2016-2017学年新疆生产建设兵团二中高三（上）第二次月考数
学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数z=i（2﹣i）（i是虚数单位），则z的共轭复数=（）
A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
2．若“?x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的范围是（）
A．[1，+∞）B．[0，+∞）C．（1，+∞）D．（0，+∞）
3．若点M（，a）在函数y=log3x的图象上，且角θ的终边所在直线过点M，则tanθ=（）
A．B．C．﹣3 D．±3
4．《九章算数》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问题”“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀（即每节容量成等差数列），问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为（）
A．B．C．D．
5．若直线l： +=1（a＞0，b＞0）过点A（1，2），则a+8b的最小值为（）
A．34 B．27 C．25 D．16
6．设P是?ABCD对角线的交点，O为空间任意一点（不在平面ABCD上），则++
+等于（）
A．4B．6C．2D．
7．已知2sinθ=1+cosθ，则tanθ=（）
A．或0 B．或0 C．D．
8．若f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，则的值为（）
A．或B．或 C．D．
9．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：
①＞；
②a c＜b c；
③log b（a﹣c）＞log a（b﹣c）．
其中所有的正确结论的序号（）
A．①B．①②C．②③D．①②③
10．已知定义在R上的函数f（x），当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）
=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣），则f（6）=（）
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2
11．若函数f（x）=x3+tx2+x+1（t∈R）在（﹣，﹣）内是减函数，则实数t的取值范围为（）
A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．D．
12．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=?=2，则点
集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）
A．B． C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为．
14．各项均为实数的等比数列{a n}，前n项和为S n，若S10=1，S30=7，则S40=．15．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c 的解集为（m，m+6），则实数c的值为．
16．sin2230°+sin110°?cos80°=．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一周期内的图
象时，列表并填入部分数据，如表：
（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡相应的位置，并求f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象上每一点的纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，得到函数g
（x）的图象．试求g（x）在区间[π，]上的最值．
18．在平面直角坐标系中，已知=（sin（x+），cosx），=（cos（x+），cosx），f
（x）=?．
（1）试求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若f（）=1，a=2，试求△
ABC面积的最大值．
19．设数列{a n}为等差数列，且a5=14，a7=20，数列{b n}的前n项和为S n=2n﹣1（n∈N*）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）若c n=a n?b n（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．
20．S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n=，设数列{b n}前n项和T n，且λ≤T n对一切n∈N*都成立，试求λ的最
大值．
21．函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x（a＜0）．
（1）当a=﹣1时，若函数y=f（x）与g（x）=x3+x2+m的图象有且只有3个不同的交
点，求实数m的值的取值范围；
（2）讨论f（x）的单调性．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．已知曲线C： +=1，直线l：（t为参数）．
（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（2）设M（1，2），直线l与曲线C交点为A、B，试求|MA|?|MB|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为s．
（1）试求s的值；
（2）若a，b，c∈R+，且a+b+c=s，求证：a2+b2+c2≥3．
2016-2017学年新疆生产建设兵团二中高三（上）第二次
月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数z=i（2﹣i）（i是虚数单位），则z的共轭复数=（）
A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解：z=i（2﹣i）=2i+1，
则z的共轭复数=1﹣2i．
故选：A．
2．若“?x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的范围是（）
A．[1，+∞）B．[0，+∞）C．（1，+∞）D．（0，+∞）
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】求出x∈[0，]时，tanx的值域，进而根据“?x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，可得实数m的范围．
【解答】解：当x∈[0，]时，tanx∈[0，1]，
若“?x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，
则m∈[0，+∞），
故选：B．
3．若点M（，a）在函数y=log3x的图象上，且角θ的终边所在直线过点M，则tanθ=（）
A．B．C．﹣3 D．±3
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】将M代入y=log3x，求出a的值，从而求出tanθ的值即可．
【解答】解：若点M（，a）在函数y=log3x的图象上，
则log3=a，解得：a=﹣1，
则tanθ==﹣3，
故选：C ． 4．《九章算数》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问题”“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀（即每节容量成等差数列），问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由题意知九节竹的容量成等差数列，至下而上各节的容量分别为a 1，a 2，…，a n ，公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出中间一节的容量．
【解答】解：由题意知九节竹的容量成等差数列，至下而上各节的容量分别为a 1，a 2，…，a n ，公差为d ，
∴
，
解得a 1=
，d=﹣，
∴中间一节的容量a 5=a 1+4d==
．
故选：D ．
5．若直线l ： +=1（a ＞0，b ＞0）过点A （1，2），则a +8b 的最小值为（ ） A ．34
B ．27
C ．25
D ．16
【考点】基本不等式．
【分析】由直线l ： +=1（a ＞0，b ＞0）过点A （1，2），可得=1．利用“乘1法”
与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵直线l ： +=1（a ＞0，b ＞0）过点A （1，2），∴=1．
则a +8b=（a +8b ）
=17+
+
≥17+2×2×
=25，当且仅当a=2b=5时取
等号．
∴a +8b 的最小值为25． 故选：C ．
6．设P 是?ABCD 对角线的交点，O 为空间任意一点（不在平面ABCD 上），则++
+等于（ ）
A ．4
B ．6
C ．2
D ． 【考点】向量的加法及其几何意义．
【分析】，，，，相加后相反向量抵消即
得．
【解答】解：如图，
，，
，，
因为P 是平行四边形ABCD 对角线的交点，
所以与、与互为相反向量，
所以
=
=
=， 故选：A ．
7．已知2sin θ=1+cos θ，则tan θ=（ ）
A ．
或0 B ．或0
C ．
D ．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式，求得tan θ的值．
【解答】解：∵2sin θ=1+cos θ，∴4sin
cos
=2
，∴cos
=0 或2sin
=cos
，
即=k π+，k ∈Z ，或tan =，即θ=2k π+π，k ∈Z ，或tan θ==，
即 tan θ=0，或tan θ=， 故选：B ．
8．若f （x ）=x 3+ax 2+bx ﹣a 2﹣7a 在x=1处取得极大值10，则的值为（ ）
A ．
或
B ．
或 C ．
D ．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】由于f ′（x ）=3x 2+2ax +b ，依题意知，f ′（1）=3+2a +b=0，f （1）=1+a +b ﹣a 2﹣7a=10，于是有b=﹣3﹣2a ，代入f （1）=10即可求得a ，b ，从而可得答案． 【解答】解：∵f （x ）=x 3+ax 2+bx ﹣a 2﹣7a ， ∴f ′（x ）=3x 2+2ax +b ，
又f （x ）=x 3+ax 2+bx ﹣a 2﹣7a 在x=1处取得极大值10， ∴f ′（1）=3+2a +b=0，f （1）=1+a +b ﹣a 2﹣7a=10，
∴a2+8a+12=0，
∴a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．
当a=﹣2，b=1时，f′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），
当＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；
当a=﹣6，b=9时，f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）
当x＜1时，f′（x）＞0，当＜x＜3时，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；
则=﹣=﹣，
故选：C．
9．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：
①＞；
②a c＜b c；
③log b（a﹣c）＞log a（b﹣c）．
其中所有的正确结论的序号（）
A．①B．①②C．②③D．①②③
【考点】不等式比较大小．
【分析】利用作差比较法可判定①的真假，利用幂函数y=x c的性质可判定②的真假，利用对数函数的性质可知③的真假．
【解答】解：①﹣=，∵a＞b＞1，c＜0∴﹣=＞0，故＞正
确；
②考查幂函数y=x c，∵c＜0∴y=x c在（0，+∞）上是减函数，而a＞b＞0，则a c＜b c正确；
③当a＞b＞1时，有log b（a﹣c）＞log b（b﹣c）＞log a（b﹣c）；正确．
故选D．
10．已知定义在R上的函数f（x），当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）
=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣），则f（6）=（）
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】确定当x＞时，f（x+1）=f（x），即函数的周期为1，再代入计算即可得出结论．
【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），
∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即函数的周期为1．
∴f（6）=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣（﹣1﹣1）=2，
故选：A．
11．若函数f（x）=x3+tx2+x+1（t∈R）在（﹣，﹣）内是减函数，则实数t的取值范围为（）
A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．D．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】首先对f（x）求导，函数f（x）=x3+tx2+x+1（t∈R）在（﹣，﹣）内是减函
数即f'（x）=3x2+2tx+1＜0的解集为（﹣，﹣）．
【解答】解：∵函数f（x）=x3+tx2+x+1（t∈R）
∴f'（x）=3x2+2tx+1＜0的解集为（﹣，﹣）
∴，计算解得：a≥2
故答案为：[2，+∞）
12．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=?=2，则点
集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）
A．B． C． D．
【考点】平面向量的基本定理及其意义；二元一次不等式（组）与平面区域；向量的模．
【分析】由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2
的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．
【解答】解：由两定点A，B满足==2，=﹣，则||2=（
﹣）2=﹣2?+=4，则||=2，说明O，A，B三点构成边长为2的等
边三角形．
不妨设A（），B（）．再设P（x，y）．
由，得：
．
所以，解得①．
由|λ|+|μ|≤1．
所以①等价于或或或
．
可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，
则区域面积为．
故选D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为1．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【解答】解：由z=x﹣2y得y=，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=，
由图象可知当直线y=，过点C（1，0）时，直线y=的截距最小，此时z
最大，
代入目标函数z=x﹣2y，得z=1
∴目标函数z=x﹣2y的最大值是1．
故答案为：1
14．各项均为实数的等比数列{a n}，前n项和为S n，若S10=1，S30=7，则S40=15．【考点】等比数列的前n项和．
【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，由S10=1，S30=7，可得=1，
=7，解得q10=2，=1．再利用求和公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S10=1，S30=7，
∴=1，=7，
化为：q20+q10﹣6=0，解得q10=2，∴=1．
则S40==24﹣1=15．
故答案为：15．
15．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c 的解集为（m，m+6），则实数c的值为9．
【考点】一元二次不等式的应用．
【分析】根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．
【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2﹣4b=0则b=
不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），
即为x2+ax+＜c解集为（m，m+6），
则x2+ax+﹣c=0的两个根为m，m+6
∴|m+6﹣m|==6
解得c=9
故答案为：9
16．sin2230°+sin110°?cos80°=．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用同角三角函数基本关系式、诱导公式及辅助角公式化简求值．
【解答】解：sin2230°+sin110°?cos80°=cos240°+cos20°sin10°
=+cos20°sin（30°﹣20°）=
+cos20
==
=．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一周期内的图
象时，列表并填入部分数据，如表：
（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡相应的位置，并求f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象上每一点的纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，得到函数g
（x）的图象．试求g（x）在区间[π，]上的最值．
【分析】（1）根据表中数据求出A、T以及ω和φ的值，写出f（x）的解析式，再补充表中数据；
（2）根据函数图象变换写出g（x）的解析式，求出它在区间[π，]上的最值即可．
【解答】解：（1）根据表中数据得，A=4，
T=﹣2π=，
所以T=6π=，
解得ω=，
所以×+φ=0，
解得φ=﹣；
所以，
补充表中数据为，，5π和0；
（2）将函数f（x）的图象上每一点的纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，
得到函数g（x）的图象，
所以，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴g（x）max=2，g（x）min=1．
18．在平面直角坐标系中，已知=（sin（x+），cosx），=（cos（x+），cosx），f
（x）=?．
（1）试求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若f（）=1，a=2，试求△
ABC面积的最大值．
【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．
【分析】（1）利用数量积运算性质、倍角公式、诱导公式可得f（x），再利用三角函数的单调性周期性即可得出．
（2）利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．
【解答】解：（1）由已知可得：f（x）=sin（x+）（cos（x+）+cosx?cosx=cos2x+
=cos2x+，
∴T=π，单调递增区间为：（k∈Z）．
（2）．
又∵a=2，∴a2=b2+c2﹣2bccosA，4=b2+c2﹣bc．
又∵b2+c2≥2bc（当且仅当“b=c”时取等号）
∴y=b2+c2﹣bc≥bc.．
当且仅当b=c=2时取等号．
∴．
19．设数列{a n}为等差数列，且a5=14，a7=20，数列{b n}的前n项和为S n=2n﹣1（n∈N*）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）若c n=a n?b n（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）利用等差数列的通项公式可得a n，利用递推关系可得b n．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（1）∵a5=14，a7=20．设等差数列首项为a1，公差为d，
则解得，
∴a n=3n﹣1．
又∴数列{b n}的前n项和，①，②
①﹣②可得：．
当n=1时，b1=1符号上式，∴．
（2）
，
．
两式相减得：，．
∴．
20．S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n=，设数列{b n}前n项和T n，且λ≤T n对一切n∈N*都成立，试求λ的最
大值．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）由递推关系可得：（a n+a n
﹣1）（a n﹣a n
﹣1
）=2（a n+a n
﹣1
）．a n＞0，可得a n﹣a n
﹣1
=2
（n≥2），利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出．
【解答】解：（1）由，①
可知，②（n≥2）
①﹣②得：，
即（a n+a n
﹣1）（a n﹣a n
﹣1
）=2（a n+a n
﹣1
）．
∵a n＞0，∴a n+a n
﹣1
≠0，
∴a n﹣a n
﹣1
=2（n≥2），
∴{a n}是以a1=3为首项，d=2为公差的等差数列．
∴．
（2）．
T n=b1+b2+…+b n==．
∵λ≤T n对一切n∈N*成立，∴λ≤T1．
∴，即的最大值为．
21．函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x（a＜0）．
（1）当a=﹣1时，若函数y=f（x）与g（x）=x3+x2+m的图象有且只有3个不同的交点，求实数m的值的取值范围；
（2）讨论f（x）的单调性．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）令，求出函数的导数，得到函数的单调性，从而求出m的范围即可；
（2）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．
【解答】解：（1）当a=﹣1时，，
故．
令，h'（x）=﹣x（x+1）（e x+1），
故当x＜﹣1时，h'（x）＜0；当﹣1＜x＜0时，h'（x）＞0；
当x＞0时，h'（x）＜0；，h（0）=﹣1．
故．
（2）由于f（x）=（ax2+x﹣1）e x，
∴f'（x）=（2ax+1+ax2+x﹣1）e x=．
当时，f'（x）≤0恒成立，∴f（x）在R上单调递减；
当时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，在（0，+∞）上单调递减；
当时，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在上单调递增，在
上单调递减．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．已知曲线C： +=1，直线l：（t为参数）．
（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（2）设M（1，2），直线l与曲线C交点为A、B，试求|MA|?|MB|的值．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（1）C参数方程（θ为参数）．消去参数t，可得直线l的普通方程；（2）设M（1，2），直线l与曲线C联立，利用参数的几何意义求|MA|?|MB|的值．
【解答】解：（1）C参数方程（θ为参数）.，
∴直线l的方程为．
（2）直线方程代入椭圆方程可得，
化简可得，
∴，，．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为s．
（1）试求s的值；
（2）若a，b，c∈R+，且a+b+c=s，求证：a2+b2+c2≥3．
【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．
【分析】（1）写出函数f（x）的分段函数的形式，从而求出f（x）的最大值s；（2）根据基本不等式的性质证明即可．
【解答】解：（1）．
∴s=3．
（2）证明：∵a+b+c=3，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤3（a2+b2+c2），
∴a2+b2+c2≥3．
当且仅当a=b=c=1时取等号．
2017年1月6日