第二十五章解直角三角形
25.1 测量
教学目标
1、在探索基础上掌握测量。
2、掌握利用相似三角形的知识
教学重难点
重点：利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边。
难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。
教学过程
当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？
你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题．
图25.1.1
如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度．
如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．
试一试
如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．
你知道计算的方法吗？
图25.1.2
实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．
练习
1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．
2．请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度．
习题25．1
1．如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米）
（第1题）
（第3题）
2．在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？
3．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．
小结与作业:
小结本节内容:利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两
边可以求第三边
作业:一课一练
教学反思：
25.2 锐角三角函数
教学目标
3、 正弦、余弦、正切、余切的定义。
4、 正弦、余弦、正切、余切的应用
教学重难点
重点：正弦、余弦、正切、余切。
难点：正弦、余弦、正切、余切的应用。
教学过程
第一节.锐角三角函数
在§25．1中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都出现了
两个相似的直角三角形，即
△ABC ∽△A ′B ′C ′． 按
500
1的比例，就一定有 500
1=''=''AC C A BC C B ， 500
1就是它们的相似比． 当然也有AC BC C A C B =''''． 我们已经知道，直角三角形ABC 可以简记为Rt △ABC ，直角∠C 所对的边
AB 称为斜边，用c 表示，另两条直角边分别为∠A 的对边与邻边，用a 、b 表
示（如图25．2．1）．
图25.2.1
前面的结论告诉我们，在Rt △ABC 中，只要一个锐角的大小不变（如∠A
＝34°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一
个固定的值．
思考
一般情况下，在Rt △ABC 中，当锐角A 取其他固定值时，∠A 的对边与邻
边的比值还会是一个固定值吗？
图25.2.2
观察图25．2．2中的Rt △11C AB 、Rt △22C AB 和Rt △33C AB ，易知
Rt △11C AB ∽Rt △_________∽Rt △________， 所以1
11AC C B ＝_________＝____________． 可见，在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与邻边的比
值是唯一确定的．
我们同样可以发现，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边
与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的．
因此这几个比值都是锐角A 的函数，记作sinA 、cosA 、tanA 、cotA ，即
sinA ＝斜边的对边A ∠，cosA ＝斜边
的邻边A ∠， tanA ＝
的邻边的对边A A ∠∠，cotA ＝的对边的邻边A A ∠∠． 分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函
数．
显然，锐角三角函数值都是正实数，并且
0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1．
根据三角函数的定义，我们还可得出
A A 22cos sin +＝1，
tanA ·cotA ＝1．
图25.2.3
例1
求出图25．2．3所示的Rt △ABC 中∠A 的四个三角函数值． 解
1728922==+=AC BC AB ， sinA ＝178=AB BC ，cosA ＝17
15=AB AC ， tanA ＝158=AC BC ，cotA ＝8
15=BC AC ． 练习:P76.1.2.
小结本节内容: 正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数
作业:一课一练
教学反思：
第二课时
教学目标
1、 探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。
2、 掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。
3、掌握三角函数定义式：sin A =斜边
的对边A ∠, cos
A =斜边
的邻边A ∠, tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边
的邻边A A ∠∠ 教学重难点
重点：三角函数定义的理解。
难点：掌握三角函数定义式。
教学过程
探索
根据三角函数的定义，sin30°是一个常数．用刻度尺量出你所用的含30°
角的三角尺中，30°角所对的直角边与斜边的长，与同伴交流，看看常数sin30°
是多少．
通过计算，我们可以得出
图25.2.4
sin30°＝2
1=斜边对边， 即斜边等于对边的2倍．因此我们可以得到：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边
的一半．
思考
上述结论还可通过逻辑推理得到．如图25．2．4，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，
∠A ＝30°，作∠BCD ＝60°，点D 位于斜边AB 上，容易证明△BCD 是正三
角形，△DAC 是等腰三角形，从而得出上述结论．
做一做
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，借助于你常用的两块三角尺，或直接通过计
算，根据锐角三角函数定义，分别求出下列∠A 的四个三角函数值：
（1） ∠A ＝30°；（2） ∠A ＝60°；（3） ∠A ＝45°．
练习 求值： 2cos60°＋2sin30°＋4tan45°．
四、学习小结:记忆特殊角的函数值
五、布置作业 习题：1
教学反思：
第三课时
教学目标
1、 进一步复习直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的
关系。
2、 进一步掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。
3、掌握三角函数定义式：sin A =
斜边的对边A ∠, cos A =
斜边的邻边A ∠, tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边
的邻边A A ∠∠ 教学重难点
重点：三角函数定义的理解。
难点：掌握三角函数定义式。
教学过程
例1 求出如图所示的Rt △DEC （∠E ＝90°）中∠D 的四个三角函数
值．
（第2题）
sin30゜是一个常数.用刻度尺量出你所用的含30゜的三角尺中，
30゜所对的直角边与斜边的长，sin30゜=21＝斜边对边 即斜边等于对边的2倍.因此我们还可以得到：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30゜，那么它所对的直角边
等于斜边的一半.
做一做
在Rt △ABC 中，∠C ＝90゜，借助于你常用的两块三角尺，根据
锐角三角函数定义求出∠A 的四个三角函数值：
（1）∠A ＝30゜ （2）∠A ＝60゜ （3）∠A ＝45゜.
为了便于记忆，我们把30゜、45゜、60゜的三角函数值列表如下.
（请填出空白处的值）
课堂练习
1. 如图，在Rt △MNP 中，∠N ＝90゜.
∠P 的对边是__________,∠P 的邻边是_______________;
∠M 的对边是__________,∠M 的邻边是_______________;
（第1题）
（第2题）
2.求出如图所示的Rt△DEC（∠E＝90゜）中∠D的四个三角函数值.
3.设Rt△ABC中，∠C＝90゜，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件求∠B的四个三角函数值.
（1）a=3,b=4; （2）a=6,c=10.
4.求值：2cos60゜+2sin30゜+4tan45゜.
学习小结: 记忆特殊角的函数值
布置作业
习题：练习册习题：2
教学反思：
2.用计算器求锐角三角函数值
教学目标
学会计算器求任意角的三角函数值。
教学重难点
重点：用计算器求任意角的三角函数值。
难点：实际运用。
教学过程
拿出计算器，熟悉计算器的用法。
下面我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角.
（1）求已知锐角的三角函
数值.
3、求sin63゜52′41″的值.（精确到
0.0001）
解先用如下方法将角度单位状态设定为
“度”：
显示
再按下列顺序依次按键：
显示结果为0.897 859 012.
所以sin63゜52′41″≈0.8979
例3求cot70゜45′的值.（精确到0.0001）
解在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：
显示结果为0.349 215 633.
所以cot70゜45′≈0.3492.
（2）由锐角三角函数值求锐角
例4已知tan x=0.7410,求锐角x.（精确到1′）
解在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：
显示结果为36.538 445 77.
再按键：
显示结果为36゜32′18.4.
所以，x ≈36゜32′.
例5 已知cot x =0.1950,求锐角x .（精确到1′）
分析 根据tan x ＝x
cot 1，可以求出tan x 的值，然后根据例4的方法就可以求出锐角x 的值.
四、课堂练习
1. 使用计算器求下列三角函数值.（精确到0.0001）
sin24゜,cos51゜42′20″,tan70゜21′,cot70゜.
2. 已知锐角a 的三角函数值，使用计算器求锐角a .（精确到
1′）
（1）sin a =0.2476; （2）cos a =0.4174;
（3）tan a =0.1890; （4）cot a =1.3773.
五、学习小结
内容总结
不同计算器操作不同，按键定义也不一样。
同一锐角的正切值与余切值互为倒数。
在生活中运用计算器一定要注意计算器说明书的保管与使用。
方法归纳
在解决直角三角形的相关问题时，常常使用计算器帮助我们处理
比较复杂的计算。
一、 布置作业
习题：3，4，5；练习册
教学反思：
25.3 解直角三角形
教学目标
1、 巩固勾股定理，熟悉运用勾股定理。
2、 学会运用三角函数解直角三角形。
3、 掌握解直角三角形的几种情况。
教学重难点
重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。
难点：运用三角函数解直角三角形。
教学过程
我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系，这些都是解决
与直角三角形有关的实际问题的有效工具.
例1 如图19.4.1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面
10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
解 利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为 26241022=+
26＋10＝36（米）.
所以，大树在折断之前高为36米.
在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另
外两个锐角.像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过
程，叫做解直角三角形.
例2 如图，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰
C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东40゜的方向，炮台B 测得敌舰C
在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）
解 在Rt △ABC 中，因为
∠CAB ＝90゜－∠DAC ＝50゜，
AB
BC ＝tan ∠CAB , 所以 BC ＝AB ?tan ∠CAB
=2000×tan50゜≈2384(米).
又因为 ?=50cos AC
AB ， 所以 AC ＝)(311150cos 200050cos 米≈?
=?AB 答：敌舰与A 、B 两炮台的距离分别约为3111米和2384米.
在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明
外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.
解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角
课堂练习
1. 在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，
问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？
2. 海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A 处看灯塔Q
在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B 处，发现此时灯塔Q 与
海船的距离最短，求灯塔Q 到B 处的距离.（画出图形后计算，精确
到0.1海里）
学习小结
布置作业
习题：1；练习册
教学反思：
25.3 解直角三角形
第二课时
教学目标
1、 巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。
2、 学会运用三角函数解直角三角形。
3、 掌握解直角三角形的几种情况。
4、 学习仰角与俯角。
教学重难点：
重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。
难点：运用三角函数解直角三角形。
教学过程
一、 情境导入
读一读
如图，在进行测量时，从下向上看，视线
与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线
与水平线的夹角叫做俯角.
二、合作探究
例3 如图4，为了测量电线杆的高度AB ，在离电线杆22.7米的
C 处，用高1.20米的测角仪C
D 测得电线杆顶端B 的仰角a ＝22°，
求电线杆AB 的高．（精确到0.1米）
解 在Rt △BDE 中，
BE ＝DE ×tan a
＝AC ×tan a
＝22.7×tan 22°
≈9.17，
所以AB ＝BE ＋AE
＝BE ＋CD
＝9.17＋1.20≈10.4（米）．
答： 电线杆的高度约为10.4米．
三、课堂练习
1. 如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC ＝
1200米，从飞机上看地面控制点B 的俯角a ＝16゜31′，求飞机A 到
控制点B 的距离.（精确到1米）
（第1题）
4 图
2. 两座建筑AB及CD，其地面距离AC为50.4米，从AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角β＝25゜，测得其底部C的俯角a＝50゜，求两座建筑物AB及CD的高.（精确到0.1米）
四、学习小结
内容总结
仰角是视线方向在水平线上方，这时视线与水平线的夹角。
俯角是视线方向在水平线下方，这时视线与水平线的夹角。
梯形通常分解成矩形和直角三角形（或分解成平行四边形与直角三角形）来处理。
方法归纳
认真阅读题目，把实际问题去掉情境转化为数学中的几何问题。把四边形问题转化为特殊四边形（矩形或平行四边形）与三角形来解决。
五、布置作业
习题：2，3；练习册
教学反思：
25.3 解直角三角形
第三课时
教学目标
1、 巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。
2、 学会运用三角函数解直角三角形。
3、 掌握解直角三角形的几种情况。
4、 学习仰角与俯角。
教学重难点
重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。
难点：灵活的运用有关知识在实际问题情境下解直角三角形。
教学过程
一、情境导入
读一读
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜
程度.
如图5，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面坡
度（或坡比）.记作i ,即i =l
h . 坡度通常写成1∶m 的形式，如i =1∶6.
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a ，有
i ＝l
h =tan a 显然，坡度越大，坡角a 就越大，坡面就越陡.
二、课前热身
分组练习，互问互答，巩固勾股定理和锐角三角函数定义等内容，
掌握仰角与俯角等概念。
三、合作探究
例4 如图6，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽
是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下
底的宽．（精确到
0.1米）
解 作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ．由题意可知
DE ＝CF ＝4.2（米），
CD ＝EF ＝12.51（米）．
在Rt △ADE 中，因为
图
5
?===32tan 2.4AE
AE DE i 所以 )(72.632tan 2.4米≈?=
AE 在Rt △BCF 中，同理可得
)(90.728tan 2.4米≈?
=BF 因此 AB ＝AE ＋EF ＋BF
≈6.72＋12.51＋7.90≈27.13（米）．
答： 路基下底的宽约为27.13米．
三、课堂练习
一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽6.2米，坝高23.5米，
斜坡AB 的坡度i 1＝1∶3，斜坡CD 的坡度i 2=1∶2.5.求：
（1）斜坡AB 与坝底AD 的长度；（精确到0.1
米）
（2）斜坡CD 的坡角α.（精确到1°）
四、学习小结
内容总结
坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度是指斜坡上任意一点的高度与
水平距离的比值。
坡角与坡度之间的关系是：i ＝l
h =tan a 。 坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡。
方法归纳
在涉及梯形问题时，常常首先把梯形分割成我们熟悉的三角形、
平行四边形，再借助这些熟悉图形的性质与特征来加以研究。
五、布置作业
习题：4；练习册
教学反思：
小结与复习1
教学目标
1、了解本章的知识结构。
2、回顾勾股定理的证明
教学重难点
重点：勾股定理。
难点：选择适当的知识解决具体问题。
教学过程
一、情境导入
通过本章的学习，你学到了哪些知识？你有哪些收获？
二、课前热身
同学们交流、讨论、概括出本章所学的主要内容。
三、合作探究知识结构
概括
1. 了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程；
2. 理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；
3. 能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题．
课堂练习
1.求下列阴影部分的面积：
（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆
（第1题）
2. 如图，以Rt △ABC 的三边向外作三个半圆，试探索三个
半圆的面积之间的关系．
（第2题）
3. 已知直角三角形两条直角边分别为6、8，求斜边上中线的
长．
4. 求下列各式的值．
（1） 2cos 30°＋cot 60°－2tan 45°;
（2） sin 2 45°＋cos 2 60°;
（3） ??+?+?60cot 60tan 30cos 30sin 2222 . 学习小结
内容总结
本节课主要复习了两个部分的内容：一部分是本章的知识结构；
另一部分是直角三角形中勾股定理及锐角三角函数定义。
方法归纳
在测量时，要以构造直角三角形在实际生活中应用的实例，至少
一个。
布置作业
习题：10，11；练习册
教学反思：
小结与复习2
教学目标
1、 通过复习，进一步理解勾股定理及三角函数的意义。
2、 通过复习，进一步掌握直角三角形的解法。
3、 学会运用勾股定理和三角函数解决简单的实际问题。
教学重难点
重点：灵活运用解直角三角形知识解决问题。
难点：选择恰当知识解决具体问题。
教学过程
一、 情境导入
三角函数是怎样定义的？如何把梯形分解成三角形？
二、课前热身
学生交流、讨论上述问题。
三、课堂练习
5. 求下列各直角三角形中字母的值．
（第5题）
6. 小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构
成39°角．他的风筝有多高？（精确到1米）
7. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，∠A 平分线AM 的
长为15 cm ，求直角边AC 和斜边AB 的长．
8. 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，直角边AC 是直角边BC 的2倍，
求∠B 的四个三角函数值．
9. 如图，在直角坐标平面中，P 是第一象限的点，其坐标是（3，y ），
且OP 与x 轴的正半轴的夹角a 的正切值是3
4，求： （1） y 的值； （2） 角a 的正弦值．
22．1. 二次根式（1） 教学内容： 二次根式的概念及其运用 教学目标：1a ≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键：1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程：一、回顾 当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义． 二、概括：a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一 个非负数，它的平方等于a ．即有： （1）a ≥0（a ≥0）； （2）2)(a =a （a ≥0）． 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式． 注意：在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数． 三、例题讲解 例题： x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？ 分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 解： 被开方数x-1≥0，即x ≥1． 所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义． 思考：2a 等于什么？ 我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律： 概括: 当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2． 这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质， 可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如： 22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==． 四、练习: x 取什么实数时，下列各式有意义. （1）x 43-； （2）23-x ； （3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+-
用解直角三角形解视角的应用 一、教学目标 1、使学生了解什么是仰角和俯角 2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法． 3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决观测问题． 二、教学重点、难点 重点：用三角函数有关知识解决观测问题 难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 三、教学过程 （一）复习引入 平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？ （三种，重叠、向上和向下） 结合示意图给出仰角和俯角的概念 （二）教学互动 例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)? 分析：在中，，.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC. 解:如图, ，,
答:这栋楼高约为277.1m. （三）巩固再现 1、为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)． 2、在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)． 3、上午10时，我军驻某海岛上的观察所A发现海上有一艘敌军舰艇正从C处向海岛驶来，当时的俯角，经过5分钟后，舰艇到达D处，测得俯角。已知观察所A距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之内，以便及时还击。 解：在直角三角形ABC和直角三角形ABD中，我们可以分别求出： （米） （米） （米）
在线分享文档地提升自我 By ：麦群超 解直角三角形 一、教育目标 (一)知识与技能 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的 两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． (二)过程与方法 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角 三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． (三)情感态度与价值观 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、重、难点 重点：直角三角形的解法． 难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 三、教学过程 (一)明确目标 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sin ;cos ;t an ;cot b a b a B B B B c c a b ====； sin ;cos ;tan ;cot a b a b A A A A c c b a ==== 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边 ；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠= ∠∠=∠=∠= cot tan cos sin (2)三边之间关系 a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． (二)整体感知 教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐角三角函数知识，对其加以复习巩固．同时，本课又为以后的应用举例打下基础，因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课——解直角三角形的知识来解决的．综上所述，解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课．
28．2．1 解直角三角形 教学目标 1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点) 2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点) 教学过程 一、情境导入 世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引垂线，垂足为点C .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2m ，AB ＝54.5m ，求∠A 的度数． 在上述的Rt △ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？ 二、合作探究 探究点一：解直角三角形 【类型一】 利用解直角三角形求边或角 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形． (1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长； (2)若a ＝62，b ＝66，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长． 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． 解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝a c ，即c ＝a cos B ＝363 2 ＝243，∴b ＝sin B ·c ＝12×243＝123； (2)在Rt △ABC 中，∵a ＝62，b ＝66，∴tan A ＝a b ＝33 ，∴∠A ＝30°，
∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝12 2. 方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解． 【类型二】 构造直角三角形解决长度问题 一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝122，试求CD 的长． 解析：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，求出BM 与CM 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF ＝60°，利用解直角三角形解答即可． 解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AC ＝122，∴BC ＝AC ＝12 2.∵AB ∥CF ，∴BM ＝sin45°BC ＝122×22＝12，CM ＝BM ＝12.在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，∴∠EDF ＝60°，∴MD ＝BM tan60°＝43，∴CD ＝CM －MD ＝12－4 3. 方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答． 【类型三】 运用解直角三角形解决面积问题 如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝3 7，D 为边AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6.求△ABC 的面积． 解析：首先利用正弦的定义设BC ＝3k ，AB ＝7k ，利用BC ＝CD ＝3k ＝6，求得k 值，从而求得AB 的长，然后利用勾股定理求得AC 的长，再进一步求解． 解：∵∠C ＝90°，∴在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ＝37 ，设BC ＝3k ，则AB ＝7k (k ＞0)，在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝45°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝45°，
解直角三角形1 教学目标 巩固勾股定理，熟悉运用勾股定理。 学会运用三角函数解直角三角形。 掌握解直角三角形的几种情况。 教学重难点 重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。 难点：运用三角函数解直角三角形。 教学过程 我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具. 例1 如图19.4.1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？ 解 利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为 26241022=+ 26＋10＝36（米）. 所以，大树在折断之前高为36米. 在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角.像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形. 例2 如图，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东40゜的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米） 解 在Rt △ABC 中，因为
∠CAB ＝90゜－∠DAC ＝50゜， AB BC ＝tan ∠CAB , 所以 BC ＝AB ?tan ∠CAB =2000×tan50゜≈2384(米). 又因为 ?=50cos AC AB ， 所以 AC ＝)(311150cos 200050cos 米≈?=?AB 答：敌舰与A 、B 两炮台的距离分别约为3111米和2384米. 在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′. 解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角 课堂练习 1. 在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？ 2. 海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A 处看灯塔Q 在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B 处，发现此时灯塔Q 与海船的距离最短，求灯塔Q 到B 处的距离.（画出图形后计算，精确到0.1海里）
第19章 解直角三角形 第1课时 §19.1 测 量 【教学目标】本节主要研究如何利用已学知识尤其是相似三角形的相关知识解 决生活中某些测量问题。 【教学重点】探究和解决生活中的某些测量问题。 【教学难点】探究解决生活中的某些测量问题的方法。 【教学方法】探究法 【教具准备】皮尺、测角仪 【教学过程】 一、问题引入 1．测量操场旗杆有多高？ 如图19.1.1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度。 图19.1.1 2．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识。 二、试一试 如图19.1.2所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC 为34°，并已知目高AD 为1米．现在请你按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A ′B ′C ′，用刻度直尺量出纸上B ′C ′的长度，便可以算出旗杆的实际高度． 你知道计算的方法吗？（请你量一量、算一算。） 实际上，我们利用图19.1.2（1）中 已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及到直角三角 图19.1.2
形中的边角关系．直角三角形中，三条边有什么关系？它的边与角又有什么关系？这一切都是本章要探究的内容。 三、归纳小结： 两种测量的方法： 方法一：构造可以测量的与原三角形相似的小三角形，利用对应线段成比例的性质计算出所求线段的长； 方法二：利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再利用比例尺计算出实际长度。 四、课堂练习 1．在一次数学活动课上，老师让同学们到操场测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法。小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图所示），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A到竹竿顶部E处恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高。你认为这种测量方法是否可行？请说明理由。 2．请你与你的同学一起设计两种方案，测量你们学校楼房的高度。 五．课后作业P99（习题19.1） 第2课时§19.2勾股定理（1） 【教学目标】1.研究直角三角形的特殊性质：勾股定理； 2．运用勾股定理进行简单的计算。
解直角三角形 练习1、（2013?十堰）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为米． 2、（2013?钦州）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1： 是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比） （1）求点B距水平面AE的高度BH； （2）求广告牌CD的高度． （测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732） 3、兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一条小船垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角为∠FDC=30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4:3，坡长AB=8米，求此时小船C到岸边的距离AC的长
4、在1998年的特大洪水期间，为了加固一段大堤，需运来沙石和土将大堤堤面加宽1米，使背水坡的坡度由原来的1：2变为1：3,已知原来背水坡的坡长为BC=15米，堤长100米，那么需要的沙石和土多少方？ 5、如图，某县为了加固长90米，宽5米，坝顶宽4米的迎水坡和背水坡的坡度都是1:1的横断面是梯形的防洪大坝，要将大坝加高1米，背水坡的坡度改为1:1.5，已知坝顶宽不变，要求大坝横截面的面积增加了多少平方米？共要填充多少立方米的土？ 6、（2013?眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：． （1）求加固后坝底增加的宽度AF； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
第一章 直角三角形的边角关系 第1节 从梯子的倾斜程度谈起 本节内容： 正切的定义 坡度的定义及表示（难点） 正弦、余弦的定义 三角函数的定义（重点） 在确定，那么A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA 。 即tanA=b a A =∠∠的邻边的对边A 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。 我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）。坡度常用字母i 表示。 斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：l h a = tan 注意： （1）坡度一般写成1：m 的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）； （2）若坡角为a ，坡度为a l h i tan == ，坡度越大，则a 角越大，坡面越陡。 拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽BC 为6m ，坝高为3.2m ，为了提高拦水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m ，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD 的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i=1：2变成i’=1：2.5（有关数据在图上已标明）。求加高后的坝底HD 的宽为多少？
在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、cosB的值。通过计算你有什么发现？请加以证明。 ■例4 方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm，CD=6cm斜立在墙上，其中BE=6cm，DE=2cm，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。
本节作业： 1、∠C=90°，点D 在BC 上，BD=6，AD=BC ，cos ∠ADC= 5 3 ，求CD 的长。 2、P 是a 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），求sina 、tana 的值。 3、在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD= 3 1 ，求tanA 的值。 4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA= 12 5 ，周长为30，求△ABC 的面积。 5、（2008·浙江中考）在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB 的值是多少？
第22章一元二次方程 22.1 一元二次方程 【知识与技能】 1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）. 2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识. 【过程与方法】 通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力. 【情感态度】 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 【教学重点】 判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】 由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.
一、情境导入，初步认识 问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平 方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整 理可得x2+10x-900=0.（1） 问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2 万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年 年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2） 【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题. 二、思考探究，获取新知 思考、讨论 问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： （1）都是整式方程 （2）只含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2 【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的 最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：
解直角三角形 命题人：罗 成 1、已知：如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠B ＝30°，CD ＝6，求AB 的长． 2、我国为了维护队钓鱼岛P 的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP ∥BD ），当轮船航行到距钓鱼岛20km 的A 处时，飞机在B 处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C 处时，飞机在轮船正上方的E 处，此时EC =5km ．轮船到达钓鱼岛P 时，测得D 处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD （结果保留根号）． 3、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为?55，路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1 米）. ? 55 5.8m 10m A B C D 姓名： 得分：
M E N C A 4、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树A B ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，现在某工人站在离B 点3米远的D 处，从 C 点测得树的顶端A 点的仰角为60°，树的底部B 点的俯角为30°. 问：距离B 点8米远的保护物是否在危险区内？ 5、如图，某一水库大坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶宽CD ＝5米，斜坡AD ＝16 米，坝高 6米，斜坡BC 的坡度3:1=i .求斜坡AD 的坡角∠A （精确到1分）和坝底宽AB ．（精确到0.1米） 6. 在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示）： （1） 在测点A 处安置测倾器，测得旗杆顶部M 的仰角∠MCE ＝α ； （2） 量出测点A 到旗杆底部N 的水平距离AN ＝m; （3） 量出测倾器的高度AC ＝h 。 根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN 。 如果测量工具不变，请参照上述过程，重新设计一个方案测量某小山高度（如图2） 1） 在图2中，画出你测量小山高度MN 的示意图 2）写出你的设计方案。 7、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=5cm ，∠BAC 的平分线交BC 于D ， ? 60? 30B D C A D C B A
解直角三角形教案设计 教学建议 1.知识结构： 本小节主要学习解直角三角形的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法. 2.重点和难点分析： 教学重点和难点：直角三角形的解法. 本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地解直角三角形的关键. 3. 深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化. 锐角三角函数的定义： 实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是边的长、、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中. 当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素. 由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转化为求
边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的重要工具. 4. 直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下： 5. 注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化 由上述(3)可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就可以通过解直角三角形而获得解决.请看下例. 例如，在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未知的角(如图) 这是一个锐角三角形的解法的问题，我们只需作出BC边上的高(想一想：作其它边上的高为什么不好.)，问题就转化为两个解直角三角形的问题. 在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了. 掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法 是十分重要的，如 (1)作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角
解直角三角形 一、 复习目标 1.掌握直角三角形中锐角三角函数的定义。 2.熟记30°，45°，60°角的各三角函数值，会计算含特殊角三角函数的代数式的值。 3.能熟练运用勾股定理、直角三角形中两锐角互余及三角函数定义解直角三角形。 4.会用解直角三角形的有关知识解简单的实际问题。 二、自测导学： 1.在直角三角形ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝( ) A ．3sin 40° B ．3sin 50° C ．3tan 40° D ．3tan 50° 2.在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝23，则AB 的长为________． 3. 若ααcos ,2 3 )90sin(则= -ο=______. 4.如图，一堤坝的坡角∠ABC ＝62°，坡面长度AB ＝25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB =500，则此时就将坝底向外拓宽多少米（结果保留到米，参考数据：sin620 ≈ ,cos620 ≈ ,tan500 ≈ ）
三、复习过程 （一）知识回顾 1.三角函数 （1）锐角三角函数的定义： B C a ① 斜边 的对边 A ∠ 叫∠A的正弦.记作sin A a A c ∠ == 的对边 斜边 ② 斜边 的邻边 A ∠ 叫∠A的余弦.记作cos A b A c ∠ == 的邻边 斜边 ③ 的邻边 的对边 A A ∠ ∠叫∠A的正切.记作 tan A a A A b ∠ == ∠ 的对边 的邻边 （1）解直角三角形的定义：
由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)． （2）直角三角形的边角关系 ①三边之间的关系：a2＋b2＝c2； ②两个锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； （3）解直角三角形的类型 3. 解直角三角形的应用 （1）仰角、俯角 如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上
25.1 测量 教学目标 1、在探索基础上掌握测量。 2、掌握利用相似三角形的知识 教学重难点 重点：利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边。 难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。 教学过程 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？ 你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题． 图25.1.1 如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度． 如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识． 试一试 如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度． 你知道计算的方法吗？
图25.1.2 实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．练习 1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度． 2．请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度． 习题25．1 1．如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米） （第1题） （第3题） 2．在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？ 3．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度． 小结与作业:
解直角三角形教学设计及反思 教学内容分析: 本节内容是在学习了“锐角三角函数” “勾股定理”等内容的基础上进一步探究如何利用所学知识解直角三角形。通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。将为一般性地学习三角形的知识及进一步学习其他数学知识奠定基础。对部分学生来说，有一定的难度。 教学目标： 1、知识技能：使学生掌握直角三角形的边角关系，会选用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2、过程与方法：经历探求直角三角形边角关系的过程，体会三角函数在解决问题过程中的作用，感受理论来源于实践又反作用于实践的唯物主义思想。 3、情感态度与价值观：形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密联系。从而增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难。通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心, 养成良好的学习习惯。 教学课时：一课时教学重难点:
创设情境: 2.4米时，梯子与地面所称的角a 等于多少（精 重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系。 难点：从条件出发，正确选用适当的边角关系解题。 教学过程： 问题1:如图所示，一棵大树在一次强大台风中折断倒下，树干折断处距 地面3米，且树干与地面的夹角是30° ,大树折断之前高多少米？ 问题2：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所 成的角Q —般要满足50° W a W 75。（如图）,现有一个长6米的梯 子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位） 确到1。）？这时人是否能够安全使用这个梯子 ? （2）当梯子底端距离墙
《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ； （2）由a b B =tan ，知 ； （3）由c a B = cos ，知860cos 4cos =?==B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ． 例 2 在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ ． ∴ ． 解法二 133330tan =?=?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中， 于D ，若 ，解三 角形ABC ．
分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是的边，所以应先从Rt入手． 解在Rt中，有： ∴ 在Rt中，有 说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如： （2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值： 所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具． 例4在中，，求． 分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差； （2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．
解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有，且有 ； 在中，，且 ， ∴； 于是，有， 则有 说明还可以这样求：
解直角三角形的应用教案
解直角三角形的应用教案 ―－俯角仰角问题教学目标： 1、了解仰角、俯角的概念。 2、能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际 问题。 3、能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合的思想方 法。 教学重点： 解直角三角形在实际中的应用。 教学难点： 将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。 教学方法：三疑三探 教学过程： 一、复习引入新课 如图：在△ABC中，∠C=90°， ∠A、∠B、∠C的对边分别为 a,b,c. 则三边之间关系为； 锐角之间关系为；边角之间关系(以锐角A为例)为。 看来大家对基础知识掌握得还是比较牢固的。下面我们来看这样一个问题： 问题：小玲家对面新造 了一幢图书大厦，小玲心想： “站在地面上可以利用解直角 三角形测得图书大厦的高，站 在自家窗口能利用解直角三角 形测出大厦的高吗？他望着大厦顶端和大厦底部，可测出视线与水平线之间的夹角各一个，但这两个角如何命名呢？ ο 46A B C Cο 29 A
AE ＝DE ×tan a ＝BC ×tan a ＝22.7×tan 22° ≈9.17 AB ＝BE ＋AE ＝AE ＋CD ＝9.17＋1.20 ≈10.4（米） 答:旗杆的高度约为10.4米． 2、解：在ΔABC 中，∠ACB =90° ∵ ∠CAB =46° AC=32m tan ∠CAB= ∴BC=AC ·tan46° ≈33.1 在ΔADC 中，∠ACD=90° ∵ ∠CAD=29° AC=32m tan ∠CAD= ∴DC=AC ·tan29° ≈17.7 ∴BD=BC+CD=33.1+17.7=50.8≈51 答：大厦高BD 约为51m. 二、 质疑再探 在本节课的探究和学习过程中你还有那些疑惑或问题？请大胆提出来，大家共同解决。 三、 运用拓展 １、 生自编题 ２、 师补充题 1、一架飞机以300角俯冲400米,则飞机的高度变化情况是( c ) C ο29D A BC AC DC AC ο46A B C
第18讲解直角三角形 知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例 1.锐角三角函数正弦: sin A＝ ∠A的对边 斜边 ＝ a c 余弦: cos A＝ ∠A的邻边 斜边 ＝ b c 正切: tan A＝ ∠A的对边 ∠A的邻边 ＝ a b. 根据定义求三角函数值时，一定根据 题目图形来理解，严格按照三角函数 的定义求解，有时需要通过辅助线来 构造直角三角形. 2.特殊角 的三角函数值 度数 三角函数 30°45°60°sinA 1 2 2 2 3 2 cosA 3 2 2 2 1 2 tanA 3 3 1 3 知识点二：解直角三角形 3.解直角 三角形 的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个 锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的 过程叫做解直角三角形． 科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便； 已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便； 已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少； 已知直边求斜边，用除还需正余弦. 例：在Rt△ABC中，已知 a=5,sinA=30°，则c=10,b=5. 4.解直角 三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2； (2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； (3)边角之间的关系：sin A＝=cosB= a c，cos A＝sinB= b c，tan A＝ a b. 知识点三：解直角三角形的应用 5.仰角、俯 角、坡 度、坡角 和方向 角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方 的角叫做俯角．（如图①） (2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡 比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角， 用α表示，则有i＝tanα. （如图②） (3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和 一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅 垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③） 解直角三角形中“双直角三角形”的 基本模型： （1）叠合式（2）背靠式 解题方法：这两种模型种都有一条公 共的直角边，解题时，往往通过这条 边为中介在两个三角形中依次求边， 或通过公共边相等，列方程求解.
教学目标1.使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念， 2.让学生深刻认识圆中的基本概念。 教学重点圆中的基本概念的认识。 教学难点对等弧概念的理解。 教学过程 （一）情境导入：圆是如何形成的？ 请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。如右图，线段OA 绕着它 固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形。同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法。由以上的画圆和解答问题的过程中，让同学们思考圆的位置是由什么决定的？而大小又是由谁决定的？（圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定） （二）问题：据统计，某个学校的同学上学方式是，有50% 的同学步行上学，有20% 的同学坐公共汽车 上学，其他方式上学的同学有30% ，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。如图28.1.2线, 段OA、OB、OC 都是圆的半径，线段AB 为直径，.这个以点O 为圆
心的圆 叫作“圆O”，记为“⊙ O” 线段AB、BC、AC 都是圆O 中的弦，曲线BC、BAC 都是圆中的弧，分别记为BC、BAC， 其中像弧B︵C这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像弧BAC.这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。 ∠AOB、∠AOC、∠BOC 就是圆心角。结合上面的扇形统计图，进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素。 三、课堂练习 1、直径是弦吗？弦是直径吗？ 2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？ 3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？ 4、比较右图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规验证你的结论是否正确。 5、说出上右图中的圆心角、优弧、劣弧。
教学内容------解直角三角形 ★知识要点 1、解直角三角形的依据 在直角三角形ABC 中，如果∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，那么 （1）三边之间的关系为 （勾股定理） （2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系为： 2、其他有关公式 直角三角形面积公式： （hc 为c 边上的高） 3、解直角三角形的条件 在除直角C 外的五个元素中，只要已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余三个元素。 4、直角三角形的关键是正确选择关系式 在直角三角形中，锐角三角函数是勾通三角形边角关系的结合部，只要题目中已知加未知的三个元素中有边，有角，则一定使用锐角三角函数，应如何从三角函数的八个公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？ （1）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某三角函数 （2）若求角：一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某三角函数。 （3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差”。 5、直角三角形时需要注意的几个问题 （1）在解直角三角形时，是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合为一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行计算，这样可以帮助思考，防止出错。 （2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决。 （3）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算 ★新课学习 引入新课：如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处.问大树在折断之前高多少米? 显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长度为222410 ＝26 ， 26＋10＝36所以， 大树在折断之前的高为36米.
九年级下解直角三角形 专项练习 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第1章 解直角三角形 专项练习 一、 填空题： 1. （广东03/6）若∠A 是锐角，cosA ＝ 2 3 ，则∠A ＝ 。 2. （陕西03/12）在△ABC 中，∠C ＝90°，若tanA ＝2 1 ，则sinA ＝ ； 3. 求值：1sin 604522 ?? ?+2sin30°－tan60°＋cot45=__________。 4. （宁夏03/19）在倾斜角为30°的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平 距离为3米，那么，相邻两棵树间的斜坡距离为 米。 5. （上海闵行区 03/14）已知等腰三角形的周长为20， 某一内角的余弦值为32，那么该等腰三角形的腰长等 于 。 6. （黑龙江03/10）如图：某同学用一个有60°角的直角三角板估测学校旗杆AB 的高度，他将60°角的直 角边水平放在米高的支架CD 上，三角板的斜边与旗杆 的顶点在同一直线上，他又量得D 、B 的距离为5米，则旗杆AB 的高度约为 米。（精确到1米，3取） 7. （四川03/3）如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，且BE ＝2AE ，已知AD ＝33，tan ∠BCE ＝ 3 3，那么CE ＝ 。 8. （上海03/13）正方形ABCD 的边长为1。如果将线段 BD 绕着点B 旋转后，点D 落在BC 延长线上的点D '处，那么tan ∠BA D '＝ 。 二、选择题 1. （四川03/8）在△ABC 中，已知AC ＝3、BC ＝4、AB ＝5，那么下列结论成立的是（ ） A 、SinA ＝45 B 、cosA ＝53 C 、tanA ＝43 D 、cotA ＝5 4 2. （黄冈03/9）在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则6cosB 等于 （ ） （A ）3 （B ）2 （C ）33 E D C B A 四川03/3 D A B C α
22．1. 二次根式（1） 教学内容: 二次根式的概念及其运用 教学目标:1、理解二次根式的概念, （a ≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题, 根据问题给出概念, 应用概念解决实际问题． 教学重难点关键:1．重点:（a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键:（a ≥0）”解决具体问题． 教学过程:一、回顾 当a 是正数时, a 表示a 的算术平方根, 即正数a 的正的平方根． 当a 是零时, a 等于0, 它表示零的平方根, 也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时, a 没有意义． 二、概括: a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根, 也就是说, a （a ≥0）是一个非负数, 它的平方 等于a ．即有: （1） a ≥0（a ≥0）； （2）2 )(a =a （a ≥0）． 形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式． 注意:在二次根式 a 中, 字母a 必须满足a ≥0, 即被开方数必须是非负数． 三、例题讲解 例题: x 是怎样的实数时, 二次根式 1-x 有意义？ 分析 要使二次根式有意义, 必须且只须被开方数是非负数． 解: 被开方数x-1≥0, 即x ≥1． 所以, 当x ≥1时, 二次根式 1-x 有意义． 思考: 2 a 等于什么？ 我们不妨取a 的一些值, 如2, -2, 3, -3, ……分别计算对应的a2的值, 看看有什么规律: 概括: 当a ≥0时, a a =2； 当a ＜0时, a a -=2． 这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方, 运用这个性质, 可以将它“开方”出来, 从而达到化简的目的．例如: 2 2)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==． 四、练习: x 取什么实数时, 下列各式有意义. （1） x 43-； （2） 23-x ； （3）2 ) 3(-x ； （4） x x 3443-+- 五、 拓展