三角函数及其恒等变换
知识点一、三角函数的有关概念
1、终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}． 2、弧长、扇形面积公式
设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝|α|r ，扇形的面积为S ＝12lr ＝1
2|α|·r 2.
3、任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y
x (x ≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 小题速通
1．(2019·济南模拟)已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝
2
4
x ，则x ＝( ) A. 3 B ．± 3 C ．－ 2 D ．－3
3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )
A.π3
B.π
2
C. 3 D ．2 4．已知扇形的半径r ＝10 cm ，圆心角α为120°，则扇形的面积为________cm 2. 5．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 清易错
1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．
2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． 3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 1．下列说法正确的是( )
A ．三角形的内角必是第一、二象限角
B ．第一象限角必是锐角
C ．不相等的角终边一定不相同
D ．若β＝α＋2k π(k ∈Z)，则α和β终边相同
2．已知点P ??
??
32
，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
A.5π6
B.2π3
C.11π6
D.5π
3 3．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，则sin α＋cos α＝________.
知识点二、三角变换公式
1、同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.
2、诱导公式
sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α?β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β
1?tan αtan β.
4、二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin_αcos_α；
cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α
1－tan 2α.
小题速通
1．已知α∈????π2，3π2，tan(α－π)＝－3
4
，则sin α＋cos α的值是( ) A ．±15 B.15 C ．－15 D ．－7
5
2．已知sin ????π2－α＝3
5
，则cos(π－2α)的值为( )
A.2425
B.725 C ．－725 D ．－2425 3．已知cos ????π6－α＝3
3，则sin ????π3＋α＝________. 4．已知tan α＝2，则sin α＋cos α
2sin α＋cos α＝________.
5．计算：sin 250°
1＋sin 10°＝________.
清易错
1．利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角的范围进行确定． 2．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． 1．已知α∈????π2，π，sin α＋cos α＝3
，则cos(2 018π－2α)＝( ) A ．±
63 B ．－53 C ．－63 D ．±53
2．若cos ????α＋π4＝13，α∈???
?0，π
2，则sin α的值为( ) A.4－26 B.4＋26 C.718 D.23
知识点三、正弦、余弦、正切函数的图象与性质
正弦、余弦、正切函数的图象与性质
π
小题速通
1．函数y ＝1－2sin 22x 的最小正周期是( )
A.π4
B.π2
C.2π
3 D ．π 2．若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间???
?0，π
3上的最大值为1，则ω＝( ) A.14 B.13 C.12 D.3
2 3．已知函数f (x )＝sin ????ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则f ???
?π
8＝( ) A ．1 B.12 C ．－1 D ．－1
2
4．(2019·杭州模拟)若函数f (x )＝sin x ＋φ
3
(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )
A.π2
B.2π3
C.3π2
D.5π3
5．若函数f (x )＝sin ω x (ω>0)在区间????0，π3上单调递增，在区间???
?π3，π
2上单调递减，则ω等于( ) A.23 B.3
2 C ．2 D ．
3 清易错
1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π
2(k ∈Z)隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是????－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z ，不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π
4
，正切函数不存在减区间．
2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．
3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z”这一条件． 1．(2019·石家庄一模)函数f (x )＝tan ?
???2x －π
3的单调递增区间是( ) A.????k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.????k π2－π12，k π2＋5π
12(k ∈Z) C.????k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) D.????k π＋π6，k π＋2π
3(k ∈Z) 2．函数f (x )＝sin(－2x )，x ∈[0,2π]的单调递增区间是________________．
知识点二、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用
1、用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)
A
－A
2 法一 法二 小题速通
1．函数y ＝sin ????2x －π3在区间???
?－π
2，π上的简图是( ) 2．将函数y ＝sin 2x 的图象先向左平移π
6
个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的函数解析式是( )
A ．y ＝sin ????2x －π6＋1
B ．y ＝sin ????2x ＋π3＋1
C ．y ＝sin ????2x ＋π6＋1
D ．y ＝sin ????2x －π
3＋1 3.函数f (x )＝33sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是图象的最高点，点C 是图象的最低点，且△ABC 是正三角形，则f (1)＋f (2)＋f (3)的值为( )
A.92
B.93
2 C ．93＋1 D.9（3＋1）2
4.如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)????x ∈R ，A >0，ω>0，0<φ<π2在区间????－π6，5π
6上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )
A ．向左平移π
6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变
C ．向左平移π
3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
D ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变
清易错
1．由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为????
φω，而不是|φ|. 2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数． 1．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( )
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移1个单位
C ．向左平移1
2
个单位
D ．向右平移1
2
个单位
2．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π
2
个单位后，与函数y ＝sin ????2x ＋π3的图象重合，则φ＝________. 过关检测练习
一、选择题
1.(2019·杭州模拟)如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )
A ．(cos θ，sin θ)
B ．(－cos θ，sin θ)
C ．(sin θ，cos θ)
D ．(－sin θ，cos θ)
2．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( )
A ．重合
B ．关于原点对称
C ．关于x 轴对称
D ．关于y 轴对称
3．已知sin ????π2＋α＝1
2，α∈????－π2，0，则cos ???
?α－π3的值是( ) A.12 B.23 C ．－1
2 D ．1 4．(2019·淄博调研)已知tan α＝2，则sin 2α－sin αcos α的值是( )
A.25 B ．－2
5 C ．－2 D ．2 5．设函数f (x )＝sin ?
???2x －π
2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π
2的偶函数
6．已知函数f (x )＝sin ?
???ωx ＋π
3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π
3对称
B ．关于点????
π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π
6
对称
D ．关于点????π6，0对称
7．将函数y ＝3sin ????2x ＋π3的图象向右平移π
2
个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间????π12，7π12上单调递减 B ．在区间????π12，7π
12上单调递增 C ．在区间????－π6，π3上单调递减 D ．在区间???
?－π6，π
3上单调递增 8.(2019·河北衡水中学调研)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是( )
A ．函数f (x )的最小正周期为2π
3
B ．函数f (x )的图象可由g (x )＝A cos ωx 的图象向右平移π
12个单位长度得到
C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π
12对称
D ．函数f (x )在区间????
π4，π2上单调递增 二、填空题
9．函数f (x )＝sin x －4sin 3x 2cos x
2
的最小正周期为________．
10．在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A ，且点A 的横坐标为5
13，则
tan ???
?π－α
2的值为________． 11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)????ω>0，|φ|<π
2的部分图象如图所示，则φ＝________. 12．函数f (x )＝log 21＋sin 2x
sin x ＋cos x 的最大值为________．
三、解答题
13．设函数f (x )＝3sin ????ωx ＋π6()ω>0，x ∈R 的最小正周期为π2
. (1)求f (x )的解析式；
(2)利用“五点作图法”，画出f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)已知f ????α4＋π12＝9
5，求cos α的值．
14．已知向量m ＝????3sin x 4，1，n ＝????cos x 4
，cos 2x
4，记f (x )＝m ·n . (1)若f (x )＝1，求cos ???
?x ＋π
3的值； (2)在锐角△ABC 中，(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (2A )的取值范围．
15．(2019·青岛模拟)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ωx ＋π
6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高
点的距离为π.
(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间．
高考研究课一、三角函数的3个基本考点——定义、公式和关系
全国卷5年命题分析
考点 考查频度 考查角度 三角函数的定义 5年2考 用三角函数的定义求值
同角三角函数基本关系式
5年2考 求值 诱导公式
5年1考
变角求值
典例、(1)点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动
8π
3
弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________． (2)已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m
4
，求cos α，tan α的值． 方法技巧
(1)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数
值．
(2)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标． 即时演练
1．已知角α终边与单位圆x 2＋y 2＝1的交点为P ????12，y ，则sin ???
?π
2＋2α＝( ) A ．－12 B.12 C ．－3
2
D ．1
2．在平面直角坐标系中，点M (3，m )在角α的终边上，点N (2m ，4)在角α＋π
4
的终边上，则m ＝( )
A ．－6或1
B ．－1或6
C ．6
D ．1
知识点二、诱导公式
典例、(1)(2019·淄博模拟)已知sin ????7π12＋α＝23，则cos ?
???α－11π
12＝________； (2)化简：1－2sin 40°cos 40°
cos 40°－1－sin 250°＝________.
方法技巧
利用诱导公式化简三角函数的思路和要求
思路方法：
(1)分析结构特点，选择恰当公式； (2)利用公式化成单角三角函数； (3)整理得最简形式．
化简要求：(1)化简过程是恒等变形；
(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
即时演练
1．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( )
A ．－1
B ．1
C ．3
D ．－3
2．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin ????－α－3π2cos ????3π2－αcos ????π2－αsin ???
?π2＋α·tan 2
(π－α)＝________.
知识点三、同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系是三角变换的基础，也是高考命题的热点，难度不大，属低档题.,常见的命题角度有： 1知弦求弦、切问题； 2知切求弦问题； 3
sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题；
4已知tan α，求f sin α，cos α值问题.
角度一：知弦求弦、切问题
1．已知cos α＝k ，α∈????
π2，π，则sin(π＋α)＝( )
A ．－1－k 2 B.1－k 2 C ．±1－k 2 D ．－k 2．已知sin ????α＋π3＝－1
2
，α∈(0，π)，则cos α＝( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－3
2
角度二：知切求弦问题
3．已知tan(α－π)＝3
4
，且α∈????π2，3π2，则sin ????α＋π2＝( ) A.45 B ．－45 C.35 D ．－3
5
角度三：sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题
4．(2019·揭阳模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π
2
，则cos α－sin α的值为( )
A ．－
32 B.32 C ．－34 D.3
4
5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝
23????π
2
＜α＜π，则sin α－cos α＝________.
角度四：已知tan α，求f (sin α，cos α)值问题
6．已知α是三角形的内角，且tan α＝－1
3， 则sin α＋cos α＝________.
7．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则sin 2α
cos 2β的值为________．
方法技巧
同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧
解读
适合题型
切弦互化 主要利用公式tan θ＝sin θ
cos θ
化成正弦、余弦，或者利用
公式sin θcos θ＝tan θ化成正切
表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ
“1”的变换
1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)
＝tan π
4
＝(sin θ±cos θ)2?2sin θcos θ
表达式中需要利用“1”转化
和积转换
利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转
化
表达式中含有sin θ±cos θ或sin
θcos θ
1．(2019·全国卷Ⅲ)若tan α＝3
4
，则cos 2α＋2sin 2α＝( )
A.6425
B.4825 C ．1 D.1625
2．(2019·大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( )
A.45
B.35 C ．－35 D ．－45 3．(2019·全国卷Ⅲ)若tan α>0，则( )
A ．sin 2α>0
B ．cos α>0
C ．sin α>0
D ．cos 2α>0 4．(2019·全国卷Ⅲ)已知θ是第四象限角，且sin ????θ＋π4＝35，则tan ???
?θ－π
4＝________. 高考达标检测
一、选择题
1.如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，且B ????45，－3
5，点C 在第一象限，∠AOC ＝α，BC ＝1，则cos ????
5π6－α＝( )
A ．－45
B ．－35 C.35 D.4
5
2．(2019·江西六校联考)点A (sin 2 018°，cos 2 018°)位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θ
sin θ
的值是( )
A ．－2
B ．2
C ．±2 D.1
2
4．(2019·江西五校联考)cos 350°－2sin 160°
sin －190°
＝( )
A ．－ 3
B ．－
32 C.3
2
D.3 5．已知A (x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点O )上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°，交单位圆于点B (x B ，y B )，则x A －y B 的取值范围是( )
A ．[－2,2]
B ．[－2，2]
C ．[－1,1] D.????－12，1
2 6．(2019·日照模拟)已知－π2＜α＜0，sin α＋cos α＝15，则1
cos 2α－sin 2α
的值为( )
A.75
B.725
C.257
D.24
25 二、填空题
7．若tan α＝3，则sin α－π＋cos π－α
sin ????π2－α＋cos ???
?π2＋α＝________.
8．(2019·枣庄模拟)已知cos ????π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ????5π6＋θ＋sin ???
?2π
3－θ的值是________． 9．(2019·成都一诊)在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P (x 0，y 0)，且OP ＝r (r ＞0)，定义：sicos θ＝y 0－x 0r ，称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若sicos θ＝0，则sin ????2θ－π
3＝________. 三、解答题
10．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋
3
cos α
的值． 11．已知cos(α－7π)＝－3
5，求sin(3π＋α)·tan ????α－7π2的值． 12．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ????α－π2·cos ???
?3π
2＋α·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）
.
(1)化简f (α)；(2)若cos ????α－3π2＝1
5，求f (α)的值． 能力提高训练题
1．若sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( )
A.1－m 2 B ．－1－m 2 C.m 2－1 D ．－m 2－1 2．化简cos 2n π＋x ·sin 2n π－x
cos 2[2n ＋1π－x ]
(n ∈Z)的结果为________．
高考研究课二、三角函数的1个常考点——图象与性质
全国卷5年命题分析
考点
考查频度 考查角度
三角函数的图象与性质
5年3考
由单调性求参数、求单调区间与周期、对称性问题，
三角函数性质的综合问题
典例、(1)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域是________． (2)函数y ＝2sin ????
πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．
(3)函数f (x )＝cos 2x ＋sin x ???
?x ∈????－π4，π4的值域为________． 方法技巧
1．三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 2．三角函数最值或值域的求法
(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．
(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域． (3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数求值域． 1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( )
A ．[－1,1]
B ．[－2,2]
C ．[－2,0]
D ．[0,2]
2．在△ABC 中，sin A cos B ＝－(2sin C ＋sin B )cos A ，则函数f (x )＝2sin 2x ＋sin(2x －A )在区间????0，π
4上的最大值为________．
3．求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．
知识点二、三角函数的单调性
典例、(2019·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R)． (1)求f ????
2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． 方法技巧
1．求三角函数单调区间的2种方法
2
即时演练
1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ????ωx ＋π4在????π
2，π上是减函数，则ω的取值范围是________． 2．函数f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x 的递减区间是________．
知识点三、三角函数的周期性、奇偶性及对称性
正、余弦函数的图象即是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.
常见的考查角度有： 1三角函数的周期性； 2三角函数的奇偶性； 3三角函数的对称性； 4三角函数性质的综合应用.
角度一：三角函数的周期性
1．(2019·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )
A.π2 B ．π C.3π
2
D ．2π 2．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －4cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π，且f (θ)＝1
2
，则f ????θ＋π2＝( ) A ．－52 B ．－92 C ．－112 D ．－13
2
角度二：三角函数的奇偶性
3．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋ 3 cos(x ＋θ)???
?θ∈????－π2，π2是偶函数，则θ的值为( ) A ．0 B.π6 C.π4 D.π3
方法技巧
若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝k π＋π
2(k ∈Z)，同时，当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx
＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z)，同时，当x ＝0时，f (x )＝0.
角度三：三角函数的对称性
4．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于????π2，0对称，则函数f (x )在???
?－π4，π6上的最小值是( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－12 D ．－3
2
5．设函数f (x )＝sin ?
???ωx ＋π
6－1(ω>0)的导数f ′(x )的最大值为3，则f (x )的图象的一条对称轴的方程是( ) A ．x ＝π9 B ．x ＝π6 C ．x ＝π3 D ．x ＝π
2
方法技巧
对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．
角度四：三角函数性质的综合应用
6．已知函数f (x )＝3cos ?
???2x －π
3(x ∈R)，下列结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )图象关于点????
5π12，0对称 C ．函数f (x )在区间????0，π2上是减函数 D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π
6对称 7．(2019·福建连城模拟)已知函数f (x )＝2sin 2????
π4＋x －3cos 2x .
(1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；
(2)若当x ∈????
π4，π2时，关于x 的方程f (x )－m ＝2有解，求实数m 的取值范围．
高考真题演练
1．(2019·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ???
?x ＋π
3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2π B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π
3对称
C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π
6 D ．f (x )在????π2，π单调递减 2．(2019·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝1
5sin ???
?x ＋π3＋cos ????x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35 D.1
5 3．(2019·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝sin ?
???2x ＋π
3的最小正周期为( ) A ．4π B ．2π C ．π D.π
2
4．(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)????ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π
4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在????
π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )
A ．11
B ．9
C ．7
D ．5
5．(2019·全国卷Ⅲ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos2x ＋π
6，④y ＝tan ????2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )
A ．②④
B ．①③④
C ．①②③
D ．①③
高考达标检测
一、选择题
1．函数f (x )＝(1－cos 2x )cos 2x ，x ∈R ，设f (x )的最大值是A ，最小正周期为T ，则f (AT )的值为( )
A.14
B.1
2
C ．1
D ．0
2．(2019·广东七校联考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π
6
处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )
A ．关于点????
π6，0对称 B ．关于点????
π3，0对称 C ．关于直线x ＝π
6
对称
D ．关于直线x ＝π
3
对称
3．下列函数同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x ＝π
6
对称；(3)在????π6，π3上是减函数”的是( ) A ．y ＝sin ????x 2＋5π12 B ．y ＝sin ????2x －π3 C ．y ＝cos ????2x ＋2π3 D ．y ＝sin ????2x ＋π
6 4．若函数f (x )＝cos ????ωx ＋π6(ω>0)在[0，π]内的值域为?
???－1，3
2，则ω的取值范围是( ) A.????32，53 B.????56，32 C.????56，＋∞ D.???
?56，5
3 5．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1A >0，ω>0，0<φ<π
2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻
两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＝( )
A ．4 033
B ．4 034
C ．4 035
D ．4 036
6．(2019·洛阳统考)已知f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤????f ????π6对一切x ∈R 恒成立，且f ???
?π2＞0，则f (x )的单调递增区间是( )
A.????k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)
B.????k π＋π6，k π＋2π
3(k ∈Z) C.????k π，k π＋π2(k ∈Z) D.????k π－π
2，k π(k ∈Z) 二、填空题 7．函数f (x )＝
1＋log 1
2
x ＋tan ????x ＋π4的定义域是________． 8．函数y ＝tan ????2x ＋π
4的图象与x 轴交点的坐标是________________． 9．已知函数f (x )＝|cos x |sin x ，给出下列五个说法：
①f ????82π3＝－3
4； ②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z)； ③f (x )在区间????－π4，π
4上单调递增； ④函数f (x )的周期为π；
⑤f (x )的图象关于点????
π2，0成中心对称． 其中正确说法的序号是________． 三、解答题
10．设函数f (x )＝sin ????πx 3－π6－2cos 2πx 6
＋1. (1)求f (x )的最小正周期；
(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈????0，3
2时，y ＝g (x )的最大值． 11．已知函数f (x )＝a ???
?2cos 2x
2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；
(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．
12．(2019·江苏高考)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．
(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 能力提高训练题
1．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)????ω>0，|φ|<π2的图象过点B (0，－1)，且在????π18，π
3上单调，同时f (x )的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合．当x 1，x 2∈????－17π12
，－2π
3，且x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( ) A ．－ 3 B ．－1 C ．1 D.2 2．已知函数f (x )＝4cos ωx sin ?
???ωx －π
6(ω>0)的最小正周期是π. (1)求函数f (x )在区间(0，π)上的单调递增区间；(2)求f (x )在????
π8，3π8上的最大值和最小值．
高考研究课三、三角函数的1个必考点——函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象和性质
全国卷5年命题分析
典例、(1)要得到函数y ＝sin ?
???4x －π
3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π
12个单位
B ．向右平移π
12个单位
C ．向左平移π
3
个单位
D ．向右平移π
3
个单位
(2)(2019·景德镇测试)已知函数f (x )＝4cos x ·sin ???
?x ＋π
6＋a 的最大值为2. ①求a 的值及f (x )的最小正周期； ②在坐标系上作出f (x )在[0，π]上的图象．
方法技巧
1．三角函数图象变换的2要点 (1)常规方法
主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x ，如果x 的系数不是1，则需把x 的系数提取后再确定平移的单位长度和方向．
(2)方程思想
可以把判断的两函数变为同名的函数，且x 的系数变为一致，通过列方程求解，如y ＝sin 2x 变为y ＝sin ????2x ＋π3，可设平移φ个单位长度，即2(x ＋φ)＝2x ＋π3?φ＝π6，向左平移π
6
，若φ＜0说明向右平移|φ|个单位长度．
2．用“五点法”作图的注意点
(1)将原函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的形式． (2)求出周期T ＝2π
ω.
(3)求出振幅A .
(4)列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点和区间端点． 即时演练
1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)????其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2的图象如图，为了得到f (x )的图象，则只需将g (x )＝sin 2x 的图象( )
A ．向右平移π6个单位长度
B ．向右平移π
3个单位长度
C ．向左平移π6个单位长度
D ．向左平移π
3
个单位长度
2．要得到函数y ＝sin x ＋cos x 的图象，可以由函数y ＝sin x －cos x 的图象向左平移得到，则平移的最短长度为_______．
知识点二、由图象求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式
典例、(1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝( )
A ．0 B.2 C.2＋2
D ．1
(2)如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (ω＞0,0≤φ＜2π)，则温度变化曲线的函数解析式为________． 方法技巧
求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)中参数的方法
(1)求A ，b
先确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m
2.
(2)求ω
先确定函数的周期T ，则可得ω＝2π
T .
(3)求φ
常用方法有：①代入法．把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法．确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，具体如下： 选“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时，令ωx ＋φ＝0； 选“第二点”(即图象的“峰点”)时，令ωx ＋φ＝π2
；
选“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时，令ωx ＋φ＝π； 选“第四点”(即图象的“谷点”)时，令ωx ＋φ＝3π
2；
选“第五点”时，令ωx ＋φ＝2π. 即时演练
1.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈????－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )
A ．1 B.12 C.22 D.3
2
2．(2019·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ????5π8＝2，f ????11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )
A ．ω＝23，φ＝π
12
B ．ω＝23，φ＝－11π
12
C ．ω＝13，φ＝－11π
24
D ．ω＝13，φ＝7π
24
知识点三、 y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质
函数y ＝A sin ωx ＋φ的图象与性质是命题的热点，多将图象变换、解析式求法与性质综合一起考查，属中低档题.
常见的命题角度有：
1图象变换与性质的综合； 2解析式的求法与性质的综合； 3图象与性质的综合问题.
角度一：图象变换与性质的综合
1．定义行列式运算??
????a 1 a 2b 1 b 2＝a 1b 2－a 2b 1，将函数f (x )＝????
??3 sin x 1 cos x 的图象向左平移t (t >0)个单位，所得图象对应的
函数为偶函数，则t 的最小值为( )
A.π6
B.π3
C.5π6
D.2π
3
角度二：解析式的求法与性质的综合
2．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)????ω＞0，|φ|≤π
2的部分图象如图所示，A ，B 两点之间的距离为10，且f (2)＝0，若将函数f (x )的图象向右平移t (t ＞0)个单位长度后所得函数图象关于y 轴对称，则t 的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
角度三：图象与性质的综合问题
3．(2019·江西联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)－1(ω>0，|φ|<π)的一个零点是π
3，函数y ＝f (x )图象的一条对称轴是直
线x ＝－π
6
，则当ω取得最小值时，函数f (x )的单调递增区间是( )
A.????3k π－π3，3k π－π6(k ∈Z)
B.????3k π－5π3，3k π－π
6(k ∈Z) C.????2k π－2π3，2k π－π6(k ∈Z) D.????2k π－π3，2k π－π
6(k ∈Z) 4．已知函数f (x )＝cos ????2x －π3＋2sin ????x －π4sin ???
?x ＋π
4. (1)求函数f (x )的单调递增区间；
(2)先将y ＝f (x )的图象向左平移π
3个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，
得到函数y ＝g (x )的图象，若函数y ＝g (x )在区间????
π2，13π4上的图象与直线y ＝a 有三个交点，求实数a 的取值范围． 方法技巧
解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y ＝f (x )化为y ＝a sin x ＋b cos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
高考真题演练
1．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ?
???2x ＋2π
3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6个单位长度，得到曲线
C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12个单位长度，得到曲线
C 2
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度，得到曲线
C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12个单位长度，得到曲线
C 2
2．(2019·全国卷Ⅲ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A ．y ＝2sin ????2x －π6
B ．y ＝2sin ????2x －π3
C ．y ＝2sin ????x ＋π6
D ．y ＝2sin ???
?x ＋π
3 3．(2019·全国卷Ⅲ)将函数y ＝2sin ????2x ＋π6的图象向右平移1
4
个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ????2x ＋π4 B ．y ＝2sin ????2x ＋π3 C ．y ＝2sin ????2x －π4 D ．y ＝2sin ????2x －π
3 4．(2019·全国卷Ⅲ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π
12
个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z)
B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z)
C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z)
D ．x ＝k π2＋π
12(k ∈Z)
5．(2019·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )
A.????k π－14，k π＋34，k ∈Z
B.????2k π－14，2k π＋3
4，k ∈Z C.????k －14，k ＋34，k ∈Z D.?
???2k －14，2k ＋3
4，k ∈Z 6．(2019·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．
高考达标检测
一、选择题
1．(2019·长沙质检)将函数y ＝cos 2x 的图象先向左平移π
2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的
函数解析式是( )
A ．y ＝－sin 2x
B ．y ＝－cos 2x
C ．y ＝2sin 2x
D ．y ＝－2cos 2x
2．已知曲线C 1：y ＝sin x ，曲线C 2：y ＝cos ?
???2x －π
3，则下面结论正确的是( ) A ．曲线C 1横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π
6个单位，得到C 2
B ．曲线
C 1横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π
12个单位，得到C 2
C ．曲线C 1横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移π
6个单位，得到C 2
D ．曲线C 1横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移π
12
个单位，得到C 2
3．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0.函数图象的两个对称轴间最短距离为π2，直线x ＝π
6
是其
高考数学（文）难题专项训练：三角函数及三角恒等变换 1.已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心，且θ=∠A 若 AO m AC B C AB C B 2sin cos sin cos =+则=m （ ） A ．θsin B. θcos C. θtan D. 不能确定 2.设函数)(x f 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意)(D M M x ?∈，有 D l x ∈+，且)()(x f l x f ≥+，则称)(x f 为M 上的高调函数. 现给出下列命题： ①函数x x f -=2 )(为R 上的1高调函数； ②函数x x f 2sin )(=为R 上的高调函数； ③如果定义域为),1[+∞-的函数2 )(x x f =为),1[+∞-上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是),2[+∞； ④函数)12lg()(+-=x x f 为),1[+∞上的2高调函数. 其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3. 已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30< 4. 在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且c b a b 2sin 2sin log log ,22<>， bc a c b 3222+=+,若0 三角函数恒等变换 ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=???→=-↓=-=-±±= ?-↓= -m m 说明：和差角公式和二倍角公式主要用于诱导公式无法使用的复合角求值问题，对于已知部分，要尽量和所求部分找出角度之间的关系。公式优先级：二倍角》诱导公式》和差角。 题型一，和差角公式的直接应用 分为展开计算和合并计算两类。对于展开计算即给角求角问题，无论所给的是否为单角，一律看成单角并用其凑出所求角；合并计算针对于给出正余弦的和差式，要想法朝角度的和差角展开式式凑，具体为先统一为两角再合并。 1计算： （1）??+??20sin 80sin 20cos 80cos = ； （2）??+??55cos 10cos 35cos 80cos = ； （3）cos 5πcos 103π-sin 5πsin 103π＝ ； （4）－sin 3πcos 6π+sin 6πcos 3π =__________； （5） sin 2πcos 6π－cos 2πsin 6π = _________ ； （6）cos 3πcos 6π+sin 6πsin 3π =____________； （7）cos 4πcos 2π－sin 2πsin 4 π =_____________； 三角函数题型分类总结 一．求值 1、sin330?= tan690° = o 585sin = 2、（1）(07全国Ⅰ) α是第四象限角，12 cos 13 α= ，则sin α= （2）（09北京文）若4 sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . （3）（09全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12 cot 5 A =- ，则cos A = . (4) α是第三象限角，2 1)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ += 3、(1) (07陕西) 已知sin ,5 α= 则44sin cos αα-= . (2)（04全国文）设(0,)2 π α∈，若3sin 5α= )4 π α+= . （3）（06福建）已知3( ,),sin ,25π απα∈=则tan()4 π α+= 4（07重庆）下列各式中，值为 2 3 的是( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5. (1)(07福建) sin15cos75cos15sin105+o o o o = (2)（06陕西）cos 43cos77sin 43cos167o o o o += 。 （3）sin163sin 223sin 253sin 313+=o o o o 。 6.(1) 若sin θ＋cos θ＝ 1 5 ，则sin 2θ= （2）已知3 sin()45 x π-=，则sin 2x 的值为 (3) 若2tan =α ,则 α αα αcos sin cos sin -+= 7. （08北京）若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 8．（07浙江） 已知cos( )2 π ?+= ，且||2 π ?<，则tan ?＝ 9. 若 cos 2π2sin 4αα=- ?? - ? ? ?cos sin αα+= 两角和与差的正弦、余弦、正切 1. 利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换;2?利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2?灵活使用（正用、逆用、变形用）两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键? 知识点回顾 1 ?两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos( a—0)= cos acos0+ sin ocsin0(C a- 0 cos( a+ 0)= cos. acos _ 0— sin__ asin_ 0(C a+ 0 sin( a—0 = sin a cos0- cos ocsin (S a—0 sin( a+ 0 = sin a cos0+ cos ocsin0(S a+ 0 tan a—tan 卩 tan( a—? ；(T a—0 1 + tan atan 卩 tan a+ tan 卩 tan(%+ ? = (T a + 0 1 —tan %tan 0 2 ?二倍角公式 sin 2 a= 2sin ： cos：； cos 2 a= cos2a—sin2a= 2cos 2a—1 = 1 —2sin2a； 2ta n a tan 2 a= . 1 —tan a 3 ?在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等?如 T a±0可变形为 tan a± tan 0= tan( a± 0(1? tan_ %tan_ 0, tan a+ tan 0 tan a—tan 0 tan %tan 0= 1 —= —1. tan a+ 0 tan a—0 4 ? 函数f( a= a cos a+ b sin a(a, b 为常数),可以化为f( a = \i a2+ b2sin( a+ 0)或f( %)='：：：［a2+ 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 2019年 1.（2019北京9）函数f (x )=sin 2 2x 的最小正周期是 ________. 2.（2019全国Ⅲ理12）设函数()f x =sin （5 x ωπ + ）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0, 10 π ）单调递增 ④ω的取值范围是[1229 510 ，) 其中所有正确结论的编号是 A ． ①④ B ． ②③ C ． ①②③ D ． ①③④ 3.（2019天津理7）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?π=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π ，且π4g ??= ???3π8f ?? = ??? A.2- B. D.2 4.（2019全国Ⅱ理10）已知α∈(0， 2 π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α= A ． 15 B ． 5 C ． 3 D 5 5.（2019江苏13）已知tan 2 π3tan 4αα=-? ?+ ?? ?，则πsin 24α??+ ?? ?的值是_________. 6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124 y f x f x ππ =+ ++ 的值域. 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅲ)若1 sin 3 α=，则cos2α= A ． 89 B ． 79 C ．79 - D ．89 - 2．（2016年全国III ）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+= A ． 6425 B ．4825 C ．1 D ．1625 3．（2016年全国II ）若3 cos( )45π α-=，则sin 2α=（ ） A ．7 25 B ．15 C ．15- D ．725- 4．（2015新课标Ⅰ）sin 20cos10cos160sin10-= A ． B C ．12- D ．1 2 5．（2015重庆）若tan 2tan 5 π α=，则 3cos()10sin() 5 π απ α- -＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．（2014新课标Ⅰ）若0tan >α，则 A ．0sin >α B ． 0cos >α C ． 02sin >α D ． 02cos >α 7．（2014新课标Ⅰ）设(0, )2π α∈，(0,)2 π β∈，且1sin tan cos βαβ+= ，则 A ．32 π αβ-= B ．22 π αβ-= C ．32 π αβ+= D ．22 π αβ+= 8．（2014江西）在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则 2222sin sin sin B A A -的值为（ ） A ．19- B ． 13 C ．1 D ．72 两角和与差的正弦、余弦、正切 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换； 2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键． 知识点回顾 1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β (T α－β) tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β (T α＋β) 2． 二倍角公式 sin 2α＝ααcos sin 2； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α 1－tan 2α . 3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如 T α±β可变形为 tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β＝tan α－tan β tan α－β－1. 4． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝ a 2＋ b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α －φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 三角函数 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，(C (α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，(C (α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，(S (α－β)) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，(S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β ，(T (α－β)) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β .(T (α＋β)) 2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α . 3．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2 . 4．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋ b 2，cos φ＝ a a 2＋ b 2. 练习题： 1．sin 18°cos 27°＋cos 18°sin 27°的值是( ) A.22 B.12 C.32 D ．－22 2.(2016·全国丙卷)若tan α＝34 ，则cos 2α＋2sin 2α等于( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625 3．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010 ，则sin C 等于( ) A.255 B ．－255 C.55 D ．－55 4．若函数f (x )＝－sin 2 x ＋12 (x ∈R)，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π2 的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 §6.3 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 【复习目标】 1．掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式； 2．能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值． 3．能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式证明． 【双基诊断】 （以下巩固公式） 1、163°223°253°313°等于 （ ） A.－2 1 B.2 1 C.－ 2 3 D. 2 3 2、在△中，已知2，那么△一定是 （ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 3、??-?70sin 20sin 10cos 2的值是 （ ） A.2 1 B. 2 3 C. 3 D.2 4、已知α－β=2 1，α－β=3 1，则（α－β）. 5、已知5 3sin ),,2 (=∈αππα，则=+)4 tan(πα 。 6、若 t =+)sin(απ，其中α是第二象限的角，则 =-)cos(απ 。 7、化简 1tan151tan15 +-等于 （ ） ()A () B () C 3 () D 1 8、(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++= （ ） ()A 2 ()B 4 ()C 8 ()D 16 9、已知α和（4 π－α）是方程2 0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 （ ） B.2 10、0015tan 75tan += 。 11、设14°14°，16°16°， 6 6，则a 、b 、c 的大小关系是 （ ） ＜b ＜c ＜c ＜b ＜c ＜a ＜a ＜c 12、△中，若2a ，60°，则. 13、f （x ）= x x x x cos sin 1cos sin ++的值域为 （ ） A.（－3 －1，－1）∪（－1， 3 －1） B. （21 3-- ，2 13-） C.［2 1 2--，－1］∪（－1， 2 12-） D. ［21 2-- ，2 12-］ 14、已知∈（0，2 π），β∈（2 π，π），（α+β）=65 33，β=－ 13 5 ，则α. 15、下列各式中，值为2 1的是 ( ) 15°15° B.2 2 12 π－ 1 C. 2 30cos 1? + D. ? -?5.22tan 15.22tan 2 16、已知2θ 2θ3 32，那么θ的值为，2θ的值为. 17、=000080cos 60cos 40cos 20cos 。 三角函数恒等变换 一、三角函数的诱导公式 1、下列各角的终边与角α的终边的关系 角 2k π+α(k ∈Z) π+α -α 图示 与α角终边的关系 相同 关于原点对称 关于x 轴对称 角 π-α 2π -α 2 π +α 图示 与α角终边的关系 关于y 轴对称 关于直线y=x 对称 2、六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2k π+α (k ∈Z) π+α -α π-α 2 π -α 2 π +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α - cos α cos α - cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α - tan α - tan α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 注：诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式。记忆规律是：奇变偶不变， 符号看象限。其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。 二、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 . sinα= 2 2tan 2 1tan 2 α α + , cosα= 2 2 1tan 2 1tan 2 α α - + 3、形如asinα+bcosα的化简 asinα+bcosα=22 a b +sin(α+β).其中cosβ= 22 a a b + ,sinβ= 22 b a b +三、简单的三角恒等变换 简单三角恒等变换 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα2 2 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 cos 2cos 12α α=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα 2cos 2 4cos 12=+】 α ααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是 2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2 sin 2cos 12α α=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα 2sin 2 4cos 12=-】 三角函数 三角恒等变换知识点总结 一、角的概念和弧度制： （1）在直角坐标系讨论角： 角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 （2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0 Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ； ②一些特殊角集合的表示： 终边在坐标轴上角的集合： ； 终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示： ①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ； 第一、三象限角： ； ②写出图中所表示的区间角： （4）正确理解角： 要正确理解“o o 90~0间的角”= ； “第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o 90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2 α 所在的象限。 来判断 3 α 所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一 已知角α的弧度数的绝对值r l = ||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。 （7）弧长公式： ；半径公式： ； 扇形面积公式： ； 二、任意角的三角函数： （1）任意角的三角函数定义： 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个 异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ； =αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ； 如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线； 比较)2 , 0(π ∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。 （三、同角三角函数的关系与诱导公式： （1）同角三角函数的关系 三角函数恒等变形公式 以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A2+B2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A2+B2)^(1/2) cost=A/(A2+B2)^(1/2) tant=B/A Asinα-Bcosα=(A2+B2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)] 三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin3(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α) cos(3α)=4cos3(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α) tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式 sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 三角函数恒等变换题型、方法总结 1．两角和与差的三角函数 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= 。 2．二倍角公式 αααcos sin 22sin =； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα =-。 3．三角函数式的化简 常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。 （2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。 （1）降幂公式 ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；2 2cos 1cos 2αα+=。 （2）辅助角公式 ()sin cos sin a x b x x ?+=+， sin cos ??==其中 4．三角函数的求值类型有三类 （1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题； （2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论； （3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。 5．三角等式的证明 （1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”； （2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。 三角函数知识点总结 1、任意角。 2、角α的顶点与 重合，角的始边与 重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、 叫做1弧度． 5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是 ． 6、弧度制与角度制的换算公式 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则L= ． S= 8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是 () 220r r x y =+>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限 余弦为正． 10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、同角三角函数的基本关系：(1) ;(2) 。 12、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ???．()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ???． 口诀：奇变偶不变，符号看象限． 重要公式 ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 函数、三角函数、三角恒等变换重要公式 1. B A = {|,}x x A x B ∈∈或 ;B A = {|,}x x A x B ∈∈且; {|,}U C A x x U x U =∈?且 2、 当n 为奇数时， a a n n =；当n 为偶数时，a a n n =. 3、 ⑴m n m n a a =()1,,,0*>∈>m N n m a ； ⑵()01 >= -n a a n n ； 4、 运算性质： ⑴()Q s r a a a a s r s r ∈>=+,,0；⑵()()Q s r a a a rs s r ∈>=,,0；⑶()()Q r b a b a ab r r r ∈>>=,0,0. 5、指数函数解析式：()1,0≠>=a a a y x 6、指数函数性质： 7、指数与对数互化式：log x a a N x N =?=； 8、对数恒等式：log a N a N = 9、基本性质：01log =a ，1log =a a . 10、运算性质：当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ⑴()N M MN a a a log log log +=；⑵N M N M a a a log log log -=?? ? ??；⑶M n M a n a log log =. 11、换底公式：a b b c c a log log log = ()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a . 12、重要公式：log log n m a a m b b n = 13、倒数关系：a b b a log 1 log = ()1,0,1,0≠>≠>b b a a . 三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2 θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2 2 b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan == x x x ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得???=+=，1 cos sin cos 2sin 2 2x x x x 解这个方程组得.55cos 5 52sin ,55cos 552sin ??? ????-=-=?? ?????==x x x x 2．求 ) 330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(ο ο ο οοο----的值． 解：原式 ) 30360cos()150sin()30720tan() 120360sin()30180cos()180120tan(o οοοοοοοοοο--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=ο οοοοο 3．若 ,2cos sin cos sin =+-x x x x ，求sin x cos x 的值． 解：法一：因为 ,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得 ，，?????? ?=-=?? ? ????-==1010cos 10 103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?- =103 cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 三角函数与三角恒等变换(A) 一、填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上) 1. 半径是r，圆心角是α(弧度)的扇形的面积为________. 2. 若 ，则tan(π＋α)＝________. 3. 若α是第四象限的角，则π－α是第________象限的角. 4. 适合 的实数m的取值范围是_________. 5. 若tanα＝3，则cos2α＋3sin2α＝__________. 6. 函数 的图象的一个对称轴方程是___________.(答案不唯一) 7. 把函数 的图象向左平移 个单位，所得的图象对应的函数为偶函数，则 的最小正值为___________. 8. 若方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，则常数k的取值范围是__________. 9. 1－sin10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝__________. 10. 角α的终边过点(4，3)，角β的终边过点(－7，1)，则sin(α＋β)＝__________. 11. 函数 的递减区间是___________. 12. 已知函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(－1)＝1，那么 __________. 13. 若函数y＝sin(x＋ )＋cos(x＋ )是偶函数，则满足条件的 为_______. 14. tan3、tan4、tan5的大小顺序是________. 二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分14分)已知 ，求 的值. 16. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝2sinx(sinx＋cosx). (1) 求函数f(x)的最小正周期和最大值； (2) 在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f(x)在区间 上的图象. 17. (本小题满分14分)求函数y＝4sin2x＋6cosx－6( )的值域. 18. (本小题满分16分)已知函数 的图象如图所示. (1) 求该函数的解析式； (2) 求该函数的单调递增区间. 19. (本小题满分16分)设函数 授课主题 三角函数诱导公式及恒等变换 教学目的 掌握三角函数的诱导公式和恒等变换公式 灵活运用三角函数公式 教学重点 三角函数公式的运用 教学内容 1、象限角 （1）各象限角的范围 （2）三角函数值在各象限的符号 αsin αcos αtan 2、角度与弧度之间的转换 3、同角三角函数的基本关系 ()()122=+ ()() = αtan 练习：（1、（2011全国，14）已知），（ππα23∈，tan α=2，则cos α= ； （2、若=?+=+α ααααcos sin 2cos 1 0cos sin 32 ，则 ； （3、若==+ααααtan 1sin cos sin 2，则 ； （一）诱导公式 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限 例题赏析 例题1、（2013广东，4）已知==??? ??+ααπcos 51 25sin ，那么（）； A ：52- B ：51- C ：51 D ：5 2 例题2、已知31sin -=+）（απ，则[]？）（）（）（=-+-?-+--?+) 2cos(cos cos ) 2cos(1cos cos cos πααπαπααπααπ 达标训练 （1、已知=+=+）（是锐角，则，）（απααπsin 5 3 2sin （）． 53.A 53.-B 54.C 5 4.-D 正弦 余弦 正切 α- απ-2 απ+2 απ-2 2 απ +2 2 απ-23 απ+23 （2、若=+）（）（是第二象限角，则θπθπθ-23 sin sin 2-1（） ． θθcos sin -、A θθsin cos .-B )cos sin (.θθ-±C θθcos sin .+D （二）三角函数的求值与化简 1、两角和差公式 =+）（βαsin ；=-）（βαsin ； =+）（βαcos ；=-）（βαcos ； =+）（βαtan ；=-）（βαtan ； 记忆口诀：正弦角大值大，角小值小；余弦角大值小，角小值大；正切的与正弦相同。 公式拓展 =+ααcos sin b a ，其中 ； =+ααcos sin b a ，其中 。 例题精讲 例题1、（2012重庆，5）=? ? ?-?17cos 30cos 17sin 47sin （） A. 23- B.21- C.21 D.2 3 例题3、（2014全国大纲，14）函数x x y 2sin 22cos +=的最大值为 。 达标训练 （1、（2014江苏，15）已知?? ? ??∈ππα，2，55sin =α. 求（1））（ απ +4 sin 的值； 两角和与差的正弦、余弦、正切 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换； 2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征； 2.灵活使用 (正用、逆用、变形用 )两角和与差的正弦、余弦、 正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键． 知识点回顾 1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－ β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋ β)＝cos_αcos_β－ sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－ β)＝sin_αcos_β－ cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋ β)＝sin_αcos_β＋ cos_αsin_β (S α＋β) tan α－ tan β (T α－ β tan( α－ β)＝ 1＋ tan αtan β ) tan α＋ tan β (T α＋ β tan( α＋ β)＝ 1－ tan αtan β ) 2． 二倍角公式 sin 2α＝ 2 sin cos ； cos 2α＝cos 2α－sin 2 α＝2cos 2α－ 1＝ 1－ 2sin 2α； tan 2 α＝ 2tan α 2 . 1－ tan α 3． 在准确熟练地记住公式的基础上， 要灵活运用公式解决问题： 如公式的正用、 逆用和变形用等． 如 T α±β 可变形为 tan α± tan β＝ tan( α±β)(1tan_ αtan_ β)， tan αtan β＝ 1－ tan α＋ tan β tan α－ tan β ＝ － 1. tan α＋β tan α－ β 4． 函数 f(α)＝ acos α＋ bsin α(a ，b 为常数 )，可以化为 f(α)＝ a 2＋ b 2sin(α＋ φ)或 f(α)＝ a 2＋ b 2 cos(α－ φ)， 其中 φ 可由 a ， b 的值唯一确定． [难点正本 疑点清源 ] 三角变换中的 “三变 ” (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是 “配凑 ”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有 “切化弦 ”、 “升幂与降幂 ”等． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有 “常值代 换 ”、 “逆用变用公式 ”、 “通分约分 ”、 “分解与组合 ”、 “配方与平方 ”等． 热身训练 2 1 tan α 1． 已知 sin(α＋ β)＝ ， sin(α－ β)＝－ ，则 的值为 _______． 3 5 tan β(完整版)三角函数恒等变换高一
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