八年级数学第四章§4.4.2矩形正方形（二）
教学目标：
（一）教学知识点
1．正方形的定义
2．正方形的性质
3．特殊平行四边形之间的关系
4．正方形的判别条件。
（二）能力训练要求
1．经历探索正方形有关性质和判别条件的过程。在简单的操作活动和说理过程中，发展学生初步的合情推理能力，主动探
究的习惯，逐步掌握说理的基本方法。
2．探索并掌握正方形的有关性质，正方形的判别条件。（三）情感与价值观要求
1．通过正方形应该知识的学习，感受正方形图形美和语言美。
2．理解特殊的平行四边形的内在联系，培养学生辨证观点。
教学重点
正方形的定义。
教学难点
正方形的性质的应用。
教学方法
探索、归纳法
教具准备
一个活动的平行四边形木框、白纸、剪刀。
投影片八张：
第一张：（记作§4.4.2A）;
第二张：（记作§4.4.2B）;
第三张：性质（记作§4.4.2C）;
第四张：例2（记作§4.4.2D）；
第五张：做一做（记作§4.4.2E）；
第六张：议一议（记作§4.4.2F）；
第七张：四者关系（记作§4.4.2G）；
第八张：判别条件（记作§4.4.2H）；
学生用具：白纸、剪刀
教学过程：一、巧设情景问题，引入课题
[师]在小学学过的平行四边形、矩形、菱形、正方形这些特殊的四边形中，我们已经研究了平行四边形、菱形、矩形的定义、性质和判别条件，而正方形还没有研究过，根据小学学过的正方形的知识，你能说出它有哪些性质吗？
[生]正方形的四条边相等，四个角都是直角，正方形的面积等于边长的平方。
很好，这节课我们就来进一步研究正方形（square）
二、讲授新课：
下面我们来看一个平行四边形变成正方形的全过程。（演示）
由于平行四边形具有不稳定性，所以先把平行四边形木框的一个
角变为直角，再移动一条短边，截成有一组邻边相等，此时平行四边形变成了一个正方形。
这个变化过程，可用如下图表示（出示投影片§4.4.2A）
由此可知：正方形是一组邻边相等的矩形。即：一组邻边相等的矩形是正方形。
这个平行四边形木框还可以这样变化：先移动一条短边，截成有一组邻边相等的平行四边形，再把一个角变成直角，此时平行四边形也变成了正方形。
这个变化过程，也可用图表示（出示投影片§4.4.2B）
你能从这个变化过程中给正方形下定义吗？
一组邻边相等的平行四边形是菱形。正方形是一个角为直角的菱形，所以可以说：有一个角是直角的菱形叫做正方形。
很好，由此可知，正方形是特殊的矩形，即是邻边相等的矩形，也是特殊的菱形，即是有一个角是直角的菱形。
接下来我们讨论正方形的性质，它有哪些性质呢？同学没们讨论、总结。
因为正方形是平行四边形，菱形、矩形，所以它的性质是它们的综合，不仅有平行四边形的所有性质，也有矩形和菱形的特殊性质。即：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。
正方形的性质：
边：对边平行、四边相等
角：四个角都是直角
对角线：对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
同学们总结得全面准确，正方形的性质同样可以边、角、对角线这三方面来总结（出示投影片§4.4.2C）
（乙同学总结的性质）
大家想一想：正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，即；两条对角线所在的直线，两组对边的中垂线。
好，下面我们来看一例题，以熟悉理解正方形的性质（出示投影片§4.4.2D）
分析：本题是正方形的性质的直接应用。正方形的性质很多，要恰当运用，本题主要用到正方形的对角线的性质，即正方形的轴对称性。
解：正方形ABCD是菱形，对角线AC、BD一定互相垂直，所以∠AOB=90°。
正方形ABCD是矩形，又是菱形，所以：∠BAD=90°且对角线AC平分∠BAD，因此∠OAB=45°。
本题还有其他解法吗？
因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAD=90°，AB=AD，OB=OD，所以△ABD是等腰直角三角形。又因为OB=OD，等腰三角形底边上的中线与底边上的高，顶角平分线重合，所以∠AOB=90°，∠OAB=45°。
因为正方形是轴对称图形，它的对角线所在的直线是它的对称轴，所以把正方形ABCD沿对角线AC对折，则△ABC与△ADC重合。∠BAC与∠DAC重合，因为∠BAD是直角，所以∠OAB=45°。把正方形ABCD沿对角线AC对折后，再沿对角线BD对折，则这时∠AOB、∠BOC、∠DOC、∠AOD重合，而这四个角的和为360°，所以这四个角都是90°，即∠AOB=90°。由上述可知：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形。
下面我们拿出准备好的剪刀、白纸来做一做（出示投影片§4.4.2E）
（学生动手折叠，想，剪切）
只要保证剪口线与折痕成45°角即可。因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕当作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形。
很好，同学们应用折叠、剪切，得到一个正方形，说明大家基本掌握了正方形的性质
正方形是平行四边形、矩形、又是菱形，那么它们四者之间有何关系呢大家来议一议（出示投影片§4.4.2F）
正方形、矩形、菱形都是平行四边形，正方形既是矩形，又是菱形。
平行四边形有一个内角为直角时，这时的平行四边形是矩形，当平行四边形的相邻的边相等时，这时的平行四边形是菱形，矩形的一组邻边相等时，此时的矩形是正方形，菱形的一个内角为直角时，此时的菱形是正方形。
矩形的对角线互相垂直时，此时的矩形是正方形，菱形的两条对角线相等时，此时的菱形是正方形。
同学们总结得很好，正方形、矩形、菱形都是平行四边形，但它们都是有特殊性质的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角为直角的特殊菱形。它们的包含关系如图：（出示投影片§4.4.2G）
乙同学，丙同学总结的这四者之间的关系可用下图表示（出示投影片§4.4.2H）
由这个图可以知道：什么样的平行四边形是正方形。
很好，此图给出了正方形的判别条件，即怎样判定一个平行四边形是正方形？
先判定一个四边形是平行四边形，再判定这个平行四边形是矩形，然后再判定这个矩形是菱形；或者先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形。
由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件不一样，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时仔细辨别后才可以作出判断。
下面大家来做练习以巩固本节所学的内容。
课堂练习
（一） 课本P 100随堂练习
1． 边长为2cm 的正方形，对角线的长是多少？
解：如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，对角线AC 把它分成
两个全等的等腰直角三角形，所以，在Rt △ABC 中，
AB 2+BC 2=AC 2 AC=2282222==+
因此，边长为2cm 的正方形的对角线的长是22cm 。
2． 如图，有多少个等腰直角三角形？
答：以正方形的四个顶点为直角顶点，共有四个等腰直角三角形，以正方形两条对角线的交点为顶点的等腰直角三角形也有四个，因而共有八个等腰直角三角形。
（二）试一试
如何设计花坛？在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）（图形如P102的图）
解：过正方形两条对角线的交点任意作两条互相垂直的直线，即可将正方形分成大小、形状完全相同的四部分。下面是其中的三种分法。
（三）看课本P99——P100，然后小结。
课时小结
本节课我们探讨了正方形的定义、性质和判别条件。现在来总结一下：
正方形的定义：一组邻边相等的矩形。
正方形的性质与平行四边形、矩形、菱形的性质可比较如下：（出示小黑板）
（小结性质时，师生共同完成，凡是图形是具有的性质，在表中相应的空格中填上“”，没有的性质不要填写）
由表中可知：矩形、菱形具有平行四边形的一切性质，又具有各自的特殊性质，正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，又具有自身的特殊性质，因此矩形和菱形都是特殊的平行四边形。正方形也是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形，特殊的菱形。正方形的判别条件：（出示投影片§4.4.2H）
课后作业：（一）课本P102习题4。7 1、2、3
（二）课本P101读一读
（三）1．预习内容P116-P117
2．预习提纲：：
（1）中心对称图形的定义
（2）中心对称图形的性质。