自考高数经管类概率论与数理统计课堂笔记 前 言 概率论与数理统计是经管类各专业的基础课， 概率论研究随机现象的统计规律性， 它是 本课程的理论基础，数理统计则从应用角度研究如何处理随机数据，建立有效的统计方法， 进行统计推断。 概率论包括随机事件及其概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其概率分布、 随机变量的数字特征及大数定律和中心极限定理。共五章，重点第一、二章，数理统计包括 样本与统计量，参数估计和假设检验、回归分析。重点是参数估计。 预备知识 （一）加法原则 引例一，从北京到上海的方法有两类：第一类坐火车，若北京到上海有早、中、晚三班 火车分别记作火 1、火 2、火 3，则坐火车的方法有 3 种；第二类坐飞机，若北京到上海的飞 机有早、晚二班飞机，分别记作飞 1、飞 2。问北京到上海的交通方法共有多少种。 【答疑编号：10000101 针对该题提问】 解：从北京到上海的交通方法共有火 1、火 2、火 3、飞 1、飞 2 共 5 种。它是由第一类 的 3 种方法与第二类的 2 种方法相加而成。 一般地有下面的加法原则： 办一件事，有 m 类办法，其中： 第一类办法中有 n1 种方法； 第二类办法中有 n2 种方法； …… 第 m 类办法中有 nm 种方法； 则办这件事共有 种方法。
（二）乘法原则 引例二，从北京经天津到上海，需分两步到达。 第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班，记作汽 1、汽 2、汽 3 第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班，记作飞 1、飞 2 问从北京经天津到上海的交通方法有多少种？ 【答疑编号：10000102 针对该题提问】 解：从北京经天津到上海的交通方法共有： ①汽 1 飞 1，②汽 1 飞 2，③汽 2 飞 1，④汽 2 飞 2，⑤汽 3 飞 1，⑥汽 3 飞 2。共 6 种，它是 由第一步由北京到天津的 3 种方法与第二步由天津到上海的 2 种方法相乘 3×2=6 生成。 一般地有下面的乘法原则： 办一件事，需分 m 个步骤进行，其中： 第一步骤的方法有 n1 种； 第二步骤的方法有 n2 种； …… 第 m 步骤的方法有 nm 种； 则办这件事共有 种方法。
（三）排列（数） ：从 n 个不同的元素中，任取其中 m 个排成与顺序有关的一排的方法
1
数叫排列数，记作 排列数 例如：
或
。
的计算公式为：
（四）组合（数） ：从 n 个不同的元素中任取 m 个组成与顺序无关的一组的方法数叫组
合数，记作
或
。
组合数
的计算公式为
例如： 组合数有性质 （1） ， （2）
=45
， （3）
例如： 例一，袋中有 8 个球，从中任取 3 个球，求取法有多少种？ 【答疑编号：10000103 针对该题提问】 解：任取出三个球与所取 3 个球顺序无关，故方法数为组合数 （种） 例二，袋中五件不同正品，三件不同次品（√√√√√×××）从中任取 3 件，求所取 3 件中 有 2 件正品 1 件次品的取法有多少种？ 【答疑编号：10000104 针对该题提问】 解：第一步在 5 件正品中取 2 件，取法有 （种） 第二步在 3 件次品中取 1 件，取法有 （种） 由乘法原则，取法共有 10×3=30（种）
第一章 §1.1
随机事件与随机事件的概率 随机事件
引例一，掷两次硬币，其可能结果有： ｛上上；上下；下上；下下｝ 则出现两次面向相同的事件 A 与两次面向不同的事件 B 都是可能出现，也可能不出现
2
的。 引例二，掷一次骰子，其可能结果的点数有： ｛1，2，3，4，5，6｝ 则出现偶数点的事件 A，点数≤4 的事件 B 都是可能出现，也可能不出现的事件。 从引例一与引例二可见，有些事件在一次试验中，有可能出现，也可能不出现，即它没 有确定性结果，这样的事件，我们叫随机事件。 （一）随机事件：在一次试验中，有可能出现，也可能不出现的事件，叫随机事件，习 惯用 A、B、C 表示随机事件。 由于本课程只讨论随机事件，因此今后我们将随机事件简称事件。 虽然我们不研究在一次试验中， 一定会出现的事件或者一定不出现的事件， 但是有时在 演示过程中要利用它，所以我们也介绍这两种事件。 必然事件：在一次试验中，一定出现的事件，叫必然事件，习惯用 ? 表示必然事件。 例如，掷一次骰子，点数≤6 的事件一定出现，它是必然事件。 不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用 φ 表示不可 能事件。 例如，掷一次骰子，点数>6 的事件一定不出现，它是不可能事件。 （二）基本（随机）事件 随机试验的每一个可能出现的结果，叫基本随机事件，简称基本事件，也叫样本点，习 惯用 ω 表示基本事件。 例如，掷一次骰子，点数 1,2,3,4,5,6 分别是基本事件，或叫样本点。 全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间，记作 ?，当然 ? 是必然事件。 （三）随机事件的关系 （1）事件的包含：若事件 A 发生则必然导致事件 B 发生，就说事件 B 包含事件 A，记 作 。 例如，掷一次骰子，A 表示掷出的点数≤2，B 表示掷出的点数≤3。∴A=｛1，2｝ ，B= ｛1，2，3｝ 。
所以 A 发生则必然导致 B 发生 。 显然有 （2）事件的相等：若 ，且 就记 A=B，即 A 与 B 相等，事件 A 等于事件 B， 表示 A 与 B 实际上是同一事件。 （四）事件的运算 （1）和事件：事件 A 与事件 B 中至少有一个发生的事件叫事件 A 与事件 B 的和事件，记作： 或 A+B 例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝ ；B=｛1，2，3｝ 则和事件 A+B=｛1，2，3，5｝ 显然有性质 ① ，则有 A+B=B ②若 ③A+A=A （2）积事件：事件 A 与事件 B 都发生的事件叫事件 A 与事件 B 的积事件，记作：AB 或 A∩B 例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝ ；B=｛1，2，3｝ ，则 AB=｛1，3｝ 显然有性质： ①
3
②若 ，则有 AB=A ③AA=A （3）差事件：事件 A 发生而且事件 B 不发生的事件叫事件 A 与事件 B 的差事件， 记作 （A-B） 例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝ ；B=｛1，2，3｝ ，则 A-B=｛5｝ 显然有性质： ① ②若 ，则有 A-B=Φ ③A-B=A-AB （4）互不相容事件：若事件 A 与事件 B 不能都发生，就说事件 A 与事件 B 互不相容（或互 斥）即 AB=Φ 例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝ ；B=｛2，4｝ ∴AB=Φ （5）对立事件：事件 A 不发生的事件叫事件 A 的对立事件。记作 例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝ ，则 显然，对立事件有性质： ① ② ③ 注意：A 与 B 对立，则 A 与 B 互不相容，反之不一定成立。 例如在考试中 A 表示考试成绩为优，B 表示考试不及格。A 与 B 互不相容，但不对立。 下面图 1.1 至图 1.6 用图形直观的表示事件的关系和运算，其中正方形表示必然事件或 样本空间 ?。
事件 A 图 1.1 表示事件 图 1.2 阴影部分表示 A+B 图 1.3 阴影部分表示 AB 图 1.4 阴影部分表示 A-B 图 1.5 表示 A 与 B 互不相容 图 1.6 阴影部分表示
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事件的运算有下面的规律： （1）A+B=B+A，AB=BA 叫交换律 （2） （A+B）+C=A+（B+C）叫结合律 （AB）C=A（BC） （3）A（B+C）=AB+AC （A+B） （A+C）=A+BC 叫分配律 （4） 叫对偶律
例 1，A，B，C 表示三事件，用 A，B，C 的运算表示以下事件。 （1）A，B，C 三事件中，仅事件 A 发生 【答疑编号：10010101 针对该题提问】 （2）A，B，C 三事件都发生 【答疑编号：10010102 针对该题提问】 （3）A，B，C 三事件都不发生 【答疑编号：10010103 针对该题提问】 （4）A，B，C 三事件不全发生 【答疑编号：10010104 针对该题提问】 （5）A，B，C 三事件只有一个发生 【答疑编号：10010105 针对该题提问】 （6）A，B，C 三事件中至少有一个发生 【答疑编号：10010106 针对该题提问】 解： （1） （2）ABC （3） （4） （5） （6）A+B+C 例 2.某射手射击目标三次：A1 表示第 1 次射中，A2 表示第 2 次射中，A3 表示第 3 次射 中。B0 表示三次中射中 0 次，B1 表示三次中射中 1 次，B2 表示三次中射中 2 次，B3 表示三 次中射中 3 次，请用 A1、A2、A3 的运算来表示 B0、B1、B2、B3 【答疑编号：10010107 针对该题提问】 解： （1） （2） （3） （4） 例 3 ，A，B，C 表示三事件，用 A，B，C 的运算表示下列事件。
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（1）A，B 都发生且 C 不发生 【答疑编号：10010108 针对该题提问】 （2）A 与 B 至少有一个发生而且 C 不发生 【答疑编号：10010109 针对该题提问】 （3）A，B，C 都发生或 A，B，C 都不发生 【答疑编号：10010110 针对该题提问】 （4）A，B，C 中最多有一个发生 【答疑编号：10010111 针对该题提问】 （5）A，B，C 中恰有两个发生 【答疑编号：10010112 针对该题提问】 （6）A，B，C 中至少有两个发生 【答疑编号：10010113 针对该题提问】 （7）A，B，C 中最多有两个发生 【答疑编号：10010114 针对该题提问】 解： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 简记 AB+AC+BC 简记
例 4，若 ?=｛1，2，3，4，5，6｝ ；A=｛1，3，5｝ ；B=｛1，2，3｝ 求（1）A+B； 【答疑编号：10010115 针对该题提问】 （2）AB； 【答疑编号：10010116 针对该题提问】 （3） ；
【答疑编号：10010117 针对该题提问】 （4） ；
【答疑编号：10010118 针对该题提问】 （5） ；
【答疑编号：10010119 针对该题提问】 （6） ；
6
【答疑编号：10010120 针对该题提问】 （7） ，
【答疑编号：10010121 针对该题提问】 （8） 。
【答疑编号：10010122 针对该题提问】 解： （1）A+B=｛1，2，3，5｝ ； （2）AB=｛1，3｝ ； （3） （4） （5） （6） （7） （8） =｛2，4，6｝ ； =｛4，5，6｝ ； =｛4，6｝ ； =｛2，4，5，6｝ ； =｛2，4，5，6｝ ； =｛4，6｝ = ； ， = 正确
由本例可验算对偶律， 例 5， （1）化简
【答疑编号：10010123 针对该题提问】 （2）说明 AB 与 是否互斥
【答疑编号：10010124 针对该题提问】 解： （1）
（2）
例 6.A，B，C 为三事件，说明下列表示式的意义。 （1）ABC； 【答疑编号：10010125 针对该题提问】 （2） ；
7
【答疑编号：10010126 针对该题提问】 （3）AB； 【答疑编号：10010127 针对该题提问】 （4） 【答疑编号：10010128 针对该题提问】 解： （1）ABC 表示事件 A，B，C 都发生的事件 （2） 表示 A，B 都发生且 C 不发生的事件 （3）AB 表示事件 A 与 B 都发生的事件，对 C 没有规定，说明 C 可发生，也可不发生。 ∴AB 表示至少 A 与 B 都发生的事件 （4）
所以也可以记 AB 表示，ABC 与 中至少有一个发生的事件。 例 7.A，B，C 为三事件，说明（AB+BC+AC）与 【答疑编号：10010129 针对该题提问】 解： （1） 表示至少 A，B 发生 是否相同。
它表示 A，B，C 三事件中至少发生二个的事件。 （2） 表示 A，B，C 三事件中，仅仅事件 A 与事件 B 发生的事件
表示 A，B，C 三事件中仅有二个事件发生的事件。 因而它们不相同。 §1.2 随机事件的概率
（一）频率： （1）在相同条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A 发生了 nA 次，则事件 A 发生的次数 nA 叫事件 A 发生的频数。 （2）比值 nA/n 称为事件 A 发生的频率，记作 fn（A） ，即
历史上有不少人做过抛硬币试验，其结果见下表，用 A 表示出现正面的事件： 试验人 摩根 蒲丰 皮尔逊 n 2048 4040 12000 nA 1061 2048 6019 fn（A） 0.5181 0.5069 0.5016
从上表可见，当试验次数 n 大量增加时，事件 A 发生的频率 fn（A）会稳定某一常数， 我们称这一常数为频率的稳定值。例如从上表可见抛硬币试验，正面出现的事件 A 的频率
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fn（A）的稳定值大约是 0.5。 （二）概率：事件 A 出现的频率的稳定值叫事件 A 发生的概率，记作 P（A） 实际上，用上述定义去求事件 A 发生的概率是很困难的，因为求 A 发生的频率 fn（A） 的稳定值要做大量试验，它的优点是经过多次的试验后，给人们提供猜想事件 A 发生的概 率的近似值。 粗略地说，我们可以认为事件 A 发生的概率 P（A）就是事件 A 发生的可能性的大小， 这种说法不准确，但人们容易理解和接受，便于应用。 下面我们不加证明地介绍事件 A 的概率 P（A）有下列性质： （1）0≤P（A） ≤1 （2）P（?）=1，P（Φ）=0 （3）若 A 与 B 互斥，即 AB=Φ，则有 P（A+B）=P（A）+P（B） 若 A1，A2，……，An 互斥，则有
（三）古典概型： 若我们所进行的随机试验有下面两个特点： （1）试验只有有限个不同的结果； （2）每一个结果出现的可能性相等， 则这种试验模型叫古典概型。 例如，掷一次骰子，它的可能结果只有 6 个，假设骰子是均匀的，则每一种结果出现的 可能性都是 1/6，所以相等，这种试验是古典概型。 下面介绍古典概型事件的概率的计算公式： 设 是古典概型的样本空间，其中样本点总数为 n，A 为随机事件，其中所含的样本点
数为 r 则有公式：
例 1，掷一次骰子，求点数为奇数点的事件 A 的概率。 【答疑编号：10010201 针对该题提问】 解：样本空间为 ?=｛1，2，3，4，5，6｝ ；A=｛1，3，5｝ ∴n=6,r=3
例 2.掷三次硬币，设 A 表示恰有一次出现正面，B 表示三次都出现正面，C 表示至少 出现一次正面，求： （1）P（A） ； 【答疑编号：10010202 针对该题提问】 （2）P（B） ； 【答疑编号：10010203 针对该题提问】
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（3）P（C） 【答疑编号：10010204 针对该题提问】 解：样本空间 ?=｛正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反 反反｝ ； （1） （2） （3） 由于在古典概型中，事件 A 的概率 P（A）的计算公式只需知道样本空间中的样本点的 总数 n 和事件 A 包含的样本点的个数 r 就足够，而不必一一列举样本空间的样本点，因此， 当样本空间的样本点总数比较多或难于一一列举的时候， 也可以用分析的方法求出 n 与 r 的 数值即可。 例 3，从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 10 个数码中，取出三个不同的数码，求所 取 3 个数码不含 0 和 5 的事件 A 的概率。 【答疑编号：10010205 针对该题提问】 解：从 10 个不同数码中，任取 3 个的结果与顺序无关，所以基本事件总数
A 事件中不能有 0 和 5，所以只能从其余 8 个数码中任取 3 个，所以 A 中的基本事件
例 4，从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字中任取一个，放回后再取一个，求所 取两个数字不同的事件 A 的概率。 【答疑编号：10010206 针对该题提问】 解： （1）第一次取一个数字的方法有 9 种； 第二次取一个数字的方法与第一次相同也是 9 种； 由乘法原则，知两次所取的数字方法有 9×9=92（种） 每一种取法是一个基本事件，所以 n=92 （2）所取两个数字不同时，相当于从中任取两个数，其结果与顺序有关，所取取法有：
也可按（1）的乘法原则求 r，第一次的取法有 9 种，第二次的数字与第 1 次不同，所 以只有 8 种，所以取法共有 9×8（种） ∴r=9×8
例 5，袋中有 5 个白球，3 个红球，从中任取 2 个球， 求（1）所取 2 个球的颜色不同的事件 A 的概率； 【答疑编号：10010207 针对该题提问】 （2）所取 2 个球都是白球的事件 B 的概率；
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【答疑编号：10010208 针对该题提问】 （3）所取 2 个球都是红球的事件 C 的概率； 【答疑编号：10010209 针对该题提问】 （4）所取 2 个球是颜色相同的事件的概率。 【答疑编号：10010210 针对该题提问】 解：袋中共的 8 个球，从中任取 2 个球结果与顺序无关，所以取法共有 取法的结果是一个基本事件，所以基本事件总数为 种，每一种
（1）分两步取。第一步，在 5 个白球中任取一个，方法数为 5；第二步在 3 个红球中 取一个，方法数为 3，根据乘法原则，共有 5×3 种方法，即有 5×3 种结果。
（2）从 5 个白球中任取 2 个，结果与顺序无关 ∴取法共有 （种） ∴B 包含的基本事件共有 r2=10
（3）从 3 个红球中任取 2 个的方法为 ∴C 包含的基本事件数 r3=3 ∴ （4）所取 2 个球颜色相同的有两类： 第一类：2 个球都是白球的方法有 （种）
（种）
第二类：2 个球都是红球的方法有
（种）
根据加法原则，所取 2 个球是颜色相同的方法共有 10+3=13 种。 ∴2 个球颜色相同的事件 D 包含 r4=13 种基本事件。 ∴ 例 6，袋中有 10 件产品，其中有 7 件正品，3 件次品，从中每次取一件，共取两次， √√√√√√√××× 求: （1）不放回抽样，第一次取后不放回，第二次再取一件，而且第一次取到正品，第二 次取到次品的事件 A 的概率。 【答疑编号：10010211 针对该题提问】 （2）放回抽样，第一次取一件产品，放回后第二次再取一件，求第一次取到正品，第 二次取到次品的事件 B 的概率
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【答疑编号：10010212 针对该题提问】 解（1）第一次取一件产品的方法有 10 种 ∵不放回，∴第二次取一件产品的方法有 9 种 由乘法原则知，取两次的方法共有 10×9 种 也可以用排列数计算，因为结果与顺序有关，所以取法有 （种）
∴基本事件总数 n=10×9 第一次取到正品，第二次取到次品的方法有 7×3 种，所以事件 A 包含的基本事件有：
（2）放回抽样。由于有放回，所以第一次、第二次取一件产品的方法都是 10 种，由乘 法原则知抽取方法共有 10×10=100 种，所以基本事件总数 n=10×10=100 第一次取正品方法有 7 种，第二次取次品的方法有 3 种，由乘法原则，事件 B 包含的基 本事件共有
例 7，将一套有 1,2,3,4,5 分册的 5 本书随机放在书架的一排上，求 1，2 分册放在一 起的事件 A 的概率。 【答疑编号：10010301 针对该题提问】 解：（1）基本事件总数 n=5×4×3×2×1（种） 或者为 （2）A 包含的基本事件有 （种）
例 8，掷两次骰子，求点数和为 7 的事件 A 的概率。 【答疑编号：10010302 针对该题提问】 解：（1）基本事件总数 n=6×6=36（种） （2）A=｛①⑥；②⑤；③④；④③；⑤②；⑥①｝ ∴A 包含的基本事件数 r=6
例 9，从 1，2，3，4，5，6，7 这七个数码中任取 3 个，排成三位数，求（1）所排成 的三位数是偶数的事件 A 的概率。（2）所排成的三位数是奇数的事件 B 的概率。 【答疑编号：10010303 针对该题提问】 解：基本事件总数 （个）
（1）所排成的三位数是偶数的取法需分两步： 第一步，取一个偶数放在个位码位置，取法有 3 种；
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第二步，将其余 6 个数中任取两个排成一排，分别处于十位数和百位数码位置，共有 种方法。 根据乘法原则，事件 A 包含的基本事件数
（2）所排成的三位数的取法也需分两步进行； 第一步，取一个奇数放在个位码位置，有 4 种方法。 第二步，将其余 6 个数中任取两个放在十位码和百位码，方法有 根据乘法原则，事件 B 包含的基本事件数 种。
例 10，袋中有 9 个球，分别标有号码 1，2，3，4，5，6，7，8，9 从中任取 3 个球， 求 （1）所取 3 个球的最小号码为 4 的事件 A 的概率； 【答疑编号：10010304 针对该题提问】 （2）所取 3 个球的最大号码为 4 的事件 B 的概率； 【答疑编号：10010305 针对该题提问】 解：基本事件总数 （1）最小号码为 4 的取法分两步进行 第一步，取出 4 号球，方法只有 1 种 （个）
第二步，在 5，6，7，8，9 这 5 个球中任取 2 个，方法数为 ∴A 包含的基本事件
（2）最大码为 4 的取法为： 第一步，取出 4 号球方法只有 1 种 第二步，在 1，2，3 号球中任取 2 个，方法数为 ∴B 包含的基本事件
例 11，将两封信投入 4 个信箱中，求两封信在同一信箱的事件 A 的概率。 【答疑编号：10010306 针对该题提问】 解：（1）先将第一封信投入信箱，有 4 种方法 再将第二封信投入信箱，也有 4 种方法 ∴根据乘法原则共有 4×4 种方法
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∴基本事件总数 n=4×4 （2）将两封信同时投入一个信箱，方法有 4 种 ∴A 包含的基本事件数 r=4
例 12，袋中有 10 个球，其中有 6 个白球，4 个红球，从中任取 3 个，求： （1）所取的三个球都是白球的事件 A 的概率 【答疑编号：10010307 针对该题提问】 （2）所取三个球中恰有 2 个白球一个红球的事件 B 的概率 【答疑编号：10010308 针对该题提问】 （3）所取 3 个球中最多有一个白球的事件 C 的概率 【答疑编号：10010309 针对该题提问】 （4）所取 3 个球颜色相同的事件 D 的概率 【答疑编号：10010310 针对该题提问】 解：基本事件总数
（1）A 包含的基本事件数
（2）B 包含的基本事件数
（3）C 的基本事件包含两类：
第一类，一个白球，二个红球的取法有 第二类，0 个白球，三个红球取法有 ∴事件 C 包含的基本事件数 种
（4）事件 D 包含的基本事件有两类：
第一类，三个球都是白球的取法有 第二类，三个球都是红球的取法有 ∴事件 D 包含的基本事件数 种 （种）
种
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（四）概率的加法公式 请先看下面引例： 掷一次骰子，A=｛1，3，5｝，B=｛1，2，3｝请求： （1）P（A）； 【答疑编号：10010311 针对该题提问】 （2）P（B）； 【答疑编号：10010312 针对该题提问】 （3）P（A+B）； 【答疑编号：10010313 针对该题提问】 （4）P（AB） 【答疑编号：10010314 针对该题提问】 解：（1） （2） （3）
（4）
由本例看出，P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB），本例的结果具有普遍性，下面我们不 加证明地介绍下面公式：
特别情形： （1）如果 A 与 B 互斥，即 AB=Φ 则 P（AB）=0 这时 （2）因为 A 与 所以 有性质
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当上面等式中左边的概率 P（A）不易求得，而且 A 的对立事件 算时，便可以通过容易计算的 求难计算的概率 P（A）。
的概率
则较易计
例 1 若 P（A）=0.5，P（A+B）=0.8，P（AB）=0.3，求 P（B） 【答疑编号：10010315 针对该题提问】 解：因为 P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB） ∴P（B）=P（A+B）+P（AB）-P（A） =0.8+0.3-0.5=0.6 例 2，袋中有 10 件产品，其中有 6 件正品，4 件次品，从只任取 3 件，求所取 3 件中有 次品的事件 A 的概率。 【答疑编号：10010316 针对该题提问】 解：A 表示有次品，它包含有 1 件次品，有 2 件次品，有 3 件次品三类事件，计算比较 复杂。 而对立事件 则表示没有次品，即都是正品的事件，比较简单。 因为基本事件总数 事件 包含的基本事件
加法公式可推广如下：
例 3，P（A）=0.4，P（B）=0.5，P（C）=0.4，P（AB）=0.2，P（AC）=0.24，P（BC） =0，求 P（A+B+C）。 【答疑编号：10010317 针对该题提问】 解：
（五）概率的减法公式
因为
，而
，而 BA 与
明显不相容。
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特别地，若 所以当
，则有 AB=A
例 1 ，已知 P（B）=0.8，P（AB）=0.5，求 【答疑编号：10010318 针对该题提问】 解：
例 2，若 A 与 B 互不相容，P（A）=0.5，P（B）=0.3，求 【答疑编号：10010319 针对该题提问】 解：（1）P（A+B）=P（A）+P（B）=0.8 根据对偶公式 所以 §1.3 条件概率
（一）条件概率和乘法公式
符号 的是 条件概率
叫在事件 B 已经发生的条件下，事件 A 发生的概率，叫条件概率 ，需要指出 仍是事件 A 的概率，但是它有条件，条件是以 B 已经发生为前提，或者
是以 B 已经发生为条件。 例 1，某厂有 200 名职工，男、女各占一半，男职工中有 10 人是优秀职工，女职工中 有 20 人是优秀职工，从中任选一名职工。 用 A 表示所选职工优秀，B 表示所选职工是男职工。 求（1）P（A）； 【答疑编号：10010401 针对该题提问】 （2）P（B）； 【答疑编号：10010402 针对该题提问】 （3）P（AB）； 【答疑编号：10010403 针对该题提问】 （4） ；
【答疑编号：10010404 针对该题提问】
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解：（1） （2） （3）AB 表示所选职工既是优秀职工又是男职工
（4）
表示已知所选职工是男职工。在已知所选职工是男职工的条件下，该职工是
优秀职工，这时 n=100,r=10
由本例可以看出 事件 A 与事件
不是同一事件,所以它们的概率不同,即
由本例还可看出, 事件 AB 与事件
事件 AB 表示所选职工既是男职工又是优秀 也不相同， 职
工，这时基本事件总数 n1=200，r=10。而事件 则表示已知所选职工是男职工，所以基本事 件总数 n2=100，r=10，所以 由本例可以看出 虽然 P（AB）与 不相同，但它们有关系，
本例的结果具有普遍性。下面我们不加证明地给出下面的乘法公式：
显然有：若 P（A）>0 则有
将上面的结果改写为整式有
∴
18
公式
叫概率的乘法公式。
例 2，在 10 件产品中，有 7 件正品，3 件次品，从中每次取出一件（不放回），A 表示 第一次取出正品，B 表示第二次取出正品，求： （1）P（A）； 【答疑编号：10010405 针对该题提问】 （2） ；
【答疑编号：10010406 针对该题提问】 （3）P（AB） 【答疑编号：10010407 针对该题提问】 解（1） （2）
∴（3） 例 3，若 P（AB）=0.3，P（B）=0.5，求 【答疑编号：10010408 针对该题提问】
=
解： 例 4，若 P（A）=0.8，P（B）=0.4， 【答疑编号：10010409 针对该题提问】 解：（1） ，求 。
∴（2） 例 5， 某人寿命为 70 岁的概率为 0.8， 寿命为 80 岁的概率为 0.7， 若该人现已 70 岁时， 问他能活到 80 岁的概率是多少？ 【答疑编号：10010410 针对该题提问】 解：用 A 表示某人寿命为 70 岁，B 表示某人寿命为 80 岁。 已知 P（A）=0.8，P（B）=0.7 由于
因为 所以，已经活到 70 岁的人能活到 80 岁的概率为 0.875
19
乘法公式可以推广为：
例 6，袋中有三件正品，二件次品（√√√××）从中每次取出 1 件（不放回）共取 3 次，求第 3 次才取到次品的事件 B 的概率。 【答疑编号：10010411 针对该题提问】 解：用 A1 表示第一次取到正品 A2 表示第二次取到正品 A3 表示第三次取到正品 则
用古典概型计算 P（A1），这时 n1=5，r1=3
再用古典概型计算
，这时 n2=4，r2=2
再用古典概型计算
，这时 n3=3，r3=2
（二）全概公式
定义：若事件组 （1） 互不相容
满足条件
（2）在一次试验中，事件组 就说事件组
中至少发生一个，即
是样本空间 ? 的一个划分。
例如事件组 A 与
有
所以事件组
是样本空间的一个划分。
例如某产品由甲、乙、丙三厂分别生产，A1 表示该产品由甲厂生产，A2 表示该产品由乙 厂生产，A3 表示该产品由丙厂生产，则事件组 A1，A2，A3 满足：
20
全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜
色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？
Ⅱ、综合测试题 s388 概率论与数理统计（经管类）综合试题一 （课程代码 4183） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列选项正确的是 ( B ). A. A B A B +=+ B.()A B B A B +-=- C. (A -B )+B =A D. AB AB = 2.设()0,()0P A P B >>，则下列各式中正确的是 ( D ). A.P (A -B )=P (A )-P (B ) B.P (AB )=P (A )P (B ) C. P (A +B )=P (A )+P (B ) D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ) 3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ). A. 18 B. 16 C. 14 D. 1 2 4.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 ( B ). A. 1120 B. 160 C. 15 D. 12 5.设随机事件A ，B 满足B A ?，则下列选项正确的是 ( A ). A.()()()P A B P A P B -=- B. ()()P A B P B += C.(|)()P B A P B = D.()()P AB P A = 6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，则f (x )一定满足 ( C ). A. 0()1f x ≤≤ B. f (x )连续 C. ()1f x dx +∞-∞ =? D. ()1f +∞= 7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2k b P X k k ===，且0b >，则参数b 的 值为 ( D ). A. 1 2 B. 13 C. 15 D. 1
概率论与数理统计习题及答案 习题一 1.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C （1）A发生，B，C都不发生； （2）A与B发生，C （3）A，B，C都发生； （4）A，B，C （5）A，B，C都不发生； （6）A，B，C （7）A，B，C至多有2个发生； （8）A，B，C至少有2个发生. 【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC （4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC (5) ABC=A B C(6) ABC (7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC 3.. 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）. 【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7, （1）在什么条件下P（AB （2）在什么条件下P（AB） 【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6. （2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)
= 14+14+13-112=34 7. 52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？ 【解】 p =5332 131313131352C C C C /C 8. （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）= 517=（17 ）5 （亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故 P （A 2）=5567 =(67)5 (3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日} P （A 3）=1-P (A 1)=1-( 17 )5 9..见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n 1 全国2018年7月高等教育自学考试 概率论与数理统计（二）试题 课程代码：02197 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设事件A 与B 互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,则有（ ） A.P(A ?B)=P(A)+P(B) B.P(AB)=P(A)P(B) C.A=B D.P(A|B)=P(A) 2.某人独立射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多击中一次的概率为（ ） A.0.002 B.0.008 C.0.08 D.0.104 3.设事件{X=K}表示在n 次独立重复试验中恰好成功K 次，则称随机变量X 服从（ ） A.两点分布 B.二项分布 C.泊松分布 D.均匀分布 4.设随机变量X 的概率密度为f(x)=???<<-其它,02 x 1),x 2x 4(K 2 则K=（ ） A.165 B.21 C.43 D.54 5. 则F(1,1) =（ ） A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.7 6.设随机向量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=????? <<<<--; ,0,4y 2,2x 0),y x 6(81 其它 则P （X<1,Y<3）=（ ） 2 A.8 3 B.8 4 C.8 5 D.87 7.设随机变量X 与Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E （XY ）=（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 8.设X 1, X 2, …,X n ，…为独立同分布的随机变量序列，且都服从参数为 21的指数分布，则当n 充分大时，随机变量Y n =∑=n 1i i X n 1的概率分布近似服从（ ） A.N （2，4） B.N （2，n 4） C.N （n 41,21） D.N （2n,4n ） 9.设X 1,X 2,…，X n (n ≥2)为来自正态总体N （0，1）的简单随机样本，X 为样本均值，S 2为样本方差，则有（ ） A.)1,0(N ~X n B.nS 2~χ2(n) C.)1n (t ~S X )1n (-- D.)1n ,1(F ~X X )1n (n 2i 2i 21 --∑= 10.若θ)为未知参数θ的估计量，且满足E （θ)）=θ，则称θ)是θ的（ ） A.无偏估计量 B.有偏估计量 C.渐近无偏估计量 D.一致估计量 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.设P （A ）=0.4，P （B ）=0.5，若A 、B 互不相容，则P （AB ）=___________. 12．某厂产品的次品率为5%，而正品中有80%为一等品，如果从该厂的产品中任取一件来检验，则检验结果是一等品的概率为___________. 13．设随机变量X~B （n,p ），则P （X=0）=___________. 概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020 一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为 2019年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 概率论与数理统计(经管类)04183 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。 1.设()0.6P B =，()0.5P A B =，则()P A B -= A. 0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 2.设事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =,()0.8P A B =，则()P B = A. 0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.6 3.甲袋中有3个红球1个白球，乙袋中有1个红球2个白球，从两袋中分别取出一个球，则两个球颜色相同的概率的概率是 A. 16 B. 14 C. 13 D. 512 4.设随机变量X 则P{X>0}= A. 14 B. 12 C. 34 D. 1 5.设随机变量X 的概率为,02()0,cx x f x ≤≤?=?? 其他，则P{X ≤1}= A. 14 B. 12 C. 23 D. 34 6.已知随机变量X~N(-2,2)，则下列随机变量中，服从N(0,1)分布的是 A. 1(2) 2X - B. 1(2)2X + C. 2)X - D. 2)X + A. 0.1 B.0.4 C.0.5 D.0.7 8.设随机变量X 与Y 相互独立，且D(X)=4，D(Y)=2,则D(3X-2Y)= A. 8 B.16 C.28 D.44 9.设123,,x x x 是来自总体X 的样本，若E(X)=μ(未知)，123132 x ax ax μ=-+是μ的无偏估计，则常数a= A. 16 B. 14 C. 13 D. 12 10.设12,,,(1)n x x x n >为来自正态总体2(,)N μσ的样本，其中2,μσ均未知，x 和2s 分别是样本均值和样本方差，对于检验假设0000=H H μμμμ≠：，：，则显著性水平为α的检验拒绝域为 A. 02(1)x n αμ??->-???? B. 02x αμ??->??? ? C. 02(1)x n αμ??-≤-???? D. 02x αμ??-≤??? ? 二、填空题：本大题共15小题，每小题2分，共30分。 11.设A,B,C 是随机事件，则“A,B,C 至少有一个发生”可以表示为 . 12.设P(A)=0.3,P(B)=0.6,P(A|B)=0.4,则P(B|A)= . 13.袋中有3个黄球和2个白球，今有2人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率为 . 14.已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}，则λ= . 15.设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则P{X ≥1}= . P{X=Y}= . 17.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,01,02,(,)0,, c x y f x y ≤≤≤≤?=??其他 则常数c= . 18.设随机变量X 服从区间[1,3]上的均匀分布，Y 服从参数为2的指数分布，X,Y 相互独立，f(x,y)是(X,Y)的概率密度，则f(2,1)= . 19.设随机变量X,Y 相互独立，且X~B(12,0.5),Y 服从参数为2的泊松分布，则E(XY)= . 20.设X~B(100,0.2), 204 X Y -=，由中心极限定理知Y 近似服从的分布是 . 21.已知总体X 的方差D(X)=6, 123,,x x x 为来自总体X 的样本，x 是样本均值，则D(x )= . 22.设总体X 服从参数是λ的指数分布，12,, ,n x x x 为来自总体X 的样本，x 为样本 均值，则E(x )= . 23.设1216,, ,x x x 为来自正态总体N(0,1)的样本，则2221216x x x +++服从的分布是 . 概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它 《概率论与数理统计》期中考试试题汇总 《概率论与数理统计》期中考试试题（一） 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分） 1．某射手向一目标射击两次，A i表示事件“第i次射击命中目标”，i=1，2，B表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B=（）A．A1A2B．21A A C．21A A D．21A A 2．某人每次射击命中目标的概率为p(0 6．设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数2为的指数分布，Y ～B (6，2 1)，则D(X-Y)=( ) A ．1- B ．74 C ．54- D ．12 - 二、填空题（本题共9小题，每小题2分，共18分） 7．同时扔3枚均匀硬币，则至多有一枚硬币正面向上的概率为________. 8．将3个球放入5个盒子中，则3个盒子中各有一球的概率为= _______ _. 9．从a 个白球和b 个黑球中不放回的任取k 次球，第k 次取的黑球的概率是= . 10．设随机变量X ～U (0，5)，且21Y X =-，则Y 的概率密度f Y (y )=________. 11．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度 f (x ,y )=? ??≤≤≤≤，y x ，其他,0,10,101则P {X +Y ≤1}=________. 12．设二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵是40.50.59?? ???， 则相关系数,X Y ρ= ________. 13. 二维随机变量(X ，Y ) (1,3,16,25,0.5)N -:，则X : ;Z X Y =-+: . 14. 随机变量X 的概率密度函数为 51,0()50,0x X e x f x x -?>?=??≤?，Y 的概率密度函数为1,11()20,Y y f y others ?-< 《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量 probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律 第一章 随机事件和概率 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．设随机事件A 与B 互不相容，且()(),P A p P B q ==，则A 与B 中恰有一个发生的概率等于（ ） .A p q + .B p q pq +- .C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+- 6．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 7．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 8．设()0.6,()0.8,()0.8P A P B P B A ===，则下列结论中正确的是（ ） .A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆 第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数 一、随机变量 随机试验的结果是事件，就“事件”这一概念而言，它是定性的。要定量地研究随机现象，事件的数量化是一个基本前提。很自然的想法是，既然试验的所有可能的结果是知道的，我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值，在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系，从而对一个随机试验进行定量的描述。 例2-1 将一枚硬币掷一次，观察出现正面H、反面T的情况。这一试验有两个结果：“出现H”或“出现T”。为了便于研究，我们将每一个结果用一个实数来代表。比如，用数“1”代表“出现H”，用数“0”代表“出现T”。这样，当我们讨论试验结果时，就可以简单地说成结果是1或0。建立这种数量化的关系，实际上就相当于引入一个变量X，对于试验的两个结果，将X的值分别规定为1或0。如果与样本空间 { } {H,T}联系起来，那么，对于样本空间的不同元素，变量X可以取不同的值。因此，X是定义在样本空间上的函数，具体地说是 1,当 H X X( ) 0,当 T 由于试验结果的出现是随机的，因而X(ω)的取值也是随机的，为此我们称 X( )X(ω)为随机变量。 例2-2 在一批灯泡中任意取一只，测试它的寿命。这一试验的结果（寿命）本身就是用数值描述的。我们以X记灯泡的寿命，它的取值由试验的结果所确定，随着试验结果的不同而取不同的值，X是定义在样本空间 {t|t 0}上的函数 X X(t) t,t 因此X也是一个随机变量。一般地有 定义2-1 设 为一个随机试验的样本空间，如果对于 中的每一个元素 ，都有一个实数X( )与之相对应，则称X为随机变量。 一旦定义了随机变量X后，就可以用它来描述事件。通常，对于任意实数集合L,X在 L上的取值，记为{X L}，它表示事件{ |X( ) L}，即 。 {X L} { |X( ) L} 例2-3 将一枚硬币掷三次，观察出现正、反面的情况。设X为“正面出现”的次数，则X是一个随机变量。显然，X的取值为0，1，2，3。X的取值与样本点之间的对应关系如表2-1所示。 表2-1 表2-1 07.4 10.设总体X 服从正态分布N （μ，1），x 1，x 2，…，x n 为来自该总体的样本，x 为样本均值，s 为样本标准差，欲检验假设H 0∶μ=μ0，H 1∶μ≠μ0，则检验用的统计量是（ ） A.n /s x 0μ- B.)(0μ-x n C. 1 0-μ-n /s x D.)(10μ--x n 23.设样本x 1，x 2，…，x n 来自正态总体N （μ，9），假设检验问题为H 0∶μ=0，H 1∶μ≠0，则在显著性水平α下，检验的拒绝域W=___________。 24.设0.05是假设检验中犯第一类错误的概率，H 0为原假设，则P {拒绝H 0｜H 0真}= ___________。 07.7 25．设总体X~N （μ,σ2），X 1，X 2，…，X n 为来自该总体的一个样本.对假设检验问题 2 212020::σσσσ≠?=H H ，在μ未知的情况下，应该选用的检验统计量为___________. 9．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） A ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 B ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 C ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 D ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 24．设总体X~N （μ,σ2 ）,x 1,x 2,x 3,x 4为来自总体X 的体本，且2 4 1 2 4 1 )(,4 1 σ∑∑==-= i i i i x x x x 则 服 从自由度为____________的2χ分布. 27．假设某校考生数学成绩服从正态分布，随机抽取25位考生的数学成绩，算得平均成绩 61=x 分，标准差s=15分.若在显著性水平0.05下是否可以认为全体考生的数学平均成 绩为70分？（附：t 0.025(24)=2.0639） 08.1 23.当随机变量F~F(m,n )时,对给定的.)),((),10(ααα=>< 概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式： 设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率） 乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式： （全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 （贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性： 两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数: 概率论和数理统计真题讲解 （一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0,P（B）＞0，则（） A.P（B|A）＝0 B.P（A|B）＞0 C.P（A|B）＝P（A） D.P（AB）＝P（A）P（B） 『正确答案』分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。 解析：A：，因为A与B互不相容，，P（AB）＝0，正确； 显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。 故选择A。 提示：① 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立； ② 条件概率的计算公式：P（A）＞0时，。 2.设随机变量X～N（1，4），F（x）为X的分布函数，Φ（x）为标准正态分布函数，则F（3）＝（） A.Φ（0.5） B.Φ（0.75） C.Φ（1） D.Φ（3） 『正确答案』分析：本题考察正态分布的标准化。 解析：， 故选择C。 提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。 3.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则P{0≤X≤}＝（） 『正确答案』分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。第33页 解析：， 故选择A。 提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。 4.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则常数c＝（） A.－3 B.－1 C.－ D.1 『正确答案』分析：本题考察概率密度的性质。 解析：1＝，所以c＝－1， 故选择B。 提示：概率密度的性质： 1.f（x）≥0； 4.在f（x）的连续点x，有F′（X）＝f（x）；F（x）是分布函数。课本第38页 5.设下列函数的定义域均为（－∞，＋∞），则其中可作为概率密度的是（） A.f（x）＝－e－x B. f（x）＝e－x C. f（x）＝ D.f（x）＝ 『正确答案』分析：本题考察概率密度的判定方法。 解析：① 非负性：A不正确；② 验证：B：发散； C：，正确；D：显然不正确。 故选择C。 提示：判定方法：若f（x）≥0，且满足，则f（x）是某个随机变量的概率密度。 6.设二维随机变量（X，Y）～N（μ1,μ2，），则Y ～（） 『正确答案』分析：本题考察二维正态分布的表示方法。 解析：显然，选择D。 《概率论与数理统计》课程自学指导书 前言 . . 《概率论与数理统计》是城市规划专业和地理信息系统专业的专业必修课。《概率统计》教材系统阐述了概率论和数理统计的基本内容、理论和应用方法。概率统计是研究随机现象客观规律的数学学科，它的应用非常广泛，并具有独特的思维和方法。通过概率论的学习能使学生了解概率与数理统计的基本概念和基本理论，初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。通过本课程的学习，能够为学生学习后继课程及进一步提高打下必要的数学基础。其内容可分为三大部分。第一部分概率论部分，包括第一、二、三、四、五章。作为基础知识，为读者提供了必要的理论基础。第二部分数理统计部分，包括第六、七、八、九章，主要讲述参数估计和假设检验，并介绍了方差分析和回归分析。第三部分随机过程部分，主要讨论了平稳随机过程，还介绍了马尔可夫过程。 本指导书是作为函授学员在集中授课后，指导自学而编制的。内容较为简明扼要。主要是为了让学员能够抓住要领，掌握重点，理解难点，从而达到能够融会贯通、灵活掌握概率统计的基本概念、基本理论从而解决实际问题的目的。 本指导书的主要参考书目： 1． 景泰等编。概率论与数理统计.上海科学技术文献出版社,1991. 2． 玉麟主编。概率论与数理统计.复旦大学出版社，1995。 3．大茵，陈永华编。概率论与数理统计。浙江大学出版 社.1996 本课程的考核内容以教学大纲为依据，注重基本概念、基本理论的掌握和应用的考核。主要考核方式为笔试。 第一章概率论的基本概念 一、内容概述 # 本章介绍了概率论的基本概念：随机试验、样本空间、随机事件、频率与概率，讨论研究等可能概型问题、条件概率及独立性问题。 二、教学目的要求 # （1） 理解并掌握概率论的基本概念。7月全国自考概率论与数理统计(二)试题及答案解析
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