基础精讲班
孟程程
数量关系
目录
课堂导语 (2)
数学运算 (1)
代入排除法 (1)
方程思想 (4)
数字特性思想(一) (8)
数字特性思想(二) (12)
赋值思想 (16)
基础计算 (19)
数列与平均数 (23)
工程问题 (25)
行程问题(一) (29)
行程问题(二) (32)
经济利润问题 (35)
容斥原理 (39)
排列组合与概率 (42)
最值问题(一) (45)
最值问题(二) (49)
几何问题(一) (52)
几何问题(二) (56)
课堂导语
【授课内容】
数学运算部分，具体包括解题代入排除思想、数字特性思想与赋值思想等解题逻辑，还有工程问题、行程问题、牛吃草问题、钟表问题、星期日期问题、经济利润问题、容斥问题、几何问题、排列组合问题、浓度问题、等差数列问题、端点类问题、阵列问题、过河问题、剪绳子问题、空瓶换酒问题、构造问题以及有理计算等重点考察的基本题型与其相应的快速解题公式与技巧。
【授课特色】
每个课件20分钟左右，涉及一个完整的知识点，内容形似多样、方法简单易懂、语言简洁明了；
每个课件包括考点命题特征、解题技巧，全方位了解考点相关内容。
【针对人群】
开接触数量关系的学员，可以全方位的了解考点内容，正确把握复习的方向；已有一定知识储备，但是做题速度较慢，正确率忽高忽低的学员，可以梳理最优化的解题思路和实用的解题技巧，能做到学以致用。
【培训目标】
构建数量关系考点体系，达到考试中能准确迅速的识别题型，并掌握正确的解题方法；根据常见试题特征，能够举一反三，缩短复习时间，达到真正意义上的事半功倍快。
数学运算
代入排除法
本节教学目标与学习目标：能用代入排除法解基本的数学运算问题。
课前自测
【自测题1】今年父亲年龄是儿子年龄的10倍，6年后父亲年龄是儿子年龄的4倍，则今年父亲、儿子的年龄分别是( )。
A.60岁，6岁
B.50岁，5岁
C.40岁，4岁
D.30岁，3岁
【答案】D
【解析】年龄问题，代入排除解题。过六年长6岁，对于D选项，现在父亲年龄是儿子年龄的10倍，6年后父亲年龄是36，儿子年龄是9岁，是4倍的关系，满足题意，D选项是正确选项。
【自测题】装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒装11个，小盒每盒装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？( )
A.3，7
B.4，6
C.5，4
D.6，3
【答案】A
【解析】简单方程问题，可用带入排除求解。11大+8小=89，我们把答案带入这个式子中，使式子成立的就是正确选项。A选项中的3，7就能满足题意，A选项是正确选项。
例题精讲
【例1】一个三位数的各位数字之和是16，其中十位数字比个位数字小3，如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大495，则原来的三位数是多少？( )
A.169
B.358
C.469
D.736
【例2】孙儿孙女的平均年龄是10岁，孙儿年龄的平方减去孙女年龄的平方所得的数值，正好是爷爷出生年份的后两位，爷爷生于上个世纪40年代。则孙儿孙女的年龄差是( )岁。
A.2
B.4
C.6
D.8
【例3】A、B两桶中共装有108公斤水。从A桶中取出1/4的水倒入B桶中，再从B桶中取出1/4的水倒入A桶，此时两桶中的水的重量刚好相等。问B桶中原来有多少公斤水？( )
A. 42
B. 48
C.50
D. 60
【例4】有一些信件，把它们平均分成三份后还剩2封，将其中两份平均三等分还多出2封，问这些信件至少有多少封？( )
A.20
B.26
C.23
D.29
【例5】小明的妈妈买来一些糖果分给小明和弟弟，妈妈先给小明1块，再把剩下糖的1/7给小明，然后给弟弟2块，又把剩下糖的1/7给弟弟，这样两个人的糖果一样多，妈妈共买来多少块糖？( )
A.34
B.43
C.36
D.63
参考答案
例1 例2 例3 例4 例5
B A D
C C
随堂练习
【练习1】将大米300袋、面粉210袋和食用盐163袋按户分给某受灾村庄的村民，每户分得的各种物资均为整数袋，余下的大米、面粉和食用盐的袋数之比是1∶3∶2，则该村有多少户村民？( )
A.7
B.9
C.13
D.23
【答案】D
【解析】余数问题，用代入排除分别用300、210、163除以选项，余数相比是1:3:2就是正确的答案。A、B、C三选项中的户数分别被这三个数除以后余数不满足是1:3:2的关系，不是正确选项。300、210、163除以23所得余数恰好就是1、3、2，满足题意，D选项就是正确选项。
【练习2】面值为1角、2角、5角纸币共100张，总面值为30元，其中2角总面值比1角的总面值多1.6元，问1角、2角、5角各多少张？( )
A.24，20，56
B.28，22，40
C.36，24，40
D.32，24，44
【答案】D
【解析】代入排除法，满足题意的就是正确选项。首先，B选项被排除，因为是90张；另外A/C选项的角数尾数分别是4、4，不是0，排除；D选项就是正确选项。
【练习3】有四个学生恰好一个比一个大一岁，他们的年龄相乘等于93024，问其中最大的年龄是多少岁？( )
A.16岁
B.18岁
C.19岁
D.20岁
【答案】C
【解析】复杂的计算问题，我们可以代入答案计算。只有C选项满足题意。
【练习4】甲、乙各有钱若干元，甲拿出1/3给乙后，乙再拿出总数的1/5给甲，这时他们各有160元，问甲、乙原来各有多少钱？( )
A.120元、200元
B.150元、170元
C.180元、140元
D.210元、110元
【答案】C
【解析】逐一代入选项，发现C选项满足题意。甲拿出1/3给乙后剩下120元，乙变成了200元，之后乙再拿出总数的1/5给甲，就是给甲40元，这时满足他们各有160元，C选项就是正确选项。
【练习5】一个两位数除以5余3，除以7余5，这个数最大是( )
A.33
B.37
C.68
D.72
【答案】C
【解析】从大的数字开始代入，72不满足题意，而68满足。
方程思想
本节教学目标与学习目标：学会用方程法解决的数学运算问题。
课前自测
【自测题1】某零件加工厂按照工人完成的合格零件和不合格零件数支付工资，工人每做出一个合格零件能得到工资10元，每做出一个不合格的零件将被扣除5元。已知某人一天共做了12个零件，得到工资90元，那么他在这一天做了多少个不合格零件？( )
A.2
B.3
C.4
D.6
【答案】A
【解析】简单的方程题，设不合格的零件为未知数，根据工资建立等式关系。解出不合格的零件是2个。
【自测题2】小王周末组织朋友自助游，费用均摊。结账时，如果每人付450元，则多出100元；如果小王的朋友每人付430元，小王自己要多付60元才刚好。这次活动人均费用是( )
A.437.5元
B.438.0元
C.432.5元
D.435.0元
【答案】A
【解析】可以设参加活动人数是未知数，利用费用建立等式关系，求出人数后再计算人均费用。
例题精讲
【例1】出租车队去机场接某会议的参会者，如果每车作3名参会者，则需另外安排一辆大巴车送走余下的50人；如每车坐4名参会者，则最后正好多出3辆空车。问该车队有多少辆出租车？
A. 50
B. 55
C.60
D. 62
【例2】(2009-国家-114)某公司甲、乙两个营业部共有50人，其中32人为男性。已知甲营业部的男女比例为5∶3，乙营业部的男女比例为2∶1，问甲营业部有多少名女职员？( )
A.18
B.16
C.12
D.9
【例3】小赵、小王、小李和小陈四人，其中每三个人的岁数之和为65，68，62，75。其中年龄最小的是多少岁？( )
A.15
B.16
C.17
D.18
【例4】(2012-国家-76)超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个
苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个？( )
A.3
B.4
C.7
D.13
【例5】三位专家为10幅作品投票，每位专家分别都投出了5票，并且每幅作品都有专家投票。如果三位专家都投票的作品列为A等，两位专家投票的列为B等，仅有一位专家投票的作品列为C等，则下列说法正确的是( )。
A. A等和B等共6幅
B. B等和C等共7幅
C. A等最多有5幅
D. A等比C等少5幅
参考答案
例1 例2 例3 例4 例5
D C A D D
随堂练习
【练习1】某村农民小周培育30亩新品种，每培育成功一亩获利800元，如果失败倒赔200元，年终小周共获利18000元，问他培育成功多少亩新品种？( )
A.25
B.24
C.23
D.22
【答案】B
【解析】直接设成功的是未知数，用获利建立等式关系，解出成功培育的是24亩。
【练习2】甲、乙、丙、丁四人共有48本书，若在他们原有基础上做如下变动：甲增加三本，乙减少3本，丙增加到原来的3倍，丁减少为原来的1/3，则四人的书一样多。则原有书本最多的人有( )本书。
A.18
B.24
C.27
D.36
【答案】C
【解析】可以设书一样多时是未知数，用四人的书的和是48建立等式关系，并且明确丁的书是最多的。
【练习3】某人银行账户今年底余额减去1500元后，正好比去年底余额减少了25%，去年底余额比前年余额的120%少2000元，则此人银行账户今年底余额一定比前年底余额：( )
A.多1000元
B.少1000元
C.多10%
D.少10%
【答案】D
【解析】根据题目中提供的等式关系，替换去年，直接建立今年和前年之间的关系就可以得出它们之间的关系。
【例4】甲、乙、丙、丁四人，其中每三个人的岁数之和分别是55、58、62、65。这四个人中年龄最小的是( )。
A.7岁
B.10岁
C.15岁
D.18岁
【答案】C
【解析】杂题解方程。设甲、乙、丙、丁四人岁数依次增大，则：甲+乙+丙=55，甲+丙+丁=58，甲+乙+丁=62，乙+丙+丁=65，三式相加有：甲+乙+丙+丁
=(55+58+62+65)/4=80，解得：甲=15，答案为C。
【练习5】某公司的6名员工一起去用餐，他们各自购买了三种不同食品中的一种，且每人只购买了一份。已知盖饭15元一份，水饺7元一份，面条9元一份，他们一共花费了60元。问他们中最多有几人买了水饺？( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】C
【解析】不定方程问题，利用数字特性解题，水饺是3的倍数，只有C选项满足。
数字特性思想(一)
本节教学目标与学习目标：能用数字特性思想解决和简化数学运算问题。 奇偶运算基本法
【基础】奇数±奇数= ；偶数±偶数= ；偶数±奇数= 。
奇数×奇数= ；偶数×偶数= ；偶数×奇数=
【推论】
【应用】已知和求差、已知差求和 aX+bY=c(不定方程) 整除判定基本法则
2，4，8整除及其余数判定法则
一个数能被2(或者5)整除，当且仅当末一位数字能被2(或者5)整除； 一个数能被4(或者25)整除，当且仅当末两位数字能被4(或者25)整除； 一个数能被8(或者125)整除，当且仅当末三位数字能被8(或者125)整除； 3，9整除判定基本法则
一个数字能被3整除，当且仅当其各位数字之和能被3整除； 一个数字能被9整除，当且仅当其各位数字之和能被9整除；
倍数特性核心判定特征
如果::(,)a b m n m n =互质，则 a 是m 的倍数； b 是n 的倍数。
课前自测
【自测题1】某单位组织员工去旅游，要求每辆汽车坐的人数相同。如果每辆车坐20人，还剩下2名员工；如果减少一辆汽车，员工正好可以平均分到每辆汽车。问该单位共有多少名员工？( )
A.244
B.242
C.220
D.224
【答案】B
【解析】单位共有的人数的尾数是2。
【自测题2】有8个盒子分别装有17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个和44个乒乓球，小赵取走一盒，其余各盒被小钱、小孙、小李取走，已知小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且是小李取走的两倍，则小钱取走的各个盒子中的乒乓球最可能是( )。
A.17个，44个
B.24个，38个
C.24个，29个，36个
D.24个，29个，35个
【答案】D
【解析】小钱取走的数量是偶数，并且其取走的数量的一半是各个盒子中乒乓球的数，只有D选项满足题意。
例题精讲
【例1】某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和答错题数(包括不做)相差多少？( )
A.33
B.39
C.17
D.16
【例2】有甲、乙两个项目组。乙组任务临时加重时，从甲组抽调了甲组四分之一的组员。此后甲组任务也有所加重，于是又从乙组调回了重组后乙组人数的十分之一。此时甲组与乙组人数相等。由此可以得出结论( )。
A.甲组原有16人，乙组原有11人
B.甲、乙两组原组员人数之比为16：11
C.甲组原有11人，乙组原有16人
D.甲、乙两组原组员人数之比为11：16
【例3】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人？( )
A.36
B.37
C.39
D.41
【例4】(2010-国家-49)某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。两教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。两教室当月共举办该培训27次，每次培训均座无虚席，当月培训1290人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训？( )
A.8
B.10
C.12
D.15
参考答案
例1 例2 例3 例4
D B D D
随堂练习
【练习1】有一个整数，用它分别去除157、324和234，得到的三个余数之和是100，求这个整数。( )
A. 44
B. 43
C. 42
D. 41
【答案】D
【解析】如果该整数是偶数的话，三个余数应该分别是奇数、偶数、偶数，和不可能得到100，因此该整数一定是奇数，排除A、C。然后分别将B、D项代入，经验算可知41符合条件。
【练习2】一块长方形菜地长与宽的比是5:3，如果长增加2米，宽减少1米，则面积增加1平方米，那么这块长方形菜地原来的面积是多少平方米？
A.100
B.135
C.160
D.175
【答案】B
【解析】因为长方形的宽是3份，则长方形的面积一定是3的倍数。
【练习3】某单位组织职工参加团体操表演，表演的前半段队形为中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；后半段队形变为中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。该单位职工人数150人，则最多可有多少人参加？( )
A.149
B.148
C.138
D.133
【答案】D
【解析】余数，总数-8是5的倍数，总数-5是8的倍数。
【练习4】某单位有宿舍11间，可以住67人，已知每间小宿舍住5人，中宿舍住7人，大宿舍住8人，则小宿舍间数是( )。
A.6
B.9
C.8
D.7 【答案】B
【解析】设需要小宿舍和中宿舍为x 和y ，根据题意有5x+7y+8(11-x-y)=67，即3x+y=21，由于中宿舍存在，故3x<21，x 只能为6。
【练习5】水果店运来一批石榴和苹果，其中苹果的重量占总重量的9
20
，苹果比石榴少200千克，运来石榴( )千克。
A. 2000
B. 1800
C. 1100
D. 900 【答案】C
【解析】石榴占总重量的1-
920=1120
，所以石榴重量是11的倍数。
数字特性思想(二)
课前自测
【自测题1】某人收集邮票若干张，其中
41是花鸟类的，81是山水类的，19
1是人物类的，此外还有不足100张其他杂类的邮票。则该人共有（ ）张邮票。
A.244
B.242
C.220
D.224 【答案】B
【解析】单位共有的人数的尾数是2。 【答案】C
【解析】答案应该是4、8、19的倍数。选择C 选项。
【自测题2】一块镍铝合金重500克，放于水中称重减少32克，已知镍在水中减轻
191，铝在水中减轻10
1
，则这块合金中镍铝的质量分别是（ ） A.380克，120克 B.360克，140克 C.340克，160克 D.320克，180克 【答案】A
【解析】镍的质量是19的倍数。选择A 选项。
例题精讲
【例1】一个四位数“□□□□”分别能被15、12和10除尽，且被这三个数除尽时所得的三个商的和为1365，问四位数“□□□□”中四个数字的和是多少？( )
A.17
B.16
C.15
D.14
【例2】两个派出所某月内共受理案件160起，其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件，问乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件？( )
A. 48
B. 60
C. 72
D. 96
【例3】某公司三名销售人员2011年的销售业绩如下：甲的销售额是乙和丙销售额的1.5倍，甲和乙的销售是丙的销售额的5倍，已知乙的销售额是56万元，问甲的销售额是：( )
A.140万元
B.144万元
C.98万元
D.112万元
【例4】甲、乙、丙、丁四个队共同植树造林，甲队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的四分之一，乙队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的三分之一，丙队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的一半，己知丁队共造林3900亩，问甲队共造林多少亩？( )
A.9000
B.3600
C.6000
D.4500
参考答案
例1 例2 例3 例4
C A B B
随堂练习
【练习1】有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是( )
A.1辆
B.3辆
C.2辆
D.4辆
【答案】B
【解析】用整除特性，根据人数尾数是1，大客车由37个座位，大客车的数量就是1。
【练习2】某年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共有多少人？( )
A.177
B.176
C.266
D.265
【答案】A
【解析】根据奇偶特性可知四个班的人数和是奇数，另外可简单判断四个班的人数不可能是260多。
【练习3】某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6%，女员工人数比去年增加5%，员工总数比去年增加3人，问今年男员工有多少人？( )
A. 329
B. 350
C. 371
D. 504
【答案】A
【解析】今年男员工是去年男员工的94%，也就是今年男员工是47的倍数，只有A选项满足题意。
【练习4】一个正方形的队列，减少一行一列后会减少19人，则原队列有多少人？( )
A. 81
B. 100
C. 121
D. 144
【答案】B
【解析】原队列减少19人后，还是一个平方数，只有B满足题意。
【练习5】如果a、b均为质数，且3a+7b=41，则a+b=( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】C
【解析】质数中只有2是偶数，可判断a、b中一定有2，当a=2时，b=5，满足题意。
赋值思想
本节教学目标与学习目标：能用基本的赋值思想解决简单的数学运算题目。
课前自测
【自测题1】某车间进行季度考核，整个车间平均分是85分，其中2/3的人得80分以上(含80分)，他们的平均分是90分，则低于80分的人的平均分是多少？( )
A.68
B.70
C.75
D.78
【答案】C
【解析】题目中没有给出人数，我们赋值人数是3人，那么有3×85=2×90+1·x，解出x=75。选择C选项。
【自测题2】某地区的居民用同样多的人民币只能买到原来80%的商品，这意味着商品的价格( )？
A.上升了20%
B.下降了20%
C.上升了25%
D.下降了25%
【答案】C
【解析】赋值原来有100元，可以买到10件商品，那么每个商品的单价就是10元；现在100元钱就只能买到8件商品了，这时商品的单价就变成了12.5元，这样价格就上涨了(12.5-10)÷10=25%，选择C选项。
例题精讲
【例1】2010年某种货物的进口价格是15元／公斤，2011年该货物的进口量增加了一半，进口金额增加了20％。问2011年该货物的进口价格是多少元／公斤？( )
A.10
B.12
C.18
D.24
【例2】某街道常住人口与外来人口之比为1∶2，已知该街道下辖的甲、乙、丙三个社区人口比为12∶8∶7。其中，甲社区常住人口与外来人口比为1∶3，乙社区为3∶5，则丙社区常住人口与外来人口比为( )。
A.2∶3
B.1∶2
C.1∶3
D.3∶4
【例3】一块试验田，以前这块地所种植的是普通水稻。现在将该试验田的1/3种上超级水稻，收割时发现该试验田水稻总产量是以前总产量的1.5倍。如果普通水稻的产量不变，则超级水稻的平均产量与普通水稻的平均产量之比是( )。
A.5∶2
B.4∶3
C.3∶1
D.2∶1
【例4】小王步行的速度比跑步慢50％，跑步的速度比骑车慢50％。如果他骑车从A城去B城，再步行返回A城共需要2小时。问小王跑步从A城到B城需要多少分钟？( )
A.45
B.48
C.56
D.60
【例5】已知盐水若干千克，第一次加入一定量的水后，盐水浓度变为6％，第二次加入同样多的水后，盐水浓度变为4％，第三次再加入同样多的水后盐水浓度是多少？( )
A.3％
B.2.5％
C.2％
D.1.8％
参考答案
例1 例2 例3 例4 例5
B D A B A
随堂练习
【练习1】小红去买蔬菜，她带的钱可以买10斤红薯或者买50斤白菜，如果小红买了6斤红薯，那么剩下的钱可以再买几斤白菜？( )