高中数学例题：对数函数的单调性及其应用
利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.
例2. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)33log 3.6,log 8.9； (2)0.20.2log 1.9,log 3.5； (3)2log 5与7log 5； (4) 3log 5与6log 4．
(5)log 4.2,log 4.8a a （01a a >≠且）．
【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。 【答案】(1)< ；(2) <；(3) >；(4) >；(5) 略． 【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成. (1)解法1：画出对数函数3log y x =的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以，33log 3.6log 8.9<；
解法2：由函数3log y x =在R +上是单调增函数，且3.6<8.9，所以
33log 3.6log 8.9<；
(2)与第(1)小题类似，0.2log y x =在R +上是单调减函数，且1.9<3.5，所以0.20.2log 1.9log 3.5>；
(3)函数2log y x =和7log y x =的图象如图所示．当1x >时，
2log y x =的图象在7log y x =的图象上方，这里5x =，27log 5log 5∴>．
(4) 3366log 5log 31log 6log 4,>==>
36log 5log 4∴>
(5) 注：底数是常数，但要分类讨论a 的范围，再由函数单调性判断大小.
解法1：当1a >时，log a y x =在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，log 4.2log 4.8a a <
当01a <<时，y=log a x 在(0，+∞)上是减函数，且4.2<4.8，所以，
log 4.2log 4.8a a >
解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小， 令1log 4.2a b =，则1
b a =4.2，令2log 4.8a b =，则2
4.8b a =，
当1a >时，x y a =在R 上是增函数，且4.2<4.8， 所以，b 1
当时01a <<，x y a =在R 上是减函数，且4.2<4.8 所以，b 1>b 2，即a a log 4.2>log 4.8.
【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是：
（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性． （2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．
（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．
例3．比较11log ,log ,log ,log a b a b b a b
a
其中01的大小.
【答案】11log log log log a b b a b a a b
<<<
【解析】由01，得1
a b
>，1b a
>
∴1l o g l o g 1a a a b >=，1
log log 1b b b a
<=
11
log log b a a b
∴<
∴11log log b a a b --<，即log log b a a b -<- l o g l o g b a a b ∴>
11log log log log a b b a b a a b
∴<<<
【总结升华】若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小，中间变量常常用“0”和“1”．用“0”和“1”把所给的数先分两组，然后组内再比较大小．
举一反三： 【变式1】已知324log 0.3
log 3.4
log 3.6
15,5
,,5a b c ??=== ?
??
则（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．a c b >>
D ．c a b >>
【答案】C
【解析】另2log 3.4m =，4log 3.6n =，3
10
log 3
l =，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得m l n >>
又∵5x y =为单调递增函数，
∴ a c b >> 故选C .
【变式2】比较的大小． 【答案】c b a <<
【解析】33233log 2log log 1log 3log π<<<=<
c b a ∴<<
例4．求函数212
log (21)y x x =-++的值域和单调区间.
【思路点拨】先解不等式2210x x -++>，保证原式有意义，然后再在定义域范围内求内函数221t
x x =-++的单调区间，然后根据复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”来求解．
【答案】
[-1，+∞)；增区间为1,1?+?；减区间为()1． 【解析】设221t x x =-++，则2(1)2t x =--+.∵ y=12
log t 为减函数，
且02t <≤，
∴ 12
log 21y ≥=-，即函数的值域为[-1，+∞).再由：函数
212
log (21)
x x -++
的定义域为2210x x -++>，即11x
<<∴ 221t
x x =-++在()1上递增而在1,1?+?上递减，
而y=12
log t 为减函数.
∴ 函数2
12
l o
g (21)y x x =-++的增区间
为1,1
??，
减区间
为
()
1,1-
.
【总结升华】对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数
323log ,log log a b c π===
为外函数，即log ()a y f x =型；另一类是内函数为对数函数，即
(log )a y f x =型．对于log ()a y f x =型的函数的单调性，有以下结论：函
数log ()a y f x =的单调性与函数()u f x =[]()0f x >的单调性，当1a >时相同，当01a <<时相反．
研究(log )a y f x =型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”．
研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则．
举一反三：
【变式1】求函数()22log 4y x =+的值域和单调区间． 【答案】[)2,+∞；减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞．
【解析】设24t x =+，则244t x =+≥，∵ y=2log t 为增函数，
2222log log (4)log 42t x ∴=+≥=
()22log 4y x ∴=+的值域为[)2,+∞．
再由：22log (4)y x =+的定义域为R
24t x ∴=+在()0,+∞上是递增而在(),0-∞上递减，而y=2log t 为增函
数
∴ 函数y=22log (4)x +的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞. 【变式2】求函数log ()x a y a a =-的单调区间 【答案】减区间是：(),1-∞和()1,+∞
【解析】①若1,a >则log a y t =递增，且x t a a =-递减，而0x a a ->，
即,1x a a x <∴<，
log ()x a y a a ∴=-在(),1-∞上递减．
② 若01a <<，则l o
g a
y t =递减，且x t a a =-递增，而0x a a ->，
即,1x a a x <∴>，
log ()x a y a a ∴=-在()1,+∞上递减．
综上所述，函数log ()x a y a a =-的单调递减区间是：(),1-∞和
()1,+∞．