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“反例”教学在概率中的应用
作者：张景阳
来源：《新课程学习·中》2013年第06期
反例因其具有直观、明显、形象、生动等特点，决定了它在数学教学中具有无可比拟的作用.在数学教学中适当运用反例，可以强化推理的严谨性、培养思维的批判性、发展逆向思维
和发散思维、全面提高解题能力.
一、运用反例，加强对古典概型等可能性的理解，从反面揭示理解上容易产生的混淆和错误
例1.一个盒子中有5个大小均匀的小球，其中仅有一个红色球，甲、乙、丙三位同学先后从盒子中不放回各取一个，甲、乙、丙三位同学取到红球的概率分别是多少？
概率论在日常生活中的应用 概率论是一门与现实生活紧密相连的学科，不过大多数人对这门学科的理解还是很平凡的：投一枚硬币，0.5的概率正面朝上，0.5的概率反面朝上，这就是概率论嘛。学过概率论的人多以为这门课较为理论化，特别是像大数定律，极限定理等内容与现实脱节很大，专业性很强。其实如果我们用概率论的方法对日常生活中的一些看起来比较平凡的内容做些分析，常常会得到深刻的结果。 在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成两大类：一类是确定性现象，指在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。例如，同性电荷相互排斥，异性电和相互吸引；在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。另一类是不确定性现象。这类现象在一定条件下的结果是不确定的，即人们在未作观察或试验之前，不能预知其结果。例如，向桌上抛一枚硬币，我们不能预知向上的是正面还是反面；随机地找一户家庭调查其收入情况，我们亦不能预知其收入是多少。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素是人们无法事先预料的。但另一方面，对这些不确定性现象进行大量、重复的实验时，人们会发现，其结果会出现某种“统计规律性”：重复抛一枚硬币多次，出现正、反两面的次数大致会各占一半；调查多户家庭，其收入会呈现“两头小，中间大”的状况，即处于中间状态的是大多数。这种在每次试验中呈现不确定性，而在大量重复试验中又呈现某种统计规律性的现象较随机现象。概率统计就是研究随机现象并揭示其统计规律性的一个数学分支，它在自然科学及社会科学的诸多领域都有着广泛的应用。 概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。大部分人认为一件事概率为0即为不可能事件，这是不对的。比如甲乙玩一个游戏，甲随机写出一个大于0小于1的数，乙来猜。1.乙一次猜中这个数2.乙每秒才一次，一直猜下去，“最终”猜中这个数。这两件事发生的概率的概率都是0，但显然他们都有可能发生，甚至可以“直观”地讲2发生的可能性更大些。这说明概率为0的事件也是有可能发生的。不过在我看来，这样的可能性实在太小了，在实际操作中认为不可能也是有道理的，但不管怎么说，他们确实是可能事件。 在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。 走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率；生产、生活更是离不开概率。在令人心动的彩票摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。继股票之后，彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点。据统计，全国100个人中就有3个彩民。通过对北京、上海与广州3城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过彩票，其中5%的居民成为“职业”(经济性购买)彩民。“以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态。那么，购买彩票真的能让我们如愿以偿吗?以从36个号码中选择7个的投注方式为例，看起来似乎并不很难，其实却是“可望而不可及”的。经计算，投一注的理论中奖概率极其小。由此看出，只有极少数人能中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路。 在我国南方流行一种成为“捉水鸡”的押宝，其规则如下：有庄家摸出一只棋子，放在密闭盒中，这只棋子可以是红的或黑的将、士、象、车、马、炮之一。赌客们把钱压在一
初中数学教学疑难问题 问题一：关于计算器的使用 数学能力的培养很重要的一个方面就是运算能力的培养。但在七上就开始学习了计算器的使用，很多同学对有理数的运算和后面的实数的运算就都使用计算器来进行，这对学生运算能力的培养有很大的负面影响，很多学生有的连简单的加减乘除都使用计算器，但是实数的很多运算不使用计算器，又得不出答案，那么在什么情况下使用计算器，什么情况下不准使用计算器呢？这一点老师很难把握。计算器的使用给学生运算能力的提高产生很大的负面影响，而在七上就使用计算器，是不是学生手头的运算能力有小学的水平就可以了？(潘树峰提供) 问题二：关于合作学习 合作学习是新课标倡导的学习方式之一，能充分体现教学民主，培养学生的合作意识和交流能力，因此被越来越多的老师引入课堂。但是，有些内容过于简单，不需要合作学习学生也能回答，书本把它作为合作学习的内容，那么合作学习还有必要吗？还有合作学习跟小组讨论有什么区别呢？另外，在“小组学习”中还会遇到一些问题，如：有些学生就是不配合，合作讨论时乘机讲话，提不出什么问题，解决不了问题，形式上几个同学围在一起讨论很热闹，但实际上课堂中缺乏有效的交往和互动。教师该如何调动他们参与的积极性呢？教师对活动如何进行有效的监控和及时引导呢？在汇报讨论结果时，优秀学生的想法和意见往往代替了组内其他同学的意见，而那些性格内向、胆子较小或学习落后的学生发言的机会较少，这样会造成两极分化。还有在合作的时间上也很难把握，有的问题展开讨论需要很长时间，草草收场，达不到所需要的效果，时间过长又怕影响上课内容与任务完不成，那么该怎样来控制合作讨论的时间呢？(潘树峰提供) 问题三：课本例题怎么用？ 课本例题一般没有思路分析过程，解题步骤也是比较精练的，需要教师作进一步的剖析，所以我会让学生自己先阅读，同时把题目抄到黑板上，再进行深入分析。但遗憾的是我发现，有很多学生并没有认真听我的思路分析并回答我的提问，而是有口无心的照搬照读课本，甚至答非所问。还有些学生因为能看懂，索性不听。所以难以达到《数学教学建议》中提到例题教学要求。（关注过程，促进内化：在例题教学中，让学生参与分析题意寻求解体题思路的过程，体验分析解决问题的方法。）(潘树峰提供) 问题四：如何解决教学内容增多与课时不足的矛盾？
技术在课堂中的作用 一、信息技术的运用，改变传统的教学方法 课堂教学中良好的教学效果的取得，有赖于先进的教学媒体，帮助学生做出各种学习的反应。传统教学模式中，教师的教学活动仅限于一本教科书、一块黑板和简单的幻灯片演示来完成。枯燥无味，缺乏生动性，学生的主动性、创造性不能得到很好的发挥。在多媒体信息技术介入教学后，像一股春风一样，催促着我们教育观念以及教育模式的改变，使我们的师生能够共享到优质的教育资源，享受最前沿的教学资源，给基础教育的改革和发展带来了机遇。它彻底改变了传统的教育教学模式，让教师从繁重的重复性劳动中解放出来。 二、信息技术的运用，加强教师的主导作用 信息技术走进课堂后，在课堂教学中，以学生为主体，教师转变传统的教学方法，引导学生在一定的情境下利用学习资料和教师帮助主动获取知识。信息技术教学手段取代了粉笔在黑板上涂抹，变成了好看的图片、影视资料在荧屏上展示，学生们在直观的感受中创设了情境，体会语言就变成了有血有肉的人物进入思维中，参与到学生的理解、欣赏、与主人公的思想感情发生碰撞、产生共鸣、情感交流得到实现。课堂教学的内容更加丰富、生动，创设教学情景，调动学生的生活积累，诱导学生主动参与到学习过程中来。而这一切，都是教师利用信息技术辅助教学的结果，更加体现出了教师的主导作用。例如，一位教师在教《称象》这篇课文时，根
据课文内容适时的播放课件，让学生在头脑中形成完全相同的事物画面或事理。另外，现代化的信息技术为教学提供了更为广阔的空间，教师通过资源共享，博采众长，更好的发挥了为学生提供学习资源，帮助学生解决困难的辅导作用。教师备课时，可先输入关键词，在网上搜索与之有关的资料，在进行分类制成课件，在指导学生学习的过程中，根据需要，一点鼠标，迅速调出，方便快捷。资料调出学生可根据需要、或兴趣去学习。这样真正实现了学生的主动性，教师真正成为了学生的帮助者、促进者。教师在教学的过程中，引导了学生拓宽视野。学生在积累大量素材的条件下，做到了课堂气氛真正活跃起来，激发了学生主动获取知识的自觉性。充分体现了教师的主导作用。 三、信息技术的运用，有利于提高学生的学习兴趣，活跃课堂气氛 “兴趣是最好的老师”，有良好的兴趣就有良好的学习动机，但不是每个学生都具有良好的学习兴趣。“好奇”是学生的天性，他们对新颖的事物、知道而没有见过的事物都感兴趣，要激发学生的学习积极性，就必须满足他们这些需求。而传统的教学和现在的许多教学都是严格按照教学大纲，把学生封闭在枯燥的教材和单调的课堂内，使其和丰富的资源、现实完全隔离，致使学生学习的兴趣日益衰减。将多媒体信息技术融于教学课堂，利用多媒体信息技术图文并茂、声像并举、能动会变、形象直观的特点为学生创设各种情境，有效地再现实物的可观属性，使学生感知事物的艺术效果，在大脑中形成一幅活生生的画面，创设了一定的情景，学生产生身临其境的感受，使学生真正的进入角色，进行情感体验，从而有效的激起
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 教学反思的意义和方法 教学反思的意义和方法所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。 教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。 现在很多教师会从自己的教育实践中来反观自己的得失，通过教育案例、教育故事、或教育心得等来提高教学反思的质量。 类型方法反思类型可有纵向反思、横向反思、个体反思和集体反思等，反思方法有行动研究法、比较法、总结法、对话法、录相法、档案袋法等等。 纵向反思和行动研究法即把自己的教学实践作为一个认识对象放在历史过程中进行思考和梳理。 同时不断地获取学生的反馈意见，并把它作为另一个认识对象进行分析，最后把两个具体的认识对象揉在一块儿整合思考。 我思故我在，我思故我新。 横向反思和比较法教学反思需要跳出自我，反思自我。 所谓跳出自我就是经常地开展听课交流，研究别人的教学长处，他山之石，可以攻玉，通过学习比较，找出理念上的差距，解析手段、方法上的差异，从而提升自己。 当然，无论是运用行动研究法还是比较法，我们都需要学习先进 1 / 9
的教育教学理论，提高自己的理论水平，达到会当凌绝顶，一览众山小的境界。 个体反思和总结法课后思： 一场课下来就总结思考，写好课后一得或教学日记，这对新教师非常重要；周后思或单元思： 也就是说，一周课下来或一个单元讲完后反思，摸着石头过河，发现问题及时纠正；月后思： 对于自己一个月的教学活动进行梳理；期中思： 即通行的期中质量分析，这是比较完整的阶段性分析。 通过期中考试，召开学生座谈会，听取意见，从而进行完整的整合思考；也可以以一个学期、一个学年或一届教学的宏观反思。 集体反思和对话法集体反思指与同事一起观察自己的、同事的教学实践，与他们就实践问题进行对话、讨论，是一种互动式的活动，它注重教师间成功的分享、合作学习和共同提高，有助于建立合作学习的共同体。 俗话说： 旁观者清，当局者迷，以旁人的眼光来审视自己的教学实践，能使自己对问题有更明确的认识，并获得对问题解决的广泛途径。 教师互相观摩彼此的教学，详细记录所看到的情景。 还可以用摄像机将教学活动拍下来，组织观看。 每个观摩的教师都写教学反思，都以自己的教学实践去分析，促使大家各自思考，然后共同研讨，重在针对教学中普遍存在的困惑，
毕业论文 课题 学生姓名胡泽学 系别 专业班级数学与应用数学指导教师 二0 一六年三月
目录 摘要.................................................................... I ABSTRACT................................................................... II 第一章绪论. (1) 第二章概率在生活中的应用 (4) 2.1在抽签和摸彩中的应用 (4) 2.2经济效益中的应用 (8) 2.3在现实决策中的应用 (4) 2.4在相遇问题中的应用 (12) 2.5在预算及检测中的应用 (10) 结论 (13) 参考文献 (14) 致谢 (15)
概率统计在生活中的应用 摘要 随着时代的发展人类的进步，17—18世纪出现了一门新的学科概率论，概率论逐渐成为了为数不多的可以和传统数学相抗衡的学科之一，并一步步的走向了人们的生活，成为了人们生活中不可或缺的部分。 本文先简述了概率论的发展，之后从概率在抽签中的应用、经济效益中的应用、现实决策中的应用、追击相遇问题中的应用、最大利润问题中的应用、最佳配置问题中的应用、经济保险问题中的应用、获奖问题中的应用、概率和选购方案的综合应用、金融界中的应用、设计方案的综合应用、厂矿生产中的如何合理配置维修工人问题、在商品质检中的应用和在运输预算费用中的应用等。多方面论述了概率的应用。 关键词：概率；概率的含义；概率的应用
Abstract
第一章绪论 概率统计是一门和生活关联紧密的学科同样也是一门特别有趣的数学分支学科，17-18世纪，数学得到了快速的发展。数学家们打破了古希腊的演绎框架，社会生活对与自然界的多方面吸取灵感，数学领域涌现了许多新面孔，之后都形成了完整的数学分支。除了分析学这之外，概率论就是同时期能使"欧几里德几何不相上下"的几个伟大成就之一。 概率的发源与赌博有关，伴随着科学技术的发展进步以及计算机普及,它在最近几十年来的社会科学和自然科学中得到了特别广泛的应用,在生活与社会生产中起着很重要的作用。我们生活在一个千变万化千变万化、千变万化的时代里，而我们每个人无时无刻都要直面生活中遇到的问题。而其中很多的问题都是随机的与随机的随机的。如决策时如何获取最大利益，公司要如何组合生产才能取得最大收益，如何加大买彩票的获奖概率，怎样进行误差分析、所购买物品的产品检验，生产质量把控等，当我们在遇到这些问题时应该如何解决它呢？幸好我们如今有了概率，概率是一门探索和揭示随机现象和规律的一门学科。 实践证明,概率是对生活中碰到的问题进行量的解答的有效工具,对经济决策和预测提供了新型的手段。下文就通过列举实例来表述概率在抽签中的应用、经济效益中的应用、现实决策中的应用、追击相遇问题中的应用、最大利润问题中的应用、最佳配置问题中的应用、经济保险问题中的应用、获奖问题中的应用、概率和选购方案的综合应用、金融界中的应用、设计方案的综合应用、厂矿生产中的如何合理配置维修工人问题、在商品质检中的应用和在运输预算费用中的应用等。
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/1110224851.html, 初中数学教学中反例的运用 作者：黄绪富 来源：《新教育时代·学生版》2019年第23期 摘要：随着初中数学教学改革工作的持续推进，越来越多的教师开始意识到现有教学模式所带来的弊端，单一枯燥的教学方法使得学生缺乏自由思考空间，难以有效激发学生的数学学习热情。本文以反例的运用作为研究的切入点，从反例在数学教学中的应用内涵出发，论述了反例运用对于提升数学教学效果的重要性，在此基础上阐述了反例在数学教学中的应用策略，希望能够提升反例在数学教学中的应用效果的同时，从而取得理想教学效果，为全面培育学生的数学核心素养奠定基础。 关键词：初中数学数学教学反例的运用 一、反例在数学教学中的应用内涵 所谓的反例运用指的是在数学的学习过程中结合数学理论从而确切指出不成立的命题，引导学生能够站在新的角度来审视数学知识点。与传统的数学学习方式相比，反例的运用不仅是对原有命题学习的一种挑战，而且通过展现数学知识点中的逻辑矛盾让学生找出学习的切入点，更好的理解数学知识。在一定关系环境下，数学知识是不具有互相矛盾这样的属性，但是通过反例的运用能够让学生准确的判断数学知识点中的错误的结论，加深学生对数学知识点的理解。传统的数学教学模式使得学生只懂得在给定的命题条件以及适用范围的基础上进行解题，导致学生往往容易忽略给定的命题条件以及适用范围对于数学知识点构建的重点性。借助于反例能够帮助学生实现数学知识点的二次归纳总结，引导学生站在新的角度看待数学知识点，从而加强学生的记忆与理解。[1] 二、反例运用对于提升数学教学效果的重要性 一方面，作为逻辑性较强的一门学科之一，学生在学习数学时不仅需要掌握恰当的学习方法，还需要具备相应的学习耐心。数学的学习需要学生始终秉持着严谨的态度，一旦没有严谨的态度，那么将会因为对数学条件以及内容的理解错误从而导致“失之毫厘，谬以千里”问题的产生，使得解题错误率大幅度的上升。另一方面，反例的运用能够实现学生在数学学习领域中发散思维的有效培育，切实做到举一反三。与此同时，反例的运用还能够实现命题条件以及适用范围等数学知识的转换，引导学生能够顺利地掌握相应的变式训练，进而增强学生对于数学知识的理解。初中阶段的数学学习属于基础数学之一，教学的目的在于帮助学生构建系统化的数学解题思路，为其接下来数学知识的终身学习奠定良好的基础。然而，大部分的学生在接触一个知识点或概念时，由于尚未构建系统化的数学思维，容易出现理解上的偏差。通过運用反例的形式，能够加深学生对做错题目的印象，增强学生数学逻辑推理能力的同时，帮助学生更好地掌握数学知识点。[2]
毕业论文 题目反例在中学数学教学中的作用 学生姓名张栓学号1109014150 所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级数学与应用数学专业(师范类)11级2班指导教师张琳 2015 年 5 月15 日
陕西理工学院毕业论文 反例在中学数学教学中的作用 张栓 （陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业（师范类）11级02 班，陕西汉中 723000） 指导老师：张琳 [摘要]主要阐述反例在中学数学教学中的几点功能，应用反例进行教学时应注意的几个问题及反例的背景类型等方面的内容。在数学教学中利用反例可以有效的激发学生的求知欲，通过反例能使学生加深对基础知识的理解，反例不仅有助于学生全面正确的理解，掌握数学的基本概念和基本定理，而且是纠正错误，发现问题的重要途径。 [关键词]：反例中学数学教学作用 1 引言 在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥想而不得其解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功。用逆向思维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地。当一个数学问题被提出来后，它面临着两种抉择：一是根据已知的公理、定义、定理等经过一系列的正确推理，推证命题成立；一是从一些迹象判断该命题不成立，然后寻求一个满足命题的条件，但使结论不成立的例证，从而否定这个命题。后者即为通常所说的反例，重要的反例往往会成为数学殿堂的基石。 2 数学反例在中学教学中的应用背景 《数学新课程标准》的基本理念的核心内容有这样一条：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地观察、实验、猜测、验证、推理和交流等数学活动。内容的呈现应采取不同的表达方式以满足多样化的学习要求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、主动探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，数学学习活动应当是一个生动的、主动的和富有个性的过程。本条理念说明了要赋予数学学习活动以生命的活力，要发展学生的实践能力和创新精神。数学教育不能再单纯地依赖模仿与记忆，要转变过去封闭、被动、接受性的学习方式，倡导动手实践、自主探索与合作交流学习数学的重要方式。那么教师在教学过程中要凸显学习过程的探究性，应注重创设问题情境，引发矛盾
教师教学反思的作用 教学反思是指教师以自己的教学活动过程为思考对象，对自己所做出的某种教学行为、决策以及由此所产生的结果进行审视和分析的活动。在经济，文化与教育等瞬息万变的今天，教学反思无论对教师自身教学水平的提高，还是对教学效果的提高都有着举足轻重的作用教学反思可以检查是否达到教学目标；分析教学中的不足；记录教学中的困惑；发现某种教育教学行为是否对学生有伤害；可以发现自己的教育教学方法是否适合学生等。 教学反思是教师进步的阶梯，是教师进步的重要途径。通过教学反思能够不断地，逐渐地提高教师自我的教学监控能力，提升教师的专业素质，综合水平等。 一、进行教学反思有助于教师逐步培养和发展自己对教学实践的判断、思考和分析能力，从而为进一步深化自己的实践性知识，直至形成比较系统的教育教学理论提供了有效的途径。美国心理学家波斯纳提出了教师成长的公式：成长＝经验＋反思。相反，例如有的教师已从教数年，但课堂教学的效果一直没有达到最佳，为什么呢？这是因为不够重视教后反思，作为教师，理论知识和专业水平固然重要，但驾驭课堂教学的能力更是必不可少的。如果缺乏对日常课堂教学中出现的问题，进行反思和不断积累的意识，教师很难掌握驾驭课堂教学的能力。只有通过反思，教师才会不断地剖析自己在课堂教学中的优缺点，细致地、冷静地加以推理总结，具体地对于某一个问题的对策、某一教学环节中学生的质疑，甚至某一个辩论回合展开思考。在反思中，已有的经验得以
积累，成为下一步教学的能力，日积月累，这种驾驭课堂教学的能力将日益形成。所以我们只有通过教学反思，教师的有效经验才能上升到一定的理论高度，才会对后续的教学行为产生积极的影响。 二、进行教学反思能够充分激发教师的教学积极性和创造性，并为其专业发展提供机会和条件。教学反思鼓励教师通过多种策略和方法审视、分析自身的教育观念及教学活动，充分尊重了教师的主体地位，发挥了教师的能动性、积极性和创造性。教师在教学实践中，可以通过写教学日记、描述──解释自己的教学活动、观摩──分析教学事件、主动征求同事及学生意见和建议等多种方式反思自己的教学实践，这实际上为提升教师的专业自主权，促进教师的专业发展提供了更多的可能性。 总之，教学反思是一种有益的思维活动和再学习活动；也是回顾教学——分析成败——查找原因——寻求对策——以利后行的过程。一个优秀教师的成长过程应该是一个不断总结教学经验、反思教学实践的过程，是一个成长的必要环节。教学反思可以进一步地激发教师终身学习的自觉冲动，不断的反思会不断地发现困惑，“教然后而知困”，从而促使自己拜师求教，提升自身的教学水平等。
概率在生活中的应用 摘要：随着科学的发展，数学在生活中的应用越来越广，生活的数学无处不在.而概率作为数学的一个重要部分，同样也在发挥着越来越广泛的用处.本文介绍了概率的某些知识在实际问题中的应用，主要围绕古典概型、几何概型、全概率公式、正态分布、数学期望、小概率模型等有关知识，探讨概率统计知识在实际生活中的广泛应用，进一步揭示概率统计与实际生活的密切联系.我们在日常生活中的好多事情都多多少少牵扯到了概率计算的问题，正如杰文斯所说：概率论是“生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，无所作为”.在概率论已获得当今社会的广泛应用,概率已成为日常生活的普通常识的今天,对现实生活中的概率问题进行研究就更显得十分重要. 关键词：全概率公式；正态分布；数学期望；概率 正文：概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小.比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生：而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生.但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间.在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析.不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段. 1 概率问题的提出 由赌徒的问题引起,概率逐渐演变成一门严谨的科学.1654年，有一个法国赌徒梅勒遇到了一个难解的问题：梅勒和他的一个朋友每人出30个金币，两人谁先赢满3局谁就得到全部赌注.在游戏进行了一会儿后，梅勒赢了2局，他的朋友赢了1局.这时候，梅勒由于一个紧急事情必须离开，游戏不得不停止.他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢？梅勒的朋友认为，既然他接下来赢的机会是梅勒的一半，那么他该拿到梅勒所得的一半，即他拿20个金币，梅勒拿40个金币.然而梅勒争执道：再掷一次骰子，即使他输了，游戏是平局，他最少也能得到全部赌注的一半——30个金币；但如果他赢了，并可拿走全部的60个金币.在下一次掷骰子之前，他实际上已经拥有了30个金币，他还有50%的机会赢得另外30个金币，所以，他应分得45个金币. 赌本究竟如何分配才合理呢？后来梅勒把这个问题告诉了当时法国著名的数学家帕斯卡，这居然也难住了帕斯卡，因为当时并没有相关知识来解决此类问题，而且两人说的似乎都有道理.帕斯卡又写信告诉了另一个著名的数学家费马，于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信，在通信中，他们最终正确地解决了这个问题.他们设想：如果继续赌下去，梅勒（设为甲）和他朋友（设为乙）最终获胜的机会如何呢？他们俩至多再赌2局即可分出胜负，这2局有4种可能结果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙.前3种情况都是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜，所以赌注应按3：1的比例分配，即甲得45个金币，乙15个.虽然梅勒的计算方式不一样，但他的分配方法是对的. 三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯把这一问题置于更复杂的情形下，试图总结出更一般的规律，结果写成了《论掷骰子游戏中的计算》一书，这就是最早的概率论著作.正是他们把这一类问题提高到了理论的高度，并总结出了其中的一般规律.同时，他们的研究还吸引了许多学者，由此把赌博的数理讨论推向了一个新的台阶，逐渐建立起一些重要概念及运算法则，从而使这类研究从对机会性游戏的分析发展上升为一个新的数学分支. 所谓概率，通俗点说就是有多大的可能性.生活中这类实例是很多的.让我们先举一个简单的例子：投一枚正反两面的硬币，结果正面向上的概率是多少？不用计算就能知道，这种
概率论在现实生活中的意义 概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。 走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率；生产、生活更是离不开概率。在令人心动的彩票摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。继股票之后，彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点。据统计，全国100个人中就有3个彩民。通过对北京、上海与广州3城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过彩票，其中5%的居民成为“职业”(经济性购买)彩民。“以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态。那么，购买彩票真的能让我们如愿以偿吗?以从36个号码中选择7个的投注方式为例，看起来似乎并不很难，其实却是“可望而不可及”的。经计算，投一注的理论中奖概率如下：
由此看出，只有极少数人能中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路。 体育比赛中，一局定胜负，虽然比赛双方获胜的机会均为二分之一，但是由于比赛次数太少，商业价值不大，因此比赛组织者普遍采用“三局两胜”或“五局三胜”制决定胜负的方法，既令参赛选手满意，又被观众接受，组织者又有利可图。那么它对于双方选手来说真的公平吗?以下我们用概率的观点和知识加以阐述： 日常生活中我们总希望自己的运气能好一些，碰运气的也大有人在，就像考生面临考试一样，这其中固然有真才实学者，但也不乏抱着侥幸心理的滥竽充数者。那么，对于一场正规的考试仅凭运气能通过吗?我们以大学英语四级考试为例来说明这个问题。 大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种考试，具有一定难度，包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写作等。除写作15分外，其余85道题是单项选择题，每道题有A、 B、 C、D四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗?答案是否定的。假设不考虑写作15分，及格按60分算，则85道题必须答对51题以上，可以看成85重贝努利试验。
探索三角形全等的条件 一、教学设计： 1 、学习方式： 对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形关系研究的第一步。它是两个三角形间最简单，最常见的关系。它不仅是学习后面知识的基础，并且是证明线段相等、角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据。因此必须熟练地掌握全等三角形的判定方法，并且灵活的应用。为了使学生更好地掌握这一部分内容，遵循启发式教学原则，用设问形式创设问题情景，设计一系列实践活动，引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维，使学生经历从现实世界抽象出几何模型和运用所学内容，解决实际问题的过程，真正把学生放到主体位置。 2 、学习任务分析： 充分利用教科书提供的素材和活动，鼓励学生经历观察、操作、推理、想象等活动，发展学生的空间观念，体会分析问题、解决问题的方法，积累数学活动经验。培养学生有条理的思考，表达和交流的能力，并且在以直观操作的基础上，将直观与简单推理相结合，注意学生推理意识的建立和对推理过程的理解，能运用自己的方式有条理的表达推理过程，为以后的证明打下基础。 3 学生的认知起点分析： 学生通过前面的学习已了解了图形的全等的概念及特征，掌握了全等图形的对应边、对应角的关系，这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备。另外，学生也具备了利用已知条件作三角形的基本作图能力，这使学生能主动参与本节课的操作、探究成为可能。 4 、教学目标： （1）学生在教师引导下，积极主动地经历探索三角形全等的条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。 （2）掌握三角形全等的“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”的判定方法，了解三角形的稳定性，能用三角形的全等解决一些实际问题。 （3）培养学生的空间观念，推理能力，发展有条理地表达能力，积累数学活动经验。 5 、教学的重点与难点： 重点：三角形全等条件的探索过程是本节课的重点。 从设置情景提出问题，到动手操作，交流，直至归纳得出结论，整个过程学生不仅得到了两个三角形全等的条件，更重要得是经历了知识的形成过程，体会了一种分析问题的方法，积累了数学活动经验，这将有利于学生更好的理解数学，应用数学。 难点：三角形全等条件的探索过程，特别是创设出问题后，学生面对开放性问题，要做出全面、正确的分析，并对各种情况进行讨论，对初一学生有一定的难度。 根据初一学生年龄、生理及心理特征，还不具备独立系统地推理论证几何问题的能力，思维受到一定的局限，考虑问题不够全面，因此要充分发挥教师的主导作用，适时的点拨、
教学反思作为在校本教研中推动提高教师教育教学理念和自身的教育教学水平的一项重点内容在全校开展，部分教师的教学反思不但详尽而且深刻，但大部分教师对教学反思的理解以及看法还存在一定差距。那么，如何做好“教学反思”工作，通过学习我谈谈自己的一点看法。 一、教学反思的内涵 作为一个日常反思概念，人们容易将“反思”等同于“反省”，在这个意义上，反思就是对自己的思想、心理感受的思考，对自己体验过的东西的理解或描述。在我国，“反省”观念由来已久，孔子提倡“仁”的观念并强调士人的内省能力，反省一直是儒家弟子的自我要求，例如在《论语·学而》中，曾子曰：“吾日三省吾身，为人谋而不忠乎？”人们一直强调通过反省来促进自身的发展。而最先把反思引进教学过程的是美国哲学家、教育家杜威，他在名著《我们怎样思维》中认为，反思是“对任何信念或假定的知识形式，根据支持它的基础和它趋于达到的进一步结论而进行积极的、坚持不懈的考虑。”我国学者熊川武教授认为：“反思性教学是教学主体借助行动研究，不断探究与解决自身和教学目的，以及教学工具等方面的问题，将‘学会教学’与‘学会学习’结合起来，努力提升教学实践合理性，使自己成为学者型教师的过程。” 由此，教学反思就是教师以自己的职业活动为思考对象，对自己在职业中所做出的行为以及由此产生的结果进行审视和分析的过程，就是教师自觉地把自己的课堂教学实践，作为认识对象而进行全面而深入的冷静思考和总结，从而进入更优化的教学状态，使学生得到更充分的发展。教学反思是一种有益的思维活动和再学习活动，是教师通过对其教学活动进行的理性观察与矫正，从而提高其教学能力的活动，是取得实际教学效果并使教师的教学参与更为主动、专业发展更为积极的一种手段和工具。教学反思是分析教学技能的一种技术，是对教学活动的深入思考，这种深思使得教师能够有意识地、经常地将研究结果和教育理论应用于实践，它的目的是指导控制教学实践。经常性的教学反思可使教师从经验型教学走向研究型，是一种用来提高自身的业务，改进教学实践的学习方式，不断对自己的教育实践深入反思，积极探索与解决教育实践中的一系列问题，进一步充实自己，优化教学。 显然，教学反思不是一般意义上的“回顾”，而是反省、思考、探索和解决教育教学过程中各个方面存在的问题，它具有研究性质，是校本教研最基本的力量和最普遍的形式。这种反思与通常所说的静坐冥想式的反思不同，它往往不是一个人独处放松和回忆漫想，而是一种需要认真思索乃至极大努力的过程，而且常常需要教师合作进行。另外，反思不是简单的教学经验总结，它是伴随整个教学过程的监视、分析和解决问题的活动。教学反思的本质是一种理解与实践之间的对话，是这两者之间的相互沟通的桥梁，又是理想自我与现实自我的心灵上的沟通。因此，教学反思被认为是“教师专业发展和自我成长的核心因素”。 二、教学反思的意义 教学反思有两大目的：学会教学和学会学习。“学会教学”要求教师把教学过程作为“学习教学”的过程，向自己的经历学习，逐步成为学者型教师。学会教学是反思教学的直接目的，学会学习是终极目的，要求教师从学生学会学习的角度去思考，最终实现两个“学会”的统一。 新课程对教师的传统教学经验提出了全新的挑战，经验反思的重要性也因此被提到了前所未有的高度。但是，只有教师自己才能改变自己，只有教师意识到自己的教学经验及其局限性
概率在现实生活中的应用
我认为学习概率应该有两种认识，一是要理性的理解概率的意义，二是要学以致用。 一、概率的意义 （1）一般地，频率是随着实验者、实验次数的改变而变化的； （2）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同；（3）频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时，频率围绕概率摆动的平均幅度越来越小，即频率靠近概率. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小. 二、学以致用 学以致用不仅是会做“单项选择题选对正确答案的概率是多少？”的问题，还要会解决生活中的实际问题。例如： 1、在保险公司里有2500个同一年龄的人参加了人寿保险，在一年里死亡的概率为0.002，每个人一年付12元保险费，而在死亡的时候家属可以领取由保险公司支付的2000元，问保险公司盈利的概率是多少，公司获利不少于10000的概率是多少？ 这样的问题咋一看很难知道保险公司是否盈利，但经过概率统计的知识一 计算就可以得知公司是几乎必定盈利的。 2、李炎是一位喜欢调查研究的好学生，他对高三年级的12个班（每班50人）同学的生日作过一次调查，结果发现每班都有三位同学的生日相同，难道这是一种巧合吗？ 解析：本题即求50个同学中出现生日相同的机会有多大？ 我们知道，任意两个人的生日相同的可能性为1/365×1/365≈0.0000075，确实非常小，那么对于一个班而言，这种可能性是不是也不大呢？ 正面计算这种可能性的大小并不简单，因为要考虑可能有2个人生日相同，3个人生日相同，……有50个人生日相同的这些情况。如果我们从反而来考察，即计算找不到俩个人生日相同的可能性，就可知道最少有两个人生日相同的可能性。 对于任意2个人，他们生日不同的可能性是（365/365）×（364/365）=365×364/3652对于任意3个人，他们中没有生日相同的可能性是 365/365×364/365×363/365=365×364×363/3653； 类似可得，对于50个人，找不到两个生日相同的可能性是 365×364×363×…×316/36550≈0.03，因此，50个人中至少有两个人生日相同的机会达97%，这么大的可能性有点出乎意料，然而事实就是如此，高三年级的12个班级（每班50人）都有两位同学生日相同的事件发生，并非巧合。那么，50人中有3人生日相同的概率有多大？ 3、深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑。请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由
举反例在初中数学教学中的作用与实施 晋元中学赖国献 引言：一个正确的数学命题需要严密的证明，谬误则靠反例即可否定。因此，在数学的教学中，反例也有着极为重要的意义，它在发现和认识数学真理，强化数学基础知识的理解和掌握，培养学生的思维能力和创造能力，以及提高学生解题速度等方面的意义和作用是不可低估的。但在实际教学中，很多教师对数学思想教学的重视程度不够，原因在于其不了解数学思想对学生思维及分析能力发展的重要性，导致数学课堂出现诸多数学思想教学误区。下面结合自己实习中的课堂实例，对反例的作用进行探讨。 一、反例的定义与实质 数学中的反例，是指使某个数学命题不成立的例子。具体地说它满足命题的题设但不具有命题的结论，从而成为推翻命题的例子。反例的产生与命题的结构密切相关，因此，反例又可以分为3类：简单命题的反例，充分条件的反例和必要条件的反例。在具体的课堂教学中，反例的使用揭示了数学上“失之毫厘差之千里”的特点，是学生不断理清思维的脉络，从中掌握相应的数学思想方法。 二、反例的来源以及如何构造反例 2.1反例的来源 证明一个命题是真实的，必须经过严格的推理论证；证明一个命题是假命题就只需找到一个反例。在数学的学习中，为了向学生说明一个命题为假命题，就要举出一个例子，它虽然满足命题的题设但却没有命题的结论。反例的强大的说服力能使学生豁然开朗，与获得证明的方法一样，反例来源于一系列深层次的思维活动包括观察、归纳、分析与综合。 2.2如何构造反例 在具体的课堂教学中，反例并不是可以信手拈来的，有的反例的寻找十分困难。因此要善于引导学生去寻找反例，同时，寻找反例的过程也是加深理解、发散思维、巩固知识的过程，也能提高学生的思维能力，为后继知识的学习做好铺垫。 以下介绍构造反例常用的几种方法： （1）通过对一般命题特殊化，发现反例。有时候，遇到一个一般命题，可以用其某一特殊情况下不真来进行否定，以特殊情况为反例，是我们构造反例最先考虑的一种方法。例如在教学三角形全等的判定定理时，学生在掌握基本的几个判定定理(SSS,SAS,ASA,AAS)后，教师可让学生判断：三个角对应相等的三角形全等；有两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等。三角对应相等的三角形全等的反例比较容易列举，例如三角板中的两个三角形。但是有两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等的反例却较难构建。为了解决这个问题，教师可以先固定某些边或者某些角对应相等以后再让学生构建反例。可以先固定∠A=∠A′，AC=A′C′，在此基础上引导学生思考若BC=B′C′=a，说明BC或B′C′可以通过以下作图方法来画出：以C或者C′为圆心，a为半径画弧，a只要满足一定的条件，此时所画的弧就很可能与AB或者A′B′所在的直线有两个交点,这是再构造出不全等的三角形就减少了难度。 （2）从定义入手获得反例。数学定义是明确概念内延和外涵的方法，给出一个满足概念条件的例子，然后再判断其是否具有相同的结论，从而获得反例。
反例在数学教学中的应用 【摘要】 本文就反例在数学教学中的应用及应用反例教学时应注意的问题提出了几点看法。 【关键词】 反例；反例教学；应用 1引言 著名的数学家盖儿鲍姆（Gel Baum ）曾说数学由两大类───证明和反例组成。而数学的发展也是朝着这两个主要目标—提出证明或构造反例。当某些问题经人们绞尽脑汁去推演却仍悬而未决时（即使这种不彻底的推理并无差错）。则应允许人们对此命题的真伪产生怀疑，这就需要去寻找符合题设条件而与命题相悖的反例。反例因其具有简明、直观、说服力强等特点,决定了他在数学教学和数学的发展中起着不可替代的作用。在教学过程中适当运用反例对提高学生的创造能力有良好的诱导作用，从而也会给数学教学带来美妙的感受和良好的效果。 教师在日常教学中，可经常选择一些发散性强的典型数学知识或问题，通过创设问题情景，引导学生构建反例，引导学生敢于和善于发现问题或提出问题，从而提高学生思维的发散性.那么在教学的过程中反例的运用、构建是猜想、试验、推理等多重并举的一项综合性、创造性活动，是培养学生创新精神、诱发学生创造力的一种很好的载体。反例教学在数学教学中的重要性已越来越被人们重视和认可. 通过反例教学，加深了学生对数学中概念的理解，同时也解决了教学中的重点、难点问题，使学生在认识上产生了质的飞跃，从而提高了教学的有效性。 2 反例在数学教学中的作用 2.1利用反例加深对数学概念的理解 数学概念本身是抽象的，引入概念之后，还必须有一个去粗取精、去伪存真的过程，必须在感性认识的基础上对概念作辨证的分析，用不同的方式进一步揭示概念的本质属性。通过构造反例，往往能够从反面消除一些容易出现的模糊认识，把握概念的要素和本质，从而达到学好的效果。 例2.1 人教版必修1《函数的基本性质》一节中，对函数的奇偶性这样定义：一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-那么函数)(x f 就叫做偶函数。一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-那么函数)(x f 就叫做奇函数。学生利用定义判断函数的奇偶性时往往忽略“定义域内任意一个x ”，直接去利用)(x f -与)(x f 之间的关系去判断，从而得出错误的结论。如果教师只是从正面去解释“定义域内任意一个x ”学生就 会感觉很抽象。若教师利用反例会使学生感觉更直、更观容易理解。例如判断 [)2,2)(2-=x x f 的奇偶性。若忽略“定义域内任意一个x ” 这个大前提就会得到 )()()(22x f x x x f ==-=-从而得出此函数是偶函数的结论，而实际2是不在定义域内，所以此函数是非奇非偶函数。又例如：在等差数列的定义中，举出例子：（1）2，4，6，7，8…… （2）-6，-4，-3，-1，1……让学生理解“第二项起” ，“同一”常数的含义。 2.2反例是理解定理、法则的有利工具 例2.2 初中在教三角形全等的判定定理时，三角形三边和三个角六个元素中，一般需要三个元素对应相等（但其中至少有一边）比如两角和夹边（ASA ），两边和夹角（SAS ），三边对应相等（SSS ）两角和一对边（AAS ）。特别强调 “对应”、“夹边”、“夹角”。为了对定理的深刻理解可以采用反例教学，去掉“夹角”，如有两边及其其中一边所对的角对应相等(SSA)的两个三角形是否全 等。构造反例可以先固定///,C A AC A A =∠=∠,在此基础上引导学生进一步思考若 a C B BC ==//说明//C B BC 或可以通过以下作图方法来画出：以C 或者/C 为圆心，a 为半径画