高考新课标1（理））已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交
椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为
（ ）
A ．
22
14536
x y += B ．
22
13627x y += C ．
22
12718x y += D ．22
1189
x y +=
【答案】D
14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））设抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ,
点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为 （ ）
A ．2
4y x =或2
8y x = B ．22y x =或2
8y x = C ．2
4y x =或2
16y x =
D ．2
2y x =或2
16y x =
【答案】C
15．（2013年上海市春季高考数学试卷）已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,
垂足为N .若2MN AN NB λ=?
,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是
（ ）
A ．圆
B ．椭圆
C ．抛物线
D ．双曲线
【答案】C
16．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）已知圆()()2
2
1:231C x y -+-=,圆
()()22
2:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最
小值为 （ ）
A ．4
B 1
C ．6-D
【答案】A 二、填空题
17．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）双曲线19
1622=-y x 的两条渐近线的方程为
_____________.
【答案】
x y 4
3
±=
18．（2013年高考江西卷（理））抛物线2
2(0)x py p =>的焦点为F,其准线与双曲线22
133
x y -=相交于,A B
两点,若ABF ?为等边三角形,则P =_____________
【答案】6
19．（2013年高考湖南卷（理））设12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,
若216,PF PF a +=且12PF F ?的最小内角为30
,则C 的离心率为___.
【答案】3
20．（2013年高考上海卷（理））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且4
CBA π
∠=
,若AB=4,2BC =则Γ
的两个焦点之间的距离为________
【答案】3
.
21．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）已知直线y a =交抛物线2
y x =于,A B 两点.
若该抛物线上存在点C ,使得ABC ∠为直角,则a 的取值范围为___ _____.
【答案】),1[+∞
22．（ 2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）抛物线2
x y =在1=x
处的切线与两坐标轴围成
三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是__________.
【答案】??
???
?-2
1,2
23．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为
)0,0(12
2
22>>=+b a b y a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为_______.
【答案】
3
24．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）椭圆22
22:1(0)x y a b a b
Γ+=>>的左.右焦点分
别为12,F F ,焦距为2c,若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭
圆的离心率等于__________
1
25．（2013年高考陕西卷（理））双曲线22116x y m -=的离心率为5
4
, 则m 等于___9_____.
【答案】9
26．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点
为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若4
10,6,cos ABF 5
AB AF ==∠=,则C 的离心率e =______.
【答案】
5
7
27．（2013年上海市春季高考数学试卷）抛物线2
8y x =的准线方程是_______________
【答案】2x =-
28．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函
数x
y 1
=
(0>x )图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为_______.
【答案】1-或10
29．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）设F 为抛物线x y C 4:2
=的焦点,过点)
0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若2||=FQ ,则直线的斜率等于________.
【答案】1± 三、解答题
30．（2013年上海市春季高考数学试卷）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1
0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、
(1)若112F B B ?为等边三角形,求椭圆C 的方程;
(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P F Q ⊥
,求直线l 的方程.
【答案】[解](1)设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b +=>>.
根据题意知22
21a b a b =??-=?
, 解得2
43a =,213b = 故椭圆C 的方程为22
14133x y +=.
(2)容易求得椭圆C 的方程为2
212
x y +=. 当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.
由22
(1)12y k x x y =-???+=?? 得2222
(21)42(1)0k x k x k +-+-=. 设1122( ) ( )P x y Q x y ，
，，,则 22121211112222
42(1) (1 ) (1 )2121
k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++ ，，，，，
因为11F P F Q ⊥ ,所以11
0F P FQ ?=
,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++
2271
021
k k -==+,
解得2
1
7
k =
,即7k =±.
故直线l 的方程为10x -=或10x --=.
31．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆C :22
221,(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,
且椭圆C 经过点41
(,)33
P .
(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;
(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且
222
211
||||||
AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.
【答案】解:22
124121233a PF PF ????
=+=-+= ? ?????
所以,a = 又由已知,1c =,
所以椭圆C 的离心率
2c e a =
== ()II 由()I 知椭圆C 的方程为2
212
x y +=.
设点Q 的坐标为(x,y).
(1)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于()()0,1,0,1-两点,此时Q 点坐标为350,2? ??
(2) 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为2y kx =+.
因为,M N 在直线l 上,可设点,M N 的坐标分别为1122(,2),(,2)x kx x kx ++,则
22222212(1),(1)AM k x AN k x =+=+. 又()22
2222(1).AQ x y k x =+-=+
由
2
2
2
211AQ
AM
AN
=
+
,得
()()()222222
12
211
111k x k x k x =++++,即 ()2
121222222
12122211x x x x x x x x x +-=+= ① 将2y kx =+代入2
212
x y +=中,得 ()2
221860k
x kx +++= ②
由()()
2
2
842160,k k ?=-?+?>得232
k >
. 由②可知121222
86
,,2121
k x x x x k k +=-=++ 代入①中并化简,得22
18
103
x k =- ③ 因为点Q 在直线2y kx =+上,所以2y k x
-=,代入③中并化简,得()22
102318y x --=.
由③及2
32k >
,可知2
302x <<,即66x ???∈ ? ? ????
.
又0,2? ??
满足()22
102318y x --=,故66x ?∈ ??. 由题意,(),Q x y 在椭圆C 内部,所以11y -≤≤, 又由()2
2
102183y x -=+有
()2
992,54y ??
-∈????且11y -≤≤,则135,22y ?∈- ??
. 所以点Q 的轨迹方程是()2
2
102318y x --=,其中,66x ?
∈ ??,135,22
y ?∈- ??
32．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的左、右焦
点分别是12,F F ,
,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明
12
11kk kk +为定值,并求出这个定值. 【答案】解:(Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程222
21x y a b +=得2
b y a =± 由题意知221b a =,即2
2a b = 又
c e a =
= 所以2a =,1b = 所以椭圆方程为2
21
4x y +=
(Ⅱ
坐标代入并化简得:m(2
3
000416)312x x x -=-,因为2
04x ≠,
1200
11
8kk kk +=-=-为定值.
33．（2013年高考上海卷（理））如图,已知曲线2
21:12
x C y -=,曲线2:||||1C y x =+,P 是平面上一点,若存在
过点P 的直线与12,C C 都有公共点,则称P 为“C 1—C 2型点”.
(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“C 1—C 2型点”; (3)求证:圆221
2
x y +=
内的点都不是“C 1—C 2型点”.
【答案】:(1)C 1的左焦点为(F ,过F 的直线x =C 1交于(2
±
,与C 2交于
(1))±,故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”,且直线可以为x =
(2)直线y kx =与C 2有交点,则
(||1)||1||||1y kx
k x y x =??-=?
=+?
,若方程组有解,则必须||1k >; 直线y kx =与C 2有交点,则
2222
(12)222y kx k x x y =??-=?-=?
,若方程组有解,则必须2
12k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点,即原点不是“C 1-C 2型点”. (3)显然过圆2
2
1
2
x y +=
内一点的直线l 若与曲线C 1有交点,则斜率必存在; 根据对称性,不妨设直线l 斜率存在且与曲线C 2交于点(,1)(0)t t t +≥,则
:(1)()(1)0l y t k x t kx y t kt =+=-?-++-=
直线l 与圆2
2
1
2x y +=内部有交点,22< 化简得,2
2
1(1)(1)2
t tk k +-<
+............① 若直线l 与曲线C 1有交点,则
22222
1
1()2(1)(1)10212
y kx kt t k x k t kt x t kt x y =-++???-++-++-+=?-=?
? 2222221
4(1)4()[(1)1]0(1)2(1)2
k t kt k t kt t kt k ?=+---+-+≥?+-≥-
化简得,2
2
(1)2(1)t kt k +-≥-.....②
由①②得,222
212(1)(1)(1)12k t tk k k -≤+-<
+?< 但此时,因为221
0,[1(1)]1,(1)12
t t k k ≥+-≥+<,即①式不成立;
当21
2
k =时,①式也不成立
综上,直线l 若与圆221
2
x y +=内有交点,则不可能同时与曲线C 1和C 2有交点,
即圆221
2
x y +=内的点都不是“C 1-C 2型点” .
34．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的
坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和
129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤.
(1)求证:点*
(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;
(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ?与OCN ?的面积比为4:1,求直线的方程.
【答案】解:(Ⅰ)依题意,过*
(,19)∈≤≤i A i N
i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i (10,) i B i ,∴直线i OB 的方程为10
=
i y x 设i P 坐标为(,)x y ,由10=??
?=??
x i
i
y x 得:2110=y x ,即210=x y , ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上,且抛物线E 方程为210=x y
(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为10=+y kx
由2
1010=+??
=?y kx x y
得2
101000--=x kx 此时2
100+4000?=>k ,直线与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设:1122(,)(,)M x y N x y ,则121210100
+=??
?=-?x x k
x x
4??= OCM OCN S S ∴124=x x
又120?< x x ,∴124=-x x 分别带入2
1010=+??
=?y kx x y
,解得3
2=±k 直线的方程为3
+102
=±
y x ,即32200-+=x y 或3+2200-=x y 35．（2013年高考湖南卷（理））过抛物线2
:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直
线12,l l ,且122k k +=,1l E 与相交于点A,B,2l E 与相交于点C,D.以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l .
(I)若120,0k k >>,证明;2
2FM FN P < ;
(II)若点M 到直线l
的距离的最小值为
求抛物线E 的方程. 【答案】解: (Ⅰ)
，
设),(),,(),,(),,(),,(),,().2,0(3434121244332211y x N y x M y x D y x C y x B y x A p
F 02,2
21211=++-+=p x pk x E p
x k y l ：方程联立，化简整理得与抛物线方程：直线
)
,(2
,20,22
11211212112221121p k p k FM p p k y p k x x x p x x p k x x -=?+==+=?=-=?=+?),(2,2,2
22223422134p k p k FN p p k y p k x x x -=?+==+=?同理.
)1(2121222
22
1221+=+=??k k k k p p k k p k k FN FM
2
22121221212121212)11(1)1(,122,,0,0p p k k k k p FN FM k k k k k k k k k k =+??<+=?∴≤?≥+=≠>> 所以,22p FN FM
,)]2(2[21)]2()2[(21,2
12121121p p k p p k p y p y p r r r N M +=++=+++=?的半径分别为、设圆
,2同理,2
212
11p p k r p p k r +=+=?
.,21r r N M 的半径分别为、设圆则2
1212212)()(r y y x x N M =-+-的方程分别为、, 的方程为：，直线l r y y x x 2
2234234)()(=-+-
0-)(2)(22
22123421223421212341234=+-+-+-+-r r y y x x y y y x x x .
0))(-())(())(()(2)(2121234123412341234122
12212=++--+--+-+-?r r r r y y y y x x x x y k k p x k k p 0
2))((1))(()(2)(2)(22
22121222222122212212212212=++-+++-+-+-+-?k k k k p k k k k p k k p y k k p x k k p 0202)(1)(22
22
12
22
1=+?=+++++--+?y x k k p k k p p y x
5
5
758751
)41
()41(2|512||52|),(212
1
12121212==+-+-?≥++?=+=p p k k p y x d l y x M 的距离到直线点y x p 1682=?=?抛物线的方程为.
36．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）如图,点)1,0(-P 是椭圆
)0(1:22
221>>=+b a b
y a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相
垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D (1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ?面积取最大值时直线1l 的方程.
【答案】解:(Ⅰ)由已知得到1b =,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2
214
x y +=;
(Ⅱ)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-?--=,直线
21
:10l y x x ky k k =--?++=,所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-?--=
的距离为
d =
,所以直线1l 被圆224x y +=
所截的弦AB ==
由222
2
2
048014
x ky k k x x kx x y ++=???++=?+=??,所以
228||44D P k x x DP k k +=-∴==++,所以
11||||22444313ABD
S AB DP k k k ?====++++
232
32
=
=
≤
=
+
+
25102k k =
?=
?=时等号成立,此时直线110:12
l y x =±- 37．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）如图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心
率2
e =
过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于,A A '两点,4AA '=. (1)求该椭圆的标准方程;
(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P ',过,P P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若PQ P Q '⊥,求圆Q 的标准方程
.
【答案】
38．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）设椭圆
22
22
:1
1
x y
E
a a
+=
-
的焦点在x轴上
(Ⅰ)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且
11
F P FQ ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上. 【答案】解: (Ⅰ)13
858851,12,1222
2
2
2
2
2
=+=?+-==->x x a c a a c a a ，椭圆方程为： .
(Ⅱ) ),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221m c QF y c x F m Q y x P c F c F -=-=
-（则设. 由)1,0(),1,0()1,0(012
∈∈?∈?>-y x a a .
??
?=++=-⊥=+=0
)()(,//).,(),,(112211my c x c yc
x c m Q F P F QF P F m c Q F y c x P F 得：由 解得联立????
?
????+-==-=-+=-?=+-?2222222
2
222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c x
y x y x y x y
x y y x x -=∴∈∈±=?=+-++-?1)1,0(),1,0(.)1(11212222
22
222 所以动点P 过定直线01=-+y x .
39．（2013年高考新课标1（理））已知圆M :2
2(1)
1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并
且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C.
(Ⅰ)求C 的方程;
(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.
【答案】由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径1r =1,圆N 的圆心为N (1,0),半径2r =3.
设动圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R.
(Ⅰ)∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切,∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4,
由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左右焦点,场半轴长为2,3的椭圆(左顶点除外),其
方程为22
1(2)43
x y x +=≠-. (Ⅱ)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM|-|PN|=22R -≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.
∴当圆P 的半径最长时,其方程为22
(2)4x y -+=, 当l 的倾斜角为0
90时,则l 与y 轴重合,可得
|AB|=
当l 的倾斜角不为090时,由1r ≠R 知l 不平行x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则
||||QP QM =1
R
r ,可求得Q(-4,0),
∴设l :(4)y k x =+,由l 于圆M
1=,
解得k =±
当k
时,
将y x =+代入221(2)43x y x +
=≠-并整理得27880x x +-=,解得1,2x
,∴
12||x x -=187.
当k
时,由图形的对称性可知|AB|=18
7, 综上,|AB|=
18
7
或
|AB|= 40．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题）设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F , 离
, 过点F 且与x
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.
【答案】
41．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b ：经过点3(1,),2P 离心率1
=2
e ,直线l 的方程
为=4x .
(1) 求椭圆C 的方程;
(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=.k k k λ?若存在求λ的值;若不存在,说明理由.
【答案】解:(1)由3(1,
)2P 在椭圆上得,2219
14a b
+= ① 依题设知2a c =,则2
2
3b c = ② ②代入①解得2
2
2
1,4,3c a b ===.
故椭圆C 的方程为22
143
x y +=.
(2)方法一:由题意可设AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为(1)y k x =- ③
代入椭圆方程2
2
3412x y +=并整理,得2
2
2
2
(43)84(3)0k x k x k +-+-=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有
2212122284(3)
,4343
k k x x x x k k -+==
++ ④ 在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .
从而1212312333
31222,,11412
y y k k k k k x x -
--
====----. 注意到,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有
121211
y y
k x x ==--. 所以12121212121233
31122()1111212
y y y y k k x x x x x x -
-+=
+=+-+------ 12121223
22()1
x x k x x x x +-=-?-++ ⑤
④代入⑤得2
21222
2
2823432214(3)82
14343
k k k k k k k k k k -++=-?=---+++, 又31
2
k k =-,所以1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意.
方法二:设000(,)(1)B x y x ≠,则直线FB 的方程为:0
0(1)1
y y x x =
--, 令4x =,求得0
03(4,
)1
y M x -, 从而直线PM 的斜率为003021
2(1)
y x k x -+=
-,
联立00
22(1)114
3y y x x x y ?=-?-???+=?? ,得0
000583(,)2525x y A x x ---, 则直线PA 的斜率为:00102252(1)y x k x -+=
-,直线PB 的斜率为:02023
2(1)
y k x -=-,
所以00000123000225232122(1)2(1)1
y x y y x k k k x x x -+--++=
+==---,
故存在常数2λ=符合题意.
42．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点
()()0,0F c c >到直线l :20x y --=32
设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;
(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ?的最小值.
【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为2
4x cy =,02
32
2
2
c --=
结合0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为2
4x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为2
4x y =,即214y x =
,求导得12
y x '=
9．解析几何（含解析） 一、选择题 【2019，10】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =， 1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154 x y += 【2018.8】抛物线C ：y 2=4x 焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为 23直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【2018.11】已知双曲线C ：2 213 x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |= A ． 32 B ．3 C ． D ．4 【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【2016，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【2016，5】已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的 取值范围是（ ） A ．)3,1(- B ．)3,1(- C ．)3,0( D ．)3,0( 【2015，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ?的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A B ．3 C D ．3m
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
数学圆锥曲线高考题选讲 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )32 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点 在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．7 5 C ．85 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） A.2 B. 22 3 C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F -,右顶点为(2,0)D ,设点11, 2A ?? ??? ，则求该椭圆的标准方程为 。 11. (20XX 年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上， 离心率为 2 2 。过l 的直线 交于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。
高考圆锥曲线经典真题 知识整合： 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能. 1.（江西卷15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线，与抛物线 分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则 AF FB = ．1 3 2 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l 与曲线 22 (2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 ( ) A. [3,3] B. (3,3) C. 33[33- D. 33 (,33- 3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线22 1916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB 的面积为-___________. 热点考点探究： 考点一：直线与曲线交点问题 例1.已知双曲线C ：2x2－y2=2与点P(1，2) (1)求过P(1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点. 解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l
的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k(x －1),代入C 的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x －k2+4k －6=0 (*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=± 2 时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k ≠±2 时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k －6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即 3－2k=0,k=23 时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点. ②当Δ＞0,即k ＜23 ,又 k ≠± 2 ,故当k ＜－ 2 或－2 ＜k ＜ 2 或 2＜k ＜2 3 时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点. ③当Δ＜0，即 k ＞23 时，方程(*)无解，l 与C 无交点. 综上知：当k=±2,或k=23 ，或 k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜23 ,或－2＜k ＜2,或k ＜－ 2 时，l 与C 有两个交点； 当 k ＞23 时，l 与C 没有交点. (2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB= 2 121x x y y --=2 但渐近线斜率为±2,结合图形知直线 AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以 Q 为中点的弦不存在.
专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 浙江省高考数学圆锥曲线真题 22 04. 若椭圆 x 2 y 2 ab 1（a > b > 0）的左、右焦点分别为 F 1、F 2, 线段 F 1F 2被抛物线 y 2=2 bx 的焦点 分成 5∶ 3的两 段 , 则此椭圆的离心率为 16 (A) 1167 05．过双曲线 2 x 2 a 4 17 (B) 17 2 b y 2 1(a b 4 (C)45 (D) 255 5 0,b 0） 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M 、 N 两点 , 以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 则双曲线的离心率等于 07. 已知双曲线 2 x 2 a 2 y 2 1(a 0,b b 2 0） 的左、右焦点分别为 F 1,F 2, P 是准线上一点 , PF 1 PF 2,|PF 1| |PF 2| 4ab , 则双曲线的离心率是 B ） 3 （C ） 2 （D ） 3 △ ABP 的面积为定 则动点 P 的轨迹是A ． 圆 B ． 椭圆 C ． 一条直线 D ． 两条平行直线 09. 2 x 过双曲线 2 a 2 y b 2 1(a 0,b 0） 的右顶 点 条渐近线的交点分别为 B,C uuur ．若 AB 1 uuur BC , 2 A ． 2 B ．3 C 08．如图 , AB 是平面 的斜．线．段． ） B A P 第 10 题） A 作斜率为 1的直线 , 该直线与双曲线的两 则双曲线的离心率 是 ( ) ．5 D ． 10 A 为斜足 , 若点 P 在平面 内运动 , 使得 点 A （0,2） 。若线段 FA 的中点 B 在抛物线上 2 10. （13）设抛物线 y 2 2px （p 0） 的焦点为 F, 则 B 到该抛物线准线的距离为 近线与以 C 1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点 ( ) 13 2 B ． a 2＝ 13 1 D ． A ．a 2＝ C ．b 2＝ b 2＝2 2 2 2 11. 设 F 1, F 2分别为椭圆 x 2 3 y 2 1的 左、 右焦点 22 x y 2 11. 已知椭圆 C 1： 2 2 =1 (a > b > 0)与双曲线 C 2： x 2 ab 则点 A 的坐标是 _______ 2 y 1有公共的焦点 , C 2 的一条渐 4 若 C 1 恰好将线段 AB 三等分 , 则 uuur uuuur 点 A, B 在椭圆上． 若 F 1A 5F 2B , 年高考真题理科数学解析分类汇编 12 统计 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=（ａ＞0，b>０）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于 （ Ｃ ） （A)3 (B)2 (Ｃ)5 （D ）6 ２.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 （D ）. 3 3．过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 （ ） A.2 B.3 C.5 D ．10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线 AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ) A ． 3 B ．22 Ｃ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ) A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” Ｄ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点)是“ 点” ６.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线ｙ=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 （ ）． Ａ. 4 5 B. ５ C. 2 5 D.5 2 数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．7 5 C ．85 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） B. C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D , 专题八 直线 与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B 、 C 、6 D 、 【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到 圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ． 【考点定位】圆的方程． 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x 圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题（含答案） 一．选择题（共7小题） 1．双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（） A．（﹣，0），（，0）B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，﹣），（0，）D．（0，﹣2），（0，2） 2．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴 的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 3．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原 点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（） A．B．2 C．D． 4．已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C 的离心率为（） A．B．C．D． 5．双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 6．已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（） A．B．3 C．2 D．4 7．设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（） A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x 二．填空题（共6小题） 8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F （c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为． 9．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的 两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为． 10．已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m=时，点B横坐标的绝对值最大． 11．已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C 交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k= ． 12．曲线y=（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=． 13．曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为． 三．解答题（共13小题） 14．设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x． （Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a； （Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2． （1）求椭圆C及圆O的方程； 全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类 集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ） （A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a= （ ） A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（ ） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量 1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC =(-4,-3)，则向量BC = ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量=(0,-1),=(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量，的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图 （2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 D.14 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 2018年高考圆锥曲线大题 一．解答题（共13小题） 1．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差． 2．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2||=||+||． 3．双曲线﹣=1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆． （1）求C的轨迹方程； （2）动点P在C上运动，M满足=2，求M的轨迹方程． 4．设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB． 5．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有 两个不同的交点A，B． （Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）若k=1，求|AB|的最大值； （Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点Q（﹣，）共线，求k． 6．设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点． （1）用t表示点B到点F的距离； （2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积； （3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 2020年全国高考理科数学试题分类汇编5：平面向量 一、选择题 1 ．（2020年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r ;以 D 为起点,其 余顶点为终点的向量分别为 12345 ,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r .若 ,m M 分别为 ()() i j k r s t a a a d d d ++?++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值、最大值,其中 {,,}{1,2,3,4,5}i j k ?,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ?,则,m M 满足 （ ） A ．0,0m M => B ．0,0m M <> C ．0,0m M <= D ．0,0m M << 【答案】 D ． 2 ．（2020年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已 知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r 则与向量同方向的单位向量为 （ ） A ．345 5?? ??? ，- B ．435 5?? ??? ，- C ．3455??- ??? ， D ．4355?? - ??? ， 【答案】A 3 ．（2020年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版）） 设0,P ABC ?是边AB 上一定点,满足AB B P 4 10=,且对于边AB 上任一点P , 恒有C P B P PC PB 00?≥?.则 （ ） A ．090=∠ABC B ．090=∠BA C C ．AC AB = D ．BC AC = 【答案】D 4 ．（2020年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版）） 在四边形ABCD 中,(1,2)AC =u u u r ,(4,2)BD =-u u u r ,则四边形的面积为 （ ） 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷 （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， 2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥ 题08 数列 1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．2 28n S n n =- D ．2 122 n S n n = - 【答案】A 【解析】由题知，415 144302 45d S a a a d ? =+??=???=+=?，解得132a d =-??=?，∴25n a n =-，2 4n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断． 2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142 111 15 34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?， 解得11,2 a q =??=?，2 314a a q ∴==，故选C ． 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2 +b ，n *∈N ，则 A ． 当101 ,102 b a = > B ． 当101 ,104 b a = > C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =-> 【答案】A 【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n * =∈N .高考数学圆锥曲线历年高考真题
全国高考理科数学试题分类汇编—统计
1. 【 高 考 上 海 理 17 】 设 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 10 4 ， x5 ? 10 5 ， 随 机 变 量 ?1 取 值
x1、x 2、x 3、x 4、x 5 的 概 率 均 为 0.2 ， 随 机 变 量 ? 2 取 值
x1
? 2
x2
、x2
? 2
x3
、x3
? 2
x4
、x4
? 2
x5
、x5
? 2
x1
的概率也均为 0.2
，若记
D?1、D? 2
分别为
?1、?2 的方差，则（ ）
A． D?1 ? D?2
B． D?1 ? D?2
C． D?1 ? D?2
D． D?1 与 D? 2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关
【答案】A
【 解 析 】 由 随 机 变 量 ?1,?2 的 取 值 情 况 ， 它 们 的 平 均 数 分 别 为 ：
1 x1 ? 5 (x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ),
，
x2
?
1? 5 ??
x1
? 2
x2
?
x2
? 2
x3
?
x3
? 2
x4
?
x4
? 2
x5
?
x5
? 2
x1
? ??
?
x1,
且随机变量?1 ,? 2 的概率都为 0.2 ，所以有 D?1 ＞ D? 2 . 故选择 A.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提 和基础，本题属于中档题. 2.【高考陕西理 6】从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额进行统计，
统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 ， x乙 ，中位数分
别为 m甲 ， m乙，则（
）
A. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
B. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
C. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
D. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
【答案】B.
【解析】根据平均数的概念易计算出
x甲
?
x乙
，又 m甲
?
18 ? 22 2
?
20 ，m乙
?
27 ? 31 2
?
29
故选 B.
3.【高考山东理 4】采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编
号为 1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32
人中，编号落入区间?1, 450?的人做问卷 A ，编号落入区间?451, 750? 的人做问卷 B ，其余2019-2020高考数学试题分类汇编
历年高考数学圆锥曲线试题汇总
圆锥曲线历年高考题(整理)附答案
高考数学真题分类汇编专题直线与圆理科及答案
(完整word版)圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题(含标准答案)
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2015-2019全国卷高考数学分类汇编——集合
2019年高考理科数学分类汇编：数列(解析版)
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