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2010年中考数学真题分类汇编(150套)专题十八·二次函数的图象和性质2

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28. ( 广东中山) , 28. 2010 广东中山)如图(1)(2)所示,矩形 ABCD 的边长 AB=6,BC=4,点 F 在 DC 上,DF=2.动点 M、N 分别从点 D、B 同时出发,沿射线 DA、线段 BA 向点 A 的方向运动(点 M 可运动到 DA 的延长线上) ,当动点 N 运动到点 A 时,M、N 两点 同时停止运动.连接 FM、MN、FN,当 F、N、M 不在同一直线时,可得ΔFMN,过 ΔFMN 三边的中点作ΔPQW.设动点 M、N 的速度都是 1 个单位/秒,M、N 运动的时 间为 x 秒.试解答下列问题: (1)说明ΔFMN∽ΔQWP; (2)设 0≤x≤4(即 M 从 D 到 A 运动的时间段) .试问 x 为何值时,ΔPQW 为直角三角 形?当 x 在何范围时,ΔPQW 不为直角三角形? (3)问当 x 为何值时,线段 MN 最短?求此时 MN 的值.
. 【答案】解: (1)由题意可知 P、W、Q 分别是ΔFMN 三边的中点, ∴PW 是ΔFMN 的中位线,即 PW∥MN ∴ΔFMN∽ΔQWP (2)由题意可得 DM=BN=x,AN=6-x,AM=4-x, 由勾股定理分别得
FM 2 = 4 + x 2 , MN 2 = (4 − x) 2 + (6 − x) 2 FN 2 = (4 − x) 2 + 16
①当 MN = FM 2 + FN 时, (4 − x ) 2 + (6 − x ) 2 = 4 + x + (4 − x ) 2 + 16 2 2 2
解得
x= 2
4 3 2 2
②当 FN = FM 2 + MN 时, (4 − x ) 2 + 16 = 4 + x + (4 − x ) 2 + (6 − x ) 2 此方程无实数根 ③ FM 2 = MN + FN 时, 4 + x = (4 − x ) 2 + (6 − x ) 2 + (4 − x ) 2 + 16 2 2 2
解得
x1 = 10 (不合题意,舍去) x 2 = 4 ,
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4 或 x = 4 时,ΔPQW 为直角三角形; 3 4 4 当 0≤x< 或 <x<4 时,ΔPQW 不为直角三角形 3 3 综上,当 x = (3)①当 0≤x≤4,即 M 从 D 到 A 运动时,只有当 x=4 时,MN 的值最小,等于 2; ②当 4<x≤6 时, MN = AM + AN = ( x − 4) + (6 − x) 2
2
2
2
2
= 2( x − 5) + 2 2
当 x=5 时, MN 取得最小值 2, ∴当 x=5 时,线段 MN 最短,MN= 2 . 29. ( 湖南常德) 29. 2010 湖南常德)如图 9, 已知抛物线 y = 0)两点,与 y 轴交于 C 点. (1)求此抛物线的解析式; (2)设 E 是线段 AB 上的动点,作 EF//AC 交 BC 于 F,连接 CE,当△CEF 的面积是△BEF 面积的 2 倍时,求 E 点的坐标; (3)若 P 为抛物线上 A、C 两点间的一个动点,过 P 作 y 轴的平行线,交 AC 于 Q,当 P 点运动到什么位置时,线段 PQ 的值最大,并求此时 P 点的坐标. y
2
1 2 x + bx + c 与 x 轴交于 A (-4,0) 和 B(1, 2
A O C 图9
B
x
【答案】解: (1)由二次函数 y =
1 2 x + bx + c 与 x 轴交于 A(−4,0) 、 B (1,0) 两点可得: 2 1 2 3   2 (−4) − 4b + c = 0, b = ,  解得:  2