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482(2),(4)37-高二数学周练习六（理）
本试卷共4页，满分160分．考试时间120分钟． 班级______姓名____________
学号_____
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共75分）．
1．函数()2sin(31)()f x x x R π=-∈的最小正周期为______________． 2．若2(1)1ai bi +=-+（,a b R ∈，i 是虚数单位），则a bi +=．
3．设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为_______．
4．已知两个单位向量1e ,2e 的夹角为120，若向量122a =+e e ，14b =e ，则a b ?=______________．
5．（2009北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为
______________．
6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22
2:1(0)x C y a a
-=>的一条渐近线与直线
:210l x y -+=垂
直，则实数a =______________．
7．已知32
()26f x x x a =-+(a 为常数)在[2,2]-上有最大值3，那么()f x 在[2,2]-的
最小值是
______________．
8．设,a b 为不重合的两条直线，,αβ为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若a ∥α且b ∥α，则a ∥b ； （2）若a α⊥且b α⊥，则a ∥b ； （3）若a ∥α且a ∥β，则α∥β； （4）若a α⊥且a β⊥，则α∥β．
上面命题中，所有真命题．．．
的序号是______________． 9．若等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列n S n ??
?
???
为等差数列，
公差为d ．类似地，若各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为q ，前n 项的积为n T ，则数列为
______________．
10．已知{}n a 是等差数列，设12||||||n n T a a a =++
+()n *
∈N ．
2
940n n -+5
247某学生设计了一个求n T 的部分算法流程图(如图)，图中空 白处理框中是用n 的表达式对n T 赋值，则空白处理框中应
填入：n T ←______________
． 11．已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <，且
()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，
则m n +=______________．
12．对于函数()f x ，若存在区间[,]()M a b a b =<，使得{}
(),y y f x x M M =∈=，则
称区间M 为
函数()f x 的一个“稳定区间”． 现给出下列4个函数：
①()x f x e =； ②3()f x x =； ③()cos
2
f x x π
=； ④()ln 1f x x =+
其中存在“稳定区间”的函数有______②③________．（填上正确的序号） 13．把函数3()3f x x x =-的图像1C 向右平移u 个单位长度，再向下平移v 个单位长度后
得到图像2C ．
若对任意的0u >，曲线1C 与2C 至多只有一个交点，则v 的最小值为______________．
14．
若函数*()()f x x t N =∈的最大值是正整数M ，则M =______________．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）．
15．(本小题满分14分) 设函数2
()ln(23)f x x x =++． (Ⅰ)讨论()f x 的单调性；
(Ⅱ)求()f x 在区间31
[,]44-
的最大值和最小值． 解：()f x 的定义域为32??
-+ ???，∞．
（Ⅰ）224622(21)(1)
()2232323
x x x x f x x x x x ++++'=+==+++．
当312x -<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当1
2
x >-时，()0f x '>．
从而，()f x 分别在区间312??-- ???，，12??-+ ???，∞单调增加，在区间112?
?-- ???，单调减少．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144??-????，的最小值为11ln 224f ??
-=+ ???．
又31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ????
??--=+--=+=- ? ? ?????
??0<．
N
B A （第18题图）
所以
()f x 在区间3144??
-????
，的最大值为117ln 4162f ??=+ ???．
16．(本小题满分15分) 数列{}n a 的前n 项和2n n S n a =-，先计算数列的前4项，后猜想
n a 并证明之．
解：由112a a =-，11a =，由12222a a a +=?-，得232
a =． 由123323a a a a ++=?-，得374a =
．由1234424a a a a a +++=?-，得415
8
a =． 猜想121
2
n n n a --=．下面用数学归纳法证明猜想正确：
（1）1n =时，左边11a =，右边11112121
122
n n +---===，猜想成立．
（2）假设当n k =时，猜想成立，就是1212k k k a --=，此时121
222
k k k k S k a k --=-=-．
则当1n k =+时，由112(1)k k S k a ++=+-， 得
111
2(1)2k k k S a k a +++-=+-，
11[2(1)]2k k a k S +∴=+-11(1)112121
12222
k k k k k k +-+-??--=+--= ???．
这就是说，当1n k =+时，等式也成立．由（1）（2）可知，1212
n n n a --=对n *
∈N 均成立．
17．(本小题满分18分)如图，ABCD 是正方形空地，边长为30m ，电源在点P 处，点P
到边AD ，AB
距离分别为9m ，3m ．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕
MNEF ，:16:9MN NE =．线段MN 必须过点P ，端点,M N 分别在边,AD AB 上，
设()AN x m =，液晶广告屏幕MNEF 的面积为2()S m ． (Ⅰ)求S 关于x 的函数关系式及该函数的定义域；
(Ⅱ)当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？
解：（1）39x AM x =-(1030)x ≤≤． 22222
29(9)x MN AN AM x x =+=+-．
∵:16:9MN NE =， ∴9
16
NE MN =． ∴2
222
999[]1616(9)
x
S MN NE MN x x =?=
=+-． 定义域为[10,30]（2）224918(9)9(218)[216(9)x x x x S x x ---'=+-=339[(9)81]8(9)
x x x --?-
，令0S '=，得0x =（舍）
，9x =+当109x <
+≤0,S 'S 关于x 为增函数；
∴当9x =+S 取得最小值．
答：当AN 长为9+时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小．
18．(本小题满分18分)设函数1
()ln f x x x
=(0x >且1)x ≠． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；
(Ⅱ)已知12a
x
x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ） '
22ln 1(),x f x +=-
若 '
()0,
f x = 则 1x = 列表如下
（Ⅱ） 在 1
2a
x
x > 两边取对数, 得 1ln 2ln a x x >,由于01,x <<所以1
ln 2ln a x x
> (*)
由(1)的结果可知,当(0,1)x ∈时, 1()()f x f e e
≤=-, 为使(*)式对所有(0,1)x ∈成立,当且仅当
ln 2
a
e >-,即ln 2a e >-
()(
)1
122
1111,111n n n q q m q m q q q q ----=+---==+++-19．(
20分)已知焦点在x 轴上，中心在坐标原点的椭圆C 的离心率为
4
5
，且过点(
3
． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)直线l 分别与椭圆C 及圆222:M x y R +=（其中35R <<）相切于,A B 两点，求AB 的最大值．
20．(本小题满分20分)已知{}n a 是等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，
11221,a b a b a ==≠，记n S 为数列{}n b 的前n 项和．
(Ⅰ)若k m b a =(,m k 是大于2的正整数)，求证：11(1)k S m a -=-；
(Ⅱ)若3i b a =(i 是某一正整数)，求证：q 是整数，且数列{}n b 中每一项都是数列{}n a 中的项；
(Ⅲ)是否存在这样的正数q ，使等比数列{}n b 中有三项成等差数列?若存在，写出一个q 的
值，并加以说明；若不存在，请说明理由．
解：设
{}n a 的公差为d ，由1
1221,a b a b a ==≠，知0,1d q ≠≠，()11d a q =-（10a ≠）
（1）因为k
m b a =，所以()()111111k a q a m a q -=+--，
()()()111121k q m q m m q -=+--=-+-，
所
以
()()()()1
111111111k k a q a m m q S m a q q ------===--
（2）()()2
3111,11i b a q a a i a q ==+--，由3i b a =，
所以
()()()()22111,120,q i q q i q i =+----+-=解得，1q =或2q i =-，但1q ≠，所以
2q i =-，因为i 是正整数，所以2i -是整数，即q 是整数，设数列{}n b 中任意一项为
()11n n b a q n N -+=∈，设数列{}n a 中的某一项m a ()m N +∈=()()1111a m a q +--
现在只要证明存在正整数
m ，使得n m b a =，即在方程
()()111111n a q a m a q -=+--中m 有正整数解即可，， 所以
222n m q q q -=+++
，若1i =，则1q =-，那么2111,222n n b b a b b a -====，当3i ≥时，因
为1
122,a b a b ==，只要考虑3n ≥的情况，因为3i b a =，所以3i ≥，因此q 是正整数，所以m 是正整数，因
此数列{}n b 中任意一项为
()11n n b a q n N -+=∈与数列{}n a 的第222n q q q -+++
项相等，从而结论成立。
（3）设数列{}n b 中有三项(),,,,,m n p
b b b m n p m n p N +
<<∈成等差数列，则有
111
1112,n m p a q a q a q ---=+设(),,,n m x p n y x y N +
-=-=∈，所以1
2y
x
q q
=
+，令
1,2x y ==，
则3
21q
q -+=)()2110q q +-=，因为1q ≠，所以210q q +-=，所以q =舍
去负值)，即存在q
=
{}n
b 中有三项(
)
13,,m m m b b b m N +++∈成等差数列。