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(精校版)2016年上海理数高考试题文档版(含答案)

2016年普通高等学校招生全国统一考试

上海数学试卷（理工农医类）

考生注意：

1、本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

2、本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。

3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名。

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________

2、设i

Z 23+=

，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则12l l 与的距离是_______________

4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）

5、已知点(3,9)在函数x

a x f +=1)(的图像上，则________

)()(1

=-x f

x f 的反函数 6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为3

arctan ，则该正四棱柱的高等于____________

7、方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网

8、在n

x x ??? ?

-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________

9、已知ABC ?的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组1

ax y x by +=??

+=?无解，则b a +的取值范围是____________

11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*

∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为___________.

12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ?的取值范围是___________. 13.设

[)

π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数

都有

()c bx a x +=??? ?

-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为___________.

14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是___________. 二、选择题（5×4=20）

15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（）

（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件

（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（）（A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=

17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞

→l i m .下列条件中，使得()

*∈

成立的是（）

（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-q a （D ）7.08.0,01-<<-

18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、

()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、

()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，

下列判断正确的是（） A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题

C 、①为真命题，②为假命题

D 、①为假命题，②为真命题

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）

19.（本题满分12分）将边长为1的正方形11AAOO （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC

长为

23π， 11A B 长为3

，其中1B 与C 在平面11AAOO 的同侧。（1）求三棱锥111C O A B -的体积；学.科网（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小。

20、（本题满分14）

有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分

界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1,0），如图（1）求菜地内的分界线C 的方程

（2）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积

的“经验值”为

。设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断

哪一个更接近于1S 面积的“经验值”

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

双曲线2

21(0)y x b b

-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点。

（1）若l 的倾斜角为

，1F AB ?是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设3b =，若l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +?=

，求l 的斜率.

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知a R ∈，函数21

()log (

)f x a x

=+. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；

（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1[,1]2

t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .

（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；

（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，

n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；

（3）设{}n b 是无穷数列，已知*

1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.

参考答案

1.)4,2(

2.3-

2 4.76.1 5.2log (x 1)- 6.22

7.566ππ或 8.112

7 10.2+∞（，） 11. 4

12.[0,12]+ 13. 4 14.

528

15.A 16.D 17.B 18.D

19. （1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =．

由 11

A B 的长为3

π，可知1113π

∠A O B =．

111111111113

sin 24

S ?O A B =O A ?O B ?∠A O B =

，

111111C 13

V 312

S h -O A B ?O A B =?=

．（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ，则11//BB AA ，所以1C ∠B B 或其补角为直线1C B 与1AA 所成的角．

由 C A

长为23π，可知2C 3

π∠AO =，又1113

∠AOB =∠A O B =

，所以C 3

∠OB =

，

从而C ?OB 为等边三角形，得C 1B =．因为1B B ⊥平面C AO ，所以1C B B ⊥B ．在1C ?B B 中，因为1C 2

∠B B =

，C 1B =，11B B =，所以1C 4

∠B B =

，

从而直线1C B 与1AA 所成的角的大小为

． 20. （1）因为C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等，所以C 是以F 为焦点、以 EH 为准线的抛物线在正方形FG E H 内的部分，其方程为24y x =（02y <<）．（2）依题意，点M 的坐标为1,14??

???

．所求的矩形面积为

52，而所求的五边形面积为11

．矩形面积与“经验值”之差的绝对值为

581

236

-=，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为

1181

4312

-=，所以五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”

．考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积. 21（1）设(),x y A A A ．

由题意，()2F ,0c ，2

1c b =+，()

22241y b c b A =-=，

因为1F ?AB 是等边三角形，所以23c y A =，

即()

24413b b +=，解得2

2b =．

故双曲线的渐近线方程为2y x =±．

（2）由已知，()1F 2,0-，()2F 2,0．

设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠．

由()2

213

2y x y k x ?-=???=-?

，得()2222

34430k x k x k --++=．因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()

3610k ?=+>．

设AB 的中点为(),x y M M M ．

由()

11F F 0A +B ?AB =

即1F 0M?AB = ，知1F M ⊥AB ，故1F 1k k M

?=-．而2122223

x x k x k M +==-，()2623k y k x k M M =-=-，1F 2

323k

k k M =-，所以

3123k k k ?=--，得2

35k =，故l 的斜率为155

±． 22.解：（1）由21log 50x ??

???

，得151x +>，

解得()1,0,4x ?

?∈-∞-+∞ ???

．（2）

()1

425a a x a x

+=-+-，()()24510a x a x -+--=，当4a =时，1x =-，经检验，满足题意．当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意．当3a ≠且4a ≠时，11

x a =

-，21x =-，12x x ≠． 1x 是原方程的解当且仅当

0a x +>，即2a >； 2x 是原方程的解当且仅当

0a x +>，即1a >．于是满足题意的(]1,2a ∈．

综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4 ．

（3）当120x x <<时，

a a x x +>+，221211log log a a x x ????+>+ ? ?????

，所以()f x 在()0,+∞上单调递减．

函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．

()()22111log log 11f t f t a a t t ????

-+=+-+≤ ? ?+????即()2110at a t ++-≥，对任意

1,12t ??

∈????

成立．因为0a >，所以函数()2

11y at a t =++-在区间1,12??????

上单调递增，1

t =

时，y 有最小值

3142a -，由31042a -≥，得23

a ≥．故a 的取值范围为2

,3??+∞????

．

23.解析：（1）因为52a a =，所以63a a =，743a a ==，852a a ==．于是678332a a a a ++=++，又因为67821a a a ++=，解得316a =．（2）{}n b 的公差为20，{}n c 的公比为

，所以()12012019n b n n =+-=-，1

518133n n n c --??

=?= ?

??．

520193n n n n a b c n -=+=-+．

1582a a ==，但248a =，6304

a =

，26a a ≠，所以{}n a 不具有性质P ．（3）[证]充分性：

当{}n b 为常数列时，11sin n n a b a +=+．

对任意给定的1a ，只要p q a a =，则由11sin sin p q b a b a +=+，必有11p q a a ++=．充分性得证．必要性：

用反证法证明．假设{}n b 不是常数列，则存在k *∈N ，使得12k b b b b ==???==，而1k b b +≠．

下面证明存在满足1sin n n n a b a +=+的{}n a ，使得121k a a a +==???=，但21k k a a ++≠．设()sin f x x x b =--，取m *∈N ，使得m b π>，则

()0f m m b ππ=->，()0f m m b ππ-=--<，故存在c 使得()0f c =．

取1a c =，因为1sin n n a b a +=+（1n k ≤≤），所以21sin a b c c a =+==，依此类推，得121k a a a c +==???==．

但2111sin sin sin k k k k a b a b c b c ++++=+=+≠+，即21k k a a ++≠．所以{}n a 不具有性质P ，矛盾．必要性得证．

综上，“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”．

数学-2016年高考真题——全国Ⅲ卷(文)(精校解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅲ卷) 文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2016·全国Ⅲ，文，1)设集合A ＝{0,2,4,6,8,10}，B ＝{4,8}，则?A B 等于( ) A ．{4,8} B ．{0,2, 6} C ．{0,2,6,10} D ．{0,2,4,6,8,10} 2．(2016·全国Ⅲ，文，2)若z ＝4＋3i ，则z |z |等于( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35 i 3．(2016·全国Ⅲ，文，3)已知向量BA →＝????12，32，BC →＝??? ?32，12，则∠ABC 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 4．(2016·全国Ⅲ，文，4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( ) A ．各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个 5．(2016·全国Ⅲ，文，5)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )

A.815 B.18 C.115 D.130 6．(2016·全国Ⅲ，文，6)若tan θ＝－13 ，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－15 C.15 D.45 7．(2016·全国Ⅲ，文，7)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513 ，则( ) A ．b