§2.1 映射、函数及反函数
基础自测
与函数f (x )=|x |是相同函数的是 （ ）
A .y =2x
B .y =x x 2
C .y =e ln x
D .y =log 22x
答案A
2.设M ={x |0≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从
集合M 到集合N 的函数关系的有 （ ）
A .0个
B .1个
C .2个
D .3个
答案C
3.若对应关系f :A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射，则下面说法错误的是 （ ）
A .A 中的每一个元素在集合
B 中都有对应元素
B .A 中两个元素在B 中的对应元素必定不同
C .B 中两个元素若在A 中有对应元素，则它们必定不同
D .B 中的元素在A 中可能没有对应元素
答案B
4.如图所示，①②③三个图象各表示两个变量x ,y 的对应关系，则有 （ ）
A .都表示映射，且①③表示y 为x 的函数
B .都表示y 是x 的函数
C .仅②③表示y 是x 的函数
D .都不能表示y 是x 的函数
答案C
5.已知f （x
1）=x 2+5x ,则f (x )= . 答案 2
51x x (x ≠0)
例1 给出下列两个条件：（1）f (x +1)=x +2x ;
(2)f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试分别求出f (x )的解析式.
解（1）令t =x +1,∴t ≥1，x =（t -1）2.
则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［1，+∞).
（2）设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),
∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ,则f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x
+2.
∴???=+=22444b a a ，∴???-==1
1b a ，又f (0)=3?c =3,∴f (x )=x 2-x
+3.
例2 已知函数f (x )=???????<-=>.0,1,0,
1,0,2x x x x x （1）画出函数的图象；
（2）求f (1)，f (-1),f [])1(-f 的值.
解 （1）分别作出f (x )在x ＞0,x =0,x ＜0段上的图象，如图所示，作法略.
（2）f (1)=12=1,f (-1)=-,11
1=-f [])1(-f =f (1)=1. 例3（12分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x , 同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.
（1）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例
x
（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例
x 解 （1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为1+x (万元)，而出厂价为1.2×(1+0.75x ) (万元)，
销售量为1 000×(1+0.6x )(辆).
故利润y =［1.2×(1+0.75x )-(1+x )］×1 000×(1+0.6x ),
4
整理得
幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 （1）y x = （2）12 y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出： 3．幂函数性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义 对数函数的定义：一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 幂函数的定义：一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. ②性质 对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R ；
过点（1，0），即当x =1，y =0； 在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数 幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 图象都过点（1，1）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点， 在[0，+∞]上，y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数， 在（0，+∞）上， 1y x -=是减函数。 【例题选讲】 例1．已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =- （4）2 5 m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲 线。 简解：2 20230 m m m m ?+>??-->??解得：()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2．比较大小： （1）1122 ,1.7 （2）33 ( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.5 30.5,3,log 0.5 例3．已知幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值． 解：∵幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2 230m m --≤，∴13m -≤≤； ∵m Z ∈，∴2 (23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2 23m m --是奇数，∴0m =或2m =． 例4、设函数f （x ）＝x 3， （1）求它的反函数； （2）分别求出f － 1（x ）＝f （x ），f － 1（x ）＞f （x ），f － 1（x ）＜f （x ）的实数x 的范围． 解析：（1）由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f － 1（x ）＝x 3 1 ． （2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1 （x ）＝x 3 1 的图象都经过点（0，0）和（1，1）．
反函数 一、基本知识 1、 反函数的概念：设函数y=f(x)的定义域为A ，值域为C ，由y=f(x)求出()y x ?=，若 对于C 中的每一个值y ，在A 中都有唯一的一个值和它对应，那么()y x ?=叫以y 为自变量的函数，这个函数()y x ?=叫函数y=f(x)的反函数，记作()y f x 1-=，通常情况下，一般用x 表示自变量，所以记作()x f y 1-=。 注：在理解反函数的概念时应注意下列问题。 （1）只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数； （2）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域； 2、求反函数的步骤 （1）解关于x 的方程y=f(x)，达到以y 表示x 的目的； （2）把第一步得到的式子中的x 换成y ，y 换成x ； （3）求出并说明反函数的定义域（即函数y=f(x)的值域）。 3、关于反函数的性质 （1）y=f(x)和y=f -1(x)的图象关于直线y=x 对称； （2）y=f(x)和y=f -1(x)具有相同的单调性； （3）y=f(x)和x=f -1(y)互为反函数，但对同一坐标系下它们的图象相同； （4）已知y=f(x)，求f -1(a)，可利用f(x)=a ，从中求出x ，即是f -1(a)； （5）f -1[f(x)]=x; （6）若点P(a,b)在y=f(x)的图象上，又在y=f -1(x)的图象上，则P(b,a)在y=f(x)的图 象上； （7）证明y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，只需证得y=f(x)反函数和y=f(x)相同； 二、例题选讲 例1：（考例1）求下列函数的反函数 ()()11 321-<-+=x x x y ()22--=x y ()()() ???<-≥-=0120132x x x x y 练习：（变式一）求下列函数的反函数 ()[]()2,11212∈-+=x x x y ()( )()10log 212<≤=-x y x 例2、（考例2）已知函数y=f(x)的反函数为y=f -1(x)，求函数y=f(2x-1)+1的反函数。 练习：1、（变式二）已知函数y=f(x)的反函数为y=f -1(x)，求函数?? ? ??=x f y 1的反函数。
高中数学必修基本初等 函数常考题型幂函数 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
幂函数 【知识梳理】 1．幂函数的概念 一般地，函数y ＝x 叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数．2．常见幂函数的图象与性质 解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝1 x y＝ 1 2 x 图象 定义域R R R{x|x≠0}[0，＋∞)值域R[0，＋∞)R{y|y≠0}[0，＋∞) 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函 数 单调性在(－∞， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， 0]上单调递 减，在(0， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， 0)上单调递 减，在(0， ＋∞)上单 调递减 在[0，＋ ∞)上单调 递增 定点(1,1) (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．
特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【常考题型】 题型一、幂函数的概念 【例1】 (1)下列函数：①y＝x 3 ；②y＝12x ?? ? ?? ；③y＝4x 2；④y＝x 5 ＋1；⑤y＝(x －1)2；⑥y＝x ；⑦y＝a x (a>1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝()2 2231m m m m x ----，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y＝()2 2231m m m m x ----为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}． 【类题通法】 判断一个函数是否为幂函数的方法
一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x）。则y=f（x）的反函数为y=f （x）^-1。 存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的) 【反函数的性质】 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称； （2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。关于y 轴对称的函数一定没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数； (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 （8）反函数是相互的 （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定） 例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函数是y=log2 x 例题：求函数3x-2的反函数 解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2) [编辑本段]⒈反函数的定义一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= f(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f^-1(y). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 说明：⑴在函数x=f^-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式. ⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x)，那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数. ⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域（如下表）： 函数y=f(x) 反函数y=f^-1(x) 定义域A C 值域C A ⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为： 若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
人教版高中数学必修一 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 指数函数、对数函数、幂函数综合 【学习目标】 1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算． 2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质． 4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理． 5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质． 6．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a≠1）． 【知识框图】 【要点梳理】 要点一：指数及指数幂的运算 1．根式的概念 a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈ 当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n n 为偶数时，正数 的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0． n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 2．n 次方根的性质： （1）当n a =；当n ,0, ,0;a a a a a ≥?==? -
)0,,,1m n a a m n N n =>∈>；()10,,,1m n m n a a m n N n a - = >∈> 要点诠释： 0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义． 4．有理数指数幂的运算性质： ()0,0,,a b r s Q >>∈ （1）r s r s a a a += （2）()r s rs a a = （3）()r r r ab a b = 要点二：指数函数及其性质 1．指数函数概念 一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2
高考数学 反函数 时间：45分钟 分值：100分 一、选择题(每小题5分，共30分) 1．设函数f (x )＝log 2x ＋3，x ∈＝__________. 解析：依题意得g (－1)＝－1＋2＝1，g ＝g (1)＝f －1(1)．设f －1(1)＝t ，则有f (t )＝1，即e 2(t －1)＝1，t ＝1，所以g ＝1. 答案：1 9．已知函数f (x )＝a －x x －a －1 的反函数f －1(x )的图象的对称中心是(－1,3)，则实数a 的值为__________． 解析：因为f －1(x )的图象的对称中心是(－1,3)，所以f (x )的图象的对称中心为(3，－1)．又由f (x )＝a －x ＋1－1x －a －1＝－1－1x －a －1 ，则f (x )的图象可由g (x )＝－1x 的图象中心(0,0)平移到(3，－1)得到，所以a ＋1＝3，即a ＝2. 答案：2 10．(2009·重庆二次调研)若函数f (x )＝log 2(4x －2)，则方程f － 1(x )＝x 的解是__________． 解析：由f －1(x )＝x ，得x ＝f (x )，∴x ＝log 2(4x －2)，即2x ＝4x －2，∴2x ＝2.∴x ＝1. 答案：x ＝1 三、解答题(共50分) 11．(15分)求y ＝lg(x －x 2－4)的反函数． 解：由x －x 2－4>0，得x >x 2－4， ∴????? x >0，x 2－4≥0， x 2>x 2－4. ∴x ≥2. ∴lg(x －x 2－4)＝lg 4 x ＋x 2－4 ≤lg 42＝lg2. 由y ＝lg(x － x 2－4)．得 x －x 2－4＝10y ， x 2－4＝x －10y . ∴x 2－4＝x 2－2·10y x ＋102y . ∴x ＝12 (4·10－y ＋10y )． 故f －1(x )＝12 (10x ＋4·10－x )，x ∈(－∞，lg2]． 12．(15分)设函数f (x )＝2x －1有反函数f －1(x )，g (x )＝log 4(3x ＋1)， (1)若f －1(x )≤g (x )，求x 的取值范围D ； (2)设H (x )＝g (x )－12 f －1(x )，当x ∈D 时，求函数H (x )的值域及它的反函数H －1(x )． 解：(1)∵f (x )＝2x －1的定义域是R ，值域是(－1，＋∞)．由y ＝2x －1解得x ＝lo g 2(y ＋ 1)(y >－1)，
2.3 幂函数 整体设计 教学分析 幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究 y ＝x,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x -1 ,y ＝x 2 1 等函数的性质和图象,让学生认识到 幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数α＞0时,幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习. 将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x 2,y=x -1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径. 学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析. 三维目标 1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣. 2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望. 3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力. 重点难点 教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质. 教学难点:根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1 1.如果张红购买了每千克1元的水果w 千克,那么她需要付的钱数p （元）和购买的水果量w （千克）之间有何关系？根据函数的定义可知,这里p 是w 的函数. 2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a 2,这里S 是a 的函数. 3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a 3,这里V 是a 的函数.
初中数学中考复习题-----反函数
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
反比例函数 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关 系可以表示成 (k 为常数，k ≠0）的形式（或 y=kx -1 ， k ≠0），那么称y 是x 的反比例函数． 【名师提醒： 1、在反比例函数关系式中：k ≠0、x ≠0、y ≠0 2、反比例函数的另一种表达式为y= （k 是常数，k ≠0） 3、反比例函数解析式可写成xy= k （k ≠0）它表明反比例函数中自变量x 与其对应函数值y 之积，总等于 】 2．反比例函数的概念需注意以下几点： (1) k 为常数，k ≠0； （2）k x 中分母x 的指数为1；例如y= x k 就不是反比例 函数； (3)自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数； （4）因变量y 的取值范围是y ≠0的一切实数． 3．反比例函数的图象和性质． (1)、反比例函数 y=k x （k ≠0）的图象是 ____它 有两个分支，关于 对称 (2)、反比例函数y=k x （k ≠0） 当k>0时它的图象位于 ,___象限，在每一个象限内曲线从左到右下降，y 随x 的增大而 当k<0时，它的图象位于____,___象限，在每一个象限内，曲线从左到右上升，y 随x 的增大而 。 【名师提醒： 1、在反比例函数y=k x 中，因为x ≠0，y ≠0所以双曲线 与坐标轴无限接近，但永不与x 轴y 轴 2、在反比例函数y 随x 的变化情况中一定注明在每一个象限内】 4、反比例函数中比例系数k 的几何意义： 反曲线y=k x （k ≠0）上任意一点P 向两坐标轴作垂线交 于A,B 两线PA,PB 与坐标轴围成的图形面 积 ，即如图： AOBP= S △AOP= 【名师提醒：k 的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k 联系起来理解和应用】 5．画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法；画反比例函数的图象要注意自变量的取值范围是x ≠0，因此，不能把两个分支连接起来； （2）由于在反比例函数中，x 和y 的值都不能为0，所以，画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势． 6. 反比例函数y=k x (k≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y= k x (k≠0)上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为│k│。 7. 用待定系数法求反比例函数解析式时，可设解析式为 因为反比例函数y=k x （k ≠0）中只有一个被定系 数 所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x 、y 值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法 一、 反比例函数的应用 二、 解反比例函数的实际问题时，先确定函数 解析式，再利用同象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的 （二）：【课前练习】 1.下列函数中，是反比例函数的为（ ） A . 2 2y x =；B . 12y x =- ；C . 2x y =；D . 13 y x =+
4.5反函数的概念 一、教学内容分析 “反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联 系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用. 二、教学目标设计 （1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数； （2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系； （3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、 独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索 中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情. 三、教学重点与难点： 反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定. 四、教学流程设计 五、教学过程设计 1、设置情境，引出概念 引例：在两种温度度量制摄氏度(C )和华氏度（F ）相互转化时会发现，有时两人选用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？
教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号 )(1x f y ；了解)(1x f 表示反函数的符号，1 f 表示对应法则. 2、 探索研究，深化概念 ①探求反函数成立的条件. 例1（1）2x y （R x ）的反函数是 （2）2x y （0 x ）的反函数是 （3）2 x y （0 x ）的反函数是 学生活动：讨论函数反函数成立的条件（理论根据为函数的定 义）：对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定 的x 值与它对应，即x 与y 必须一一对应. ②探求求反函数的方法.（课本例题） 例2．求下列函数的反函数： （1）24 x y （2）13 x y （3）)0(12 x x y （4）)2 1,(2413 x R x x x y [说明]：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影. 学生活动：探求求反函数的方法. （1） 变形:解方程，)(x f y 得)(1y f x ； （2） 互换:互换y x ,的位置，得)(1 x f y ； （3）写出定义域:注明反函数的定义域. ③观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.
§2.3幂函数 教学目标： 知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性． 教学重点： 重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质． 难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律． 教学程序与环节设计： 问题引入． 幂函数的图象和性质．
教学过程与操作设计： 环节教学内容设计师生双边互动 创设情境 阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列 问题： 1．它们的对应法则分别是什么？ 2．以上问题中的函数有什么共同特征？ （答案） 1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4） 开方；（5）取倒数（或求－1次方）． 2．上述问题中涉及到的函数，都是形如αx y= 的函数，其中x是自变量，是α常数． 生：独立思考完成引 例． 师：引导学生分析归纳 概括得出结论． 师生：共同辨析这种新 函数与指数函数的异 同． 组织探究 材料一：幂函数定义及其图象． 一般地，形如 α x y=) (R a∈ 的函数称为幂函数，其中α为常数． 下面我们举例学习这类函数的一些性质． 作出下列函数的图象： （1）x y=；（2）2 1 x y=；（3）2x y=； （4）1- =x y；（5）3x y=． [解] ○1列表（略） ○2图象 师：说明： 幂函数的定义来 自于实践，它同指数函 数、对数函数一样，也 是基本初等函数，同样 也是一种“形式定义” 的函数，引导学生注意 辨析． 生：利用所学知识和方 法尝试作出五个具体 幂函数的图象，观察所 图象，体会幂函数的变 化规律． 师：引导学生应用画函 数的性质画图象，如： 定义域、奇偶性． 师生共同分析，强调画 图象易犯的错误． 环节教学内容设计师生双边互动
2019-2020年高一数学反函数一新课标人教版教学目标 1.使学生了解反函数的概念； 2.使学生会求一些简单函数的反函数； 3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。 教学重点 1.反函数的概念； 2.反函数的求法。 教学难点 反函数的概念。 教学方法 师生共同讨论 教具装备 幻灯片2张 第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。（记作A）； 第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。 教学过程 （I）讲授新课 （检查预习情况）
师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1 反函数的概念。 同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？ 生：（略） （学生回答之后，打出幻灯片A）。 师：反函数的定义着重强调两点： （1）根据y= f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x= φ（y）； （2）对于y在c中的任一个值，通过x= φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。 师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。 师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？ 生：一一映射确定的函数才有反函数。 （学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。 师：在y= f(x)中与y= f -1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y 是自变量，x是函数值。） 在y= f(x)中与y= f –1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。）由此，请同学们谈一下，函数y= f(x)与它的反函数y= f –1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？
高中一年级数学反函数教学设计 一、教材分析： 1、教材的地位与作用 “反函数”一节课是《高中代数》第一册的重要内容。这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为日后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用。 2、重点与难点：反函数的定义和求法 二、教学目标分析： (1)知识与技能：使学生接受、理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；使学生能够求出指定函数的反函数，并能理解原函数和反函数之间的内在联系； (2)能力与方法：培养学生发现问题、观察问题、解决问题的能力； (3)情感与态度：使学生树立对立统一的辩证思维观点。 三、学情分析： 学生已经学习了函数的基本概念和表示法，掌握了函数的基本知识，理解反函数的概念及互为反函数的两个函数的性质和特征，更有助于学生将函数的思想理解得更透彻。 四、教学过程设计 1、创设问题情境： 导入阶段的教学中，抓住反函数也是函数这一实质，以对函数概念的复习来引出反函数。指明函数是一种映射的实质，分析原函数中映射的具体情况，进而引导学生考虑，若将定义域、值域互换，此时映射还是不是一个函数呢？ 首先提问学生函数基本概念，使学生明白函数是一种单值对应，即映射。再出示电脑动画，以函数y=2x来具体分析，结合图象引导学生注意：在定义域内所有自变量，都能在值域内找到唯一确定的一个函数值，即存在x→y的单值对应，例如：１→２，２→４，３→６，……若将定义域与值域互换，则对应变为２→１，４→２，６→３，…这种对应是否构成单值对应，即映射呢？这种对应是否构成函数呢？至此，引出反函数的概念，为概念的新授做好准备。 设计意图：这样的引入方式，抓住了反函数概念的实质，确保学生不会产生概念上的偏差。此外，可以使学生明白新知识来源于旧知识，促使学生主动运用函数的研究方法去学习反函数，为顺利完成教学任务做好思维上的准备。 2、知识建构： 给出概念后，必须防止学生对于反函数f-1(y)形式的误解（以为是1/f(x)）。此外，还
人教版高中数学必修一第二章基本初等函数知识点总结 第二章 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念： 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0=0。 注意：(1)n a = (2)当 n a = ，当 n ,0 ||,0a a a a a ≥?==?-∈>且 正数的正分数指数幂的意义：_1(0,,,1)m n m n a a m n N n a *= >∈>且 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）(0,,)r s r s a a a a r s R +=>∈ （2）()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ （3）(b)(0,0,)r r r a a b a b r R =>>∈ 注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如122 [(1]11≠ （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数x y a = 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a ≠1 2
注意： 指数增长模型：y=N(1+p)指数型函数： y=ka 3 考点：（1）a b =N, 当b>0时，a,N 在1的同侧；当b<0时，a,N 在1的 异侧。 （2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比 较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a 0)进行传递或者利用（1）的知识。 （3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。 （4）分辨不同底的指数函数图象利用a 1=a ，用x=1去截图象得到对应的底数。 (5)指数型函数：y=N(1+p)x 简写：y=ka x 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果x a N = ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作： log a x N = （ a — 底数， N — 真数，log a N — 对数式） 说明：1. 注意底数的限制，a>0且a ≠1；2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式． 2、两个重要对数： （1）常用对数：以10为底的对数, 10log lg N N 记为 ； （2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , log ln e N N 记为． 3、对数式与指数式的互化 对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂 结论：（1）负数和零没有对数 （2）log a a=1, log a 1=0 特别地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 (3) 对数恒等式：log N a a N = （二）对数的运算性质 如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 有： 1、 log M N log log a a a M N ?=+（） 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 2 、N M N M a a a log log log -= 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差
【文库独家】 反函数的定义 设函数y=f(x)的定义域是A，值域是C．我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，习惯表示为y=f-1(x)．注意：函数y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域， 例如：f(x)=的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数 f-1(x)=x2-1, x≥0，定义域为 [0，+∞），值域是[-1，+∞)。 2．反函数存在的条件 按照函数定义，y=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素y，如果值域中的每一个元素y也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数．例如：函数y=x2,x∈R，定义域中的元素±1，都对应着值域中的同一个元素1，所以，没有反函数．而y=x2, x≥1表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数． 3．函数与反函数图象间的关系 函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称．若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上． 4．反函数的几个简单命题 （1）一个奇函数y=f(x)如果存在反函数，那么它的反函数y=f-1(x)一定是奇函数． （2）一个函数在某一区间是（减）函数，并且存在反函数，那么它的反函数在相应区间也是增（减）函数．
20XX年高中测试 高 中 试 题 试 卷 科目： 年级： 考点： 监考老师： 日期：
7、反函数 一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．设函数f (x)＝1－2x 1-(－1≤x ≤0)，则函数y ＝f －1(x )的图象是（ B. － －1 O x 2．函数y =1－1-x (x ≥1)的反函数是 （ ） A ．y =(x －1)2＋1，x ∈R B ．y =(x －1)2－1，x ∈R C ．y =(x －1)2＋1，x ≤1 D ．y =(x －1)2－1，x ≤1 3．若f (x －1)= x 2－2x ＋3 (x ≤1)，则f － 1(4)等于 （ ） A ．2 B ．1－2 C ．－2 D ．2－2 4．与函数y=f (x)的反函数图象关于原点对称的图象所对应的函数是 （ ） A ．y=－f (x ) B ．y= f -1(x ) C ．y =－f -1(x ) D ．y =－f -1(－x ) 5．设函数()[]() 242,4f x x x =-∈，则()1f x -的定义域为 （ ） A ．[)4,-+∞ B ．[)0,+∞ C ．[]0,4 D ．[]0,12 6．若函数()y f x =的反函数是()y g x =，(),0f a b ab =≠，则()g b 等于 （ ） A ．a B ．1 a - C ． b D ．1 b - 7．已知函数()1 3 ax f x x += -的反函数就是()f x 本身，则a 的值为 （ ） A ．3- B ．1 C ．3 D ．1- 8．若函数()f x 存在反函数，则方程()()f x c c =为常数 （ ） A ．有且只有一个实数根 B ．至少有一个实数根 C ．至多有一个实数根 D ．没有实数根 9．函数f (x )=－ 2 2 ·12-x (x ≤－1)的反函数的定义域为 （ ） A ．(－∞，0］ B ．(－∞，＋∞) C ．(－1，1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 10．若函数f (x )的图象经过点(0，－1)，则函数f (x ＋4)的反函数的图象必经过点 （ ） A ．(－1，4) B ．(－4，－1) C ．(－1，－4) D ．(1，－4)
高中数学常见函数研究 讲义 一、一次函数和常函数： （一） 、一次函数 （二）、常函数 定义域：（- ∞，+ ∞） 定义域: （- ∞，+ ∞） 值 域：（- ∞，+ ∞） 正 k=0 反 值 域：{ b } 解析式：y = kx + b ( k ≠ 0 ) 解析式：y = b ( b 为常数) 图 像：一条与x 轴、y 轴相交的直线 图 像：一条与x 轴平行或重合的直线 b>0 b=0 b<0 K > 0 k < 0 单调性： k > 0 ,在（- ∞，+ ∞）↑ 单调性：在（- ∞，+ ∞）上不单调 k < 0 ,在（- ∞，+ ∞）↓ 奇偶性：奇函数?=0b 奇偶性: 偶函数 非奇非偶?≠0b 周期性: 非周期函数 周期性：周期函数，周期为任意非零实数 反函数：在（- ∞，+ ∞）上有反函数 反函数:在（- ∞，+ ∞）上没有反函数 反函数仍是一次函数 例题：
二、二次函数 1、定义域：（- ∞，+ ∞） 2、值 域： ),44[,02 +∞-∈>a b a c y a ]44,(,02 a b a c y a --∞∈< 3、解析式：)0(2≠++=a c bx ax y 4、图 像:一条开口向上或向下的抛物线 开口向下，开口向上；正负：增大，开口缩小 绝对值：随着,00<>a a a a 正半轴相交与负半轴相交与y c y c c ,0,0>< 对称轴：a b x 2-=对称轴： ；) 44,2(2a b a c a b --顶点： 轴交点个数图像与x a c b →-=?42：与x 轴交点的个数。 两个交点,0>?一个交点,0=?无交点,0),2[]2,(,0a b a b a ↓+∞-↑--∞<),2[]2,(,0a b a b a 6、奇偶性：偶函数?=0b 7、周期性：非周期函数 8、反函数：在（- ∞，+ ∞）上无反函数， 上及其子集上有反函数或在),2[]2,(+∞---∞a b a b 例题:
课 题：2.4.1 反函数（一） 教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数 教学重点：反函数的定义和求法 教学难点：反函数的定义和求法 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教材分析： 反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分 反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识 本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开 由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握 教学过程： 一、复习引入： 我们知道，物体作匀速直线运动的位移s 是时间t 的函数，即s=vt,其中速度v 是常量,定义域t ≥0,值域s ≥0；反过来，也可以由位移s 和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即v s t = ，这时，位移s 是自变量，时间t 是位移s 的函数,定义域s ≥0,值域t ≥0. 又如，在函数62+=x y 中，x 是自变量，y 是x 的函数，定义域x ∈R ，值域y ∈R. 我们从函数62+=x y 中解出x ，就可以得到式子32 -=y x . 这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子32 -= y x ，x 在R 中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈R ，值域是x ∈R. 综合上述，我们由函数s=vt 得出了函数v s t = ；由函数62+=x y 得出
（二十）反函数 一、选择题： 1．若函数)1(1)(2-≤-=x x x f ，则)4(1-f 的值为（ ） A 、5 B 、5- C 、15 D 、3 2．函数y =1－1-x (x ≥1)的反函数是 （ ） A ．y =(x －1)2＋1，x ∈R B ．y =(x －1)2 －1，x ∈R C ．y =(x －1)2＋1，x ≤1 D ．y =(x －1)2－1，x ≤1 3．设函数()[]() 242,4f x x x =-∈，则()1f x -的定义域为（ ） A ．[)4,-+∞ B ．[)0,+∞ C ．[]0,4 D ．[]0,12 4．若函数()y f x =的反函数是()y g x =，(),0f a b ab =≠，则()g b 等于（ ） A ．a B ．1a - C ．b D ．1b - 5．已知函数()13 ax f x x +=-的反函数就是()f x 本身，则a 的值为 （ ） A ．3- B ．1 C ．3 D ．1- 二、填空题： 6．若点(1,2)既在函数b ax x f += )(的图象上，又在函数f(x)的反函数)(1x f -的图象上，则_____,_____a b == 7. 若函数f (x )的图象经过点(0，－1)，则函数f (x ＋4)的反函数的图象必经过点__________。 8．已知函数y ＝f (x )的反函数为f －1(x )＝x －1(x ≥0)，那么函数f (x )的定义域为__ 。 9．设13,2x y x -=≥，则求反函数1()f x -=__ ______。 10．已知f (x )＝f －1(x )＝ x m x ++12(x ≠－m )，则实数m = 。 11. 点(2，1)既在函数f (x )=a b x a +1的图象上，又在它的反函数的图象上，则适合条件的数组(a ，b )有__________组。 12. 已知函数2(1)2(0)f x x x x +=+>，1(1)f x -+=____________。