Chp1-3 一元函数微分学
(一) 极限（等价无穷小，罗比塔法则，积分上限函数） ●1.若当0→x 时，1~)sin(2-x e ax ，则常数=a （ B ） (A) 1 (B) 2 (C)-1 (D) -2
●2.求极限1sin
1)1ln(lim
3
3
02
-++
?+→x dx
t x
x .
解 原式=3
3
1
)1ln(lim
2
x
dt
t x
x ?+
+→
=2
)
1ln(2lim
x
x x x ++→
=2
●3.求极限?
?-→+?x t
t
x x dt
e e tdt
t 0
)(tan lim
.
解：原式=x
x
x e e x x -→+?tan lim
=x
x
x e
e x x -→+?0
lim
=x
x
x e
e x -→-2lim
=1
2lim
20
-→x
x
x e
xe
=x
xe x
x 22lim 0
→=x
x e 0
lim →=1
(二) 连续性的充要条件：函数在某点连续的充要条件是在这点左连续且又连续
●4.设函数?????=≠=0,
20
,sin )(x x x kx x f 在点x = 0处连续，则常数=k 2 ．
.
(三) 导数（隐函数求导、复合函数求导）
●5.已知函数3cos arctan )1ln(2
+++=x
e x y ， 则=dy dx e e
x x x
x
???
? ?
?+++22112． ●6.设2cos 1ln
arctan sec 3
+-+-=x x x y , y '求．
解 2c o s )1l n (2
1a r c t a n s e c 3
+-+-=x x x y ，所以1
32111tan sec 3
2
2
-+
+-
='x x
x
x x y
●7. 设函数()y y x =由方程23ln()sin x y x y x +=+确定，则(0)y '=1
●8. 由方程2y e xy x +=+e 确定的函数为()y y x =，求(0),(0)y y '''
解： 所给方程两端对x 求导得 2y e y y x y x ''++
=，即 ()2y
e x y x y '+=- ( i )
从而 2y
x y y e x
-'=
+，而当0x =时，1y =
所以1(0)y e -'=-
( i )式两端对x 求导得 (1)()2y y e y y e x y y '''''+++=- ( i i ) 将（0,1）及1(0)y e -'=-代人( i i )得，(0)(21)y e ''=-+
●9 已知曲线方程为342ln y y x +=，则该曲线在点（1,1）处的切线方程为
41(1)5
y x -=-或
4510
x y -+=
(四) 函数的单调性、凹凸性（求单调区间，凹凸区间，或判断在某区间上的单调性，可结合变上限积分） ●10.函数2y x x =-的单调减区间为1[
,)2
+∞
●11.确定函数 2
2
)
1(2x x
y -=
的单调区间
解：定义域为(,1)(1,)-∞?+∞，3
4(1)
x y x '=
-，
故函数在]0,(-∞与),1(∞+上单调减，在)1,0[上单调增；
●12.确定函数 2
x
xe
y = 的单调区间，凹凸区间
解：定义域为(,)-∞+∞，2
2
2
22
2(12)0.x
x
x
y e x e
e x '=+=+>，
故函数在(,)-∞+∞上单调增； 2
2
2
22
2(12)42(32).x
x
x
y xe x xe
xe x ''=++=+
可见当 0x >时0y ''>；当 0x >时0y ''>，所以凹区间：(,0]-∞； 凸区间：),0[∞+
Chp4 不定积分
(五) 原函数、不定积分与导数的关系
●13.设函数)(x f 可微，则?='dx x f )(C x f +)( . ●14.下列关系中，正确的是( C ). A ．()()()d f x dx f x =
?； B ．(())()d f x f x =?；
C ．(())()d f x dx f x C dx
=+?
； D ．
()()d f x dx f x dx dx
=?
.
●15.设函数)(x f 在],[b a 上连续，)()(x f x F ='，则结论（ B ）正确．
A ．)(x f 是)(x F 在],[b a 上的一个原函数；
B ．
?
'=)()(x F dx x f dx
d ；
C . )(x F 是)(x f 在],[b a 上唯一的原函数；
D . ?=')()(x F dx x F .
●16.设x cot 是函数)(x f 的一个原函数, 则dx x f ?)(=C x +cot .；='?dx x f )(C x +-2csc . ●17.设?
+=c x dx x
x f arctan )(, 求dx x f ?)(．
解 由?
+=c x dx x
x f arctan )(，得
2
11)(x
x
x f +=
，
解得2
1)(x x x f +=
，因此
dx x
x dx x f 21)(+=
?
?
C x ++=
)1l n (2
12
.
(六) 求不定积分 ①凑微分 ②变量代换 ③分部积分 ●19.dx x
x ?
--2
11.C x x
+---=arcsin 12
Chp5 定积分
(七) 积分上限函数求导（①直接求导②用于极限计算）
●20.设函数)(x f 在],[b a 上连续，dt t f x F x
)()(0
?
=
，则结论（ D ）正确.
A. )(x f 是)(x F 在],[b a 上的一个原函数；
B.
?
=)()(x F dx x f ；
C . )(x F 是)(x f 在],[b a 上唯一的原函数；
D .
?
'=)()(x F dx x f dx
d .
●21.设函数)(x f 在],[b a 上连续，dt t f x F x a
)()(?
=
，则以下结论中错误的是（ D ）
． A ．)(x F 在],[b a 上连续； B ．)(x F 在],[b a 上可导且)()(x f x F ='； C ．)()(b F dt t f b
a =?； D ．)(x F 是)(x f 在],[
b a 上唯一的原函数．
●22.设函数dt e
x f x t
?
--=
1
2
2
)(,),(∞+∞-∈x , 则曲线)(x f y =在)0,1(点的切线方程是（ D ）．
A ．;12-=-y x B.;12=-y x C ．;22-=-y x D ．.22=-y x
●23. 2
2
cos lim
x x t t dt x
→=?
（ C ）
(A) 2 (B) -2 (C) 2
1 (D)2
1-
●24. 求极限?
?-?→x x x dt
t t t tdt
t 0
2
00
)sin (tan lim
2
.
解：原式=)
sin (2tan lim
2
2
2
x x x x x x x -???→
=x
x x x x sin 2lim
2
-?→ =x
x
x cos 16lim
2
-→
=.12216lim
2
2
=→x
x x
●25. 设函数)(x f 连续，且满足c x dt t f t x
+=?arctan )(0, 求dx x f )(?.
解 对c x dt t f t x
+=?arctan )(0
求导，得
)
1(1)(,11)(2
2
x x x f x
x f x +=
+=
，
dx x x dx x f )
1(1)(2
+=
?
?
dx x x x ???
?
??+-=?211 C x x ++-
=)1l n (2
1||ln 2
(八) 奇偶函数在对称区间上定积分（偶倍奇零）（直接或分拆）
●26.积分dx x
x ?--+3
3
2
9)1(=
2
9π . ●27.积分=???
? ?
?++?-dx x x x
x 2
/2/2
24sin
1sin ππ2
π
．
(九) 形如
1
0()2()f x x f x dx
=+?的积分计算
●28.1
()2()f x x f x dx =+?，求)(x f 或2
()f x dx ?
●29.设dx x f x x
x f )(11)(10
2
?
++=
，则=
?dx x f )(1
2
π
.
(十) 求定积分 ①凑微分 ②先变量代换再积分 ③分部积分 ●30.计算dx e
x 1
212
/1-?
.
解 令t x =-12，则)1(2
12
+=t x ，tdt dx =，
dx e
x 1
212
/1-?
=dt te t
?10
=?1
)(t
e td )
=?
-
10
10
dt
e te t
t
1)1(10
=--=-=e e e e t
．
●31.计算dx x
x 151
-?
.
解
t =，则 2
1x t =+, 2d x td t =
原式22
21
t tdt t =
?+?
2
22
11
21
t dt t +-=+?
2
02(arctan )t t =- 42arctan 2=-
(十一)
分段函数的定积分（先换元，再分段积分）
●32.已知?
??>≤+=1,1,1)(2x xe x x x f x ， 求dx x f )2(5
0-?.
解 dt t f dx x f t
x )()2(3
2250
??
-=-=
-
dx xe dx x x
??+
+=
-3
1
2
1
2
)1(
[]
dx e xe
x x x
x
?-
+??
????+=-3
1
31
1
2
331
3
13
|36x
e e e --+= 3
26e +=
●33.已知??
?>≤+=2
,
sin 2,
1)(2x x x x x f ， 求dx x f )1(2
+?.
解 1,x t +=令则
2
31
(1)()f x dx f t dt +=
?
?
x d x dx x sin )1(32
2
21
?
?
+
+=
32
2
1
3
c o s 3x
x x -?
??
??
?+=
2c o s 3c o s 3
10+-=.
(十二)
广义积分的敛散性
●34.下列广义积分中发散的是（ BEFGH I ）.
A.dx x
2
111+?
+∞
; B.
dx x
x 2
1
1+?
+∞
; C.
dx x
x 2
1
1arctan +?
+∞
； D.
dx x
2
1
1?
+∞
. E.dx x
?
1
1
F.
dx e x
?+∞
∞
- G .
dx x 2
1
)
12(2-?
H.
12
1
1dx x
-?
I.
1
ln xdx ∞
?
●35.下列广义积分中收敛的是（ C ）.
A ．?
∞+e
dx x
x ln ； B ．?
∞+e
dx x
x ln 1； C ．?
∞+e
dx x x 2
)
(ln 1； D ．?
∞+e
dx x
x ln 1.
Chp6 定积分的应用
(十三)
平面图形的面积（直角坐标 切线+面积）
●36.求曲线322+-=x x y 与3+=x y 所围图形的面积. 解： 求?
??+=+-=33
22x y x x y 得交点)6,3(),3,0( 面积?
+--+=
30
2
)]32()3[(dx x x x A 2
9=
●37.设有曲线x
e y =, 过原点作曲线的切线, 求:
(1) 切线的方程;
(2) 位于曲线下方和切线左方以及x 轴上方之间平面图形的面积A
(3) 由曲线、切线以及y 轴所围平面图形的绕x 轴旋转所得旋转体的体积．
解 (1) 设切点为),,(00y x 则,00x
e y = 切线方程为 ),(00
x x e e
y x x -=-
因为切线过原点, 将(0, 0)代入得,10=x 因此切点为(1, e ), 切线方程是y = e x. (2)01
()2
x
x
e A e dx e ex dx -∞
=
+-=
?
?
(3) 122
[()()]x x V e ex dx ππ=
-?
1
32
2321??????-=x e e x π
).3(6
2
-=
e π
(十四) 旋转体的体积（绕x 轴、y 轴）（最值）
●38. 设曲线L 的方程为x y ln =，曲线L 的一条切线1L 过原点，求：
(1) 由曲线L ，切线1L 以及x 轴所围成的平面图形的面积； (2) 求此平面图形绕y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解：(1) 设切点)ln ,(000x x P 由op k k =切，知0
0ln )(ln 0
x x x x x ='
=
即
00
ln 1x x x =
，得e x =0，)1,(e P …………………...(2分)
切线1L ：x e
y 1=
………………………………..………………………...(3分)
dx x x e
xdx e
)ln 1
(1A e
1
1
-+
=
∴?
?
面积………………………..………….(5分) ?
-
-+
=
e
x d x e e
e 1
2
ln )1(2121 ……………..……(6分)
12
)1(2
1ln 2
1
1
-=
-+-=
?
+
-=
?
e e e e dx x
x x
x e e
e ……..……(7分)
(2) dy y e e dy ey e V y y
y ??-=-=1
2221
2
2
)(])()[(ππ………………..………..(9分)
)2
16
(
)3
12
1
(2
2
10
2-
=-
=e
e e
y
ππ……………………………..………(10分)
(十五) 抽水作功（圆柱、圆锥等）
● 39.一形如圆台的水桶盛满水，如果桶高3m ，上、下底半径分别为1m 和2m ，
计算将桶中水全部抽出所作的功 解：如图建立坐标系 由 取深度x 为积分变量，[0,3]x ∈，任取[,][0,3]x x dx +∈ 则薄水层的体积元素2
2
(1)3
x dV y dx dx ππ==+
功微元2
2
1(3)39x g dW gdVx g dx x x xdx ρπρρπ??==+?=+ ??
?，
故()
()332
2
3
513969
4
g W x xdx g x x x
dx g ρπ
ρπ
ρπ=+=++=
?
?
(十六) 水压力（ρ，g 已知）
40
Chp7 微分方程
(十七)
可分离变量方程的特解
●41.求微分方程xdx dy x arctan )1(2=+满足00
==x y
的特解．
解 dx x
x dy 2
1arctan +=
C x y +=
2
a r c t a n 2
1
由00
==x y
，得C = 0,
特解为 .a r c t a n 2
12
x y =
(十八)
一阶线性方程的通解
●42.微分方程2
1x y x
dx
dy =-的通解是
)
2
1(
2
C x x y +=. ●43.求微分方程02)(3
=-+xdy dx x y 满足条件5
61
==x y
的特解．
解 原方程化为 2
212
x
y x
y =
-
'，
通解 x C
x C dx e
x
e
y dx
x
dx
x
+=???
? ?
?+?
?
=?
-
3
212
21512
，
由5
61
=
=x y ，得1=C ，所求特解为x x y +
=
3
5
1.
(十九)
可降阶的微分方程（第1、2种情形）
●44.已知二阶微分方程为x e y x +=''2，其通解为
2
13
26
14
1C x C x e
y x
+++
=
.
●45.微分方程x x y sin +=''的通解是 =y 213
sin 6
1C x C x x ++-.
(二十)
求二阶常系数非齐次线性方程的通解
●48.微分方程x xe y y y 256-=+'-''的特解形式为=*y （ A ）
.A x e b ax x )(+； .B x e b ax )(+； .C x axe ； .D x ae ．
●49.求微分方程x e y y y 244-=+'+'' 的通解.
解 对应齐次方程的特征方程为0442=++r r
解出 221-==r r 所以齐次方程的通解为 x e x C C Y 221)(-+=
因为 又非奇次项2(),x f x e -=()1m P x =，2-=λ 是特征方程的重根 故设 22x y x Ae *-=，
得12=A ，所以2
1=A )
原微分方程的通解为x
x
e
x e
x C C y 222212
1)(--++=
●50.求微分方程x
e
y y y 332-=-'+''的通解.
解：特征方程0)1)(3(322
=-+=-+r r r r 特征根为：1,321=-=r r
∴ 齐次方程的通解x
x
e C e
C Y 231+=-
又非奇次项3,1)(,)(3-===-λx P e
x f m x 为单特征根，设x
axe y 3*
-=，
将*
y 代入原方程，得4
1-
=a ，故x
xe
y 3*
4
1--
=
故原方程的通解x
x
x xe
Ce
e C y Y y 331*4
1---
+=+=
●51.求微分方程 x xe y y y -=+'+''323 的通解.
解 对应齐次方程的特征方程是 0232=++r r ，解得特征根,11-=r 22-=r 故对应齐次方程的通解是x x e C e C Y 221--+=
又非齐次项x m e x P x f λ)()(=，这里x x P m 3)(=，1-=λ是单特征根，故原方程的特解有形式
x
e
b ax x y -+=)(*
，代入原方程得x b ax a 3)2(2=++，所以2
3=
a ，3-=
b ，得x
e
x x y --=)32
3(
*，
从而原方程的通解为x
x
x
e
x x e
C e C y ----++=)12
1(
3221.
●52.求微分方程 1332+=-'-''x y y y 的通解.
解 对应齐次方程的特征方程是 0322=--r r ，解得11-=r ，32=r 从而对应齐次方程的通解为 x x e C e C Y 321+=- ，
由()()x
m f x P x e λ=,这里()31m P x x =+,0=λ不是特征根，原方程有形如b ax y +=*的特解，
代入原方程，得 13)(32+=+--x b ax a ，1-=a ，3
1-
=b ，
所以原方程的通解是 3
1321-
-+=-x e
C e C y x
x